8/18/2019 Print 11 Naprezanja i Deformacije G
http://slidepdf.com/reader/full/print-11-naprezanja-i-deformacije-g 1/11
1
1
Teorija naprezanjai deformacija
11. dio
2
• 3D – Prostorno stanje naprezanja
• 2D – Ravninsko stanje naprezanja
• 1D – Jednoosno stanje naprezanja
3
Tenzor naprezanja
• 3D - Prostorno stanje naprezanja
puni” tenzor:32 = 9 podataka
= z zy zx
yz y yx
xz xy x
ij
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
σ
4
Simetrinost tenzora naprezanja
=
z zy zx
yz y yx
xz xy x
ij
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
σ
yz zy
xz zx
xy yx
τ=τ
τ=τ
τ=τ
6 podataka
Zakon o jednakostiposminih naprezanja:
5
Dokaz za 2D - ravninsko stanje naprezanja
( ) ( )
yx xy
yx xy
M
dydx: / 022
dy 1dx-2
2
dx 1dy
M
τ=τ
=⋅⋅τ⋅⋅τ
=Σ 0
6
Glavna naprezanja
=
3
2
1
00
00
00
σ
σ
σ
σ gl
Nema posminih naprezanja !!
8/18/2019 Print 11 Naprezanja i Deformacije G
http://slidepdf.com/reader/full/print-11-naprezanja-i-deformacije-g 2/11
2
7
Prva invarijanta naprezanja
.321 konst z y x =++=++ σ σ σ σ σ σ
8
Mohrove kružnice naprezanja 3D
9
2D - Ravninsko stanje naprezanja:
y
tgσ σ
τ ϕ
−=
x
xy22
2
2
2,122
xy
y x y xτ
σ σ σ σ σ +
−±
+=
σx
σy
τxy
Glavna naprezanja: σ1 i σ2 i njihov smjer ϕ:
10
Glavna naprezanja i njihov smjer
11
Glavna naprezanja i njihov smjer
A (σx;τxy)
B (σy;τyx)
C (σ1;0)
D (σ2;0)
12
Najvee posmino naprezanje
H (σs;τmaks)
2
2
21 σ−σ==τ
σ+σ=σ
r maks
y xs
8/18/2019 Print 11 Naprezanja i Deformacije G
http://slidepdf.com/reader/full/print-11-naprezanja-i-deformacije-g 3/11
3
13
Mohrove kružnice tipinih stanjanaprezanja
1. Jednoosno naprezanje:a) vlano σx > 0
b) tlano σx < 0
2. Izotropno naprezanje σy = σx
3. isto smicanje τxy
14
1. a) Jednoosno vlano naprezanje
15
A (σx;0)
B (0;0)
Glavna naprezanja:
σ1= σx
σ2= 0
16
Maksimalnoposmino
naprezanja:
τmaks = τC= r = σ1 /2
17
1. b) Jednoosno tlano naprezanje
18
A ( - σx;0)
B (0;0)
Glavna naprezanja:
σ1= 0
σ2= - σx
8/18/2019 Print 11 Naprezanja i Deformacije G
http://slidepdf.com/reader/full/print-11-naprezanja-i-deformacije-g 4/11
4
19
Maksimalno
posmino
naprezanje
τmaks= τC
20
2.a) Izotropnorastezanje
A (σx;0)
B (σy ;0)
21
2. b) Izotropnosabijanje
A ( - σx;0)
B ( - σy ;0)
22
3. a)
Smicanje0> xyτ
A (0; τxy)
B (0; τyx )
Glavna naprezanja:
σ1= τxy
σ2= - τxy
23
3. b)Smicanje
(uvijanje)
0< xyτ
A (0; -τxy)
B (0; τyx )
Glavna naprezanja:
σ1= τxy
σ2= - τxy
24
1D- Jednoosno stanje naprezanja
hb A ⋅=
N
N
8/18/2019 Print 11 Naprezanja i Deformacije G
http://slidepdf.com/reader/full/print-11-naprezanja-i-deformacije-g 5/11
5
251
0
0
σ=σ==
=⋅+−
=Σ
x
x
A
N p
A p N
F
N
26
27
Ovisnost naprezanja o presjeku
Presjek C - C
N
28ϕ
ϕ
cos
cos
A A
hb A
=
⋅=
N
29ϕσ=ϕ⋅==
=⋅+−
=Σ
coscos A
N
A
N p
A p N
F
x
x
0
0
N
30
8/18/2019 Print 11 Naprezanja i Deformacije G
http://slidepdf.com/reader/full/print-11-naprezanja-i-deformacije-g 6/11
6
31
ϕ σ σ
ϕ σ ϕ σ
2
1
2
cos
coscos
⋅=
⋅=⋅= x p
ϕ σ
τ
ϕ ϕ σ ϕ τ
2sin2
sincossin
1 ⋅=
⋅⋅=⋅= x p
32
Mohrova kružnica naprezanja
ϕ⋅σ=τ=τ
ϕ⋅σ=σ=σ
ϕ
ϕ
2sin2
1
cos
1
21
33
Sile u presjeku nosaa
Dinama sila: - glavni vektor sila
- vektor glavnog momenta
P
M
34
Sile u presjeku nosaa
Dinama sila: - glavni vektor sila
- vektor glavnog momenta
P
M
k T jT i N P z y
⋅+⋅+⋅=
35
Sile u presjeku nosaaDinama sila: - glavni vektor sila
- vektor glavnog momenta
P
M
k M j M i M M z yt
⋅+⋅+⋅=
36
Veze izmeu unutrašnjih sila i
komponenata tenzora naprezanja
8/18/2019 Print 11 Naprezanja i Deformacije G
http://slidepdf.com/reader/full/print-11-naprezanja-i-deformacije-g 7/11
7
37
Tenzor naprezanja
σττ
τστ
ττσ
=σ
z zy zx
yz y yx
xz xy x
ij
Normala ravnine presjeka podudara s osi x
Naprezanja: σx; τxy τxz 38
Normalno naprezanje
Posmino naprezanje
dAdN dA
dN x x ⋅== σ σ
dAdT dA
dT ⋅== τ τ
39
Normalno naprezanje
Uzdužna sila N
Posmino naprezanje
Poprene sile
dAdN dA
dN x x
⋅== σ σ
⋅== A A
x dAdN N σ
dAdT dA
dT ⋅== τ τ
⋅== A A
xy y y dAdT T τ
⋅== A A
xz z z dAdT T τ 40
Momenti savijanja My i Mz
⋅⋅= A
x y dA z M σ
⋅⋅−= A
x z dA y M σ
41
Moment uvijanja - torzije
( ) ⋅⋅−⋅⋅== A
xy xz xt dA zdA y M M τ τ
42
Deformacije
8/18/2019 Print 11 Naprezanja i Deformacije G
http://slidepdf.com/reader/full/print-11-naprezanja-i-deformacije-g 8/11
8
43
1. Duljinska (normalna) deformacija ε
2. Kutna (posmina) deformacija γ
3. Obujamska deformacija Θ
44
Tenzor deformacija – tenzor drugog reda
=
=
z zy zx
yz y yx
xz xy x
z zy zx
yz y yx
xz xy x
ij
ε γ γ
γ ε γ
γ γ ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
ε
2
1
2
12
1
2
12
1
2
1
32 = 9 podataka+mjerna jedinica
45
Simetrinost tenzora deformacija
• 6 podataka
xy yx xy γ ε ε 2
1==
=
z zy zx
yz y yx
xz xy x
ij
ε γ γ
γ ε γ
γ γ ε
ε
2
1
2
12
1
2
12
1
2
1
46
1. Duljinska deformacija ε
l
l
l
∆=
→0limε
47
x A B
AB AB
AB B Aε ε =
−=
→
11lim
y AC
AC AC
AC C Alim ε=
−=ε
→
11
48
• Kutna
deformacija
xy
AC A B
BAC C γ π
γ =
∠−=
→→
111AB2
lim
8/18/2019 Print 11 Naprezanja i Deformacije G
http://slidepdf.com/reader/full/print-11-naprezanja-i-deformacije-g 9/11
9
49
2. Kutna deformacija γ
ili posmina deformacija
50
Predznaci deformacija
51
Ravinsko stanje deformacija
εz= εzx = εzy = 0
52
Glavne deformacije (γ = 0)
ε1 = ?
ε2= ?
ϕ0 = 0
53 54
8/18/2019 Print 11 Naprezanja i Deformacije G
http://slidepdf.com/reader/full/print-11-naprezanja-i-deformacije-g 10/11
10
55
Mohrova kružnica deformacija
56
57
Glavne deformacije22
2,12
1
22
+
−±
+=
xy
y x y xγ
ε ε ε ε ε
y x
xy
y
xy
tgε ε
γ
ε ε
γ
ϕ −
=−
⋅=
2
2
1
2x
0
y x
xytg
ε ε ϕ
−=02
58
59
3. Obujamska deformacijarelativna promjena elementarnog obujma Θ
60
3. Obujamska deformacijarelativna promjena elementarnog obujma Θ
a
a
a x
∆=
→0limε
b
b
b y
∆=
→0limε
c
c
c z
∆=
→0limε
8/18/2019 Print 11 Naprezanja i Deformacije G
http://slidepdf.com/reader/full/print-11-naprezanja-i-deformacije-g 11/11
11
61
3. Obujamska deformacija
V
V
V
∆=Θ
→0lim
c
c
b
b
a
asr
∆+
∆+
∆≈Θ
z y xV V
V ε ε ε ++≈
∆=Θ
→0lim
Θ
62
3. Obujamska deformacija
.321 konst z y x =++=++=Θ ε ε ε ε ε ε
Top Related