Relatività Ristretta
1Prof Giovanni Ianne
1. L’invarianza della velocità della luce
4. Relatività della simultaneità
5. La contrazione delle lunghezze
6. La dilatazione dei tempi
8. Relazione fra massa, velocità ed energia
2. L’esperimento di Michelson Morley
3. Gli assiomi della teoria della relatività ristretta
7. Il paradosso dei gemelli
Relatività Ristretta
La luce è un’ onda elettromagnetica, cioè un’ onda trasversale
che si propaga anche nel vuoto.
Dalla teoria di Maxwell dell’ elettromagnetismo si deduce per
via teorica il valore numerico della velocità della luce nel vuoto,
che risulta lo stesso in tutti i sistemi di riferimento, qualunque sia
la loro velocità relativa. Quindi la velocità della luce è un’
invariante, cioè una grandezza fisica che non dipende dal
sistema di riferimento in cui è prodotta o misurata.
La teoria di Maxwell risulta in apparente disaccordo con la
meccanica Newtoniana, in particolare, con le trasformazioni di
Galileo.
L’invarianza della velocità della luce
2Prof Giovanni Ianne
Relatività Ristretta
Newton
• Un sistema di riferimento si dice inerziale se in esso sono
soddisfatte le tre leggi della dinamica di Newton.
• Secondo la meccanica classica: dato un sistema di riferimento
inerziale, sono inerziali tutti i sistemi di riferimento che si
muovono con velocità costante rispetto al sistema dato.
• Le leggi del moto sono sempre le stesse in ogni sistema di
riferimento inerziale.
• La velocità di un corpo rispetto ad un altro obbedisce alla
legge di composizione delle velocità.
• Le leggi della meccanica sono invarianti rispetto alle
trasformazioni di Galileo. 3
Relatività Ristretta
Tutte le leggi della meccanica sono invarianti rispetto alle
trasformazioni di Galileo.
x, x’
y y’
z’z
O O’
V
x
P
vt x’
Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali in moto rettilineo
uniforme l’ uno rispetto all’ altro con velocità v.
4Prof Giovanni Ianne
Relatività Ristretta
Tutte le leggi della meccanica sono invarianti rispetto alle
trasformazioni di Galileo
x, x’
y y’
z’z
O O’
V
x
P
vt x’
Consideriamo un evento
qualsiasi che accade in un
punto P le cui coordinate
spazio-temporali vengono
valutate in entrambi i
sistemi di riferimento.
Un osservatore solidale con il primo sistema di riferimento
inerziale e un secondo osservatore solidale con il secondo sistema
di riferimento inerziale, identificano entrambi lo stesso evento P.
Relatività Ristretta
Trasformazioni di Galileo
x, x’
yy’
z’z
O O’
V
x
P
vt x’
x’ = x – v t
y’ = y
z’ = z
t’ = t
Le trasformazioni di Galileo legano i valori di x, y, z, t a x’, y’, z’, t’.
Le trasformazioni di Galileo consentono di trasformare le coordinate
spazio-temporali di un evento che avviene in un sistema di riferimento
inerziale K nelle coordinate di quello stesso evento relative a un
sistema di riferimento inerziale K’, in moto rettilineo uniforme
rispetto a K.
K K’
Relatività Ristretta
L’invarianza della velocità della luce
Le leggi di Newton sono valide solamente in sistemi di
riferimento inerziali, ossia sistemi di riferimento animati da un
moto relativo rettilineo ed uniforme.
In base alla meccanica la velocità della luce cambia da un
sistema di riferimento ad un’ altro come tutte le altre velocità.
La contraddizione tra meccanica ed elettromagnetismo viene ben
sottolineata dall’ esperimento di Michelson e Morley.
7Prof Giovanni Ianne
Relatività Ristretta
A metà dell’ Ottocento gli esperimenti sull’ interferenza e la
diffrazione della luce avevano convinto i fisici della natura
ondulatoria della luce, ma non era ancora chiaro di quale onda si
trattasse.
Si pensò che la luce fosse, come tutte le altre onde, una
pertubazione che si propaga in un particolare mezzo materiale,
chiamato etere luminifero, che riempie tutto l’ Universo.
L’esperimento di Michelson Morley
8Prof Giovanni Ianne
Relatività RistrettaL’esperimento di Michelson Morley
L’esperimento si basava sulla considerazione che, se il Sole era
fermo nello spazio, e dunque costituiva il sistema di riferimento
privilegiato a riposo rispetto all’etere, la Terra avrebbe dovuto avere,
a causa del suo moto di rivoluzione, una velocità costante di 29 km/s
nell’etere; se viceversa il Sole e l’intero sistema solare erano in
moto nello spazio, la variazione della direzione del moto orbitale
della Terra avrebbe dovuto modificare la velocità apparente della
Terra rispetto al Sole, con un contributo positivo in certe stagioni
dell’anno e negativo in altre. Il risultato dell’esperimento di
Michelson e Morley fu che la velocità della Terra rispetto all’etere
era nulla in qualsiasi periodo dell’anno, confutando l’esistenza del
mezzo cosmico ipotizzato.9Prof Giovanni Ianne
Relatività RistrettaL’esperimento di Michelson Morley
Nella pratica, la realizzazione dell’esperimento consisteva nella
rilevazione di una differenza di velocità di propagazione della luce
fra due raggi luminosi perpendicolari. Infatti, secondo la legge di
composizione delle velocità, se un raggio di luce e un osservatore si
muovono nello spazio nella stessa direzione, in particolare
rispettivamente alle velocità di 300.000 km/s e 29 km/s, la luce
dovrebbe superare l’osservatore con una velocità apparente data
dalla differenza fra le due; viceversa, se l’osservatore si muove in
direzione opposta, la velocità apparente della luce dovrebbe essere
la somma delle due velocità (analogamente si può dire se il moto
relativo dell’osservatore e del raggio di luce sono perpendicolari).
10Prof Giovanni Ianne
Relatività RistrettaL’esperimento di Michelson Morley
L’esperimento di Michelson e Morley, pur utilizzando un sofisticato
strumento di misura – un interferometro – sensibile a differenze di
velocità piccolissime, non riuscì a misurare alcuna discrepanza fra le
velocità dei due raggi di luce.
L’esperimento dimostrò così l’indipendenza della velocità della luce
dalla direzione di propagazione e il risultato, interpretato come
prova dell’inesistenza dell’etere, fu una conferma del principio di
relatività galileiano ed escluse la possibilità di un sistema di
riferimento privilegiato.
11Prof Giovanni Ianne
Primo postulato: Le leggi
della fisica sono le stesse
per TUTTI gli osservatori
INERZIALI.
Secondo postulato: La velocità
della luce c nel vuoto è
costante (3 · 108 m/s) per tutti
gli osservatori INERZIALI.
Relatività RistrettaPer risolvere la contraddizione tra meccanica ed
elettromagnetismo, Einstein propose di rifondare da capo la fisica
partendo da due assiomi (o principi).
12
Relatività RistrettaConsiderazioni sui postulati di Einstein
Il primo postulato estende a tutte le leggi
della fisica il principio di relatività, che
nella formulazione di Galileo riguardava
solo la meccanica.
Il secondo postulato o principio di invarianza di c spiega il
risultato negativo dell’ esperimento di Michelson – Morley.
Il secondo postulato è coerente con il primo. Se infatti la velocità
della luce non fosse una costante universale, le equazioni di
Maxwell dell’ elettromagnetismo non potrebbero avere la stessa
forma rispetto a tutti i sistemi di riferimento inerziali.
13Prof Giovanni Ianne
Nel 1904 Lorentz modificò le trasformazioni di Galileo per
ottenere un insieme di equazioni, note oggi come trasformazioni
di Lorentz, rispetto alle quali fossero invarianti le leggi
dell’elettromagnetismo.
Relatività Ristretta
I postulati della relatività ristretta conducono alle trasformazioni
di Lorentz
Dalle trasformazioni di Lorentz si deducono:
• Una nuova legge di composizione delle velocità;
• La modificazione del concetto di simultaneità;
• La contrazione delle lunghezze;
• La dilatazione dei tempi.
14Prof Giovanni Ianne
Relatività RistrettaTrasformazioni di Lorentz
Nel limite di c tendente ad infinito si riducono alle
trasformazioni della meccanica classica.
Nuova legge di composizione delle velocità:
V V ' v
1V 'v
c2
K e K’ sono i sistemi di
riferimento inerziali.
15Prof Giovanni Ianne
Simultaneità
I due eventi sono simultanei se la luce che emettono giunge nello
stesso istante in un punto equidistante.
Relatività Ristretta
16Prof Giovanni Ianne
Relatività della simultaneità
I segnali luminosi arrivano simultaneamente per Sig. Smile ma
non per il Sig. Smith che nel frattempo si muove verso una delle
due sorgenti.
Relatività Ristretta
17Prof Giovanni Ianne
La simultaneità è relativa
Due eventi che sono simultanei rispetto a un sistema di
riferimento non lo sono rispetto a un altro sistema in moto
rispetto al primo. Ciò dipende dal fatto che ogni osservatore,
indipendentemente dal moto della sorgente luminosa, vede la
luce propagarsi nel vuoto sempre alla stessa velocità in tutte le
direzioni.
Relatività Ristretta
18Prof Giovanni Ianne
x, x’
y
z’z
O O’
V
P
Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali in moto rettilineo
uniforme l’ uno rispetto all’ altro con velocità v.Supponiamo per semplicità che gli assi x e x’ siano sovrapposti e
gli assi y-y’ e z-z’ paralleli.
∙
y’
Consideriamo un’ asta a riposo
nel sistema inerziale O’x’y’z’
disposta parallelamente all’
asse x’.
Per l’ osservatore O’ non esistono problemi
di determinazione simultanea della posizione
degli estremi dell’ asta in quanto questa è
ferma rispetto al suo sistema di riferimento.
Per l’ osservatore O l’ asta è in moto rettilineo ed uniforme con
velocità v.
Relatività ristretta - La contrazione delle lunghezze
19Prof Giovanni Ianne
Relatività Ristretta – La contrazione delle lunghezze
Contrazione delle
lunghezze
xx
'
cv
2
2
1
1
Se indichiamo la misura della lunghezza dell’ asta con Δx nel
sistema Oxyz e con Δx’ nel sistema O’x’y’z’.
La lunghezza dell’ asta misurata nel sistema di riferimento in cui
essa è in quiete si chiama lunghezza propria dell’ asta.
Partendo dalle trasformazioni di Lorentz, si può dimostrare che la
lunghezza dell’ asta Δx, in moto relativo con velocità v rispetto all’
osservatore O, risulta minore della lunghezza propria Δx’. La
relazione tra le due lunghezze è:
20
Relatività Ristretta – La contrazione delle lunghezze
Δx è la lunghezza dell’ asta (m)
per l’ osservatore che la vede in
movimento.
v è la velocità relativa dei
due osservatori (m/s).
Δx’ è la lunghezza dell’ asta (m)
per l’ osservatore che la vede in
quiete.
21Prof Giovanni Ianne
Relatività RistrettaLa dilatazione dei tempi
y
z’z
O O’
V
P∙
y’
Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali in moto
rettilineo uniforme l’ uno rispetto all’ altro con velocità di
modulo v.Supponiamo per semplicità
che gli assi x e x’ siano
sovrapposti e gli assi y-y’ e
z-z’ paralleli.
x, x’
Consideriamo un orologio in quiete nel
sistema inerziale O’x’y’z’ che valuta
la durata di un qualsiasi evento.
L’ osservatore O’ si muove di moto rettilineo uniforme rispetto
all’ osservatore O con velocità di modulo v. 22
Relatività RistrettaLa dilatazione dei tempi
y
z’z
O O’
V
P∙
y’
x, x’
L’ intervallo di tempo fra due eventi misurato da un osservatore O’
che vede gli eventi verificarsi in uno stesso punto P si chiama tempo
proprio.
Prof Giovanni Ianne 23
Dilatazione dei
tempi
tt '
cv
2
2
1
1
La dilatazione dei tempi
Relatività Ristretta
La relazione tra i due intervalli di tempo è:
24Prof Giovanni Ianne
Relatività Ristretta – La dilatazione dei tempi
Δt è l’ intervallo di tempo
(s) per chi vede gli eventi in
punti diversi.
v è la velocità relativa dei
due osservatori (m/s).
Δt’ è l’ intervallo di tempo (s)
per chi vede gli eventi in uno
stesso punto.
L’ equazione indica come il tempo misurato dall’ osservatore O’ sia
più lungo rispetto a quello misurato dall’ osservatore O.
Possiamo quindi affermare che ogni orologio in movimento rispetto
a noi marcia con un ritmo più lento, cioè per un orologio in
movimento il tempo si dilata.25Prof Giovanni Ianne
Relatività Ristretta
Paradosso dei gemelli
Contraddizione nella teoria
della Relatività Ristretta?
Situazione simmetrica
26Prof Giovanni Ianne
Relatività Ristretta
Paradosso dei gemelli
Il paradosso dei gemelli è un esperimento mentale che sembra
rivelare una contraddizione nella teoria della relatività ristretta.
L'analisi che porta a tale conclusione è però scorretta: un'analisi
corretta mostra che non vi è alcuna contraddizione.
Un esperimento mentale, o esperimento concettuale, è un
esperimento che non si intende realizzare nella pratica, ma viene
solo immaginato: i suoi risultati non vengono, quindi, misurati
sulla base di un esperimento fisico in laboratorio, ma calcolati
teoricamente applicando le leggi della fisica.
27Prof Giovanni Ianne
Paradosso dei gemelli
Relatività Ristretta
Astronave a velocità v
vicina a quella della
luce
Esempio: v = 0.8 c 1/ = 0.6
Sul sistema in movimento il tempo scorre al
60% del tempo nel sistema in quiete
28Prof Giovanni Ianne
Paradosso dei gemelli
Relatività Ristretta
Sistema in quiete: Terra. Dilatazione dei
tempi il fratello rimasto sulla Terra è più
vecchio del suo gemello
Sistema in quiete: astronave. Dilatazione
dei tempi + contrazione delle lunghezze il
fratello a bordo dell’astronave è più vecchio del
suo gemello
Paradosso? 29
Paradosso dei gemelli
Relatività Ristretta
L’astronave non è un sistema di
riferimento inerziale
Risultato finale
Il gemello sulla Terra è più vecchio di
quello sull’astronave30
Relatività Ristretta
m0: massa (Kg) per l’ osservatore
che vede il corpo in quiete.
Equivalenza tra massa
ed energia
0mm
2mcE
m: massa (kg) per l’ osservatore
che vede il corpo a velocità v.
La relazione della massa relativistica
evidenzia che m cresce con il crescere della
velocità v del corpo, per tendere a infinito
quando v tende alla velocità della luce c.
31Prof Giovanni Ianne
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