PREDISPITNE VJEZBE IZ LINEARNE ALGEBRE I GEOMETRIJE
1. Dati su vektori { } { } { }1,1,22,0,4;2,4,3 ==−= siqp rrr .
- Za triedar ( provjeriti koje je orijentacije, te razložiti vektor )sqp rrr ,, qp rr× na
komponente tog triedra.
- Izračunati rastojanje tačke ( )pA r od prave povučene tačkama ( ) ( )sCiqB rr .
- Odrediti ravan R koja sadrži pravu
−=⋅=⋅
12
:rqrp
p rr
rr
i odsjeca jednake odsječke na
koordinatnim osama Oy i Oz, te rastojanje tačke O(0,0,0) od te ravni.
2. Date su ravni R1 i R2. Na datom pravcu p odrediti barem jednu tačku M koja je jednako udaljena od datih ravni, zatim odrediti tačke A i B (na tim ravnima) i površinu trokuta . ABC∆
ℜ∈∀=−+
==−
=++=−+−
ttzyxp
yxRzyxR
,11
231:
0143:0122:
2
1
3. Dat je vektor i kriva . Odrediti { 1,1,1=ar }
( )
( ) ℜ∈∀
=
−==
= ttztytx
tl2
12
- Jednačinu cilindrične površi čija je izvodnica paralelna vektoru , a direktrisa data krivom .
ar
tl
- Odrediti prodornu krivu lR dobivene površi kroz ravan 012: =−−− zyxR
- Odrediti projekciju lxOy krive lR na xOy ravan.
4. Data je ravan 032: =−+− zyxR , vektor { }2,1,1=ar i tačke A(4,-2,2) i T(5,3,1). Odrediti:
- Simetričnu tačku A' tački A u odnosu na ravan R.
- Simetričnu pravu p' praveoj p povučenoj kroz tačku A paralelno vektoru , u odnosu na ravan R.
ar
- Zapreminu tetraedra sa tjemenom u T čija je baza trokut PAA'∆ , gdje je P tačka prodora prave p kroz ravan R.
- Jednačinu kružnog konusa sa vrhom u T čije izvodnice prolaze tačkama A i A'.
- Jednačinu krive drugog reda koja nastaje prodorom konusa kroz ravan R.
Skinuto sa www.etf.ba
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Osvojeni bodovi: ____________ UNIVERZITETA U SARAJEVU
II parcijalni pismeni ispit iz predmeta LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA
GRUPA A
Prezime i ime studenta: _____________________________
Broj indeksa: ___________ Potpis studenta: _______________
1. lijevi trijedar vektora ( cba ,, ), je:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
vektorski proizvod vektora ( v,u ) je:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
2. projekcija vektora p na vektor q je:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Formulisati i dokazati stav koji povezuje mješoviti proizvod i zapreminu paralelopipeda, oba nad trijedrom ( )⋅cba rrr ,, _________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
12.01.2007. Skinuto sa www.etf.ba
3. Kanonski (simetrični) oblik jednačine prave p:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________ Normalni oblik jednačine ravni α:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4. Izvesti uslove da prava p data jednačinom n
zzm
yyl
xx 111 −=
−=
−
leži u ravni: R: 0=+++ DCzByAx .
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________ Zadatak 1. Dati su vektori ( ) ( )0,2,11,1,3 −−== bia
rv . rr
a) Naći vektor ( ) bbabac rrvr⋅⋅−×=
r
b) Naći vektor komplanaran sa vektorima d av i br
takav da vrijedi: 1=⋅ ad rr i d 5=⋅b
rr
c) Napisati jednačinu konusne površi kojoj je vrh u koordinatnom početku, centralni ugao
2πϕ = a centralna osa paralelna vektoru d
r.
Zadatak 2. Date su: tačke A(2,1,0) i B(0,3,2), prava i prava
Odrediti:
=−+=−−+
052022
:zx
zyxp
+−=+=−=
tzty
txq
121
:
a) sredinu T duži AB i simetričnu jednačinu prave p (kanonski oblik);
b) ravan R, koja prolazi kroz tačku T i paralelna je sa pravim p i q;
c) rastojanje tačke A od prave q i ravni R;
Skinuto sa www.etf.ba
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Osvojeni bodovi: ____________ UNIVERZITETA U SARAJEVU
II parcijalni pismeni ispit iz predmeta LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA
GRUPA B
Prezime i ime studenta: _____________________________
Broj indeksa: ___________ Potpis studenta: _______________
1. desni trijedar vektora ( sqp ,, ), je:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
skalarni proizvod vektora ( ba, ) je:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
2. projekcija vektora u na vektor v je:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Formulisati i dokazati stav koji povezuje mješoviti proizvod i zapreminu tetraedra, oba nad trijedrom ( sqp ,, ) _________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
12.01.2007. Skinuto sa www.etf.ba
3. Parametarski oblik jednačine prave q:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________ Segmentni oblik jednačine ravni β:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________ 4. Izvesti uslove da ravan R 0=+++ DCzByAx sadrži pravu p datu jednačinom
nzz
myy
lxx 111 −
=−
=− .
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________ Zadatak 1. Dati su vektori ( ) ( )3,0,11,1,2 =−= viu rr .
rra) Naći vektor ( ) uvuvup rrrr⋅⋅+×=
rb) Naći vektor q komplanaran sa vektorima ur i vr takav da vrijedi: 6=⋅uq rr i 5=⋅ vq rr c) Napisati jednačinu konusne površi kojoj je vrh u koordinatnom početku, centralni ugao
2πϕ = a centralna osa paralelna vektoru qr .
Zadatak 2. Date su: tačke A(0,3,2) i B(2,1,0), prava i prava
Odrediti:
=+=−=
tztytx
p 5825
:
=+=++−
0032
:zx
zyxq
a) sredinu T duži AB i simetričnu jednačinu prave q (kanonski oblik);
b) ravan R, koja prolazi kroz tačku T i paralelna je sa pravim p i q;
c) rastojanje tačke B od prave q i ravni R;
Skinuto sa www.etf.ba
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Osvojeni bodovi: ____________ UNIVERZITETA U SARAJEVU
Popravni II parcijalni pismeni ispit iz predmeta LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA
GRUPA A
Prezime i ime studenta: _____________________________
Broj indeksa: ___________ Potpis studenta: _______________
1. Vektori ( sqp ,, ) su komplanarni ako vrijedi:
_________________________________________________________________________
2. Izvesti jednačinu ravni koja sadrži tri tačke
( ) ( ) ( )333322221111 ,,,,,,, zyxMizyxMzyxM :
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________ Napisati jednačinu dvogranog hiperboloida čija je realna osa Ox:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Zadatak 1. Data su tri uzastopna tjemena paralelograma M(1,2,0), N(-1,0,2) i P(2,1,-1).
Odrediti koordinate četvrtog tjemena Q, ugao između dijagonala i površinu paralelograma. Zatim naći rastojanje tačke O(0,0,0) od ravni paralelograma MNPQ. Zadatak 2.
Date su tačke: S(1,1,-1); A(2,-1,0) i B(-1,0,2). Odrediti:
- Simetrične jednačine prave (kanonski oblik) po: kroz tačke S i A, i ps: kroz tačke S i B
- Ugao između pravih po i ps
- Jednačinu uspravnog kružnog konusa kome je centralna osa prava po a jedna izvodnica prava ps.
02.02.2007. Skinuto sa www.etf.ba
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Osvojeni bodovi: ____________ UNIVERZITETA U SARAJEVU
02.02.2007.
Popravni II parcijalni pismeni ispit iz predmeta LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA
GRUPA B
Prezime i ime studenta: _____________________________
Broj indeksa: ___________ Potpis studenta: _______________
1. Vektori ( b,a ) su kolinearni ako vrijedi:
_________________________________________________________________________
2. Izvesti jednačinu prave koja sadrži dvije tačke ( ) ( 22221111 ,,,, zyxMizyxM ) :
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________ Napisati jednačinu jednogranog hiperboloida čija je imaginarna osa Oy:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Zadatak 1. Data su tri uzastopna tjemena paralelograma A(2,1,-1), B(-1,0,2) i C (1,2,0).
Odrediti koordinate četvrtog tjemena D, ugao između dijagonala i površinu paralelograma. Zatim naći rastojanje tačke O(0,0,0) od ravni paralelograma ABCD. Zadatak 2.
Date su tačke: S(1,-1,1); P(-1,0,-2) i Q(2,1,0). Odrediti:
- Simetrične jednačine prave (kanonski oblik) qo: kroz tačke S i P, i qs: kroz tačke S i Q
- Ugao između pravih qo i qs
- Jednačinu uspravnog kružnog konusa kome je centralna osa prava qo a jedna izvodnica prava qs.
Skinuto sa www.etf.ba
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Školska 2007/2008 UNIVERZITETA U SARAJEVU
11.01.2008.
II parcijalni pismeni ispit iz predmeta
LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA
GRUPA A
TEORETSKA PITANJA:
(i) Definirati skalarni proizvod dva vektora, projekciju jednog vektora na drugi i
uslov normalnosti dva vektora biarr
. [2p]
(ii) Uzajamni odnos dvije prave
p1: 1
1
1
1
1
1
n
zz
m
yy
l
xx −=
−=
− i p2:
2
2
2
2
2
2
n
zz
m
yy
l
xx −=
−=
−. [2p]
(iii) Napisati jednačinu dvogranog hiperboloida čija je realna osa Oy: [1p]
ZADACI
Zadatak 1.
Dati su vektori: { } { } { }0,1,3c,1,1,1b,2,1,0a =−==rrr
.
Izračunati: ( ) ( )( )abca4cba2rrrrrrr
××⋅−⋅+ , a zatim odrediti orijentaciju triedra ( )c,b,arrr
,
zapreminu tetraedra ( )c,b,arrr
i vektor Hr
visine na stranu ( )carr
, tetraedra. [5p]
Zadatak 2.
Naći jednačinu prave p koja je okomita na pravu p1, leži u ravni R i prolazi kroz presječnu tačku prave p2 i ravni R.
p1: 1
z
1
1y
2
1x
−=
+=
−
R: 04zy2x =−+−
P2: t1
2z
2
1y
1
x=
−=
−=
−[5p]
Zadatak 3.
Odrediti jednačinu konusne površi ako generatrisa prolazi kroz tjeme ( )0,1,1 −T , dok je
direktrisa kriva
=+
−+=
4
1222
yx
yxzl .
Naći prodor dobivene površi kroz ravan 0=−+ zyx .[5p]
Skinuto sa www.etf.ba
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Školska 2007/2008 UNIVERZITETA U SARAJEVU
11.01.2008.
II parcijalni pismeni ispit iz predmeta
LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA
GRUPA B
TEORETSKA PITANJA:
(i) Definirati i dati geometrijsku interpretaciju vektorskog proizvoda, te navesti uslov
kolinearnosti dva vektora biarr
. [2p]
(ii) Uzajamni odnos dvije ravni. R1: 0DzCyBxA 1111 =+++ i R2: 0DzCyBxA 2222 =+++ [2p]
(iii) Napisati jednačinu dvogranog hiperboloida čija je realna osa Oz: [1p]
ZADACI
Zadatak 1.
Dati su vektori: { } { } { }2,0,3,0,2,1,1,1,1 −=−== cbarrr
.
Izračunati: ( ) ( )( )abca4cba2rrrrrrr
××⋅−⋅+ , a zatim odrediti orijentaciju triedra ( )c,b,arrr
,
zapreminu tetraedra ( )c,b,arrr
i vektor Hr
visine na stranu ( )cbrr
, tetraedra. [5p]
Zadatak 2.
Naći jednačinu prave p koja je okomita na pravu p1, leži u ravni R i prolazi kroz presječnu tačku prave p2 i ravni R.
p1: 2
3z
0
1y
1
1x −=
−=
+
R: 02zyx2 =−−+
P2: t1
2z
2
y
1
1x=
−
+=
−=
+[5p]
Zadatak 3.
Odrediti jednačinu cilindrične površi ako je generatrisa paralelna sa vektorom { }1,1,1=ar
a direktrisa kriva
+=
++=
22
3
yxz
yxzl .
Naći prodor dobivene površi kroz ravan 05z3x =+− .[5p]
Skinuto sa www.etf.ba
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Školska 2007/2008 UNIVERZITETA U SARAJEVU
01.02.2008.
Popravni pismeni ispit iz predmeta
LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA
GRUPA A
TEORETSKA PITANJA:
I pitanje
Definisati:
• binarnu relaciju ωωωω u skupu A,
• navesti kad je ωωωω relacija ekvivalencije u A,
• provjeriti da li je (ili nije) relacija = (jednakosti) u skupu C relacija ekvivalencije.
II pitanje
Za matrice G = (gij)u,v Z=(zi)v,1 H = ( hj)u,1 :
• definisati rang matrice G,
• zapisati sistem linearnih algebarskih jednačina GZ=H, zapisujući samo prvu, drugu i zadnju jednačinu i nepoznatu u sistemu,
• iskazati Kroneker-Kapelijev stav za sistem GZ=H
III Pitanje
Odgovoriti samo na jedno pitanje:
• Definisati konusnu površ i odrediti njenu jednačinu.
• IZVESTI jednačinu rotacione površi, koja nastaje kad kriva, koja leži u koordinatnoj ravni XOY, rotira oko y-ose (obavezno nacrtati sliku).
Skinuto sa www.etf.ba
ZADACI
Zadatak 1.
Date su matrice
−
−
=
210
102
101
A i
−
−=
1
2
1
1
3
2B . Primjenom Keli-Hamiltonova
stava odrediti inverznu matricu matrice A, a zatim riješiti matričnu jednačinu:
BAX =⋅ .
Zadatak 2.
Za sistem linearnih jednačina:
x + y + z = 6, αx + 4y + z = 5, 6x + (α+2) y + 2z = 13,
odrediti:
a) za koje α∈R sistem ima jedinstveno rješenje i odrediti to rješenje,
b) za koje α∈R sistem ima beskonačno mnogo rješenja i odrediti ta rješenja,
c) za koje α∈R sistem nema rješenja.
Zadatak 3.
Zadani su vektori { } { } { }2,0,3,0,2,1,1,1,1 −=−== cbarrr
. Odrediti vektor dr
komplanaran sa vektorima biarr
ako vrijedi: 3dbi5da −=⋅=⋅rrrr
.
Zatim naći zapreminu paralelopipeda nad vektorima dic,arrr
.
Zadatak 4.
Da li se prave : (p) y = -x + 2, z = x + 1 , (q) x = z - 2, y = 2z - 1 , sijeku ili su mimoilazne ?
Odrediti tačke P∈ p , Q∈q tako da je vektor PQuuuruuuruuuruuur
zajednička normala tih pravih.
Napisati jednačinu prave (r) koja prolazi kroz tacke P,Q.
Zadatak 5.
Odrediti jednačinu kružnog konusa sa vrhom u tački ( )1,1,1T − , centralnim uglom konusa
3
2πΘ = kome je centralna osa prava p:
1
1z
2
1y
1
1x
−
−=
+=
−.
Skinuto sa www.etf.ba
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Školska 2007/2008 UNIVERZITETA U SARAJEVU
01.02.2008.
Popravni pismeni ispit iz predmeta
LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA
GRUPA B
TEORETSKA PITANJA:
I pitanje
Definisati:
• binarnu relacija σσσσ u skupu B,
• navesti kad je σσσσ relacija poretka u B,
• provjeriti da li je (ili nije) relacija < (manje) u skupu R relacija poretka.
II pitanje
Za determinantu D m-tog reda:
• definisati minor i kofaktor,
• zapisati razvoj te determinante po minorima m-te vrste, te po kofaktorima 2-ge kolone,
• iskazati Kramerovo pravilo.
III Pitanje
Odgovoriti samo na jedno pitanje:
• Definisati cilindričnu površ i odrediti njenu jednačinu.
• IZVESTI jednačinu rotacione površi, koja nastaje kad kriva, koja leži u kordinatnoj ravni YOZ, rotira oko z-ose.
Skinuto sa www.etf.ba
ZADACI
Zadatak 1.
Date su matrice 1 1 0
B 4 2 1
2 1 0
−
= − −
i 2 3
H 2 0
1 1
= −
. Primjenom Keli-Hamiltonova stava
odrediti inverznu matricu matrice B, a zatim riješiti matričnu jednačinu:
B Y H⋅ = .
Zadatak 2.
Za sistem linearnih jednačina:
x + y - z = 4, βx - 6y + 2z = -9, -4x + (β+2) y + z = -3,
odrediti:
a) za koje β∈R sistem ima jedinstveno rješenje i odrediti to rješenje,
b) za koje β∈R sistem ima beskonačno mnogo rješenja i odrediti ta rješenja,
c) za koje β∈R sistem nema rješenja.
Zadatak 3.
Zadani su vektori { } { } { }0,1,3c,1,1,1b,2,1,0a =−==rrr
. Odrediti vektor dr
komplanaran
sa vektorima biarr
ako vrijedi: 3dbi1da =⋅=⋅rrrr
, zatim naći zapreminu
paralelopipeda nad vektorima dic,arrr
.
Zadatak 4.
Da li se prave : (a) x = -z + 2, y = z + 1 , (b) x = y - 2, z = 2y - 1 , sijeku ili su mimoilazne ?
Odrediti tačke A∈ a , B∈b tako da je vektor ABuuuruuuruuuruuur
zajednička normala tih pravih.
Napisati jednačinu prave (c) koja prolazi kroz tacke A, B.
Zadatak 5.
Odrediti jednačinu kružnog konusa sa vrhom u tački ( )1,1,1T − , centralnim uglom konusa
3
πΘ = kome je centralna osa prava p:
1
1z
1
1y
2
1x −=
−
−=
+.
Skinuto sa www.etf.ba
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Školska 2007/2008 UNIVERZITET U SARAJEVU
Popravni pismeni ispit (Septembarski rok) iz predmeta LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA
II parcijalni ispit - GRUPA A
TEORETSKA PITANJA:
I. Definirati: a) skalarni proizvod dva vektora i ;
b) vektorski proizvod dva vektora i ;
c) Projekciju vektora na vektor .
II. Napisati: a) opštu jednačinu ravni b) jednačinu ravni u segmentnom obliku c) jednačinu ravni sa datom normalom , koja prolazi kroz datu tačku
d) jednačinu ravni kroz tri date tačke , , .
III. Definisati konusnu površ i odrediti njenu jednačinu..
ZADACI
1. a) Odrediti parametar λ da vektor obrazuje jednake uglove sa vektorima i ; b) Naći zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima , i ;
c) Provjeriti orijentaciju triedra (, , );
d) Naći površinu paralelograma konstruisanog nad vektorima i .
2. Kroz presjek ravni i , postaviti ravan koja je paralelna sa y – osom.
3. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku , paralelna je sa ravni i siječe pravu .
28.08.2008
Skinuto sa www.etf.ba
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Školska 2007/2008 UNIVERZITET U SARAJEVU
Popravni pismeni ispit (Septembarski rok) iz predmeta LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA
II parcijalni ispit - GRUPA B
TEORETSKA PITANJA:
I. Definirati: a) skalarni proizvod vektora i ;
b) vektorski proizvod vektora i ;
a) mješoviti proizvod vektora i .
II. Napisati: a) jednačinu prave u kanonskom obliku; b) jednačinu prave u parametarskom obliku; c) jednačinu prave paralelne vektoru , koja prolazi kroz datu tačku
; d) jednačinu prave kroz dvije date tačke , .
III. Definisati cilindričnu površ i odrediti njenu jednačinu.
ZADACI
1. a) Odrediti parametar λ da vektor obrazuje jednake uglove sa vektorima i ; b) Naći zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima , i ;
c) Provjeriti orijentaciju triedra (, , );
d) Naći površinu paralelograma konstruisanog nad vektorima i .
2. Kroz presjek ravni i , postaviti ravan koja je normalna na ravan .
3. Napisati jednačinu prave koja siječe prave
i ,
i paralelna je sa ravnima i .
28.08.2008
Skinuto sa www.etf.ba
Top Related