INTRODUCCION:
Una vez tratada en el tema anterior la concepción geométrica acerca de la forma
de la tierra, tomando como referencia un elipsoide de revolución, pasamos en este
tema a estudiar su forma desde el punto de vista físico. Para ello, se empezará
introduciendo el concepto de geoide, concepto que se encuentra íntimamente
relacionado con el estudio del campo de gravedad de la tierra, y por tanto, con la
determinación del potencial de la gravedad sobre su superficie y en su espacio
exterior.
Nos limitaremos aquí, a un estudio básico que permita definir la gravedad, el
potencial de la gravedad y el geoide. Para ello, recordaremos, en los primeros
párrafos de este tema, algunas nociones elementales sobre la teoría vectorial de
campos.
FUNCION VECTORIAL Y CAMPO VECTORIAL
Una función vectorial puntual, es una función, que a cada punto de una región del
espacio tridimensional, le asigna una dirección, sentido y magnitud. Por ejemplo,
la velocidad, en cada punto, de un volumen de fluido en movimiento, es una
función vectorial puntual.
Si ν^2(x, y, z), es una función vectorial,
correspondiente a los puntos (x, y, z) de una
región, se dice que ha sido definido un
campo vectorial para dicha región.
El valor de ν^2(x, y, z), es independiente del
sistema de referencia utilizado. Si se efectúa
un cambio de dirección en los ejes de
referencia, variaran las componentes de
ν^2(x, y, z), pero la dirección sentido y
magnitud de ν^2 permanecen invariantes en
el espacio. Así, la velocidad del fluid o es
independiente de que rotemos o no la
referencia.
3. FUNCION ESCALAR Y CAMPO ESCALAR
Una función escalar puntual es una función que a cada punto de una región del
espacio tridimensional le asigna un valor definido. Sea el caso dela temperatura en
cada punto del espacio, es una función escalar. Si definimos un sistema de
referencia x,y,z a cada punto (x,y,z) le corresponde una temperatura determinada.
Si (x,y,z) es una función escalar, correspondiente a los puntos (x,y,z) de una
región, se dice que ha sido definido un campo escalar para dicha región.
grad = ∂
∂xi +
∂
∂yj +
∂
∂zk =∇
∇= ∂
∂xi +
∂
∂yj +
∂
∂zk
El valor de (x,y,z) es independiente del sistema de referencia
utilizado. Por ejemplo, la temperatura de cada punto es independiente
de las direcciones y origen de los ejes elegidos.
La ecuación (x,y,z)=c, en la que c es una constante en el espacio tridimensional,
representa una superficie, es decir, los puntos de una región para los que una
función escalar (x,y,z) tomas un valor c, están sobre un misma superficie.
A las superficies (x,y,z)=c, a lo largo de las cuales el campo escalar es
constante, se les llama superficies de nivel o superficies equipotenciales del
campo.
4.GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR
Si la función (x,y,z) es derivable, sus tres derivadas
Interpretadas como componentes de un vector, se definen en cada
punto el vector llamado gradiente del campo escalar . Es decir:
Se suele escribir, también, ∇ , designado con la letra ∇ (nabla) el operador:
Veamos ahora la significación geométrica del vector ∇ .Sea (x,y,z) una
superficie. Tomemos dos puntos P (x,y,z) y Q (x+dx,y+ydy,z+dz) sobre una
superficie, de forma que estén en un mismo entorno. Como (x,y,z) = c es
constante, por ser una superficie, su diferencial será nula: d = 0 .
d = ∂
∂x𝑑𝑥+
∂
∂ydy+
∂
∂z𝑑𝑧=0
∂
∂xi +
∂
∂yj +
∂
∂zk 𝑦 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘
Por tanto:
De aquí se deduce que los vectores:
Son perpendiculares, ya que su producto escalar d es nulo. El vector es
precisamente = + + , por tanto
es perpendicular a
. Si ahora Q se aproxima a P, el vector , tiende a convertirse en el vector
tangente a la superficie en P, de ahí que el vector
es un vector
normal a la superficie en P. Por tanto se puede afirmar:
“El vector gradiente de un campo escalar es. En cada punto, perpendicular a
la superficie de nivel que pasa por él, he indicara la dirección de máxima
variación del campo”
5. ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL
Dado un campo vectorial V
definido por tres componentes z)y ,Z(x, z),y , Y(x,z),y ,X(x,
que son funciones uniformes y derivables:
kz)y ,Z(x, jz)y , Y(x, iz)y ,X(x, V
Se define rotacional de V
al vector resultante de realizar el producto vectorial
simbólico siguiente V
:
k) -(j) -( i) -(
ji
V V rot
y
X
x
Y
x
Z
z
X
z
Y
y
Z
ZYX
zyx
k
6. CAMPO ESCALAR POTENCIAL
Si 0V rot
significa que las derivadas cruzadas de los componentes de V
son
iguales. Se dice entonces que existe un campo escalar U llamado potencial de V
,
o que el campo V
puede deducirse, o procede, de un potencial escalar U. Dicho
de otra manera:
0V rot UdgraV Si
Udgra V :que tal U 0V rot Si
(3.1)
“La condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial proceda de
un campo escalar o función potencial, es que su rotacional sea nulo”.
Una vez determinado que un campo vectorial procede de una función potencial, se
puede hallar esta gracias a la expresión (3.1).
7.- ATRACCIÓN GRAVITATORIA DE NEWTON, POTENCIAL GRAVITATORIO
De acuerdo con la ley de gravitacion de Newton, Dos puntos con masas y
, separados una distancia , se atraen el uno a otro con una fuerza
representada por el vector :
=
‖ ‖=
Esta fuerza esta dirigida a lo largo de la linea que une ambos puntos. El factor
es la constante de gravitacion de Newton, cuyo valor es:
=
Si se conviene en hacer la masa atraida igual a la unidad, y se llama a la masa
atrayente, la fuerza ejercida por sobre la unidad de masa a una distancia
sera el vector:
=
‖ ‖= {
= = } =
Por ser siempre irrotacional, es decir, = , existirá una función escalar
potencial tal que:
=
Si =
se puede comprobar facilmente que =
.
A este campo escalar se le llama Potencial Gravitatorio debido a la particula .
Extendiendo este concepto a la masa de la tierra, y suponiendo su volumen
homogeneo, se estara hablando de Potencial Gravitatorio Terrestre.
=
8.- FUERZA CENTRIFUGA, POTENCIAL CENTRÍFUGO
La fuerza centrifuga , que actúa sobre un cuerpo de masa , moviéndose
con velocidad angular con respecto a un eje de giro situado a una distancia de
él, es:
=
Por tanto, la fuerza centrifuga que actua sobre la unidad de masa en la
superficie de la Tierra sera:
=
| |= = ( )
Donde:
| | = √ +
es la velocidad angular de la Tierra, y es la distancia al
eje de rotacion de la Tierra. Esta fuerza esta dirigida en la direccion del
vector (hacia afuera).
Por ser la fuerza irrotacional, es decir,
= , existe una funcion escalar
potencial tal que:
=
El valor de este potencial es el siguiente:
=
( + )
Ya que:
= ( )
A este campo escalar , se le llama Potencial Centrifugo Terrestre.
10. POTENCIAL Y GRAVEDAD NORMAL
Se han tomado diversas consideraciones, entre las que se ha supuesto que la
tierra es esférica y que gira sobre sí misma, se ha obtenido una expresión para el
potencial de la gravedad. En estas condiciones, se puede demostrar que las
superficies equipotenciales del campo o potencial de gravedad son elipsoides de
revoluc ón. S se ut l an valores teór cos para G, M ω, se obtendrán, valores de
la gravedad para cualquier punto, para el modelo de tierra esférica. Así, se
obtienen para las siguientes latitudes los siguientes valores teóricos de gravedad
en metros por segundo (m/s):
= 0 = 0
= 0 =
= = 0
= 0 =
= 0 = 0
Si se comparan estos
valores ɣ con los reales
observados para los
polos y el ecuador, se
aprecia una diferencia
Los valores g reales son mayores que los teóricos ɣ en el polo y menores en el
ecuador. Esta diferencia se explica por el hecho de que la tierra esta achatada en
los polos y ensanchada en el ecuador. En consecuencia. El radio polar es menor
que el que se ha tomado para la esfera y el ecuatorial mayor, con el consiguiente
efecto para la atracción gravitacional.
Aunque en principio no lo parezca, la diferencia entre estos valores reales y
teóricos, son excesivamente grandes. Esto es debido a que el modelo utilizado, el
de la esfera, es el más simple, pero un alejado de la realidad. Estas diferencias, se
reducirán si se utiliza un modelo más próximo a la realidad física de la tierra, como
es el considerarla, con la forma de un elipsoide de revolución, con la misma masa
M y velocidad ω. Pues bien, al potencial de la gravedad correspondiente a estas
condiciones, se le llama potencial normal.
Todas las superficies equipotenciales o de nivel, del campo normal así definido,
son superficies de revolución achatadas en los polos, y simétricas con respecto al
ecuador. Además, entre todas ellas se elige una superficie de referencia, aquella
que coincide con el nivel medio de los océanos la cual con cierto margen de
precisión responde a la ecuación matemática de un elipsoide de revolución. Por
esta razón, las superficies equipotenciales de campo normal se conocen
generalmente con esferoides de nivel.
Una vez obtenido el potencial normal y con él los correspondientes
esferoides de nivel, se puede estudiar la llamada fuerza de gravedad
normal que es el valor teórico de la fuerza de gravedad sobre las superficies de
los esferoides. Esta magnitud, que se define como el gradiente de potencial
normal y se representa con el símbolo ɣ, es una magnitud vectorial dirigida según
las líneas de fuerza del campo normal, es decir, perpendicular en cada punto al
esferoide de nivel que pasa por él.
En la superficie del esferoide de referencia, aquella que se adopta como figura
dinámica aproximada de la tierra, la gravedad normal se representa por ɣ0, y su
dirección, traza en cada punto, la recta normal a dicha superficie.
En el año 1929 el geodesta italiano songliana obtuvo una expresión para la fuerza
de gravedad normal tomando como referencia para el campo normal de la tierra,
un elipsoide de revolución de semiejes a y b. Así, para un punto situado sobre el
el pso de a una lat tud geodés ca φ, s endo y los valores normales de la
gravedad en el ecuador y en los polos del elipsoide, respectivamente, dio la
siguiente expresión:
√
Existe otra variante de esta expresión denominada formula de clauriaut, en la que
se introduce el parámetro de aplanamiento f del elipsoide, correspondiente al
campo normal, otros β βt , según las expresiones que se dan a continuación:
=
=
=
= +
Si se mantienen en desarrollo del denominador, los términos de igual
orden que el cuadrado del planteamiento elipsoidal, se obtiene la
expresión de Clairaut:
= ( + )
Esta última expresión es una relación teórica en la que los coeficientes ɣ0, β βt ,
son desconocidos. Para determinarlos, se realizan mediciones gravimétricas,
observando el valor real de la fuerza de la gravedad g, en una serie de puntos de
latitud conocida, regularmente distribuidos sobre la superficie de la tierra. De esta
forma, se obtienen ecuaciones con tres incógnitas por cada observación:
= ( + )
Si se realizan n observaciones, se tendrá un sistema de n ecuaciones con tres
incógnitas, que se resuelve por mínimos cuadrados. Así, se han obtenido varias
expresiones para el cálculo de los valores normales de la fuerza de la gravedad.
Como ejemplo, se muestra la formula internacional de la gravedad o formula de
cassini, que se adoptó en 1930 con carácter mundial, por el Congreso
Internacional de Geodesia celebrado en Estocolmo, y en la que basaron sus
observaciones gravimétricas la mayor parte de los países de Europa y América.
Las constantes a y f que intervienen en ella, son las correspondientes al elipsoide
Internacional:
= 0 ( + 0 00 0 00000 )
Existen otras expresiones, que dan la variación de la gravedad normal con la
altura h, en función del valor de la gravedad del esferoide de referencia. Para
el elipsoide Internacional es:
= (0 0 0 000 ) + 0 0000
11.- GEOIDE
Para introducir el concepto de geoide, se planteara la siguiente pregunta: ¿como
se obtienen los valores de las alturas sobre el nivel del mar, que se representan en
los mapas? No es muy difícil adivinar como obtenerlos en zonas próximas a las
costas, pero ¿y en zonas del interior? ¿Como sabemos, por ejemplo, que la
carretera a su paso por el puerto de Navacerrada, esta a 1860 metros de altura
sobre el nivel del mar?
En un principio, las alturas correspondientes a las zonas de interior, se
determinaban por una técnica denominada nivelación. Esta técnica, consiste en la
medida directa de las diferencias de nivel entre puntos distantes unos 100 metros.
Se comienza la nivelación el nivel del mar, y se van sumando las diferencias de
nivel, entre las distintas parejas de puntos, hasta llegar el punto deseado, ya en el
interior. El concepto es sencillo, pero mas sencillo, pero mas bien lento, pesado,
caro e incorrecto.
A principios de la década de los 60, se comenzaron a utilizar satélites artificiales
para el cálculo de estas alturas. Estaban diseñados para proporcionar posiciones
en forma de coordenadas tridimensionales, para cualquier punto sobre la
superficie de la tierra. El problema de las alturas obtenidas, es que vienen
referidas a centro de la tierra, en vez de hacerlos con respecto al nivel del mar, por
lo que su valor no es de mucha utilidad practica ¿Cómo podríamos estar
interesados en márgenes de altura que oscilan entre los 6 378 137 mts al nivel del
mar en el ecuador, y los 1 356 752 mts, al nivel del mar en los polos?
Si las alturas de los mapas estuvieran referidas al centro de la tierra, ocurría por
ejemplo, que el pico Chimborazo, en ecuador (altura en el mapa de 6272 mts) con
una altura geocéntrica de 6 384.383 mts debería se el punto ms alto de la tierra de
la tierra, ya que la cima del Everest solo tendría una altura de 6381.941 mts.
(Altura en el mapa 8848mts)
Para transformar las alturas geocéntricas a alturas sobre el nivel del mar se
deberá conocer precisamente, cual es la distancia que separa el nivel del mar, en
cada puntos del centro de la tierra ¿pero como podemos determinar estas
distancias en zonas del interior? Es entonces cuando se hace necesario introducir
el concepto geoide.
Fue el matemático alemán gauss, hace unos 200 años, quien
dándose cuenta que el nivel del mar (desafectado de perturbaciones )
representa una ininterrumpida superficie de nivel, introdujo la idea de extender
virtualmente esta superficie bajo las masas continentales. Llamo a esta superficie
GEOIDE y es una determinada superficie que debe ser conocida para transformar
las alturas geocéntricas a alturas sobre el nivel del mar. Desde la época de gauss,
las geodestas han intentado determinar esta superficie virtual cada vez con mayor
precisión.
Por tanto, podemos definir el geoide como una superficie equipotencial del campo
de gravedad de la tierra, coincidente con el nivel medio de los océanos,
prescindiendo de efectos perturbados como viento, presión, corriente, etc.,
prolongada de forma libare y virtual por el interior de las masas continentales.
¿Como se determinaba esta superficie equipotencial? Gran parte de las
características del geoide se pueden obtener de la observación de las
irregularidades que presentan las orbitas de los satélites, pero con este método se
obtienen precisiones en la determinación de alturas del orden de 10 mts. Esta
precisión no es lo suficientemente buena para resolver nuestro problema.
La forma de obtenerla con mayor precisión, es a través de diversas medidas sobre
la superficie de la tierra, y los correspondientes cálculos. El principal tipo de datos
que se necesita para efectuar estos cálculos, son observaciones de la gravead,
alturas obtenidas a través de nivelaciones, y densidad de masas obtenidas de
mapas geológicos.
Hay en ida, a raíz del lanzamiento de satélites artificiales, el campo de graveada
terrestre se estudia observando las orbitas reales de esos satélites. Para este
estudio, se utiliza el desarrollo en serie del potencial de la gravedad dado por
infinitos términos en base a los armónicos esféricos solidos, y en cuya expresión
es de la siguiente forma.
( ) =
[ ∑ (
)
∑ ∑ (
)
( + i )
] +
( i )
Si la tierra fuese una esfera perfecta los satélites describirían orbitas
elípticas en torno suyo. Conforme a las leyes de Kepler, pero lo que se
observa no es esto, ya que las ondulaciones del geoide, y del campo de
gravedad real del planeta, modifican las orbitas reales, y se definen
matemáticamente, será posible conocer las discrepancias con las
correspondientes orbitas keplerianas. De este modo el estudio de las
perturbaciones de las trayectorias permite deducir laos valores de los coeficientes
del desarrollo en serie del potencial U , lo que se realiza resolviendo por mínimos
cuadrados grandes sistemas de relaciones de observación.
Como consecuencia de los mencionado se puede obtener con una gran
aproximación la ecuación matemática del geoide W-Ws con lo cual, al
compararon el potencial normal Us , correspondiente a un determinado elipsoide,
concéntrico con el geoide y con los mismos parámetros de rotación , se puede
evaluar de forma bastante correcta la diferencia Ws-Us que se denomina potencial
perturbador T.
=
Con esa magnitud y los valores normales de la gravedad y se puede calcular por
la formula de bruns, la llamada ondulación del geoide:
=
De esta manera, es posible levantar una carta del geoide con respecto al
elipsoide, con gran precisión. El conocimiento del geoide, se ha convertido en una
necesidad para el desarrollo de todo tipo de aplicaciones dentro de la
oceanografía, hidrografía, geofísica, etc. Su principal aplicación es, sin embargo la
de resolver el problema de la altimetría. Por esta razón, cada vez más organismos,
están interesados en determinar el geoide, dentro de sus zonas de
responsabilidad, con la mayor precisión posible.
Son de destacar los modelos de geoide elaborados conjuntamente por la NASA,
la NIMA (national imagery and mapping agency) y la Ohio state University a nivel
nacional. Se trata del modelo OSU 91A y el que derivo de él, el geoide
EGM96 que se representa en la siguiente figura
En este grafico
se representa las ondulaciones sobre WGS 84 , para cada lugar de la tierra ,
distancias entre el elipsoide correspondiente el sistema WGS 84 y el geoide. Se
puede observar que estas distancias varían entre 105 y 85 metros , es decir, el
geoide se encuentra unas veces por encima del elipsoide y otras por debajo.
Según el código de colores empleados en la figura original, se puede observar que
la zona de la península ibérica, tienen el geoide por encima del elipsoide WGS84.
A nivel europeo se ha desarrollado el modelo EGG 97 (european graviemtric geoid
1997) que se ha
mejorado recientemente
con su versión GPM
3E97A. Para la
península ibérica se
desarrollo el GEOIDE
IBERICO 1995 por
M.j.sevilla sobre GRS
80, representado en la
figura. Actualmente se
trabaja en el modelo
IBERGEO 2006. Hay
que recalcar que los
modelos que
presentados y otros
muchos, han utilizado
como modelo de partida el modelo global OSU 91A para,
posteriormente refinar en los modelos locales, tanto la cantidad de
observaciones efectuadas como la precisión en los cálculos realizados.
12.- ONDULACION DEL GEOIDE
Hasta ahora se han estudiado dos formas de abordar el problema de determinara
la figura de la tierra. Una, empleando herramientas de geometría clásica para
estudiar el elipsoide de revolución, como referencia matemática a la figura de la
tierra. Otra, utilizando la física para llegar a definir una superficie lo más próxima a
la verdadera figura de la tierra, que es el geoide. La primera de ellas resuelve el
problema de la determinación de puntos sobre la superficie terrestre, pero deja de
lado el cálculo de altitudes sobre otra superficie que no sea la geométrica. Con la
introducción del concepto de geoide, se resuelve el problema de la determinación
de puntos sobre la superficie terrestre, pero deja de lado el cálculo de latitudes
sobre otra superficie que no sea la geométrica. Con la instrucción del concepto de
geoide, se resuelve el problema de la altitud, ya que se describen superficies de
nivel que son definidas a partir de las superficies geométricas o elipsoides de
referencia. la combinación de estas dos superficies de referencia nos ayuda a
abordar de forma cumple el
problema de la geodesia.
También se ha visto que la ultima
tendencia es utilizar, cuanto antes
, el sistema WGS84 . Si se emplea
un sistema de posicionamiento
GPS para situar un punto sobre la
tierra, se obtendrán tres
coordenadas latitud, longitud y
altura elipsoidal. La altura sobre el
geoide que se pueda calcular,
será tanto mas precisa cuanto
mas preciso se a el modelo de
geoide utilizado en la zona en
cuestión.
El geoide queda definido a partir de la superficie del elipsoide por una cantidad
N denominada ondulación del geoide. La altura h del punto o vértice sobre el
terreno respecto a las superficie del elipsoide se llama altura elipsoidal. La altura H
entre el vértice y el geoide se denomina altura ortometrica, y es aquella que se
representa en los mapas y que se suele utilizar como tercera coordenada en la
determinación de posiciones de vértices geodésicos.
Existen dos formas de proyectara la situación de un vértice sobre el geoide y el
elipsoide.
Proyección de pizzetti
Se proyecta primero el vértice P sobre el geoide a lo largo de la line de la
plomada (ligeramente curvada), quedando la proyección en Po, este punto se
proyecta, nuevamente sobre el elipsoide de referencia según la recta norma
elipsodica, obteniéndose así un punto Qo sobre el elipsoide.
Proyección de helmert
Es más simple, consiste en proyectar el punto P, desde la superficie física de la
tierra, directamente sobre el elipsoide de referencia, según la recta normal
elipsodica, obteniéndose así el punto Q.
La diferencia practica, entre ambas proyecciones es pequeña. La altitud elipsodica
H, es igual a H+N a la fracción de milímetro. Por tanto, en la mayoría de los casos
se puede despreciar la diferencia entre las dos proyecciones. Se establece,
entonces, la siguiente expresión que relaciona geoide y elipsoide.
= +
Además de la ondulación del geoide , existe otro parámetro que relaciona
elipsoide y geoide . se trata de la desviación que presentan sus normales en un
punto determinado. Esta diferencia recibe el nombre de desviación de la vertical y
se estudiara en el siguiente tema.
13.-FIGURA DE LA TIERRA
Como se ha ido estudiando son varios métodos que se hacen utilizado a lo largo
de la historia para determinar la forma y dimensiones de la tierra. A modo de
resumen los podemos clasificar según los procedimientos que mencionamos a
continuación.
13.1.- MÉTODO DE ARCOS
Como se estudio en el primer tema, desde tiempos inmemorables se idearon
métodos para conocer la figura de la tierra, mediante el cálculo de los perímetros y
radio de la esfera terrestre, a base de obtener medidas de arcos y ángulos por
ellos subtendidos desde el centro de la tierra. En los dos últimos siglos,
conociendo que la tierra esta achatada por los polos, se invirtieron grandes
esfuerzos en determinar la forma del elipsoide mas adecuado a la forma real de la
tierra. Para ello, y con la misma idea, se realizaron observaciones de longitudes S
de arcos entre dos latitudes conocida mediante observaciones astronómicas, de
forma que era posible conocer el ángulo correspondiente a dicho arco mediante la
diferencia de latitudes
Entre ambos. Con S y se obtuvieron valores para el radio de curvatura
correspondiente p mediante la expresión S= Si se realizan n observaciones
de arcos S y es la latitud media entre los puntos considerados, se tendrán n
parejas de datos ( ) ( ) de esta forma, es posible estableces un
sistema de ecuaciones sobredimensionados de n ecuaciones.
= ( )
En ella, los datos son el radio de curvatura y la latitud y como incógnitas se
toman los dos valores que definen el elipsoide: a y f. El sistema de ecuaciones
quedaría de la forma.
( )
( )
( )
Una vez resuelto este sistema de ecuaciones sobredimensionamiento, por el
método de los mínimos cuadrados, se obtendrán los parámetros a y f .Del
elipsoide mas adecuados a la zona en cuestión.
13.2.-METODO DE LAS ÁREAS
Consiste en utilizar los valores de la desviación de la vertical. Se trata de medir, en
diversos puntos el ángulo formado entre la vertical física y la norma al elipsoide.
Aquel elipsoide que haga mínima, la suma de los cuadrados de esas
desviaciones, será el que se adopte como más probable. Este método fue el
empleado para obtener los parámetros del elipsoide de hayford entre otros.
13.3.-METODO GRAVIMÉTRICO
Consiste en obtener los parámetros a y f del elipsoide, mediante mediciones de
gravedad que posibilitan el planeamiento de un sistema de ecuaciones
sobredimensionado, como el que se menciono en el apartado 10, pero en las que
se suprime el término correspondiente a así se deducen los valores de
con una de las formulas:
=
Se obtiene una relación entre a y f con la cual, obtiene el aplanamiento f a partir
del valor del semieje a, Que se debe calcular por otros procedimientos.
Para finalizar el tema, se muestra una sección meridiana terrestre concreta
obtenida por comparación del modelo geoide respecto a la forma del elipsoide. En
esta figura se ha exagerado convencionalmente la ondulación respecto al radio
terrestre para su mejor apreciación. Hay que señalar que esta figura puede variar
sensiblemente dependiendo de la longitud geodésica que se considere para elegir
la sección meridiana correspondiente.
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