Polinomios
Ing Viviana Rojas
Expresión algebraica
Racional
Irracional
Entera Fraccionaria
monomio
polinomio
Ing Viviana Rojas
1) 2x + 3y4
2) -4a2b – b2c
3) 6x2 - 3x + 84) -x2yz + 3y – 5
3) 6x2 - 3x + 84) -x2yz + 3y - 5
BINOMIOS (2)
TRINOMIOS (3)
POLINOMIOS (+4)
Clases: según número de términos
Ing Viviana Rojas
Grado relativo con respecto a una variable :es el mayor exponente de la variable
84653 2081);;( yzxzyxzyxP
GR(x)= GR(y)= GR(z)=
4 5 8
Grados de un polinomio
Ing Viviana Rojas
GA = 10
GA = 8
GA = 3
8x7y3 – 3x4y4 + 6xy2
GA = 10
Grado absoluto :es el mayor absoluto de los tèrminos
Grados de un polinomio
Ing Viviana Rojas
Polinomio
ordenado
homogéneoidéntico
completo
opuesto
nulo
Polinomios Especiales
Ing Viviana Rojas
Polinomio ordenado
Polinomio ordenado respecto a “x” en forma descendente
Polinomio ordenado respecto a “y” en forma ascendente
x4y3 + 2x2y5 – 3x1y8
Polinomios EspecialesORDENADO
Ing Viviana Rojas
x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5
Polinomio completo con respecto a x
x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0
Polinomios EspecialesCOMPLETO
Ing Viviana Rojas
6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2
GA = 8 GA = 8 GA = 8
Polinomios EspecialesHOMOGENEO
Polinomio homogéneo de grado 8
Ing Viviana Rojas
Si P y Q son idénticos, entonces
a = 5; b = 2; c = -8
P(x) = ax3 + bx2 + c
Q(x) = 2x2 +5x3 – 8
Polinomios EspecialesIDENTICOS
Ing Viviana Rojas
Si
P(x;y) = x4y3 + 2x2y5 – 3xy8
El polinomio opuesto de P es:
-P(x;y) = – x4y3 – 2x2y5 + 3xy8
Polinomios EspecialesOPUESTOS
Ing Viviana Rojas
a = b = c = 0
P(x) = ax3 + bx2 - c
P(x) 0
Polinomios EspecialesIDENTICAMENTE NULO
Ing Viviana Rojas
Es la combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas llamados tèrminos. Los números son coeficientes y las letras literal o variables
Expresiones Algebraicas
8 x2y5
Coeficiente
Literal
TERMINO
Ing Viviana Rojas
Valor numérico es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.
- Monomios: ,...r2 ,x2 ,x3 2
- Polinomios: 22 r2rh2 ,1x2-x3
Algunas expresiones algebraicas son igualdades:
- Identidades:
12x3)4x(3
- Ecuaciones: 27)4x(3
Expresiones Algebraicas
Ing Viviana Rojas
Expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras (parte literal) son la multiplicación y potenciación de exponente natural.
8x2y5
El grado del monomio es 2 + 5 = 7
Coeficiente
Grado respecto de la letra y
Monomios
Ing Viviana Rojas
La suma (diferencia) de monomios semejantes es otro monomio también semejante a ellos cuyo coeficiente es la suma (diferencia) de sus coeficientes.
12x2y – 2x2y + 4x2y =
(12 – 2 + 4)x2y = 14x2y
Ejemplos:
MonomiosSuma o Diferencia
Ing Viviana Rojas
El producto de monomios es otro monomio que tiene:
– como coeficiente, el producto de los coeficientes.
– como parte literal, el producto de las partes literales
x3 . x2 = x3 +2 = x5
–2xy2 . 5x2y3 . 3xz = (–2 . 5 . 3) (x . x2 . x) (y2 . y3) z = –30x4y5z
Ejemplos:
MonomiosProducto
Ing Viviana Rojas
El cociente de monomios es otro monomio que tiene:
– como coeficiente, el cociente de los coeficientes.
– como parte literal, el cociente de las partes literales
x3 / x2 = x3 -2 = x
x
(14x4) / (7x2) = (14/7). x4-2 = 2 x2
Ejemplos:
MonomiosCociente
Ing Viviana Rojas
Es una expresión que es suma o resta de monomios. Cada uno de los monomios que lo forman se llama término.
P = 8x5 – 6x4 – 3x2 + x – 2
Grado del polinomio
Término de grado 2
Polinomios
Término independienteo término de grado 0
Término principal
Ing Viviana Rojas
Agrupamos los términos del mismo grado.
P = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4
Q = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x
P + Q = x5 + 5x4 – 2x3 + 3x – 4
Ejemplo
El grado de P Q es, el mayor de los grados de P y Q
0peraciones: Suma o resta
Ing Viviana Rojas
Es otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio
2xy2 . (3x – 2y + 4) =
(2xy2 . 3x) + (2xy2 . (– 2y) + (2xy2 . 4) =
6x2 y2 – 4xy3 + 8xy2
PolinomiosProducto polinomio x monomio
Monomio Polinomio
Ing Viviana Rojas
Es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo y sumando luego los términos semejantes
–7x3 + 3x2 – 0x + 2
2x2 + 3x – 1
7x3 – 3x2 + 0x – 2– 21x4 + 9x3 – 0x2 + 6x
–14x5 + 6x4 + 0x3 + 4x2
–14x5 –15x4 +16x3 + x2 + 6x – 2
PolinomiosPolinomio x Polinomio
Polinomio
Polinomio
Ing Viviana Rojas
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
PRODUCTOS NOTABLES
Ing Viviana Rojas
Cuadrado de la suma o difrencia de dos cantidades
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2
+ b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 –
b3
Cubo de la suma o diferencia de dos cantidades
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Cubo de la suma o diferencia de dos cantidades
a 2 – b 2 = a –
b a + b
COCIENTES NOTABLES
Ing Viviana Rojas
______
a 3 + b 3 =
a + b
______
a 2 – b 2 = a
+ b a - b
______
a 2 – b 2 = a + b
______
Diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre suma y diferencia
a 2 –ab+b
2 a 2 +ab–b
2
Diferencia o suma de los cubos de dos cantidades entre suma y diferencia
Resto o residuo
x3
3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4– (3x5 + 2x4 –4x3)
6x4 + 4x3
Primer paso
– 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4
x3
6x4 +4x3Segundo paso
– (6x4+ 4x3– 8x2)
– 3x2
3x2+2x–4
x3 + 2x2+3x2+ 2x - 4Tercer paso
– x + 2
+ 2x2
– 1
División de Polinomios
Cociente
Ing Viviana Rojas
– 3x2 – 3x + 6
Coeficientes de P
2 – 6 – 4 12
a 2
2 – 6 – 4 12
2
P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)
2
4 – 4 – 16– 4
–2 –8
Sirve para dividir un polinomio por x – a.
Ej.: Dividir P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se
Regla de Ruffini
Se multiplica por a
–8 –4
Se suma
r
Se opera
Ing Viviana Rojas
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