IntroductionLogique propositionnelle
Logique des prédicatsEt au-delà ?
Logique(s)
Philippe ÉZÉQUEL
Université Jean Monnet, Saint-Étienne
Philippe ÉZÉQUEL Logique(s)
IntroductionLogique propositionnelle
Logique des prédicatsEt au-delà ?
Plan
1 Introduction
2 Logique propositionnelle
3 Logique des prédicats
4 Et au-delà ?
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Logique des prédicatsEt au-delà ?
Bibliographie sommaire
1 René CORI, Daniel LASCAR, Logique Mathématique, cours et
exercices, Masson
2 site metamath : http://us.metamath.org/index.html
3 comme d’habitude, Wikipédia, article «logique mathématique»
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Plusieurs points de vueSyntaxe : systèmes formelsSémantique : modèlesLiens entre syntaxe et sémantique
Plan
1 IntroductionPlusieurs points de vueSyntaxe : systèmes formelsSémantique : modèlesLiens entre syntaxe et sémantique
2 Logique propositionnelle
3 Logique des prédicats
4 Et au-delà ?
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Plusieurs points de vueSyntaxe : systèmes formelsSémantique : modèlesLiens entre syntaxe et sémantique
mathématique :
• historiquement le premier (Boole)
• étude des démonstrations : syntaxe
• modélisation des mathématiques : sémantique
• statut ambigu : outil d’exploration, et objet de cette étude
informatique :
• syntaxe : mécanisation du «raisonnement»
• sémantique : modélisation du monde, IA, résolution deproblèmes,. . .
• étude de la «calculabilité»
électronique :
• conception et optimisation de circuits
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Plusieurs points de vueSyntaxe : systèmes formelsSémantique : modèlesLiens entre syntaxe et sémantique
Définition
Description
• un langage L (ensemble de formules dites bien formées)
• des axiomes A ∈ L
• des règles d’inférence R : Ln −→ L
À quoi ça sert ?
Théorèmes d’un système formel :
• tout axiome est un théorème,
• si T1, . . . ,Tn théorèmes, si R est n-aire, R(T1, . . . ,Tn)théorème
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Plusieurs points de vueSyntaxe : systèmes formelsSémantique : modèlesLiens entre syntaxe et sémantique
Exemple : le système PG (D. Hofstadter)
• formules bien formées : xPyGz avec x , y et z suites de a
• axiomes : xPaGxa
• règle d’inférence : si xPyGz est un théorème, alors xPyaGzaaussi.
aaPaaaaGaaaaaa est un théorème :
aaPaGaaa −→−→−→
Question
Caractérisez les théorèmes de PG
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Plusieurs points de vueSyntaxe : systèmes formelsSémantique : modèlesLiens entre syntaxe et sémantique
Exemple : MU, un continent à explorer (D. Hofstadter)
• formules bien formées : mots écrits avec M, I et U• axiome : MI• 4 règles d’inférence :
(1) Mx −→ Mxx (2) xI −→ xIU(3) xIIIy −→ xUy (4) xUUy −→ xy
MUII est un théorème :
MI −→−→−→−→−→−→−→
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Exemple : MU, un continent à explorer
Question (à 2 e)
MU est-il un théorème ?
Question (à 4 e)
Caractérisez les théorèmes de MU
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Plusieurs points de vueSyntaxe : systèmes formelsSémantique : modèlesLiens entre syntaxe et sémantique
Exemple : le système NDP
• formules bien formées : xNDPy ou Px ou xSDy (x , y suites nonvides de a)
• axiomes : xyNDPx• 4 règles d’inférence :
1 xNDPy −→ xNDPxy
2 aaNDPx −→ xSDaa
3 xSDy et yaNDPx −→ xSDya
4 xaSDx −→ Pxa
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Exemple : le système NDP
Paaaaa est un théorème :
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• un système formel est censé «représenter» une «réalité»
• cette réalité est un modèle du système formel
• mais il n’est pas nécessairement le seul : cf théorème deLowenheim-Skolem, plus loin. . .
• en logique, donner une sémantique à une formule, c’est«calculer une valeur de vérité»
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Le Graal des logiciens
Syntaxe ≡ Sémantique
• le fond est la forme (juridisme étroit. . . )
• système formel consistant : tout théorème est «vrai»
• système formel complet : toute vérité en est un théorème
• complet et consistant : toute la vérité (complet), rien que lavérité (consistant)
• avantage d’un système complet et consistant : mécanisationdes preuves
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Badaboum !
Théorème d’incomplétude de Godel
Tout système formel
• récursivement axiomatisable ( ?),
• décrivant au moins l’arithmétique des entiers,
• consistant,
est (constructivement) incomplet.
• limitation intrinsèque des systèmes formels «suffisamment»puissants
• traduit l’échec du programme de Hilbert, mécaniser lesmathématiques
• systèmes formels emboîtés, de plus en plus expressifs• cf l’hypothèse du continu. . .
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Formules bien forméesSémantiqueSyntaxeUtilisations
Plan
1 Introduction
2 Logique propositionnelleFormules bien forméesSémantiqueSyntaxeUtilisations
3 Logique des prédicats
4 Et au-delà ?
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Présentation
• proposition : énoncé soit vrai, soit faux (inconditionnellement)
• assez faible : ne contient pas l’arithmétique
• du coup, pas sensible à l’incomplétude godelienne
• la syntaxe est la sémantique
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Langage
• une infinité de propositions, P
• des connecteurs : NON, ET, OU, IMPLIQUE,. . .
Formules• x ∈ P est une FBF
• si F est une FBF, ¬F aussi
• si F et G sont des FBF, si op ∈ {¬,∧,∨,→, . . .}, (F op G )est une FBF
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Définitions
• tables de vérité bien connues ( ?)
• interprétation d’une FBF : application P −→ {VRAI,FAUX}
• I modèle de F si I (F ) = VRAI, contre-modèle siI (F ) = FAUX
• F satisfiable si elle a un modèle, insatisfiable sinon
• F invalide si elle a un contre-modèle, valide sinon
• test de satisfiabilité de complexité exponentielle (archétype desproblèmes NP-complets, cf cours de complexité de G. Hanrot)
• F conséquence logique de G si tout modèle de G est unmodèle de F
• F ≡ G si chacune est conséquence de l’autre
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Formes normales
• littéral : proposition ou négation de proposition
• monome : conjonction de littéraux
• clause : disjonction de littéraux
• forme normale conjonctive (FNC) : conjonction de clauses
• forme normale disjonctive (FND) : disjonction de monomes
Toute formule est équivalente à une FNC (FND)
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Systèmes de connecteurs complets, minimaux
• connecteur : application {VRAI,FAUX}n −→ {VRAI,FAUX}
• système de connecteurs complet si toute formule estéquivalente à une formule ne comportant que ces connecteurs
• système complet est minimal si aucun de ses sous-ensemblespropres ne l’est
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Systèmes de connecteurs : exemples
• FNC, FND : {¬,∨,∧} complet
• {¬,∨,∧} pas minimal :
a ∨ b ≡ ¬(¬a ∧ ¬b) a ∧ b ≡ ¬(¬a ∨ ¬b)
• {¬,→} complet minimal
• {NAND} complet minimal ( {NOR} aussi !)
• {SI. . . ALORS. . . SINON . . . ,VRAI,FAUX} complet minimal,d’où le théorème de Shannon :
F ≡ (x ∧ F [x = VRAI]) ∨ (¬x ∧ F [x = FAUX])
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Le système formel S3
• langage : formules avec les connecteurs ¬ et →• axiomes :
1 P → (Q → P)2 (P → (Q → R))→ ((P → Q)→ (P → R))3 (¬Q → ¬P)→ (P → Q)
• règle d’inférence : modus ponens,
si P et P → Q, alors Q
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Une démonstration dans S3
P → P est un théorème de S3 (noté ⊢ P → P) :
1 (P → ((P → P)→ P))→ ((P → (P → P))→ (P → P))(axiome 2)
2 P → ((P → P)→ P) (axiome 1)
3 (P → (P → P))→ (P → P) (modus ponens 1 et 2)
4 P → (P → P) (axiome 1)
5 P → P (modus ponens 3 et 4)
QED !Remarque : tout se passe comme si on avait un nouvel axiome. . .
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Une autre démonstration dans S3
Un résultat bien utile
⊢ P → Q ⇐⇒ P ⊢ Q
⊢ ¬¬P → P , cad ¬¬P ⊢ P :
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Propriétés de S3
• S3 consistant : pas étonnant, puisque1 les axiomes sont valides,2 le modus ponens préserve la validité,3 d’où le résultat par récurrence (facile)
• S3 constructivement complet : preuve délicate
• complexité d’une «preuve» : exponentielle (sinon P = NP !)
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Autres systèmes formels
• Axiome unique de Meredith :
(((((A→ B)→ (C → D))→ C )→ E )→ ((E → A)→ (D → A)))
• calcul des séquents de Gentzen : déduction « naturelle »
• principe de résolution : programmation logique
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Électronique
• un connecteur logique = un circuit à base de transistors
• théorème de Shannon : forme dite ΣΠ (en fait FND)
• tableaux de Karnaugh : minimisation de la FND
• seulement jusqu’à 4 variables
• au-delà : arbres de décisions binaires (BDD)
• VHDL, compilation dans le silicium
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Résolution de problèmes
• cryptarithme SEND + MORE = MONEY
• variable S2 : « S représente le chiffre 2»
• S ne peut prendre qu’une valeur :
9∨
i=0
Si ∧∧
i 6=j
¬Si ∨ ¬Sj
• si D = 5 et E = 3 alors Y = 8 et R1 = 0 :
D5 ∧ E3 → Y8 ∧ R10
• modèle : solution du cryptarithme
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IA : systèmes experts
• base de connaissance : ensemble de clauses
• moteur d’inférences : implante le modus ponens
• question posée : théorème à démontrer
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Formules bien forméesSémantiqueSyntaxeProgrammation logique
Plan
1 Introduction
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4 Et au-delà ?
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Présentation
• prédicat : proposition qui dépend d’arguments
• prédicat : Argumentsn −→ {VRAI,FAUX}
• arguments : termes, objets du discours
• on peut quantifier les termes dans une formule
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Exemples
Tous les hommes sont mortels
∀X homme(X )→ mortel(X )
Nul n’entre ici s’il n’est géomètre
∀X ¬géomètre(X )→ ¬entre(X , ici)
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Termes
• un ensemble de variables V
• des symboles fonctionnels n-aires (si n = 0 on a uneconstante)
Termes
• toute variable est un terme
• si f est un symbole fonctionnel n-aire, T1,. . . , Tn termes, alorsf (T1, . . . ,Tn) terme
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Exemples
• antoine
• cons(4,cons(3,cons(1,nil)))
• cons(a,L)
• arbre_binaire(5,vide,vide)
• arbre_binaire(X,vide,D)
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Formules
• si p est un prédicat n-aire, si T1,. . . , Tn termes, alorsp(T1, . . . ,Tn) formule (dans ce cas un atome)
• si F formule, ¬F aussi
• si F et G sont des formules, si op ∈ {¬,∨,∧,→, . . .},(F op G ) est une formule
• si F formule, si X ∈ V, (∀X F ) et (∃X F ) formules
• on peut se limiter à un système complet de connecteurs et unquantificateur. . .
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Interprétation d’une formule
• un ensemble A
• pour chaque symbole fonctionnel n-aire f , une fonction
fA : An −→ A
• pour chaque prédicat n-aire p, une fonction
pA : An −→ {VRAI,FAUX}
• ¬F , F op G interprétées comme pour les propositions
• (∀X F ) si et seulement si, pour tout a ∈ A, F [X ← a]
• (∃X F ) si et seulement si il existe a ∈ A, F [X ← a]
• modèle (in)fini si A (in)fini.
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Exemple 1
Formules
• ∀X ∀Y parent(X ,Y )→ ancetre(X ,Y )
• ∀X ∀Y ∀Z parent(X ,Y ) ∧ ancetre(Y ,Z )→ ancetre(X ,Z )
Une interprétation
• A = {claude, camille, anne}
• parent(claude,camille), parent(camille,anne)
• que vaut la relation ancetre ?
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Exemple 2
Formules
• ∀L append(vide, L, L)
• ∀X ∀L1 ∀L2 ∀L3
append(L1, L2, L3)→ append(cons(X , L1), L2, cons(X , L3))
Programme logique
• append([],L,L).
• append([X|L1], L2, [X|L3]) :- append(L1,L2,L3).
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Systèmes formels pour les prédicats
• extensions de S3 : Tarski, metamath,. . .
• séquents de Gentzen (déduction naturelle)
• principe de résolution
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Complétude
Théorème de complétude de Gödel
Le calcul des prédicats est complet
MAIS
Théorème de Church
Le calcul des prédicats est indécidable
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Formules bien forméesSémantiqueSyntaxeProgrammation logique
Paradoxe de Skolem
Théorème de Lowenheim-Skolem
Si F admet un modèle infini, elle admet un modèle dénombrable
Les réels
• il existe un système formel du premier ordre pour les réels
• il admet (bien sûr) un modèle infini, donc un modèledénombrable
• il existe donc des modèles dénombrables de R. . .
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Formules bien forméesSémantiqueSyntaxeProgrammation logique
Résolution
• C1 ∨ C2 résolvante de C1 ∨ ℓ et C2 ∨ ¬ℓ
• notation : C1 ∨ ℓ,C2 ∨ ¬ℓ ⊢R C1 ∨ C2
Théorème de complétude et consistance
F conséquence logique de C ⇐⇒ C ∪ {¬F} ⊢⋆R �
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Formules bien forméesSémantiqueSyntaxeProgrammation logique
Règles
• clause de Horn : au plus un littéral positif
• clause de Horn définie : exactement un littéral positif
• notation : la clause
C1 ∧ · · · ∧ Ck → T
se notet :- c1...ck
• programme logique : ensemble de clauses de Horn définies
• résolution linéaire input. . .
Démonstration ! ! !
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Logiques multivaluéesLogiques modalesOrdre supérieur
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1 Introduction
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4 Et au-delà ?Logiques multivaluéesLogiques modalesOrdre supérieur
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Plusieurs valeurs de vérité ?
• nouvelles valeurs de vérité : degrés de vérité ou d’incertitude
• par exemple VRAI,FAUX,⊥ (Łukasiewicz)
• tables :
F ¬F
0 11 0⊥ ⊥
∨ 0 1 ⊥
0 0 1 ⊥
1 1 1 1⊥ ⊥ 1 ⊥
∧ 0 1 ⊥
0 0 0 01 0 1 ⊥
⊥ 0 ⊥ ⊥
• complétude, systèmes de connecteurs complets conservés. . .
• décidables dans le cas propositionnel
• . . . représentables en logique « binaire »
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Logiques multivaluéesLogiques modalesOrdre supérieur
Et une infinité de valeurs ?
• logique floue, Lotfi Zadeh, 1965
• interprétation d’une proposition : fonction continueP −→ [0, 1]
• connecteurs : opérateurs continus sur [0, 1]
• statut épistémologique incertain : cf les discussions sur lespages Wikipédia fr et en. . .
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Logiques multivaluéesLogiques modalesOrdre supérieur
Motivation
On veut pouvoir nuancer un énoncé :
Diverses nuances
• il est possible qu’il pleuve
• je sais qu’il pleut, je crois qu’il pleut
• il va pleuvoir, il a plu
• il doit pleuvoir
Diverses logiques modales
• aléthique : il est possible qu’il pleuve
• épistémique : je sais qu’il pleut, je crois qu’il pleut
• temporelle : il va pleuvoir, il a plu
• déontique : il doit pleuvoir
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Formules
• une formule de plus : si F est une formule, �F aussi
• abréviation : ¬�¬F s’écrit ♦F
• sémantique :• �F : F est nécessaire (partout ou tout le temps vraie)• ♦F : F est possible (ici et là ou parfois vraie)
• interprétation : mondes possibles (Kripke)
• axiomes spécifiques supplémentaires
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Logiques multivaluéesLogiques modalesOrdre supérieur
Exemples (logique épistémique)
• P :
• ¬P :
• �P :
• �¬P :
• ♦P :
• ♦¬P :
• ��P :
• �¬�P :
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Utilisation
• IA : logique épistémique des agents rationnels
• IA : relations temporelles dans le langage naturel
• systèmes réactifs : logique temporelle
• combinaisons de modalités
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Logiques multivaluéesLogiques modalesOrdre supérieur
Logiques d’ordre 1, 2,. . . , ω
• logique propositionnelle : ordre 0
• logique des prédicats : ordre 1• logiques d’ordre supérieur :
1 on quantifie aussi les fonctions et les prédicats ;2 les prédicats et fonctions peuvent être des arguments ;3 ordre n + 1 : des prédicats d’ordre n sont arguments.
• exemple :
∀P[
P(a) ∧ (∀z P(z) −→ P(f (z)))]
−→ (∀x P(x))
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