Příklady k přednášce8 - Geometrické místo kořenů
aneb Root Locus
Michael ŠebekAutomatické řízení 2019
10.03.2019
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro bod na RL platí (pro nějaké K>0)
= lichý násobek 180° = ∑ úhlů od nul - ∑ úhlů od pólů
Příklad:
• Bod neleží na RL
• Bod může ležet na RL
Úhel bodu na RL vzhledem k nulám a pólům
Michael Šebek 2Pr-ARI-08-2013
3j2 3v j= − +
222
r j= − +
22
j1α
2α3α4α
4β 3β2β 1β
( ) (2 1) 180KL s k∠ = + × ( ) (2 1) 180L s k∠ = + ×
( 3)( 4)( )( 1)( 2)s sL ss s+ +
=+ +
2 3v j= − +
222
r j= − +
3 4 1 2( )( 3) ( 4) ( 1) ( 2)
72 56 108 90 180
L sv v v v
β β β β∠ = + − −= ∠ + +∠ + −∠ + −∠ += + − − ≠
3 4 1 2( )( 3) ( 4) ( 1) ( 2)
35 20 145 90 180
L sr r r r
α α α α∠ = + − −= ∠ + +∠ + −∠ + −∠ += + − − =
( ) 1KL s = −1 ( ) 0KL s+ =
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro bod na RL platí (pro nějaké K > 0)= (∏ vzdáleností od pólů) / ( ∏ vzdáleností od nul)
• Nelze to použít k testu, ale když už víte, že bod leží na RL, můžete tak zjistit příslušné zesílení
Příklad
Vzdálenost bodu na RL od nul a pólů
Michael Šebek 3
( 3)( 4)( )( 1)( 2)s sL ss s+ +
=+ +
1( )KL s =1 ( ) 0KL s+ =1 ( )K L s=
1 2
3 4
1 1 2( ) 3 4
6 212 236 3 2
2 2
L Lr rKL LL s r r
+ += = = =+ +
= =
22
j
1L3L4L 2L
222
r j= − +
4− 3− 2− 1−
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pravidlo 1 (Počet větví) je celkem zřejmé: každý CL pól se pohybuje se změnou K po své větvi RL.
• Pravidlo 2 (Symetrie) je také zřejmé: Polynom s reálnými koeficienty má kořeny buď reálné anebo v komplexně sdružených dvojicích, tedy vždy rozloženy symetricky podle reálné osy. Graf RL je tvořen kořeny CL, který má reálné koeficienty. Proto je RL symetrický. A to pro každé jednotlivé K !
Příklad
Pravidla 1 a 2 pro kladný RL - Počet větví a symetrie
Michael Šebek 4
( )1( )
10L s
s s=
+
2( ) 10clp s s s K= + +0K = 0K =
25K =
50K =
50K =
1,2 5 25s K= − ± −
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Ani tohle není obtížné: Abychom zjistili, zda body Pi na reálné ose mohou ležet na RL, sečteme u každého úhly k OL nulám a pólům. Zřejmě platí:• Příspěvek úhlů od komplexně sdružené dvojice je vždy 0• Příspěvek úhlů od reálných OL nul/pólů
ležících nalevo od Pi je vždy 0• Vliv mají jen OL nuly/póly ležící napravo
od Pi : každý přispívá +/-180º• Jejich celkový příspěvek je 0º,
pokud jich je sudý počet. Naopak• jejich celkový příspěvek je lichý násobek 180º, pokud jich je lichý počet
Příklad
• RL pro
má reálné segmenty
Pravidlo 3 – Segmenty na reálné ose
Michael Šebek 5
( 3)( 4)( )( 1)( 2)s sL ss s+ +
=+ +
jω
σ1P2P3P4P
ϕ
ϕ−
180
0
4− 3− 2− 1−
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Přesněji řečeno Pravidlo 4 zní: Je-li , tak
• n větví grafu RL začíná (pro K = 0) v n konečných pólech OL a• m větví grafu RL končí (pro K = ∞) v m konečných nulách OL.• pokud má OL nuly v nekonečnu, tak n – m > 0 větví RL končí (pro K = ∞) v
nekonečnu (v těch nekonečných nulách)• pokud by OL měla póly v nekonečnu, tak m– n > 0 větví RL začíná
(pro K = 0) v nekonečnu (v těch nekonečných pólech)Důkaz• Pro K = 0, pak je CL charakteristický polynom
rovný OL charakteristickému polynomu, tedy n větví opravdu začíná v konečných OL pólech
• Při zkoumání nekonečných pólů vyjdeme z CL přenosu děleného K, což nezmění polohu nul a pólů. Protože je ,i nekonečné CL póly = nekonečné OL póly
Pravidlo 4 – Počáteční a koncové body
Michael Šebek 6
11
11
( )m m
m mn n
n
b s b sL ss a s
−−
−−
+ +=
+ +
( )0 0
lim lim 1 ( )K K
T K L KL L s→ →
= + =
( ) ( ) ( ) ( )clp s a s Kb s a s= + =
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pokračujme v důkazu pro K = ∞:• Pro body na RL (!) platí a z toho
a tedy je bod s bodem RL pro K = ∞, právě když je nulou (konečnou či nekonečnou) OL přenosu. QED
Vraťme se k minulému příkladu s přenosem• Podle pravidla 3 už víme, že RL má reálné segmenty• Teď nově víme, že 2 větve vycházejí z OL pólů -1 a -2,• blíží se k sobě po reálné ose, někde mezi -1 a -2 se
setkají, osu symetricky opustí a nějak se na ní někde mezi -3 a -4 vrátí
• pak po reálné ose pokračují od sebe a skončí v -3 a -4
• Ještě ale nevíme, kde přesně reálnou osu opustí a kde se na ni vrátí
Pravidlo 4 – Počáteční a koncové body
Michael Šebek 7
( ) 1L s K= − lim ( ) lim 1 0K K
L s K→∞ →∞
= =
4− 3− 2− 1−
( 3)( 4)( )( 1)( 2)s sL ss s+ +
=+ +
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Nejprve probereme RL tzv. asymptotického systému• začíná v bodě σ a má n-m přímkových větví
jdoucích do nekonečna
Důkaz pravidla 5 naznačíme:• z bodu RL velmi daleko od OL nul a pólů (pro velké s) vypadají všechny
konečné OL nuly a póly, jako by byly stejné a reálné • vliv každé nuly se vyruší vlivem nějakého pólu,
takže v tom bodě nakonec „leží“ n - m pólů• tedy se pro velké s Evansova rovnice zjednoduší
na Evansovu rovnici asymptotického systému• tedy pro velké K se n-m kořenů blíží větvím RL asymptotického systému
Pravidlo 5 – Chování v nekonečnu:
Michael Šebek 8
2, 1n mσ = − =
180
2, 2n mσ = − =
90+
90−
60+
60−
180
2, 3n mσ = − =
1( )( )
( ) ( )
n m
n mcl
L ss
p s s Kσσ
−
−
=−
= − +
2, 4n mσ = − =
45+
45−
135+
135−
36+
36−
108+
108−
180+
2, 5n mσ = − =
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Nyní vypočteme σ :• pro platí známý vztah• podobně pro platí
a pro• je-li , tak
a střed (součet) CL pólů se nemění s K a je vždy reálnýPříklad: 4 konečné póly, 1 kon. a 3 nekon. nuly → 3 větve RL vedou do nekon.
• průsečík asymptot
• úhly s reálnou osou
Pravidlo 5 – Chování v nekonečnu:
Michael Šebek 9
11 0 1 2( )( ) ( )n n
n ns a s a s p s p s p−−+ + + = − − − 1n ia p− = −∑
11 0 1 2( )( ) ( )m m
m ms b s b s z s z s z−−+ + + = − − − 1m ib z− = −∑
( )1 11 0 1 21 0( ) ( )( ) ( )n n m m
n nmc s s a s a K s r s r s rs b s b− −− −= + + + + = − − −+ + +
1 1 1n n n ic a Kb r− − −= + = −∑1m n< −i ir p− = −∑ ∑
( 3)( )( 1)( 2)( 4)
sL ss s s s
+=
+ + +
(0 1 2 4) ( 3) 44 1 3aσ
− − − − −= = −
−
( ) ( ) ( )(2 1) 3 0 , 1 , 5 3 23a
k k k kπθ π π π+= = = = = =
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Protože , jsou body rozpojení a spojení
• lokální maxima a lokální minima funkce
na reálné ose• Najdeme je pomocí nulových bodů derivace
• Alternativně je můžeme vypočítat řešením rovnice
• protože ale tyto rovnice obvykle bez počítače nevyřešíme, můžeme si raději rovnou Matlabem nechat vykreslit celý RL
Pravidlo 6 – Body rozpojení a spojení na reálné ose
Michael Šebek 10
1 ( )K L s= −
1( )
dKLd σσ
′ = −
1 1
1 1m n
i iz pσ σ=
− −∑ ∑
1 ( )K L σ= −
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Určení rozsahu zesílení K > 0, aby zpětnovazební systém se zápornou zpětnou vazbou byl stabilní
𝐿𝐿 𝑠𝑠 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑠𝑠 = 𝐾𝐾40
(𝑠𝑠 − 1)(𝑠𝑠 + 4)(𝑠𝑠 + 10)Přenos otevřené smyčky roznásobíme
𝐿𝐿 𝑠𝑠 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑠𝑠 = 𝐾𝐾40
𝑠𝑠3 + 13𝑠𝑠2 + 26𝑠𝑠 − 40Póly přenosu zpětnovazebního systému pro 𝐾𝐾
𝑐𝑐 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠3 + 13𝑠𝑠2 + 26𝑠𝑠 − 40 + 40𝐾𝐾 = 0
Analýza stability zpětnovazebního systému
Michael Šebek 11
Póly na mezi stability mají nulovou reálnou část. Velikost imaginární části dostaneme dosazením s = jω do předchozího vztahu. Řešení má dvě části:
Im: −ω3 + 26ω = 0 ⇒ ω1 = 0 ; ω2 = ∓ 26 … dosadíme do reálné části
Re: −13ω2 − 40 + 40𝐾𝐾 = 0 ⇒ 𝐾𝐾1 = 1; 𝐾𝐾2= ⁄13 × 26 + 40 40 = 9,45
Zpětnovazební systém je stabilní pro 𝐾𝐾 ∈ 1 ; 9,45 .
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Příklady úplného RL
Michael Šebek 12
2 2
( 1)( 2)( )( 1)( 2) (( 1) 1)
s sL ss s s s
+ −=
− + + + 6 2 4 0n m− =− = >
a-neg
a-pos (2 1) 4, 0, 1,24,3 4, 4,
2 4, 0, 13 4
,20, 2, 2,
k k
k kθ π
θ π
π π π
π π
π
π
= = ±
=
= ±
−
−
= +
= −
2 2
( 1)( 1)( 2)( )( 2) (( 1) 1)
s s sL ss s+ − −
=+ + + 4 3 1 0
n m− =− = >
a-pos
a-neg 2 , 00
(2 1) , 0k k
k k
θ π
θ ππ
= + =
== =
=Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro přenos ryzí ale ne striktně je situace s asymptotami složitější
• Vždy jsou dvě reálné asymptoty, ale mohou být i další,
• na rozdíl od kladného RL
Příklady úplného RL
Michael Šebek 13
3 2
3 2
2 1( )3 2 2
s s sL ss s s
+ + +=
+ + +
3 2
3 2
2 1( )2 2 2
s s sL ss s s
+ + +=
+ + + 3 2
3 2
2 1( )2 2
s s sL ss s s+ + +
=+ + +
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Systém pro řízení výšky hladiny má v pracovním bodě přenos
• Požadujeme nulovou regulační odchylku na skok reference v ustáleném stavu
• To splní např. regulátor s dynamikou PI
kde 𝜔𝜔𝐼𝐼 představuje „integrační“ nulu• Integrační pól přidáme k systému
• Vykreslíme RL pro tento systém Matlabem
Dynamická kompenzace PI
Michael Šebek 14
>> gi=zpk([],[0 -1 -5 -20],100)>> rlocus(gi) později použijeme>> rltool(gi)
( ) ( )( )( )100
1 5 20G s
s s s=
+ + +
( ) ( )I PP I
k kD s k ss s
ω= + = +
( ) ( )( )( )100
1 5 20G s
s s s s=
+ + +
-25 -20 -15 -10 -5 0 5-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Zobrazený RL odpovídá čistému I regulátoru,který je velmi pomalý, jak plyne z pozicedominantních pólů
• Pokud zobrazíme RL pomocí nástroje rltoolmůžeme volit preference návrhu:Na obrázku je vyznačen požadavek, žepoměrné tlumení je větší než 0.707.
• Volitelnou nulu PI regulátoru umístímeza první dva póly zprava, abychom dosáhlico nejrychlejší odezvy – co největší reálnéčásti dominantních pólů.
• Snažíme se je umístit do vertikálního proužkuzměnou pozice nuly a zesílení (trochu praxe)
• Navržený přenos kompenzátoru
Dynamická kompenzace PI
Michael Šebek 15
( ) ( )2.44 1.831.83 1.33D s ss s
= + = +
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• brzdná soustava automobilu můžeme mít přenos (z akčního zásahu na prokluz)
kde neurčitý parametr k může nabývat v závislosti na stavu vozovky a pneumatik všech možných hodnot z daného intervalu
• při návrhu ABS jsme pro nominální hodnotu k = 1 zrychlili odezvu pomocí PD regulátoru s přenosem
• výsledný ZV systém má charakteristický polynom uzavřené smyčky je
• Jeho stabilitu pro různá k můžeme zkoumat pomocí RL fiktivního systému
Jiné použití RL: návrh ABS pro auto
Michael Šebek 16
( )( )1( )
1G s
s k s=
+ +[ ]min max,k k k∈
( )( ) 0.9D s s= +1
( )( 1)s k s+ +0.9s+
( )( ) ( )
( ) ( )2
( , ) 1 0.9
2 0.9 1
p s k s k s s
s s k s
= + + + +
= + + + +
2
12 0.9s
s s+
+ +k
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• pro stabilní polynom je Hurwitzovamatice nesingulární
• jsou-li dva kořeny položeny symetricky podle imaginární osyje Hurwitzova matice také singulární
• to je při detekci meze stabilityartefakt
• nelíbí se nám to, ale poradíme si
Orlando
Michael Šebek 17
>> p=(s+1)*(s+2)*(s+3)*(s+4)p = 24 + 50s + 35s^2 + 10s^3 + s^4>> Hp=hurwitz(p)Hp =
10 50 0 01 35 24 00 10 50 00 1 35 24
>> rank(Hp)ans = 4
• je-li kořen na imaginární ose, je Hurwitzova matice singulární
>> q=s*(s+2)*(s+3)*(s+4)q = 24s + 26s^2 + 9s^3 + s^4>> Hq=hurwitz(q)Hq =
9 24 0 01 26 0 00 9 24 00 1 26 0
>> rank(Hq)ans = 3
>> r=(s+1)*(s-1)*(s+3)*(s+4)r = -12-7s+11s^2+7s^3+s^4>> Hr=hurwitz(r)Hr = 7 -7 0 0
1 11 -12 00 7 -7 00 1 11 -12
>> rank(Hr) ans = 3
Pr-ARI-08-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Model podélného pohybu letounu F4E Phantom (Ackermann, 93)• u poloha výškovky, y úhel stoupání • Stabilizujme pracovní bod módu podélných kmitů s krátkou periodou pro
rychlost Mach 0.5, výšku 5000 ft
• Hurwitzova matice a její nuly
• Rozkládají osu parametru regulátoru na 3 intervaly
• Otestujeme jeden případ v každém intervalu a dostaneme pásma stability
Příklad: F4E Phantom - zjednodušený
Michael Šebek 18
( )( )
12 3
1
351.1 367.6113.0 51.46 31.84
b s sa s s s s
− −=− + + +
( ) ( ) ( )b s a s c s a Kb=→ = +
Ha=hurwitz(a);Hb=hurwitz(b,deg(a));M=-Ha\Hb;K=1./eig(M)K = -Inf
-0.32180.1543
-0.3218 0.15432 31 K
-0.3218 0.1543NESTAB NESTABSTAB K
Pr-ARI-08-2013
Top Related