7/22/2019 Pigeon Hole
1/34
7/22/2019 Pigeon Hole
2/34
10/21/10
Pigeon Hole
Prinsip sarang merpati menyatakan bahwa
jika ada n ekor merpati terbang ke m buah
kandang dan n>m, maka pasti ada paling
sedikit satu buah kandang yang ditempati
dua merpati atau lebih.
7/22/2019 Pigeon Hole
3/34
10/21/10
Pigeon Hole
M1
M2
M3
M4
M5
M6
K1
K2
K3
K4
Merpati n=6 Kandang m=4
7/22/2019 Pigeon Hole
4/34
10/21/10
Pigeon Hole
Dalam konteks fungsi yang domain dan
kodomain berhingga, prinsip kandang
merpati dapat dinyatakan sebagai berikut:
Misalkan :
X adalah himpunan dengan n anggota
(|X|=n)
Y adalah himpunan dengan m anggota
(|Y|=m), dengan n>m
7/22/2019 Pigeon Hole
5/34
10/21/10
Pigeon Hole
Maka fungsi f:XY tidak mungkin injektif
karena pasti ada paling sedikit 2 elemen
dalam X yang mempunyai kawan sama di
Y.
Karena kesederhanaanya, pigeonhole
digunakan dalam banyak aplikasi
7/22/2019 Pigeon Hole
6/34
10/21/10
Contoh:
Contoh 1:Jika terdapat 11 pemain dalam
sebuah tim sepakbola yang menang dengan
angka 12-0, maka haruslah terdapat paling
sedikit satu pemain dalam tim yang membuatgol paling sedikit dua kali.
Contoh 2: Jika anda menghadiri 6 kuliah dalam
selang waktu Senin sampai Jumat, makaharuslah terdapat paling sedikit satu hari ketika
anda menghadiri paling sedikit dua kelas.
7/22/2019 Pigeon Hole
7/34
10/21/10
Contoh:
Contoh 3:Dalam kelompok yang terdiri dari 6orang, apakah pasti ada 2 orang atau lebihdiantaranya yang lahir pada bulan yang sama?pigeon: 6 orang
Hole: 12 bulanp
7/22/2019 Pigeon Hole
8/34
10/21/10
Jawab:
13 orang anggota kelompok diibaratkan
sebagai merpati dan 12 bulan kelahiran
sebagai sarangnya, seperti terlihat pada
gambar berikut.
x1x2x
3x4:
x12
Jan
Feb
Maret
April:
Des
Merpati n=13 Kandang m=12
7/22/2019 Pigeon Hole
9/34
10/21/10
Fungsi f:XY didefinisikan sebagai bulan
kelahiran xi . Karena |X|>|Y|, maka f tidak
mungkin injektif. Jadi ada paling sedikit 2
elemen dalam dalam x yang mempunyaikawan yang sama di Y. ini berarti minimal
ada 2 kelompok yang lahir pada bulan
yang sama.
7/22/2019 Pigeon Hole
10/34
10/21/10
Contoh:
Contoh 4: Diantara penduduk x yang
jumlahnya 2 juta orang, apakah pasti ada
paling sedikit 2 orang yang mempunyai
jumlah rambut kepala sama?
catatan : Jumlah rambut manusia tidak
lebih dari 300.000 helai
7/22/2019 Pigeon Hole
11/34
10/21/10
Contoh:
Contoh 5: Di dalam kelas dengan 60
mahasiswa, terdapat paling sedikit 12
mahasiswa akan mendapat nilai yang
sama (A, B, C, D, atau E).
Contoh 6: Di dalam kelas dengan 61
mahasiswa, paling sedikit 13 mahasiswaakan memperoleh nilai yang sama.
7/22/2019 Pigeon Hole
12/34
10/21/10
Latihan:
Jika penduduk kota Cimahi berjumlah 1,5
juta, buktikan paling sedikit terdapat 7
orang yang mempunyai inisial nama
depan dan nama belakang yang samaserta memiliki tanggal lahir yang sama.
7/22/2019 Pigeon Hole
13/34
10/21/10
Jawab:
Banyaknya kemungkin inisial nama depan dan
nama belakang serta tanggal lahir adalah
26.26.365
Dengan menggunakan prinsip sarang merpati,banyaknya orang yang mempunyai inisial nama
depan dan nama belakang yang sama serta
memiliki tanggal lahir yang sama di kota Cimahi
adalah
1500000
26 26 365= 7
7/22/2019 Pigeon Hole
14/34
10/21/10
Latihan:
Berapa banyak bilangan yang harus dipilih
dari himpunan {1,3,5,7,9,11,13,15} untuk
menjamin bahwa paling sedikit satu
pasang bilangan memiliki jumlah 16?
Gunakan prinsip sarang merpati untuk
menjelaskan jawaban Anda.
7/22/2019 Pigeon Hole
15/34
10/21/10
Jawab
Pandang empat subhimpunan yang mempartisi{1,3,5,7,9,11,13,15} berikut:
{1,15}, {3,13}, {5,11}, {7,9}
Anggota-anggota dari keempat subhimpunantersebut, bila dijumlahkan, akan tepat samadengan 16.
Jadi, jika kita memilih 5 bilangan dari{1,3,5,7,9,11,13,15}, menurut prinsip sarang
merpati, paling tidak terdapat sepasang bilanganyang merupakan anggota dari subhimpunanyang sama. Akibatnya, pasangan bilangantersebut jumlahnya sama dengan 16.
7/22/2019 Pigeon Hole
16/34
10/21/10
{1,3,5,7,9,11,13,15}
11,9,13,7,15=9+7
11,9,13,5,15=11+51,9,13,7,15=15+1
7/22/2019 Pigeon Hole
17/34
10/21/10
Jawab
memilih 5 bilangan dari {1,3,5,7,9,11,13,15}
- 1,3,5,7,9= 9+7=16
- 1,11,13,15,5=15+1,11+5=16
Kesimpulan kalau saya inginmendapatkan angka 16 maka minimalsaya harus mengabil 5 bilangan.
Jika kurang dari 5 bilangan maka jumlahdari salah satu bilangan tdk 16
Ex: 1,3,5,7
7/22/2019 Pigeon Hole
18/34
10/21/10
Misalkan ada laci yang berisi selusin kauskaki coklat dan selusin kaus kaki hitam
yang didistribusikan secara acak. Pada
saat listrik padam, berapa kaus kakiyang harus anda ambil untuk
memastikan bahwa di antaranya
terdapat sepasang kaus yang sewarna?
Latihan
7/22/2019 Pigeon Hole
19/34
10/21/10
Jawab
Terdapat dua tipe kaus kaki, jadi jika anda
memilih paling sedikit 3 kaus kaki,
haruslah terdapat paling sedikit dua kaus
kaki coklat atau paling sedikit dua kauskaki hitam .
Generalisasi Prinsip Sarang Merpati :3/2 = 2.
7/22/2019 Pigeon Hole
20/34
10/21/10
Teori Ramsey
Asumsikan bahwa di dalam suatu kelompok
yang terdiri dari 6 orang, setiap pasang
terdiri dari dua sahabat atau dua musuh.
Tunjukkan bahwa terdapat tiga orang yang
saling bersahabat atau tiga orang yang
saling bermusuhan dalam kelompok
tersebut.
7/22/2019 Pigeon Hole
21/34
10/21/10
Bilangan Ramsey R(m,n), dengan m dan n
bilangan bulat positif 2, adalah jumlahminimum orang dalam suatu pesta
sehingga terdapat m orang yang salingbersahabat atau n orang yang saling
bermusuhan, dengan mengasumsikan
setiap pasang orang di pesta tersebutadalah sahabat atau musuh.
Teori Ramsey (2)
7/22/2019 Pigeon Hole
22/34
10/21/10
Latihan
Suatu universitas memiliki 35000mahasiswa. Setiap mahasiswamengambil 4 matakuliah. Informasimenunjukkan bahwa ada 1000matakuliah yang ditawarkan dengankelas terbesar matakuliah bisa diambilmaksimal oleh 135 mahasiswa.
Mahasiswa yang mengambilmatakuliah pasti tahu ada suatumasalah. Apa itu?
7/22/2019 Pigeon Hole
23/34
10/21/10
Jawab
35000 mahasiswa mengambil 4
matakuliah
1000 matakuliah maksimal 135
mahasiswa
Pigeon = 35000x4 =140000
Hole = 1000x135 =135000
7/22/2019 Pigeon Hole
24/34
10/21/10
Latihan
Suatu pertandingan bola basket diikuti n
tim, setiap tim memperoleh minimal 1
kemenangan. Tunjukkan minimal ada 2
tim dengan jumlah kemenangan yangsama.
7/22/2019 Pigeon Hole
25/34
10/21/10
Jawab
Minimal menang 1 kali
Maksimal menang n-1 kali
Kemungkinan nilai kemenangan = n-1 (hole)
Jumlah tim= n pigeon
7/22/2019 Pigeon Hole
26/34
10/21/10
Latihan
Tunjukkan bahwa diantara n+1 bilangan,
ada 2 bilangan yang selisihnya habis
dibagi n
7/22/2019 Pigeon Hole
27/34
10/21/10
Jawab
n=6
1 25 37 45 15 11 166.1+1 6.4+1 6.6+1 6.7+3 6.2+3 6.1+4 6.2+4
Selisihnya habis dibagi n
25-7=18/6habis dibagi n
15-11=6/6 habis dibagi n
7/22/2019 Pigeon Hole
28/34
10/21/10
Jawab
Solusi
Asumsi terdapat n+1 bilangan
a1 b1.n+s1
a2
b2.n+s2a3 b3.n+s3
a4 b4.n+s4
an bn.n+sn
an+1 bn+1.n+sn+1n+1 banyaknya sisa
7/22/2019 Pigeon Hole
29/34
10/21/10
Jawab
Kemungkinan nilai sisa =n, pasti ada 2
bilangan dengan nilai sisa yang sama.
ai bi.n+si
aj bj.n+sj
ai-aj = (bi-bj)n
habis dibagi n
7/22/2019 Pigeon Hole
30/34
10/21/10
Latihan
Seorang pemain catur akan menyiapkan
diri dalam kejuaraan catur dunia, dengan
berlatih selama 77 hari. Ia memainkan
sedikitnya satu latihan sehari. Total latihanselama periode tersebut tidak lebih dari
132 latihan. Buktikan bahwa
bagaimanapun jadwal latihannya, pastiada beberapa hari berturutan ia
memainkan tepat 21 latihan.
7/22/2019 Pigeon Hole
31/34
10/21/10
Hari 77
132 latihan selama 77 hari
1
7/22/2019 Pigeon Hole
32/34
10/21/10
Latihan1. Berapa jumlah minimum mahasiswa di
dalam kelas Matematika Diskrit agarsedikitnya 6 orang memperoleh nilaiyang sama?
2. Berapa jumlah minimum kode area yangdibutuhkan agar 25 juta nomor teleponmempunyai 10-digit nomor telepon yangberbeda?
3. Tunjukkan bahwa di antara n+1 bilanganbulat positif yang tidak melebihi 2n,haruslah terdapat suatu bilangan bulatyang membagi salah satu integerlainn a.
7/22/2019 Pigeon Hole
33/34
10/21/10
PR
1. Tunjukkan bahwa di antara n+1 bilanganbulat positif yang tidak melebihi 2n,
haruslah terdapat suatu bilangan bulat
yang membagi salah satu integer lainnya.
1. Tunjukkan bahwa setiap barisan dari n2+1
bilangan real yang berbeda selalu memuat
suatu subbarisan dengan panjang n+1yang monoton naik/monoton turun.
7/22/2019 Pigeon Hole
34/34
10/21/10
PR
Tunjukkan bahwa untuk setiap bilanganbulat n terdapat kelipatan dari n yang
hanya terdiri dari digit 0 atau 1 saja.
Top Related