Physik A – VL34 (15.01.2013)Physik A VL34 (15.01.2013)
Magnetodynamik – elektromagnetische Induktiong y g
• Das Faraday’sche Induktionsgesetz
◦ Induktion in einem bewegten Leiter
◦ Induktion einem Leiterkreis/einer Spule – Lenz‘sche Regel
◦ Exkurs: Das Ohm‘sche Gesetz
◦ Wirbelströme
• Selbst- und Wechselseitige Induktion
◦ Induktivität einer Spule
◦ Der Transformator
◦ Wechselstrom
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MagnetodynamikInduktion Das Faraday‘sche InduktionsgesetzInduktion – Das Faraday‘sche Induktionsgesetz
• Bisherige Erkenntnisse:◦ Stromdurchflossene Leiter = bewegte Ladungen erzeugen Magnetfelderf g g g g f
◦ “ “ “ “ erfahren Kräfte in Magnetfeldern
• Fragen:g◦ Was passiert bei Bewegung eines Leiters (ohne Stromfluß) ?◦ Was passiert bei Änderung des Magnetfeldes oder Bewegung des Magneten?
• Experiment: Bewegter Leiter in Ladungsschaukel◦ Leiter hängt ohne Stromdurchfluss im Magnetfeld
◦ Beobachtung: Bewegung erzeugt Spannungsstoß
◦ Umkehrung des Prinzips des Elektromotors:Drehbewegung im Magnetfeld erzeugt SpannungDrehbewegung im Magnetfeld erzeugt Spannung
Induktionsspannung⇒
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MagnetodynamikInduktion Das Faraday‘sche Induktionsgesetz• Bewegte Leiterschleife im Magnetfeld
Induktion – Das Faraday‘sche Induktionsgesetz
◦ Bewegung einer Drahtschleife im Magnetfeld:Bewegung einer Drahtschleife im Magnetfeld:
- Rotation: Spannungsstoß
- senkrecht zu den Feldlinien: kein Spannungsstoß
- waagrecht / in Richtung der Feldlinien: kein Spannungsstoß
- Verformung der Schleife: Spannungsstoß
⇒ Eine Spannung tritt immer dann auf, wenn sich der magnetische Fluss durch die Schleife ändert !
◦ Kein Unterschied, ob Leiter oder Magnet bewegt werden:
Relativbewegung entscheidend !
⇒ Magnetfeld oder Fläche können sich ändern: ∫ ⋅=Φ AdBB
rr
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MagnetodynamikInduktion Das Faraday‘sche Induktionsgesetz
◦ Eine Spannung tritt auf, wenn der magnetische Fluss sich ändert
• Bewegte Leiterschleife im Magnetfeld
Induktion – Das Faraday‘sche Induktionsgesetz
Eine Spannung tritt auf, wenn der magnetische Fluss sich ändert
⇒ Magnetfeld oder Fläche können sich ändern ∫ ⋅=Φ AdBB
rr
◦ Spannungsstoß ⇒ abhängig von Änderungsgeschwindigkeit des Flusses
dU B
i d
Φ−= Faraday‘sches
dtUind Induktionsgesetz:
Die induzierte Spannung in einem geschlossenen Leiterkreis ist gleich
Ä
◦ Erweiterung: Leiterschleife → Spule im Magnetfeld
der Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen FlussesN = Zahl der
Windungen einer Spule dt
dNU B
ind
Φ⋅−=
⇒ je schneller sich das Magnetfeld ändert, desto größer wird die Spannung
p
4
MagnetodynamikInduktion Das Faraday‘sche Induktionsgesetz
• In einem geschlossenen Leiterkreis:◦ Induzierte Spannung durch Änderung des magnetischen Fluss
Induktion – Das Faraday‘sche Induktionsgesetz
p g g g⇒ Eine Spannung ruft einen Strom hervor
⇒ Ein Strom erzeugt wiederum ein Magnetfeld!
⇒ Energieerhaltung:Kräfte, die durch veränderlich Felder erzeugt werden, müssen sich kompensieren
Lenz‘sche RegelDer induzierte Strom ist stets so gerichtet, dass das vom ihm
erzeugte Magnetfeld der Ursache seiner Entstehung entgegenwirkt
⇒
5
MagnetodynamikInduktion Das Faraday‘sche Induktionsgesetz
◦ Die induzierte Spannung erzeugt einen Strom der
• Beispiel: Richtung der Kraft nach Lenz‘scher Regel bei einer Spule
Induktion – Das Faraday‘sche Induktionsgesetz
Die induzierte Spannung erzeugt einen Strom, der die Änderung des Magnetfeldes verringert- Magnet wird in eine Spule hineingeschoben:
#
→ d i d i t St h ä ht d F ld→ der induzierte Strom schwächt das Feld
- Magnet wird aus der Spule herausgezogen: → der induzierte Strom stärkt das Feld→ der induzierte Strom stärkt das Feld
⇒ Der induzierte Strom „versucht“ eine Änderung des magnetischen Flusses zu verhindern.
◦ Zusammenhang mit dem Energieerhaltungssatz: Die Energie für den Aufbau der elektrischen Felder stammt aus dem MagnetfeldDie Energie für den Aufbau der elektrischen Felder stammt aus dem Magnetfeld. Physikalische Aussage entsprechend dem Minuszeichen im Induktionsgesetz:
∫∫ΦB Bdd r
r „Sonderfall“ Spule:F /Q h i d
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∫∫ ⋅−=−=AA
Bind Ad
dtBd
dtd
U Form/Querschnitt derSpule zeitlich konstant
MagnetodynamikInduktion Das Faraday‘sche Induktionsgesetz
• Anwendung: Induktionsherd
◦ wechselndes Magnetfeld durch Wechselstrom in einer Induktionsspule
Induktion – Das Faraday‘sche Induktionsgesetz
◦ wechselndes Magnetfeld durch Wechselstrom in einer Induktionsspule
⇒ Induktion von (Wirbel-)Strömen in metallischen bzw. ferromagnetischen Materialien
⇒ elektrischer Widerstand des Materials wandelt den Stromfluss in Wärme um⇒ elekt ische Wide stand des ate ials wandelt den St omfluss in Wä me um
◦ Vorteil: Herdplatte wird nicht heiß ! Funktioniert nur bei Kontakt !
◦ Nachteil: Induktionsherd benötigt Töpfe / Pfannen aus ferromagnetischem Material
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Nachteil: Induktionsherd benötigt Töpfe / Pfannen aus ferromagnetischem Material
MagnetodynamikInduktion in einem bewegten Leiter• Bewegung eines Leiters (Länge L) in konstantem Magnetfeld erzeugt Induktionsspannung
→ Berechnung der Spannung aus Induktionsgesetz:
Induktion in einem bewegten Leiter
g p g g
dtd
U Bind
Φ−= )( AB
dtd
⋅−=
dtdAB−=
„Sonderfall“ bewegter Leiter: zeitlich konstantes Magnetfeld
dtdsBl ⋅−= slA ⋅=
mitdtdsv = vlBUind −=⇒
d h di S i d kti i d i St i d i tvlBUI ind◦ durch die Spannungsinduktion wird ein Strom induziertRR
I indind −==
◦ Strom erzeugt eine Lorentzkraft, die versucht, die Ursache (Bewegung) zu verhindern:
)( BIlF ind
rrr×= v
RBvlBIlF ind ∝−==⇒
22rr
⇒ je schneller sich ein Leiter bewegt, desto stärker wirkt die Kraft dagegen
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⇒ je schneller sich ein Leiter bewegt, desto stärker wirkt die Kraft dagegen⇒ Abbremsen der Bewegung ! → Wirbelstrombremse
MagnetodynamikExkurs: Das Ohm‘sche GesetzExkurs: Das Ohm‘sche Gesetz• durch Spannungsinduktion wird ein Strom induziert
RvlB
RUI ind
ind −==
• Wird an einen Leiter eine elektrische Spannung U angelegt, verändert sich der hindurch fließende elektrische Strom I proportional zu U.
P i li ä d S U S ä k I i d fü
G Si Oh
• Proportionalität der Spannung U zur Stromstärke I wird für die Definition des elektrischen Widerstandes R benutzt:
constUR Ohm‘sches Gesetz
• Schreibweisen des Ohm‘schen Gesetzes: RIURUI
IUR ⋅=⇔=⇔=
Georg Simon Ohm(1789-1854)
.constI
R == Ohm sches Gesetz
RI• Mit Hilfe des Ohm‘schen Gesetzes lassen
sich die drei Grundgrößen eines Strom-( h l k ) b hKreises (Schaltkreises) berechnen, wenn
mindestens zwei davon bekannt sind.
Die drei Grundgrößen sind Spannung U
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Die drei Grundgrößen sind Spannung U, Strom I und der Widerstand R.
MagnetodynamikWirbelströmeWirbelströme• durch Spannungsinduktion wird ein Strom induziert
RvlB
RUI ind
ind −==
• Statt bewegtem Leiter: ausgedehnte Materialplatte wird im Magnetfeld bewegt⇒ die Elektronen im Material bewegen sich so, dass auf sie eine Lorentzkraft wirkt,
die der Bewegung der Platte entgegenwirktdie der Bewegung der Platte entgegenwirkt⇒ Die Elektronenbewegung erzeugt bremsenden Ringströme: Wirbelströme
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MagnetodynamikWirbelströme
◦ Bremsen von rotierenden Metallrädern:
• Anwendung 1: WirbelstrombremseWirbelströme
Straßenbahn, Eisenbahn, Hometrainer, etc.
◦ Vorteile: - Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit: je schneller die Bewegung, desto größer ist die Bremswirkung
- Kraft ist proportional zum Strom ⇒ direkte elektrische/elektronische Regelung
d B i k ö li h
◦ Beispiel ICE 3
der Bremswirkung möglich- berührungsfrei und verschleißfrei
◦ Beispiel ICE 3- pneumatische Bremse kann den Zug ab 160 km/h nicht innerhalb 1000 Meter auf null abzubremsen:
Wirbelstrombremse: 300 km / h mit Haltestrecke < 1000 Meter
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- Wirbelstrombremse: 300 km / h mit Haltestrecke < 1000 Meter
MagnetodynamikWirbelströme
◦ jedes leitende Objekt erzeugt im bewegten Magnetfeld • Anwendung 2: Metalldetektoren
Wirbelströme
einen Induktionsstrom→ verborgene Objekte können gefunden werden→ Suchdetektoren, Sicherheitsdetektoren (an Flughäfen etc.)
◦ Schwingungen einer Saite einer E-Gitarre erzeugt Induktionsstrom in einer Spule
• Anwendung 3: E-Gitarre
aus: Cutnell / Johnson: Physics
◦ Das Mikrofon nimmt über Membran Schwingungen auf, die eine Spule im Magnetfeld bewegen
• Anwendung 4: Mikrofon
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⇒ Induktionsstrom: „Tauchspulenmikrofon“! Umkehrung des Lautsprecher-Prinzips !
MagnetodynamikSelbstinduktion• jeder stromführende Leiter ist von einem Magnetfeld umgeben,
dessen Fluss der Stromstärke im Leiter proportional ist
Selbstinduktion
ILB ⋅=Φ
L = Induktivität eines Leiters ⎥⎤
⎢⎡ =
Φ= (Henry)H1Vs1L BL Induktivität eines Leiters ⎥⎦⎢⎣
(Henry)H1A
1I
L
• Beispiel: Induktivität einer Zylinderspule mit N Windungen
INL BΦ⋅
=I
ABN )( ⋅⋅=
lAN 2
0μ=
→ Spule mit N Windungen → N-facher Fluss: ILN B ⋅=Φ⋅
Induktivität einer leeren Zylinderspule
⇒l
ANL2
0μ=I I ll
NIB 0μ=
leeren Zylinderspulel
• ändert sich in einer Spule die Stromstärke, ändert sich der magnetische Fluss
dtdIL
dtd B ⋅=Φ
⇒dt
dNU B
ind
Φ⋅−=,mit
S lb i d k idtdILUind ⋅−=⇒
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Selbstinduktionsspannung
MagnetodynamikSelbstinduktionSelbstinduktion
◦ Schaltkreis mit Widerstand und Spule parallel geschaltet• Experiment: Stromänderung beim Ein- und Ausschalten einer Spule
- einschalten: Strom an Spule erreicht erst nach einiger Zeit einen Maximalwert
Schaltkreis mit Widerstand und Spule parallel geschaltet
- ausschalten: Strom nimmt langsam wieder ab
◦ Bestimmung des Stroms beim Einschalten einer Spule bei Selbstinduktiong p
RIUU indges += RIIdtdL +=
RIU III 0
, =
dIdU
constIU
gesges
gesges
gesges RIU = III indges += 0==⇒dtdt
gesges
)()( IndgesIndgesges IIRIIddLRI −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=⇒
indges III +=
)()( IndgesIndgesges dt ⎠⎝{0
=
I dind RIdIL −=⋅⇔ dtRdIi d −=⇔
1
14
IndRIdt
L⇔ dtL
dII ind
ind
⇔
MagnetodynamikSelbstinduktion• Bestimmung des Stroms beim Ein- und Ausschalten einer Spule bei Selbstinduktion
Selbstinduktion
◦ Einschaltvorgang: ◦ Ausschaltvorgang:I(t)
0UR
g g
I0I(t)
L
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅= t
LRIIind exp0
g g
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⋅= t
LRIIind exp10
0Ie
LR
τ =
t t⇒ Die Spule „speichert“ Energie, da sie Anstieg und Abfall verlangsamt:
i h i di h d k i i
2
220
21
lINwmag
μ=⇒
◦ magnetische Energiedichte
0
2
21μBwmag =
◦ Induktivität
AlL
lN
lANL
02
220
μμ
=⇔=
lNIB 0μ=
0μ 0μ
lALIwmag
2
21
=⇒
⇒ Energie einer Spule: AlVW 21 LIW⇒
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⇒ Energie einer Spule: AlwVwW magmagSpule ⋅=⋅=2
LIWSpule =⇒
MagnetodynamikWechselseitige Induktion• Wechselstrom in einer Spule erzeugt ein sich änderndes Magnetfeld, dass in
einer anderen Spule in der Nähe wieder einen Wechselstrom induzieren kann:
Wechselseitige Induktion
gegenseitige Induktion
◦ Spule 2 - Fluss durch Magnetfeld der Spule 1: 122 BN ∝Φ⋅
◦ Spule 1 - Strom erzeugt Magnetfeld: 11 BI ∝
1122 IBN ∝∝Φ⋅⇒ mit BHM m ⋅=⋅=χ
χ1122 IBN ∝∝Φ⇒
122 MIN =Φ⋅⇒ 22
INM Φ⋅
=⇔
,mit BHM m0μ
χ
1221I
⇒ Neuformulierung des Faraday-Gesetzes:
dtNd
dtdNU B
ind)( 22
2,Φ
−=Φ
⋅−=dtdIMUind
12, ⋅−=⇒
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MagnetodynamikWechselseitige Induktion
• Anwendung: Transformatoren◦ ein Transformator besteht aus zwei Spulen mit den Windungszahlen N1 und N2,
di f i Ei j h i k lt i d (V tä k S d St ö )
Wechselseitige Induktion
die auf ein Eisenjoch gewickelt sind (Verstärkung von Spannungen und Strömen):gegenseitige Induktion ändert das Strom-Spannungsverhältnis
dIdtdIMUind
12, ⋅−=
dΦ
i S l kö t t d di S höh d
dtdNU B
indΦ
⋅−=
◦ zwei Spulen können genutzt werden, um die Spannung zu erhöhen oder zu erniedrigen: gegenseitige Induktion ändert Strom-Spannungsverhältnis
- der magnetische Fluss ist in beiden Spulen gleich: 22,
NN
UUind −=
11, NUind
- die Leistung bleibt in beiden Spulen ebenfalls gleich: 22,11, IUIUP indind ==
NUI
17
⇒ Transformatorgleichung: 1
2
1,
2,
2
1
NN
UU
II
ind
ind −==
MagnetodynamikRotierende Leiterschleife im Magnetfeld• Umkehrung des Elektromotor-Prinzips: ◦ Eine Spule wird mechanisch in Magnetfeld gedreht
Rotierende Leiterschleife im Magnetfeld
⇒ es wird ein Induktionsstrom erzeugt (generiert): Stromgenerator
• Fläche des Leiters im Magnetfeld ändert sich relativ zum Magnetfeld bei der Rotation
⇒ der induzierte Strom ändert sich ebenfalls: Wechselstrom
AB ⋅=Φrr
)cos(cos
0 tABABB
ωα
⋅Φ=⋅⋅=
⋅=Φ
)cos(0 tωΦ
)sin()sin( 00 tUtdU Bind ωωω ⋅=⋅Φ⋅=
Φ−=⇒
Dynamoprinzip: Werner von Siemens
)sin()sin( 00 tUtdt
Uind ωωω Φ⇒
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MagnetodynamikWechselstrom• Beispiel: Wechselstrom im Haushalt
Wechselstrom
◦ Die im Haushalt übliche Spannung ist eine Wechselspannung mit der Frequenz:
)(ind tUωπ
=2T
p g p g q
Hz 50s 5012
1- ====Tπ
ων
0
ω
◦ Leistung:
IUP ⋅=t0
ffff IU
tItUtPIUP
⋅=
⋅==
⋅=
≈≈)()()(
effeff IU
◦ Das Stromnetz liefert eine effektive Spannung von Ueff = 230 V
→ Über Gleichrichter kann ein Kondensator auf über 300 V aufgeladen werden !
⇒ Spitzenspannung: V 325V 230220 =⋅=⋅= effUU
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f fg
Zusammenfassung• Bewegungen von Ladungen und Leitern erzeugen Magnetfelder Bewegungen von Ladungen und Leitern erzeugen Magnetfelder
• Änderungen von Magnetfeld oder Fluss erzeugen bewegte Ladungen
⇒ Spannungstöße ⇒ Ströme dΦ
⇒ Faraday‘sches Induktionsgesetz
• Lenz‘sche Regel: Ein induzierter Strom ist stets so gerichet, dass das von ihm erzeugte
N = Zahl der Windungen einer Spuledt
dNU B
ind
Φ⋅−=
g g gMagnetfeld der Ursache seiner Entstehung entgegenwirkt.
• vom veränderlichem Fluss erzeugte Ströme erzeugen Kräfte )( BIlF ind
rrr×=
l d k d f d U◦ Proportionalität der Spannung U zur Stromstärke I wird für die Definition des elektrischen Widerstandes R benutzt: .const
IUR ==
Ohm‘sches Gesetz• ausgedehnte Materialplatte wird im Magnetfeld bewegt⇒ die Elektronen im Material bewegen sich, erzeugen bremsende Ringströme: Wirbelströme
• Selbstinduktion: ILB ⋅=Φ L = Induktivität eines Leiters ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ =
Φ= (Henry) H 1
AVs1
IL B
⎦⎣
SelbstinduktionsspannungdtdILUind ⋅−= Energie
einer Spule2
21 LIWSpule =
NUI W h l t / dΦ
20
◦ Transformatorgleichung: 1
2
1,
2,
2
1
NN
UU
II
ind
ind −== Wechselstrom/Dynamoprinzip: )sin(0 tU
dtdU B
ind ω⋅=Φ
−=
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