Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yangMelalui Sebuah Gundukan
Muhammad Sukron(10610067)Pembimbing:
1. Mohammad Jamhuri, M.Si2. Achmad Nashichuddiin, M.A
MatematikaFakultas Sains dan Teknologi
UIN Maulana Malik Ibrahim Malang
October 24, 2014
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 1 / 33
Latar Belakang
Figure: Sketsa Aliran Gelombang yang melaui gundukan
firman Alloh yang melatar belakangi penelitian ini adalah Q.S. Al-BaqarohAyat 164 dan Q.S Yunus Ayat 101.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 2 / 33
Rumusan Masalah
Bagaimana penurunan persamaan Boussinesq pada gelombang yangmelului sebuah gundukan?
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 3 / 33
Manfaat
1 Hasil yang diperoleh dari penelitian ini diharapkan dapat menjelaskanbagaimana penurunan persamaan persamaan Boussinesq padaperjalanan gelombang permukaan yang melalui sebuah gundukan.
2 Hasil penelitian ini diharapkan bisa menjadi landasan untuk melakukanpenelitian pada gelombang terkait.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 4 / 33
Manfaat
1 Hasil yang diperoleh dari penelitian ini diharapkan dapat menjelaskanbagaimana penurunan persamaan persamaan Boussinesq padaperjalanan gelombang permukaan yang melalui sebuah gundukan.
2 Hasil penelitian ini diharapkan bisa menjadi landasan untuk melakukanpenelitian pada gelombang terkait.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 4 / 33
Batasan Masalah
Batasan Masalah dalam penelitian ini adalah:1 Permasalahan ditinjau sebagai masalah satu dimensi.2 Fluida diasumsikan ideal.3 Fluida diasumsikan sebagai fluida tak berotasi.4 Fluida diasumsikan memiliki rapat massa yang homogen atau konstan.5 Tekanan hidrostatiknya diasumsikan sangat kecil, sehingga dapat
diabaikan.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 5 / 33
Batasan Masalah
Batasan Masalah dalam penelitian ini adalah:1 Permasalahan ditinjau sebagai masalah satu dimensi.2 Fluida diasumsikan ideal.3 Fluida diasumsikan sebagai fluida tak berotasi.4 Fluida diasumsikan memiliki rapat massa yang homogen atau konstan.5 Tekanan hidrostatiknya diasumsikan sangat kecil, sehingga dapat
diabaikan.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 5 / 33
Batasan Masalah
Batasan Masalah dalam penelitian ini adalah:1 Permasalahan ditinjau sebagai masalah satu dimensi.2 Fluida diasumsikan ideal.3 Fluida diasumsikan sebagai fluida tak berotasi.4 Fluida diasumsikan memiliki rapat massa yang homogen atau konstan.5 Tekanan hidrostatiknya diasumsikan sangat kecil, sehingga dapat
diabaikan.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 5 / 33
Batasan Masalah
Batasan Masalah dalam penelitian ini adalah:1 Permasalahan ditinjau sebagai masalah satu dimensi.2 Fluida diasumsikan ideal.3 Fluida diasumsikan sebagai fluida tak berotasi.4 Fluida diasumsikan memiliki rapat massa yang homogen atau konstan.5 Tekanan hidrostatiknya diasumsikan sangat kecil, sehingga dapat
diabaikan.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 5 / 33
Batasan Masalah
Batasan Masalah dalam penelitian ini adalah:1 Permasalahan ditinjau sebagai masalah satu dimensi.2 Fluida diasumsikan ideal.3 Fluida diasumsikan sebagai fluida tak berotasi.4 Fluida diasumsikan memiliki rapat massa yang homogen atau konstan.5 Tekanan hidrostatiknya diasumsikan sangat kecil, sehingga dapat
diabaikan.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 5 / 33
Metode Penelitian
1 Menurunkan persamaan-persamaan dasar dari hukum–hukumkesetimbangan yang terjadi pada aliran fluida.
2 Melakukan penskalaan yang bertujuan untuk menondimensionalkanvariabel-variabel yang digunakan.
3 Mengaproksimasi variabel-variabel yang digunakan.4 Menyelesaikan sistem dengan melakukan peninjauan pada tiap-tiap
orde dari deret, mulai dari orde terkecil sampai orde yang dikehendaki.5 Memberikan kesimpulan dari sistem yang diperoleh.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 6 / 33
Metode Penelitian
1 Menurunkan persamaan-persamaan dasar dari hukum–hukumkesetimbangan yang terjadi pada aliran fluida.
2 Melakukan penskalaan yang bertujuan untuk menondimensionalkanvariabel-variabel yang digunakan.
3 Mengaproksimasi variabel-variabel yang digunakan.4 Menyelesaikan sistem dengan melakukan peninjauan pada tiap-tiap
orde dari deret, mulai dari orde terkecil sampai orde yang dikehendaki.5 Memberikan kesimpulan dari sistem yang diperoleh.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 6 / 33
Metode Penelitian
1 Menurunkan persamaan-persamaan dasar dari hukum–hukumkesetimbangan yang terjadi pada aliran fluida.
2 Melakukan penskalaan yang bertujuan untuk menondimensionalkanvariabel-variabel yang digunakan.
3 Mengaproksimasi variabel-variabel yang digunakan.4 Menyelesaikan sistem dengan melakukan peninjauan pada tiap-tiap
orde dari deret, mulai dari orde terkecil sampai orde yang dikehendaki.5 Memberikan kesimpulan dari sistem yang diperoleh.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 6 / 33
Metode Penelitian
1 Menurunkan persamaan-persamaan dasar dari hukum–hukumkesetimbangan yang terjadi pada aliran fluida.
2 Melakukan penskalaan yang bertujuan untuk menondimensionalkanvariabel-variabel yang digunakan.
3 Mengaproksimasi variabel-variabel yang digunakan.4 Menyelesaikan sistem dengan melakukan peninjauan pada tiap-tiap
orde dari deret, mulai dari orde terkecil sampai orde yang dikehendaki.5 Memberikan kesimpulan dari sistem yang diperoleh.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 6 / 33
Metode Penelitian
1 Menurunkan persamaan-persamaan dasar dari hukum–hukumkesetimbangan yang terjadi pada aliran fluida.
2 Melakukan penskalaan yang bertujuan untuk menondimensionalkanvariabel-variabel yang digunakan.
3 Mengaproksimasi variabel-variabel yang digunakan.4 Menyelesaikan sistem dengan melakukan peninjauan pada tiap-tiap
orde dari deret, mulai dari orde terkecil sampai orde yang dikehendaki.5 Memberikan kesimpulan dari sistem yang diperoleh.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 6 / 33
Persamaan Dasar Pada Fluida
Persamaan Kontinuitas
∂u∂x
+∂v∂y
+∂w∂z
= 0 (1)
dimana u, v , dan w menotasikan kecepatan partikel yang bergeraksearah dengan x , y , dan z .
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 7 / 33
Persamaan momentum
∂q∂t
+ (q.∇)q = −1ρ∇P + g (2)
dimana ∇ = ( ∂∂x ,
∂∂y ,
∂∂z ) ,q = (u, v ,w), dan g = −∇gy .
Persamaan Bernoulli
∂φ
∂t+ (
12|q|2) +
1ρP + gy = f (t) (3)
Persamaan Laplace
∂2φ
∂x2 +∂2φ
∂y2 +∂2φ
∂z2 = 0 (4)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 8 / 33
Kondisi Batas I
Kondisi Batas Kinematik Pada Permukaan Fluida
∂φ
∂x− ∂η
∂t− ∂φ
∂x∂η
∂x= 0 (5)
Kondisi Batas Dinamik Pada Permukaan Fluida
∂φ
∂t+
12|∇φ|2 + gη(x , t) =
12U2
0 (6)
Kondisi Batas Kinematik Pada Dasar Fluida
∂φ
∂y= −∂h
∂x∂φ
∂x(7)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 8 / 33
Kondisi Batas II
Figure: Aliran fluida dengan hukum kesetimbangan fluida
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 9 / 33
Keteraturan Alam Semesta dalam Al-Qur’an
Firman Allah dalam Q.S Al-Qomar ayat 49:
artinya: “sesungguhnya kami menciptakan segala sesuatu sesuaidengan ukurannya”. Secara global, menurut tafsir Muyassar ayatdiatas menjelaskan bahwasanya Allah menciptakan segala sesuatu danmenentukan ukurannya sesuai dengan ketetapan, ilmu pengetahuan,dan suratan takdir-Nya. Jadi, semua yang terjadi di alam semesta inipastilah berdasarkan takdir Allah SWT (Al-Qarni, 2007).selain ayat itu Allah berfirman dalam Q.S. Al-Furqon ayat 2:
artinya: “Dan Dia telah menciptakan segala sesuatu, dan Diamenetapkan ukuran-ukurannya dengan serapi-rapinya” .
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 10 / 33
Penskalaan I
Skala digunakan untuk membandingkan keadaan nyata dengan model.
Skala-Skala yang digunakan
x =xλ
t =
√gh0
λt
y =yh0
dan φ =h0
λaU0φ
h =ha
η =η
a
dimana λmerupakan panjang gelombang dan a adalah amplitudogelombang.
Pertama dilakukan penskalaan pada persamaan (4), sehingga
µ2Φxx + Φyy = 0 (8)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 11 / 33
Penskalaan II
Kedua dilakukan penskalaan pada kondisi batas kinematik pada dasarfluida yaitu persamaan (7), sehingga
Φy = −µ2 (1 + εΦx) hx (9)
Ketiga dilakukan penskalaan pada persamaan (5) yaitu kondisi bataskinematik pada permukaan fluida, sehingga
FΦy = µ2ηt + µ2F (1 + εΦx) ηx (10)
Keempat dilakukan penskalaan pada persamaan (6), sehingga
εFΦt +12F 2(1 + 2εΦx + ε2Φ2
x +ε2
µ2 Φ2y
)+ εη = 0 (11)
dimana µ = h0λ , ε = a
h0, dan F = U0√
gh0.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 12 / 33
Ekspansi I
Ekspansi digunakan untuk menentukan nilai dari Φpada persamaanLaplace (8) dan kondisi batas kinemeatik pada dasar fluida (9).denganfungsi potensial yang dapat di ekspresikan dalam sebuah deret sebagaiberikut:
Φ = Φ0 + µ2Φ1 + µ4Φ2 + · · · (12)
selanjutnya disubstitusikan persamaan (12) ke dalam persamaan (8)dan(9), sehingga
µ2 (Φ0xx + µ2Φ1xx + µ4Φ2xx + · · ·)
+(Φ0yy + µ2Φ1yy + µ4Φ2yy + · · ·
)= 0 (13)
dan
µ2hx + µ2ε(Φ0x + µ2Φ1x + µ4Φ2x + · · ·
)hx +(
Φ0y + µ2Φ1y + µ4Φ2y + · · ·)
= 0 (14)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 13 / 33
Ekspansi IIpersamaan (13) dan (14) dapat dituliskan:
Φ0yy + µ2 (Φ0xx + Φ1yy ) + µ4 (Φ1xx + Φ2yy ) + · · · = 0 (15)
dan
Φ0y + µ2 (Φ1y + (1 + εΦ0x) hx) + µ4 (εhxΦ1x + Φ2y ) + · · · = 0 (16)
sehingga untuk orde pertama diperoleh:
Φ0yy (x , y , t) = 0 (17)
danΦ0y (x , y , t) = 0 (18)
orde µ2 diperolehΦ0xx + Φ1yy = 0 (19)
danΦ1y + hx = 0 (20)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 14 / 33
Solusi dari orde 1 I
Solusi dari orde 1, yaitu langkang pertama adalah dari persamaan (17)
Φ0yy (x , y , t) = 0ˆΦ0yy (x , y , t) dy =
ˆ0dy
Φ0y (x , y , t) = Φ0 (21)
dengan Φ0 merupakan konstanta terhadap y , sehingga dapatdituliskan sebagai Φ0 (x , t).
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 15 / 33
Solusi dari orde 1 II
dengan kondisi batas pada saat y = −1
Φ0y (x ,−1, t) = 0
sehingga jika y = −1disubstitusikan dalam persamaan (21) sehinggaberakibat Φ0 (x , t) = 0, sehingga persamaan (21) menjadi:
Φ0y (x , y , t) = 0
selanjutnya diintegralkan kembali terhadap y , sehingga
Φ0y (x , y , t) = 0ˆΦ0y (x , y , t) dy = 0
Φ0 (x , y , t) = Φ00(x , t) (22)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 16 / 33
Solusi orde µ2 I
Selanjutnya dari orde µ2 mempunyai:
Φ0xx + Φ1yy = 0
atauΦ1yy = −Φ0xx (23)
dari persamaan (22) diperoleh
Φ0xx (x , y , t) = Φ00xx (x , t)
sehingga persamaan (23) menjadi
Φ1yy (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 17 / 33
Solusi orde µ2 IIselanjutnya di integralkan maka diperoleh
Φ1yy (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)ˆΦ1yy (x , y , t) dy = −
ˆΦ00xx (x , t) dy
Φ1y (x , y , t) = −Φ00xx (x , t) y + Φ10(x , t) (24)
dengan Φ10 (x , t) merupakan konstanta pengintegralan terhadap y .dengan kondisi batas pada saat y = −1, dari persamaan (20),sehingga
Φ1y (x ,−1, t) = −hx
sehingga dari persamaan (24) diperoleh
−Φ00xx (x , t) (−1) + Φ10(x , t) = Φ1y (x ,−1, t)
Φ00xx (x , t) + Φ10(x , t) = −hx
Φ10(x , t) = −Φ00xx (x , t)− hx (25)Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 18 / 33
Solusi orde µ2 III
sehingga dari persamaan (24) dan (25), diperoleh
Φ1y (x , y , t) = −Φ00xx (x , t) y − Φ00xx (x , t)− hx (26)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 19 / 33
Solusi orde µ2 IV
Selanjutnya untuk mencari Φ1, maka di integralkan kembali terhadapy , sehingga:
ˆΦ1y (x , y , t) dy =
ˆ−Φ00xx (x , t) y − Φ00xx (x , t)−
hxdy
Φ1 (x , y , t) = −12
Φ00xx (x , t) y2 − Φ00xx (x , t) y −
hxy + Φ10(x , t)
Φ1 (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)
(12y2 + y
)−
hxy + Φ10(x , t)
Φ1 (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)
(y2 + 2y
2
)−
hxy + Φ10(x , t)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 20 / 33
Solusi orde µ2 V
sehingga
Φ1 (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)12(y2 + y + 1
)− hxy +
Φ10(x , t) +12
Φ00xx (x , t)
Φ1 (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)12(y2 + y + 1
)− hxy + F (x , t)
Φ1 (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)(y + 1)2
2− hxy + F (x , t) (27)
sehingga Φdiperoleh
Φ = Φ00(x , t) + µ2
[−Φ00xx (x , t)
(y + 1)2
2− hxy + F (x , t)
](28)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 21 / 33
proses penurunan persamaan boussinesq I
Langkah selanjutnya yaitu dari persamaan (28) diperoleh
Φx = Φ00x + µ2
[−Φ00xxx
(y + 1)2
2− hxx + Fx
]⇔ Φx (x , 0, t) = Φ00x + µ2 [−Φ00xxx − hxx + Fx ]
Φy = µ2 [−Φ00xx (y + 1)− hx ]
⇔ Φy (x , 0, t) = µ2 [−Φ00xx − hx ]
Φt = Φ00t + µ2
[−Φ00xxt
(y + 1)2
2+ Ft
]⇔ Φt (x , 0, t) = Φ00t + µ2 [−Φ00xxt + Ft ]
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 22 / 33
proses penurunan persamaan boussinesq II
Selanjutnya disubstitusikan ke dalam kondisi batas permukaan fluidayaitu persamaan (10) dan (11). maka persamaan (10) menjadi
F [−Φ00xx − hx ] = ηt + F (1 + ε [Φ00x ]) ηx
F(εµ2 [−Φ00xxx − hxx + Fx ]
)ηx
dengan ε = µ2 maka persamaan diatas menjadi
F [−Φ00xx − hx ] = ηt + F (1 + εΦ00x) ηx
F(ε2 [−Φ00xxx − hxx + Fx ]
)ηx
jika persamaan diatas di ambil samapi orde ε sehingga diperoleh
F [−Φ00xx − hx ] = ηt + F (1 + εΦ00x) ηx
ηt + Fηx + εFΦ00xηx + FΦ00xx + Fhx = 0 (29)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 23 / 33
proses penurunan persamaan boussinesq III
selanjutnya persamaan (11) menjadi
εF(Φ00t + µ2 [−Φ00xxt + Ft ]
)+
12F 2 +
12F 2 (2ε (Φ00x + µ2 [−Φ00xxx − hxx + Fx ]
))+
12F 2(ε2(Φ00x + µ2 [−Φ00xxx − hxx + Fx ]
)2)+
12F 2(ε2
µ2
(µ2 [−Φ00xx − hx ]
)2)+ εη = 0
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 24 / 33
proses penurunan persamaan boussinesq IV
dengan asumsi ε = µ2 maka persamaan diatas menjadi
εF (Φ00t + ε [−Φ00xxt + Ft ]) +12F 2 +
12F 2 (2ε (Φ00x + ε [−Φ00xxx − hxx + Fx ])) +
12F 2(ε2 (Φ00x + ε [−Φ00xxx − hxx + Fx ])2
)+
12F 2(ε2
ε(ε [−Φ00xx − hx ])2
)+ εη = 0
selanjutnya persamaan diatas diambil sampai dengan orde ε, sehinggadiperoleh
εFΦ00t +12F 2 + εF 2Φ00x + εη = 0
atauε(FΦ00t + F 2Φ00x + η
)+
12F 2 = 0 (30)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 25 / 33
proses penurunan persamaan boussinesq Vselanjutnya, dengan di definisikan bahwa kecepatan rata-rata (averagevelocity) adalah
u =1
εη + 1 + εh
εηˆ
−(1+εh)
φxdy ≈ 1ε
+ Φ00x (31)
sehingga dari persamaan (31) diperoleh
Φ00xx = ux
sehingga persamaan (29) menjadi
ηt + Fηx + εFΦ00xηx + FΦ00xx + Fhx = 0
ηt + Fηx + εF(
u − 1ε
)ηx + Fux + Fhx = 0
ηt + Fηx + εFuηx − Fηx + Fux + Fhx = 0ηt + εFuηx + Fux + Fhx = 0 (32)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 26 / 33
proses penurunan persamaan boussinesq VI
selanjutnya persamaan (30)
ε (FΦ00t + εFΦ00x + η) +12F 2 = 0
denganΦ00t adalah
Φ00x = u − 1εˆ
Φ00xdx =
ˆu − 1
εdx
Φ00 =
ˆudx − 1
εx
Φ00t =
ˆutdx
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 27 / 33
proses penurunan persamaan boussinesq VII
sehingga persamaan (30) menjadi
ε
(Fˆ
utdx + F 2(
u − 1ε
)+ η
)+
12F 2 = 0
ε
(Fˆ
utdx + F 2u − F 2 1ε
+ η
)+
12F 2 = 0
Fˆ
utdx + F 2u − F 2 1ε
+ η +12ε
F 2 = 0
Fˆ
utdx + F 2u + η − 12ε
F 2 = 0
untuk menghilangkan integral maka di turunkan terhadap x , sehingga
Fut + F 2ux + ηx = 0 (33)
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 28 / 33
proses penurunan persamaan boussinesq VIII
sehingga dari persamaan (32) dan (33) diperoleh suatu sistempersamaan differensial parsial
ηt + εFuηx + Fux + Fhx = 0Fut + F 2ux + ηx = 0 (34)
dimana persamaan (34) dapat digolongkan ke dalam persamaanBouussinesq.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 29 / 33
Persamaan Dalam Al-Qur’an
Dengan diperoleh persamaan ini maka membuktikan bahwa terdapatmodel matematika untuk fenomena alam yang terkait dengangelombang permukaan. Adanya model ini menjelaskan bahwaketeraturan alam ini membuktikan hubungan yang menjelaskanAl-Qur’an surat Al-Qomar ayat 49.sebagai mana juga firman Allah dalam surat Al-Hijjr ayat 21:
artinya: “Dan tidak ada sesuatupun melainkan pada sisi Kami-lahkhazanahnya dan Kami tidak menurunkannya melainkan denganukuran yang tertentu”.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 30 / 33
Kesimpulan
Langkah-langkah untuk menurunkan persamaan gelombang permukaanyang mengalami sebuah gangguan pada dasar saluran yaitu:
1 Menurunkan hukum-hukum kesetimbangan dalam fluida2 Penskalaan3 Aproksimasi variabel dengan deret4 Peninjauan tiap-tiap orde pada deret, dan5 Menyederhanakan dalam model matematika
sehingga diperoleh persamaan boussinesq sebagai berikut:
ηt + εFuηx + Fux + Fhx = 0Fut + F 2ux + ηx = 0
dimana:η menunjukkan ketinggian permukaan fluida,u merupakankecepatan rata-rata,F merupakan froud number, danε merupakaperbandingan dari amplitudo gelombang dengan kedalaman saluran.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 31 / 33
Kesimpulan
Langkah-langkah untuk menurunkan persamaan gelombang permukaanyang mengalami sebuah gangguan pada dasar saluran yaitu:
1 Menurunkan hukum-hukum kesetimbangan dalam fluida2 Penskalaan3 Aproksimasi variabel dengan deret4 Peninjauan tiap-tiap orde pada deret, dan5 Menyederhanakan dalam model matematika
sehingga diperoleh persamaan boussinesq sebagai berikut:
ηt + εFuηx + Fux + Fhx = 0Fut + F 2ux + ηx = 0
dimana:η menunjukkan ketinggian permukaan fluida,u merupakankecepatan rata-rata,F merupakan froud number, danε merupakaperbandingan dari amplitudo gelombang dengan kedalaman saluran.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 31 / 33
Kesimpulan
Langkah-langkah untuk menurunkan persamaan gelombang permukaanyang mengalami sebuah gangguan pada dasar saluran yaitu:
1 Menurunkan hukum-hukum kesetimbangan dalam fluida2 Penskalaan3 Aproksimasi variabel dengan deret4 Peninjauan tiap-tiap orde pada deret, dan5 Menyederhanakan dalam model matematika
sehingga diperoleh persamaan boussinesq sebagai berikut:
ηt + εFuηx + Fux + Fhx = 0Fut + F 2ux + ηx = 0
dimana:η menunjukkan ketinggian permukaan fluida,u merupakankecepatan rata-rata,F merupakan froud number, danε merupakaperbandingan dari amplitudo gelombang dengan kedalaman saluran.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 31 / 33
Kesimpulan
Langkah-langkah untuk menurunkan persamaan gelombang permukaanyang mengalami sebuah gangguan pada dasar saluran yaitu:
1 Menurunkan hukum-hukum kesetimbangan dalam fluida2 Penskalaan3 Aproksimasi variabel dengan deret4 Peninjauan tiap-tiap orde pada deret, dan5 Menyederhanakan dalam model matematika
sehingga diperoleh persamaan boussinesq sebagai berikut:
ηt + εFuηx + Fux + Fhx = 0Fut + F 2ux + ηx = 0
dimana:η menunjukkan ketinggian permukaan fluida,u merupakankecepatan rata-rata,F merupakan froud number, danε merupakaperbandingan dari amplitudo gelombang dengan kedalaman saluran.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 31 / 33
Kesimpulan
Langkah-langkah untuk menurunkan persamaan gelombang permukaanyang mengalami sebuah gangguan pada dasar saluran yaitu:
1 Menurunkan hukum-hukum kesetimbangan dalam fluida2 Penskalaan3 Aproksimasi variabel dengan deret4 Peninjauan tiap-tiap orde pada deret, dan5 Menyederhanakan dalam model matematika
sehingga diperoleh persamaan boussinesq sebagai berikut:
ηt + εFuηx + Fux + Fhx = 0Fut + F 2ux + ηx = 0
dimana:η menunjukkan ketinggian permukaan fluida,u merupakankecepatan rata-rata,F merupakan froud number, danε merupakaperbandingan dari amplitudo gelombang dengan kedalaman saluran.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 31 / 33
Kesimpulan
Langkah-langkah untuk menurunkan persamaan gelombang permukaanyang mengalami sebuah gangguan pada dasar saluran yaitu:
1 Menurunkan hukum-hukum kesetimbangan dalam fluida2 Penskalaan3 Aproksimasi variabel dengan deret4 Peninjauan tiap-tiap orde pada deret, dan5 Menyederhanakan dalam model matematika
sehingga diperoleh persamaan boussinesq sebagai berikut:
ηt + εFuηx + Fux + Fhx = 0Fut + F 2ux + ηx = 0
dimana:η menunjukkan ketinggian permukaan fluida,u merupakankecepatan rata-rata,F merupakan froud number, danε merupakaperbandingan dari amplitudo gelombang dengan kedalaman saluran.
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 31 / 33
Saran
Agar penelitian selanjutnya untuk mencari solusi dari persamaanBoussinesq yang di hasilkan
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 32 / 33
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 33 / 33
WASALAMU’ALAIKUM WAROHMATULLOHI WABAROKATUH
Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 33 / 33
Top Related