PERANGKAT PEMBELAJARAN
MATA KULIAH : RISET OPERASI
KODE : MKK311515
DOSEN : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
SUPARDI, M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA
SUKOHARJO
KONTRAK PEMBELAJARAN
RISET OPERASI MKK311515
Semester III / 3 SKS
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
SUPARDI, M.Pd.
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA
SUKOHARJO
A. Identitas Mata Kuliah
Mata Kuliah : RISET OPERASI
Semester / SKS : III / 3 SKS
Pengampu Mata Kuliah : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
SUPARDI, M.Pd.
Kode Mata Kuliah : MKK311515
B. Manfaat Mata Kuliah
Setelah mengikuti kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat :
1. Mengenal riset operasi sebagai penunjang pengambilan keputusan
2. Memahami syarat-syarat pemecahan persoalan riset operasi
3. Memahami masalah teknis dalam riset operasi
4. Memahami berbagai metode pemecahan masalah riset operasi
C. Deskripsi Mata Kuliah
Riset operasi adalah mata kuliah yang mempelajari tentang model matematis untuk pengambilan
keputusan secara ilmiah. Riset operasi mempelajari tentang masalah transportasi (distribusi barang
hasil produksi), masalah penugasan unsur-unsur dalam suatu perusahaan/industri untuk
pengambilan keputusan. Riset operasi juga mempelajari tentang teori permainan yang aplikasinya
dapat digunakan perusahaan untuk melakukan strategi dalam menghadapi kompetitornya. Materi
terakhir dalam riset operasi adalah membentuk permasalahan dalam model matematika dan
jaringan. Materi ini adalah pengenalan pada materi Teori Graph.
D. Kompetensi Dasar dan Indikator
Kompetensi Dasar Indikator
1. Menyelesaikan permasalahan
transportasi
1.1 Membentuk permasalahan transportasi kedalam model
matematika dan tabel transportasi
1.2 Menentukan penyelesaian awal permasalahan
transportasi dengan metode sudut barat laut
1.3 Menentukan penyelesaian awal permasalahan
transportasi dengan metode Least Cost
1.4 Menentukan penyelesaian awal permasalahan
transportasi dengan VAM (Vogel’s Approximation
Methods)
1.5 Menentukan penyelesaian awal permasalahan
transportasi dengan RAM (Russell’s Approximation
Methods)
1.6 Menentukan penyelesaian optimal permasalahan
transportasi dengan metode Stepping Stone
1.7 Menentukan penyelesaian optimal permasalahan
transportasi dengan Metode MODI (Modification of
Distribution)
1.8 Mengidenifikasi kejadian khusus pada permasalahan
transportasi
2. Menyelesaikan permasalahan
penugasan
2.1 Menentukan model matematika pada permasalahan
penugasan
2.2 Menentukan nilai minimal dari suatu permasalahan
penugasan
2.3 Menentukan nilai maksimal dari suatu permasalahan
penugasan
3. Menerapkan teori permainan
dalam penyelesaian masalah
3.1 Menentukan solusi dari permasalahan teori permainan
strategi murni.
3.2 Menentukan solusi dari permasalahan teori permainan
strategi campuran.
4. Membentuk model
matematika dan
menkonstruksi model jaringan
dari suatu permasalahan
4.1 Menentukan model matematika dan bentuk jaringan dari
permasalahan Distribusi terkendali
4.2 Menentukan model matematika dan bentuk jaringan dari
permasalahan Aliran Maksimal
4.3 Menentukan model matematika dan bentuk jaringan dari
permasalahan Rute terpendek
4.4 Menentukan model matematika dan bentuk jaringan dari
permasalahan Rentang Jaringan Minimal
E. Organisasi Materi
F. Pendekatan Dan Strategi Pembelajaran
Strategi pembelajaran yang digunakan mengarah pada Active Learning. Metode-metode yang
digunakan adalah sebagai berikut :
1. Practice Rehearsal Pairs
2. Kelompok Belajar (The Study Group)
3. Two stay two stray
4. Gallery of Learning
5. The Learning Cell
G. Sumber Belajar
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
H. Penilaian Dan Kriteria Pembelajaran 1. Presensi dan Keaktifan : 30 %
2. Tugas Terstruktur : 20 %
3. UTS : 20 %
4. UAS : 30 %
100 %
I. Jadwal Perkuliahan
Pertemuan P E M B E L A J A R A N
1
Materi :
Membentuk permasalahan transportasi kedalam model matematika dan tabel
transportasi
Menentukan penyelesaian awal permasalahan transportasi dengan metode
sudut barat laut
2
Materi :
Menentukan penyelesaian awal permasalahan transportasi dengan metode
Least Cost
Menentukan penyelesaian awal permasalahan transportasi dengan VAM (Vogel’s
Approximation Methods)
3 Materi :
Menentukan penyelesaian awal permasalahan transportasi dengan RAM
(Russell’s Approximation Methods)
4 Materi :
Menentukan penyelesaian optimal permasalahan transportasi dengan metode
Stepping Stone
5 Materi :
Menentukan penyelesaian optimal permasalahan transportasi dengan Metode
MODI (Modification of Distribution)
6 Materi :
Mengidenifikasi kejadian khusus tidak seimbang pada permasalahan
transportasi
7
Materi :
Mengidenifikasi kejadian khusus degenerasi dan redundansi pada
permasalahan
transportasi
QUIZ 1
8 Ujian Tengah Semester
9 Materi :
Menentukan model matematika pada permasalahan penugasan
Menentukan nilai minimal dari suatu permasalahan penugasan
10 Materi :
Menentukan nilai maksimal dari suatu permasalahan penugasan
11 Materi :
Menentukan solusi dari permasalahan teori permainan strategi murni.
Menentukan solusi dari permasalahan teori permainan strategi campuran.
12
Materi :
Menentukan model matematika dan bentuk jaringan dari permasalahan
Distribusi terkendali
Menentukan model matematika dan bentuk jaringan dari permasalahan Aliran
Maksimal
13
Materi :
Menentukan model matematika dan bentuk jaringan dari permasalahan Rute
terpendek
Menentukan model matematika dan bentuk jaringan dari permasalahan
Rentang Jaringan Minimal
14 QUIZ II
15 REVIEW:
Persiapan Ujian Semester
16 Ujian Akhir Semester
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
SILABUS
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Kode Mata Kuliah : MKK311515
Mata Kuliah : RISET OPERASI
Bobot : 3 SKS
Semester : III
Mata Kuliah Prasyarat : Aljabar, Program Linear
Standar Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan transportasi, penugasan dengan menggunakan berbagai metode serta menentukan
solusi dari beberapa permasalahan operasional dengan teori permainan dan jaringan.
Kompetensi Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok
Alokasi
Waktu
(menit)
Sumber/ Bahan/
Alat
Penilaian/
Evaluasi
1. Menyelesaikan
permasalahan
transportasi
1.1 Membentuk permasalahan
transportasi kedalam model
matematika dan tabel transportasi
1.2 Menentukan penyelesaian awal
permasalahan transportasi dengan
metode sudut barat laut
1.3 Menentukan penyelesaian awal
permasalahan transportasi dengan
metode Least Cost
1.4 Menentukan penyelesaian awal
permasalahan transportasi dengan
VAM (Vogel’s Approximation
Methods)
1.5 Menentukan penyelesaian awal
permasalahan transportasi dengan
RAM (Russell’s Approximation
Methods)
1.6 Menentukan penyelesaian optimal
permasalahan transportasi dengan
metode Stepping Stone
1.7 Menentukan penyelesaian optimal
permasalahan transportasi dengan
Tatap muka
Memberikan deskripsi tentang
permasalahan transportasi
Memberikan penjelsana tentang tabel
transportasi dan interpretasinya
Menjelaskan algoritma pemecahan
masalah transportasi, yaitu:
1. Penyelesaian awal
Metode Sudut Barat Laut
Metode Least Cost
Vogel’s Approximation Methods
Russell’s Approximation Methods
2. Penyelesaian Optimal
Metode Stepping Stone
Metode MODI
Memberikan permasalahan transportasi
dengan kejadian khusus.
1. Permintaan > Penawaran
2. Permintaan < Penawaran
3. Degenerasi
4. Redundansi
Penyelesaian Awal
Metode Transportasi
Penyelesaian Optimal
Metode Transportasi
Kejadian Khusus
Metode Transportasi
7 150 Sumber :
Buku panduan
mata kuliah
Riset Operasi
Alat :
Laptop, LCD,
Whiteboard
Bentuk
evaluasi :
Pre-test
Post-test
Instrumen :
Lembar
Kerja
Individu
Lembar
Kegiatan
kelompok
Metode MODI (Modification of
Distribution)
1.8 Mengidenifikasi kejadian khusus
pada permasalahan transportasi
Kegiatan terstruktur
Mendiskusikan berbagai permasalahan
trasportasi
Post-test
2. Menyelesaikan
permasalahan
penugasan
2.1 Menentukan model matematika
pada permasalahan penugasan
2.2 Menentukan nilai minimal dari
suatu permasalahan penugasan
2.3 Menentukan nilai maksimal dari
suatu permasalahan penugasan
Tatap muka
Memberikan deskripsi singkat tentang
permasalahan penugasan
Menjelaskan secara singkat tentang
Metode Hungarian untuk memecahkan
permasalahan penugasan minimal
Meminta mahasiswa mendiskusikan
tentang permasalahan penugasan
maksimal
Kegiatan terstruktur
Mendiskusikan berbagai kejadian yang
muncul saat optimasi dengan metode
Hungarian
Post-test
Daerah penyelesaian
dari pertidaksamaan
linear
Penentuan daerah
layak (feasible region).
Meetode grafik dengan
titik ekstrim.
Metode grafik dengan
isoline
Menentukan nilai
optimum dari kejadian
khusus
2 150 Sumber :
Buku panduan
mata kuliah
Riset Operasi
Alat :
Laptop, LCD,
Whiteboard
Bentuk
evaluasi :
Pre-test
Post-test
Instrumen :
Lembar
Kerja
Individu
Lembar
Kegiatan
kelompok
3. Menerapkan
teori permainan
dalam
penyelesaian
masalah
3.1 Menentukan solusi dari
permasalahan teori permainan
strategi murni.
3.2 Menentukan solusi dari
permasalahan teori permainan
strategi campuran.
Tatap muka
Memberikan deskripsi tentang
permasalahan pemilihan strategi
permainan
Memberikan penjelasan tentang
penggunaan Teori Permainan dalam
memecakan masalah
Menjelaskan tentang Permaianan dengan
Strategi Murni
Menjelaskan tentang Permaianan dengan
Strategi Campuran
Kegiatan terstruktur
Mendiskusikan berbagai kejadian pada
teori Permainan
Post-test
Permainan dengan
Strategi Murni
Permainan dengan
Strategi Campuran
2 150 Sumber :
Buku panduan
mata kuliah
Riset Operasi
Alat :
Laptop, LCD,
Whiteboard
Bentuk
evaluasi :
Pre-test
Post-test
Instrumen :
Lembar
Kerja
Individu
Lembar
Kegiatan
kelompok
4. Membentuk
model
matematika dan
menkonstruksi
model jaringan
dari suatu
permasalahan
4.5 Menentukan model matematika
dan bentuk jaringan dari
permasalahan Distribusi terkendali
4.6 Menentukan model matematika
dan bentuk jaringan dari
permasalahan Aliran Maksimal
4.7 Menentukan model matematika
dan bentuk jaringan dari
permasalahan Rute terpendek
4.8 Menentukan model matematika
dan bentuk jaringan dari
permasalahan Rentang Jaringan
Minimal
Tatap muka
Memberikan deskripsi singkat tentang
jaringan
Menjelaskan bentuk jaringan dan model
matematika dari permasalahan berikut:
1. Distribusi terkendali
2. Aliran Maksimal
3. Rute terpendek
4. Rentang Jaringan Minimal
Kegiatan terstruktur
Mendiskusikan berbagai permasalahan
jaringan
Post-test
Model jaringan utuk
Distibusi Terkendali,
Aliran Maksimal, Rute
Terpendek dan
Rentang Jaringan
Minimal
3 150 Sumber :
Buku panduan
mata kuliah
Riset Operasi
Alat :
Laptop, LCD,
Whiteboard
Bentuk
evaluasi :
Pre-test
Post-test
Instrumen :
Lembar
Kerja
Individu
Lembar
Kegiatan
kelompok
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
SUPARDI, M.Pd.
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : RISET OPERASI
Kode Mata Kuliah : MKK311515
Bobot : 3 SKS
Semester : III
Pertemuan ke- : 1 s.d 3
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan transportasi, penugasan dengan
menggunakan berbagai metode serta menentukan solusi dari beberapa
permasalahan operasional dengan teori permainan dan jaringan
Kompetensi Dasar : 1. Menyelesaikan permasalahan transportasi
Indikator : 1.1 Membentuk permasalahan transportasi kedalam model matematika dan
tabel transportasi
1.2 Menentukan penyelesaian awal permasalahan transportasi dengan
metode sudut barat laut
1.3 Menentukan penyelesaian awal permasalahan transportasi dengan
metode Least Cost
1.4 Menentukan penyelesaian awal permasalahan transportasi dengan VAM
(Vogel’s Approximation Methods)
1.5 Menentukan penyelesaian awal permasalahan transportasi dengan RAM
(Russell’s Approximation Methods)
Tujuan : 1.1 Menyusun permasalahan transportasi kedalam model matematika dan
tabel transportasi
1.2 Menentukan penyelesaian awal dengan metode sudut barat laut
1.3 Menentukan penyelesaian awal dengan metode Least Cost
1.4 Menentukan penyelesaian awal dengan VAM (Vogel’s Approximation
Methods)
1.5 Menentukan penyelesaian awal dengan RAM (Russell’s Approximation
Methods)
MATERI
METODE PEMBELAJARAN
Learning Cell
LANGKAH PEMBELAJARAN
PERTEMUAN 1
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Memberi gambaran tentang permasalahan program linear
b. Motivasi
Memberikan gambaran tentang permasalahan program linear
dalam kehidupan sehari-hari
10 menit
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan permasalahan program linear kemudian menjelaskan
tentang penentuan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi
15 menit
tujuan.
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi
contoh permasalahan.
b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup
menuliskan pertanyaan berkaitan dengan materi.
c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan
grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II
bertanya, dan grup I menjawab.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
10 menit
5 menit
10 menit
30 menit
25 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan
program linear kemudian membentuknya dalam model matematika
30 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 2
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik
Indikator : 2.1 Menentukan daerah layak (feasible region) dari permasalahan program
linear.
Tujuan : Menentukan daerah feasible dari permalsalahan program linear
MATERI
PENYELESAIAN PERMASALAHAN PROGRAM LINEAR
DAERAH LAYAK (FEASIBLE REGION)
Pada setiap kasus pemrograman linear, susunan dari kendala-kendala akan membentuk suatu
bidang yang menjadi tempat kedudukan bagi variabel-variabel yang memenuhi seluruh kendala.
Fungsi Pembatasnya : a – b 1 (i) a 7 (iii)
3a + 2b 12 (ii) b 6 (iv) b 3 (v)
(i) (ii)
(iii) (iv) dan (V)
Gambar 1.1
1
-1
6
4
7
6
3
a
b
a
b
a
b
a
b
1
-1
3
6
4 7
Jika keempat daerah tersebut dijadikan satu bidang kemudian dicari irisannya diperoleh :
Gambar 1.2
Masing-masing kendala pertidaksamaan di atas menjangkau suatu bidang penyelesaian dimana
variabel-variabel keputusan memenuhi fungsi-fungsi matematikanya. Perpotongan antara bidang
penyelesaian dari masing-masing kendala membentuk suatu bidang baru yang dinamakan dengan daerah
layak (feasible region). Oleh karena itu, penyelesaian optimum, yaitu variabel-variabel keputusan yang
memenuhi seluruh kendala dan mengakibatkan fungsi tujuan bernilai ekstrim, pasti terletak pada daerah
layak.
METODE PEMBELAJARAN
Learning Cell
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Memberikan permasalahan program linear kemudian menjelaskan
tentang penentuan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi
tujuan
b. Motivasi
Memberikan gambaran tentang permasalahan program linear
dalam kehidupan sehari-hari
10 menit
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan permasalahan program linear kemudian meminta
mahasiswa menjelaskan tentang penentuan variabel keputusan,
fungsi kendala dan fungsi tujuan.
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi
contoh permasalahan penetuan daerah feasible.
b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup
menuliskan pertanyaan berkaitan dengan materi.
c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan
grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II
bertanya, dan grup I menjawab.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
15 menit
10 menit
5 menit
10 menit
30 menit
25 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan
program linear kemudian membentuknya dalam model matematika
30 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 3
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik
Indikator : 2.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan
metode grafik menggunakan isoline.
Tujuan : 2.2.1 Menentukan penyelesaian basis awal yang feasible.
2.2.2 Menggunakan bantuan isoline untuk mengevaluasi optimasi nilai fungsi
tujuan
MATERI
METODE GRAFIK DENGAN ISOLINE
Ada dua cara untuk menentukan solusi optimum pada daerah layak (feasible region) dengan
metode grafik. Teknik yang pertama adalah dengan teknik kesamaan garis (isoline). Langkah yang
dilakukan untuk menentukan solusi optimum dengan teknik isoline adalah :
1. Tentukan kemiringan garis fungsi tujuan (merupakan himpunan infinitif dari isoline)
Pilihlah titik tertentu pada daerah layak
Gambarkan garis fungsi tujuan yang mengenai titik tersebut
2. Tentukan arah peningkatan/penurunan dari fungsi tujuan persoalan maksimum/minimum. Pilih dua
garis (isoline) fungsi tujuan di daerah layak dan evaluasi nilai fungsi tujuan pada kedua garis isoline.
3. Ikuti arah peningkatan/penurunan sampai mencapai titik batas (sudut) dimana
peningkatan/penurunan dari fungsi tujuan keluar dari daerah layak.
4. Solusi optimum diperoleh dari titik batas dimana peningkatan atau penurunan dari fungsi tujuan
akan meninggalkan daerah layak.
Contoh 1.3
Untuk mengetahui proses penentuan solusi optimum dari suatu permasalahan program linear
menggunakan metode grafik dengan teknik isoline, lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Z1
Z2
Z3
Z4
Z4 (Solusi Optimum)
Maksimum
Z3 (Solusi Optimum)
Minimum
METODE PEMBELAJARAN
Learning Cell
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Memberi permasalahan program linear kemudian menentukan
daerah layaknya serta memberikan gambaran penggunaannya
dalam menentukan nilai optimum fungsi
b. Motivasi
Memberikan gambaran tentang kaitan titik ekstrim dan daerah
layak dari sistem pertidaksamaan linear untuk penentuan nilai
optimum dari permasalahan program linear
15 menit
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi
a. Memberikan permasalahan program linear kemudian meminta
mahasiswa membentuk dalam model matematis, yang meliputi
penentuan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi tujuan.
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi
d. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi
contoh permasalahan beserta langkah pemecahannya dengan
metode titik ekstrim menggunakan isoline.
e. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup
menuliskan pertanyaan berkaitan dengan materi.
f. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan
grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II
bertanya, dan grup I menjawab.
Eksplanasi
Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
15 menit
10 menit
5 menit
10 menit
30 menit
25 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi
Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan
program linear kemudian di selesaikan sendiri dengan metode grafik
menggunakan isoline.
30 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 4
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik
Indikator : 2.3 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear menggunakan
metode grafik dengan menentukan titik ekstrim.
Tujuan : Menggunakan bantuan titik ekstrim untuk mengevaluasi optimasi nilai fungsi
tujuan
MATERI
METODE GRAFIK DENGAN BANTUAN TITIK EKSTRIM
Teknik kedua untuk menentukan solusi optimum pada daerah layak (feasible region) dengan
metode grafik adalah titik ekstrim. Titik ekstrim merupakan titik-titik sudut pada daerah layak. Nilai
ekstrim dari fungsi tujuan pasti terletak pada salah satu titik ekstrim. Langkah yang dilakukan untuk
menentukan solusi optimum dengan teknik titik ekstrim adalah :
1. Tentukan irisan (intersection) daerah penyelesaian dari semua fungsi kendala, sehingga diperoleh
daerah layak (feasible region).
2. Tentukan tiitik ekstrim (titik sudut) dari daerah layak.
3. Evaluasi nilai fungsi tujuan pada setiap titik ekstrim daerah layak. Solusi optimum terletak pada salah
satu titik ekstrim daerah layak.
4. Tentukan nilai optimumnya, dengan aturan: nilai terbesar dari evaluasi pada langkah 3 menjadi nilai
maksimum, dan nilai terkecilnya menjadi nilai minimum
Contoh 1.4
Untuk mengetahui proses penentuan solusi optimum dari suatu permasalahan program linear
menggunakan metode grafik dengan teknik isoline, lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
A
B
C
O
Jika fungsi tujuan dari permasalahan diatas adalah Z, setelah ditentukan koordinat titik O, A, B,
dan C, maka selanjutnya eveluasi nilai Z di setiap titik tersebut. Tentukan ZO, ZA, ZB, dan ZC.
Nilai maksimum = maks (ZO, ZA, ZB, ZC)
Nilai minimum = min (ZO, ZA, ZB, ZC)
METODE PEMBELAJARAN
Kelompok belajar (The Study Group)
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi Memberi permasalahan program linear kemudian menentukan
daerah layaknya serta memberikan gambaran penggunaannya
dalam menentukan nilai optimum fungsi
b. Motivasi Memberikan gambaran tentang kaitan titik ekstrim dan daerah
layak dari sistem pertidaksamaan linear untuk penentuan nilai
optimum dari permasalahan program linear
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan berbagai permasalahan program linear yang memuat
kejadian khusus berikut :
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan nilai optimum dari berbagai
permasalahan pemrograman linear.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
5 menit
10 menit
50 menit
50 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan
program linear kemudian di selesaikan sendiri dengan metode grafik
menggunakan titik ekstrim.
20 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 5
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik
Indikator : 2.4 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat
optimasi dengan metode grafik.
Tujuan : 2.4.1 Mengidentifikasi ciri kasus degenerasi
2.4.2 Mengidentifikasi ciri kasus optimal alternatif
2.4.3 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak terbatas
2.4.4 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak feasible
MATERI
KEJADIAN KHUSUS PADA METODE GRAFIK
Permasalahan program linear terkadang ada yang memiliki lebih dari satu penyelesaian, atau
memiliki penyelesaian yang nilainya tidak terbatas, bahkan ada permasalahan yang tidak dapat dicari
penyelesaiannya. Berikut akan dibahas berbagai kejadian khusus yang dapat muncul saat optimasi fungsi
tujuan dengan menggunakan metode grafik.
1. Degenerasi
Satu titik terbentuk dari perpotongan antara dua buah garis. Apabila terjadi perpotongan tiga garis
melalui satu titik maka kejadian ini disebut dengan over determined. Over deternimed inilah yang
menyebabkan salah satu kejadian khusus pada metode grafik, yaitu degenerasi. Dengan alasan ini
dapat dikatakan bahwa terdapat satu batasan yang melimpah atau berlebih. Batasan yang seperti ini
dinamakan dengan batasan redundan (redundant constarins).
2. Optimal Alternatif
Dalam kejadian ini terdapat beberapa alternatif penyelesaian optimal pada suatu permasalahan. Hal
ini terjadi apabila fungsi tujuan sejajar dengan fungsi batasan pembentuk penyelesaian optimal.
Akibatnya, fungsi tujuanakan bernilai optimal sama pada lebih dari satu titik penyelesaian.
3. Penyelesaian tidak feasible
Suatu model pemrograman linear dikatakan memiliki penyelesaian tak feasible apabila fungsi-fungsi
batasan dalam model tersebut tidak dapat dipenuhi secara simultan. Dengan kata lain, Interseksi
dari semua fungsi batasan yang ada tidak dapat ditemukan.
4. Penyelesaian tidak terbatas
Pada model masalaah program linear ada beberapa model dimana variabel-variabel tersebut dapat
dinaikkan sampai tak terhingga tanpa melanggar fungsi batasan. Hal ini berarti ruang penyelesaian
atau daerah penyelesaian dari permasalahan pemrograman linear tersebut tidak terbatas. Akibatnya,
nilai fungsi tujuan dalam kasus memaksimumkan dapat naik sampai tak terhingga. Melihat kejadian
ini dikatakan bahwa permasalahan pemrograman linear tersebut memiliki daerah penyelesaian yang
tak terbatas dan nilai fungsi tujuannya pun tidak terbatas.
METODE PEMBELAJARAN
Kelompok belajar (The Study Group)
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang kejadian khusus permasalahan
program linear, karena kemungkinan ada permasalahan yang
tidak memiliki penyelesaian atau bahkan penyelesaiannya tidak
tunggal.
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan berbagai permasalahan program linear yang memuat
kejadian khusus berikut :
1). Degenerasi
2). Optimal alternatif
3). Penyelesaian tidak terbatas
4). Penyelesaian tidak layak
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan nilai optimum dari berbagai
permasalahan pemrograman linear.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
5 menit
10 menit
50 menit
50 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan
program linear kemudian di selesaikan sendiri dengan metode grafik
menggunakan titik ekstrim.
20 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 7
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks
Indikator : 3.1 Menentukan bentuk standar dari model matematika.
Tujuan : Mengubah permasalahan pemrograman linear menjadi bentuk standar
MATERI
PENDAHULUAN
Apabila suatu persoalan program linear hanya mengandung dua variabel keputusan, maka untuk
menentukan solusinya dapat dilakukan dengan metode grafik. Akan tetapi apabila permasalahan
mengandung tiga variabel atau lebih, maka akan sangat sulit, bahkan tidak bisa dilakukan optimasi
dengan metode grafik sehingga diperlukan metode lain untuk menentukan titik serta nilai optimumnya.
Salah satu metode yang bisa digunakan adalah metode simpleks.
Gagasan metode simpleks adalah menerjemahkan definisi geometris atau grafik dari titik ekstrim
atau titik sudut menjadi definisi aljabar. Metode simpleks adalah suatu teknik penyelesaian pemrograman
linear secara iterasi. Metode simpleks mencari suatu penyelesaian dasar yang feasible ke penyelesaian
dasar feasible lainnya yang dilakukan secara berulang-ulang sehingga akhirnya tercapai suatu
penyelesaian optimum. Setiap tahap penyelesaian menghasilkan nilai fungsi tujuanyang selalu lebih
optimum atau sama dari tahap-tahap penyelesaian sebelumnya. Metode simpleks sangat sistematik dan
dilengkapi test kriteria yang dapat memberitahukan kapan perhitungan harus dilanjutkan atau dihentikan
sampai diperoleh solusi optimum.
BENTUK STANDAR MODEL PROGRAM LINEAR
Pada metode simpleks permasalahan pemrograman linear selalu diubah menjadi bentuk standart
(bentuk kanonik). Ciri dari bentuk kanonik adalah sebagai berikut :
1. Semua batasan atau kendala adalah persamaan dengan sisi kanan yang non negatif.
2. Semua variabel keputusan adalah non negatif.
3. Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi dan minimasi.
Secara umum bentuk kanonik dari permasalahan program linear adalah sebagai berikut :
Optimumkan :
Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
Dengan batasan :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
x1, x2,... , xn 0
b1, b2,... , bm 0
Berikut ini adalah cara pengubahan dari masalah program linear ke dalam bentuk kanonik.
No Tinjauan Cara Pengubahan ke Bentuk Kanonik
1 Fungsi Batasan Fungsi batasan berupa pertidaksamaan dengan tanda Tambahkan variabel slack pada ruas kiri. Variabel slack biasa disimbolkan
dengan S dengan S 0.
Contoh : 3a + 2b 36 dengan a, b 0
Bentuk kanoniknya menjadi
3a + 2b + S = 36 dengan a, b, S 0
Fungsi batasan berupa pertidaksamaan dengan tanda Tambahkan variabel slack pada ruas kiri. Variabel surplus biasa disimbolkan
dengan S dengan S 0.
Contoh : 3a + 2b 36 dengan a, b 0
Bentuk kanoniknya menjadi
3a + 2b S = 36 dengan a, b, S 0
Fungsi batasan dengan nilai kanan negatif
Mengalikan masing-masing sisi dari fungsi batasan dengan 1.
Contoh : 3a + 2b 12 dengan a, b 0
3a + 2b + S = 12 dengan a, b, S 0
Bentuk kanoniknya menjadi
3a 2b S = 12 dengan a, b, S 0
2 Variabel Keputusan Variabel yang tidak dibatasi tanda Misalkan ada variabel x yang nilainya tidak dibatasi, maka x harus disubstitusi
dengan x1 – x2 dengan x1, x2 0. Substitusi ini menyebabkan perubahan pada
fungsi tujuan dan fungsi batasannya.
3 Fungsi Tujuan Catatan : Sisi kanan dari fungsi tujuan dibuat nol (0)
Bentuk memaksimumkan fungsi tujuan ekuivalen dengan meminimumkan
negatif dari fungsi tujuan tersebut.
METODE PEMBELAJARAN
Kelompok belajar (The Study Group)
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang kelemahan metode grafik, yang
dapat diselesaikan dengan metode simpleks
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan sebuah contoh permasalahan program linear, dan
meminta siswa mengidentifikasi cara mengubahnya kedalam
bentuk standar.
b. Memberikan beberapa permasalahan program linear dan
membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan bentuk standar dari berbagai
permasalahan pemrograman linear berikut.
1. Memaksimumkan : Z = 8p + 6q
Terhadap batasan : 4p + 3q 18
6p + 5q 30
2p + q 8
p, q 0
2. Meminimumkan : P = 3x + 2y + 4z
Terhadap batasan : x + y – z 12
2x + y 3
x, z 0, y tidak dibatasi
15 menit
10 menit
40 menit
50 menit
3. Meminimumkan : W = 6a + 5b + 2c
Terhadap batasan : 3a + 2b + 5c 30
2a + 7b 28
3a 5c 15
a, b 0, c tidak dibatasi
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat dua buah
permasalahan program linear kemudian mengubahnya ke dalam
bentu standar.
20 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 8
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks
Indikator : 3.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan
metode simpleks.
Tujuan : Menentukan penyelesaian permasalahan pemrograman linear dengan metode
simpleks
MATERI
KONSEP DASAR METODE SIMPLEKS
Konsep dasar metode simpleks bertolak dari konsep dasar metode grafik, yaitu penyelesaian
optimum terjadi pada titik ekstrim. Metode simpleks dalam bekerja menggunakan proses iterasi dimulai
dari titik ekstrim feasible awal ke titik ke titik ekstrim feasible lain yang terhubung (adjecent), dan iterasi
akan berhenti jika penyelesaian optimal telah diperoleh.
Perhatikan contoh permasalahan program linear dan penyelesaiannya dengan metode grafik berikut ini:
Memaksimumkan : Z = 3a + 5b
Terhadap batasan : 2a 6
3b 15
6a + 4b 24
a, b 0
Algoritma simpleks dimulai dari titik feasible awal (misalkan titik asal O) dan akan menghasilkan
penyelesaian awal. Kemudian iterasi dilanjutkan ke titik ekstrim lain yang terhubung dengan O. Dalam
permasalahan ini ada dua kemungkinan titik ekstrim yang terhubung dengan O yaitu titik A dan D. Untuk
menentukan titik mana yang terpilih untuk iterasi selanjutnya dapat dilihat dari koefisien-koefisien pada
fungsi tujuannya. Jika koefisien a b dan masalahnya memaksimumkan maka penyelesaian akan
bergerak sejalan dengan kenaikan b. Jadi,iterasi selanjutnya terjadi di titik D. Di titik D ini proses diulang
untuk melihat apakah ada titik ekstrim lain yang dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Demikian
seterusnya sehingga diperoleh nilai optimum. Cara penentuan titik awal feasible pada metode simpleks
adalah sebagai berikut :
Ubah permasalahan program linear kedalam bentuk kanonik.
D C
B
A O
Misal permasalahan tersebut terdiri atas n buah variabel dan m buah fungsi batasan, titik ekstrim
feasible awal ditentukan dengan terlebih dahulu mengambil sebanyak (n – m) variabel yang
disamadengankan nol, dan disebut sebagai variabel non basis. Variabel selain variabel non basis,
disebut sebagai variabel basis.
Penyelesaian tunggal yang dihasilkan dengan menetukan variabel basis, disebut dengan
penyelesaian basis. Untuk dapat menyelesaikan dengan metode simpleks penyelesaian basis awal
yang diperoleh harus merupakan penyelesaian basis awal yang feasible, yang memenuhi syarat non
negatif.
A. ALGORITMA SIMPLEKS
Berikut ini merupakan algoritma penyelesaian permasalahan pemrograman linear dengan
menggunakan Metode Simpleks.
1. Langkah 1 :
Ubah permasalahan menjadi bentuk kanonik.
2. Langkah 2 :
Tentukan variabel basis dan variabel non basis dari bentuk kanonik persamaan linear untuk mencari
penyelesaian basis awal yang feasible.
3. Langkah 3 :
Susun persamaan-persamaan ke dalam tablo simpleks. Berikut ini adalah cara menyusun bentuk
kanonik kedalam tablo simpleks.
Variabel
Bais Z X1 X2 ... Xn Xn+1 Xn+2 ... Xn+m
Nilai
Kanan Rasio
Z 1 -c1 -c2 0 0 ... 0 0
Xn+1 0 a11 a12 ... a1n 1 0 ... 0 b1
Xn+2 0 a21 a22 ... a2n 0 1 ... 0 b2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Xn+m 0 am1 am2 ... amn 0 0 ... 1 bm
Keterangan :
Nilai kanan adalah nilai di belakang tanda sama dengan dan sering disebut sebagai
penyelesaian.
Xn+1, Xn+2, ... , Xn+m merupakan simbol lain dari variabel slack yang biasa disimbolkan S1, S2, ... ,
Sm.
4. Langkah 4 :
Memilih entering variable yang biasa disimbolkan dengan ev. Entering variable adalah variabel non
basis yang masuk sebagai variabel basis pada iterasi berikutnya. Cara menentukan ev adalah :
Jika fungsi tujuan memaksimumkan
Pilih nilai yang terletak pada baris fungsi tujuan yang memiliki nilai negatif dengan angka
terbesar. Variabel yang memiliki koefisien nilai terpilih (variabel pada tablo terletak di atas nilai
terpilih), ditentukan sebagai ev. Jika pada baris fungsi tujuan, semua koefisien sudah bernilai
non negatif, maka penyelesaian selesai dan iterasi berhenti.
Jika fungsi tujuan meminimumkan
Pilih nilai yang terletak pada baris fungsi tujuan yang memiliki nilai positif dengan angka
terbesar. Variabel yang memiliki koefisien nilai terpilih (variabel pada tablo terletak di atas nilai
terpilih), ditentukan sebagai ev. Jika pada baris fungsi tujuan, semua koefisien sudah bernilai
non positif, maka penyelesaian selesai dan iterasi berhenti.
5. Langkah 5:
Memilih leaving variable yang biasa disimbolkan dengan lv. Leaving variable adalah variabel basis
yang akan keluar menjadi variabel non basis pada iterasi berikutnya. Berikut adalah cara penentuan
lv.
Baik untuk fungsi tujuan memaksimumkan dan meminimumkan lv. Dipilih diantara variabal
basis yang memiliki nilai rasio terkecil. Rasio ditentukan dengan cara sebagai berikut :
Rasio = ev kolom Elemen
Kanan Nilai
Hal yang perlu diperhatikan dalam mencari nilai rasio adalah sebagai berikut :
Baris fungsi tujuan tidak dicari nilai rasionya.
Jika elemen pada kolom ev nol atau negatif maka nilai rasio diabaikan.
Baris yang memuat variabel yang terpilih sebagai lv disebut sebagai baris pivot. Irisan antara
baris pivot dan kolom pivot disebut sebagai elemen pivot.
6. Langkah 6 :
Memperbaiki nilai-nilai pada baris persamaan pivot, caranya :
Nilai baris pivot baru = pivot Elemen
lamapivot baris Nilai
7. Langkah 7 :
Memperbaiki nilai pada baris lain selain baris pivot, dengan aturan :
Nilai baris baru = nilai baris lama – (koefisien kolom ev nilai baris pivot baru )
8. Langkah 8 :
Ulangi langkah 4 sampai dengan 8 sampai diperoleh penyelesaian optimal.
METODE PEMBELAJARAN
Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Mengulas pengubahan permasalahan program linear menjadi bentuk
standar
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang algoritma metode simpleks.
Elaborasi a. Memberikan permaslahan program linear
b. Kegiatan Kelompok
Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan
penyelesaiannya menggunakan metode simpleks
Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat
yang telah disediakan.
c. Diskusi antar kelompok
3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di
posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan
atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain.
3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu
kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan
bertanya pekerjaan kelompok lain.
Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang
sudah dibuat dikerjakan mahasiswa.
35 menit
5 menit
30 menit
5 menit
40 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai kelebihan metode simpleks.
5 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 10
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks
Indikator : 3.3 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan
metode simpleks menggunakan teknik M.
Tujuan : 3.3.1 Menetukan bentuk kanonik dari permasalahan dengan penyelesaian
awal semu.
3.3.2 Menggunakan algoritma simpleks untuk menyelesaikan permasalahan
yang mengandung variabel semu dengan metode simpleks teknik M.
MATERI
PENYELESAIAN AWAL SEMU
Perhatikan contoh permasalahan linear berikut :
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k
Terhadap batasan : 2i + 6k 3 (1)
3j + 4k 5 (2)
i, j, k 0
Meminimumkan : W 6i 15j 24k = 0
Terhadap batasan : 2i + 6k S1 = 3 (1)
3j + 4k S2 = 5 (2)
i, j, k, S1, S2 0
Bentuk kanonik tersebut terdiri atas dua persamaan dan lima variabel tek diketahui. Sehingga
untuk menentukan penyelesaian basis awal terlebih dahulu harus menentukan sebanyak n – m = 5 – 2 =
3 variabel non basis. Misalkan dipilih i = j = k = 0 maka diperoleh variabel basisnya adalah S1, dan S2
dengan nilai S1 = -3 dan S2 = -5. Karena terdapat variabel basis yang nilainya negatif, berarti penyelesaian
basis awal yang diperoleh merupakan penyelesaian basis awal yang tidak feasible.
Untuk mengatasi hal tersebut maka pada bentuk kanonik untuk setiap persamaan yang tidak
mengandung variabel slack ditambah variabel semu pada ruas kirinya. Variabel semu biasa disimbolkan R
dengan R 0. Penambahan variabel ini diperlakukan seperti variabel slack maupun variabel surplus.
Sebagai konsekuensi dari penggunaan variabel semu ini adalah penambahan sebesar MR pada ruas
kanan fungsi tujuan yang meminimalkan dan adanya pengurangan sebesar MR pada ruas kanan fungsi
tujuan yang memaksimalkan (M adalah bilangan positif yang sangat besar)
Karena variabel semu tidak berarti pada masalah aslinya, maka prosedur akan valid hanya
apabila pada saat optimasi, variabel semu ini bernilai nol. Dengan kata lain, variabel semua hanya
digunakan pada awal penyelesaian dan sebagai konsekuensinya harus dinolkan pada penyelesaian
akhirnya. Apabila ada variabel semu yang tidak sama dengan nol pada penyelesaian akhirnya berarti
penyelesaian tersebut tidak feasible.
METODE PENALTI / TEKNIK M
Metode ini merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan program linear yang bentuk kanoniknya mengandung variabel semu.
Perhatikan contoh berikut.
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k
Terhadap batasan : 2i + 6k 3 (1)
3j + 4k 5 (2)
i, j, k 0
Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k + M (R1 + R2)
Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3 (1)
3j + 4k S2 + R2 = 5 (2)
i, j, k, S1, S2, R1, R2 0
Karena (1) 2i + 6k S1 + R1 = 3 R1 = 3 – 2i – 6k + S1
(2) 3j + 4k S2 + R2 = 5 R2 = 5 – 3j – 4k + S2 Maka R1 + R2 = 8 – 2i – 3j – 10k + S1 +
S2
Sehingga bentuk kanoniknya menjadi :
Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k + M (R1 + R2) = 6i + 15j + 24k + M (8 – 2i – 3j – 10k + S1 + S2)
W = (6 – 2M)i + (15 – 3M)j + (24 – 10M)k + MS1 + MS2 + 8M
W + (–6 + 2M)i + (–15 + 3M)j + (–24 + 10M)k – MS1 – MS2 = 8M
Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3
3j + 4k S2 + R2 = 5
i, j, k, S1, S2, R1, R2 0
Permasalahan tersebut memiliki 2 persamaan dengan 7 variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya
permasalahan ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut :
Mencari penyelesaian basis awal feasible.
Ambil sebanyak 7 – 2 = 5 variabel non basis yaitu : i = j = k = S1 = S2 = 0. Akibatnya R1 = 3, R2 = 5
sebagai variabel basis. Hal ini menghasilkan nilai awal fungsi tujuan W = 8M.
Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut :
Ket Var.
Basis W I j k S1 S2 R1 R2 Nilai Kanan Rasio
Iterasi Awal W 1 -6+2M -15+3M -24+10M -M -M 0 0 8M -
ev = k R1 0 2 0 6 -1 0 1 0 3 1/2
lv = R1 R2 0 0 3 4 0 -1 0 1 5 5/4
Iterasi (1) W 1 2-(4M/3) -15+3M 0 -4+(2M/3) -M 4-(5M/3) 0 12+3M -
ev = j k 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/6 0 ½ -
lv = R2 R2 0 -4/3 3 0 2/3 -1 -2/3 1 3 1
Iterasi (2) W 1 -14/3 0 0 -2/3 -5 4/6 - M 5 – M 27
Optimal k 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/6 0 ½
j 0 -4/9 1 0 2/9 -1/3 -2/9 1/3 1
Karena pada iterasi (2) semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka penyelesaian
optimal tercapai. Jadi permasalahan tersebut mencapai nilai optimal di titik (i, j, k) =
2
1 1, 0,
dengan Wmin = 27.
METODE PEMBELAJARAN
Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi
Mengulas tentang metode simpleks
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang algoritma metode simpleks untuk
menyelesaiakan permasalahan yang penyelesaian awalnya semu.
Elaborasi a. Memberikan permaslahan program linear
b. Kegiatan Kelompok
Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan
penyelesaiannya menggunakan metode simpleks teknik M.
Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat
yang telah disediakan.
c. Diskusi antar kelompok
3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di
posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan
atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain.
3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu
kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan
bertanya pekerjaan kelompok lain.
Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang
sudah dibuat dikerjakan mahasiswa.
35 menit
5 menit
30 menit
5 menit
40 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai kejadian penyelesaian awal
semu.
5 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 11
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks
Indikator : 3.4 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan
metode simpleks Dua Tahap.
Tujuan : 3.4.1 Menentukan prasyarat awal pemakaian metode dua tahap
3.4.2 Menentukan fungsi tujuan pada tahap I dan tahap II
3.4.3 Menentukan kriteria optimum pada tahap I dan tahap II
3.4.3 Menentukan nilai optimum dari permasalahan program linear
MATERI
METODE SIMPLEKS DUA TAHAP
Pemberian koefisien M pada variabel semu fungsi tujuan untuk metode penalti, ternyata
menghambat sekali. Karena pemberian bilangan yang sangat besar tersebut akan mengurangi kecepatan
perhitungan. Jika pada tablo optimal simpleks dari permasalahan yang mengandung variabel semu
ternyata R tidak sama dengan nol, maka penyelesaian yang diperoleh adalah penyelesaian optimal yang
tidak feasible.
Untuk mengatasi hal tersebut maka dikembangkan metode dua tahap. Sesuai dengan namanya,
cara kerjanya dibagi menjadi dua tahap. Tahap I bertujuan untuk mengetahui apakah R dalam suatu
permasalahan dapat mencapai nilai nol atau tidak. Jika R mencapai nilai nol berarti penyelesaian optimal
yang akan diperoleh pada tahap II merupakan penyelesaian optimal yang feasible. Jika R tidak nol berarti
penyelesaian optimal yang akan diperoleh pada tahap II merupakan penyelesaian optimal yang tidak
feasible. Jika hal ini terjadi maka tahap II pada metode dua tahap tidak perlu dikerjakan. Tahap II pada
metode duan tahap bertujuan untuk mencari penyelesaian optimal dari permasalahan aslinya.
LANGKAH METODE DUA TAHAP
Tahap I
Mencari nilai minimal dari jumlah variabel-variabel semu terhadap fungsi batasan pada masalah
aslinya.
Meminimumkan r =
n
1iiR
Jika rmin = 0 maka dilanjutkan ke tahap II
Jika rmin > 0 maka tidak dilanjutkan ke tahap II
Tahap II
Menggunakan penyelesaian basis optimal pada tahap I sebagai penyelesaian basis awal pada
masalah aslinya. Untuk lebih jelasnya perhatikan conoth berikut.
Contoh
Tahap I
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k
Terhadap batasan : 2i + 6k 3 (1)
3j + 4k 5 (2)
i, j, k 0
Meminimumkan : r =
2
1iiR
Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3 (1)
3j + 4k S2 + R2 = 5 (2)
i, j, k, S1, S2, R1, R2 0
Karena (1) 2i + 6k S1 + R1 = 3 R1 = 3 – 2i – 6k + S1
(2) 3j + 4k S2 + R2 = 5 R2 = 5 – 3j – 4k + S2 Maka R1 + R2 = 8 – 2i – 3j – 10k + S1 +
S2
Sehingga bentuk kanoniknya menjadi :
Meminimumkan : r =
2
1iiR = 8 – 2i – 3j – 10k + S1 + S2
r + 2i + 3j + 10k – S1 – S2 = 8
Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3
3j + 4k S2 + R2 = 5
i, j, k, S1, S2, R1, R2 0
Permasalahan tersebut memiliki 2 persamaan dengan 7 variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya
permasalahan tahap I ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut :
Mencari penyelesaian basis awal feasible.
Ambil sebanyak 7 – 2 = 5 variabel non basis yaitu : i = j = k = S1 = S2 = 0. Akibatnya R1 = 3, R2 = 5
sebagai variabel basis. Hal ini menghasilkan nilai awal fungsi tujuan r = 8.
Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut :
Keterangan Var.
Basis R i j K S1 S2 R1 R2
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi Awal r 1 2 3 10 -1 -1 0 0 8 -
ev = k R1 0 2 0 6 -1 0 1 0 3 1/2
lv = R1 R2 0 0 3 4 0 -1 0 1 5 5/4
Iterasi (1) r 1 -4/3 3 0 2/3 -1 -5/3 0 3 -
ev = j K 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/6 0 1/2 -
lv = R2 R2 0 -4/3 3 0 2/3 -1 -2/3 1 3 1
Iterasi (2) r 1 0 0 0 -5/3 0 -1 -1 0
Optimal k 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/6 0 1/2
j 0 -4/9 1 0 2/9 -1/3 -2/9 1/3 1
Karena pada iterasi (2) semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka penyelesaian
optimal tercapai. Berdasarkan iterasi pada tahap I diperoelh bahwa rmin = 0 berarti masalah tersebut
memiliki penyelesaian yang feasible dan dapat dilanjutkan pada tahap II.
TAHAP II
Karena rmin = 0 berarti R1 = R2 = 0 sehingga variabel-variabel semu pada perhitungan tahap II dapat
diabaikan. Sehingga tablo optimal tahap I dapat ditulis dalam bentuk persamaan menjadi :
3
1i + k –
6
1S1 =
2
1 (1) dan
9
4 i + j +
9
2S1
3
1 S2 = 1 (2)
Sehingga permasalahan pada tahap II menjadi :
Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k
Terhadap batasan : 3
1i + k –
6
1S1 =
2
1
9
4 i + j +
9
2S1
3
1 S2 = 1
i, j, k, S1, S2 0
Permasalahan tersebut memiliki 2 persamaan dengan 5 variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya
permasalahan ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut :
Mencari penyelesaian basis awal feasible.
Pada tahap II ini penyelesaian basis awal feasible telah diperoleh dari tablo optimal permasalahan
pada tahap I. Jadi dari tablo optimal permasalahan tahap I diperoleh bahwa :
(1) 3
1i + k –
6
1S1 =
2
1 k =
2
1 –
3
1i +
6
1S1
(2) 9
4 i + j +
9
2S1 –
3
1S2 = 1 j = 1 +
9
4i –
9
2S1 +
3
1S2
Sehingga penyelesaian basis awal tahap II terjadi pada saat : k =2
1–
3
1i +
6
1S1 dan j = 1 +
9
4i–
9
2S1 +
3
1S2
dengan : W = 6i + 15j + 24
W = 6i + 15
21 S
3
1 + S
9
2 - i
9
4 + 1 + 24
1S
6
1 i
3
1 -
2
1
W = 3
14i +
3
2S1 +5S2 + 27
W 3
14i
3
2S1 5S2 = 27
Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut :
Keterangan Variabel
Basis W i j k S1 S2 Nilai Kanan Rasio
Iterasi awal W 1 -14/3 0 0 -2/3 -5 27
(0) k 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/2
Optimum j 0 -4/9 1 0 2/9 -1/3 1
Karena pada iterasi awal (0) semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka
penyelesaian optimal telah tercapai. Jadi permasalahan tersebut mencapai nilai optimal di titik (i, j, k)
=
2
1 1, 0, dengan nilai Wmin = 27.
METODE PEMBELAJARAN
Practice Rehearsal Pairs
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Mengulas kembali tentang metode penalti.
b. Motivasi
1. Memberikan permasalahan program linear yang penyelesaian
awalnya semu
2. Mengungkapkan kesulitasn yang dialami pada saat
menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode
5 menit
10 menit
penalti
3. Memberikan wawasan tentang metode dua tahap sebagai
salah satu alternatif untuk menyelesaikan permasalahan
program linear
2. Penyajian Eksplorasi
Memberi penjelasan tentang metode simpleks dua tahap untuk
menyelesaiakan permasalahan yang penyelesaian awalnya semu.
Elaborasi
a. Memberikan permaslahan program linear yang penyelesaian
awalnya semu.
b. Meminta mahasiswa berkelompok.
c. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus
menyelesaiakan permassalahan meggunakan metode simpleks
dua tahap dan menjawab pertanyaan yang ada pada LKM.
d. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim
yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran.
Eksplanasi
Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada siswa tentang
konsep yang harus dipahami mahasiswa.
10 menit
5 menit
5 menit
30 menit
30 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi
Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal, yang menyangkut :
a. Penentuan prasyarat awal pemakaian metode dua tahap
b. Penentuan fungsi tujuan pada tahap I dan tahap II
c. Penentuan kriteria optimum pada tahap I dan tahap II
d. Penentuan nilai optimum dari permasalahan program linear
10 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 12
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks
Indikator : 3.5 Melakukan Interpretasi terhadap Tablo Optimal Simpleks
Tujuan : 3.5.1 Menentukan penyelesaian optimal dari tablo optimal simpleks
3.5.2 Menentukan bobot satuan pada tablo optimal simpleks
3.5.3 Menentukan status sumber pada tablo optimal simpleks
MATERI
INTERPRETASI TABLO OPTIMAL SIMPLEKS
Dalam suatu tablo optimal simpleks terdapat beberapa informasi penting yang dapat digunakan
sebagai bahan pertimbangan dalam meningkatkan nilai keoptimalan fungsi tujuan. Informasi penting
tersebut meliputi : 1. Penyelesaian optimal
2. Status sumber
3. Bobot satuan (unit worth) suatu sumber
Contoh 2.5
Sebuah industri rumah tangga memproduksi dua jenis roti, yaitu roti jenis A dan B dengan bahan dasar
berupa terigu, keju dan daging. Kebutuhan dasar utama per unit produksi dan batas maksimum
persediaan bahan dasar utama untuk satu masa produksi serta laba dari penjualan kue tertera pada tabel
berikut :
Bahan Dasar
Utama
Jenis Kue Persediaan
Maksimum Satuan
A B
Terigu 12 8 52 Kg
Keju 0 6 30 ons
Daging 4 0 12 ons
Laba 6 10 Ratusan Rupiah
Permasalahan tersebut dapat diubah ke dalam bentuk matematis menjadi :
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Memaksimumkan : P = 6a + 10b
Terhadap batasan : 12a + 8b 52 (1)
6b 30 (2)
4a 12 (3)
a, b 0
Memaksimumkan : P – 6a – 10b = 0
Terhadap batasan : 12a + 8b + S1 = 52 (1)
6b + S2 = 30 (2)
4a + S3 = 12 (3)
a, b, S1, S2, S3 0
Apabila permasalahan tersebut diselesaikan dengan metode simpleks, maka diperoleh tablo simpleks
berikut :
Keterangan Variabel
Basis P a b S1 S2 S3
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi Awal P 1 -6 -10 0 0 0 0 -
0 S1 0 12 8 1 0 0 52 13/2
ev = b S2 0 0 6 0 1 0 30 5
lv = S2 S3 0 4 0 0 0 1 12 -
Iterasi P 1 -6 0 0 5/3 0 50 -
(1) S1 0 12 0 1 4/3 0 12 1
ev = a b 0 0 1 0 1/6 0 5 -
lv = S1 S3 0 4 0 0 0 1 12 3
Iterasi P 1 0 0 1/2 1 0 56
(2) a 0 1 0 1/12 -1/9 0 1
Optimal b 0 0 1 0 1/6 0 5
S3 0 0 0 -1/3 4/9 1 28/3
PENYELESAIAN OPTIMAL
Dalam membaca informasi penyelesaian optimal, klasifikasi variabel sebagai variabel basis
maupun non basis tidak begitu penting. Variabel yang tidak tercantum dalam kolom variabel basis berarti
bernilai nol. Sedangkan nilsi variabel-variabel yang terletak pada kolom variabel basis dapat dilihat pada
kolom nilai kanan. Dari tablo optimal simpleks pada contoh 2.5 dapat diperoleh informasi seperti yang
terlihat pada tabel berikut:
Variabel Keputusan Nilai Optimal Keputusan
a 1 Dalam satu masa produksi membuat roti jenis A sebanyak 1
B 5 Dalam satu masa produksi membuat roti jenis B sebanyak 5
P 56 Keuntungan yang diperoleh sebesar Rp. 5.600,-
STATUS SUMBER
Status dari sumber dalam satu masa produksi diklasifikasikan menajdi dua jenis, yaitu :
Scarce, sumber dikatakan scarce apabila kapasitas persediaan sumber tersebut dipakai semua
Abundant, sumber dikatakan abundant apabila kapasitas persediaan sumber tersebut tidak dipakai
semua
Dalam pembahasan mengenai status sumber ini berkaitan dengan persediaan sumber yang
mempunyai batas maksimal, yang ebrarti fungsi batasan yang berkaitan dengan sumber tersebut
merupakan pertidaksamaan dengan tanda . Sehingga untuk permasalahan program linear dengan fungsi
batasan berupa pertidaksamaan dengan tanda secara fisik tidak dapat dikaji tentang status sumber dari
permasalahan tersebut. Informasi mengenai status sumber dapat dilihat langsung dari tablo optimal
simpleks dengan cara memperhatikan nilai-nilai variabel slacknya. Untuk lebih jelasnya, berikut ini akan
dibahas status sumber pada permaslaahan dari contoh 2.5.
Sumber Variabel slack Status sumber
Sumber 1 (terigu) S1 = 0 Scarce / terpakai semua
Sumber 2 (keju) S2 = 0 Scarce / terpakai semua
Sumber 3 (daging) S3 = 28/3 Abundant / melimpah
Variabel slack yang bernilai positif berarti kapasitas dari sumber melimpah atau tidak digunakan
seluruhnya. Sedangkan apabila variabel slack bernilai nol berarti persediaan sumber dipakai semua dalam
produksi.
Berdasar tabel di atas terlihat bahwa terigu dan keju dipakai semua dalam produksi roti.
Sehingga, baik terigu maupun keju apabila kapasitasnya ditambah akan menigkatkan keuntungan. Untuk
daging kapasitas sebesar 12 ons dalam satu masa produksi ternyata tidak dipakai seluruhnya, jadi masih
ada sisa. Sehingga apabila kapasitas daging ditambah maka akan sia-sia karena tidak akan menambah
keuntungan.
BOBOT SATUAN (UNIT WORTH) SUATU SUMBER
Unit worth suatu sumber adalah laju penambahan nilai optimal dari fungsi tujuan sebagai akibat
kenaikan persediaan/kapasitas sumber. Informasi mengenai unit worth suatu sumber dapat diperoleh
langsung dari tablo optimal simpleks. Untuk lebih jelasnya akan dilihat unit worth dari tablo optimal
simpleks pada contoh 2.5 berikut :
Keterangan Variabel
Basis P a b S1 S2 S3
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi P 1 0 0 1/2 1 0 56
(2) a 0 1 0 1/12 -1/9 0 1
Optimal b 0 0 1 0 1/6 0 5
S3 0 0 0 -1/3 4/9 1 28/3
Dari tabel di atas diperoleh informasi bahwa :
Unit worth dari sumber 1 (terigu) sebesar 1/2
Berarti penambahan kapasitas terigu setiap 1 kg menyebabkan kenaikan keuntungan sebesar Rp.
50,-
Unit worth dari sumber 2 (keju) sebesar 1
Berarti penambahan kapasitas keju setiap 1 ons menyebabkan kenaikan keuntungan sebesar Rp.
100,-
Unit worth dari sumber 3 (daging) sebesar 0
Berarti penambahan kapasitas daging tidak akan mempengaruhi keuntungan
Penambahan kapasitas sumber 2 (keju) seharusnya lebih diprioritaskan dibandingkan sumber yang lain.
METODE PEMBELAJARAN
Practice Rehearsal Pairs
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi Mengulas kembali tentang metode penalti.
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang cara menginterpretasikan tablo optimal
simpleks
Elaborasi a. Memberikan permaslahan program linear.
b. Meminta mahasiswa berkelompok.
c. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus
menyelesaiakan permassalahan dengan metode simpleks dan
menginterpretasi hasilnya.
d. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim
yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran.
Eksplanasi Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada siswa tentang
konsep yang harus dipahami mahasiswa.
20 menit
5 menit
5 menit
40 menit
30 menit
25 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi
Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal, yang menyangkut :
a. Menentukan penyelesaian optimal dari tablo optimal simpleks
b. Menentukan bobot satuan pada tablo optimal simpleks
c. Menentukan status sumber pada tablo optimal simpleks
15 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 13
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks
Indikator : 3.6 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat
optimasi dengan metode simpleks.
Tujuan : 2.6.1 Mengidentifikasi ciri kasus degenerasi
2.6.2 Mengidentifikasi ciri kasus optimal alternatif
2.6.3 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak terbatas
2.6.4 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak feasible
MATERI
KEJADIAN KHUSUS PADA METODE SIMPLEKS
DEGENERASI
Dalam penggunaan metode simpleks syarat ke-feasible-an ditunjukkan dengan rasio minimal.
Dalam aplikasinya dimungkinkan terjadi rasio minimal tersebut lebih dari satu. Apabila hal itu terjadi maka
satu atau lebih variabel basis akan bernilai nol pada iterasi berikutnya. Kejadian seperti ini
dikatakanbahwa penyelesaian baru yang diperoleh adalah degenerate. Peristiwa ini terjadi disebabkan
permasalahan program linear tersebut memiliki satu fungsi batasan yang berlebih.
Contoh 2.6
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Memaksimumkan : Z = 3a + 9b
Terhadap batasan : a + 4b 8 (1)
a + 2b 4 (2)
a, b 0
Memaksimumkan : Z – 3a – 9b = 0
Terhadap batasan : a + 4b + S1 = 8
(1)
a + 2b + S2 = 4
(2)
a, b, S1, S2 0
Berikut adalah tablo simpleks dari permasalahan di atas :
Keterangan Variabel
Basis Z a b S1 S2
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi Awal
(0) Z 1 -3 -9 0 0 0 -
ev = b S1 0 1 4 1 0 8 2
lv = S2 S2 0 1 2 0 1 4 2
Iterasi (1) Z 1 -3/4 0 9/4 0 18 -
ev = a B 0 1/4 1 1/4 0 2 8
lv = S1 S2 0 1/2 0 -1/2 1 0 0
Iterasi (2) Z 1 0 0 3/2 3/2 18
Optimal B 0 0 1 1/2 -1/2 2
a 0 1 0 -1 2 0
Secara umum, pada peristiwa degenerasi, prosedur simpleks akan terulang dalam iterasi pada
baris yang sama, nilai fungsi tujuan tidak berubah dan perhitungan tidak pernah berhenti. Peristiwa ini
disebut cycling. Tabel pada contoh 2.6 diatas memperlihatkan degenerasi terjadi karena pada iterasi (1)
dan (2) walaupun variabel basis dan non basisnya berbeda, namun tetap menghasilkan nilai yang sama
untuk semua variabel dalam fungsi tujuan, yaitu : a = 0, b = 2, S1 = 0, dan S2 = 0 menghasilkan Wmaks =
18. Jadi peristiwa degenerasi tidak selamanya seperti pada cycling, namun ada kemungkinan degenerasi
tersebut sifatnya hanya sementara saja (temporarily degenerate).
OPTIMAL ALTERNATIF
Dalam kejadian ini terdapat beberapa alternatif penyelesaian optimal pada suatu permasalahan.
Artinya, fungsi tujuanakan bernilai optimal sama pada lebih dari satu titik penyelesaian. Perhatikan contoh
berikut ini :
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Memaksimumkan : P = 2a + 4b
Terhadap batasan : a + 2b 5 (1)
a + b 4 (2)
a, b 0
Memaksimumkan : P – 2a – 4b = 0
Terhadap batasan : a + 2b + S1 = 5 (1)
a + b + S2 = 4 (2)
a, b, S1, S2 0
Berikut adalah tablo simpleks dari permasalahan di atas :
Keterangan Variabel
Basis P a B S1 S2
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi Awal (0) P 1 -2 -4 0 0 0 -
ev = b S1 0 1 2 1 0 5 5/2
lv = S1 S2 0 1 1 0 1 4 4
Iterasi (1) Optimal P 1 0 0 2 0 10 -
ev = a b 0 1/2 1 1/2 0 5/2 5
lv = S2 S2 0 1/2 0 -1/2 1 3/2 3
Iterasi (2) P 1 0 0 2 0 10
Optimal b 0 0 1 1 1 1
a 0 1 0 -1 2 3
Pada metode simpleks iterasi terjadi dari satu titik ekstrim ke titik ekstrim lain yang saling
terhubung. Pada tabel diatas terlihat bahwa penyelesaian optimal tercapai di titik (a, b) = (0, 5/2) dan
menghasilkan Pmaks = 10. Perhatikan iterasi (1), koefisien dari variabel non basis a pada fungsi tujuan
adalah nol, selanjutnya a masuk sebagai variabel basis pada iterasi berikutnya tanpa mengubah nilai P,
tetapi berakibat pada perubahan nilai variabelnya. Pada iterasi (2), a masuk menjadi variabel basis dan
memaksa S2 keluar menjadi variabel non basis. Pada iterasi (2) penyelesaian optimal baru terjadi di (a, b)
= (3, 1) dan menghasilkan Pmaks = 10.
PENYELESAIAN TIDAK TERBATAS
Perhatikan contoh permasalahan pemrograman linear berikut :
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Memaksimumkan : T = 2a + b
Terhadap batasan : a b 10 (1)
2b 40 (2)
a, b 0
Memaksimumkan : T – 2a – b = 0
Terhadap batasan : a b + S1 = 5 (1)
2a + S2 = 40 (2)
a, b, S1, S2 0
Berikut adalah tablo simpleks dari permasalahan di atas :
Keterangan Variabel
Basis P a b S1 S2
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi Awal (0) T 1 -2 -1 0 0 0 -
ev = b S1 0 1 -1 1 0 10 10
lv = S1 S2 0 2 0 0 1 40 20
Iterasi (1) T 1 0 -3 2 0 20 -
ev = b A 0 1 -1 1 0 10 -
lv = S2 S2 0 0 2 -2 1 20 10
Iterasi (2) T 1 0 0 -1 3/2 50 -
A 0 1 0 0 1/2 30 -
b 0 0 1 -1 1/2 10 -
Perhatikan tabel di atas. Pada iterasi (2) penyelesaian optimal belum tercapai, S1 terpilih sebagai
entering variable, akan tetapi leaving variable-nya tidak dapat ditentukan. Jadi permasalahan tersebut
memiliki penyelesaian yang tidak terbatas.
Secara umum, perhatikan tabel diatas, a dan b merupakan variabel non basis. Salah satu variabel
ini akan terpilih menjadi entering variable yang akan masuk sebagai variabel basis pada iterasi
selanjutnya. Tetapi perhatikan bahwa semua fungsi batasan di kolom b adalah non-positif. Artinya, nilai b
dapat dinaikkan sampai tak hingga tanpa melanggar satupun batasan. Jadi dengan melihat tablo awal
simpleks, tanpa melalui perhitungan pun dapat disimpulkan bahwa permasalahan tersebut memiliki
penyelesaian yang tidak terbatas.
PENYELESAIAN TIDAK FEASIBLE
Perhatikan contoh permasalahan pemrograman linear berikut :
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Memaksimumkan : K = 3a + 2b
Terhadap batasan : 2a + b 2 (1)
3a + 4b 12 (2)
a, b 0
Memaksimumkan : K – 3a – 2b + M(12 – 3a – 4b + S2)= 0
Terhadap batasan : 2a + b + S1 = 2 (1)
3a + 4b – S2+ R = 12 (2)
a, b, S1, S2, R 0
Berikut adalah tablo simpleks dari permasalahan di atas :
Keterangan Variabel
Basis K a b S1 S2 R
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi Awal (0) K 1 –3 – 3M –2 – 4M 0 M 0 0 -
ev = b S1 0 2 1 1 0 0 2 2
lv = S1 R 0 3 4 0 -1 1 12 3
Iterasi (1) T 1 1 + 3M 0 2 + 4M M 0 4 – 4M
Optimum b 0 2 1 1 0 0 2
R 0 -5 0 -4 -1 1 4
Pada tabel tersebut terlihat bahwa pada iterasi (1) telah tercapai penyelesaian optimum. Untuk
penyelesaian optimum tersebut diperoleh nilai variabel semu R = 4. Hal ini menunjukkan bahwa
penyelesaian permasalahan tersebut merupakan penyelesaian yang tidak feasible.
METODE PEMBELAJARAN
Kelompok belajar (The Study Group)
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang kejadian khusus permasalahan
program linear, karena kemungkinan ada permasalahan yang
tidak memiliki penyelesaian atau bahkan penyelesaiannya tidak
tunggal.
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan berbagai permasalahan program linear yang memuat
kejadian khusus berikut :
1). Degenerasi
2). Optimal alternatif
3). Penyelesaian tidak terbatas
4). Penyelesaian tidak layak
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan nilai optimum dari berbagai
permasalahan pemrograman linear.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
5 menit
10 menit
50 menit
50 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan ciri kejadian khusus pada metode simpleks
20 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
3. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
4. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
Top Related