PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
1
ตอนท� 1 แบบปรนย 5 ตวเลอก จานวน 30 ขอ(ขอ 1 – 30) ขอละ 6 คะแนน
1. กาหนดให p, q และ r เปนประพจน โดยท� (p r) ( p q) เปนประพจนท�มคาความจรงเปน จรง
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. (q r) p มคาความจรงเปน จรง 2. (p q) (r p) มคาความจรงเปน จรง
3. (r q) (p q) มคาความจรงเปน จรง 4. (q p) (q r) มคาความจรงเปน เทจ
5. (r q) (p r) มคาความจรงเปน เทจ
2. ให S แทนคอมพลเมนตของ S และ n(S) แทนจานวนสมาชกของเซต S
ให A, B และ C เปนเซตใดๆ โดยท� A (B C) , n(A) = 12, n(B) = 15 , n(C) = 16,
n(A B C) 20 และ n(A B) n(B C) n(A C) ขอใดตอไปน �ไมถกตอง
1. n(A B C) 10 2. n(A B) 11
3. n(A B) 4 4. n((A B) C) 12
5. n((A B) C) 5
3. ให A เปนเซตคาตอบของอสมการ x 1 1 1
และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ 2
1 2x 2
x 1 x 3x 2
เซต A B เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน �
1. (–5, –1) 2. (–3,1)
3. (–1, 3) 4. (0, 4)
5. (1, 5)
4. 2 o 2 o 2 o 2 o(3 4 sin 9 )(3 4 sin 27 )(3 4 sin 81 )(3 4 sin 243 ) มคาเทากบเทาขอใดตอไปน �
1. 0 2. 1
3. 2 4. otan 9
5. ocot9
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
2
5. ถา 22 cot (1 cot )2
และ 0
2
แลวคาของ
2(1 sin )sec
cos2
เทากบขอใดตอไปน �
1. 0.125 2. 0.25
3. 1 4. 2
5. 4
6. คาของ 2 2 3sec (arctan2) cosec (arccot3) cosec(2 arccot2 arccos )
5 เทากบขอใดตอไปน �
1. 335
24 2.
351
24
3. 375
24 4.
385
24
5. 399
24
7. กาหนดให A arcsin(cos )3
และ 0 B
2
2 2 2sin B sin (A B) sin (5A B) ตรงกบขอใดตอไปน �
1. 0 2. 1
3. 3
sin2B2
4. 3
cos 2B2
5. 3
2 cos 2B2
8. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวกท�มากกวา 2 และสอดคลองกบ
2a a alog (b 2) log 3 log (b 2) และ 2
b a alog a log b 1 log b
แลว a + b เทากบขอใดตอไปน �
1. 183 2. 210
3. 216 4. 225
5. 239
9. ให R แทนเซตของจานวนจรง
ความสมพนธในขอใดตอไปน �ไมเปนฟงกชน
1. ความสมพนธ 1r (x, y) R R xy 1 0
2. ความสมพนธ 2r (x, y) R R y tan x
3. ความสมพนธ 2 23r (x, y) R R x y 1
4. ความสมพนธ 4r (x, y) R R y 2 x
5. ความสมพนธ 25
yr (x, y) R R x
y 1
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
3
10. ใหวงกลม C มสมการเปน 2 2x y ax 6y 12 0 เม�อ a > 0
โดยระยะทางจากจดศนยกลางของวงกลม C ไปยงเสนตรง 4x + 3y = 71 เทากบ 14 หนวย
ถาพาราโบลารปหน�ง มโฟกสอยท�จดศนยกลางของวงกลม C และ ม y = 7 เปนไดเรกตรกซ
แลวสมการของพาราโบลารปน �ตรงกบขอใดตอไปน �
1. 2x 4x 4y 16 0 2. 2x 4x 4y 16 0
3. 2x 4x 4y 20 0 4. 2x 4x 8y 44 0
5. 2x 4x 8y 36 0
11. ใหพาราโบลารปหน�ง มสมการเปน 2y 4y 40x 236 0
โดยม V และ F เปนจดยอด และโฟกสของของพาราโบลาตามลาดบ
ถาวงรรปหน�ง ผานจด (4, 6) และมโฟกสอยท� V และ F แลวสมการของวงรรปน �ตรงกบขอใดตอไปน �
1. 2 24x 9y 8x 36y 140 0 2. 2 24x 9y 8x 36y 140 0
3. 2 24x 9y 8x 36y 140 0 4. 2 29x 4y 36x 8y 180 0
5. 2 29x 4y 36x 8y 180 0
12. กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนตรรกยะ
ให P(x) คอ 38x 4x 1 0
Q(x) คอ 4 28x 8x x 1 0
และ R(x) คอ 3 2x x 0
พจารณาขอความตอไปน �
(ก) x[P(x) Q(x)] มคาความจรงเปนจรง
(ข) x[Q(x) R(x)] มคาความจรงเปนจรง
(ค) x[P(x) R(x)] มคาความจรงเปนจรง
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) ถกเพยงขอเดยว 2. ขอ (ข) ถกเพยงขอเดยว
3. ขอ (ค) ถกเพยงขอเดยว 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
13. คาของ 3
2x 1
1 2xlim 1
1 x x 1
เทากบขอใดตอไปน �
1. 0 2. 0.5
3. 1 4. 2
5. 4
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
4
14. กาหนดให C เปนเสนโคง y = 2 + x|x – 1| เม�อ x เปนจานวนจรง
ถา L เปนเสนตรงท�สมผสกบเสนโคง C ท�จด (0, 2)
และให N เปนเสนตรงท�ต �งฉากกบเสนตรง L ณ จด (0, 2) แลวเสนตรง N ผานจดในขอใดตอไปน �
1. (–1, 3) 2. (1, 5)
3. (–2, 5) 4. (3, –2)
5. (–3, 4)
15. ให f เปนฟงกชนหน�งตอหน�ง ซ�งมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตจานวนจรง
โดยท� 1 2xf (x)
x 1
สาหรบทกสมาชก x ในเรนจของ f
พจารณาขอความตอไปน �
(ก) 2f (4) f(4) 3
(ข) f (f(4)) f(f (4))
(ค) f เปนฟงกชนเพ�มบนชวง (0, 2)
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถก แต ขอ (ค) ผด 2. ขอ (ก) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ข) ผด
3. ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ก) ผด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
16. กาหนดให A
และ B
เปนเวกเตอรในระนาบ
โดยท� A 16 i a j
และ B 8 i b j
เม�อ a และ b เปนจานวนจรง
ถา A B
และเวกเตอร B
ทามม 60 กบเวกเตอร A
แลวคาของ 2(a b) เทากบขอใดตอไปน �
1. 8 2. 16
3. 64 4. 192
5. 320
17. ในการจดนกเรยนชาย 4 คน และนกเรยนหญง 4 คน มายนเรยงเปนแถวตรงเพยงหน�งแถว
ความนาจะเปนท�ไมมนกเรยนชายสองคนใดเลยยนตดกน หรอ ไมมนกเรยนหญงสองคนใดเลยยนตดกน
มคาตรงกบขอใดตอไปน �
1. 1
70 2.
1
35
3. 4
35 4.
1
7
5. 2
7
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
5
18. ให f และ g เปนฟงกชน โดยท�
9 x , x 0f(x)
7 x , x 4
และ x 2 , x 1g(x)
x 4 , x 1
พจารณาขอความตอไปน �
(ก) ถา x 0 แลว (g f)(x) 9 x 4
(ข) ถา 4 x 6 แลว (g f)(x) 3 x
(ค) ถา x 6 แลว (g f)(x) 9 x
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถก แต ขอ (ค) ผด 2. ขอ (ก) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ข) ผด
3. ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ก) ผด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
19. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอนท�สอดคลองกบสมการ (9 7i)(z z)(1 i)z 6 2i
3 i
เม�อ 2i 1 และ z แทนสงยค(conjugate)ของ z
พจารณาขอความตอไปน �
(ก) z 8 2
(ข) z 3i 10
(ค) iz 2 8
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถก แต ขอ (ค) ผด 2. ขอ (ก) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ข) ผด
3. ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ก) ผด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
20. กาหนดให 3n
n 2n 1
n2a
3 เม�อ n = 1, 2, 3, ...
อนกรม nn 1
a
ตรงกบขอใดตอไปน �
1. อนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 83
2. อนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 4
3. อนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 24 4. อนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 64
3
5. อนกรมลออก
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
6
21. กาหนดใหขอมลชดท� 1 คอ 1 2 20x 4, x 4, ..., x 4
และขอมลชดท� 2 คอ 1 2 202x 4,2x 4,..., 2x 4
เม�อ 1 2 20x , x , ..., x เปนจานวนจรง
ถาคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลชดท� 1 เทากบ 50 และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของขอมลชดท� 1 เทากบ 10
แลวขอมลชดท� 2 มคาเฉล�ยเลขคณต และ ความแปรปรวนเทากบขอใดตอไปน �
1. คาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 96 และ ความแปรปรวนเทากบ 400
2. คาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 96 และ ความแปรปรวนเทากบ 576
3. คาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 100 และ ความแปรปรวนเทากบ 400
4. คาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 104 และ ความแปรปรวนเทากบ 400
5 คาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 104 และ ความแปรปรวนเทากบ 576
22. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหน�งมการแจกแจงปกต โดยมสมประสทธ�ของการแปรผนของ
คะแนนสอบวชาน � เทากบ 25% และมนกเรยนรอยละ 15.87 ท�สอบไดคะแนนมากกวา 85 คะแนน
ถานาย ก เปนนกเรยนคนหน�งในหองน � สอบไดคะแนน 47.6 คะแนน จะอยในตาแหนงเปอรเซนไทลตรงกบ
ขอใดตอไปน �
เม�อกาหนดพ �นท�ใตเสนโคงปกต ระหวาง 0 ถง z ดงน �
z 0.4 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
พ �นท� 0.1554 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032
1. 34.46 2. 18.41
3. 13.57 4. 11.51
5. 9.68
23. กาหนดให 2 3 n
n 2n
1 2 2 2 ... 2a
3
เม�อ n = 1, 2, 3, ...
คาของ 1 2 3 nnlim a a a ... a
เทากบขอใดตอไปน �
1. 2
9 2.
1
8
3. 9
56 4.
2
7
4. 25
56
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
7
24. กาหนดให I แทนเซตของจานวนเตม และ R แทนเซตของจานวนจรง
ถา 2x 2
r (x, y) R R y4 x 2x 1
และ 2rA x x I D
แลวผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต A เทากบขอใดตอไปน �
1. 6 2. 10
3. 19 4. 29
5. 30
25. ภายใตอสมการขอจากด ตอไปน �
x 2y 4 , x y 1 , x y 1 , x 0 และ y 0
สมการจดประสงคในขอใดตอไปน � ท�มคามากท�สด
1. z = 2x + 2y 2. z = 3x + 2y
3. z = 2x + 3y 4. z = x + 4y
5. z = 4x + y
26. กาหนดให 1 2A
2 1
และ a bB
c d
เม�อ a, b, c และ d เปนจานวนจรงบวก
โดยท� abcd = 9 และ ad bc
ถา 1 1AB B A และ tdet(A B) 24 แลวคาของ a + b + c + d เทากบเทาใด
1. 5 2. 6
3. 7 4. 8
5. 9
27. กาหนดให a และ b เปนเวกเตอรใดๆ ท�ไมเปนเวกเตอรศนย
พจารณาขอความตอไปน �
(ก) ถา a ขนานกบ b แลว a b a b
(ข) ถา 2 2 2a b a b แลว a ต �งฉากกบ b
(ค) ถาเวกเตอร a b ต �งฉากกบเวกเตอร a b แลว a b
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถก แต ขอ (ค) ผด 2. ขอ (ก) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ข) ผด
3. ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ก) ผด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
8
28. กาหนดให a, b, c, d และ e เปนจานวนจรงบวกสอดคลองกบ
a + b – 4 = b + c + 5 = c + d + 1 = d + e – 2 = e + a + 3
พจารณาขอความตอไปน �
(ก) c + e < b + d
(ข) c < b < e < d
(ค) a + d < b + c
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) ถกเพยงขอเดยว 2. ขอ (ข) ถกเพยงขอเดยว
3. ขอ (ค) ถกเพยงขอเดยว 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
29. กาหนดขอมลชดหน�ง ดงตารางตอไปน �
คะแนน จานวน
0 – 2 3
3 – 5 5
6 – 8 a
9 – 11 3
เม�อ a เปนจานวนเตมบวก
ถาคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลชดน �เทากบ 5 แลวมธยฐานของขอมลชดน � เทากบเทาใด
1. 3.8 2. 4.3
3. 4.8 4. 4.9
5. ไมมคาตอบ
30. จากการสารวจประชากรของหมบานแหงหน�ง มผหญงรอยละ 60 ของประชากรท �งหมดในหมบานน �
และมอตราสวนของจานวนผหญงท�มสายตาผดปกต ตอจานวนผหญงท�มสายตาปกต เทากบ อตราสวนของ
จานวนประชากรในหมบานน �ท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนประชากรในหมบานน �ท�มสายตาปกต
พจารณาขอสรปเก�ยวกบประชากรในหมบาน ตอไปน �
(ก) ผหญงท�มสายตาผดปกตมจานวน 1.5 เทาของจานวนผชายท�มสายตาผดปกต
(ข) ผชายท�มสายตาปกตมจานวนมากกวาจานวนผหญงสายตาปกต
(ค) อตราสวนของจานวนผหญงท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนผหญงท �งหมดในหมบานน � มากกวา
อตราสวนของจานวนผชายท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนผชายท �งหมดในหมบานน �
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) ถกเพยงขอเดยว 2. ขอ (ข) ถกเพยงขอเดยว
3. ขอ (ค) ถกเพยงขอเดยว 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
9
ตอนท� 2 แบบอตนย ระบายคาตอบท�เปนตวเลข จานวน 15 ขอ(ขอ 31 – 45) ขอละ 8 คะแนน
31. ในการสารวจความชอบเรยนวชาคณตศาสตร วชาภาษาไทย และวชาภาษาองกฤษ ของนกเรยนกลมหน�ง
พบวา มนกเรยนชอบเรยนวชาคณตศาสตร 150 คน
มนกเรยนชอบเรยนวชาภาษาไทย 80 คน
มนกเรยนชอบเรยนภาษาองกฤษ 60 คน
และ มนกเรยน 30 คน ชอบเรยนท �งสามวชา
นกเรยนกลมน �มจานวนอยางมากก�คน
32. ให A แทนเซตคาตอบของสมการ x x 4 x 4 x 43 9 3 3 3
และให B 59 x x A
ผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต B เทากบเทาใด
33. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให f : R R เปนฟงกชนท�สามารถหาอนพนธได และ
สอดคลองกบ 2
x 2
x x 6lim 6
1 f(x) 3
และ 1 f(x) 0 สาหรบทกจานวนจรง x
ถาเสนตรง 6x – y = 4 ตดกบกราฟ y = f(x) ท� x = 2 แลวคาของ f (2) เทากบเทาใด
34. กาหนดใหฟงกชน 3
2
x , x 1ax b , 1 x 1f(x)
3x 2 , x 1
เม�อ a และ b เปนจานวนจรง
ถาฟงกชน f ตอเน�อง สาหรบทกจานวนจรง x แลวคา 2
2
f(x) dx เทากบเทาใด
35. กาหนดให a > 1 และ
นยาม nn
2L(n) log a สาหรบ n = 1, 2, 3, ...
ถา 1 1 1... 77
L(1) L(2) L(10) แลวคาของ a เทากบเทาใด
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
10
36. ถา a และ b เปนจานวนจรงท�สอดคลองกบ 1 b 0a 4 1 175 a a
แลวคาของ 5 2a 2 58 a 2b a2 a 0 a
เทากบเทาใด
37. ให na เปนลาดบเลขคณตของจานวนจรง
โดยท� 1 3 5 49 2 4 6 50a a a ... a a a a ... a 1275 และ 100a 200
คาของ 51 52 53 100a a a ... a เทากบเทาใด
38. ตองการสรางจานวนหาหลก จากเลขโดด 1, 2, 3 โดยท�แตละหลกมตวเลขซ �ากนได และจานวนหาหลก
ประกอบดวยตวเลข 1 อยางนอย 1 หลก ตวเลข 2 อยางนอย 1 หลก และตวเลข 3 อยางมาก 2 หลก
จะมจานวนหาหลกดงกลาวไดท �งหมดก�จานวน
39. จากการสารวจปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวชนดหน�ง จานวน 8 ตว ไดขอมลซ�งแสดงความสมพนธ
ระหวางอาย(ป) ของสตวชนดน � และปรมาณอาหารเสรม(กโลกรม)ท�ใชเล �ยงสตวดงกลาวตอสปดาห
ปรากฏผลดงน �
อาย(ป) : x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x
ปรมาณอาหารเสรมตอสปดาห(กโลกรม) : y 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y
โดยท� 8
ii 1
x 40
, 8
ii 1
y 48
, 8
2i
i 1
x 210
, 8
2i
i 1
y 380
8
i ii 1
x y 270
และ 3 = 1 2 8x x ... x 10
สมมตวากราฟแผนภาพการกระจายท�แสดงความสมพนธระหวางปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวตอ
สปดาห และอายของสตวดงกลาว อยในรปแบบเสนตรง ถาสตวชนดน �มอาย 4 ป จะตองใชปรมาณอาหาร
เสรมท�ใชเล �ยงสตวตอสปดาหประมาณก�กโลกรม
40. ถา 2 2Ax By Dx Ey 21 เปนสมการของไฮเพอรโบลารปหน�งมแกนตามขวางขนานแกน x
มเสนตรง 2x y 1 0 เปนเสนกากบ(asymptote)เสนหน�ง และมจด (1 2 5, 3) เปนโฟกสจดหน�ง
แลวคาของ 2 2 2 2A B D E เทากบเทาใด
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
11
41. ให S เปนเซตของคอนดบ (a, b) ท �งหมด โดยท� a, b เปนจานวนเตมบวกท�สอดคลองกบ 1 1 1
a b 10
จานวนสมาชกของเซต S เทากบเทาใด
42. ให A เปนเซตของจานวนจรง x ท �งหมด ท�สอดคลองกบอสมการ
2x1 x
1 x 1 x
ถา a เปนขอบเขตบนนอยสดของเซต A และ b เปนขอบเขตลางมากสดของเซต A
แลวคาของ 2 2a b เทากบเทาใด
43. ให A เปนเซตของคอนดบ (x, y) โดยท� x และ y เปนจานวนจรงบวกท�สอดคลองกบ
2 x y 2 และ 24 23 log 16x 6 6 log y
ให 2 2B x y (x, y) A
คามากท�สดของสมาชกในเซต B เทากบเทาใด
44. กาหนดขอมลกลมตวอยาง 5 จานวนคอ 1 2 3 4 5x , x , x , x , x
โดยท� 5
2i
i 1
x 214
และ 5
2i
i 1
(x x) 34
เม�อ x คอคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลกลมตวอยางน � และ x 0
ถาขอมลกลมตวอยางใหม 5 จานวนคอ 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x 2x , x 2x , x 2x , x 2x , x 2x
มสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 16
แลว คาเฉล�ยเลขคณตของขอมล 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x x , x x , x x , x x , x x เทากบเทาใด
45. ให S เปนเซตของจานวนสองหลก ab ท �งหมด
โดยท� ab + ba = 143 เม�อ a, b {1,2, 3,..., 9} และ a b
ผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต S เทากบเทาใด
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
12
เฉลยคาตอบ ตอนท� 1
1. 2 2. 5 3. 3 4. 2 5. 5 6. 4 7. 4 8. 2 9. 3 10. 5
11. 3 12. 3 13. 1 14. 1 15. 2 16. 4 17 3 18. 4 19. 2 20. 3
21. 1 22. 4 23. 4 24. 4 25. 5 26. 4 27. 3 28. 1 29. 2 30. 1
ตอนท� 2
31. 230 32. 126 33. 5 34. 9.25 35. 32
36. 68 37. โจทยผด 38. 160 39. 3 40. 117
41. 4 42. 1.5 43. 2 44. 78.7 45. 429
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
13
ตอนท� 1 แบบปรนย 5 ตวเลอก จานวน 30 ขอ(ขอ 1 – 30) ขอละ 6 คะแนน
1. กาหนดให p, q และ r เปนประพจน โดยท� (p r) ( p q) เปนประพจนท�มคาความจรงเปน จรง
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. (q r) p มคาความจรงเปน จรง 2. (p q) (r p) มคาความจรงเปน จรง
3. (r q) (p q) มคาความจรงเปน จรง 4. (q p) (q r) มคาความจรงเปน เทจ
5. (r q) (p r) มคาความจรงเปน เทจ
เฉลย 2.
แนวคด
กาหนดให p, q และ r เปนประพจน
โดยท� (p r) ( p q) เปนประพจนท�มคาความจรงเปน จรง
กรณท� 1 กรณท� 2
(p r) ( p q) (p r) ( p q)
p เปน F , q เปน F , r เปน T p เปน F , q เปน T , r เปน F
จากท �งสองกรณจะพบวา p เปน F และ q เปนนเสธกบ r
น �นคอ q r F , q r T , q r F
พจารณาตวเลอก
1. (q r) p F F F ตวเลอกท� 1. ผด
2. (p q) (r p) (F q) (r F) T (r F) T ตวเลอกท� 2. ถก
3. (r q) (p q) (r q) (F q) (r q) F F ตวเลอกท� 3. ผด
4. (q p) (q r) (q F) F (q T) F T F T ตวเลอกท� 4. ผด
5. (r q) (p r) T (F r) T T T ตวเลอกท� 5. ผด
T
F
T T
T T
F
F T
T
T
F F
F F
F
F
T
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
14
2. ให S แทนคอมพลเมนตของ S และ n(S) แทนจานวนสมาชกของเซต S
ให A, B และ C เปนเซตใดๆ โดยท� A (B C) , n(A) = 12, n(B) = 15 , n(C) = 16,
n(A B C) 20 และ n(A B) n(B C) n(A C) ขอใดตอไปน �ไมถกตอง
1. n(A B C) 10 2. n(A B) 11
3. n(A B) 4 4. n((A B) C) 12
5. n((A B) C) 5
เฉลย 5. แนวคด
ให n(A B C) x และ n(A B) n(B C) n(A C) y
จากท�กาหนดให A (B C) จะได A (B C) ทาให A B C B C
น �นคอ n(B C) n(A B C) 20
จาก n(B C) n(B) n(C) n(B C)
20 = 15 + 16 – y
y = 11
ดงน �น n(A B) n(B C) n(A C) 11
จาก n(A B C) n(A) n(B) n(C) n(A B) n(B C) n(A C) n(A B C)
20 = 12 + 15 + 16 – y – y – y + x
3y – x = 23
แต y = 1; 33 – x = 23
x = 10
ดงน �น n(A B C) x 10 ตวเลอกท� 1. ถก
n(A B) y 11 ตวเลอกท� 2. ถก
n(A B) n(B A) n(B) n(A B) 15 11 4 ตวเลอกท� 3. ถก
n((A B) C) n((A C) (B C))
n(A C) n(B C) n((A C) (B C))
n(A C) n(B C) n(A B C)
11 11 10
= 12 ตวเลอกท� 4. ถก
n((A B) C) n(C (A B))
n(C A B) n(A B)
20 n(A) n(B) n(A B)
20 (12 15 11)
= 4 ตวเลอกท� 5. ผด
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
15
3. ให A เปนเซตคาตอบของอสมการ x 1 1 1
และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ 2
1 2x 2
x 1 x 3x 2
เซต A B เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน �
1. (–5, –1) 2. (–3,1)
3. (–1, 3) 4. (0, 4)
5. (1, 5)
เฉลย 3. แนวคด
หาเซต A: x 1 1 1
2 2x 1 1 1
2
x 1 2 x 1 1 1
2
x 1 2 x 1 0
x 1 x 1 2 0
ดงน �น A = (–1, 3) – {1}
หาเซต B; 2
1 2x 2
x 1 x 3x 2
2(x 1)1
x 1 (x 1)(x 2)
เม�อ x 1 จะได 1 2
x 1 x 2
1 2
0x 1 x 2
ดงน �น B = ( , 4] ( 1,2) {1}
จะได A B ( 1,2) {1} ( 1, 3)
เน�องจาก x 1 0 เม�อ x 1
แสดงวา x 1 2 0
x 1 2
2 x 1 2
1 x 3
2
1
4
1
2
1
4
1
3
B
A
x 2 2x 20
(x 1)(x 2)
(x 4)0
(x 1)(x 2)
x 40
(x 1)(x 2)
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
16
4. 2 o 2 o 2 o 2 o(3 4 sin 9 )(3 4 sin 27 )(3 4 sin 81 )(3 4 sin 243 ) มคาเทากบเทาขอใดตอไปน �
1. 0 2. 1 3. 2
4. otan 9 5. ocot9
เฉลย 2.
แนวคดท� 1 จาก 3
2 3 sin 4 sin sin 33 4 sin
sin sin
ดงน �น 2 o 2 o 2 o 2 o(3 4 sin 9 )(3 4 sin 27 )(3 4 sin 81 )(3 4 sin 243 )
o o o o
o o o o
o
sin 3(9 ) sin 3(27 ) sin 3(81 ) sin 3(243 )
sin 9 sin27 sin 81 sin243
sin 27
o
o
sin 81
sin 9
osin27
osin 243
osin 81
o
o
sin 729
sin 243
o
o
o o
o
o
o
sin 729
sin 9
sin(720 9 )
sin 9
sin 9
sin 9
1
แนวคดท� 2 จาก 2 2cos2 1 2sin 2 sin 1 cos2 จะได
2 o 2 o 2 o 2 o
o o o o
o o o o
(3 4 sin 9 )(3 4 sin 27 )(3 4 sin 81 )(3 4 sin 243 )
3 2(1 cos18 ) 3 2(1 cos 54 ) 3 2(1 cos162 ) 3 2(1 cos 486 )
(2 cos18 1)(2 cos 54 1)(2 cos162 1)(2 cos 486
o126
o o o o
o o o o o o o o
o o
1)
(2 cos18 1)(2 cos162 1) (2 cos 54 1)(2 cos126 1)
4 cos162 cos18 2 cos162 2 cos18 1 4 cos126 cos 54 2 cos126 2 cos 54 1
2(cos144 cos180
1
o) 2( cos 90
0
o o ocos 72) 1 2(cos 72 cos180
1o) 2( cos 90
0
o
o o
o o o o
o o
cos 36 ) 1
(2 cos144 1)(2 cos 72 1)
4 cos144 cos 72 2 cos144 2 cos 72 1
2(cos 72 cos 216
360 144
o o
o
) 2 cos144 2 cos 72 1
2 cos 72
o2 cos144 o2 cos144 o2 cos 72 1
1
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
17
5. ถา 22 cot (1 cot )2
และ 0
2
แลวคาของ
2(1 sin )sec
cos2
เทากบขอใดตอไปน �
1. 0.125 2. 0.25
3. 1 4. 2
5. 4
เฉลย 5.
แนวคด
แกสมการหาคา จากสมการ 22 cot (1 cot )2
โดยเอกลกษณ sintan
2 1 cos
จะได 1 cos
cot2 sin
จากสมการ
2
2
2
2 2
2
2 cot (1 cot )2
1 cos cos2 1
sin sin
2 2 cos sin cos
sin sin
2 2 cos sin 2 sin cos cos
sin sin
1 2 sin cos2 2 cos
sin
2 sin 2 sin os
1 2 sin cos
1sin
2
เพราะ 02
;
6
ดงน �น
22
2
(1 sin )sec(1 sin )sec 6 6
cos2cos2( )
6
1 2(1 )
2 3
1
2
3 4 2
2 3 1
4
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
18
6. คาของ 2 2 3sec (arctan 2) cosec (arccot 3) cosec(2 arccot2 arccos )
5 เทากบขอใดตอไปน �
1. 335
24 2.
351
24
3. 375
24 4.
385
24
5. 399
24
เฉลย 4.
แนวคด
กาหนดให A = arctan 2 B = arccot 3 C = arccot 2 D = arccos 3
5
จะได
2 2 3
sec (arctan2) cosec (arccot3) cosec(2 arccot2 arccos )5
2 2
2 2
2 2
2 2
sec A cosec B cosec(2C D)
15 10
sin(2C D)
15 10
sin 2C cosD cos 2C sin D
115
2 sinCcosCcosD (cos C sin C)sinD
115
1 2 3 2 1 42( )( )( ) ( ) ( ) ( )
5 55 5 5 5
115
12 12
25 25
2515
24
385
24
2
1
5
A B
1
3
10
B B
1
2
5
C DB
4
3
5
D
เอกลกษณท�ใช
2 2
sin(2 ) 2 sin cos
cos(2 ) cos sin
sin( ) sin cos cos sin
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
19
7. กาหนดให A arcsin(cos )3
และ 0 B
2
2 2 2sin B sin (A B) sin (5A B) ตรงกบขอใดตอไปน �
1. 0 2. 1
3. 3sin 2B
2 4. 3
cos 2B2
5. 32 cos 2B
2
เฉลย 4.
แนวคด
จาก A arcsin(cos )3
จะได 1
A arcsin( ) A2 6
จะได
2 2 2
2
sin B sin (A B) sin (5A B)
1 cos2(A B) 1 cos 2(5A B)1 cos 2B 1 cos 2[ sin ]
2 2 2 2
3 1cos2B cos(2 A 2B) cos(10 A 2B)
2 2
(2A 2B) (10A 2 B) (2A 2 B) (10 A 2B)3 1cos2B 2 cos cos
2 2 2 2
3 1cos2B 2 cos
2 2
(6A 2B)cos( 4 A)
3 1 6 4cos2B 2 cos( 2B)cos( ) [ A ]
2 2 6 6 6
3 1 2cos2B 2 cos( 2B)cos( )
2 2 3
3 1 1cos2B 2 cos(2B)
2 2 2
3 1cos2B cos(2B)
2 2
3 1(2 cos2B)
2 2
3cos2B
2
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
20
8. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวกท�มากกวา 2 และสอดคลองกบ
2a a alog (b 2) log 3 log (b 2) และ 2
b a alog a log b 1 log b
แลว a + b เทากบขอใดตอไปน �
1. 183 2. 210
3. 216 4. 225
5. 239
เฉลย 2. แนวคด
จาก 2a a alog (b 2) log 3 log (b 2)
จะได 1 2
2
1
2a a
a
log (b 2) log 3 log (b 2)
a a a
1
2a a a
1
2a a
112log (b 2) log 3 log (b 2)
1 2
2
log (b 2) log 3 log (b 2)
log (b 2) log 3(b 2)
แทน b = 14 ในสมการ และแกสมการหาคา a ดงน �
1
2
2b a a
214 a
a
2
a aa
aa
2
a a
log a log b 1 log b
log a log 14 1 log 14
1 1log 14 1 log 14 ... *
log 14 1
2
11 2 log 14
log 14
1 log 14 2 log 14
ดงน �น a b 196 14 210
1
2
21
2 2
2
2
b 2 3(b 2)
(b 2) 3(b 2)
b 4b 4 9(b 2)
b 13b 14 0
(b 14)(b 1) 0
b 14, 1
แต b = –1 จะทาให
a alog (b 2) log ( 3) ซ�งไมหาคาไมได
ดงน �น b = 14
2
a a
a a
a
112
2 log 14 log 14 1 0
2 log 14 1 log 14 1 0
1log 14 , 1
2
a 14 , a 14
1a 196 , a
14
จากการแทนในสมการ * จะไดวา a = 196, 1
14
เปนคาตอบของสมการ
แตโจทยกาหนด a > 2 ดงน �น a = 196
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
21
9. ให R แทนเซตของจานวนจรง
ความสมพนธในขอใดตอไปน �ไมเปนฟงกชน
1. ความสมพนธ 1r (x, y) R R xy 1 0
2. ความสมพนธ 2r (x, y) R R y tan x
3. ความสมพนธ 2 23r (x, y) R R x y 1
4. ความสมพนธ 4r (x, y) R R y 2 x
5. ความสมพนธ 25
yr (x, y) R R x
y 1
เฉลย 3.
แนวคด
นยามของฟงกชน
ความสมพนธ r จะเปนฟงกชน กตอเม�อ ถา 1x, y( ) r และ 2(x, y ) r แลว 1 2y y
ดงน �น ความสมพนธ r จะไมเปนฟงกชน กตอเม�อ ม 1x, y( ) r และ 2(x, y ) r แต 1 2y y
พจารณาความสมพนธ
ความสมพนธ 1r (x, y) R R xy 1 0
สมมตให 1 1(x, y ) r และ 2 1(x, y ) r จะได 1xy 1 0 และ 2xy 1 0
แสดงวา 1 2xy 1 xy 1 1 2xy xy
แต 0 1r
D ดงน �น x 0 ทาให 1 2y y ดงน �น 1r เปนฟงกชน
ความสมพนธ 2r (x, y) R R y tan x
สมมตให 1 2(x, y ) r และ 2 2(x, y ) r จะได 1y tan x และ 2y tan x
แสดงวา 1 2y y ดงน �น 2r เปนฟงกชน
ความสมพนธ 2 23r (x, y) R R x y 1
ม x = 2 ซ�ง 2 2 2 22 y 1 y 1 4 y 3 y 3, 3
แสดงวา 3(2, 3) r และ 3(2, 3) r แต 3 3 ดงน �น 3r ไมเปนฟงกชน
ความสมพนธ 4r (x, y) R R y 2 x
สมมตให 1 3(x, y ) r และ 2 3(x, y ) r จะได 1y 2 x และ 2y 2 x
แสดงวา 1 2y y ดงน �น 4r เปนฟงกชน
ความสมพนธ 25
yr (x, y) R R x
y 1
สมมตให 1 5(x, y ) r และ
2 5(x, y ) r จะได 2 1
1
yx
y 1
และ 2 2
2
yx
y 1
แสดงวา 1 2
1 2
y y
y 1 y 1
1 2 1 2 1 2y y y y y y 1 2y y
ดงน �น 5r เปนฟงกชน
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
22
10. ใหวงกลม C มสมการเปน 2 2x y ax 6y 12 0 เม�อ a > 0
โดยระยะทางจากจดศนยกลางของวงกลม C ไปยงเสนตรง 4x + 3y = 71 เทากบ 14 หนวย
ถาพาราโบลารปหน�ง มโฟกสอยท�จดศนยกลางของวงกลม C และ ม y = 7 เปนไดเรกตรกซ
แลวสมการของพาราโบลารปน �ตรงกบขอใดตอไปน �
1. 2x 4x 4y 16 0 2. 2x 4x 4y 16 0
3. 2x 4x 4y 20 0 4. 2x 4x 8y 44 0
5. 2x 4x 8y 36 0
เฉลย 5.
แนวคด
จากสมการ 2 2x y ax 6y 12 0 จดรปมาตรฐานดงน �
2 22 2 2 2
22 2
a a ax 2(x)( ) y 2(y)(3) 3 12 3
2 4 4
a a(x ) (y 3) 21
2 4
จะไดวงกลมมจดศนยกลางอยท�จด a( , 3)
2
โดยระยะทางจากจดศนยกลางของวงกลม C ไปยงเสนตรง 4x + 3y – 71 = 0 เทากบ 14 หนวย
และจากสตรระยะทางจากจด 1 1(x , y )ไปยงเสนตรง Ax + By + c = 0 คอ 1 1
2 2
Ax By C
A B
จะได 2 2
a4( ) 3(3) 71
2a 622 14 1454 3
2a 62 70
2a 62 70 , 2a 62 70
a 4 , a 66
แสดงวาวงกลมมจดศนยกลางอยท�จด a( , 3) ( 2, 3)
2
ถาพาราโบลารปหน�งม y = 7 เปนไดเรกตรกซ
แสดงวาแกนสมมาตรของพาราโบลาขนานกน y
โดยมสมการมาตรฐานคอ 2(x h) 4c(y k)
และโจทยกาหนดใหมโฟกสอยท�จดศนยกลางของวงกลม C
จากรปจะไดจดยอด V เปนจดก�งกลางของ A และ F
น�น V(h, k) = 2 ( 2) 3 7
( , ) ( 2, 5)2 2
และ c = 5 – 7 = –2
ดงน �นสมการพาราโบลาคอ
2 2
2
(x 2) 4( 2)(y 5) x 4x 4 8y 40
x 4x 8y 36 0
x
y
F( 2, 3)
y 7
0
V( 2, 5)
A( 2, 7)
c 2
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
23
11. ใหพาราโบลารปหน�ง มสมการเปน 2y 4y 40x 236 0
โดยม V และ F เปนจดยอด และโฟกสของของพาราโบลาตามลาดบ
ถาวงรรปหน�ง ผานจด (4, 6) และมโฟกสอยท� V และ F แลวสมการของวงรรปน �ตรงกบขอใดตอไปน �
1. 2 24x 9y 8x 36y 140 0 2. 2 24x 9y 8x 36y 140 0
3. 2 24x 9y 8x 36y 140 0 4. 2 29x 4y 36x 8y 180 0
5. 2 29x 4y 36x 8y 180 0
เฉลย 3.
แนวคด
จากสมการพาราโบลารป 2y 4y 40x 236 0 จดเปนรปแบบมาตรฐานไดดงน �
2 2 2 2
2
2
y 4y 40x 236 0 y 2(y)(2) 2 40x 236 2
(y 2) 40(x 6)
(y 2) 4( 10)(x 6)
เปนพาราโบลาเปดทางซาย (เพราะมคา c = –10 < 0 )
มจดยอด V(6, 2)
จดโฟกส F(6+(–10), 2) = F(–4, 2)
พจารณาวงร
เน�องจากโจทยกาหนดใหมโฟกสอยท� V และ F
จะไดจดโฟกสของวงรอยท�จด (6, 2) และ (–4, 2) ทาใหแกนเอกขนานกบแกน x
ซ�งจะไดจด ศ.ก. ของวงรคอ จดก�งกลางของ (6, 2) และ (–4, 2) ซ�งคอ 6 ( 4) 2 2( , ) (1,2)
2 2
และ คาคงท� c = 6 – 1 = 5
โดยนยามของวงร
จะไดวา ผลบวกของระยะทางจากจด (4, 6) ท�อยบนวงรไปยงจดโฟกส (6,2) และ (–4, 2) เทากบ 2a
น�นคอ 2 2 2 2(4 6) (6 2) (4 ( 4)) (6 2) 2a
2 5 4 5 2a
a 3 5
จากความสมพนธของคา a, b, และ c :
2 2 2 2 2 2 2a b c (3 5) b 5 b 20
ดงน �นสมการวงรคอ 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
(x h) (y k) (x 1) (y 2)1 1
45 20a b
4(x 1) 9(y 2) 180
4x 9y 8x 36y 140 0
x
y
F ( 4, 2)
0
V (6, 2)
x
y
( 4, 2)
0
(6, 2)(1, 2)
(4, 6)
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
24
12. กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนตรรกยะ
ให P(x) คอ 38x 4x 1 0
Q(x) คอ 4 28x 8x x 1 0
และ R(x) คอ 3 2x x 0
พจารณาขอความตอไปน �
(ก) x[P(x) Q(x)] มคาความจรงเปนจรง
(ข) x[Q(x) R(x)] มคาความจรงเปนจรง
(ค) x[P(x) R(x)] มคาความจรงเปนจรง
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) ถกเพยงขอเดยว 2. ขอ (ข) ถกเพยงขอเดยว
3. ขอ (ค) ถกเพยงขอเดยว 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
เฉลย 3.
แนวคด
กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนตรรกยะ
พจารณาหาจานวนจรงท�ทาให P(x), Q(x) และ R(x) เปนจรง
จาก P(x) คอ 38x 4x 1 0
จะได 21(x )(8 x 4x 2) 0
2
1 1 5x ,
2 4
จะไดวา P(x) เปนจรงเม�อ 1x
2 (เพราะวา 1 5
4
ไมเปนจานวนตรรกยะ)
จาก Q(x) คอ 4 28x 8x x 1 0
จะได 21(x )(x 1)(8x 4x 2) 0
2
1 1 5x , 1,
2 4
จะไดวา Q(x) เปนจรงเม�อ 1x , 1
2 (เพราะวา 1 5
4
ไมเปนจานวนตรรกยะ)
จาก R(x) คอ 3 2x x 0
จะได 2x (x 1) 0
เน�องจาก 2x 0 เม�อ x 0 จะไดวา x + 1 > 0 ดวย
น�นคอ x > –1 และ x 0
จะไดวา R(x) เปนจรงเม�อ x เปนจานวนตรรกยะท�มคามากกวา –1 และไมเทากบ 0
1 8 0 4 12
4 2 1
8 4 2 0
1 8 0 8 1 12
4 2 3 1
8 4 6 2 01
8 4 2
8 4 2 0
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
25
(ตอ แนวคดขอ 12 )
พจารณาขอความ
(ก) พบวาคา x ท�ทาให P(x) เปนจรง คอ 1
2
และคา x ท�ทาให Q(x) เปนจรง คอ 11,
2
แสดงวาไมมท�ทาให P(x) Q(x) เปนจรง
ดงน �น x[P(x) Q(x)] มคาความจรงเปนเทจ
ขอความ (ก) ผด
(ข) พบวาม x = –1 ท�ทาให Q(x) เปนจรง แตทาให R(x) เปนเทจ
แสดงวาม x = –1 ท�ทาให P(x) Q(x) เปนเทจ
x[Q(x) R(x)] มคาความจรงเปนเทจ
ขอความ (ข) ผด
(ค) กรณท� 1 โดยท� 1x
2 เปนคาเดยวทาให P(x) เปนจรง
แตละมคามากกวา – 1 และไมเทากบ 0 น�นคอ 1x
2 ทาให R(x) เปนจรงดวย
แสดงวา P(x) R(x) เปนจรงเม�อ 1x
2
กรณท� 2 สาหรบจานวนตรรกยะ x ใดๆซ�ง 1x
2 จะทาให P(x) เปนเทจ
แสดงวา P(x) R(x) เปนจรงเม�อ 1x
2 (F T T )
x[P(x) R(x)] มคาความจรงเปนจรง
ขอความ (ค) ถก
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
26
13. คาของ 3
2x 1
1 2xlim 1
1 x x 1
เทากบขอใดตอไปน �
1. 0 2. 0.5
3. 1 4. 2
5. 4
เฉลย 1.
แนวคด
3 3
2 2x 1 x 1
2 3
2x 1
3 2
2x 1
2
2x 1
2
2x 1
1 2x 1 2xlim 1 lim 1
1 x 1 xx 1 x 1
1 x 1 2xlim
1 x x 1
1 2x x 1lim
1 x x 1
(x 1)(2x x 1)1lim
1 x x 1
(x 1)(2x x 1)1 xlim
(1 x) x 1
x 1
1 xlim
(1 x)
(1 x) 2
2
(2x x 1)
x 1
4(0)
2
0
1 2 1 0 12 1 1
2 1 1 0
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
27
14. กาหนดให C เปนเสนโคง y = 2 + x|x – 1| เม�อ x เปนจานวนจรง
ถา L เปนเสนตรงท�สมผสกบเสนโคง C ท�จด (0, 2) และให N เปนเสนตรงท�ต �งฉากกบเสนตรง L ณ
จด (0, 2) แลวเสนตรง N ผานจดในขอใดตอไปน �
1. (–1, 3) 2. (1, 5)
3. (–2, 5) 4. (3, –2)
5. (–3, 4)
เฉลย 1.
แนวคด
โดยท� x 1 , x 1
x 1x 1 , x 1
ดงน �น C เปนเสนโคงท�มสมการเปน
2
2
2 x( x 1) , x 1 x x 2 , x 1y 2 x x 1
2 x(x 1) , x 1 x x 2 , x 1
ดงน �น เม�อ x = 0 จงพจารณาเสนโคง C จากสมการ 2y x x 2
(หาความชนของ L, N)
จาก 2y x x 2 จะได dy
2x 1dx
และจะไดความชนของเสนตรง L เทากบ x 0
dy2(0) 1 1
dx
เน�องจากเสนตรง N ต �งฉากกบเสนตรง L จะไดวา ผลคณความชนของเสนตรง N และ L เทากบ –1
N Lm m 1
Nm 1 1
Nm 1
(หาสมการของN)
เน�องจาก Nm 1 และ N ผานจด (0, 2)
จะไดสมการเสนตรง N คอ y 2 1(x 0)
x y 2 0
(ตรวจสอบตวเลอกท� แทน x และ y ในสมการของเสนตรง N แลวทาใหสมการเปนจรง)
(–1, 3) – 1 + 3 – 2 = 0 เปนจรง
(1, 5) 1 + 5 – 2 = 0 เปนเทจ
(–2, 5) – 2 + 3 – 2 = 0 เปนเทจ
(3, –2) 3 + (–2) – 2 = 0 เปนเทจ
(–3, 4) – 3 + 4 – 2 = 0 เปนเทจ
จะไดจด (–1, 3) อยมเสนตรง N ผาน
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
28
15. ให f เปนฟงกชนหน�งตอหน�ง ซ�งมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตจานวนจรง
โดยท� 1 2xf (x)
x 1
สาหรบทกสมาชก x ในเรนจของ f
พจารณาขอความตอไปน �
(ก) 2f (4) f(4) 3
(ข) f (f(4)) f(f (4))
(ค) f เปนฟงกชนเพ�มบนชวง (0, 2)
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถก แต ขอ (ค) ผด 2. ขอ (ก) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ข) ผด
3. ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ก) ผด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
เฉลย 2.
แนวคด
โดยท�ให f เปนฟงกชนหน�งตอหน�ง และ 1 2xf (x)
x 1
จะได 2xx f
x 1
...(1)
สมมตให 2x AA x
x 1 2 A
แทนลงใน (1) จะไดเปน A
f(A)2 A
น�นคอ f(x) = x
2 x หรอจดใหมเปน 2
f(x) 12 x
และจะได 2 2
2
2f (x) 0 2( 1)(2 x) ( 1) 2(2 x)
(2 x)
3 3
3
4f (x) 2( 2)(2 x) ( 1) 4(2 x)
(2 x)
พจารณาขอความ
(ก) 2
2 22f (4) f(4) 2 1 1 ( 2) 3
2 4(2 4)
ขอความ ก ถก
(ข) 3
3
2 4 1f (f(4)) f 1 f ( 2)
2 4 16(2 ( 2))
4 1 2 1f(f (4)) f f( ) 1
2 1 5(2 4) 2 ( )2
f (f(4)) f(f (4)) ขอความ ข ผด
(ค) ให f (x) 0 2
20
(2 x)
...(2)
โดยท� 2(2 x) 0 เม�อ x R {2}
ดงน �นอสมการ (2) เปนจรงสาหรบทกๆ x R {2}
แสดงวา f (x) 0 สาหรบทกๆ x R {2}
น�นคอ f เปนฟงกชนเพ�มในชวง ( , ) {2}
ทาให f เปนฟงกชนเพ�มบนชวง (0, 2) ขอความ ค ถก
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
29
16. กาหนดให A
และ B
เปนเวกเตอรในระนาบ
โดยท� A 16 i a j
และ B 8 i b j
เม�อ a และ b เปนจานวนจรง
ถา A B
และเวกเตอร B
ทามม 60 กบเวกเตอร A
แลวคาของ 2(a b) เทากบขอใดตอไปน �
1. 8 2. 16
3. 64 4. 192
5. 320
เฉลย 4.
แนวคด
A 16 i a j
2 2 2A (16) a 256 a
B 8 i b j
2 2 2B 8 b 64 b
โจทยกาหนด A B
2 2256 a 64 b
2 2256 a 64 b
2 2b a 192
2 2b a 192 ...(1)
เวกเตอร B
ทามม 60 กบเวกเตอร A
โดยท� 16 8A B 16(8) ab 128 ab
a b
...(2)
และสมบตการคณเชงสเกลาร A B A B cos
เม�อ เปนมมระหวางเวกเตอร A
กบ B
2 2
o 2 21 1 256 aA B A B cos60 A A ( ) (16) a ( )
2 2 2
...(3)
โดยท� (2) = (3) ; 2256 a
128 ab 2562
2ab 256 2
2
2
a
2ab a
2ab a 0
(2b a)a 0
2b a , a 0 ...(4)
ถา a = 2b จาก (1) จะได 2 2
2 2
2 2
2
b a 192
b (2b) 192
b 4b 192
3b 192
ขดแยง 2b 0 แสดงวา a 2b
ถา a = 0 จาก (1) จะได 2 2 2b a 192 0 192 192
ดงน �น 2 2 2(a b) (0 b) b 192
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
30
17. ในการจดนกเรยนชาย 4 คน และนกเรยนหญง 4 คน มายนเรยงเปนแถวตรงเพยงหน�งแถว
ความนาจะเปนท�ไมมนกเรยนชายสองคนใดเลยยนตดกน หรอ ไมมนกเรยนหญงสองคนใดเลยยนตดกน
มคาตรงกบขอใดตอไปน �
1. 1
70 2.
1
35
3. 4
35 4.
1
7
5. 2
7
เฉลย 3.
แนวคด
ให S แทนปรภมตวอยางของการจดนกเรยนชาย 4 คน และหญง 4 คน มายนเรยงเปนแถวตรงเพยงหน�งแถว
จะได n(S) = 8!
ให A แทนเหตการณท�ไมมนกเรยนชายสองคนใดเลยยนตดกน
B แทนเหตการณไมมนกเรยนหญงสองคนใดเลยยนตดกน
n(A) : จานวนวธท�ไมมนกเรยนชายสองคนใดเลยยนตดกน
จดหญง 4 คน ยนสบเปล�ยนกนกอน ได 4! วธ
ในแตละวธ แทรกชาย 4 คน ในท�วางระหวางหญงสองคน ท�วางละคน ได 5 4 3 2 วธ
n(A) = 4! 5 4 3 2 = 1204! วธ
n(B) : จานวนวธท�ไมมนกเรยนหญงสองคนใดเลยยนตดกน
จดชาย 4 คน ยนสบเปล�ยนกนกอน ได 4! วธ
ในแตละวธ แทรกหญง 4 คน ในท�วางระหวางชายสองคน ท�วางละคน ได 5 4 3 2 วธ
n(B) = 4! 5 4 3 2 = 1204! วธ
n(A B) : จานวนวธท�ไมมนกเรยนชายสองคนใดเลยยนตดกน และ ไมมนกเรยนหญงสองคนใดเลยยนตดกน
: จานวนวธท�นกเรยนชายและนกเรยนหญงยนสลบกนคร �งละ 1 คน
กรณ 1 ชายยนหวแถว กรณท� 2 หญงยนหวแถว
จดชาย 4 คน ยนได 4! วธ จดชาย 4 คน ยนได 4! วธ
จดหญง 4 คน ยนได 4! วธ จดหญง 4 คน ยนได 4! วธ
จดคน 8 คนน � ยนได 4!4! วธ จดคน 8 คนน � ยนได 4!4! วธ
n(A B) = 4!4! + 4!4! = 24!4! วธ
ดงน �น
P(A B ) = n(A B)
n(S)
= (120 4 !) (120 4 !) (2 4 ! 4 !) 240 4 !
8 !
48 4!
8 7 6 5 4 !
4
35
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
31
18. ให f และ g เปนฟงกชน โดยท�
9 x , x 0f(x)
7 x , x 4
และ x 2 , x 1g(x)
x 4 , x 1
พจารณาขอความตอไปน �
(ก) ถา x 0 แลว (g f)(x) 9 x 4
(ข) ถา 4 x 6 แลว (g f)(x) 3 x
(ค) ถา x 6 แลว (g f)(x) 9 x
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถก แต ขอ (ค) ผด 2. ขอ (ก) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ข) ผด
3. ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ก) ผด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
เฉลย 4. แนวคด
บทนยามฟงกชนคอมโพสท (Composite Functions)
ให f และ g เปนฟงกชนท�มโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง และ Rf Dg
ฟงกชน g f หาได โดยท� ( g f )(x) = g(f(x)) สาหรบทก x ซ�ง f(x) Dg
(หาเรนจของ f)
เม�อ x 0 จะได f(x) 9 x ให y 9 x y 0 และ 2y 9 x
y 0 และ 2x 9 y
y 0 และ 29 y 0
y 0 และ (3 y)(3 y) 0
y [3, )
เม�อ 4 < x 6 จะได f(x) 7 x ให y 7 x x = 7 – y
4 < 7 – x 6 [เพราะวา 4 < x 6 ]
–3 < –y –1
1 y < 3
y [1,3)
เม�อ x > 6 จะได f(x) 7 x ให y 7 x x = 7 – y
7 – y > 6 [เพราะวา x > 6 ]
y < 1
y ( ,1)
3
0
3
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
32
(ตอแนวคดขอ 18.)
ดงน �น f
[3, ) , x 0
R [1, 3) , 4 x 6
( ,1) , x 6
โดยท� x 2 , x 1g(x)
x 4 , x 1
จะได gD ( , )
ขอ (ก) ถา x < 0 จะได f(x) g[3, ) D
แสดงวาหา gof ได โดยท� g(x) x 4 , f(x) 9 x
ดงน �น (g f)(x) g(f(x))
f(x) 4
9 x 4
แสดงวาขอความ (ก) ถก
ขอ (ข) ถา 4 < x 6 จะได f(x) g[1,3) D
แสดงวาหา gof ได โดยท� g(x) x 4 , f(x) 7 x
ดงน �น (g f)(x) g(f(x))
f(x) 4
(7 x) 4
3 x
แสดงวาขอความ (ข) ถก
ขอ (ค) ถา x > 6 จะได f(x) g( ,1) D
แสดงวาหา gof ได โดยท� g(x) x 2 , f(x) 7 x
ดงน �น (g f)(x) g(f(x))
f(x) 2
(7 x) 2
9 x
แสดงวาขอความ (ค) ถก
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
33
19. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอนท�สอดคลองกบสมการ (9 7i)(z z)(1 i)z 6 2i
3 i
เม�อ 2i 1 และ z แทนสงยค(conjugate)ของ z
พจารณาขอความตอไปน �
(ก) z 8 2
(ข) z 3i 10
(ค) iz 2 8
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถก แต ขอ (ค) ผด 2. ขอ (ก) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ข) ผด
3. ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ก) ผด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
เฉลย 2.
แนวคด
กาหนดให z = x + yi เปนจานวนเชงซอนท�สอดคลองกบสมการ (9 7i)(z z)(1 i)z 6 2i
3 i
ดงน �น
2
2 2
(9 7i) (x yi) (x yi)(1 i)(x yi) 6 2i
3 i
(9 7i)( 2yi)(x xi yi y) 6 2i
3 i
(9 7i)( 2yi)(3 i)(x y) (x y)i 6 2i
(3 i)(3 i)
( 2)(30 y 20 yi)(x y) (x y)i 6 2i (zz z )
3 1
( 20)(3 y 2 yi)(x y) (x y)i 6 2i
10
(x y) (
x y) i 2(3 y 2 yi) 6 2i
(x 7y) (x 3 y)i 6 2i
โดยการเทากนของจานวนเชงซอน 2 จานวน จะตองมสวนจรงเทากน และสวนจนตภาพเทากน
ดงน �น x + 7y = 6 ...(1)
x + 3y = –2 ...(2)
แกระบบสมการ (1) และ (2) จะได x = –8 และ y = 2 น�นคอ z = –8 + 2i
พจารณาขอความตอไปน �
(ก) z 8 8 2i 8 2i 2 แสดงวา ขอความ ก. ถก
(ข) 2 2z 3i 8 2i 3i 8 5i ( 8) 5 89 10 แสดงวา ขอความ ข. ผด
(ค) iz 2 i( 8 2i) 2 8i 2 2 8i 8 แสดงวา ขอความ ค. ถก
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
34
20. กาหนดให 3n
n 2n 1
n2a
3 เม�อ n = 1, 2, 3, ... อนกรม
nn 1
a
ตรงกบขอใดตอไปน �
1. อนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 83
2. อนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 4
3. อนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 24 4. อนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 64
3
5. อนกรมลออก
เฉลย 3
แนวคดท� 1 แนวคดน �จะหา nS แลวนาไปหา nnlim S
ถา nnlim S
หาคาไดเทากบ S จะไดวา nn 1
a
ลเขา และมผลบวกเทากบ S
ถา nnlim S
หาคาไมได จะไดวา nn 1
a
ลออก
จากท�กาหนด n3 n3n
n n n2n 1 2 n
n(2 )n2 n 8a a a
3 93 3 (3 )
ให in n
n ii 1 i 1
i 8S a
3 9
น�นคอ 2 3 n 1 nn
1 8 8 8 8 8S 1( ) 2( ) 3( ) ... (n 1)( ) n( )
3 9 9 9 9 9
...(1)
8(1)
9 ; 2 3 4 n n 1
n8 1 8 8 8 8 8
S 1( ) 2( ) 3( ) ... (n 1)( ) n( )9 3 9 9 9 9 9
...(2)
(1)-(2); 2 3 n 1 n n 1n n
8 1 8 8 8 8 8 8S S ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) n( )
9 3 9 9 9 9 9 9
n
n 1n
8 81 ( )
1 1 89 9S n( )9 3 8 9
19
n n 1n
1 1 8 8S 8 1 ( ) n( )
9 3 9 9
n n 1
n9 8 8
S 8 1 ( ) n( )3 9 9
n n 1n
n n
n n 1
n n
n n 1
n n 1
n n 1
8 8lim S 3 lim 8 1 ( ) n( )
9 98 8
3 8 lim 1 ( ) lim n( )9 9
n3 8 1 0 lim
9( )8
dn
dn3 8 limd 9
( )dn 8
13 8 lim
9 9( ) ln8 8
3 8 0
24
จากเดมอยในรปท�ไมกาหนด 0
จดใหใหมใหอยอย 00
อาศยกฎของโลปตาล
และสมบตของการอนพนธเอกโพเนนเชยล x
xd(a )a ln a
dx
nn 1
a 24
พบวา nnlim S
หาคาไดเทากบ 24 และ
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
35
(ตอ ขอ 20)
แนวคดท� 2
จะได n n
nn 1 n 1 n 1
n 8 1 8a n
3 9 3 9
...(*)
สมมตให
n
n 1
8S n
9
2 3 48 8 8 8S 1( ) 2( ) 3( ) 4( ) ...
9 9 9 9 ...(1)
(1) 8
9; 2 3 4 58 8 8 8 8
S 1( ) 2( ) 3( ) 4( ) ...9 9 9 9 9
...(2)
(2) – (1); 2 3 48 8 8 8 8S S ( ) ( ) ( ) ( ) ...
9 9 9 9 9
81 9S9 8
19
1 8 9S
9 9 1
S 72 ... * *
แทนคา S = 72 ใน nn 1
a
จะได
n
nn 1 n 1
1 8 1a n (72) 24
3 9 3
1a
1 r
ผลบวกของอนกรมเรขาคณต
อนนตเทากบ
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
36
(ตอ ขอ 20)
แนวคดท� 3 n n n n
nn 1 n 1 n 1 n 2 n 2
n 1 n n
n 1 n 2 n 2
n 8 1 8 1 8 8 1 8 8S a n n S n ...(1)
3 9 3 9 3 9 9 3 9 9
8(1)
9
8 1 8 1 8 8 1 8S n (n 1) S (n 1) ...(2)
9 3 9 3 9 9 3 9
(1) (2)
n n
n 2 n 2
n n
n 2 n 2
n n
n 2 n 2
n n
;
8 1 8 8 1 8S S n (n 1)
9 3 9 9 3 9
1 8 1 8 8S n (n 1)
9 27 3 9 9
1 8 1 8 8S n (n 1)
9 27 3 9 9
1 8 1 8 8S n (n 1)
9 27 3 9 9
n 2
n
n 2
1 8 1 8S
9 27 3 9
641 8 1 81S9 27 3 8
19
1 72S
9 27
S = 72
9 2427
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
37
(ตอ ขอ 20)
แนวคดท� 4 ใชการทดสอบอตราสวน (Ratio Test) เพ�อตรวจสอบอนกรมลเขาหรอลออก
ทฤษฎบท กาหนดอนกรม nn 1
a
โดยท� an 0 สาหรบจานวนเตมบวก n และ n 1
n n
alim L
a
(1) ถา L < 1 แลว อนกรมน �จะเปนอนกรมลเขา
(2) ถา L > 1 หรอ L = แลว อนกรมน �จะเปนอนกรมลออก
(3) ถา L = 1 แลว การทดสอบน �ใชไมได
จาก n3n n
n 2n 1 n
n2 n8 n 8a
3 93 3 9
จะได
n 1
n 1n 1 8
a3 9
n 1
n 1n
n
n 1 8a n 1 8 8n 83 9a n 9 9nn 8
3 9
พบวา
n 1
n 1
nn n n nn
n 1 8a n 1 8 8n 8 83 9lim lim lim lim 1a n 9 9n 9n 8
3 9
โดยทฤษฎบทขางตน จะไดวา อนกรม nn 1
a
เปนอนกรมลเขา
พจารณา 2 3 4 11 x x x x ...
1 x
เม�อ |x| < 1
2 3 d 10 1 2x 3x 4x ...
dx 1 x
2 3
2
11 2x 3x 4x ...
(1 x)
...(1)
(1) คณ x ; 2 3 4
2
xx 2x 3x 4x ...
(1 x)
...(2)
ถาให 8x
9 แทนใน (2) จะได 2 3 4
2
n
n 1
88 8 8 8 92( ) 3( ) 4( ) ...9 9 9 9 8
(1 )9
8n( ) 72
9
จะได n n
nn 1 n 1 n 1
n 8 1 8 1a n (72) 24
3 9 3 9 3
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
38
21. กาหนดใหขอมลชดท� 1 คอ 1 2 20x 4, x 4, ..., x 4
และขอมลชดท� 2 คอ 1 2 202x 4,2x 4,..., 2x 4
เม�อ 1 2 20x , x , ..., x เปนจานวนจรง
ถาคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลชดท� 1 เทากบ 50 และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของขอมลชดท� 1 เทากบ 10
แลวขอมลชดท� 2 มคาเฉล�ยเลขคณต และ ความแปรปรวนเทากบขอใดตอไปน �
1. คาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 96 และ ความแปรปรวนเทากบ 400
2. คาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 96 และ ความแปรปรวนเทากบ 576
3. คาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 100 และ ความแปรปรวนเทากบ 400
4. คาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 104 และ ความแปรปรวนเทากบ 400
5 คาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 104 และ ความแปรปรวนเทากบ 576
เฉลย 1. แนวคด
โดยอาศยสมบตของการวดคากลางของขอมล และการวดการกระจายของขอมล
กาหนดขอมล 1 2 3 na ,a ,a ,..., a มคาเฉล�ยเลขคณตเทากบ A และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ B
ถาขอมล 1 2 3 nka m,ka m,ka m,..., ka m เม�อ k, m เปนจานวนจรงคงตว
จะไดวาขอมลน �มคาเฉล�ยเลขคณตเทากบ kA + m และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ |k|B
กาหนดใหขอมลชดท� 1 คอ 1 2 20x 4, x 4, ..., x 4
มคาเฉล�ยเลขคณต เทากบ 50 และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน เทากบ 10
โดยท� i i2x 4 2(x 4) 4 สาหรบ i = 1, 2, 3,..., 20
จากขอมลชดท� 2 คอ 1 2 202x 4,2x 4,..., 2x 4
คอ 1 2 202(x 4) 4, 3(x 4) 4,..., 2(x 4) 4
ดงน �น คาเฉล�ยเลขคณตของขอมลชดท� 2 เทากบ 2(50) – 4 = 96
และ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของขอมลชดท� 2 เทากบ 2(10)= 20
น �นคอขอมลชดท� 2 มคาเฉล�ยเลขคณต เทากบ 96 และ ความแปรปรวน เทากบ 220 400
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
39
22. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหน�งมการแจกแจงปกต โดยมสมประสทธ�ของการแปรผนของ
คะแนนสอบวชาน � เทากบ 25% และมนกเรยนรอยละ 15.87 ท�สอบไดคะแนนมากกวา 85 คะแนน
ถานาย ก เปนนกเรยนคนหน�งในหองน � สอบไดคะแนน 47.6 คะแนน จะอยในตาแหนงเปรเซนไทลตรงกบ
ขอใดตอไปน � เม�อกาหนดพ �นท�ใตเสนโคงปกต ระหวาง 0 ถง z ดงน �
z 0.4 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
พ �นท� 0.1554 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032
1. 34.46 2. 18.41
3. 13.57 4. 11.51
5. 9.68
ตอบ 4.
แนวคด
จากโดยมสมประสทธ�ของการแปรผนของ คะแนนสอบวชาน � เทากบ 25%
จะได 254
100
...(1)
จากท�กาหนดใหมนกเรยนรอยละ 15.87 ท�สอบไดคะแนนมากกวา 85 คะแนน
โดยจานวนรอยละท�มากกว 85 คะแนน ดงกลาวนอยกวารอยละ 50
แสดงวาคะแนน 85 อยทางขวาของแกนสมมาตรของเสนโคงปกต
ทาใหพ �นท�ใตเสนโคงปกตมาตรฐานทางขวาของคะแนน 85 เทากบ 15.870.1587
100
และพ �นท�ใตเสนโคงปกตมาตรฐานจากแกนสมมาตรถงคะแนน 85 เทากบ 0.5 – 0.1587 = 0.3413
เม�อตารางพ �นท�ใตเสนโคงปกต จะไดวา คะแนน 85 จะมคะแนนมาตรฐานเทากบ 1
จาก xz
จะได 85
1 85
...(2)
แกระบบสมการ (1) และ (2) จะได 17 , 68
นาย ก สอบไดคะแนน 47.6 คะแนน
จะมคะแนนมาตรฐาน เทากบ x 47.6 68z 1.2
17
ซ�งอยทางซายของแกนสมาตรของเสนโคงปกต
จากตารางคามาตรฐานท�กาหนด
จะไดวาพ �นท�ใตเสนโคงระหวาง z = 0 และ z = 1.2 เทากบ 0.3849
จะไดวาพ �นท�ใตเสนโคงระหวาง z = –1.2 และ z = 0 เทากบ 0.3849 ดวย
ดงน �นพ �นท�ทางซายของ z = –1.2 เทากบ 0.5 – 0.3849 = 0.1151
ซ�งคดเปนรอยละ 11.51% ของจานวนนกเรยนท �งหมด
ดงน �นนาย ก สอบไดคะแนนท�อยในตาแหนงเปรเซนไทล 11.51
1
1
x 47.6
z 1.2
0.5 0.3849 0.1151
0.3849
68
z 0
x 85
z 1
0.5 0.1587 0.3413
15.8715.87% 0.1587
100
z 0
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
40
23. กาหนดให 2 3 n
n 2n
1 2 2 2 ... 2a
3
เม�อ n = 1, 2, 3, ...
คาของ 1 2 3 nnlim a a a ... a
เทากบขอใดตอไปน �
1. 2
9 2. 1
8
3. 9
56 4. 2
7
4. 25
56
เฉลย 4.
แนวคด
2 3 n
n 2n
1 2 2 2 ... 2a
3
n 1
2 n
1(1 2 )
1 2
(3 )
n 1
n
2 1
9
1 2 3 n nn n 1
n 1
nn 1
n 1
n nn 1 n 1
n n
n 1 n 1
2 3 2 3
lim a a a ... a a
2 1
9
2 1
9 9
2 12
9 9
2 2 2 1 1 12 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ...
9 9 9 9 9 9
2 1
9 922 1
1 19 9
22
9
9
1
7 9
9
8
25
56
ม n + 1 พจน
ผลบวกอนนตอนกรมเรขาคณต
1 2 3a a a ...
เทากบ 1a; r 1
1 r
]
ผลบวก n พจนแรกอนกรมเรขาคณต
1 2 3 na a a ... a
เทากบ n
1a (1 r )
1 r
]
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
41
24. กาหนดให I แทนเซตของจานวนเตม และ R แทนเซตของจานวนจรง
ถา 2x 2
r (x, y) R R y4 x 2x 1
และ 2rA x x I D
แลวผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต A เทากบขอใดตอไปน �
1. 6 2. 10
3. 19 4. 29
5. 30
เฉลย 4.
แนวคด
2x 2
r (x, y) R R y4 x 2x 1
จากเง�อนไขใน r ท�กาหนด y ในเทอมของ x แลวคอ 2x 2
y4 x 2x 1
จะหาคา y ไดเม�อ
4 x 0 และ 2x 1 0 และ 4 x 2x 1 0
โดย
ถา 4 – x 0 จะได 4 x
ถา 2x + 1 0 จะได 1x
2
ถา 4 x 2x 1 0 จะได 4 x 2x 1
4 x 2x 1
x 1
ดงน �นจะหาคา y ไดเม�อ x 4 และ 1x
2 และ x 1
แสดงวาโดเมนของ r เทากบ 1, 4 {1}
2
และจะได 2 2rA x x I D x x 0,2, 3,4 0, 4,9,16
ดงน �น ผลบวกของสมาชกในเซต A เทากบ 29
1
4
1
2
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
42
y
x0
1L
(2,1)
(1, 0)
( 2, 3)
(4, 0)
2L
3L
(0, 2)
(0,1)
(0, 1)
25. ภายใตอสมการขอจากด ตอไปน �
x 2y 4 , x y 1 , x y 1 , x 0 และ y 0
สมการจดประสงคในขอใดตอไปน � ท�มคามากท�สด
1. z = 2x + 2y 2. z = 3x + 2y
3. z = 2x + 3y 4. z = x + 4y
5. z = 4x + y
ตอบ 5. แนวคด อสมการขอจากดไดแก x 2y 4
x y 1
x y 1
x, y 0
โดยการแกระบบสมการเชงเสนจะได
จดตดระหวาง 1L และ 2L คอ (2, 1)
จดตดระหวาง 2L และ 3L คอ (1, 0)
จดตดระหวาง 1L และ 3L คอ (–2, 3)
ดงน �นเซตท�เปนไปได (feasible set) คอบรวเวณแรเงา
โดยมจดมมไดแก (0,1), (0, 2), (2, 1), (1, 0)
จากตารางจะพบวาสมการจดประสงค z = 4x + y มคามากท�สด
จดมม(x, y) z = 2x + 2y z = 3x + 2y z = 2x + 3y z = x + 4y z = 4x + y
(0, 1) 2 2 3 4 1 (0,2) 4 4 6 8 2 (2,1) 6 8 7 6 9 (1,0) 2 3 2 1 4
สมการเสนตรง จดตดแกน x จดตดแกน y
1L (4, 0) (0, 2)
2L (1, 0) (0, –1)
3L (1, 0) (0, 1)
ให 1L แทนสมการ x + 2y = 4
2L แทนสมการ x – y = 1
3L แทนสมการ x + y = 1
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
43
26. กาหนดให 1 2A
2 1
และ a bB
c d
เม�อ a, b, c และ d เปนจานวนจรงบวก
โดยท� abcd = 9 และ ad bc
ถา 1 1AB B A และ tdet(A B) 24 แลวคาของ a + b + c + d เทากบเทาใด
1. 5 2. 6
3. 7 4. 8
5. 9
ตอบ 4.
แนวคด จาก 1 2
A det(A) 1(1) 2(2) 32 1
tdet(A ) 3
และ tdet(A B) 24 tdet(A )det(B) 24
(–3) det(B) = –24
det(B) = 8
ad bc 8 ...(1)
จะได 1 d b d b1 1B
c a c adetB 8
จาก 1 1 1 2 1AB B A
2 1 8
d b 1c a 8
d b 1 2c a 2 1
1 2 d b d b 1 22 1 c a c a 2 1
d 2c b 2a d 2b 2d b2d c 2b a c 2a 2c a
ดงน �น d – 2c = d – 2b b = c
–b + 2a = 2d – b a = d
จาก(1) และ (2) จะได ad – bc = –8 2 2a b 8 ...(3)
จากท�โจทยกาหนด abcd = 9 และ (2)
abcd = 9 2 2a b 9 ab 3 , 3 ^ 3b
a ...(4)
แทน (4) ใน (3) ; 2
2 4 2
2 2
2
3a 8 a 8a 9 0
a
(a 9)(a 1) 0
(a 3)(a 3)(a 1) 0
a = 3, –3
แต a > 0 จะได a = 3
และ d = 3 , b =3 3
1a 3
และ c = 1
ดงน �น a + b + c + d = 3 + 1 + 1 + 3 = 8
...(2)
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
44
27. กาหนดให a และ b เปนเวกเตอรใดๆ ท�ไมเปนเวกเตอรศนย
พจารณาขอความตอไปน �
(ก) ถา a ขนานกบ b แลว a b a b
(ข) ถา 2 2 2a b a b แลว a ต �งฉากกบ b
(ค) ถาเวกเตอร a b ต �งฉากกบเวกเตอร a b แลว a b
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถก แต ขอ (ค) ผด 2. ขอ (ก) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ข) ผด
3. ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถก แต ขอ (ก) ผด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
เฉลย 3. แนวคด
(ก) สมมตให a ขนานกบ b
จะได a ขนานกบ b ในทศทางเดยวกน หรอ ทศทางตรงขาม o o0 , 180
ซ�งถา o180 จะได cos 1 เม�อ เปนมมระหวางเวกเตอร a และ b
2 2 2
2 2
2 2
2
a b a 2 a b cos b
a 2 a b ( 1) b
a 2 a b b
a b
พบวา a b a b น�นคอ a b a b เม�อ a ขนานกบ b ในทศทางตรงขาม
ขอความ (ก) ผด
(ข) สมมตให 2 2 2a b a b
จะได 2 2 2
2 2 2 2
a b a 2a b b
a b a 2a b b
0 2a b
พบวา a b 0 แสดงวา a ต �งฉากกบ b
ขอความ (ข) ถก
(ค) สมมตให a b ต �งฉากกบ a b
จะได (a b) (a b) 0 a a a b a b b b 0
a b 0
a b
ขอความ (ค) ถก
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
45
28. กาหนดให a, b, c, d และ e เปนจานวนจรงบวกสอดคลองกบ
a + b – 4 = b + c + 5 = c + d + 1 = d + e – 2 = e + a + 3
พจารณาขอความตอไปน �
(ก) c + e < b + d
(ข) c < b < e < d
(ค) a + d < b + c
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) ถกเพยงขอเดยว 2. ขอ (ข) ถกเพยงขอเดยว
3. ขอ (ค) ถกเพยงขอเดยว 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
เฉลย 1.
แนวคด
สมมตให a + b – 4 = b + c + 5 = c + d + 1 = d + e – 2 = e + a + 3 = k
เน�องจาก a, b, c, d และ e เปนจานวนจรงบวก ทาให k > 0
a + b – 4 = k ...(1)
b + c + 5 = k ...(2)
c + d + 1 = k ...(3)
d + e – 2 = k ...(4)
e + a + 3 = k ...(5)
แทน (6) และ (7) ใน (3); (a – 9) + (a + 5) + 1 = k 2a – 3 = k k 3
a2
จาก (1); b = k + 4 – a = k + 4 k 3
2
=
k 5
2
จาก (2); c = k – 5 – b = k – 5 – k 5
2
=
k 15
2
จาก (3); d = k – 1 – c = k – 1 – k 15
2
=
k 13
2
จาก (4); e = k + 2 – d = k + 2 –k 13
2
=
k 9
2
k 15 k 9 2k 24c e k 12
2 2 2
และ k 5 k 13 2k 18
b d k 92 2 2
โดยท� k 12 k 9 จะได c + e < b + d แสดงวาขอความ (ก) ถก
โดยท� k 15 k 9 k 3 k 5 k 13
2 2 2 2 2
จะได c < e < a < b < d แสดงวาขอความ (ข) ผด
k 3 k 13 2k 16a d k 8
2 2 2
และ k 5 k 15 2k 10
b c k 52 2 2
โดยท� k + 8 > k – 5 จะได a + d > b + c แสดงวาขอความ (ค) ผด
(1) – (2) ; a – c – 9 = 0 c = a – 9 ...(6)
(4) – (5) ; d – a – 5 = 0 d = a + 5 ...(7)
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
46
(ตอขอ 28)
เฉลย 1.
แนวคดท� 2 ใชการดาเนนการตามแถวเบ �องตนบนเมทรกซแตงเตม
สมมตให a + b – 4 = b + c + 5 = c + d + 1 = d + e – 2 = e + a + 3 = k
เน�องจาก a, b, c, d และ e เปนจานวนจรงบวก ทาให k > 0
a + b – 4 = k ...(1)
b + c + 5 = k ...(2)
c + d + 1 = k ...(3)
d + e – 2 = k ...(4)
e + a + 3 = k ...(5)
5 1
1 2
5 2
1 1 0 0 0 k 4
0 1 1 0 0 k 5
0 0 1 1 0 k 1
0 0 0 1 1 k 2
1 0 0 0 1 k 3
1 1 0 0 0 k 4
0 1 1 0 0 k 5
0 0 1 1 0 k 1
0 0 0 1 1 k 2
0 1 0 0 1 7 R R
1 0 1 0 0 9 R R
0 1 1 0 0 k 5
0 0 1 1 0 k 1
0 0 0 1 1 k 2
0 0 1 0 1 k 12 R R
1 0 0 1 0 k 8
0 1 0 1 0
1 3
2 3
5 3
R R
4 R R
0 0 1 1 0 k 1
0 0 0 1 1 k 2
0 0 0 1 1 11 R R
ดงน �น k 3a
2
, b =
k 5
2
, c =
k 15
2
, d =
k 13
2
, e =
k 9
2
จะได c + e < b + d แสดงวาขอความ (ก) ถก
c < e < a < b < d แสดงวาขอความ (ข) ผด
a + d > b + c แสดงวาขอความ (ค) ผด
1 4
2 4
3 4
5 4
5
1 0 0 0 1 6 R R
0 1 0 0 1 k 2 R R
0 0 1 0 1 3 R R
0 0 0 1 1 k 2
0 0 0 0 2 k 9 R R
1 0 0 0 1 6
0 1 0 0 1 k 2
0 0 1 0 1 3
0 0 0 1 1 k 2
k 9 10 0 0 0 1 R
2 2
k 31 0 0 0 0
2k 5
0 1 0 0 02
k 150 0 1 0 0
2k 13
0 0 0 1 02
k 90 0 0 0 1
2
1 5
2 5
3 5
4 5
R R
R R
R R
R R
1 1 0 0 0 a k 4
0 1 1 0 0 b k 5
0 0 1 1 0 c k 1
0 0 0 1 1 d k 2
1 0 0 0 1 e k 3
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
47
29. กาหนดขอมลชดหน�ง ดงตารางตอไปน �
คะแนน จานวน
0 – 2 3
3 – 5 5
6 – 8 a
9 – 11 3
เม�อ a เปนจานวนเตมบวก
ถาคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลชดน �เทากบ 5 แลวมธยฐานของขอมลชดน � เทากบเทาใด
1. 3.8 2. 4.3
3. 4.8 4. 4.9
5. ไมมคาตอบ
เฉลย 2. แนวคด
คะแนน จานวน ( if ) จดก�งกลางช �น( ix ) i if x ความถ�สะสม
0 – 2 3 0 2
12
31 = 3 3
3 – 5 5 3 5
42
5 4 = 20 8
6 – 8 a 6 87
2
a 7 = 7a 9
9 – 11 3 9 11
102
3 10 = 30 12
จากคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลเทากบ 5 3 20 7a 305
3 5 a 3
7a 535
a 11
7a 53 5a 55
a 1
ตาแหนงมธยฐาน เทากบ 1 (12) 62
ซ�งอยในอนตรภาคช �นท� 2 ชวงคะแนน 3 – 5
และม ขอบลาง(L) = 2.5, ความกวางอนตรภาคช �น( I) = 3 , ความถ� = 5
ความสะสมของอนตรภาคช �นท�มคะแนนนอยกวาช �นท�มมธยฐาน( Lf ) 3
ดงน �น มธยฐาน = L
Nf
2L If
= 6 3
2.5 35
= 4.3
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
48
30. จากการสารวจประชากรของหมบานแหงหน�ง มผหญงรอยละ 60 ของประชากรท �งหมดในหมบานน �
และมอตราสวนของจานวนผหญงท�มสายตาผดปกต ตอจานวนผหญงท�มสายตาปกต เทากบ อตราสวนของ
จานวนประชากรในหมบานน �ท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนประชากรในหมบานน �ท�มสายตาปกต
พจารณาขอสรปเก�ยวกบประชากรในหมบาน ตอไปน �
(ก) ผหญงท�มสายตาผดปกตมจานวน 1.5 เทาของจานวนผชายท�มสายตาผดปกต
(ข) ผชายท�มสายตาปกตมจานวนมากกวาจานวนผหญงสายตาปกต
(ค) อตราสวนของจานวนผหญงท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนผหญงท �งหมดในหมบานน � มากกวา
อตราสวนของจานวนผชายท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนผชายท �งหมดในหมบานน �
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ขอ (ก) ถกเพยงขอเดยว 2. ขอ (ข) ถกเพยงขอเดยว
3. ขอ (ค) ถกเพยงขอเดยว 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถกท �งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผดท �งสามขอ
เฉลย 1.
แนวคด โดย มผหญงรอยละ 60 ของประชากรท �งหมด มผชายรอยละ 100 60 40 ของประชากรท �งหมด
ดงน �น อตราสวนจานวนผหญง ตอจานวนผชาย เทากบ 60 3
40 2 ...(1)
กาหนดคาคงท�แทนจานวนประชากรดงน �
และมอตราสวนของจานวนผหญงท�มสายตาผดปกต ตอจานวนผหญงท�มสายตาปกต เทากบ
อตราสวนของ จานวนประชากรในหมบานน �ท�มสายตาผดปกต ตอ จานวนประชากรในหมบานน �ท�มสายตาปกต
จะได d b d a c b d a b a b1 1 ...(2)
c a c c d c d c d
a c...(3)
b d
ให a ck
b d
จาก (1) และตารางจะได d(k 1)c d 3 dk d 3 3 d 3
a b 2 bk b 2 b(k 1) 2 b 2
...(4)
ดงน �น 3d b 1.5b
2 แสดงวาขอความ (ก) ถก
จาก (2) และ (4) ; a b a 2 2a c a c
c d c 3 3 แสดงวาขอความ (ข) ผด
จาก (3) ;
a c a c a b c d b d
1 1b d b d b d a b c d
แสดงวาขอความ (ค) ผด
ชาย หญง รวม
สายตาปกต a c a + c
สายตาผดปกต b d b + d
รวม a + b c + d a + b + c + d
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
49
ตอนท� 2 แบบอตนย ระบายคาตอบท�เปนตวเลข จานวน 15 ขอ(ขอ 31 – 45) ขอละ 8 คะแนน
31. ในการสารวจความชอบเรยนวชาคณตศาสตร วชาภาษาไทย และวชาภาษาองกฤษ ของนกเรยนกลมหน�ง
พบวา มนกเรยนชอบเรยนวชาคณตศาสตร 150 คน
มนกเรยนชอบเรยนวชาภาษาไทย 80 คน
มนกเรยนชอบเรยนภาษาองกฤษ 60 คน
และ มนกเรยน 30 คน ชอบเรยนท �งสามวชา
นกเรยนกลมน �มจานวนอยางมากก�คน
เฉลย 230
แนวคด
ให M แทนเซตของนกเรยนท�ชอบเรยนวชาคณตศาสตร
T แทนเซตของนกเรยนท�ชอบเรยนวชาภาษาไทย
E แทนเซตของนกเรยนท�ชอบเรยนวชาภาษาองกฤษ
โจทยกาหนดให
ในการสารวจความชอบเรยนวชาคณตศาสตร วชาภาษาไทย และวชาภาษาองกฤษ ของนกเรยนกลมหน�ง
แสดงวา n( ) n(M T E) U
n(M) = 150, n(T) = 80 , n(E) = 60 และ n(M T E) 30
จากแผนภาพเวนน-ออยเลอร จะได
a + b + c + d = 150
b + d + e + f = 80
c + d + f + g = 60
d = 30
จากสมบต
n(M T E) n(M) n(T) n(E) n(M T) n(M E) n(T E) n(M T E)
150 80 60 (b 30) (c 30) (f 30) 30
230 (b c f)
แต b, c, d เปนจานวนเตมท�มคามากกวาหรอเทากบ 0
ดงน �น b + c + f 0
แสดงวา n(M T E) 230 (b c f) 230
ดงน �น n( ) 230U
แสดงวา นกเรยนกลมน �มจานวนอยางมาก 230 คน
E
T M
a b
cd
e
f
g
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
50
32. ให A แทนเซตคาตอบของสมการ x x 4 x 4 x 43 9 3 3 3
และให B 59 x x A
ผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต B เทากบเทาใด
เฉลย 126
แนวคด
จากสมการ
x x 4 x 4 x 4
x x 4 x 4 x 4
3 9 3 3 3
3 9 3 3 3 3 3 ...(1)
ให a = x3 และ x 4b 3
จากสมการ (1) จะได 3 9 ab b 81a
81a 3ab b 27 0
3a(27 b) (27 b) 0
(3a 1)(27 b) 0
1a , b 27
3
แทนคากลบจะได x x 413 , 3 27
3
พจารณา
ถา x 13 x 1
3
สมการไมมคาตอบเพราะวา |x| 0
ถา x 43 27 x 4 3
x 4 3 , x 4 3
x 1 , x 7
ดงน �น A = {–1, –7}
ทาให B 59 x x A {59 ( 1) , 59 ( 7)} {60, 66}
ผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต B เทากบ 60 + 66 = 126
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
51
33. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให f : R R เปนฟงกชนท�สามารถหาอนพนธได และ
สอดคลองกบ 2
x 2
x x 6lim 6
1 f(x) 3
และ 1 f(x) 0 สาหรบทกจานวนจรง x
ถาเสนตรง 6x – y = 4 ตดกบกราฟ y = f(x) ท� x = 2 แลวคาของ f (2) เทากบเทาใด
เฉลย 5
แนวคด
จากเสนตรง 6x – y = 4 จดใหมจะได y = 6x – 4 ซ�งมความชนเทากบ 6
และเน�องจากเสนตรงน �ตดกบกราฟ y = f(x) ท� x = 2 จะได y = 6(2) – 4 = 8 แสดงวา f(2) = 8
โดยนยามของ x 2
f(x) f(2)f (2) lim
x 2
และ f(2) 8
จากโจทยกาหนด 2
x 2
x x 6lim 6
1 f(x) 3
2
x 2
2
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
1 f(x) 3x x 6lim 6
1 f(x) 3 1 f(x) 3
(x x 6)( 1 f(x) 3)lim 6
(1 f(x)) 9
(x 2)(x 3)( 1 f(x) 3)lim 6
f(x) 8
(x 3)( 1 f(x) 3)lim 6
f(x) f(2)
x 2
lim(x 3)( 1 f(x) 3)6
f(x) f(2)lim
x 2
(5)( 1 8 3)
f (2)
6
306
f (2)
f (2) 5
แนวคดท� 2 ใชกฎของโลปตาล
22
11x 2 x 2 x 2 x 222
d(x x 6) 2(2x 1) 1 f(x)x x 6 2x 1dxlim lim lim lim
f (x)1 f(x) 3 1d 1 f(x) f (x)(1 f(x)) 32dx
น�นคอ 2
x 2
2(5) 1 f(2)x x 6lim
f (2)1 f(x) 3
แต f(2) = 8
ดงน �น 2(5) 1 86 f (2) 5
f (2)
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
52
34. กาหนดใหฟงกชน 3
2
x , x 1ax b , 1 x 1f(x)
3x 2 , x 1
เม�อ a และ b เปนจานวนจรง
ถาฟงกชน f ตอเน�อง สาหรบทกจานวนจรง x แลวคา 2
2
f(x) dx เทากบเทาใด
เฉลย 9.25
แนวคด
จากฟงกชน f ตอเน�อง สาหรบทกจานวนจรง x จะไดวา f ตอเน�องท� x = –1 และ x = 1
จาก f ตอเน�องท� x = –1 จะได x 1 x 1 x 1
f( 1) lim f(x) f( 1) lim f(x) lim f(x)
น�นคอ x 1
3
x 1
f( 1) lim f(x)
a( 1) b lim x
a b 1 ...(1)
จาก f ตอเน�องท� x = 1 จะได x 1 x 1 x 1
f(1) lim f(x) f(1) lim f(x) lim f(x)
น�นคอ x 1
2
x 1
f(1) lim f(x)
3(1 ) 2 lim (ax b)
5 a b
a + b = 5 ...(2)
จาก (1) + (2) ; 2b = 4 b = 2
แทน b = 2 ใน (2) ; a + 2 = 5 a = 3
และจะได ฟงกชน f ดงน �
3
2
x , x 13x 2 , 1 x 1f(x)
3x 2 , x 1
ดงน �น
2 1 1 2
2 2 1 1
1 1 23 2
2 1 1
1 14 2
2 1
f(x)dx f(x) dx f(x)dx f(x) dx
x dx 3x 2 dx 3x 2 dx
3x 3x2x
4 2
3x
3
2
1
2x
1 16 3 3( 2) ( 2) (8 4) (1 2)
4 4 2 2
9.25
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
53
35. กาหนดให a > 1 และ
นยาม nn
2L(n) log a สาหรบ n = 1, 2, 3, ...
ถา 1 1 1... 77
L(1) L(2) L(10) แลวคาของ a เทากบเทาใด
เฉลย 32
แนวคด
n
n
n
n
2
1
n2
2
22
L(n) log a
log a
1log a
n
1log a
n
ดงน �น 2
2a
2
1 nn log 2
L(n) log a
จากสมการ 1 1 1... 77
L(1) L(2) L(10)
2 2 22 2 2
2 2 22
2 2 2a
a
a
1
5
1 log a 2 log a ... 10 log a 77
(1 2 ... 10 ) log a 77
10(10 1)(2 10 1) n(n 1)(2n 1)log 2 77 [ 1 2 ... n ]
6 6
385 log 2 77
1log 2
5
a 2
ดงน �น a = 52 32
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
54
36. ถา a และ b เปนจานวนจรงท�สอดคลองกบ 1 b 0a 4 1 175 a a
แลวคาของ 5 2a 2 58 a 2b a2 a 0 a
เทากบเทาใด
เฉลย 68
แนวคดท� 1
จากท�กาหนด
2
2
1 b 0a 4 1 17 ( 4 a 5b 0) (0 a a b) 175 a a
a b 5a 5b 17
จะได
5 2a 2 58 a 2b a ( 10ab2 a 0 a
2 24 a b) (4 a 2a ) 0 (20 b 10 ab 2) ( 16a 2 a
2
2
) 0
4a b 20a 20b
4(a b 5a 5b)
4( 17)
68
แนวคดท� 2 ใชการดาเนนการตามแถว(row operations) เครดต Tantalus Chokesiriphol
t
1 3
12
5 2a 2 5 2a 5 8 a 2 a8 a 2b a 2 2b 02 a 0 a 5 a a
2a 5 8 a 2 a2 2b 05 a a
2a 8 2 R R2 2b 05 a a
a 4 12 2 1 1b 0
5 a a
1 b 02 2 ( 1) a 4 1 R
5 a a
2 2 ( 1) 17
68
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
55
37. ให na เปนลาดบเลขคณตของจานวนจรง
โดยท� 1 3 5 49 2 4 6 50a a a ... a a a a ... a 1275 และ 100a 200
คาของ 51 52 53 100a a a ... a เทากบเทาใด
เฉลย โจทยผด แนวคด
กาหนดให na เปนลาดบเลขคณต โดยม d เปนผลตางรวม น�นคอ n 1 nd a a
1 3 5 49a a a ... a 1275 ...(1)
2 4 6 50a a a ... a 1275 ...(2)
(2) – (1) ; d d d ... d 0
25d = 0
d = 0
แสดงวาลาดบ na เปนลาดบคงท� ทกพจนมคาเทากน
และโจทยกาหนดให 100a 200
แสดงวาทกพจนมคาเปน 200
ซ�งจะพบวา 1 3 5 49a a a ...a 200 200 200 ... 200 5000
โดยขดแยงกบเง�อนไขท�โจทยกาหนดวา 1 3 5 49a a a ... a 1275
ดงน �นโจทยขอน �ไมสามารถหาคาตอบน �เน�องจากเง�อนไขในโจทยขดแยงกน
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
56
38. ตองการสรางจานวนหาหลก จากเลขโดด 1, 2, 3 โดยท�แตละหลกมตวเลขซ �ากนได และจานวนหาหลก
ประกอบดวยตวเลข 1 อยางนอย 1 หลก ตวเลข 2 อยางนอย 1 หลก และตวเลข 3 อยางมาก 2 หลก
จะมจานวนหาหลกดงกลาวไดท �งหมดก�จานวน
เฉลย 160
แนวคด
แบงเปน 3 กรณ
กรณท� 1 ในจานวนหาหลกไมมเลข 3
กรณท� 1.1 ใน 5 หลกมเลขโดด 1,2,2,2,2 มจานวนหาหลก 5 !5
1 ! 4 ! จานวน
กรณท� 1.2 ใน 5 หลกมเลขโดด 1,1,2,2,2 มจานวนหาหลก 5 !10
2 ! 3 ! จานวน
กรณท� 1.3 ใน 5 หลกมเลขโดด 1,1,1,2,2 มจานวนหาหลก 5 !10
3 !2 ! จานวน
กรณท� 1.4 ใน 5 หลกมเลขโดด 1,1,1,1,2 มจานวนหาหลก 5 !5
4 !1 ! จานวน
ดงน �นกรณท� 1 มจานวนหาหลกท �งหมด 5 + 10 + 10 + 5 = 30 จานวน
กรณท� 2 ในจานวนหาหลกมเลข 3 อย 1 ตว โดยเลข 3 อยในหลกใดกไดท �งหมด 51
5 !C 5
4 !1! วธ
กรณท� 2.1 ใน 4 หลกท�เหลอมเลขโดด 1,2,2,2 มจานวนหาหลก 4 !4
1 ! 3 ! จานวน
กรณท� 2.2 ใน 4 หลกท�เหลอมเลขโดด 1,1,2,2 มจานวนหาหลก 4 !6
2 !2 ! จานวน
กรณท� 2.3 ใน 4 หลกท�เหลอมเลขโดด 1,1,1,2 มจานวนหาหลก 4 !4
3 !1 ! จานวน
ดงน �นกรณท� 2 มจานวนหาหลกท �งหมด 5( 4 + 6 + 4) = 70 จานวน
กรณท� 3 ในจานวนหาหลกมเลข 3 อย 2 ตว โดยเลข 3 อยในหลกใดกไดท �งหมด 52
5 !C 10
3 !2 ! วธ
กรณท� 3.1 ใน 3 หลกท�เหลอมเลขโดด 1,2,2 มจานวนหาหลก 3 !3
1 !2 ! จานวน
กรณท� 3.2 ใน 3 หลกท�เหลอมเลขโดด 1,1,2 มจานวนหาหลก 3 !3
2 !1! จานวน
ดงน �นกรณท� 3 มจานวนหาหลกท �งหมด 10( 3 + 3) = 60 จานวน
จากกรณท� 1 – 3 จะไดจานวนหาหลกดงกลาวมท �งหมด 30 + 70 + 60 = 160 จานวน
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
57
39. จากการสารวจปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวชนดหน�ง จานวน 8 ตว ไดขอมลซ�งแสดงความสมพนธ
ระหวางอาย(ป) ของสตวชนดน � และปรมาณอาหารเสรม(กโลกรม)ท�ใชเล �ยงสตวดงกลาวตอสปดาห
ปรากฏผลดงน �
อาย(ป) : x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x
ปรมาณอาหารเสรมตอสปดาห(กโลกรม) : y 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y
โดยท� 8
ii 1
x 40
, 8
ii 1
y 48
, 8
2i
i 1
x 210
, 8
2i
i 1
y 380
8
i ii 1
x y 270
และ 3 = 1 2 8x x ... x 10
สมมตวากราฟแผนภาพการกระจายท�แสดงความสมพนธระหวางปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวตอ
สปดาห และอายของสตวดงกลาว อยในรปแบบเสนตรง ถาสตวชนดน �มอาย 4 ป จะตองใชปรมาณอาหาร
เสรมท�ใชเล �ยงสตวตอสปดาหประมาณก�กโลกรม
เฉลย 3
แนวคด
เพราะวากราฟแผนภาพการกระจายท�แสดงความสมพนธระหวางปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวตอ
สปดาห และอายของสตวดงกลาว อยในรปแบบเสนตรง
และตองการทานายปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวตอสปดาห เม�อทราบสตวชนดน �
จะไดสมการท�วไปของความสมพนธน �คอ y = ax + b
และสมการปกตคอ 8 8 8
i ii 1 i 1 i 1
8 8 82
i i i ii 1 i 1 i 1
y a x b 48 40a 8b ...(1)
x y a x b x 270 210a 40b ...(2)
(2) 5 (1); 30 10a
a 3
แทนคา a = 3 ใน (1) จะได 48 = 120 + 8b
b = –9
จะไดความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล x และ y คอ y = 3x – 9
ดงน �น ถาสตวชนดน �มอาย 4 ป
จะตองใชปรมาณอาหารเสรมท�ใชเล �ยงสตวตอสปดาหประมาณ 3(4) – 9 = 3 ก�กโลกรม
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
58
40. ถา 2 2Ax By Dx Ey 21 เปนสมการของไฮเพอรโบลารปหน�งมแกนตามขวางขนานแกน x
มเสนตรง 2x y 1 0 เปนเสนกากบ(asymptote)เสนหน�ง และมจด (1 2 5, 3) เปนโฟกสจดหน�ง
แลวคาของ 2 2 2 2A B D E เทากบเทาใด
เฉลย 117
แนวคด
จากท�จดโฟกสจดหน�งอยท�จด (1 2 5, 3) จะไดจดศนยกลาง (h, k) คอ (h, 3)
จากเสนกากบ 2x y 1 0 ผานจด ศ.ก. (h, 3)
จะไดวาแทน x = h , y = 3 จะทาใหสมการ 2x – y + 1 = 0 เปนจรง
น�นคอ 2h – 3 + 1 = 0 h = 1
แสดงวาจดศนยกลางของไฮเพอรโบลาคอ (1, 3)
และจะไดอกวา c = (1 2 5) 1 2 5 ...(1)
จากเสนกากบ 2x y 1 0 จดใหมเปน y = 2x + 1 ซ�ง จะไดความชน เปน 2
แตสาหรบไฮเพอรโบลาน �จะมความชนเสนหน�งเปน b
a
น�นคอ b2
a b = 2a ...(2)
จาก (1) , (2) และความสมพนธของ a, b, c
2 2 2 2 2 2 2c a b (2 5) a (2a) a 4
ดงน �น 2 2b 4a 16
โดยท�ไฮเพอรโบลามแกนตามขวางขนานกบแกน x จะไดสมการดงน �
2 2 2 2
2 2
2 2
(x h) (y k) (x 1) (y 3)1 1
4 16a b
4x y 8x 6y 21
ดงน �น A = 4, B = –1, D = –8, E = 6
2 2 2 2 2 2 2 2A B C D 4 ( 1) ( 8) 6 117
x
y
0
(1, 3)
a
b
2x y 1 0 y 2x 1
F(1 2 5, 3)
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
59
41. ให S เปนเซตของคอนดบ (a, b) ท �งหมด โดยท� a, b เปนจานวนเตมบวกท�สอดคลองกบ 1 1 1
a b 10
จานวนสมาชกของเซต S เทากบเทาใด
เฉลย 4 แนวคด
จากท�กาหนด 1 1 1
a b 10
10ab คณตลอด; 10ab 10ab 10ab
a b 10
10b – 10a = ab
10b – 10a – ab = 0
b(10 – a) – 10a = 0
b(10 – a) + 10(10 – a) = 100
(10 – a)(b + 10) = 10 ...(1)
เน�องจาก a และ b เปนจานวนเตมบวก แสดงวา b + 10 เปนจานวนเตมบวก
เพ�อใหผลคณ (10 – a)(b + 10) เปนจานวนเตมบวกคอ 10
จะได 10 – a เปนจานวนเตมบวกดวย
น�นคอ 0 < a < 10
แสดงวาคา a ท�เปนไปได ไดแก 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
จากท�ไดวา (10 – a)(b + 10) = 10 จะไดวา
ถา a = 1 จะได (10 – 1)(b + 10) =100 b + 10 = 100
9 ขดแยงกบท� b + 10 I แสดงวา a 1
ถา a = 2 จะได (10 – 2)(b + 10) =100 b + 10 = 100
8 ขดแยงกบท� b + 10 I แสดงวา a 2
ถา a = 3 จะได (10 – 3)(b + 10) =100 b + 10 = 100
7 ขดแยงกบท� b + 10 I แสดงวา a 3
ถา a = 4 จะได (10 – 4)(b + 10) =100 b + 10 = 100
6 ขดแยงกบท� b + 10 I แสดงวา a 4
ถา a = 5 จะได (10 – 5)(b + 10) =100 b + 10 = 100
205
แสดงวา a = 5 และ b = 20
ถา a = 6 จะได (10 – 6)(b + 10) =100 b + 10 = 100
254
แสดงวา a = 6 และ b = 25
ถา a = 7 จะได (10 – 7)(b + 10) =100 b + 10 = 100
3 ขดแยงกบท� b + 10 I แสดงวา a 7
ถา a = 8 จะได (10 – 8)(b + 10) =100 b + 10 = 100
502
แสดงวา a = 8 และ b = 50
ถา a = 9 จะได (10 – 9)(b + 10) =100 b + 10 = 100 แสดงวา a = 9 และ b = 100
ดงน �น S = {(5, 20), (6, 25), (8, 50), (9, 100)}
แสดงวาจานวนสมาชกของ S เทากบ 4
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
60
42. ให A เปนเซตของจานวนจรง x ท �งหมด ท�สอดคลองกบอสมการ 2x1 x
1 x 1 x
ถา a เปนขอบเขตบนนอยสดของเซต A และ b เปนขอบเขตลางมากสดของเซต A
แลวคาของ 2 2a b เทากบเทาใด
เฉลย 1.5
แนวคด
เน�องจาก 1 x และ 1 x หาคาไดเม�อ 1 + x 0 และ 1 – x 0
น�นคอ x –1 และ x 1
ดงน �น 1 x และ 1 x หาคาไดเม�อ –1 x 1
จากอสมการท�กาหนด และท�ไดวา –1 x 1 จงแบงการหาเซตคาตอบอสมการเปน 2 กรณ ดงน �
กรณท� 1 ถา –1 x 0
จาก –1 x 0 จะได 1 1 – x 2 และ 0 1 + x 1
ทาให 1 1 x 2 และ 0 1 x 1
ดงน �น 2x0
1 x 1 x
แต 1 x 1
แสดงวาสาหรบจานวนจรง x ซ�ง –1 x 0 ทาให 2x1 x
1 x 1 x
เปนจรง
ดงน �นเซตคาตอบกรณท� 1 คอ [–1, 0] ...(1)
กรณท� 2 ถา 0 < x 1
2x
1 x1 x 1 x
2x 1 x 1 x 1 x
2x 1 x 1 x (1 x)
2( 2 1)x 1 1 x
22
2( 2 1)x 1 1 x
ดงน �นเซตคาตอบกรณท� 2 คอ 10,
2
...(2)
จาก (1) และ (2) เซตคาตอบท �งสองกรณ จะได A = 1 1
[ 1, 0] 0, 1,2 2
จะไดคาขอบเขตบนนอยสดของ A เทากบ 1
2 และคาขอบเขตลางมากสดของ A เทากบ –1
น�นคอ a = 1
2 และ b = –1
2 2 2( 2 1) x 2( 2 1)x 1 1 x
2(4 2 2)x 2( 2 1)x 0
22 2( 2 1)x 2( 2 1)x 0
2( 2 1)x 2x 1 0
x( 2x 1) 0
เง�อนไขจาก
1
2
0 1
0
เซตคาขอบเขตบน เซตคาขอบเขตลาง
เซต A
1 1
2
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
61
ดงน �น 2
2 2 21a b ( 1) 1.5
2
43. ให A เปนเซตของคอนดบ (x, y) โดยท� x และ y เปนจานวนจรงบวกท�สอดคลองกบ
2 x y 2 และ 24 23 log 16x 6 6 log y
ให 2 2B x y (x, y) A
คามากท�สดของสมาชกในเซต B เทากบเทาใด
เฉลย 2
แนวคด
จากสมการ 24 23 log 16x 6 6 log y
24 4 23(log 16 log x ) 6 6 log y
2 24 2
22 23(log 2 log x ) 6 6 log y
22 2 2
4 13( log 2 log x ) 6 6 log y
2 2
22 2
13(2 log x ) 6 6 log y
2
ดงน �น x y
น�นคอ x = y หรอ –x = y
ดงน �น A = {(1, 1), 1 1
,4 4
}
กรณท� 1 x = y
จากสมการ 2 x y 2
จะได 2 x x 2
2 x 2 x
ยกกาลงสอง ; 2 x 4 4 x x
4 x 2x 2
2 หารตลอด; 2 x x 1
ยกกาลงสอง; 24x x 2x 1
2
2
x 2x 1 0
(x 1) 0
x 1
แต y = x จะได y = 1
กรณท� 2 – x = y
จากสมการ 2 x y 2
จะได 2 y y 2
2 y 2 y
ยกกาลงสอง; 2 y 4 4 y y
4 y 2
2 หารตลอด; 2 y 1
ยกกาลงสอง; 4y 1
1
y4
แต –x = y จะได x = 1
4
22 2
36 log x 6 6 log y
2
22 2
3log x 6 log y
2
22 2
1log x 2 log y
2
1 2
2 22 2log (x ) log y
2 2log x log y
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
62
ทาให 2 2B x y (x, y) A = { 2 21 1 , 2 21 1( ) ( )
4 4 } = {2 ,
1
8}
ดงน �น คามากท�สดของสมาชกในเซต B เทากบ 2
44. กาหนดขอมลกลมตวอยาง 5 จานวนคอ 1 2 3 4 5x , x , x , x , x โดยท� 5
2i
i 1
x 214
และ 5
2i
i 1
(x x) 34
เม�อ x คอคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลกลมตวอยางน � และ x 0
ถาขอมลกลมตวอยางใหม 5 จานวนคอ 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x 2x , x 2x , x 2x , x 2x , x 2x
มสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 16
แลว คาเฉล�ยเลขคณตของขอมล 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x x , x x , x x , x x , x x เทากบเทาใด
เฉลย 78.7 แนวคด
สตรท�ใชคานวณคาสถตของกลมตวอยาง
n n n2 2 2i i i
i 1 i 1 i 1
x (x x) x nx
x , sn n 1 n 1
(หาคา x ของขอมลกลมตวอยาง 5 จานวนคอ 1 2 3 4 5x , x , x , x , x )
จาก 5
2i
i 1
x 214
และ 5
2i
i 1
(x x) 34
จะได
5 52 2 2
i i2 i 1 i 1
(x x) x 5(x )
s5 1 5 1
34
4
2214 5(x )
4
2(x) 36
แตโจทยกาหนด x 0 แสดงวา x 6
(ตอไปจะหาคา 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x x x x x x x x x x )
พจารณาขอมลกลมตวอยางใหม 5 จานวนคอ 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x 2x , x 2x , x 2x , x 2x , x 2x
จะไดคาเฉล�ยเลขคณต( x ) = 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1(x 2x ) ( x 2x ) ( x 2x ) ( x 2x ) ( x 2x )
5
= 1 2 3 4 53(x x x x x )
5
= 3(x)
= 18
จากขอมลคอ 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x 2x , x 2x , x 2x , x 2x , x 2x ท�มสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 16 จะได
2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 4 4 5 5 1(x 2x ) (x 2x ) (x 2x ) (x 2x ) (x 2x ) 5(x )
165 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 221 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 1 5 5(x 4x x 4x ) (x 4x x 4x ) (x 4x x 4x ) (x 4x x 4x ) (x 4x x 4x ) 5(18)
(16)5 1
2 2 2 2 21 2 3 4 5 1 2 2 3 3 4 4 5 1 55(x x x x x ) 4(x x x x x x x x x x ) 1620
2564
1 2 2 3 3 4 4 5 1 5
5(214) 4(x x x x x x x x x x ) 1620 256 4
1 2 2 3 3 4 4 5 1 5x x x x x x x x x x 393.5
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
63
ดงน �น คาเฉล�ยเลขคณตของขอมล 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1x x , x x , x x , x x , x x
เทากบ 1 2 2 3 3 4 4 5 1 5x x x x x x x x x x 39378.7
5 5
45. ให S เปนเซตของจานวนสองหลก ab ท �งหมด
โดยท� ab + ba = 143 เม�อ a, b {1,2, 3, ..., 9} และ a b
ผลบวกของสมาชกท �งหมดในเซต S เทากบเทาใด
เฉลย 429
แนวคด
จานวนสองหลก ab มคาเทากบ 10a + b
จานวนสองหลก ba มคาเทากบ 10b + a
จากท�กาหนด ab + ba = 143
(10a + b) + (10b + a) = 143
10(a + b) + (a + b) = 143
11(a + b ) = 143
a + b = 13
จะได a = 9, b = 4
a = 8, b = 5
a = 7, b = 6
a = 6, b = 7
a = 5, b = 8
a = 4, b = 9
แสดงวาจานวนสองหลกดงกลาวไดแก 94, 85, 76, 67, 58, 49
น�นคอ S = {94, 85, 76, 67, 58, 49}
ดงน �นผลบวกของสมาชกใน S เทากบ 94 + 85 + 76 + 67 + 58 + 49 = 429
PAT1 (ความถนดทางคณตศาสตร) 31 ตลาคม 2558( 3 ช�วโมง)
64