Particle Filter
תומר באום
ב"ה
מוטיבציה
אנו רוצים להעריך מצב של מערכת )מיקום,•מהירות טמפרטורה וכו'( בעזרת מדידות
שנעשות בזמנים שונים. ) כמו טווח לנקודות ידועות במרחב או קריאות ממכשירי מדידה(.
המדידות והמערכת רועשות.
סידרת מצבים )ווקטורים אקראיים(
כאשר:
iid נקרא רעש התהליך והוא
ו בלתי תלויים k:ולכל
נתון:
1 ( , )k k k kx f x v
{ , }kv k N
kv
kx
kx
{ , }kx k N
בנוסף מהווה שרשרת •מרקוב:
{ , }kx k N
1: 1 1( | ) ( | )k k k kp x x p x x
לשערך את מהמדידות:
iid נקרא רעש המדידה והוא
ו בלתי תלויים k:ולכל
המטרה:
( , )k k k kz h x w
{ , }kw k N
kw
kx
kx
דוגמא:
הערכת מיקום ומהירות במישור של מטרה נעה במהירות קבועה •בעזרת מכ"ם:
ו הם המיקום והמהירות•
המדידה:•
אזימוט וטווח
h ? ו fמה יהיו
[ ; ]k k kx kk
( , )kz r
( , )tan( (2) / (1))
k kk k k k
k k k
rZ h x w w
a
11
1
( , )k k kk k k
k k
x f x v
ניסוח מחדש:posterior densityהמטרה
אנו מעונינים בעצם לחשב את•
כאשר נתון: •
1:( | )k kp x z
מדידה נבצע שני שלבים:Kלכל ועדכון
1( | )k kp x x
( | )k kp z x
משמעות:
1:
1
( | ) .1
( | ) .2
( | ) .3
k k
k k
k k
p x z posterior
p x x prior
p z x likelihood
kההסתברות שהמצב הוא בהינתן התצפיות עד זמן 1.
מודל התנועה או ההשתנות של המצב2.
ההסתברות לקבל תצפית מסוימת בהינתן המצב3.
kx
:K=0
מדידה:•
עדכון:•
0 00 0 0
0
( | )( | ) ( )
( )
p z xp x z p x
p z
1 0 1 0 0 0 0( | ) ( | ) ( | )p x z p x x p x z dx
:K>0
מדידה:•
כאשר
עדכון:•
1: 1: 11: 1
( | )( | ) ( | )
( | )k k
k k k kk k
p z xp x z p x z
p z z
1 1: 1 1:( | ) ( | ) ( | )k k k k k k kp x z p x x p x z dx
1 1: 1: 1( | ) ( | ) ( | )k k k k k k kp z z p z x p x z dx
Monte Carlo Samplingהרעיון אנחנו רוצים ע"י דגימות לשחזר התפלגות לא •
ידועה. כמות הדגימות בד"כ משפיעה על איכות השיערוך.
אפשרות לשיערוך:•
הן הדגימות
1
1
ˆ ( ) ( )s
s
Ni
Ni
p x x x
1{ ,..., }sNx x
Importance sampling
ע"י pאנו רוצים להעריך התפלגות מסוימת •דגימת המרחב.
הבעיה היא שכדי שהדגימה תהיה יעילה יש • צורך באיזה שהוא מידע הסתברותי על המרחב
)יכולות להיות סיבות q - התפלגות נוספת (qשונות לצורך להשתמש ב
יש לנו אוסף של תהליכים מרקוביים )החלקיקים הרעיון:particles שכל אחד מהם מקבל משקל. המשקל יכול )
מסוים )זמן מסוים( , kלהשתנות עם הזמן. עבור
הוא משקל שמתאים לתהליך ה
לכן גם:
Sequential Importance Sampling
0: 1{ , } sNi ik k ix w
ikwi
Random Measure:
1ikiw
Posterior density approximation
0: 1: 0: 0:1
( | ) ( )sN
i ik k k k k
i
p x z w x x
כלומר ההסתברות למצב מסוים הוא סכום המשקלים של
החלקיקים שמגיעים למצב הזה, לכן יש חשיבות גדולה לקביעת המשקלים בצורה נכונה.
כך ש:q אם נבחר
נקבל:
0: 1: 0: 1 1: 0: 1 1: 1( | ) ( | , ) ( | )k k k k k k kq x z q x x z q x z
11
0: 1 1:
( | ) ( | )
( | , )
i i ii i k k k kk k i i
k k k
p z x p x xw w
q x x z
תרחיש חשוב:•
אז:•
0: 0: 1 1: 1( | , ) ( | , )k k k k k kq x x z q x x z
11
1
( | ) ( | )
( | , )
i i ii i k k k kk k i i
k k k
p z x p x xw w
q x x z
מקרה נפוץ )שדורש הנחות נוספות(:•
1 ( | )i i ik k k kw w p z x
וגם:•
ניתן להראות שכאשר מספר הדגימות שואף •לאינסוף זה מתקרב לשיוויון
0: 1: 0: 0:1
( | ) ( )sN
i ik k k k k
i
p x z w x x
חשוב לשמור על וואריאנס קטן:p קרוב לqאנו יוצאים מנקודת הנחה ש •
וש: •
1: 1:
1: 1:
( | )1
( | )k k
qk k
p x zE
q x z
1: 1:
1: 1:
( | )0
( | )k k
qk k
p x zVar
q x z
צפוי להתחזק חלקיק אחד בלבד )הסביר SISבתהליך •( על חשבון כל האחרים. ) כמו ( במקום ביותר
ההתפלגות.הפתרון: נוסיף שלב נוסף דגימה מחדש •
((RESAMPLINGנחליף את:•
ב:•
Resampling
0: 1: 0: 0:1
10: 1: 0: 0:
1
ˆ ( | ) ( )
( | ) ( )
s
s
s
Ni i
k k k k ki
Ni i
k k k k kNi
p x z w x x
p x z N x x
לכל חלקיק נתאים דגימות חדשות•
בהתאם למשקל שלו. לדגימות הללו נקרא "צאצאים".
את ההתפלגות נעריך לפי מספר הצאצאים
0:k
ixk
iN
0: 1~ ( | )i ik k kx p x x
1 ( | )i i ik k k kw w p z x
דגימה לפי:)1(
חישוב משקל חדש לפי התצפית החדשה:)2(
(הוצאת צאצאים לפי המשקל היחסי3)
( דגימה מחודשת לפי עדכון משוערך של 4)ההתפלגות
NICE DEMO MOVIE:
http://www.truveo.com/hand-tracking-using-particle-filters/id/4039684262
Reference:
• “Theory and Implementation of Particle Filters”: )ppt( by Miodrag Bolic )u. of Ottawa(
• “Condensation - Conditional Density Propagation for Visual Tracking”:
Blake, A. Isard, M. INTERNATIONAL JOURNAL OF COMPUTER VISION )1998(
• “A Tutorial on Particle Filters for Online Nonlinear/Non-Gaussian Bayesian Tracking”: Arulampalam et al IEEE TRANSACTIONS ON SIGNAL PROCESSING )2002(
• http://osiris.sunderland.ac.uk/ncaf/htm/pubs/particle.ppt• A good book :“Sequential Mote Carlo Methods in Practice”
Doucet et. al
Top Related