Cláudio Freire
Para
UNIDADE VII
CAPÍTULO 01
I. Classificação das expressões algébrica
1. Expressão algébricaa) Racional:Não possuí variável sob radiciação.
Inteira- Não possuí variável no denominador
Exemplos:a) x3 + x2 + x +
b)
Fracionária- Possuí variável no denominador
Exemplos:
a)
b)
b) Irracional- Possuí variável sob radiciação (dentro da
raiz)
a)
b)
Exercícios resolvidos
1. Classificar as expressões algébricas abaixo:a) (Expressão algébrica
racional inteira)
b) (Expressão algébrica irracional)
c) (Expressão algébrica racional
inteira)
d) (Expressão Algébrica racional
fracionária)
e) x-2 + 2x + y2 (Expressão algébrica racional
fracionária)
2. Fração Algébrica ou Expressão AlgébricaÉ a razão entre dois polinômios A e B, sendo
B 0, representados em forma de fração.Os polinômios acima citados são
considerados termos da fração, onde A é numerador e B o denominador.
Exemplos:
a) c)
b) d)
O denominador de uma fração algébrica tem que ser sempre diferente de zero pois a divisão de qualquer número por zero é impossível.
Exemplos:
a)
Solução:
x – 4 0 x 4
”x” pode assumir qualquer valor em IR (reais), com exceção de x = 4 pois, anularia o denominador
b)
Solução:
x – 2 0 x 2x + 2 0 x -2
”x” pode assumir qualquer valor em IR (reais), com excessão de x = 2, pois anularia os denominadores da mesma.
Exercícios
1. (EMM-80) A expressão é:
a) Racional inteira d) Numérica
b) Irracional e) Homogênia
c) Racional
2. (EsPCEX) O polinômio
é:
a) Fracionário e
racionald) Inteiro
b) Fracionário e) Fracionário e
59
Cláudio Freire
Para
irracional
c) Irracional
3. (C.NAVAL) Classifique a expressão
a) Expressão algébrica racional inteirab) Expressão algébrica racional fracionáriac) Expressão algébrica irracionald) Expressão algébrica irracional inteirae) Expressão algébrica irracional fracionária4. (ETFQ) Para que o polinômio em x e y
seja racional,é necessário que m seja igual a:
a) 1 b) 4 c) 3 d) x e) 0
Gabarito
1. b) Irracional
2. d) Inteiro
3. b) Expressão algébrica racional fracionária
4. e) 0
CAPÍTULO 02
I. Valor numérico de uma expressão algébrica
É o valor numérico que se obtém substituindo as variáveis pelos seus respectivos valores.
Exercícios resolvidos
1. Calcular o valor numérico da expressão x3 – x2 – 2xy – x – y para x = -2 e y = -1.
Solução:
(-2)3 – (-2)2 – 2 . (-2) . (-1) – (-2) – (-1) == -8 – 4 – 4 + 2 + 1 = -13
Exercícios
1. Determine o valor de cada expressão numérica:
a) 2a + b, quando a = -1/5 e b = 1/2
b) x2 + xy, quando x = -1/3 e y = 2
c) x3 – y3, quando x = -1 e y = -1/2
d) x2y – xy2, quando x = -1/2 e y = -2
2. (EEAr-91) A expressão 2a2 - + 4m – 3a2 +
ab-1 tem valor numérico igual a 10 para a = -1 e b = 2, então o valor de m é:
a) 19/8 b) 21/8 c) 38 d) 42
3. (EEAr-89) O valor numérico da expressão:
para x = -1, y = 2, c = 3 e d = -4:
a) –10/21 b) –4/21 c) 10/21 d) 4/21
4. (EsSA-85) O valor da expressão algébrica
x-2 - , para x = 4 é:
a) 47/4 b) 35/3 c) 35/3 d) 467/48
e) 17/4
5. (EsSA-96) a-1 + b-1 = c-1 para a = -1/2 e b = 1/3, então c vale:
a) –1 b) 1 c) 1/6 d) –1/6 e) 1/5
6. (EsSA-96) O valor da expressão –5a2 – b3 para a = -2 e b = -1 é:
a) –43 b) 21 c) 19 d) -17 e) –19
7. (EPSJV-2000) Para x = 5, a expressão
vale:
a) 11/17 b) 43/19 c) 29/71 d) 55/23 e) 37/13
8. (EEAr-2001) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, então (abc)12 é igual a
a) 9912 b) 992 1/2 c) 9928 d) 9988
Gabarito
1. a) 1/10 b) 5/9 c) 7/8 d) 3/2
2. b) 21/8
60
Cláudio Freire
Para
3. d) 4/21
4. d) 467/48
5. b) 1
6. e) –19
7. d) 55/23
8. d) 9988
CAPÍTULO 03
I. Simplificação de Expressões Algébricas
Fatoramos o numerador e o denominador guando necessário e simplificamos os mesmos.
Exercícios resolvidos
1. Simplifique:
a)
b)
c)
Exercícios
1. (EAM-98) Sendo a = 2b, então o valor de
é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 6 e) 8
2. (FaaP/SP) Simplificando a expressão
obtemos:
a) a b) c) d)
3. (EAM-98) A expressão é igual a:
a) 1/10 b) 1/12 c) 2/6 d) 1/5 e) 2/12
4. (EEAR-98) Simplificando-se
,obtém-se:
a) 8 b) –1/2 c) 1/4 d) 7/4
5. (E.T.F.Q.N.-98) Considere N o valor da
expressão , com ab 0, tal que a2 + b2
= 10ab.Determine o número de divisores pares positivos de N.
61
Cláudio Freire
Para
6. (EEAR-98) A expressão é igual
a:
a) b) c) d)
7. (CM.RJ-99) Simplificando a fração algébrica
, encontramos:
a) x + 3 d)
b) e)
c) x – 3
8. (CTUR-2000) Simplificando a expressão
, obtém-se:
a) d)
b) e)
c)
9. (EEAR-2000) Simplificando ,
com a > 0 e x > 0 temos:
a) c)
b) d)
10. Simplifique :
a)
b)
c) x + 1
d)
11. (EPS-JV-2000) Para x = 5, a expressão
, vale:
a) 11/7b) 43/19c) 29/71d) 55/23e) 37/13
12. (EsPCEx-2001) Pode-se afirmar que a
função real , após
convenientemente simplificada, é equivalente, é equivalente a:
a) y = 2x + 1 para lR – {-3,1}b) y = x2 + 1 para lR – {-3,1}c) y = x – 2 para lR – {-3,1}d) y = x + 1/2 para lR – {-3,1}e) y = 3x + 1 para lR – {-3,1}
13. Simplifique
a) –3/2b) –1/2c) 1/2d) 3/2e) 1
14. (EsPECEX-81) Simplifique a expressão:
15. (ExPCEX-84) Efetuar e simplificar:
16. (EsSa-89) Calculando
obtemos:
a) d) x – 6
b) e)
c) 3(x – 6)
17. (Química têxtil-93) Simplificando
:
a) (a + b) / (a – b) d) 1/a + 1
62
Cláudio Freire
Para
b) (a – b) / a + 1 e) (a – b) / a – 1
c) 1/a – 1
18. (CEFET-91) Simplifique :
19. (CEFET-89) Simplifique a fração:
20. (CEFET-85) Se x 1 e x -1 simplificando
a expressão você obtém:
a) d) x3 + x + 2
b) e)
c)
21. (EEAR-87) Simplificando a fração
encontramos:
a) c)
b) d)
22. (EsSa-89) Simplificando a fração
:
a) d)
b) e)
c)
23. (EsSA-92) Simplificando a fração
encontramos:
a) x – 3 / x + 3 d) 1b) x – 2 / x+ 3 e) –1c) x – 3 / x
24. (EsSA-91) Simplificando a fração algébrica
, para x 1, x -1 e x 0
obtemos:
a) d)
b) e)
c)
25. (EPCAR-81) Simplificando e calculando o
valor numérico de para a = b = 4, você
obterá:
a) zero d) 64b) 16 e) impossívelc) 8
26. (ETFQ-93) Simplificando a equação
(x 0 e y 0), ao máximo
possível,encontraremos:
27. (C.NAVAL-82) O valor da expressão
independe de x.
A soma dos valores de a,b e c é:
a) 4 b) 2 c) -3 d) 0 e) 1
Gabarito
1. d) 6
2. c)
3. b)
4. d)
5. 4 divisores
6. a)
7. b)
8. b)
9. d)
63
Cláudio Freire
Para
10. a)
11. d)
12. a) y = 2x + 1 para lR – {-3,1}
13. b)
14. 2
15. (1 – x2)
16. c)
17. d)
18.
19.
20. a)
21. b)
22. e)
23. a)
24. c)
25. c) 8
26. (x – y)
27. a) 4CAPÍTULO 04
I. Adição e subtração de frações Algébricas
1. Regra Prática
Devemos reduzir as frações ao mesmo denominador (m.m.c. dos denominadores).
Adicionamos e/ou subtraímos os respectivos numeradores repetindo o denominador comum.
Simplificamos a fração final quando possível através da fatoração.
Exercícios resolvidos
a)
Para calcular o m.m.c., fatoramos cada denominador e em seguida aplicamos a decomposição simultânea em fatores primos ( aritmética )
m.m.c
(x – 1) . (x + 1)
; (x + 1)
x + 1
(x – 1) . 1 ; 1 x – 11 . 1 ; 1
m.m.c = (x + 1) (x – 1)
Exercícios
1. (EEAR-88) Efetuando as operações:
,o resultado será:
a) c)
b) d)
2. (EAM-98) Simplificando a expressão:
64
Cláudio Freire
Para
, obtemos:
a) 2x
b) 3x
c) 6x
d) 5x
e) 10x
3. (UNB) A expressão ,com a
4 é igual,a:
a)
b)
c)
d)
4. (UNB) Sendo a e b dois números reais
diferentes de zero, a expressão é igual
a:
a) c)
b) d)
5. (EEAr-91) Qual a fração que quando
adicionada a , obtém-se
a) b) c) d)
Gabarito
1. b)
2. a) 2x
3. d)
4. c)
5. d)
CAPÍTULO 05
I. Produto e Divisão de Frações Algébricas
Quando do produto, basta simplificar as frações através da fatoração se possível, e em seguida multiplicar os termos finais.
Quando da divisão, devemos repetir a primeira fração multiplicar pelo inverso sa segunda e em seguida aplicar o mesmo procedimento do produto.
Exemplos:
a)
Solução:
b)
Solução:
Exercícios
1. (UF-Goiás) Simplificando a expressão
, obtemos:
a) b) c) d)
2. A expressão é igual a:
a) d)
b) e)
c)
3. (FAETEC-97) A fração que você vai obter
quando multiplicar por :
65
Cláudio Freire
Para
a) d)
b) 2 e) 2x
c)
4. (CMRJ-97) O resultado simplificado da
expressão:
a) d)
b) e)
c)
5. (EAM-2000) Considere a expressão:
Efetuando os cálculos e simplificando-os obtém-se:
a) b) c) d) e)
6. (EEAr-98) Simplificando a expressão:
,obtém-se :
a) b) c) d)
7. (EEAr-200) O quociente da divisão de :
por , obtém-se:
a) b) c) d)
8. (CM-2000) Se e
, o valor de , para x = é:
a) d)
b) e)
c)
Gabarito
1. a) 5. b)
2. c) 6. b)
3. a) 7. c)
4. a) 8. a)
UNIDADE VIII
CAPÍTULO 01
I. Polinômio
É toda expressão algébrica racional inteira.
Indicação:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … a1x + a0
x lR, n lN e (an, an-1 ... a1, a0) lR
Exemplo:
a) P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 1
1. Valor numérico de um polinômioConsiderando o polinômio P(x) = x3 + x2 + 1,
calcular P(-1). O valor numérico será encontrado substituindo x no polinômio por (-1).
P(-1) = (-1)3 + (-1)2 + 1
P(-1) = -1 + 1 + 1
P(-1) = 1
2. Raíz ou zero de um polinômioSe P(x) = 0, podemos dizer que x é uma raiz
ou zero do polinômio P(x).
Exercícios resolvidos
1. As raízes do polinômio P(x) = x2 – 5x + 6, estão no conjunto {1,2,3} verificar quais são:
P(1) = 12 – 5 . 1 + 6
P(1) = 1 – 5 + 6 = 2 (não é raíz)
P(2) = 22 – 5 . 2 + 6
P(2) = 4 – 10 + 6 = 0 (2 é raíz)
P(3) = 32 – 5 . 3 + 6
P(3) = 9 – 15 + 6 = 0 ( 3 é raíz )
66
Cláudio Freire
Para
Solução:
As raízes são {2 e 3}
3. Polinômio completoPossuem todos os termos de grau “n”(maior
grau) até o grau “0”(menor grau), ou seja, possuem n + 1 termos.
Exemplos:
a) P(x) = x4 – 3x3 + 2x2 – x + 1
b) P(x) = 3x5 – 3x4 – 2x2 – x + 6
c) P(a) – a2 – 6a + 10
4. Grau de um polinômio
É o monômio de mais alto grau
Exercícios resolvidos
1. Qual é o grau do polinômio:
a)
Polinômio do 4ºgrau
b) Qual é o grau do polinômio;
Polinômio do 7ºgrau
Polinômio do 4ºgrau em relação a x
Polinômio do 5ºgrau em relação a y
c) Determinar o valor de para que o
polinômio seja do 3ºgrau.
Solução:
Coeficiente de x4
k2 – 4 = 0
k2 = 4
k =
k = 2
coeficiente de x3
k – 2 0
k 2
Resposta: k = –2
5. Polinômio homogênioUm polinômio é homogênio guando todos os
termos são do mesmo grau.
Exemplos:
Exercícios resolvidos
1. Para que o valor de k, o polinômio em x e y4x3y2 – 5x5 – 4x4y – k + 1 é homogênio
-k + 1 = 0-k = -1(-1)k = 1
conseqüentemente:
Exercícios
1. (EMM) O polinômio x3 – 2x4 + 3x – 4x2 é:
a) completob) não reduzidoc) ordenadod) incompletoe) homogênio
2. (E.T.F.Q) O produto (2x2 . y-2) (3xm . y) (-xy3) será do 2ºgrau se o valor de m for:
a) 1b) 2c) -1d) -2e) -3
3. (E.T.F.Q) O polinômio em e , x2 + y2 + 3xy + m – 1 é homogênio se m for igual a:
a) 0b) 1c) 2d) -1e) -2
67
Cláudio Freire
Para
4. (EEAR-89) Se –2/3 é um dos zeros do polinômio P(x) = ax2 – (a – 1) x + 4, então o valor de “a”; é:
a) –21b) –15c) –3,3d) –3
5. (UniRio) O grau do polinômio
(x + 2) (x – 4)4 (x + 6)6 (x – 8)8 ..... (x + 18)18 é:
a) 2.9!b) 90c) 29 . 9!d) 180e) 18!
6. (Unifor-CE) Dados os polinômios p, q e r de graus 2,4 e 5, respectivamente, é verdade que o grau de p + q + r:
a) Não pode ser determinadob) Pode ser igual a 2c) Pode ser igual a 4d) Pode ser menor que 5e) É igual a 5
Gabarito
1. d) incompleto
2. e) -3
3. b) 1
4. b) -15
5. b) 90
6. e) é igual a 5
CAPÍTULO 02
I. Polinômios identicamente nulos
Um polinômio P(x) qualquer será identicamente nulo, quando todos seus coeficientes forem iguais a zero
Indicação
P(x) 0 (Lê-se: P(x) é idêntico a zero)
Exemplos:
Considerando o polinômio P(x) identicamente nulo, calcule x, y e z
P(X) = (2x + 5)x4 – (y + 1)x3 + (3z + 9)x2
Solução:
2x + 5 = 0 x = -5/2
y + 1 = 0 y = -1
3z + 9 = 0 z = -9/3 z = -3
Resposta: x = -5/2, y = -1 e z = -3
1. Polinômios idênticosOs dois polinômios A(x) e B(x) são idênticos
se e somente se todos os seus coeficientes respectivos de mesmo grau, forem iguais
Indicação:
A(x) B(x) A(x) = B(x), x lR
Exercícios resolvidos
1. Os polinômios P(x) e h(x) abaixo são idênticos;calcule o valor de A, B e C.
P(x) = (A – 2)x3 + (2B – 6)x2 + (C – 1)x – 10
h(x) = 6x3 + 4x – 10
Solução:
P(x) = h(x), logo:
A – 2 = 6 A = 6 + 2 A = 868
Cláudio Freire
Para
2B – 6 = 0 B = 6/2 B = 3
C – 1 = 4 C = 4 + 1 C = 5
2. Calcule a e b de forma que
, sendo x 3.
Solução:
m.m.c.(x – 3);
(x + 3);
(x – 3)
(x + 3)
x – 3
1; x + 3; 1; (x + 3)
x + 3
1; 1; 1; 1;(x – 3) (x + 3)
Continuando:
ax + 3a + bx – 3b = 3x + 3ax + bx + 3a – 3b = 3x + 3
Resolvendo o sistema:
6a = 12a = 12/6 = 2
Substituindo:
a + b = 32 + b = 3b = 3 – 2b = 1
Resposta: a = 2, b = 1
3. Sendo P(x – 1) = x2 – 5x + 6, calcule P(x) e P(-1)
Solução:
Precisamos primeiramente calcular P(x), que só pode ser P(x) = ax2 + bx + c, pois o 2º membro da equação é um polinômio do 2ºgrau (x2 – 5x + 6).
Logo:
P(x) = ax2 + bx + c
P(x – 1) = a(x – 1)2 + b(x – 1) + c
P(x – 1) = a(x2 – 2x + 1) + bx – b + c
P(x – 1) = ax2 –2ax + a + bx – b + c
P(x – 1) = ax2 + (-2a + b)x + a – b + c
Substituindo na função inicial
Substituindo em e tem:
-2a + b = -5-2 . 1 + b = -5b = -5 + 2b = -3a – b + c = 61 – (-3) + c = 6c = 6 – 1 – 3c = 2
P(x) = ax2 + bx + cP(x) = 1x2 – 3x + 2P(-1) = (-1)2 – 3(-1) + 2P(-1) = 1 + 3 + 2 = 6
Exercícios
1. (EPCAR-82) Se , então:
a) A = 2 e B = 3 d) A = 5/4 e B = 5/4b) A = 5/2 e B = 5/2 e) A = 2 e B = 1/2c) A = 6 e B = 1
2. (PUC) Se , com x 0 e x
-1, é correto afirmar que o produto A . B é igual a:a) -3 b) -2 c) 0 d) 2 e) 3
3. (UFPE) Existem números reais A e B tais que,para todo x 1 e x 2:
. Determine B – A
4. (ITA-SP) A identidade
é valida para todo
número real x -1. Então a + b + c é igual a:a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
Gabarito
1. d) A = 5/4 e B = 5/4
69
Cláudio Freire
Para
2. a) -3
3. B – A = 2
4. d) 2
CAPÍTULO 03
I. Adição e Subtração de Polinômios
Basta adicionar ou subtrair os mesmos fazendo a redução dos termos semelhantes.
Exemplos:Sendo A(x) = -x3 + x2 – x + 1B(x) = x4 – x3 – 2, calcule:
a) A(x) – B(x) = -x3 + x2 – x + 1 – (x4 – x3 – 2)A(x) – B(x) = -x3 + x2 – x + 1 – x4 + x3 + 2A(x) – B(x) = -x4 + x2 – x + 3
b) A(x) + B(x) = -x3 + x2 – x + 1 + x4 – x3 – 2A(x) + B(x) = x4 – 2x3 + x2 – x – 1
Exercícios resolvidos
1. Quanto devo somar na expressão (x – 1)2, para obter (x – 2)2
Solução:(devemos somar o polinômio “K” )(x – 1)2 + k = (x – 2)2
x2 – 2x + 1 + k = x2 – 4x + 4k = x2 – 4x + 4 – x2 + 2x – 1k = -2x + 3
Resposta: -2x + 3
Exercícios
1. (EEAr-91) A expressão que se deve somar a (x + 1)2, para se obter (x + 1)3 é:
a) x + 1 c) x(x + 1)2
b) –(x + 1) d) –x(x + 1)2
2. (EAM-2000) Sejam A = -x2 – x – 1 e A – B = x2
– 7x – 5. Então o valor de 2B é:
a) 6x2 + 10x – 8 d) –4x2 – 12x + 8b) 6x2 + 12x – 8 e) –4x2 + 12x + 8c) 4x2 + 12x + 8
3. (CTUR-2000) Numa adição de polinômio encontra-se 7x2 + 10x – 8, mas verificou-se que a parcela 2x2 + 7x + 2 havia sido incluída indevidamente. O resultado correto da adição é:
a) 5x2 + 3x – 10 d) 9x2 + 17x – 10b) 5x2 + 3x – 6 e) 9x2 – 17x + 6c) 9x2 + 17x – 6
Gabarito
1. c) x(x + 1)2
2. e) –4x2 + 12x + 83. a) 5x2 + 3x – 10
CAPÍTULO 04
I. Produto de um polinômio
Multiplicamos todos os termos de um polinômio por todos do outro e em seguida reduzimos os termos semelhantes.
Exemplos:
a) (x – 2) (x2 – 3x + 1) = x3 – 3x2 + x – 2x2 + 6x – 2
(x – 2) (x2 – 3x + 1) = x3 – 5x2 + 7x – 2
ou
x2 – 3x + 1x x – 1
-2x2 + 6x – 2+ x 3 – 3x 2 + x + x3 – 5x2 + 7x – 2
b) 2x(3x3 – 2x – 1) = 6x4 – 4x2 – 2x
1. Divisão de PolinômiosDividimos todos os termos do polinômio pelo
monômio divisor.
Exemplos:
a) (6x4 – 9x3 – 15x2 – 3x) : (-3x) =
Solução
6x4 – 9x3 – 15x2 – 3x
-3x
-2x3 + 3x2 + 5x + 1
Dividir o polinômio :P(x) = x4 – 2x3 + 2x2 – 4x – 2 por h(x) = x – 1
2. Método das chavesRegra:Devemos colocar o dividendo e o divisor
sempre em ordem decrescente em relação a suas potências
x4 – 2x3 + 2x2 – 4x – 2
x – 1
Dividimos o primeiro termo do dividendo x4
pelo primeiro termo do divisor x e em seguida multiplicamos o resultado no quociente por
70
Cláudio Freire
Para
todo o divisor, colocando o resultado no dividendo que será subtraído do mesmo.
x4 – 2x3 + 2x2 – 4x – 2
x – 1
-x4 + x3 x3
-x3 + 2x2 – 4x – 2
Dividimos novamente o primeiro termo do dividendo –x3 pelo primeiro termo do divisor x e repetimos a operação acima.
x4 – 2x3 + 2x2 – 4x – 2
x – 1
-x4 + x3 x3 – x2
-x3 + 2x2 – 4x – 2+x3 – x2
x2 – 4x – 2
O grau do dividendo x2 continua menor que o grau do divisor x, o que determina toda operação novamente.
x4 – 2x3 + 2x2 – 4x – 2
x – 1
-x4 + x3 x3 – x2 + x-x3 + 2x2 – 4x – 2+x3 – x2
x2 – 4x – 2-x2 + x-3x – 2
O grau do dividendo “3x” é igual ao grau do divisor “x” o que determina a última divisão a ser feita
x4 – 2x3 + 2x2 – 4x – 2
x – 1
-x4 + x3 x3 – x2 + x –3-x3 + 2x2 – 4x – 2+x3 – x2
x2 – 4x – 2-x2 + x-3x – 2+3x – 3 -5
O grau do dividendo é menor que o grau do divisor.A divisão está encerrada.
Resposta: Quociente = x3 – x2 + x – 3Resto: = - 5
Exercícios resolvidos
1. Determinar o quociente e o resto da divisãoP(x) = 4x3 + 4x + 10 por h(x) = x – 2
4x3 + 0x2 + 4x + 10
x – 2
-4x3 + 8x2 4x2 + 8x + 20 8x2 + 4x + 10 -8x2 + 16x 20x + 10 -20x + 40 50
Resposta: Quociente: 4x2 + 8x + 20 e Resto: = 50
Prova Real
Multiplicamos o quociente pelo divisor e somamos o resultado com o resto, e o polinômio final deve ser igual ao dividendo.
4x2 + 8x + 20 x – 2 -8x2 – 16x – 404x3 + 8x2 + 20x4x3 + 0x2 – 4x – 40
Logo:
4x3 + 4x – 40 + 50 = 4x3 + 4x + 10
Exercícios
1. O resto da divisão de P(x) = x4 – 7x3 + 11x2
+ 7x – 12 por h(x) = x2 – 3x – 4 é:a) 1b) 2c) 3d) 0
2. O resto da divisão de P(x) = x4 – 7x3 + 11x2
+ 7x – 12 por h(x) = x2 – 7x + 12 é:a) 2 b) 3 c) 0 d) 1
3. (O sec-SP) O polinômio x3 – 2x + ax + b é divisível por x2 + 4. Então, a e b valem respectivamente:a) 4 e –8 d) 4 e 8b) –2 e 4 e) –2 e 2c) 2 e 0
4. (ITA) Os valores de a, e y que formam o polinômio P(x) = 4x5 + 2x4 – 2x3 + ax2 + x + y divisível por Q(x) = 2x3 + x2 – 2x + 1 satisfazem as desigualdadesa) a > > y d) b > y > ab) a > y > e) y > a > bc) b > a > y
5. (U.F.R.R.J-99) Determine o valor de m para que o polinômio x4 + 2x3 – 3x2 – mx + m, seja divisível por (x – 1)2
71
quociente
resto
Cláudio Freire
Para
Obs.: Este exercício também pode ser feito por simplificação de polinômio através da fatoração.
6. (E.N.) A expressão que multiplicada por b – [-a – (-b + c)] dá resultado a2 – c2 é:a) a + c d) a + bb) a – c e) a – bc) a2 + c2
7. (Química têxtil-93)O polinômio: -2x6 + x5 + 8x4 – 4x3 é o resultado do produto do monômio
por:
a) x3 + x3/2 + 4x – 2 d) 4x3 + 2x2 + 16x + 8b) x3 – x3/2 – 4x + 2 e) 4x3 – 2x2 – 16x – 8c) 4x3 – 2x2 – 16x + 8
8. (CESGRANRIO) O resto da divisão do polinômio:P(x) = x3 – x + 1 pelo polinômio D(x) = x2 + x + 1 é igual a:a) 0b) x + 2c) x – 2d) –x + 2e) –x – 2
Gabarito
1. d) 0
2. c) 0
3. d) 4 e 8
4. b) a > y >
5. m = 4
6. b) a – c
7. c) 4x3 – 2x2 – 16x + 8
8. d) –x + 2
CAPÍTULO 05
I. Divisão de polinômio por binômios do 1ºgrau
1. Teorema do restoConsiderando um polinômio qualquer P(x) e
o binômio ax + b e dividindo P(x) por ax + b, temos:
P(x) ax + b
P(x) = (ax + b) . Qx + Rx
R(x) Q(x)
Como o binômio ax + b tem grau 1, logo, o resto R(x) terá grau zero ou será nulo; concluímos que R(x) é uma constante que designaremos por k.
Calcularemos o valor de P(x), substituindo x por –b/a (raíz do binômio)
P(x) = (ax + b) . Qx + k
P(x) =
P(x) = 0 . Qx + kP(x) = k (resto)
O resto da divisão de um polinômio P(x), pelo binômio ax + b será igual ao valor numérico
do polinômio P(x) substituindo x = (raíz do
binômio)
Exercícios resolvidos
1. Calcular o resto da divisão de P(x) = x3 – 2x2 + 4x – 1 por x + 3
Solução:
x + 3 = 0 x = -3 (raíz do binômio)P(-3) = (-3)3 – 2 . (-3)2 + 4 . (-3) – 1P(-3) = -27 – 18 – 12 – 1P(-3) = -58
2. Calcular o resto da divisão de P(x) = x3 – 6x2
+ 12x – 8 por x – 2
Solução:
x – 2 = 0 = +2 (raíz do binômio)
P(+2) = (+2)3 – 6 . (+2)2 + 12 . (+2) – 8
P(+2) = +8 – 24 + 24 – 8
P(2) = 0 (Divisão exata pois o resto é zero)
2. Teorema de DalembertÉ uma extensão do teorema do resto.
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax + b, quando:
Exercícios resolvidos
1. Verificar se o polinômio P(x) = 4x2 – 12x + 9 é divisível por 2x – 3
72
Cláudio Freire
Para
Solução:
2x – 3 = 0 x = 3/2 (raíz do binômio)
2. Encontrar o valor de k para que o polinômioP(x) = 3x3 – 2x2 – 3x – 2k seja divisível por x – 1
Solução:
x – 1 = 0 x = 1 (raiz do binômio)
P(1) = 0
P(1) = 3 . 13 – 2 . 12 – 3 . 1 – 2k = 0
3 – 2 – 3 – 2k = 0
-2k = 2.(-1)
+2k = -2
k = -2/2 k = -1
Exercícios
1. (U.F.R.R.J.) O polinômio 2x3 – 9x2 + 13x + k é divisível por (x – 2).Então a constante k é:a) -9 b) -6 c) 0 d) 2 e) 10
2. (U.F.R.J.2000) O polinômio:P(x) = x3 – 2x2 – 5x + d, d lR é divisível por (x – 2)b) Determine dc) Calcule as raízes da equação P(x) = 0
Sugestão: Depois de encontrar “d” usar do P(2) = 0 fatorar o polinômio por agrupamento e em seguida achar as raizes x1, x2 e x3
3. (Unificado 98) O resto da divisão do polinômio x3 + px + q por x + 1 é 4 e o resto da divisão desse mesmo polinômio por x – 1 é 8. O valor de P é:a) 5 b) -4 c) 0 d) 1 e) 8
4. (Unificado-98) Se o polinômio P(x) = 2x3 – 4x + a é dividido por D(x) = x – 2. O valor de a é:a) -8 b) -6 c) –4 d) –2 e) 2
5. (EEAR-88) O resto da divisão de:
P(x) = 2x3 + 3x2 + kx – 3 por 2x + 1 é 2. O valor de k/3 é:a) -3 b) -2 c) 2 d) 3
6. (C.NAVAL-82) O polinômio x3 + px2 + x + q é divisível por x + 1. Logo p + q é igual a:a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
7. (FEI-SP)Se na divisão do polinômio P(x) = x3
+ 5x – 4 pelo polinômio Q(x) obtém-se um quociente x e um resto R(x) que é divisível por x – 1, então R(x) vale:a) x – 1 d) 4(x – 1)b) 2(x – 1) e) 5(x – 1)c) 3(x – 1)
8. (UEBA) No polinômio P(x) = x3 + mx2 + m2x – 5 para que P(-1) = 2 . P(1) é preciso ter:a) m = 1 ou m = -2b) m = 2/3 ou m = -1c) m = 3/2 ou m = -2d) m = -1 ou m = -2e) m = 2/3 ou m = 1
9. (UNIRIO) O resto da divisão de um polinômio P(x) por x – 3 é:a) 1 b) 3 c) -3 d) P(3) e) P(-3)
10. (CESGRANRIO) Se x5 + ax4 + b é divisível por x(x – 1) então a + b vale:a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
11. (UFRRJ) Se dividirmos o polinômio P(x) = x4n
+ 1 por Q(x) = x + 1, o resto da divisão será:a) sempre umb) sempre zeroc) um, se “n” é impard) zero se, somente se,”n” é pare) sempre dois12. (UERJ) A figura a seguir representa o gráfico de um polinômio P e uma reta r que lhe é secante nos pontos A(2,-3) e B(4,15)
a) Determine o resto da divisão de P(x) por x – 4.
b) Mostre que a reta representa graficamente o resto da divisão de P(x) por (x – 2) (x – 4)
13. (EFOMM-2002) Sendo o polinômio P(x) = Qx + 2x2 + 3x – 5 para qualquer x real sendo 1 raiz de P(x) e zero raiz de Q(x) calcule P(0) + Q(1).
73
-3 A
B15
y
4 x
2
Cláudio Freire
Para
a) -5 b) -3 c) 0 d) 3 e) 5
Gabarito
1. b) –6
2.a) d = 10b) x1 = 2, x2 = , x3 = -
3. d) 1
4. a) –8
5. a) –3
6. a) 2
7. d) 4(x – 1)
8. b) m = 2/3 ou m = -1
9. d) P(3)
10. b) –1
11. e) sempre dois
12.a) resto 15b) com o professor
13. a) –5CAPÍTULO 06
I. Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Quando dividimos um determinado polinômio:
P(x) = por
um binômio do 1º grau x – a, o quociente se apresentará sob a forma Q(x) =
e o resto será
uma constante k conforme modelo abaixo:
P(x) x – a
k
Logo pela prova real.
Por polinômios idênticos, temos:
A demonstração acima se adapta ao dispositivo abaixo, conhecido como Briot-Ruffini.
Raiza an an-1 … a2 a1 a0
Exercícios resolvidos
1. Calcula o quociente e o resto da divisão de:
P(x) = x4 – 2x3 + 2x – 4 po 2x – 4
Solução:
Como o divisor é da forma ax + b sendo a 1 e a 0, aplicamos o dispositivo prático de Briot-Ruffini, e devemos dividir o quociente pelo coeficiente de a, pois:P(x) = (ax + b) . Qx + k
P(x) =
P(x) =
Concluímos que:
Q1 = a . Qx Q(x) =
a = [coeficiente de x em (ax + b)]
Fique ligado!Todas as vezes que obtermos o quociente em uma divisão usando Briot-Rufini, devemos dividir o quociente pelo coeficiente de x
(x4 – 2x3 + 2x – 4) : (2x – 4) = ?
74
Cláudio Freire
Para
2x – 4 = 0 x = 4/2 x = 2 (raiz de2x – 4)
Coeficientes de P(x)
Raiz Coeficientes de P(x)2 1 -2 0 2 -4
1 0 0 2 0resto
vezes vezes vezes vezes
Quociente que é do 3º grau pois o dividendo é do 4º grau (x4) e o divisor é do 1º grau (x).
Logo:
Quociente
Quociente
Resto = 0
2. Encontrar o quociente da divisão de:P(x) = x4 – 8x3 + 12x2 + 32x – 17 porh(x) = x2 – 4x + 4
Solução:h(x) = (x – 2) (x – 2) Transformamos em binômio do 1ºgrauAplicamos Briot Ruffini duplamente, a saber :
x – 2 = 0 x = 22 1 -8 +12 +32 -172 1 -6 0 +32 +47
1 -4 -8 +16
Quociente = 1x2 – 4x – 8
Exercícios
1. (CEFET-89 2º fase) Determine o quociente e o resto da divisão de (2x2 – 5x + 1) por (x – 2)2. (CEFET-91 2º fase) Dê o resultado da divisão de:x3 + 2x2 – 5x – 7 por x – 2
3. (PUC-PR) Na divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x – a), aplicou-se o dispositivo prático de Briot Ruffini, obtendo-se:
-3 5 m 49 nP 15 q 0
O número vale:
a) 38 b) 39 c) 40 d) 41 e) 42
4. (UFF) O polinômio P(x) = x4 – 5x3 + 9x2 – 7x + 2 também pode ser escrito como P(x) = (x – 1)n ) (x – p). Assim, o valor de p é:a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
5. (CESGRANRIO) Se x3 – 2x2 + 5x – 4 = 0 tem uma raiz x1 = 1, então as outras duas raízes da equação são:a) Complexas não reais d) Negativasb) Racionais e) Reais de sinais
opostosc) Positivas
6. (UNI-RIO) Sabendo-se que o número 3 é raiz dupla da equação ax3 + bx + 18 = 0 os valores de a e b são, respectivamente:a) 1/3 e –9 d) –1/3 e 9b) 1/3 e 9 e) 1 e –3c) –1/3 e –9
7. (UFF) Para que o polinômio P(x) = x4 – 4x3 + 3x2 + mx + n tenha 1 e -1 como raízes,os valores de m e n devem ser, respectivamente:a) 0 e 1 d) 4 e –4b) 1 e 0 e) 4 e 4c) –4 e –4
8. (UFRJ) Considere o polinômio P(x) = x3 – 2x2 – 3x + 6. Considere o resto da divisão de P(x) por (x – 2). Ache as raízes de P(x) = 0.
Gabarito
1. Q(x) = 2x – 1 R(x) = -1
2. Q(x) =x2 + 4x – 3
3. e) 42
4. a) 2
5. a) Complexos não reais
6. a) +1/3 e –9
7. d) 4 e –4
8. x = 2, x =
UNIDADE IX
CAPÍTULO 01
I. Equação literal
São equações que além da variável principal aparecem “outras” denominadas “parâmetros”
75
mais
mais
mais
mais
igual
igual
igual
igual
Cláudio Freire
Para
O processo de resolução é o mesmo da fracionária ou da equação do 1º grau.
Exercícios resolvidos
1. Resolver as equações literais em x.a) 2xk + x = -2x + 3
Solução:2xk + x + 2x = 3
2xk + 3x = 3
x(2k + 3) = 3
x = ,
verificação do denominador
2k + 3 0 =
V =
b)
Soluçãom.m.c. = (a.b)
xb + xa = 2
x(a + b) = 2
x =
V =
Exercícios
1. (EsPCEx) A raiz da equação
a) a+b b) b c) 1 d) a e) a.b
2. (EAM-2002) Na equação ,
expressando “a” em função de “R” e “b”, têm-se:a) a+b
b)
c)
d)
e)
3. (EEAr-99) Seja a equação (x – a) (x – b) = x(x + c) na variável x. Sabendo-se que “a”, “b” e “c” são os números que expressam as medidas dos lados de um triângulo, cujo perímetro é 8 m. Pode-se afirmar que a raiz dessa equação é:
a)
b)
c)
d)
4. (CEFET-2001) Sobre o conjunto verdade da equação
, no universo dos números reais
podemos afirmar que:a) é infinitob) é vazioc) contém números negativosd) contém dízimas periódicas
5. (ETFQ-98) Seja a fração onde P + t = 3 e
P . t = 5. Que número devemos adicionar aos termos da fração para encontrar o inverso do seu quadrado.
Gabarito
1. c) 1
2. c)
3. b)
4. b) é vazio
5.
CAPÍTULO 02
I. Discussão de um equação literal do 1º grau
76
Cláudio Freire
Para
Considerando a equação literal do 1º grau abaixo, temos:
ax – b = 0, a 0 e (a e b) IR
Encontrando o valor de x, vem
ax = b
x =
Quando a = 0 e b = 0, a equação terá infinitas soluções conforme ilustrado abaixo:
ax = b
x = -1, x = -2, x = 0, x = 2, x = 3, x = 4, x = m, etc
Verifica-se a igualdade
Quando a 0 a equação terá uma única solução.
Quando a = 0 e b 0 a equação será impossível (conjunto vazio)
Exercícios resolvidos
1. O conjunto verdade da equação abaixo, na variável x será vazio se:
Solução
4x + 4 – 12 = 6mx – 6
4x – 6mx = -6 – 4 + 12
x(4 – 6m) = 2
x =
Logo:
4 – 6m = 0
–6m = -4 x(-1)
m =
ou
m = (substituindo m por fará com que o
denominador seja zero (0))
Logo:
m = V =
2. Determine os valores de “P” para os quais a equação
1 +
a) Admite uma única solução
Solução:
mmc = 4p
4P + 4x + 4 = +P2x
4x – P2x = –4 – 4P
x(4 – P2) = –4 – 4P
x =
diferente de zero
4 – P2 0 P2 4 P 2
Resposta P 2 e P 0
b) Não se admite solução
diferente de zero
x =
igual a zero
4 – P2 = 0 P = P = 2
–4 – 4P 0 –4P 4 P –4/4 P –1
Resposta: P = 2 ou P –1
c) Admite infinitas soluções
igual a zero
x =
77
Cláudio Freire
Para
igual a zero–4 – 4P = 0
–4P = 4 x(-1)
P = –4/4 P = –1
e também
4 – P2 = 0 P2 = 4 P = 2
Resposta: Não existe nenhum valor para “p” que
substituindo em x zere o numerador e
denominador ao mesmo tempo.
Exercícios
1. (QUIMICA TEXTIL-93) O conjunto verdade da
equação na variável x será o
conjunto vazio se:
a) k = -3/2b) k = -2/3c) k = 2/3d) k = 3/2e) k = 1/3
2. (CN-84) A equação k2x – kx = k2 – 2k – 8 + 12x é impossível para:
a) um valor positivo de kb) um valor negativo de kc) 3 valores distintos de kd) 2 valores distintos de ke) nenhum valor de k
3. (ETFQ) Para que a equação mx + 1 = 2x – m tenha uma só solução é necessário que:
a) m = 2b) m 1c) m 2d) m 0e) m = 1
4. (CN) Para que valor de “a” a equação
é indeterminada:
a) a = -1
b) a 2
c) a = 2
d) a 1
e) a = -3
5. (CN) Considere a equação do primeiro grau em
“x”, m2x – 9x = m – 3.
Pode-se afirmar que a equação tem conjunto verdade unitário se:
a) m = 3
b) m = -3
c) m 3
d) m 3
e) m 3 e m -3
6. (FUVEST-96) Determine todos os valores de
m para os quais a equação
a) Admite uma única solução.
b) Não admite solução.
c) Admite infinitas soluções.
7. (EsPCEx-94) Considere a equação em x dado por(m + 2) x = m2 – 4. Podemos então afirmar que esta equação:
a) Admite uma única solução x = m – 2 m IR
b) Não admite solução para m = -2
c) Admite uma única solução para m -2
d) Admite infinitas soluções, m IR
Gabarito
1. c) K = 2/3
2. b) um valor negativo de k
3. c) m 2
4. a) a = -1
5. e) m 3 e m -3
6.
a) m 2, m -2 e m 0
b) m = -278
Cláudio Freire
Para
c) m = 2
7. c) Admite uma única solução para m -2
UNIDADE X
CAPÍTULO 01
I. Equação fracionária
É toda equação em que aparece a variável principal no denominador
Exemplos:
a)
b)
1. Método de resolução Devemos extrair o m.m.c. entre os
denominadores Dividimos o resultado por seu respectivo
numerador Reduzimos os termos semelhantes Isolamos a variável principal
Fique ligado!O denominador de uma fração nunca pode ser zero, pois torna a divisão impossível.Depois de resolvermos uma equação fracionária devemos substituir o valor da variável no denominador de todas as frações para verificar se não torna o denominador nulo; o que inviabilizaria o valor da referida variável.
Exercícios resolvidos
1. Resolver as equações abaixo em IR.
a)
Solução
Tirando o m.m.c. entre os denominadores fatorados2x – 2 = 2(x – 1)3 – 3x = 3(x – 1)x2 = x(x – 1)
m.m.c. = 2 . 3 . x(x – 1) Fator comum e não comum com os maiores expoentes.
9x + 12x = 72
21x = 72
x =
x =
Verificação dos denominadores2x – 2 0 x 13 – 3x 0 x 1x2 – x 0 x 0 e x 1
Portanto:
V =
b)
Tirando m.m.c. por decomposição simultânea em fatores primos
(4 – x);
(4 – x) (x – 3);
(x – 3) 4 – x
1; 1 . (x – 3); (x – 3) x – 31; 1 . 1; 1
m.m.c. (4 – x) (x – 3)
Dividindo o m.m.c. por cada denominador, vem:
4x – 12 – 2 + 2x = 16 – 4x
4x + 4x + 2x = 16 + 12 + 2
10x = 30
x =
x = 3
Verificação dos denominadores4 – x 0 x 4x – 3 0 x 3
Portanto:V =
79
denominador da 1ª fração denominador da 2ª
fração denominador da 3ª fração
Cláudio Freire
Para
c)
Verificamos que se o sinal do denominador da 3ª fração fossem opostos, o m.m.c. seria o produto dos outros dois denominadores, o que tornaria bem mais fácil a resolução.
Vamos colocar o sinal menos em evidência no denominador 3ª fração e em seguida, o multiplicar pelo sinal da fração.
Se não fizéssemos o procedimento acima o m.m.c. seria: (x – 3) (x + 3) (-x + 3) o que dificultaria sensivelmente a sua resolução.
Solução
m.m.c.
(x – 3); (x + 3); (x – 3) . (x + 3) (x – 3)1 . (x + 3); 1; (x + 3) (x + 3)1 . 1; 1 . 1
m.m.c. = (x – 3) (x + 3)
(6x + 2) (x + 3) = 6x (x – 3) + (2x – 1) . 1
6x2 + 18x + 2x + 6 = 6x2 – 18x + 2x – 1
6x2 – 6x2 + 18x + 2x + 18x – 2x = –1 – 6
36x = –7
x =
Verificação dos denominadoresx – 3 0 x 3x + 3 0 x –39 – x2 0 x2 9 x 3
Logo:
V =
Exercícios
1. (ETFQ) O conjunto verdade da equação abaixo é:
a) S = {-2}b) S = {2}c) S = d) S = {-1}e) S = {–4}
2. (ETFQ-90) Determine o valor de x em:
3. (ETFQ-94) Resolva a equação abaixo.
4. (ETFQ-93) Resolver a equação abaixo
5. (EsSA-93) O conjunto solução da equação
é:
a) V =
b) V =
c) V =
d) V =
e) V = {}
6. (EPCAr) Resolvendo-se a equação
podemos afirmar que a sua raiz
é um número.
a) múltiplo de 3
b) racional menor que –680
Cláudio Freire
Para
c) natural maior que 8
d) racional não negativo
e) inteiro negativo
7. (EAM-2000) Para a equação o
valor de x que a satisfaz está entre:
a) 2,4 e 2,5b) 2,4 e 2,5c) 2,5 e 2,56d) 2,56 e 2,8e) 2,58 e 2,9
8. (ETFQ-2000) Determine o valor da expressão (25 – 25x2), sabendo que o número real x é solução da equação
e que x 1
9. (ETFQ-98) Resolver a equação
, para x 1
10. (EAM-98) O conjunto solução da equação
, sendo U = R* é:
a) {1/2}
b) {-2}
c) {-1/2}
d) {2}
e) {-2/3}
11. (CN-2002) O conjunto solução da equação
é igual a
a) b) IR
c) IR – {-1,0,1}
d) IR – {-1,1}
e) {0}
Gabarito
1. c) S =
2. S = {-1/6}
3. S = {-2}
4. S = {8}
5. b) V = 4/3
6. e) inteiro negativo
7. d) 2,56 e 2,8
8. 24
9. V= {4}
10. a) {1/2}
11. a)
UNIDADE XI
CAPÍTULO 01
I. Radicais
Considerando os números reais “x” e “y” e “n” um número inteiro e positivo, obtemos:
= y yn = x
Exemplos:Considerando = 5, pois 53 = 125, vem:
= radical 125 = radicando 5 = raiz 3 = índice do radical
a) = 2,pois 24 = 16
b) = 3, pois 35 = 243
1. Raízes de índice ímpar
a) = -2, pois (-2)5 = -32
b) = -1, pois (-1)3 = -1
c) = 3, pois 33 = 27
2. Raízes de índice parConsideramos raiz de um número de índice
par “por convenção”, ao número “real positivo” que elevado ao índice resulte no radicando.
Exemplos:
a) = 8, pois 82 = 64
b) = 9, pois (92) = 81
81
Radiciação
Potenciação
Operação inversa
Cláudio Freire
Para
c) = no conjunto IR pois qual é o
número “positivo” que elevado ao quadrado
resulte em –36.
d) no conjunto IR, pois, qual é o
número “positivo” que elevado a quarta
potência resulte em –16.
Fique ligado!
- = -6 o sinal está fora da raiz
- , pois = solução em IR
3. Simplificação de radicaisA potenciação é o inverso da radiciação,
portanto, transformamos a radiciação em potenciação, simplificamos e em seguida, se possível transformamos a mesma em radiciação.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
= x.y
h)
=
i) 160,5 = = = = 22 = 4
Exercícios
1. Calcule:
a) = g) =
b) = h) =
c) = i) - =
d) = j) =
e) = l) =
f) = m)
=
2. Simplifique os radicais da forma mais simples
a) = e) =
b) = f) =
c) = g) =
d) = h) =
Gabarito
1. a) 4 g) 4x2y2
b) –5 h) 6x – 1
c) em IR i) –5x
d) 10 j) em IR
e) 5 l) 1
f) 4y3 m) 2
2. a) 4 c) 2 e) 10 g) 5/3b) d) 6 f) 4/3 h) 2/3
CAPÍTULO 02
I. Radical duplo
Todo radical tipo é considerado radical duplo, conforme veremos nos exemplos abaixo.
a) d)
82
Cláudio Freire
Para
A = 6B = 20
A = 3B = 5
b) A = 8B = 15
e) A = 4B = 2
c) A = 2B = 3
Repare que (A2 – B) é um quadrado perfeito nos exemplos letras “a”, “b”, “c” e “d”.
No exemplo letra “e” não é um quadrado perfeito, pois A2 = B = 16 – 2 = 14.
DicaSó conseguimos transformar radical duplo em radical simples quando (A2 – B) for um quadrado perfeito .
II. Transformação de radical duplo em radical simples
Demonstração
=
Elevando-se ao quadrado vem:
A = x 2 + yA = x + y
x + y = A y = A – x
4xy = B
Resolvendo o sistema e substituindo em vem:
4x . (A – x) = B
4Ax – 4x2 = B
Resolvendo a equação literal, vem:4x2 – 4Ax + B = 0
x =
x =
x =
x1 =
x2 =
Substituindo x1 e x2 em ou obtemos:
x = e y =
Substituindo, vem:
=
=
Exercícios resolvidos
1. Transformar os radicais duplos em simples:
a)
b) = –
= –
=
= (racionalizando, vem:)
=
Exercícios
1. Transformar em radical simples:
83
RadicalDuplo
RadicalSimpl
es
A B
Radical
Duplo
RadicalSimples
A B
Cláudio Freire
Para
a) = c) =
b) = d) =
Gabarito
1. a) impossível, pois 72 – 3 = 46 não é um
quadrado perfeito.
b) c) d)
CAPÍTULO 03
I. Propriedades dos radicais
1. Radical de um produtoÉ igual ao produto de radicais
a)
ou, pela propriedade
b)
c)
2. Radical de um quocienteÉ igual ao quociente dos radicais.
a)
ou, pela propriedade
b)
c)
3. Radical de um radicalÉ o radical cujo índice é igual ao produto dos
índices de todos os radicais.
a)
b)
c)
=
=
4. Potência de um radicalMultiplicamos o expoente da potência pelo
expoente do radicando.
a)
b)
Macete
a)
b)
c)
Exercícios
1. Aplique as propriedades convenientes dos radicais:
a) = h) =
b) = i) =
c) = j) =
d) = l) =
e) =m) =
84
Cláudio Freire
Para
f) = n) =
g) =
2. (PUC-SP) Simplificando , obtemos:
a) b) c) d)
3. (PUC-RJ) O valor de é:
a) 0,222… b) 0,333… c) 0,444… d) 0,666…4. (U. Pelotas-RS) O valor da expressão:
é:
a) 0,5 b) 0,25 c) 0,75 d) 1
5. (PUC-SP) O valor de é:
a) 15 b) c) d)
6. (SANTA CASA - SP) A diferença 80,666… - 90,5 é igual a:
a) 1 b) 2 c) –2 d) -2
7. (EPCAr-2002) A diferença 80,666… - 90,5 é igual a:
a) –2 b) - 3 c) –2 d) 1
8. (EPCAr-2002) O inverso de , com x > 0
e y > 0, é igual a:
a) b) c) d)
9. (EPCAr-2001) marque a alternativa falsa:
a) = x somente se x 0
b) , a R*+
c) = x + 1, x IR
d)
10. (E.A.M-2002) A expressão é igual o
a) b) c) 2 d) 10 e) 100
11. (EEAr-2001) Supondo definida em IR a fração:
, o seu valor é:
Sugestão: Aplicar propriedade do produto, do quociente e fatoração.
a)b) a + 1c) a – 1d) a12. (EPCAr-85) Sendo a e b números naturais com a > b então :
Sugestão: Usar produtos notáveis,
a + b - 2 =
a) a) b) b) c) c) d) d) e) e)
13. (CEFET-93) Simplificando o radical
:
Sugestão: Transformar a2 – 2ab + b2 em (a – b)2
a) (a + b) (a – b) d) (a – b)2abb) (a – b)2 e) (a + b) – 2abc)
14. (EAM-98) Sendo x =
então o valor de igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 8 e) 10
15. (FAETEC-99) Seja B = {x IN / 3 < x < 20} a raiz quadrada do número de elementos do conjunto B é:
a) 16b) 8c)d) 4e) -416. (EsSA-85) Calculando o valor da expressão
, obtemos:
a) a16
b) a-16
c) a-15
85
Cláudio Freire
Para
d) d)
e) e)
17. (EsPCEx-85) Simplifique
18. (EEAr-90) Para x 0 e y 0 a expressão
é igual a:
a) –2xy b) c) d)
19. (EsSA-85) Racionalizando-se a expressão
, obteremos:
Sugestão usar propriedade do quociente
a) d) m – n – 2
b) e)
c) m + n – 2
20. (EsSA-93) Sendo a R* o valor da
expressão é:
a)b) ac)
d) ae) a2
21. (CEFET-2001) Considerando a e b números reais não-nulos, analise as sentenças abaixo.
I. (a2 + b3)2 = a4 + b6
II.
III.
IV.
V.
O número de sentenças verdadeiras é:
a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4
22. (CEFET-2002) Obtenha o valor numérico da expressão abaixo, considerando x = 0,625, y = 0,125 e z = 0,625
=
23. (UNI-RIO-95) O valor de
é:
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
24. (UFRN-84) é igual a:
a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8
Gabarito
1. a) 4 h) 3
b) 6 i) 2
c) 3 j)
d) l) x – y
e) 2 m) x7 .
f) 6 n) 2x3k
g) 5
2. b) 5/2 14. b) 2
3. d) 0,666… 15. d) 4
4. d) 1 16. e)
5. c) 5/3 17.
6. a) 1 18. c)
7. d) 1 19. a)
8. b) 20. c)
86
Cláudio Freire
Para
9. b) 21. a) 0
10. d) 10 22. 1
11. d) a 23. c) 3
12. c) 24. a) 4
13. c)
CAPÍTULO 04
I. Operações com radicais
1. Radicais semelhantesSão radicais que possuem mesmo radicando
e mesmo índice. Podem ser somados ou subtraídos.a) 3 e são semelhantes
b) -2 e 4 são semelhantes
c) e não são semelhantes
d) e não são semelhantes
2. Adição e subtração de radicaisSomamos ou subtraímos os termos externos
dos radicais “semelhantes” ou se possível “extraímos suas raízes” e simplificamos o resultado.
Exemplos:a) –3 + 5 – 4 – 2 = –7 + 3
b) –6 + 4 + 1 . – 6 = –5 – 2
c)
d) 8 – 6 = 8 – 6(Não podem ser subtraídos, pois não são semelhantes)
e)
f)
Exercícios
1. Identifique o par de radicais semelhantes:
a) –x e d) e y
b) e e) e
c) e 4
2. Calcule
a) =
b) =
c) =
d) =
e) =
f) xy – 6xy + 10xy =
3. (EsSA-92) Simplificando encontramos:
a)b) 10c) 5d) 6e) –
4. (UF-GO) O número é igual a:
a) 0b) 4c)d)
5. (UF-MG) O número é equivalente
a:
a) 10 – 9 c) 18 – 29b) 14 – 15 d) 4 – 15
6. (EEAr-87) é igual a:
a) 8b) 4c) 8d) 16
7. (CTUR-2001) O valor da expressão:
é:
a) 2b) 2,5c) zerod) -1e) –2,5
87
Cláudio Freire
Para
8. (EsSA-99) Simplificando obteremos:
a)
b) -
c) c)
d) -4
e) -2
9. (EEAR-88) Efetuando a adição
obtém-se:
a) b) c) 12 d) 36
10. (EEAR-98) Efetuando encontra-se
a) 15
b) 15
c) 32a2
d) 32a
11. (EPCAr-83) A expressão é equivalente a:
Sugestão: Transformar o radical duplo =
em radical simples ou transformar 6 - 2 em
.
a) - 1
b) - 1
c) - 1
d) -1 e) - 1
12. (CN-83) é igual
a:
Sugestão: Transformar em e em seguida usar
radical duplo, transformando em simples.
a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 5
Gabarito
1. c) e 4
2.a) 3 d)
b) 6 e) 5a
c) 10 f) 5xy
3. c) 5
4. a) 0
5. d) 4 – 15
6. c) 8
7. c) zero
8. d) -4
9. c) 12
10. d) 32a
11. c) - 1
12. d) 2
CAPÍTULO 05
Redução de radicais ao mesmo índice
Através do m.m.c. (mínimo múltiplo comum) entre os índices, podemos reduzir os mesmos ao mesmo índice.
O novo índice será o próprio m.m.c.Exemplos:
a) , e
Solução:
m.m.c. (3,6,4) = 12
Dividimos o m.m.c. por cada índice e o resultado multiplicamos pelo expoente do radicando.
, e
Reduzimos ao mesmo índice (m.m.c.)b) Comparar os radicais e colocam em ordem
crescente.
m.m.c. (3,4,6,2) = 12
88
Cláudio Freire
Para
Resposta:
Multiplicação ou divisão de radicais
1. Os radicais tem mesmo índiceMultiplicamos ou dividimos os radicando e
conservamos os índices.Exemplos:
a)
b)
c)
d)
2. Os radicais tem índices diferentesPrimeiramente devemos reduzir os radicais
ao mesmo índice, e só assim podemos fazer a multiplicação ou divisão.
Exemplos:
a) =
Solução:m.m.c. (6,3) = 6
=
=
=
=
=
b) =
Solução:m.m.c. (4,2) = 4
=
3. Caso especial de produtoExemplo:Sabendo-se que x + y = 13 e x.y = 36
calcule: .Solução:
Devemos elevar o mesmo ao quadrado:
Exercícios
1. Calcular os produtos e as divisões:
a) =
b) =
c) =
d) =
e) =
f) =
g) =
h) =
Sugestão: ver exercício resolvido em redução ao mesmo índice para exercícios e
2. (EEAr-90) Comparando
I.
II.
III.
Pode-se afirmar que:
a) II e I são falsosb) I e II são verdadeirosc) I e III são verdadeirosd) somente o II é verdadeiro
3. (EPCAr-84) Se A = , B = , C = , assinale a opção que apresenta numa sentença verdadeira:
a) C < B < Ab) A < C < B
89
Produtos Notáveis
Cláudio Freire
Para
c) C < A < Bd) B < C < Ae) B < A < C
4. (PUC-SP) Os números , e são colocados:
a) em ordem crescenteb) em ordem decrescentec) em ordem não decrescented) nada disso
5. (MACK-SP) A expressão + . é igual a:
a) 56 c) + 6
b) d)
6. (FIA-SP) A expressão . é igual a:
a)b)c) 2d) n.d.a.
7. (IEEP-SP) Se a = e b = , então o valor de a . b é:
a)
b)
c)
d)
8. (UMC-SP) Se x = 1 + , então x2 – 2x + 1 é igual a:
Sugestão: Para evitar um cálculo muito extenso, transformar x2 – 2x + 1 em (x – 1)2
a) 2b)c) 2 + d) 1 +
9. (UFRN) O valor que devemos adicionar a 5 para obtermos o quadrado de + é:
Sugestão: Calcular
a)b) 2c) 2d) 2
10. (EEAr) Simplificando a expressão:
obtém-se:
a) 0b) 1c) 2d) 3
11. (EEAr) É verdadeira a igualdade:
a)b)
c)
d)
12. (EEAr) Simplificando a expressão
, obtém-se:
a) x – yb) y – xc)d)
13. (EPCAr-81) Efetuando o produto
obteremos como
resultado:
a) um número racionalb) a expressão
c) a expressão d) o número inteiro 117e) o número inteiro 3
14. (ETFQ-93) Determine o valor numérico simplificando e racionalizando a expressão:
p =
15. (CTUR-90) O resultado mais simples de
, é:
a) 3
b)
c)
d)
e)
16. (CN-2001) O valor da expressão
90
Cláudio Freire
Para
é:
a)
b)
c) 0
d) 1
e) -1
17. (CEFET-99) O número d = é um natural. Qual é esse
número?
Sugestão: Elevar os dois membros da equação ao quadrado.
18. (EEAr-2002) Se K = , então é igual a:
Sugestão: Elevar os dois membros ao quadrado.
a)
b)
c) K2 – 8
d) k2
19. (CN-2001) O valor de
é:
Sugestão: igualar toda a expressão acima a k e elevar ao quadrado os dois membros.
a)
b)
c)
d)
e)
20. (CN-2002) Se 2 < x < 3então;
é igual a:
Sugestão: Igualar toda expressão acima a “k” e elevar ao quadrado os dois membros.
a) 2b)c) 2d) 2e) 3
21. (EsPCEx-84) Calcular e racionalizar
Gabarito
1. a) 6 c) x e) 2 g) x
b) 3 d) 2 f) h)
2. d) somente o II é verdadeiro
3. d) B < C < A
4. b) em ordem decrescente
5. d)
6. c) 2
7. c)
8. a) 2
9. d) 2
10. c) 2
11. c)
12. d)
13. e) o número inteiro 3
14. P = 500
15. c)
16. c) 0
17. d = 2
18. a)
91
Cláudio Freire
Para
19. e)
20. a) 2
21. 2 + CAPÍTULO 06
I. Racionalização de denominadores
Racionalizar significa tornar racional o denominador, ou seja, eliminar qualquer raiz do denominador de uma fração sem alterar a mesma. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador sempre pelo mesmo número.
Não existe uma fórmula específica para tal, mas sim alguns artifícios aos quais veremos a seguir.
1. O denominador é um radical de índice 2Multiplicamos o denominador e o numerador
pelo mesmo número.Exemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
2. O denominador é um radical com índice diferente de 2
Multiplicamos o denominador e o numerador por um radical de mesmo índice e mesmo radicando do original, porém com o seu expoente sendo a diferença do índice e expoente do radicando do original.
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
3. O denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um deles radical
Multiplicamos os termos da fração pelo conjugado do denominador.
Exemplos:
a)
=
b)
Casos especiaisLembrete:x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)x5 + 1 = (x + 1) (x4 – x3 + x2 – x + 1)x7 + 1 = (x + 1) (x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x + 1)x5 – 1 = (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)x7 – 1 = (x – 1) (x6 + x5 + x4 + x3 + x3 + x2 + x + 1)
Alguns exemplos relativos ao lembrete:a)
=
b)
92
x + y x – y x2 – y2
x – y x2 – xy +
y2
x3 – y3
x2 – xy +
y2
x + y
Cláudio Freire
Para
c)
=
=
Exercícios
1. Racionalizar:
a)
b)
c)
d)
e)
2. Racionalize:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3. Racionalize os denominadores
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4. (MACK-SP) Racionalizando o denominador da
fração , obtemos:
a) 2 + b) 2 - c) 3 + d) - 2
5. (CESGRANRIO) Racionalizando o
denominador, vemos que a razão é igual
a:a) 2 + b) b) + c) 1 + 2d) 2 + 2
6. (UNIP-SP) é igual a:
a) + 1b) - 1c) + 3d) 2 - 3
7. (FUVEST-SP) é igual a:
a) + +
b) + -
c) - -
d) + -
8. (FUVEST-SP) Qual é o valor da expressão
:
a) 4b) 3c) 2d)
9. (CTUR-2000) O inverso do número é:
93
x3 –
y3
x + y x4 – x3 + x2 – x
+ 1
x5 +
15
Cláudio Freire
Para
a)
b)c) 3d)e) –3
10. (EPCAr-81) Depois de simplificar a fração
, você encontrará:
a) -6
b) -
c) –7
d) 7
e) 1
11. (PUC-96) Considere os números a = ,
b = e C = , então:
a) a< b < cb) b < c < ac) c < a < bd) b < a < ce) a < c < b
12. (C.M.R.J.-97) O valor simplificado da expressão
E = é:
a)
b)
c)
d)
e)
13. (C.M.R.J.-98) Racionalizando o denominador
da expressão , encontraremos
Sugestão: Transformar em e em seguida usar
o produto notável (x – y) (x2 + xy + y2)
a)
b)
c)
d)
e)
14. CEFET-93) (2ª fase) Mostre que:
15. (CN-82) Efetuando
obtém-se:
Sugestão: Racionalizar e em seguida transformar o radical duplo em radical simples
a) 4 b) c) d) 2/3 e) 1
16. (CN-97) O valor de:
é:
Sugestão: Fatorar como
diferença dois quadrados x2 – y2 = (x – y) (x + y)
a)
b)
c)
d)
e)
17. (EsSA-92) Racionalizando a fração ,
obtemos:
a) 10 + 5 d) -5b) 10 – 5 e) 5
c) 5 - 10
18. (EsSA-91) Racionalizando o denominador
da expressão , obtemos:
94
Cláudio Freire
Para
a) 3 d) 3 +
b) -2 + 5 e)
c) 2 +
19. (EPCAr) Depois de racionalizar e efetuar os
cálculos em , obtem-se como
resultado:
a) 7 d) b) 7 - 2 e) c)
20. (EPCAr-83) Racionalizando o denominador
da fração encontramos:
a) b) c)
d) e)
21. (CN-94) O número é:
a)
b)
c)
d)
e)
Sugestão: Transformar em e em
seguida racionalizar
22. (EPCAr-84) Racionalizando o denominador
da expressão encontramos:
a) d)
b) e)
c)
23. (EPCAr-85) A expressão é
equivalente a:
a) -2 d) - b) -2 e) + c) 2
24. (EPCAr-85) Considere a expressão E =
, racionalize o denominador
simplificando o quociente encontrado e calcule o valor numérico para x = 2:
a) 1 b) 0 c) 2 d) -2 e) –3
25. (EEAr-85) Racionalizando-se o denominador
da fração obtém-se:
a) c)
b) d)
26. (EsPCEx-83) Racionalizar o denominador da
expressão
27. (EsPCEx-85) Simplifique :
Gabarito
1.
a) b) c)
d) e)
2.
a) d)
b) e)
c) f)
3.
a) d)
b) e)
c) f)
4. a) 2 + 16. e)
5. a) 2 + 17. e) 5
95
Cláudio Freire
Para
6. d) 2 - 3 18. b) -2 + 5
7. d) + - 19. a) 7
8. a) 4 20. a)
9. d) 21. c)
10. b) – 22. a)
11. e) a < c < b 23. c) ) 2
12. a) 24. a) 1
13. e) + 1 25. c)
14. Afirmativa verd. 26.
15. a) 4 27.
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