Over voetbal enzo
Hoeveel zeshoeken bevat een voetbal?
Probleem: onmogelijk om een voetbal te maken met alleen zeshoeken
Bovenstaande figuur is een vlakvulling: een vlak rooster
De veelzijdigheid van bollen
Veelhoeken (polygonen)
12
3
…
n
Hoekpunten n
Convexe veelhoek:
Alle diagonalen vallen binnen veelhoek
Diagonalen n*(n-3)/2
Buren 2
Zijden n
Recursieve Constructie:
12
3
…
n
Herhaald afknippen
Herhaald bijplakken
12
3
…
n
Een n-hoek bekom je als je vertrekkende vanuit een driehoek n-3 maal een hoekpunt wegsnijdt.
Een n-hoek bekom je doorn-2 driehoeken aan elkaar te plakken.
De som van de hoeken van een n-hoek= (n-2)*180°
Regelmatige veelhoeken
r
Gegeven: r(=1) en n(=9)
= )40(n
360
Regelmatige veelhoeken
rza
z=2*r*sin(180°/n)
z
a
r
180°/n
z/2
a=r*cos(180°/n)
Opp =r2*sin(180°/n)* cos(180°/n)
= r2*sin(360°/n)/2
Omtrek n-hoek=2*n*r*sin(180°/n) Opp n-hoek=n*r2/2*sin(360°/n)
Omtrek 9-hoek=2*9*sin(20°)=6,16 Opp 9-hoek=9/2*sin(40°)=2,89
veelvlakkenEen veelvlak is een ruimtelijke figuur begrensd door vlakke veelhoeken: Zijden of facetten(diamant)
Ribben
Hoekpunten
Buren zijn hoekpunten verbonden door ribbe
Diagonalen:zijdediagonaallichaamsdiagonaal
orde
De orde van een zijde =Aantal begrenzende ribben
De orde van een hoekpunt =Aantal ribben die toekomen
5
3 3
33
3
33
3
5
Prisma{n}Grondvlak // bovenvlak
H R Z
2n 3n n+2
Opstaande ribben
h
Hoogte h: afstand boven-grond
inh=opp(grond)*h
3
3
3
3
3
3
3
3
33
De orde van een hoekpunt =allemaal orde 3
De orde van een zijde =zijvlakken orde 4grond en boven orde n
4 44
5
5
Piramide {n} H R Z
n+1 2n n+1
Hoogte h: afstand top-grondvlak
inh=opp(grond)*h/3
grondvlaktopopstaande ribben
3
5
33
De orde van een zijde =zijvlakken orde 3grondvlak orde n
De orde van een hoekpunt =grondvlak orde 3top orde n
3
3
3
33
5
samenstellingen H R Z
2n+1 4n 2n+1
H R Z
n+2 3n 2n
Formule van EulerH R Z H+Z-R
prisma 2n 3n n+2 2
piramide n+1 2n n+1 2
duopiramide
n+2 3n 2n 2
toren 2n+1 4n 2n+1 2
Voor convexe veelvlakken geldt steeds:
H+Z-R=2
Platonische veelvlakkenZijden zijn identieke regelmatige veelhoeken
Dus alle ribben even lang
Alle hoekpunten hebben zelfde orde
Slechts 5
Tetraëder Kubus octaëder
EN &
dodecaëdertwaalfvlak
12 regelmatige 5-hoeken
H R Z
20 30 12
Orde hoekpunten 3
Orde zijden 5
Icosaëder
20 regelmatige 3-hoeken
H R Z
12 30 20
Orde hoekpunten 5
Orde zijden 3
Afgeknotte icosaëderH R Z
12 30 20
329060
ZRH
Dualiteit Verbind middelpunten van zijden
Kubus octaëderDodecaëder Icosaëder
H R Z Orde Z Orde H
tetraëder 4 6 4 3 3
kubus 8 12 6 4 3
octaëder 6 12 8 3 4
dodecaëder 20 30 12 5 3
icosaëder 12 30 20 3 5
Duale in tabel
Het duale van afknotten is uitstulpen
geode
Richard Buckminster Fuller(1895-1983)
Een veelvlak waarbij elkHoekpunt op een bol ligt En orde 5 of 6 heeft
triangulatie
Moeilijk kan ook
FullerenenHet duale van een geodewordt een Fullereen genoemd
Onze voetbal is eenFullereen F(1,1)
Ook dit nogIn elke geode zijn er exact 12 hoekpunten van orde 5.
5H5+6H6=2R=3Z
Telt het aantal ribben uit elke punt
Elke ribbe wordt dubbel geteld
Elke zijde heeft 3 ribben, maar weeral dubbel geteld
H=H5+H6H+Z-R=2
Euler
12H+12Z-12R=24 2H5+2(5H5+6H6)+12Z-6(2R)=24
2H5=242H5+2(3Z)+12Z-6(3Z)=24
Voetbal?Er bestaan geen voetballen met alleen zeshoeken
3H=2R=6Z
Telt het aantal ribben uit elke punt
Elke ribbe wordt dubbel geteld
Elke zijde heeft 6 ribben, maar weeral dubbel geteld
H+Z-R=2
Euler
6H+6Z-6R=12 2(3H)+6Z-3(2R)=12
0122(6Z)+6Z-3(6Z)=12
Top Related