GRA EVINSKI FAKULTET SVEU ILIŠTA U RIJECI
SKRIPTA RIJEŠENIH ZADATAKA IZ
OTPORNOSTI MATERIJALA
NEIRA TORI ,dipl.ing.gra .
2
1. Zadatak
Izra unati naprezanja i nacrtati dijagram naprezanja na konzolnom nosa u ako je zadano :
2
2
11
11
mm
NMPa
m
NPa
=
=
Vrijednosti uzdužnih sila na pojedinim segmentima :
NFN
FFN
NFN
I
II
III
43
21
41
104
0
102
⋅==
=+−=⋅−=−=
Vrijednosti naprezanja na pojedinim segmentima :
MPaPaA
NA
N
MPaPaA
N
II
III
IIIIII
401040
0
201020
6
6
=⋅==
==
−=⋅−==
σ
σ
σ
mb
ma
mcmA
PaE
NF
NFF
1
2
1010
102,2
104
102
232
11
43
421
==
==
⋅=
⋅=
⋅==
−
3
2. Zadatak
Odrediti naprezanja u štapu pri promjeni temperature za + T :
Rješenje :
Ukoliko nema vanjskog otpora izduženju štapa, nema niti naprezanja u štapu. To zna i da se štap AC može slobodno izdužiti pod utjecajem temperature za veli inu . Sve dok je δ≤∆ tl u štapu su naprezanja jednaka nuli.Ukoliko je tendencija štapa da se izduži za δ>∆ tl , aktivira se u štapu sila koja opet “ vra “ štap na realnu dužinu AB, kao što se vidi na slici. Može se zaklju iti i da e sila u štapu biti tla na , odnosno s predznakom – (minus).
– realno izdužrnjeB – nerealno izduženje
( )( )
( )3
2)(
1
0,0
0,0
22
2
11
1
2211
2211
K
K
K
AE
lF
AE
lFl
Tlll
ll
l
l
TlTll
BBB
t
Bt
t
t
t
+=∆
∆+=∆
∆−∆=
≠>→>∆
=>→≤∆
∆+∆=∆
ααδ
σεδσεδ
αα
( ) ( ) ( ) [ ]
22
11
22
11
1
21
112211
1
)(13;2
A
F
A
F
AE
AE
l
ll
AETllF
Bx
Bx
B
−=
−=
+
−∆+=⇒→
σ
σ
δαα
4
3. Zadatak
Odrediti pomak to ke C ukoliko se temperatura štapa 1 pove a za T :
Rješenje :
βδ=
βδ=
β∆α
=β
∆=δ
=∆δ∆
=β
∆α=ε=∆⇒∆
=ε
sinv
cosu
2sinTl
2sinl
0l;l
2sin
Tlllll
C
C
1C
2C
1
ttt
t
5
4. Zadatak
Odrediti naprezanja u štapovima ukoliko se temperatura štapa 2 pove a za T :
Rješenje
Iz plana pomaka i optere enja (ovdje promjena temperature) možemo zaklju iti da se štap 2 nastoji izdužiti, no njegovo potpuno izduženje sprje avaju druga dva štapa spojena u voru D, koji nisu direktno optere eni i nemaju tendenciju izduženja. Štap 2 se izduži za lt pri
2
D' u D''.
Budu i da su sva tri štapa me usobno spojena u voru D, izduženjem štapa 2 prisilno se izdužuju i štapovi s brojem 1. Kao posljedica izduženja u njima se javlja vla na sila F1(vla na sila uzrokuje izduženje ako nema nikakvog drugog optere enja).
Zadatak 5
Iz uvjeta ravnoteže sila :
( )10cos20 21 K=−→=Σ FFY α
Iz plana pomaka :
( )2coscos 212
1
1
2 Kαα lll
l
l
l∆=∆→
∆∆
==
Iz Hookovog zakona :
( )311
111 K
AE
lFl =∆
( )42222
222 KlT
AE
lFl ⋅∆⋅+=∆ α
( ) ( )α
αα3
22
11
2112
1
cos21
cos)2(4);3(;1
AE
AEATE
F−
∆=⇒→
α
ααα
3
22
11
3112
212
cos21
cos2cos2)1(
AE
AEATE
FFF−
∆=⇒=→
2
22
1
11 ;
A
F
A
F−== σσ
6
5. Zadatak
Odrediti naprezanja u štapovima ako je srednji štap kra i za od predvi ene duljine l.
Rješenje
Iz uvjeta ravnoteže sila :
( )1cosF2F0cosF2F0Y 1212 Kα=→=α−→=Σ
Iz plana pomaka :
( )2cos
1AElF
AElF
cosl
l
ll
ll
cos
11
11
22
2212
2
1
1
2
Kα
+=α
∆+∆=δ
∆−δ∆
==α
( ) ( )
( )
( ) ( )223
112
32211
2
223
112
22211
1
11
1
22
21
11
11
22
21
AEcosAE2l
cosAEAE2F1
AEcosAE2l
cosAEAEF
cos1
AEl
cosAE
l2F
cos1
AElF
cosAElF
221
+α
αδ=⇒
+α
αδ=
α
+α=α
+α=δ⇒→
1
11 A
F−=σ
2
22 A
F−=σ
22
222
11
111
AE
lFl
AE
lFl
=∆
=∆
7
6. Zadatak
Odrediti naprezanja u štapovima 1 i 2 te vertikalni pomak to ke D.
Rješenje
Sustav je jedanput stati ki neodre en (ima jednu prekomjernu veli inu), odnosno nepoznate su 4 veli ine ( RH , RV , S1 , S2 ).Uz tri uvjeta ravnoteže postavljamo dodatnu jednadžbu na deformiranom sustavu na principu sli nosti trokuta.Iz uvjeta ravnoteže sila :
( )
( )
( )30sin0
2cos0cos0
10sin0
12
11
1122
K
K
K
=++−→=Σ
=→=−→=Σ
=−−→=Σ
V
HH
A
RSFSY
SRSRX
aSaSFlM
α
αα
α
Iz plana pomaka :
αδδ
sin; 1
2
ll BC
∆=∆≡
Iz sli nosti trokuta :
( )412
Kaa
BC δδ=
Iz Hookovog zakona :
22
222
11
111 ;
AE
lSl
AE
lSl =∆=∆ ( )4→
( )
222
22
22
2
2
2
22
1
11
22
2
21
1
2
22
112
21
2
1
1
2
22
1121
sin1
1
sin
aAE
llS
a
ll
la
l
A
S
A
S
a
all
AEAE
a
FlSS
a
a
l
l
AE
AESS
DD =∆=⇒=
∆
=
=
+
=⇒→
=
δδ
σ
σ
α
α
8
7. Zadatak
Dimenzionirati štapove AB i DG kružnog popre nog presjeka napravljene od elika, te odrediti njihova produljenja.
mc
mb
ma
kNF
MpaE
Mpadop
1
2
3
100
102
1405
====
⋅=
=σ
)15,6(2861,24
4
36,510536,010140
1075
)85,13(4201,44
4
6,121026,110140
108,176
8,17645sin3
575
45sin3
50345sin50
751004
3
4
30340
221
22
22
2
2236
32
2
211
11
21
1
2236
31
1
2112
22
cmAmmdusvojenocmA
dd
A
cmmS
A
cmAmmdusvojenocmA
dd
A
cmmS
A
SA
A
S
ranjeDimenzioni
kNSSSSM
kNFSFSM
doppot
doppot
doppotdopx
C
H
=→=→→==⇒=
=⋅=⋅⋅
=≥
=→=→→==⇒=
=⋅=⋅⋅
=≥
≥⇒≤=
=°⋅
=°⋅
=→=⋅°⋅−⋅⇒=∑
===→=⋅−⋅⇒=∑
−
−
ππ
σ
ππ
σ
σσσ
9
cmmAE
lSl
cmmAE
lSl
MPaMPaA
S
MPaMPaA
S
Kontrola
dopx
dopx
12,010195,121015,6102
21075
18,010056,18707,01085,13102
2108,176
1409,1211015,6
1075
1406,1271085,13
108,176
4411
3
22
222
4411
3
11
111
4
3
2
22
4
3
1
11
=⋅=⋅⋅⋅
⋅⋅==∆
=⋅=⋅⋅⋅⋅
⋅⋅==∆
==⋅⋅
==
==⋅⋅
==
−−
−−
−
−
σσ
σσ
p
p
10
8. Zadatak
Odrediti pomak to aka B i D na zadanom sustavu.
( )
( )
( )AEa
bahFB
ba
B
a
h
AEa
bahF
AE
hSh
a
baFSSabaFM A
⋅⋅+⋅⋅
=∆⇒+
∆=
∆
⋅⋅+⋅⋅
=⋅⋅
=∆
+=→=−+⇒=Σ
2
2
00
11
9. Zadatak
( )
( )
( ) ( )
MPam
N
A
S
MPam
N
A
S
NS
NS
Al
AlF
SaSAl
aAlSFa
Al
AlSS
AE
lS
AE
lS
lla
l
a
l
aSaSFaM
NF
EE
mcmA
mcmA
ml
ml
A
7,8105,1
35,1304
43,10101
5,1043
35,1304
5,1043
33
403
3
412
23
223
2332
10320
6000
105,15,1
1011
8,1
1
242
22
241
11
2
1
21
1222
21
122
21
1221
22
22
11
11
2121
21
21
2422
2421
2
1
=⋅
==
=⋅
==
==
+=⇒=−−⇒→
=⇒=
∆=∆⇒∆
=∆
=−−⇒=Σ
==
⋅==
⋅==
==
−
−
−
−
σ
σ
K
K
12
10. Zadatak
Kruta greda AB obješena je o tri eli na štapa istog popre nog presjeka površine 10 cm2. Dužina štapova je h = 1 m, s tim da je srednji štap (2) napravljen kra i od projektirane dužine za
= 0,6 mm. Odrediti sile u štapovima i izduženje srednjeg štapa ako je izvršena prinudna montaža sustava.
EA
hSl
EA
hSl
EA
hSl
hlll
EAAEAEAE
33
22
11
321
332211
;; =∆=∆=∆
======
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
mmmEA
hSl
kNS
kNS
kNS
kNccScSS
kNcSS
kNcSSScS
kNNch
EA
SSSaSaSaSM
Sh
EAS
EA
hS
EA
hSll
a
l
a
l
SSEA
hS
EA
hSll
a
l
a
l
A
4,0103,4101101,2
00,11090
54
90
18
901267
5
7
222
541267
3
7
31
187
126
7
194232,1
1261012600,1
101101,2106
3320320
22222
13333
4311
32
2
3
2
1
121
31
1111
33114
321321
1212
2121
1313
1313
=⋅=⋅⋅⋅
⋅⋅==∆
=
=
=
==−=−=⇒→
===⇒→
===→−−=⇒→
=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅
==∆
−=⇒=+−→=Σ
−∆
=⇒−∆=⇒∆−∆=∆⇒∆−∆
=∆
=⇒=⇒∆=∆⇒∆
=∆
−−
−−
K
K
K
13
11. Zadatak
Cilindri ni stup promjera 4 cm, dužine 120 cm optere en je u presjecima (1), (2) i (3) na udaljenostima zi = 0; 40 i 80 cm (i=1,2,3) od slobodnog kraja aksijalnim silamaFi(i=1,2,3) = 15 kN, 10 kN i 5 kN.Izra umati naprezanje u pojedinim dijelovima stupa i pomak slobodnog kraja.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
mmllll
mmmNkl
mmmNkl
mmmNkl
N
m
AE
lk
NkNNNAE
lllll
MPaPam
N
A
N
kNFFFN
cmz
MPaPam
N
A
N
kNFFN
cmz
MPaPam
N
A
N
kNFN
cmz
md
A
cmL
llllcmL
cmd
MPaE
ii
112,0
048,01080,4103010159,0
04,01000,4102510159,0
024,010415,2101510159,0
10159,01021056,12
4,0
2410241056,12
1030
30
120803
2010201056,12
1025
25
80402
1210121056,12
1015
15
4001
1056,124
104
4
403
;120
4
102
321
53833
53822
53811
8114
3
1321321
624
33
3
3213
3
624
32
2
212
2
624
31
1
11
1
24422
321
5
−=∆+∆+∆=∆
−=⋅−=⋅−⋅⋅=⋅=∆
−=⋅−=⋅−⋅⋅=⋅=∆
−=⋅−=⋅−⋅⋅=⋅=∆
⋅=⋅⋅⋅
==
⋅=++=∆+∆+∆=∆
−=⋅−=⋅⋅−
==
−=−−−=<≤
−=⋅−=⋅⋅−
==
−=−−=<≤
−=⋅−=⋅⋅−
==
−=−=<≤
⋅=⋅
==
======
=⋅=
−−
−−
−−
−−
=
−
−
−
−−
∑
σ
σ
σ
ππ
K
K
K
14
12. Zadatak
Dimenzionirati eli nu zategu kružnog pore nog presjeka (A1) i drveni kosnik pravokutnog popre nog presjeka (h=2b) površine A2 = 10A1 ako je F=155 kN a dopušteni naponi za elik 12 ·107
N/m2 i drvo 6·106 N/m2.
Plan pomaka :
bh
AA
EEm
NE
m
NE
m
Nm
N
dop
dop
2
10
20
101
102
106
1012
12
21
210
2
211
1
26
2
27
1
===
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
σ
σ
2
2cossin
6
53
2
5
4
6/5
3/2cos
5
3
6/5
2/sin
1
2
==
=
=
==
==
ββ
α
α
ll
ll
l
ll
l
15
Sile u štapovima :
( )
( )
( )
( )
kNSkNSFFF
S
SSSlAE
lAES
SlAE
lAES
AE
lS
AE
lS
AE
lSl
AE
lSl
ll
lSlSFlM
DC
CDDc
A
4,353;9,5838,0
26
1
5
12sin4sin3
1
16252610
2335202
sin
sin2
sin2
sin2
sinsin;
sinsin
22
3
2
3
1
103
1sin
3
2sin0
122
212
12
121
2122
2111
22
22
11
11
11
111
22
222
21
==→=
+
=+
=⇒
⇒→=⇒⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=
=→=⇒
=∆
==∆
=
=→=
=−−→=∑
αβ
βα
βα
ααδ
ββδ
δδδδ
βα
K
K
Dimenzioniranje :
cmh
cmb
cmA
bcnbhbA
cmAA
cmdcmmd
Sd
SdA
A
S
dopdopdop
74,27
87,13
87,132
8,384
28,3842
8,38448,381010
7606,0
1012
104,35344
4
2222
212
7
3
1
1
1
12
111
11
=
=
===⇒==⋅=
=⋅==
=→=≥
⋅⋅⋅⋅
=≥→≥=→≤=ππσσ
πσσ
Kontrola napona :
MPaMPaA
S
MPaMPaA
S
dop
dop
653,11087,132
109,58
12084,91
4
107
104,353
242
3
2
22
142
3
1
11
=≤=⋅⋅
⋅==
=≤=⋅
⋅==
−
−
σσ
σπ
σ
16
13. Zadatak
Odrediti sile u eli nim kružnim zategama CF, DF i EG uslijed djelovanja nazna enog optere enja.
4
FlM =
Plan pomaka
lll
ll
l
llll
l
24
3
16
92
2
2
42
4
5
16
5
164
23
2
2
222
1
==
==
==+=
2
1
2
22sin
5
2
4
52sin
==
==
l
l
l
l
β
α
17
Iz uvjeta ravnoteže sila :
( )[ ] ( ) ( )10sin32sin20sin32sin44
0 321321 K=+−−→=++−+→=∑ βαβα SSSFSSSl
MFl
M A
Iz plana pomaka :
( )
;sin
;sin
;sin
2
43
24
321
βδ
βδ
αδ
δδδ
lll
lll
EDC
EDC
∆=
∆=
∆=
== K
( )
( ) ( )
FFSS
FSS
FSSSSF
SSllll
ll
SSlSlSll
ll
EDED
DCDC
38,047,05
4
5
4
47,0
sin5sin5
42
0sin32sin5
421
23sin
2
sin
323
43
2
5
4
sinsin
2
sinsin
22
24
2
21
32
2222
323232
21221121
===
==
→+
=→=+−−→
=→∆=∆→∆
=∆
→=→=
=→=→∆
=∆
→=→=→
βαβα
ββδδ
δδ
βαβαδδ
δδ
18
[ ]
−−
−+
−−−−=
7,2600
07,260
007,26
3,332015
203,2310
15107,56
ijσ
14. Zadatak
Zadani tenzor naprezanja prikazati kao zbroj sfernog tenzora naprezanja i tenzora devijatorskog naprezanja. Odrediti normalno, posmi no i puno naprezanje u ravnini s normalom koja ima kosinuse smjera :cos(x,n)=2/3 ; cos(y,n)=1/3 ; cos(z,n)=2/3.
[ ]
+
−−
−=
−−−−=
s
s
s
szzyzx
yzsyyx
xzxysx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij MPa
σσ
σ
σστττσστττσσ
στττστττσ
σ
00
00
00
602015
205010
151030
srednje naprezanje devijatorski dio sferni dio
MPazyxs 7,26
3
605030
3−=
−−=
++=
σσσσ
Komponente devijatorskog tenzora naprezanja :
MPa
MPan
MPa
nnn
nn
nznynxn
9,53108,54
103
27,36
3
13,23
3
23,33
8,547,363,233,33
2222
222222
=−=−=
−=⋅−⋅−⋅=⋅=
=++=++=
σρτ
ρσ
ρρρρ
[ ]
−−=
⋅
−−−−=
⋅=
7,36
3,23
3,33
3
23
13
2
602015
205010
151030
nz
ny
nx
ijn n
ρρρ
σρ
( )( )( ) Pas
MPas
MPas
szzz
syyy
sxxx
3,337,2660
3,237,2650
7,567,2630
−=−−−=−=
−=−−−=−==−−=−=
σσ
σσσσ
19
15. Zadatak
Za zadano stanje naprezanja x = 100M Pa , y = -80M Pa , txy = 50 Mpa odrediti analiti ki a) glavna naprezanjab) maksimalno posmi no naprezanje s odgovaraju im normalnim naprezanjemc) naprezanja n i tn u presjeku s normalom koja s osi x zatvara kut = -25°.
Glavna naprezanja i smjerovi naprezanja :
( ) ( )
°−=⇒−=+−
=−
=
°=⇒=+
=−
=
−==
±=⋅++±−
=+−±+
=
5,758462,38093
50
5,142591,080113
50
93
113
10310504801002
1
2
801004
2
1
2
022
02
011
01
2
1
22222,1
ϕσσ
τϕ
ϕσσ
τϕ
σσ
τσσσσ
σ
y
xy
y
xy
xyyxyx
tg
tg
MPa
MPa
Kontrola preko invarijante naprezanja :
°=°+°=+
=→−=−→+=+
905,755,14
2020801093113
0201
21
ϕϕ
σσσσ yx
Maksimalno posmi no naprezanje, smjer normale ravnine i normalno naprezanje :
MPa
MPa
s 102
93113
2
1032
93113
2
5,59455,1445
21
21max
011
=−
=+
=
=+
=−
=
°=°+°=°+=
σσσ
σστ
ϕϕ
Naprezanja u ravnini pod kutem :
( ) ( )
( ) ( ) MPa
MPa
xyxy
n
n
xyyxxyyxyx
n
1,10150cos5050sin2
100802cos2sin
2
6,2950sin5050cos2
80100
2
80100
2sinsincos2sin2cos22
22
=°−+°−−−
=+−
=
=°−+°−+
+−
=
++=+−
++
=
ϕτϕσσ
τ
σ
ϕτϕσϕσϕτϕσσσσ
σ
20
Prikaz Mohrove kružnice naprezanja za zadano stanje naprezanja :
)1,101;6,29(),(;1,101;6,29
)103,10(),(;5,59;103;10
)0,93()0,(;5,75;93
)0,113()0,(;5,14;113
)50,80(),(
)50,100(),(
1max31max
122022
111011
−→==→°===
−→°−=−=→°==
−→
−→
KKMPaMPa
NNMPaMPa
NNMPa
NNMPa
NN
NN
nnnn
ss
yxyyy
xxyxx
τστστσϕτσ
σϕσσϕσ
τσ
τσ
21
16. Zadatak
Za zadano stanje naprezanja odrediti glavna normalna naprezanja, glavna posmi na naprezanja i oktaedarska naprezanja.
[ ] [ ]MPaij
−=
6000
012050
05080
σ
( ) ( )( )[ ]
( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( )
( )[ ]
MPa
MPa
MPa
MPaMPaMPa
MPa
xyyxyx
m
yxxyyxyx
mxyyxmyxm
xymymx
zmmz
xymymxmz
mz
myyx
xymx
mzzyzx
yzmyyx
xzxymx
8,91
60
8,131
60;8,91;8,131
8,11120504120802
1
2
12080
42
1
2
2
40
0
600
0
0
00
0
0
0
3
2
1
321
222,1
22
22
22
2
3
2
−===
=′−=′=′
±=⋅+−−±+−
=′
+−±+
=
+−−+−±+=→=−++−
=−−−
′===⇒=−
=−−−−
=−
−−
⇒=−
−−
σσσ
σσσ
σ
τσσσσ
σ
σστσσσσστσσσσσσ
τσσσσ
σσσσσ
τσσσσσσ
σσσστ
τσσ
σστττσστττσσ
22
Kontrola naprezanja :
MPaMPa
zyx
100100
8,91608,1316012080
321
=−+=++−
++=++ σσσσσσ
Pravac glavnog naprezanja 2 podudara se s pravcem osi z. Pravci glavnih naprezanja 1 i 3
okomiti su na pravac naprezanja 2, a njihov se položaj u ravnini okomitoj na pravac 2 odre uje prema izrazima :
°=°+°=+
°−=⇒−=−−
=−
=
°=⇒=−
=−
=
903,137,76
3,13236,01208,91
50
7,76237,41208,131
50
0301
033
03
011
01
ϕϕ
ϕσσ
τϕ
ϕσσ
τϕ
y
xy
y
xy
tg
tg
Maksimalna posmi na naprezanja :
MPa
MPa
MPa
MPa
8,111
9,352
608,131
2
8,1112
8,1318,91
2
9,752
8,9160
2
2max
213
132
321
==
±=−
±=−
±=
±=−−
±=−
±=
±=+
±=−
±=
ττ
σστ
σστ
σστ
Oktaedarska naprezanja :
Budu i da normala oktaedarske ravnine zatvara s koordinatnim osima kuteve :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
MPa
MPa
MPa
oktoktokt
okt
okt
okt
zyxokt
0,992,933,33
2,93
,1318,918,9160608,1313
1
3
1
3,33
8,91608,1313
1
3
1
3
1
7,543
1cos1cos31coscoscos
2222
222213
232
221
321
2222
=+=+=
=
−−+++−=−+−+−=
=
−+=++=++=
°=→±=→=→=++
τσρ
τ
σσσσσστ
σ
σσσσσσσ
αααγβα
23
17. Zadatak
Plo a je izložena djelovanju vla nog naprezanja u oba pravca i tangencijalnog naprezanja u bo nim ravninama.Odrediti komponente naprezanja u presjeku ija normala zatvara kut od 30° s osi x i smjer i veli inu glavnih naprezanja.
( )MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
n
nnn
n
xyxy
n
n
xyyxn
xy
y
x
93,5
73,227,5
73,2
60cos260sin2
842cos2sin
2
27,5
60sin230sin430cos82sinsincos
30
2
4
8
2222
2222
=
−+=+=
−=
°−°−
=+−
=
=
°−°+°=++=
°=
−=
==
ρ
τσρ
τ
ϕτϕσσ
τ
σ
ϕτϕσϕσσ
ϕ
τ
σσ
Glavna naprezanja :
( ) ( ) ( )
°=⇒=−
−=
−=
°−=⇒−=−
−=
−=
==
±=−⋅+−±+
=+−±+
=
5,6741,2417,3
2
5,22414,0483,8
2
17,3
83,8
83,2624482
1
2
484
2
1
2
022
02
011
01
2
1
22222,1
ϕσσ
τϕ
ϕσσ
τϕ
σσ
τσσσσ
σ
y
xy
y
xy
xyyxyx
tg
tg
MPa
MPa
Kontrola preko invarijante naprezanja :
°=°+°=+
=→+=+→+=+
905,675,22
1212482,38,8
0201
21
ϕϕ
σσσσ yx
Maksimalno posmi no naprezanje, smjer normale ravnine i pripadaju e normalno naprezanje :
MPa
MPa
s 62
2,38,8
2
8,22
2,38,8
2
4,22456,2245
21
21max
011
=+
=+
=
=−
=−
=
°=°+°−=°+=
σσσ
σστ
ϕϕ
24
18. Zadatak
Kratki betonski stup, kvadratnog popre nog presjeka 30x30 cm pritisnut je silom F.Odrediti veli inu ove sile ako je normalno naprezanje u kosom presjeku pod kutem od 30°prema normali 1,5 Mpa.Koliko je tangencijalno naprezanje u tom presjeku?
MPa
MPaA
F
kNF
AF
A
F
maA
mcma
MPa
xn
xyxy
n
x
nxn
xyyxn
n
86,060sin2
1022sin
2
2cos2sin2
209,0
10180
180
30cos
09,0105,1
coscoscos
2sinsincos
09,0
3,030
30
5,1
6
3
2
6
222
22
22
=°⋅−
−=−
=
+−
=
−=⋅
−==
−=°
⋅⋅−=−=→−==
++=
==
==°=
=
ϕσ
τ
ϕτϕσσ
τ
σ
ϕσ
ϕϕσσ
ϕτϕσϕσσ
ϕσ
19. Zadatak
Stup kružnog popre nog presjeka optere en je vla nom silom intenziteta 20 kN. Tangencijalno naprezanje na bilo kojem presjeku (ravnini) ne smije prije i vrijednost od 7Mpa. Odrediti polumjer stupa.
cmdcmdd
Fd
d
F
A
F
MPa
kNF
n
xn
n
5,43,4107
1022
1)2(sin
2sin107
10222sin
22sin
22sin
22sin
2
7
20
6
4
max
6
4
2
=→≥→⋅
⋅⋅≥
=
⋅⋅⋅
=≥→==≤
==
π
ϕ
ϕπ
ϕπτ
ϕπ
ϕϕσ
τ
τ
25
20. Zadatak
U to ki A napregnutog elementa izmjerene su dužinske deformacije u smjerovima x, y i n xx = -8·10-4, yy = 4·10-4, nn = 6·10-4. Odrediti promjene pravog kuta izme u osi x i y, te veli inu i smjerove glavnih deformacija.
( ) ( )
radxyxy
xy
yyxxnnxy
xyyyxxnn
4
4
44422
22
104,252
107,12
30sin10430cos10810660sin
1sincos
2sin
1
2sinsincos
−
−
−−−
⋅==
⋅=
°⋅−°⋅+⋅°
=−−=⇒
⇒++=
εγ
ε
ϕεϕεεϕ
ε
ϕεϕεϕεε
Glavne deformacije :
( )
( ) ( )
42
41
442,1
4222,1
222,1
1016
1012
1014102
107,124482
1
2
48
42
1
2
−
−
−−
−
⋅−=
⋅=
⋅±⋅−=
⋅
+−−±
+−=
+−±+
=
ε
ε
ε
ε
εεεεε
ε xyyyxxyyxx
Kontrola :
44
4444
21
104104
10161012104108−−
−−−−
⋅−=⋅−
⋅−⋅=⋅+⋅−
+=+ εεεε yyxx
Smjerovi glavnih deformacija :
°≈°=°+°=+
°−=⇒−=⋅−⋅−
⋅=
−=
°=⇒=⋅−⋅
⋅=
−=
−−
−
−−
−
902,904,328,57
4,32635,01041016
107,12
8,57588,11041012
107,12
0201
0244
4
202
0144
4
101
ϕϕ
ϕεε
εϕ
ϕεε
εϕ
yy
xy
yy
xy
tg
tg
26
21. Zadatak
Odrediti deformaciju dijagonale eli nog elementa.
5
55
55
55
5
105,192
1075,915102
3,011
2
109102
603,0
1030102
60
15
60
3,0
102
−
−
−
−
⋅==
⋅=⋅+
=+
==
⋅−=⋅
−=−=
⋅=⋅
==
==
=⋅=
xyxy
xyxy
xy
xyy
xxx
xy
x
EG
E
E
MPa
MPa
MPaE
εγ
τντε
σνε
σε
τσν
Relativna deformacija dijagonale :
cmdd
d
xyyyxxd
1030sin
5530sin
1069,28
60sin1075,930sin10930cos10302sinsincos5
5252522
=°
=→=°
⋅=
°⋅+°⋅−°⋅=++=−
−−−
ε
ϕεϕεϕεε
Apsolutna deformacija :
mmdd d35 1069,281001069,28 −− ⋅=⋅⋅=⋅=∆ ε
27
22. Zadatak
Pravokutna plo ica dimenzija 120x90 mm optere ena je u dva pravca tako da su
MPacm
N
MPacm
N
MPaE
y
x
404000
10010000
3,0
102
2
2
5
−=−=
==
=⋅=
σ
σ
ν
Odrediti kolika su naprezanja u kosoj ravnini koja se poklapa s dijagonalom koja s osi x zatvara oštri kut i za koliko e se promijeniti dužina dijagonale.
( )
( )
( )
555
555
2222
1035102
1003,0
102
40
1056102
403,0
102
100
0,682,677,10
2,67106sin2
100402cos2sin
2
7,10106cos2
40100
2
401002sin2cos
22
53903775,012
9
−
−
⋅−=⋅
−⋅
−=−=
⋅=⋅
−−
⋅=−=
=+=+=
=°−−−
=+−
=
=°−+
+−
=+−
++
=
°−=°−=⇒°=→==
EE
EE
MPa
MPa
MPa
tg
xyyy
yxxx
nnn
xyxy
n
xyyxyx
n
σν
σε
σν
σε
τσρ
ϕτϕσσ
τ
ϕτϕσσσσ
σ
αϕαα
Budu i da tražimo izduženje dijagonale, tražimo deformaciju u smjeru normale ravnine okomite na dijagonalu, te je sada kut
mmdd
mmd
d
xyyyxxd
25
22
5252522
1046,31501004,23
15012090
1004,23)37(sin1035)37(cos10562sinsincos
−−
−−−
⋅=⋅⋅=⋅=∆
=+=
⋅=°⋅−°⋅=++=
ε
ϕεϕεϕεε
28
23. Zadatak
eli na kocka brida a = 10 cm postavljena je bez zazora izme u dviju krutih stijenki na podlogu i na gornjoj plohi optere ena s q = 60 Mpa. Odrediti : a) naprezanja i deformacije u tri okomita smjera i deformaciju dijagonale kocke
b) promjenu volumena kockec) normalno i posmi no naprezanje u presjeku pod kutem od 45° prema stjenki.
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
mmdd
ad
E
E
MPaE
MPaq
MPaE
d
d
zzyyxxd
yxzzz
xzyyy
yxyzxxx
z
y
325
5
55222
55
55
5
109310102,5
102,5
3
1107,11
3
1103,270coscoscos
3
107,1160183,0102
11
103,27183,060102
11
18603,001
0
60
30,0
102
−−
−
−−
−
−
⋅−=⋅⋅⋅−=⋅=∆
⋅−=
⋅⋅+⋅⋅−=++=
=
⋅=−−−⋅
=+−=
⋅−=−−−⋅
=+−=
−=−⋅==→=+−=
=
−=−==
⋅=
ε
ε
γεβεαεε
σσνσε
σσνσε
νσσσσνσε
σ
σν
Relativna i apsolutna promjena volumena :
cmVV
V
V
V
zzyyxxV
15,010106,15
106,15107,11103,270
35
555
−=⋅⋅−=⋅=∆
⋅−=⋅+⋅−=++=∆
=
−
−−−
ε
εεεε
[ ]
MPa
MPa
MPan
MPa
MPa
n
nnn
nznynxn
nn
nz
ny
nx
ijn
21
28,44042,4272,12
3945cos42,4245cos72,12
0
42,42
72,12
90cos
45cos
45cos
000
0600
0018
22
222222
=−=
=++=++=
−=°⋅−°⋅−=⋅=
=
−=−=
°°°
−
−=⋅=
σρτ
ρρρρ
ρσ
ρ
ρρ
σρ
29
24. Zadatak
Odrediti glavna naprezanja na stranicama kvadratnog elementa ako su tenzometri (ure aji za mjerenje dužinske deformacije) A i B pokazali prirast nA = 9,9 mm i
nB = 3,1 mm. Tenzometar A postavljen je pod kutem = 30° prema pravcu glavnog naprezanja 1, a tenzometar B okomito na tenzometar A. Baza tenzometra l0 = 20 mm, a uve anje
tenzometra k = 1000. E = 0,8·105 Mpa, =0,35
Relativne deformacije :
43
0
43
00
1055,12010
1,3
1095,42010
9,9
−
−
⋅=⋅
=⋅
∆=
⋅=⋅
=⋅
∆=
∆=
lk
n
lk
n
l
l
BnnB
AnnA
ε
ε
Za ravninsko stanje deformacija :
Kontrola :
MPanBnA 8020603050 =+=+=+σσ
( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )( )
MPa
MPa
MPaE
MPaE
nB
nA
xyyxn
nnAnnBnB
nnBnnAnA
20
60
23075,025,0
15025,075,0
230cos30sin)90(sin)90(cos
coscos90sin
sinsin90cos
130sin30cossincos
2sinsincos
301095,435,01055,135,01
108,0
1
501055,135,01095,435,01
108,0
1
2
1
21
21
22
21
22
21
222
222
22
21
22
21
22
442
5
2
442
5
2
==
⇒=+=+
°+°=°++°+=
==°+
=−=°+
°+°=+=
++=
=⋅⋅+⋅−
⋅=+
−=
=⋅⋅+⋅−
⋅=+
−=
−−
−−
σσ
σσσσ
σσϕσϕσσ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
σσϕσϕσσ
ϕτϕσϕσσ
νεεν
σ
νεεν
σ
K
K
K
K
30
25. Zadatak
Kocka dužine stranice “a“, izložena je djelovanju jednolikog tlaka intenziteta p = - 700 N/cm2. Odrediti Poissonov koeficijent ako je relativna promjena volumena -9·10-5, a modul elasti nosti materijala 0,7·104 kN/cm2.
( )
( )( )
35,0
1073
107,01091
2
1
31
2
13
21
21
109
107,0107,0
107700
6
115
321
321321
5
211
24
26
2
=
⋅−
⋅⋅⋅−−=
−=→
−=
====
++−
=++=
⋅−=
⋅=⋅=
⋅−=−=
−
−
ν
εννε
σσσσ
σσσνεεεε
ε
p
Ep
E
pE
m
N
cm
kNE
m
N
cm
Np
VV
V
V
26. Zadatak
U gredi eli nog mosta, pri prolazu vlaka, izmjerena su pomo u tenzometra relativna izduženja u horizontalnom pravcu (u smjeru osi x ili paralelno s osi grede) 0,0004 i vertikalnom pravcu (u smjeru osi y ili okomito na os grede) -0,00012. Odrediti normalne napone u pravcu osi grede i okomito na nju.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
MPaE
MPam
N
E
EE
EE
MPaE
xyy
x
yxx
xyyxyy
yxxyxx
y
x
010843,0101,200012,0
841084
3,01
00012,03,00004,0101,2
112
21
11
3,0
101,2
00012,0
0004,0
611
26
2
11
2
5
=⋅⋅+⋅⋅−=+=
=⋅=
−⋅−⋅
=−
+=⇒→
+=→−=
+=→−=
=⋅=
−==
νσεσ
σ
ννεε
σ
νσεσνσσε
νσεσνσσε
ν
εε
K
K
31
27. Zadatak
Za optere enje na tlak betonske kocke ( stranice 7 cm) postavljene su na njene etiri strane papu ice od elika spojene me usobno zglobnim mehanizmom. Dvije sile veli ine F djeluju u vorovima A i D. Odrediti za koliko se promijeni volumen kocke ako je E =4 ·103 KN/cm2, = 0,3 i F
= 50 kN.
( ) ( )
( ) ( )
38
10
3
332221
321321
109,9
1042
105007,03,0214
2
214
;0;2
2
22121
45
0cos
0
:0sin
0sin:0
mV
E
aFV
aVa
F
a
S
VE
VE
VVV
FFy
SF
Sx
FFSFx
FSSFy
V
BC
AB
ABAAB
AA
−⋅=∆⋅⋅
⋅⋅⋅⋅−=
−=∆
=====
−=++
−=++=⋅=∆
°==→=Σ
=−=→=Σ
=→+=Σ
−=→=+=Σ
ν
σσσ
σν
σσσν
εεεε
α
α
αα
32
28. Zadatak
Odrediti potrebne duljine l1 i l2 zavara spajanjem kutnih metalnih profila s plo om.
( )( )( ) ( )
cmlcmlcmlcmllcmll
llh
h
l
lhlhl
halhalhFhFM
cmt
Fll
tll
F
al
F
A
F
MPa
cmh
cmh
cmt
kNF
dopdopA
dopdop
dop
5,55,13195,134,1
19194,1194,019
4,04,06,3
4,1
220
191090105,04,1
10120
7,0245cos2
90
4,1
6,3
5,0
120
1222221
211
2
2
12211
22112211
62
3
2121
2
1
=−=→==→=→=+→=+
=→≅==⇒⋅=⋅⇒
⇒=→⋅=⋅→=∑
=⋅⋅⋅⋅
⋅=
⋅⋅≥+⇒≤
°+=
∑==
===
==
−
ττ
τττ
τ
l 1
l 2
h1
h2
t
aF
33
29. Zadatak
Odrediti potreban broj zakovica promjera 20 mm, ako je
FF
FF/2
F/2F
F/2
F/2
t1
t2
t
d
n – broj zakovicam – broj rezova po zakovici
( )
MPaMPandt
F
A
F
redannn
dm
Fn
dnm
F
nmA
F
A
F
MPa
MPa
mmt
mmt
kNF
dopp
dop
dops
dop
dop
280208101210206
10300
212265
101004
10202
10300
44
280
100
12
8
300
33
3
6
23
3
221
1
=≤=⋅⋅⋅⋅
⋅===
→=→=→≥
⋅⋅
⋅=≥→≤===
=
====
−−
−
σσ
πτπτ
πτ
σ
τ
34
30. Zadatak
Na vijak promjera d djeluje tla na sila F koja izaziva naprezanje u vijku i površinski pritisak p izme u prstena promjera D i lima. Odrediti promjer D, te posmi no naprezanje u prstenu ako je prsten debljine
( )
MPat
d
td
d
A
F
cmp
dp
ddD
dAF
A
F
p
FdD
dD
F
A
Fp
cmt
MPap
MPa
cmd
s
p
5010505,04
1,010100
44
7,1840
1001101
4
4
4
44
5
40
100
10
762
22
2
222
=⋅=⋅
⋅⋅====
=+=+=+=
==→=
+=→−
==
====
σππστ
σπ
πσ
πσσσ
ππ
σ
35
31. Zadatak
Metalna vilica i plo ica 1 i 2 spojene su vijkom i optere ene prema slici. Odrediti promjer vijka d, ako je
mmdmm
map
Fdpp
bd
F
A
Fp
ad
F
A
Fp
pA
Fp
mm
Fd
dm
F
mA
F
A
F
mmb
mma
MPap
MPa
kNF
dop
p
p
dopp
sdopsdop
s
dop
sdop
37033,00369,0
033,010150015,02
10150
2
2
0369,010702
1015044
4
35
15
150
70
150
6
3
21
22
11
6
3
2
=⇒>
=⋅⋅⋅
⋅=≥⇒>
==
==
≤=
=⋅⋅⋅
⋅⋅=≥→≤===
==
=
==
ππττ
πτ
τ
36
Zavareni spojevi
Lom zavarenih spojeva optere enih na smicanje nastaje po najslabijem (smi nom) presjeku A-B, tj. po presjeku za koji je smi na površima najmanja.Naprezanja u zavaru iznose :
- normalno naprezanje al
F=σ
- posmi no naprezanje al
F=τ
ili op enito ( ) ( )ττσσ
τσla
F
A
F
la
F
A
F
⋅∑==
⋅∑== , gdje je A , A … veli ina površine zavara koja
se odnosi na normalno, odnosno posmi no naprezanje.Za spoj na slici posmi no naprezanje je
( ) ( )lla
F
la
F
A
F
+=
⋅∑==
12τ
τ
Normalno naprezanje jednako je posmi nom.Kod zavarenih spojeva uobi ajeno se provjeravajunormalna naprezanja ako sila djeluje okomito na površinu zavarenog spoja, odnosno na posmi na naprezanja dok sila djeluje u samoj površini zavarenog spoja.
37
33. Zadatak
Odrediti potrebnu duljinu zavara prema slici.
54040
84,0
7,0
2,1
135
50
2
1
21
2
××==≥
=
=
B
ta
ta
ttmm
N
kNF
dopτ
Iz priru nika za profile :
2
2
379
6,11
40
mmA
mme
mmb
=
==
( )( )
( )
mmlmmlusvojeno
mma
Almm
a
Al
mmammausvojeno
mmta
mmta
mmAAA
mmb
AeA
b
FeF
mmF
AA
F
FebFM
FFFF
dopdop
B
z
70,40
62,62,56,30
4,3
2,4584,084,0
5,357,07,0
263
10740
6,113702
370135
1050
20
10
21
2
22
1
11
21
2
1
212
221
21
23
21
21
==→
====
==→=⋅==
=⋅===−=
=⋅
==→=→
=⋅
=≥→≤=
=→=∑
=+→=∑
τττ
K
K
38
34. Zadatak
Odrediti najve a naprezanja zakovica.
cmH
cmb
cma
cmd
kNQ
12
8
4
4,1
20
=====
Sila na jednu zakovicu od djelovanja sile H
h
HFH =
Moment u težištu sustava zakovica( )baQM +=
Sila na jednu zakovicu od djelovanja sile Q
h
QFQ =
Sila u i-toj zakovici od momenta MiMi kF ρ⋅=
Q
H
baa
a
a
1
23
4
5
1
23
4
5FH
FQ
FM
FM
FM
FH
FH
FQ FQ
FQ
FQ
45°
39
Moment od sile FMi s obzirom na težište sustava
( ) ( ) ( )kN
a
baQa
a
baQF
FFFFF
a
MF
MkkMM
kFM
M
MMMMM
i
i
ii
Mi
ii
ii
i
iiMii
6,1004,08
08,004,0202
8
22
24
0,2
2
4321
5432
5
1
2
5
1
2
25
1
2
=⋅
+⋅⋅=
⋅+⋅⋅
=⋅⋅⋅
+⋅=
=========
⋅=
=⇒⋅=∑=
⋅=⋅=
∑
∑∑
=
=
=
ρρρρρ
ρρ
ρρ
ρρ
U srednjoj zakovici ne djeluje sila od momenta!05 =MF
kNFFR
kNFFFFR
kNFFFFR
kNFFFFR
kNFFFFR
kNF
kNF
QH
MQMH
MQMH
MQMH
MQMH
Q
H
66,4
49,102
2
2
2
17,62
2
2
2
57,122
2
2
2
15,152
2
2
2
45
20
4,25
12
225
22
4
22
3
22
2
22
1
=+=
=
⋅−+
⋅+=
=
⋅−+
⋅−=
=
⋅++
⋅−=
=
⋅++
⋅+=
==
==
Najve e optere enje ima zakovica 1 : R1 = 15,15 kN
MPad
R
mA
F
s
20,49
4
014,02
15150
42
221 ====
ππτ
40
35. Zadatak
Unutarnji promjer vanjskog eli nog prstena je za D manji od vanjskog promjera unutarnjeg aluminijskog valjka, pa je eli ni prsten u zagrijanom stanju nataknut na aluminijski valjak. Odrediti pritisak prstena na valjak i naprezanje u prstenu nakon hla enja prstena. Kolika sila djeluje u prstenu?
mmt
mm
NEE
mm
NEE
mmD
Al
Al
5
3,0
34,0
102
107,0
1,1
2
1
25
2
25
1
=
====
⋅==
⋅==
=
νννν
Uvjet deformacija :( )
mmDDD
DDD
1,1
1
21
21
=−=∆
∆+∆=∆ K
Uvjet ravnoteže :( )
2
22
22
2
202
DpR
tDpS
DpS
⋅=
⋅⋅=
=⋅−⋅ K
Izraz za deformacije :( ) ( )
( )1
11
111
11
12
11
11
1 1D
D
E
p
E
p
E
p
EE
∆=−=−=−= νν
σν
σε
Za valjak :( )
( )
hDF
tE
pDD
FE
S
D
D
EF
S
ED
D
⋅=
=∆→⋅
=∆
⇒⋅
=∆
=
2
1
22
22
1
2
2
2
1
22
2
22 2
,σε
Za prsten :
2
2
2
2
22
22
2 22 D
D
tE
pD
DtE
pD ∆===ε
41
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )1
21
12
5
2
5
21
2
22
11
12
22
11
11
2
22
222
11
1111
85,0
10252
160034,01
107,0
1600
1,1
1600
21
1,11,1
21
2
1
σσ
νν
ε
νε
===
⋅⋅⋅+−
⋅
=
≅≅
+−=→=+−→
==∆
−==∆
mm
Np
mmDD
tE
D
E
Dp
tE
pD
E
pD
tE
pDDD
E
pDDD
Naprezanje u prstenu (homogeno stanje naprezanja) :( )
222
1 0,13652
160085,0
2 mm
N
t
pD=
⋅⋅
==σ
Sila u prstenu :( ) kNhtS 1360,13620052
1 =⋅⋅=⋅⋅= σ
Kontrola :( )
( ) ( )
mmDDD
mmE
pDD
mmE
DD
1,1013,0087,1
013,034,01107,0
160085,01
087,1102
0,1361600
21
511
11
52
21
22
=+=∆+∆=∆
=−⋅⋅
=−=∆
=⋅
==∆
ν
σ
42
36. Zadatak
U parnom kotlu promjera D djeluje pritisak p. Kotlovski lim debljine t spojen je u uzdužnom smjeru dvorednim zakovicama promjera d na me usobnom razmaku e. Odrediti :a) naprezanja u sastavub) koliki maksimalni tlak pare može kotao podnijeti ako su zadana dopuštena naprezanja.
2
2
2
2
160
100
70
100
20
10
0,1
1600
mm
Nmm
Nmm
N
mme
mmd
mmtmm
Np
mmD
dopO
dop
dop
=
=
=
==
=
=
=
σ
σ
τ
a) Naprezanje stjenke kotla (u smjeru tangente na stjenku)
280
102
16000,1
2 mm
NpD=
⋅⋅
==δ
σ
Sila na razmaku e (sila koja djeluje na jedan red zakovica)kNeS 801001080 =⋅⋅=⋅⋅= δσ
Naprezanje zakovice
posmik222
32,127
4
202
80000
4
mm
N
dm
S===
ππτ
bo ni pritisak2
20010202
80000
2 mm
N
d
SO =
⋅⋅==
δσ
Vlak na oslabljenom presjeku
( ) ( ) 2100
1020100
80000
mm
N
de
S=
−=
−=
δσ
43
b) Nosivost zakovice
( ) ( )
2max
2
max
22
200
2001601600
1001022
2
80
801020100100
322010160
22991,214
2070
4
mm
Np
mm
N
Dp
pD
kNNN
kNdeN
kNdN
kNkNd
N
V
dopV
OdopO
dopS
=
=⋅⋅
==⇒=
==
=−=−=
=⋅⋅==
≅===
δσδ
σ
δσ
δσ
ππτ
44
37. Zadatak
Za satavljeni štap na slici potrebno je odrediti najve a posmi na naprezanja i potencijalnu energiju deformacija ako su u to ki A zadana glavna naprezanja.
30,0
102
8
8
25
22
21
=
⋅=
−=
=
ν
σ
σ
mm
NE
mm
Nmm
N
kNmNmmI
MI
M
mmmD
I
mmmD
I
A
pACA
p
CA
p
p
4,5104,530
103,208
103,20103,2032
120
32
1002,41002,432
80
32
66
2
21
464644
22
464644
11
=⋅=⋅⋅
=⋅
=→==
⋅=⋅===
⋅=⋅===
−
−
ρτ
ρστ
ππ
ππ
Uvjet ravnotežeTCB MMM =+
Uvjet deformacije
00,24,18,0
0121
=⋅⋅
−⋅⋅
−⋅⋅
→=p
C
p
C
p
TC IG
M
IG
M
IG
Mϕ
kNmMMM
kNmM
I
IM
IIM
IM
CTB
T
p
pC
ppC
pT
10
4,15
0,23,20
02,44,1
8,0
413,50,24,1
8,0
0,24,1
8,0 2
1
12
1
=−==
+=
+=
+=
45
( ) ( )
NmmkNmU
U
IG
M
IG
M
IG
MU
m
kN
mm
NEG
mm
ND
I
M
p
C
p
C
p
B
p
B
198000198,0013,0056,0129,0
103,201077,02
4,14,5
1002,41077,02
2,14,5
1002,41077,02
8,010
2
4,1
2
2,1
2
8,0
1077,01077,03,012
102
12
5,992
80
1002,4
1010
2
68
2
68
2
68
2
2
2
1
2
1
2
28
25
5
26
61
1max
==++=
⋅⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅⋅
⋅+
⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
=
⋅=⋅=+⋅
=+
=
=⋅
⋅==
−−−
ν
τ
46
38. Zadatak
Osovina kružnog popre ena je momentom torzije Mt. Temperatura osovine se promijeni za t. Odrediti smjer i veli inu glavnih naprezanja u to ki C.
C
1,7 m
1,2 m
D
0,5 m
A
B0,8 m
tMt
C
( ) ( )
222422
464644
28
25
5
101,1101,14
120
4
1036,20104,2032
120
32
1077,01077,03,012
102
12
mmmD
A
mmmD
I
m
kN
mm
NEG
p
−
−
⋅=⋅===
⋅=⋅===
⋅=⋅=+⋅
=+
=
ππ
ππ
ν
Uvjet ravnoteže :
( )1KtBA MMM =+
Uvjet deformacije :
( )
kNmMMM
kNml
bMM
IG
bM
IG
lM
AtB
tA
p
t
p
AA
71,4
29,117,1
2,116
20
=−=
===
=⋅⋅
−⋅
⋅= Kϕ
kNmM
mmD
Kt
K
mm
NE
t
t
16
120
30
1025,1
30,0
100,2
15
25
==
+=∆⋅=
=
⋅=
−−α
ν
47
( )
( )
°−=→°−=→−=−
⋅=
−=
+=
±−=⋅+−±−
=+±=
−=⋅
⋅−=−=
=⋅
⋅==
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅∆⋅=⇒⋅⋅
=⋅∆⋅=∆
−
215,1043,2023725,052,74
88,1322
02,77
50,2
76,3926,3788,13452,742
1
2
52,744
2
1
2
52,74101,1
1023,848
88,132
120
1036,20
1071,4
2
23,848101,1102301025,1
22
21
22222,1
24
3
26
6
455
ϕϕϕ
σ
σ
τσσ
σ
σ
τ
αα
tg
mm
Nmm
N
tlakmm
N
A
F
mm
ND
I
M
kNF
AEtFAE
lFltl
C
C
CCCC
C
p
BC
tt
48
39. Zadatak
Za spoj dva vratila odrediti potreban broj vijaka krute spojke. Zanemariti utjecaj spojke na uvijanje.
mR
mmD
mmD
kNmM
kNmM
MPa
mmd
t
t
dop
V
2,02
140
100
15
10
50
12
2
1
2
1
===
==
==
τ
4544
2
4544
1
10771,332
14,0
32
109817,032
1,0
32
mD
II
mD
II
pIVpIII
pIIpI
−
−
⋅====
⋅====
ππ
ππ
Uvjet ravnoteže :
( )100 21 K=−++→=∑ ttBAz MMMMM
Uvjet deformacije :
( )2004
1
K=+++→== ∑=
=IVIIIIII
i
iiAB ϕϕϕϕϕϕ
49
( )
( )( )
( )( ) kNmM
II
IIMIMM
IIII
aGI
MMM
GI
MM
GI
MM
GI
M
A
pIIIpI
pIIIpItpItA
pIVpIIIpIIpI
pIV
ttA
pIII
tA
pII
tA
pI
A
483,4771,39817,02
771,39817,02109817,015
2
2
,
0
2
12
2111
−=+
+⋅−⋅=
+
+−=
==
=⋅
−++
++
++−
→
Torzijski moment u presjeku C :
kNmMMM tAC 517,510483,41 −=−=+=
Zbog djelovanja momenta MC vijci spojke su optere eni na smicanje :
RFnM C ⋅⋅=n – broj vijakaF – posmi na sila koja djeluje na jedan vijakR – krak djelovanja sile F
Potreban broj vijaka u spoju :
vijakanRd
Mn
dF
d
F
A
F
sdopv
C
sdopv
sdop
vvs
1076,91,01050012,0
551744
4
4
622
2
2
=→=⋅⋅⋅⋅
⋅=≥
≤→≤==
ππτ
τπ
τπ
τ
50
40. Zadatak
Sastavljena osovina kružnog popre nog presjeka optere ena je momentom torzije Mt . Odrediti najve a naprezanja u pojedinim dijelovima osovine i potencijalnu energiju deformacije.
mmd
mmD
mmD
mm
NE
kNmM t
64
120
80
3,0
102
15
2
1
5
===
=
⋅=
=
ν
( ) ( )
4644
22
464444
11
103,2032
120
32
104,232
6480
32
mmD
I
mmdD
I
p
p
⋅===
⋅=−
=−
=
ππ
ππ
Uvjet ravnoteže( )10 KtBAz MMMM =+→=∑
Uvjet deformacije
( )
kNmMMM
kNm
III
MM
GI
M
GI
M
GI
M
BtA
pp
ptB
p
B
p
B
p
tA
458,9
54,50,24,1
18,0
200,24,18,0
0
12
1
121
=−=
=+
=
=⋅
−⋅
−⋅
→= Kϕ
( ) ( )
kNmGI
M
GI
M
GI
MUE
m
kN
mm
NEG
mm
ND
I
M
mm
ND
I
M
p
B
p
B
p
Ap
p
A
p
B
307,00137,00996,01936,02
4,1
2
2,1
2
8,0
1077,01077,03,012
102
12
63,1572
80
104,2
10458,9
2
37,162
120
103,20
1054,5
2
2
2
1
2
1
2
28
25
5
26
61
11max
26
62
22max
=++=⋅
+⋅
+⋅
==
⋅=⋅=+⋅
=+
=
=⋅⋅
==
=⋅⋅
==
ν
τ
τ
51
41. Zadatak
Odrediti potrebne dimenzije pojedinih odsje aka te kut uvijanja slobodnog kraja.
MPa
kNmM
kNmM
kNmM
GPaG
mma
dop
t
t
t
60
3
7
4
80
400
3
2
1
====
==
τ
Uvjet ravnoteže :
( )( )
kNmM
kNmMMMM
MMMMM
A
tttA
Atttz
6
64731
100
123
321
==−+=−+=→
=+−−→=∑ K
Vrijednost momenata torzije na pojedinim odsje cima :
kNmMMMM
kNmMMM
kNmMM
tttIII
ttII
tI
6374
374
4
321
21
1
−=−−=−−=−=−=−=
==
Kriterij vrsto e :
33
16,,,,
16
dop
iidop
i
i
pi
ii
MDIVIIIIIIi
d
M
W
M
πττ
πτ ≥→=≤==
52
Dimenzioniranje :
mmDmM
D
mmDmM
D
mmDmM
D
IIIdop
IIIIII
IIdop
IIII
Idop
II
800798,01060
1061616
640634,01060
1031616
700698,01060
1041616
36
3
3
36
3
3
36
3
3
=→=⋅⋅⋅⋅
=≥
=→=⋅⋅⋅⋅
=≥
=→=⋅⋅⋅⋅
=≥
ππτ
ππτ
ππτ
Kutevi uvijanja :
( )
( )rad
DG
aM
IG
aM
radDG
aM
IG
aM
radDG
aM
IG
aM
III
III
IIIp
IIIABIII
II
II
IIp
IIBCII
I
I
Ip
ICDI
349
3
4
349
3
4
349
3
4
1046,708,01080
4,01063232
1007,9064,01080
4,01033232
1099,1607,01080
4,010464642
−
−
−
⋅−=⋅⋅⋅
⋅⋅−⋅=
⋅
⋅=
⋅⋅
==
⋅−=⋅⋅⋅
⋅⋅−⋅=
⋅
⋅=
⋅⋅
==
⋅=⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅
=⋅⋅
==
ππϕϕ
ππϕϕ
ππϕϕ
Kut uvijanja slobodnog kraja nosa
( ) radIIIIIIADuk33 1046,01046,707,999,16 −− ⋅=⋅−−=++== ϕϕϕϕϕ
53
42. Zadatak
Za nosa oblika I-profila odrediti dimenzije popre nog presjeka prema maksimalnim normalnim i tangencijalnim naprezanjima.
MPa
MPa
tb
thm
kNq
kNF
dop
dop
60
120
8
20
2
4
=
===
=
=
τ
σ
Reakcije oslonaca :
( )
kNqFFF
kNqFF
qFFM
qFFFF
AAy
B
BA
BAyy
6,63
4,35,425
1
05,13250
030
=+==
=+=
=⋅⋅−⋅−⋅→=∑
=⋅++−−→=∑
54
Momenti savijanja :
kNmFM
kNmqFMM
Bx
Ayl
xx
8,62
2,9122
2
11
=⋅=
=⋅⋅−⋅==
Ekstremni momenti savijanja na udaljenosti z od oslonca A :
( )
( ) ( )
mq
FFzFqzF
dz
dM
zFqzzFzM
mz
mq
FzqzF
dz
dM
qzzFz
qzzFzM
mz
AyAy
x
Ayx
AyAy
x
AyAyx
3,10
22
1
32
3,30
2
1
2
20
2
2
=−
=→=−−=
−−−=
=
==→=−=
−=−=
=
K
K
Iz dijagrama D(M) i D(Q) je vidljivo da se maksimalni moment savijanja javlja u presjeku 1, dok se maksimalna popre sila javlja u presjeku A
kNQQ
kNmMM
yAy
xx
6,6
2,9
max
1max
====
Aksijalni moment površine drugog reda i moment otpora
( ) ( )
34
max
433
09,221
2
2432
243212
207
12
228
tt
ht
y
IW
ttttt
I
xx
x
=
+
==
=⋅
−⋅
=
55
Iz kriterija vrsto e za maksimalna normalna i posmi na naprezanja :
mQ
t
tt
Q
tt
ht
hthbt
b
S
b
S
I
Q
mM
t
t
M
W
M
dop
y
dopy
zy
x
dopx
x
yzy
dop
x
dopx
x
xz
3max
24
maxmax
2
max
max
maxmax
33
max
3maxmax
max
1046,22432
134
1342432
134422
1003,709,221
09,221
−
−
⋅=≥
≤=
=+
+
=
≤
=
⋅=⋅
≥
≤==
τ
ττ
ττ
σ
σσ
Zaklju uje se da je za dimenzioniranje mjerodavan kriterij maksimalnih normalnih naprezanja i usvaja se :
461018,6,8,568,14220,1,7 mmImmtbmmthmmt x−⋅======
Provjera naprezanja u presjecima 1 i 2 :
MPaMPab
S
I
Q
MPaMPayI
M
kNQ
kNmM
MPaMPab
S
I
Q
MPaMPayI
M
kNQ
kNmM
dopx
x
mjyzymj
dopmjx
mjxmjz
mjy
mjx
dopx
x
mjyzymj
dopmjx
mjxmjz
mjy
mjx
60026,00071,0841018,6
3400
12094,850781,01018,6
6800
4,3
8,6
60051,00071,01341018,6
6600
12026,1160781,01018,6
9200
6,2
2,9
36
max
2
6
22
1
2
36
max
1
6
11
1
1
=≤=⋅⋅⋅
=
=
=≤=⋅⋅
==
=
=
=≤=⋅⋅⋅
=
=
=≤=⋅⋅
==
=
=
−
−
−
−
ττ
σσ
ττ
σσ
56
Dijagrami naprezanja :
57
43. Zadatak
Za nosa zadan i optere en prema slici potrebno je: a) odrediti reakcije u osloncima b) skicirati dijagrame popre nih sila i momenta savijanja c) dimenzionirati nosa ( t zaokružiti na prvi ve i cijeli broj u milimetrima ) d) u presjeku x skicirati raspodjelu normalnog i tangencijalnog naprezanja po visini
presjekaa = 2.2 m b = 1.8 m c = 1.2 m x = a / 2 F = 8 kN q = 7 kN/m σDOP = 180 Mpa
58
a) reakcije u osloncima
b) dijagram popre nih sila i momenta savijanja
I. podru je: 0 m <x < 2.2 m
59
II. podru je: 2.2 m < x < 4 m
60
Mmax = 5.488 kNm Mmin = -9.6 kNm
Najve i moment po apsolutnoj vrijednosti je u to ki x = 4 m i iznosi My = - 9.6 kNm . Stoga treba dimenzionirati nosa za iznos momenta |My| = 9.6 kNm !
61
c) dimenzioniranje nosa a
-
- moment tromosti presjeka
62
d) raspodjela normalnog i tangencijalnog naprezanja u presjeku za x = 1.1 m
- normalno naprezanje
63
- tangencijalno naprezanje
64
44. Zadatak
Za nosa sa slike odrediti dimenzije popre nog presjeka ako je on:a) kružnog oblikab) pravokutnog oblikac) oblika I-profila
prema uvjetu maksimalnih normalnih naprezanja.Za I-profil napraviti kontrolu dobivenih dimenzija prema kriteriju dopuštenih tangencijalnih naprezanja.
Reakcije oslonaca :
kNF
kNFF
MqFFM
qFFFF
B
AAy
BA
BAyy
5,112
5,12
024140
040
=
−==
=+⋅⋅−⋅−⋅→=∑
=⋅++−−→=∑
Momenti savijanja :
kNmFM
kNmqFMM
Bx
Ayl
xx
8,62
2,9122
2
11
=⋅=
=⋅⋅+⋅==
MPa
MPa
tb
thm
kNq
kNF
dop
dop
60
120
8
20
2
4
=
===
=
=
τ
σ
65
Maksimalni moment savijanja na udaljenosti z od oslonca B :
( )
kNmM
mq
FzqzF
dz
dM
qzzFzM
BB
x
Bx
56,1262
25,225,25025,25,112
25,20
2
1
max
2
=⋅⋅−⋅=
==→=−=
−=
Moment savijanja u to ki A :
kNmFM xA 1001 =⋅=
Za dimenzioniranje prema najve im normalnim naprezanjima koristi se maksimalni moment savijanja :
kNmMM x 56,1261max ==
Za kontrolu dimenzija prema dopuštenim tangencijalnim naprezanjima koristi se vrijednost popre ne sile :
kNFQQ ByBy 5,112max ===
a) kružni popre ni presjek
mmDUSVOJENO
mmD
MD
DMW
dop
x
dop
xx
235
47,234
100
1056,1263232
323
6
3max
3max
min
=→≥
⋅⋅=≥→=≥
ππσπ
σ
b) pravokutni popre ni presjek
mmbmmhUSVOJENO
mmh
Mh
MhbhW
dop
x
dop
xx
124,248
6,247
100
1056,1261212
1263
6
3maxmax
32
==→≥
⋅⋅=≥→≥==
σσ
66
c) popre ni presjek oblika I-profila
( ) ( )
mmbmmthmmtUSVOJENO
mmt
Mt
Mt
t
t
y
IW
ttttt
I
dop
x
dop
xxx
x
160,40025,16
39,15
1009,346
1056,126
9,3469,346
5,13
8,4683
8,468312
259
12
2710
3
6
3maxmax3
4
max
433
====→≥
⋅⋅
=≥→≥===
=−=
σσ
Provjera dimenzija prema dopuštenom tangencijalnom naprezanju :
22max
244
3
max
2
max
max
maxmax
6053,19
53280163,4683
105,112
53280422
mm
N
mm
N
mmmm
N
mmt
ht
hthbt
b
S
b
S
I
Q
dopzy
zy
x
dopx
x
yzy
=<=
⋅⋅⋅
=
=+
+
=
≤
=
ττ
τ
ττ
67
45. Zadatak
Za zadani nosa i optere enje odrediti maksimalna normalna i posmi na naprezanja u visini osi “z“te smjer i veli inu glavnih naprezanja u to ki 3 popre nog presjeka nad ležajem B.
Položaj težišta popre nog presjeka nosa a :
( )5,52;30),(
5,522400
126000
60102
601026020
306010402
60102706020
TyxT
cmA
yAy
TT
i
iiT
=
==⋅+
⋅
+⋅
⋅⋅+⋅
⋅
+⋅⋅=
∑∑
=
Moment površine drugog reda :
( )( ) ( )
4844
2323
23
2333
2222
2111
105,110105,110
5,5230601012
60105,5260
3
2
2
6010
36
601025,52702060
12
2060
2
mmcmI
I
yAIyAIyAII
z
z
zzzz
⋅=⋅=
−⋅⋅+⋅
+
−⋅
⋅+
⋅+−⋅⋅+
⋅=
+++++=
Reakcije i unutarnje sile :
kNFFqbFF
bqFFFF
kNFa
bqFa
F
bbqaFaFaFM
BAB
BAy
AA
AB
2507034010022
020
7023
2
34021003
32
3
02
230
22
=→−⋅+⋅=−+=
=⋅−−+→=∑
=→⋅
−⋅⋅=
−=
=⋅⋅+⋅−⋅−⋅→=∑
68
max
1
1802
3340
2
140270
MkNmb
bqM
kNmaFM
B
A
=−=⋅⋅−=⋅⋅−=
=⋅=⋅=
kNT
kNmM
130
180
max
max
−=−=
Maksimalno normalno naprezanje :
( )
( )28
6
2max
1
28
6
1max
1
55,8105,52105,110
10180
48,4105,5280105,110
10180
mm
Ny
I
M
mm
Ny
I
M
z
d
z
g
−=⋅⋅
⋅−==
+=⋅−⋅
⋅+==
σ
σ
69
Posmi :
28
63max
363
933,0275105,110
1082,2110130
2755,271075,82102
75,860
105,52
60
10
5,52
8210,21218203
5,52
2
5,5275,82
2
5,525,5210
mm
N
bI
ST
mmcmxb
cmxx
mmcmS
z
zz
z
=⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅
=
==+⋅=+=
=⋅
=→=
==
⋅
+⋅⋅=
τ
Glavna naprezanja i njihov smjer u to ki 3 :
( )
( )
( )
( )
( )
°=→°=→=⋅
=
−=
+=
±=⋅+±=+±=
+=⋅−⋅
⋅+==
=⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅
=
⋅==−⋅⋅=
67,2635,53234,122,1
82,022
412,0
632,1
022,161,082,0422,12
1
2
22,14
2
1
2
22,1105,5260105,110
10180
82,0300105,110
102110130
1021210005,52706020
2
32
2
31
222232,1
28
6
3max
3
28
63max
3
3633
ϕϕϕ
σ
σ
τσσσ
σ
τ
tg
mm
Nmm
N
mm
Ny
I
M
mm
N
bI
ST
mmcmS
z
z
z
z
70
46. Zadatak
Koriste i analiti ki postupak odre ivanja elasti ne linije nosa a odrediti kut zaokreta u to kama D i F te progib u to ki E.
mdc
mb
ma
1
2
5
====
Ekvivalentni sustav
Reakcije u osloncima
kNFFFPqFF
kNFFFPqM
kNP
FPFM
ACFAz
CFCA
FFd
D
11070
845
42009585,370
252
50
20120
=→=++−⋅−→=∑
==→=⋅−⋅−⋅+⋅⋅→=∑
===→=⋅−⋅→=∑
25108
50
10
NmEI
kNPm
kNq
y ⋅=
=
=
71
Momenti savijanja na pojedinim segmentima :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )82
75
2
2
75
2
52
20
22
22
2
2
−⋅−−
⋅+−⋅+⋅−⋅=→+++≤≤++
−⋅+−⋅+⋅−⋅=→++≤≤+
−⋅+⋅−⋅=→+≤≤
⋅−⋅=→≤≤
xPx
qxFx
qxFxMdcbaxcbaIV
xqxF
xqxFxMcbaxbaIII
xFx
qxFxMbaxaII
xqxFxMaxI
CA
CA
CA
A
Iz diferencijalne jednadžbe elasti ne linije nosa a slijedi za moment savijanja :
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )82
75
2
2
75
2
52
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−⋅+−
⋅−−⋅−⋅+⋅−=
−⋅−−⋅−⋅+⋅−=
−⋅−⋅+⋅−=
⋅+⋅−=
−=
xPx
qxFx
qxFdx
wdEIIV
xqxF
xqxF
dx
wdEIIII
xFx
qxFdx
wdEIII
xqxF
dx
wdEII
xMdx
wdEI
CA
CA
CA
A
Za kut zaokreta :
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )4
23232
3
3232
2
232
1
32
2
8
6
7
2
5
62
6
7
2
5
62
2
5
62
62
Cx
Px
qx
Fx
qx
Fdx
dwEIIV
Cx
qx
Fx
qx
Fdx
dwEIIII
Cx
Fx
qx
Fdx
dwEIII
Cx
qx
Fdx
dwEII
CA
CA
CA
A
+−
⋅+−
⋅−−
⋅−⋅+⋅−=
+−
⋅−−
⋅−⋅+⋅−=
+−
⋅−⋅+⋅−=
+⋅+⋅−=
Za progib nosa :
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )44
34343
33
4343
22
343
11
43
6
8
24
7
6
5
246
24
7
6
5
246
6
5
246
246
DxCx
Px
qx
Fx
qx
FEIwIV
DxCx
qx
Fx
qx
FEIwIII
DxCx
Fx
qx
FEIwII
DxCx
qx
FEIwI
CA
CA
CA
A
+⋅+−
⋅+−
⋅−−
⋅−⋅+⋅−=
+⋅+−
⋅−−
⋅−⋅+⋅−=
+⋅+−
⋅−⋅+⋅−=
+⋅+⋅+⋅−=
72
Uvjeti kompatibilnosti deformacija :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 434433
3322
21
43
21
88
177
DDDCDCcbawcbaw
DCDCbawbaw
DDawaw
CCcbacba
CCaa
IVIII
IIIII
III
IVIII
III
=→+⋅=+⋅→++=++
+⋅=+⋅→+=+
=→=
=→++=++
=→=
K
ϕϕ
ϕϕ
Rubni uvjeti :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
34
34
4444
44
44
34343
211
43
121
31,1563
58,22923
3775,4370725,61
209917,502
096
8950
24
7910
6
5984
24
910
6
91109
25,60524
510
6
51105
0000
DD
CC
CDDC
DC
DCxwlw
CCCxwaw
DDDw
IV
I
==
=−=⇒→
⋅−−=→+⋅=+⋅−⇒
=+⋅+
=+⋅+−
⋅+−
⋅−−
⋅−⋅+⋅−→===
=−=→=⋅++−→===
==→=→=
K
K
Progib u to ki E :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
mmmw
w
DxCx
qx
Fx
qx
FEI
xwxww
E
E
CAy
IVIIIE
53,141053,14
31,1563858,22924
7810
6
5884
24
810
6
811
108
10
24
7
6
5
246
188
3
4343
6
3
33
4343
=⋅=
+⋅−
−⋅−
−⋅−⋅+⋅−
⋅=
+⋅+
−⋅−
−⋅−⋅+⋅−=====
−
Kut zaokreta u to ki F :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
radrad
Cx
Px
qx
Fx
qx
FEI
x
F
F
CAy
IVF
01505,01005,15
58,2292
8950
6
7910
2
5984
6
910
2
911
108
10
2
8
6
7
2
5
62
19
3
23232
6
3
4
23232
−=⋅−=
−
−⋅+
−⋅−
−⋅−⋅+⋅−
⋅=
+
−⋅+
−⋅−
−⋅−⋅+⋅−===
−ϕ
ϕ
ϕϕ
73
Kut zaokreta u to ki D :
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
rad
rad
radrad
Cx
qx
Fx
qx
FEI
Cx
Fx
qx
FEI
xx
D
dD
dD
lD
lD
CAy
dD
CAy
lD
IIIIIdD
lDD
00406,001193,001599,0
01193,01093,11
58,2296
7710
2
5784
6
710
2
711
108
10
01599,01099,15
25,62
5784
6
710
2
711
108
10
6
7
2
5
62
1
2
5
62
1
77
3
3232
6
3
3
232
6
3
3
3232
2
232
=−=
−=⋅−=
−
−⋅−
−⋅−⋅+⋅−
⋅=
=⋅=
−
−⋅−⋅+⋅−
⋅=
+
−⋅−
−⋅−⋅+⋅−=
+
−⋅−⋅+⋅−=
=+==+=
−
−
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
74
47. Zadatak
Odrediti to
mcma
ml
kNF
2,020
5
10
====
( )
422'
42
232
23
'
42
232
23
'
2
22
2
22
22
3
1
6
5
6
7
2
320
6
5
26
7
20
12
11
6
52
12
2
6
5
212
12
11
6
7
2
32
12
2
6
7
212
6
7
32
32
2
6
5
3
22
32
aaaaaaaa
aa
aI
aaaaaa
aa
aaa
I
aaaaaa
aa
aaa
I
aa
aaa
az
aa
aaa
ay
aaaaA
yz
z
y
T
T
=
−⋅
−⋅++
−⋅
−⋅+=
=
−⋅+
⋅+
−⋅+
⋅=
=
−⋅+
⋅+
−⋅+
⋅=
=⋅+⋅
=
=⋅+⋅
=
=+⋅=
Glavne osi momenata površine drugog reda :
( ) ( ) ( )
0
12
7
3
1
12
11
4
5
3
1
12
11
3
1
12
11
3
12
2
1
12
112
2
14
2
1
2
1
4590203
12
12
11
12
113
122
2
442
441
4442'2''''2,1
4
44
4
''
'
=
==
−=
==
+=
±=⋅±⋅⋅=+−±+=
°=→°=→∞=⋅
−=−
⋅−=
−−=
yz
z
y
yzzyzy
zy
yz
I
IaaI
IaaI
aaaIIIIII
a
aa
a
II
Itg ααα
75
Položaj neutralne osi :
°−=→−=−=°−=−= 6514286,27
1545
12
74
5
4
4
ϕαϕ tga
atg
I
Itg
z
y
Ekstremna naprezanja su u to kama B i D :
MPa
a
Fl
a
Fl
a
a
a
aFly
Iz
IM
MPa
a
Fl
a
Fl
a
a
a
aFly
Iz
IM
D
Dz
Dy
D
B
Bz
By
B
78,6
2,0
51010
35
38
35
38
7
2
5
4
12
76
2
4
52
2
245sin45cos
21,3
2,0
51010
35
18
35
18
7
2
5
4
12
76
2
4
52
2
245sin45cos
3
3
3344
3
3
3344
=
⋅⋅==
+=
+=
°+
°=
−=
⋅⋅−=−=
+−=
+−
=
°+
°=
σ
σ
σ
σ
aaaaay
aaaaaz
aaaaay
aaaaaz
D
D
B
B
6
2
2
2
6
5
2
2
6
745sin
6
545cos
6
7
22
2
6
7
2
2
6
545sin
6
745cos
6
5
6
2
2
2
6
7
2
2
6
545sin
6
745cos
6
5
22
2
6
5
2
2
6
745sin
6
545cos
6
7
=−=°−°=
=+=°+°=
=+−
=°−
−°−
=
−=−
+−
=°−
+°−
=
76
48. Zadatak
Za zadani tankostijeni presjek prikazan na slici potrebno je odrediti središte posmika u odnosu na to ku A.
mmx 8,1425sin35 =°⋅=
77
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
TT
yy
I
Tdyty
tI
TT
mmS
tytI
TSS
tI
T
bI
ST
TT
zz
I
tTdz
zz
I
tTdzt
zz
I
TT
zz
I
Tztz
tI
T
bI
ST
mmI
I
yy
y
yyy
yy
y
xy
yyy
yyy
y
xz
y
y
⋅=
+=⋅⋅+
⋅=
=+⋅⋅=
⋅⋅+⋅
=+⋅
=⋅
⋅=
⋅=
+
⋅=⋅
+
⋅=⋅⋅
+=
+=
+⋅⋅⋅
=⋅
⋅=
⋅=
⋅⋅+
⋅+⋅⋅+
⋅+
−⋅⋅+
⋅=
∫
∫∫
184,0
21495,16721495,1672
5,16722/158,14155
8,295,1672
0324,0
628,14
28,14
28,14
28,14
28,14
104364,3
2
8,148,145
12
8,1458,29520
12
5205,78,29155
12
15522
2
20
0
22
22
20
0
22
31
221
2
2
1
15
0
31
21
15
0
1
21
11
21
1
15
0
1
21
11
1
1
1
45
232
32
3
τ
τ
( )
( ) ( )
mme
TTTeT
TTTeT
TT
zzz
I
Tdzt
zz
tI
TT
mmS
zz
tI
T
ztz
tI
TSSS
tI
T
bI
ST
yy
y
y
yyyy
yy
yxz
203,1
234,072,31177,06,590311,044,103
25cos3528,29225cos35202
244,0
65
21495,4652
251495,4652
29808,29205
251495,4652
28,2929805,1672
321
3
15
0
33
23
333
3
15
0
3
32
33
33321
33
−=⋅−⋅+⋅=⋅
°⋅⋅⋅−⋅⋅+°⋅+⋅⋅=⋅
⋅=
−+=⋅⋅
−+
⋅=
=⋅⋅=
−+
⋅=
=
−⋅⋅++
⋅=++
⋅=
⋅
⋅=
∫
τ
78
49. Zadatak
Za zadani nosa i optere enje odrediti mjerodavan koeficijent sigurnosti prema teoriji najve ih normalnih naprezanja u to kama 1 i 2 presjeka I-I ako je zadano kriti no naprezanje materijala
K.
kNRPqRR
F
kNRRPqq
M
kNHRHR
F
AyBAy
y
BB
A
AxAx
x
375,4905,2
:0
125,18035,12
5,1
2
11
:0
250
:0
2
=⇒=−⋅−+
=Σ
=⇒=⋅−⋅+⋅+⋅⋅−
=Σ
==⇒=−=Σ
Presjek I – I :
kNmM
kNT
kNN
1875,27
125,18
25
=−=−=
( ) ( ) ( )46
23
23
23
2
1083,5
102,66204012
2040608,6310010
12
1001058,631070
12
1070
2500
8,632500
159500
4020100107010
1204020601001057010
mmI
I
mmA
mmyy
y
y
TT
⋅=
−⋅⋅+⋅
+−⋅⋅+⋅
+−⋅⋅+⋅
=
=
=⇒=⋅+⋅+⋅
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
( ) ( ) 33maxmax
33max
6
maxmax
106,552
202,6610202,66102,662040
101,882,66
1083,5
mmSS
mmWz
IW
yy
yy
y
⋅=⇒−
⋅⋅−+−⋅⋅=
⋅=⇒⋅
==
MPa
mkNq
kNH
kNP
K 320
/15
25
30
====
σ
40
20
100
10
130
2
1T
z
y
70 mm
30 10 30
79
To ka 1 :
MPamm
N
bI
ST
MPamm
N
A
N
xzy
yxz
xx
29,1729,17101083,5
106,5510125,18
10102500
1025
1
26
33max1
1
2
31
=⇒=⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅
⋅=
−=⇒−=⋅−
==
ττ
σσ
To ka 2 :
0
00401083,5
010125,18
6,3186,318106,30810101,88
101875,27
2500
1025
2
2
6
322
2
23
632
=
=⇒=⋅⋅
⋅⋅=
⋅
⋅=
−=⇒−=−−=−⋅
⋅−=
⋅−=+=
y
xzy
yxz
xy
x
S
bI
ST
MPamm
N
A
N
W
M
ττ
σσ
Provjera po teoriji najve ih normalnih naprezanja (1. teorija vrsto e) :
To ka 1 :
( ) ( )( ) ( ) ( )
6,2413
320
00,1329,174105,0105,0
45,05,0
11
1
1221
212111
=⇒==
=⇒⋅+−⋅+−⋅=
⋅+⋅+⋅=
kk
MPa
ek
K
ekek
xzxxek
σσ
σσ
τσσσ
To ka 2 :
( ) ( )( ) ( ) ( )
0,16,318
320
6,318046,3185,06,3185,0
45,05,0
22
2
21221
222222
=⇒==
−==⇒⋅+−⋅+−⋅=
⋅+⋅+⋅=
kk
MPa
ek
K
xekek
xzxxek
σσ
σσσ
τσσσ
80
AB
x
1,0 m 1,5 m1,5 m
C D
P
z
H
4,0 m
qI
I
- D(N)
D(T)
D(M)
-+
-
+ +
-
-25
-15
34,375
-18,125
11,875
-7,5
27,1875