MATEMATIKA
Matematika je formalna i egzaktna nauka koja je nastala izučavanjem figura i
računanjem brojevima. Iako ne postoji opšteprihvaćena definicija matematike, pod
matematikom se u širem smislu podrazumeva nauka o količini (aritmetika), strukturi
(algebra), prostoru (geometrija) i promeni (analiza). Matematika se razvila iz potrebe
da se obavljaju proračuni u trgovini, vrše merenja zemljišta i predviđaju astronomski
događaji. Ove tri početne primene matematike se mogu dovesti u vezu sa grubom
podelom matematike na izučavanje strukture, prostora i promena. U današnje vreme
matematika uglavnom proučava i opisuje osobine struktura koje sama stvara ili koje
potiču iz drugih nauka, a najčešće iz fizike.
Istorija matematike
Sve do kraja XVI veka glavne grane matematike bile su geometrija i aritmetika. U XVI
veku je započeo razvoj algebre, a u XVII je stvaranje diferencijalnog i integralnog
računa označilo početak intenzivnog razvoja analize. Nastale teorije diferencijalnih
jednačina postale su važno sredstvo u ispitivanju zakona prirode u klasičnoj i
nebeskoj mehanici. Pojavom neeuklidskih geometrija, matematičke logike i teorije
skupova u XIX veku započeta je kritička revizija do tada izgrađenih matematičkih
teorija, što je bitno uticalo na karakter, metode i načine daljeg razvoja matematike. U
XX veku, postojeće oblasti su se proširile, a razvijene su i nove oblasti, kao što su
teorija verovatnoće, statistika, topologija, apstraktna algebra i druge.
Oblasti proučavanja
1) Aritmetika – bavi se proučavanjem brojeva. Njihovim proučavanjem je započeto i
proučavanje struktura. Od svih skupova brojeva, najpre su formirani i proučavani
prirodni brojevi, a zatim celi brojevi. Nakon toga formirani su realni brojevi, kao
brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine. Kasnije je, zbog matematičkih razloga,
uveden koncept kompleksnih brojeva.
2) Algebra – bavi se proučavanjem matematičkih struktura, a obuhvata:
kombinatoriku, teoriju brojeva, teoriju grupa, teoriju grafova, teoriju nizova, linearnu i
osnovnu algebru. Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definisana u osnovnoj
algebri, a dodatna svojstva celih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje
metoda za rešavanje jednačina dovelo je do razvoja apstraktne algebre, koja
prvenstveno izučava prstenove i polja, tj. strukture koje generalizuju osobine koje
poseduju brojevi. Važan fizički koncept vektora izučava se u linearnoj algebri. Radi
pojašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijene su oblasti teorija skupova,
matematička logika i teorija modela.
3) Geometrija – izučavanje prostora započelo je geometrijom, koja obuhvata:
osnovnu, diferencijalnu, algebarsku i fraktalnu geometriju, trigonometriju, topologiju i
teoriju mera. Najpre je nastala euklidska geometrija i trigonometrija u pojmljivom
trodimenzionalnom prostoru koja se kasnije proširila na neeuklidske geometrije, koje
imaju centralnu ulogu u opštoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna
geometrija i algebarska geometrija.
4) Analiza – bavi se proučavanjem beskonačno malih promena, a obuhvata:
osnovnu, vektorsku, diferencijalnu i kompleksnu analizu, dinamičke sisteme i teoriju
haosa. Teorija diferencijalnog računa je razvijena iz potreba prirodnih nauka za
razumevanjem i opisivanjem promena koje se izvrše kod merljivih varijabli. Centralni
koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su
vodili uspostavljanju veze između vrednosti i količine izmene. Metode koje su
razvijene za opisivanje i proučavanje ovakvih problema se izučavaju u teoriji
diferencijalnih jednačina. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni
brojevi i detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet matematičke
analize. Zbog matematičkih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva koji se
izučavaju u kompleksnoj analizi.
Primenjena matematika
Primenjena matematika koristi saznanja iz matematike kako bi došla do rešenja
stvarnih problema. Ona obuhvata:
– matematičku fiziku,
– dinamiku fluida,
– numeričku analizu,
– optimizaciju,
– teoriju verovatnoće,
– statistiku,
– kriptografiju,
– finansijsku matematiku,
– teoriju igara,
– matematičku biologiju,
– matematičku hemiju,
– matematičku ekonomiju,
– teoriju kontrole.
U važnije oblasti primenjene matematike spadaju verovatnoća i statistika, koje se
bave izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava.
Brojevni sistem je formalni matematički sistem za prikazivanje brojeva. On
omogućava predstavljanje brojeva pomoću skupa simbola i pravila njihovog
kombinovanja. Osnovna podela brojevnih sistema je na:
– nepozicione,
– pozicione.
Nepozicioni brojevni sistem se sastoji od skupa simbola koji se nazivaju cifre. Kod
ovog brojevnog sistema, vrednost cifre ne zavisi od pozicije na kojoj se ona nalazi u
zapisu broja već samo od njene sopstvene vrednosti. To znači da simbol koji
označava broj uvek ima istu vrednost, nezavisno od toga gde se nalazi u zapisu
broja.
Primer nepozicionog brojevnog sistema su rimski brojevi, koji se zapisuju pomoću
sedam cifara: I, V, X, L, C, D, M. Vrednost zapisa broja računa se tako što se cifre
jednostavno saberu. Jedini izuzetak je kad se manja cifra nalazi ispred veće, i tada
se ona od te veće oduzima, a umesto te dve cifre u krajnji zbir ulazi rezultat tog
oduzimanja.
Primeri:
– MCI = 1000 + 100 + 1 = 1101,
– MMCCII = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 1 + 1 = 2202.
Nezavisno od pozicije, M je uvek 1000, C je uvek 100, a I je uvek 1.
Pozicioni brojevni sistem se sastoji od baze i skupa simbola koji se nazivaju cifre.
Ukupan broj simbola za zapisivanje brojeva u svakom pozicionom brojevnom
sistemu jednak je vrednosti baze. Kod ovog brojevnog sistema, cifre imaju različitu
vrednost u zavisnosti od pozicije na kojoj se nalaze u zapisu broja (cifre su različite
težine, tj. imaju različit udeo u vrednosti samog broja). Vrednost cifre u zapisu broja
jednaka je proizvodu njene sopstvene vrednosti i vrednosti pozicije na kojoj se ta
cifra nalazi u zapisu broja. Vrednost broja dobija se tako što se saberu vrednosti svih
cifara u njegovom zapisu.
U pozicione brojevne sisteme spadaju:
– dekadni sistem (baza 10),
– binarni sistem (baza 2),
– oktalni sistem (baza 8)
– heksadekadni sistem (baza 16).
Primeri:
– 22,
– 2202.
U dekadnom sistemu, cifra 2 ima vrednost 2, ali i 20, 200 i 2000, zavisno od pozicije
na kojoj se nalazi u zapisu broja.
DEKADNI SISTEM
Dekadni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa bazom 10 u kojem se zapis
sastoji od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Negativni brojevi se označavaju
predznakom “−”, dok se predznak “+” za pozitivne brojeve obično izostavlja. Brojevi
mogu da sadrže nulu (0) kao čuvara mesta u svom zapisu, ali ona nema nikakvu
vrednost. Svaki broj se može predstaviti kao zbir eksponenata broja 10, na primer:
– 569 = 5 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 9 ∙ 100 = 500 + 60 + 9 = 569,
– 8724 = 8 ∙ 103 + 7 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 4 ∙ 100 = 8000 + 700 + 20 + 4 = 8724.
Mesna vrednost je vrednost cifre u zavisnosti od njenog mesta u nekom broju. To
znači da se prvobitna vrednost cifre množi brojem 10 za svaku poziciju levo od
poslednje cifre u zapisu broja. Na primer, za broj 8724 mesna vrednost cifara je:
– cifra 4 se nalazi na prvoj poziciji (na mestu jedinica), pa je njena mesna vrednost 4,
– cifra 2 se nalazi na drugoj poziciji (na mestu desetica), zbog čega se njena
vrednost množi brojem 10, pa je njena mesna vrednost 20,
– cifra 7 se nalazi na trećoj poziciji (na mestu stotina), zbog čega se njena vrednost
množi brojem 100, pa je njena mesna vrednost 700,
– cifra 8 se nalazi na četvrtoj poziciji (na mestu hiljada), zbog čega se njena vrednost
množi brojem 1000, pa je njena mesna vrednost 8000.
Decimalni zarez označava početak razlomljenog dela broja. U zapisu brojeva bez
razlomljenog dela, odnosno celih brojeva, decimalni zarez se izostavlja. Razlomljeni
deo se koristi za zapisivanje veličina manjih od 1, a većih od 0. Deseti deo jedinice
piše se 0,1, stoti deo 0,01, hiljaditi deo 0,001 itd. Dakle, za svaku poziciju desno od
decimalnog zareza nominalna vrednost cifre se deli brojm 10. Tako, na primer, broj
0,008 predstavlja osam hiljaditih delova jedinične vrednosti.
Kako se u svakodnevnom životu koristi dekadni brojevni sistem, često se u
informatici javlja potreba za pretvaranjem brojeva iz dekadnog u neki drugi pozicioni
brojevni sistem i obrnuto. Prevođenje brojeva iz dekadnog u neki drugi brojevni
sistem vrši se tako što se dati broj deli brojem koji predstavlja bazu brojevnog
sistema u koji se prevodi dati broj. Deljenje se vrši sve dok količnik ne bude jednak
nuli (0), a zatim se ostaci deljenja zapisuju unazad, tj. suprotnim redosledom od onog
kojim su dobijeni. Tako se dobija zapis datog broja u odgovarajućem brojevnom
sistemu.
Dekadni brojevni sistem razvili su Indusi i Arapi, pa se nekad naziva indo-arapski
brojevni sistem. Ovaj sistem je najrasprostranjeniji sistem za zapisivanje brojeva na
svetu.
BINARNI SISTEM
Binarni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa bazom 2 u kojem se zapis
sastoji samo od dve cifre: 0 i 1. To znači da se svaki broj može predstaviti kao zbir
eksponenata broja 2. Koncept ovog brojevnog sistema omogućen je tek sa
uvođenjem pojma nule u sistemu arapskih cifara. Binarni sistem je, zbog
jednostavnosti primene u elektronskim kolima, svoju glavnu praktičnu upotrebu
našao u računarstvu. Gotovo svi moderni računari koriste binarnu logiku, tj. podatke
zapisuju i interpretiraju u obliku nula i jedinica.
Prevođenje brojeva iz dekadnog u binarni sistem
Da bi se broj preveo iz dekadnog u binarni sistem potrebno je izvršiti jednostavan
postupak deljenja brojem 2. Ostaci pri deljenju se zapisuju, a postupak se nastavlja
sve dok količnik ne bude jednak nuli.
Primeri:
a) prevođenje broja 11:
– prvo se broj 11 deli brojem 2:
11 : 2 = 5, i ostatak 1,
– ostatak se zapisuje sa strane (1), a količnik (5) se deli brojem 2:
5 : 2 = 2, i ostatak 1,
– ostatak se zapisuje sa strane (1), a količnik (2) se deli brojem 2:
2 : 2 = 1, i ostatak 0,
– ostatak se zapisuje sa strane (0), a količnik (1) se deli brojem 2:
1 : 2 = 0, i ostatak 1.
Zatim treba zapisati sve ostatke, ali suprotnim redosledom od onog kojim su dobijeni
(odozdo ka gore) – 1011. I to je broj 11 zapisan u binarnom sistemu.
b) prevođenje broja 53:
– prvo se broj 53 deli brojem 2:
53 : 2 = 26, i ostatak 1,
– ostatak se zapisuje sa strane (1), a količnik (26) se deli brojem 2:
26 : 2 = 13, i ostatak 0,
– ostatak se zapisuje sa strane (0), a količnik (13) se deli brojem 2:
13 : 2 = 6, i ostatak 1,
– ostatak se zapisuje sa strane (1), a količnik (6) se deli brojem 2:
6 : 2 = 3, i ostatak 0,
– ostatak se zapisuje sa strane (0), a količnik (3) se deli brojem 2:
3 : 2 = 1, i ostatak 1,
– ostatak se zapisuje sa strane (1), a količnik (1) se deli brojem 2:
1 : 2 = 0, i ostatak 1.
Zatim treba zapisati sve ostatke, ali suprotnim redosledom od onog kojim su dobijeni
– 110101. I to je broj 53 zapisan u binarnom sistemu.
c) prevođenje broja 217:
– prvo se broj 217 deli brojem 2:
217 : 2 = 108, i ostatak 1,
– ostatak se zapisuje sa strane (1), a količnik (108) se deli brojem 2:
108 : 2 = 54, i ostatak 0,
– ostatak se zapisuje sa strane (0), a količnik (54) se deli brojem 2:
54 : 2 = 27, i ostatak 0,
– ostatak se zapisuje sa strane (0), a količnik (27) se deli brojem 2:
27 : 2 = 13, i ostatak 1,
– ostatak se zapisuje sa strane (1), a količnik (13) se deli brojem 2:
13 : 2 = 6, i ostatak 1,
– ostatak se zapisuje sa strane (1), a količnik (6) se deli brojem 2:
6 : 2 = 3, i ostatak 0,
– ostatak se zapisuje sa strane (0), a količnik (3) se deli brojem 2:
3 : 2 = 1, i ostatak 1,
– ostatak se zapisuje sa strane (1), a količnik (1) se deli brojem 2:
1 : 2 = 0, i ostatak 1.
Zatim treba zapisati sve ostatke, ali suprotnim redosledom od onog kojim su dobijeni
–11011001. I to je broj 217 zapisan u binarnom sistemu.
Svaki broj se pretvara iz dekadnog u binarni sistem na isti način, tj. deljenjem i
zapisivanjem ostataka od krajnjeg ka početnom. Krajnji količnik mora uvek biti 0, a
samim tim i krajnji ostatak 1.
Brojevi se mogu prevoditi i u druge pozicione brojevne sisteme (npr. oktalni) takođe
deljenjem onim brojem koji odgovara broju cifri u tom sistemu (binarni ima dve cifre,
pa se brojevi dele brojem 2) i zapisivanjem ostataka.
Prevođenje brojeva iz binarnog u dekadni sistem
Prilikom prevođenja nekog broja iz binarnog u dekadni sistem, poslednja cifra u
binarnom zapisu tog broja se množi sa 20, pretposlednja sa 21, sledeća sa 22 i tako
redom. Zatim se dobijeni proizvodi saberu i tako se dobija njegov ekvivalent u
dekadnom sistemu.
Primeri:
a) prevođenje broja 101:
101 = 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 4 + 0 + 1 = 5
Broj 5 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 101 u binarnom sistemu.
b) prevođenje broja 10111:
10111 = 1 ∙ 24 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23
Broj 23 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 10111 u binarnom sistemu.
c) prevođenje broja 1101110:
1101110 = 1 ∙ 26 + 1 ∙ 25 + 0 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = 64 + 32 + 0 + 8 + 4
+ 2 + 0 = 110
Broj 110 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 1101110 u binarnom sistemu.
OKTALNI SISTEM
Oktalni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa bazom 8 u kojem se zapis
sastoji od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. To znači da se svaki broj može predstaviti kao
zbir eksponenata broja 8. Oktalni sistem se često primenjuje u računarstvu i
informatici.
Prevođenje brojeva iz dekadnog u oktalni sistem
Da bi se broj preveo iz dekadnog u oktalni sistem potrebno je izvršiti jednostavan
postupak deljenja brojem 8. Ostaci pri deljenju se zapisuju, a postupak se nastavlja
sve dok količnik ne bude jednak nuli.
Primeri:
a) prevođenje broja 49:
– prvo se broj 49 deli brojem 8:
49 : 8 = 6, i ostatak 1,
– ostatak se zapisuje sa strane (1), a količnik (6) se deli brojem 8:
6 : 8 = 0, i ostatak 6.
Zatim treba zapisati sve ostatke, ali suprotnim redosledom od onog kojim su dobijeni
(odozdo ka gore) – 61. I to je broj 49 zapisan u oktalnom sistemu.
b) prevođenje broja 85:
– prvo se broj 85 deli brojem 8:
85 : 8 = 10, i ostatak 5,
– ostatak se zapisuje sa strane (5), a količnik (10) se deli brojem 8:
10 : 8 = 1, i ostatak 2,
– ostatak se zapisuje sa strane (2), a količnik (1) se deli brojem 8:
1 : 8 = 0, i ostatak 1.
Zatim treba zapisati sve ostatke, ali suprotnim redosledom od onog kojim su dobijeni
– 125. I to je broj 85 zapisan u oktalnom sistemu.
c) prevođenje broja 159:
– prvo se broj 159 deli brojem 8:
159 : 8 = 19, i ostatak 7,
– ostatak se zapisuje sa strane (7), a količnik (19) se deli brojem 8:
19 : 8 = 2, i ostatak 3,
– ostatak se zapisuje sa strane (3), a količnik (2) se deli brojem 8:
2 : 8 = 0, i ostatak 2.
Zatim treba zapisati sve ostatke, ali suprotnim redosledom od onog kojim su dobijeni
– 237. I to je broj 159 zapisan u oktalnom sistemu.
Svaki broj se pretvara iz dekadnog u oktalni sistem na isti način, tj. deljenjem i
zapisivanjem ostataka od krajnjeg ka početnom. Krajnji količnik mora uvek biti 0, a
krajnji ostatak može biti bilo koji broj od 1 do 7.
Brojevi se mogu prevoditi i u druge pozicione brojevne sisteme (npr. heksadekadni)
takođe deljenjem onim brojem koji odgovara broju cifara u tom sistemu (oktalni ima
osam cifara, pa se brojevi dele brojem 8) i zapisivanjem ostataka.
Prevođenje brojeva iz oktalnog u dekadni sistem
Prilikom prevođenja nekog broja iz oktalnog u dekadni sistem, poslednja cifra u
oktalnom zapisu tog broja se množi sa 80, pretposlednja sa 81, sledeća sa 82 i tako
redom. Zatim se dobijeni proizvodi saberu i tako se dobija njegov ekvivalent u
dekadnom sistemu.
Primeri:
a) prevođenje broja 16:
16 = 1 ∙ 81 + 6 ∙ 80 = 8 + 6 = 14
Broj 14 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 16 u oktalnom sistemu.
b) prevođenje broja 512:
512 = 5 ∙ 82 + 1 ∙ 81 + 2 ∙ 80 = 320 + 8 + 2 = 330
Broj 330 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 512 u oktalnom sistemu.
c) prevođenje broja 2003:
2003 = 2 ∙ 83 + 0 ∙ 82 + 0 ∙ 81 + 3 ∙ 80 = 1024 + 0 + 0 + 3 = 1027
Broj 1027 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 2003 u oktalnom sistemu.
HEKSADEKADNI SISTEM
Heksadekadni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa bazom 16 u kojem se
zapis sastoji od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i slova A, B, C, D, E, F. To znači da se
svaki broj može predstaviti kao zbir eksponenata broja 16. Vrednosti navedenih slova
su sledeće:
– A = 10,
– B = 11,
– C = 12,
– D = 13,
– E = 14,
– F = 15.
Dakle, cifre heksadekadnog sistema su od 0 do F po heksadekadnom označavanju,
odnosno od 0 do 15 po dekadnom shvatanju njihovih vrednosti. Ovaj brojevni sistem
koristi se u kombinaciji sa binarnim sistemom u računarstvu, jer se prevođenje
brojeva može lako obavljati.
Prevođenje brojeva iz dekadnog u heksadekadni sistem
Da bi se broj preveo iz dekadnog u heksadekadni sistem potrebno je izvršiti
jednostavan postupak deljenja brojem 16. Ostaci pri deljenju se zapisuju, a postupak
se nastavlja sve dok količnik ne bude jednak nuli.
Primeri:
a) prevođenje broja 37:
– prvo se broj 37 deli brojem 16:
37 : 16 = 2, i ostatak 5,
– ostatak se zapisuje sa strane (5), a količnik (2) se deli brojem 16:
2 : 16 = 0, i ostatak 2.
Zatim treba zapisati sve ostatke, ali suprotnim redosledom od onog kojim su dobijeni
(odozdo ka gore) – 25. I to je broj 37 zapisan u heksadekadnom sistemu.
b) prevođenje broja 95:
– prvo se broj 95 deli brojem 16:
95 : 16 = 5, i ostatak 15 (F = 15),
– ostatak se zapisuje sa strane (F), a količnik (5) se deli brojem 16:
5 : 16 = 0, i ostatak 5.
Zatim treba zapisati sve ostatke, ali suprotnim redosledom od onog kojim su dobijeni
– 5F. I to je broj 95 zapisan u heksadekadnom sistemu.
c) prevođenje broja 458:
– prvo se broj 458 deli brojem 16:
458 : 16 = 28, i ostatak 10 (A = 10),
– ostatak se zapisuje sa strane (A), a količnik (28) se deli brojem 16:
28 : 16 = 1, i ostatak 12 (C = 12),
– ostatak se zapisuje sa strane (C), a količnik (1) se deli brojem 16:
1 : 16 = 0, i ostatak 1.
Zatim treba zapisati sve ostatke, ali suprotnim redosledom od onog kojim su dobijeni
– 1CA. I to je broj 458 zapisan u heksadekadnom sistemu.
Svaki broj se pretvara iz dekadnog u heksadekadni sistem na isti način, tj. deljenjem i
zapisivanjem ostataka od krajnjeg ka početnom. Krajnji količnik mora uvek biti 0, a
krajnji ostatak može biti bilo koji broj od 1 do 15.
Brojevi se mogu prevoditi i u druge pozicione brojevne sisteme (npr. binarni) takođe
deljenjem onim brojem koji odgovara broju cifara u tom sistemu (heksadekadni ima
šesnaest cifara i slova, pa se brojevi dele brojem 16) i zapisivanjem ostataka.
Prevođenje brojeva iz heksadekadnog u dekadni sistem
Prilikom prevođenja nekog broja iz heksadekadnog u dekadni sistem, poslednja cifra
u heksadekadnom zapisu tog broja se množi sa 160, pretposlednja sa 161, sledeća sa
162 i tako redom. Zatim se dobijeni proizvodi saberu i tako se dobija njegov
ekvivalent u dekadnom sistemu.
Primeri:
a) prevođenje broja 61:
61 = 6 ∙ 161 + 1 ∙ 160 = 96 + 1 = 97
Broj 97 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 61 u heksadekadnom sistemu.
b) prevođenje broja 2CE:
2CE = 2 ∙ 162 + 12 ∙ 161 + 14 ∙ 160 = 512 + 192 + 14 = 718
Broj 718 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 2CE u heksadekadnom sistemu.
c) prevođenje broja 12B4:
12B4 = 1 ∙ 163 + 2 ∙ 162 + 11 ∙ 161 + 4 ∙ 160 = 4096 + 512 + 176 + 4 = 4788
Broj 4788 u dekadnom sistemu je ekvivalent broja 12B4 u heksadekadnom sistemu.