OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE
II
FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
Título: O Ensino de Geometria Fractal por meio da utilização do software GeoGebra e da Lousa Digital.
Autor: Celço Luiz de Araújo
Disciplina/Área: Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua Localização:
Colégio Estadual Monteiro Lobato – EFM-Prof.- Umuarama - Paraná
Município da escola: Umuarama
Núcleo Regional de Educação: Umuarama
Professor Orientador: Valter Camargo Gomes
Instituição de Ensino Superior: UNESPAR Campus de Paranavaí
Relação Interdisciplinar: Não
Resumo: O desenvolvimento deste estudo dar-se-á junto aos professores da rede pública estadual, explorando os Fractais Geométricos na lousa digital, utilizando-se para tanto o software GeoGebra. As raízes conceituais dos fractais remontam as tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham. Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autos similares e independem de escala. E com isso fazer a construção de vídeos de tutorias com o auxílio da Lousa Digital. No Software serão trabalhados os fractais pentágono, hexágono, octógono, triângulo de Sierpinski e a Árvore Pitagórica com os triângulos retângulos, isósceles e equiláteros.
Palavras-chave: Fractal; GeoGebra; Lousa Digital; Geometria.
Formato do Material Didático: Unidade Didática
Público: Professores da Rede Estadual de Ensino do Paraná.
1- Apresentação
As transformações que ocorrem em nossa sociedade exigem mudanças
também na educação. Nessa perspectiva, ensinar matemática implica além do
simples ato de fazer cálculos, muitas vezes desprovidos de pouco significados para
os alunos. No desenvolvimento de sua prática educativa, o professor precisa ser
instrumentalizado para ter clareza da importância de instigar os alunos a
compreender melhor o conteúdo ensinado, desafiando-o, a fazer a interação com
outras situações, onde a matemática não é tão evidente.
Nesse contexto se faz necessário conhecer, compreender e explorar os
diversos recursos tecnológicos que estejam ao nosso alcance como instrumentos no
processo ensino aprendizagem, dentre eles a Lousa Digital, que é um instrumento
que compõe os objetos de estudos deste trabalho. Esse recurso, nos últimos meses,
vem sendo introduzido nas escolas estaduais do Paraná, porém seu uso e sua
utilização ainda são pouco aplicados em sala de aula.
O desenvolvimento deste estudo dar-se-á junto aos professores da rede
pública estadual, do Núcleo Regional de Umuarama, explorando os Fractais
Geométricos na lousa digital, utilizando-se para tanto o software GeoGebra.
A Geometria Fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e o
comportamento dos fractais, descrevendo situações aplicadas à ciência, tecnologia
e arte, geradas por computador que não podem ser explicadas facilmente pela
geometria clássica. As raízes conceituais dos fractais remontam as tentativas de
medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais são baseadas
na geometria euclidiana.
Com este trabalho, pretende-se demonstrar como os vários aspectos da
Geometria Fractal podem ser desenvolvidos na educação básica, utilizando o
software GeoGebra e a Lousa Digital, motivando assim, os professores com
estratégias de ensino para desvendarem os conhecimentos matemáticos que as
estruturas fractais possibilitam; por exemplo, o estudo da sua geometria com a
construção de pentagonal, hexagonais e octogonais.
As Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná para a
disciplina de Matemática, no Ensino Médio, relatam o papel relevante que a
Matemática possui no desenvolvimento da sociedade à medida que o homem amplia
seu conhecimento. Sendo assim, no estudo do conteúdo estruturante Geometrias,
os conceitos de geometria plana e espacial devem ser aprofundados em um nível de
abstração mais complexo, por meio do cálculo de área de figuras geométricas
planas e espaciais (PARANÁ, 2008)
Pretende-se ainda, estudar os fundamentos da Geometria Fractal, inserindo-
os na prática pedagógica como alternativa simples para construção de Fractais
usando as ferramentas do próprio software na construção de novas fórmulas
algébricas, envolvendo o tema deste projeto.
Como também, orientar o professor a utilizar as ferramentas básicas da Lousa
Digital e a construção de vídeos para serem apresentados na explanação de
conteúdos.
Unidade 1 -Lousa Digital
Figura 1: Página inicial da Lousa Digital
Fonte 1: Celço L. de Araújo - Penandfree.com
1.1 - Corpo da caneta digital:
A Lousa Digital possui atributos físicos que a caracteriza e torna seu
funcionamento possível. Entre os atributos mais importantes, estão os botões da
caneta.
UNIDADES DIDÁTICA
Figura 2: Caneta digital.
Fonte 2: Celço L. de Araújo - Penandfre.com
1.2 - Corpo do receptor Station:
O corpo do receptor Station tem as dimensões 218 mm x 28 mm x 17mm.
Nele, existe um menu sensível ao toque, onde vários atalhos podem ser acessados
facilmente, durante a apresentação.
Figura 3: Receptor Station;
Fonte 3:Celço L. de Araújo - Penandfre.com.
1.3 - Transmissor sem fio conectado à porta USB:
Qualquer uma das portas USB pode ser utilizada. No corpo do transmissor
sem fio, existe uma luz azul tênue que se acende de forma contínua quando a Lousa
Digital está em modo de comunicação permanente com o Projetor Interativo,
conforme Figura 15. Se a luz indicadora estiver piscando, isto indica que a conexão
com a Lousa Digital não foi estabelecida.
Da mesma forma, no sensor Station existe uma luz azul que também indica a
situação da conexão. Quando não há conexão, a luz fica piscando. Quando há a
conexão com o transmissor sem fio, a luz fica acesa de forma ininterrupta.
Figura 4: Transmissor sem fio.
Fonte 4: Celço L. de Araújo - Penandfre.com.
1.4 - Ferramentas do MINT Interactive:
O MINT Interactive possui várias ferramentas interativas. Com elas, nenhuma
aula ou apresentação serão facilmente esquecidas. São elas:
Ferramentas para mudança de modo. Com elas, o
usuário facilmente mudo entre os modos de operação do
Sistema Operacional, onde a solução funciona como um mouse
ou no modo interativo, onde cada ferramenta de escrita, pintura
e edição são usadas de forma a enriquecer as apresentações;
Ferramenta Lápis: Para escrever e desenhar sobre a
área de desenho ou o desktop do sistema operacional;
Ferramenta Marcador: Cria destaques coloridos que
podem ser aplicados com um incrível efeito de transparência.
As cores podem ser criadas de acordo com a necessidade do
usuário;
Ferramenta Pincel: Para efeitos mais fortes, pode ser
configurado com cores diversas, bem como espessuras
especiais para escrita mais grossa e marcações visíveis;
Ferramenta borracha: Prática e eficiente, essa ferramenta
faz exatamente o que seu nome diz. Ela é uma borracha que
pode ser usada de forma a apagar áreas de tamanhos
diferentes, de forma rápida e segura. Além disso, pode ser
configurada para apagar objetos completos, bastando clicar
uma vez sobre os mesmos;
Ferramenta Apague Tudo: Com ela, toda a folha será
apagada, não deixando nenhum vestígio do que havia sido
escrito ou desenhado na folha de apresentação exibida.
Nenhum objeto resiste a um simples clique nessa ferramenta;
Ferramenta Paleta de Cores: Confere ao professor,
apresentador, usuário, uma grande diversidade de cores, onde
a mistura das cores primárias trará uma cor a cada clique;
Ferramenta Tamanho do Traço: Com essa ferramenta, o
tamanho do traço pode ser alterado a qualquer momento. Basta
selecionar a ferramenta de desenho desejada, como o Lápis, o
pincel ou o marcador e logo em seguida escolher a espessura
para o traço daquela ferramenta;
Ferramenta Pano de Fundo: Serve para alterar o pano de
fundo, onde o usuário poderá escrever desenhar ou interagir
com a solução. Folhas pautadas com fundos branco ou verde,
ou folhas sem pautas;
Ferramenta de desenhos geométricos: Desenhar
círculos, elipses, triângulos, retângulos, linhas nunca mais será
algo difícil. Com a ferramenta de desenhos geográficos, basta
selecionar a forma e fazer os traços;
Ferramenta de Movimentar: Movimenta qualquer objeto
na área de desenho de forma interativa e rápida. Basta
selecionar essa ferramenta, clicar no objeto desejado e arrastá-
lo por toda a projeção;
Ferramenta de texto: Basta clicar nessa ferramenta para
ter acesso ao teclado virtual. Por meio do teclado virtual,
qualquer texto poderá ser escrito na área de trabalho ou na área
de desenho;
Ferramenta de captura: Com a ferramenta de captura,
pode-se capturar toda a área de trabalho ou apenas as partes
que se desejar, selecionando tais áreas com a caneta digital.
Feita a captura, basta salvá-la ou incluí-la em um novo
desenho;
Ferramenta de Gravação de Videoaula: Gravar todo o
conteúdo da apresentação, incluindo o áudio da apresentação
nunca foi tão fácil. Basta selecionar a ferramenta, escolher a
qualidade do áudio e do vídeo e pronto.
Ferramentas de Navegação: Com as ferramentas de
navegação, pode-se alterar sequencialmente para qualquer
página de desenho o MINT Interactive. Basta um simples clique
para avançar ou retroceder as páginas criadas interativamente;
Ferramenta de Inclusão/Exclusão de páginas: Funcionam
como atalhos que incluem ou excluem páginas dentre as que
existem na apresentação / aula atual;
Ferramenta de Zoom: Ferramenta para ajustar o zoom,
aumentando ou diminuindo o zoom (Zoom In ou Zoom Out) e
retornando automaticamente ao zoom padrão (100%);
Menu principal: No menu principal, todas as opções
referentes à criação de novos arquivos, salvar arquivos, salvar
arquivos como, abrir trabalhos previamente gravados, imprimir
arquivos, abrir manual da solução e atalho para calibrar a
caneta digital;
Atividade:
Após a instalação abrir a Lousa Digital e fazer uso das ferramentas da lousa
na construção de um vídeo sobre qualquer assunto.
Em casa vocês terão de criar uma atividade com o conteúdo que estiver
lecionando em sala de aula, pode ser um vídeo ou uma apresentação de slide.
Unidade 2 - O Software GeoGebra:
A janela principal da área de trabalho do GeoGebra é apresentada na figura a
seguir:
Figura 5: Interface do GeoGebra
Fonte 5: Celço L. de Araújo - GeoGebra.org
2.1 - As ferramentas e suas funções do software GeoGebra.
O software GeoGebra apresenta, na parte superior da área de trabalho, a
Barra deMenu, que apresenta os seguintes itens: Arquivo, Editar, Opções,
Ferramentas, Janelas eAjuda. Destacamos, aqui, apenas as janelas que serão
usadas nas atividades deste trabalho.
Figura 6: Barra de menu do GeoGebra.
Fonte 6: Celço L. de Araújo.
a) Arquivo – clique sobre essa opção toda vez que desejar uma nova janela.
Para isso desloque o seletor até a opção Nova e clique. O GeoGebra questiona se
queremos gravar ou não, mesmo que não tenha sido construída qualquer atividade.
b) Exibir – De maneira análoga, desloque o seletor até a opção Eixo e clique
– as coordenadas que aparecem na janela de visualização podem ser ocultadas;
para aparecerem novamente, clique sobre a mesma opção.
c) Malha – Ao clicar sobre essa opção, aparecerá, na área de trabalho do
GeoGebra, uma malha tracejada que pode ter seu tamanho aumentado ou
diminuído por meio do botão de rolagem do mouse. Essa opção, quando
selecionada novamente, permite ocultar a malha.
A Barra de Ferramentas do GeoGebra está dividida em 11 janelas e cada
uma possui várias ferramentas. Para selecionar uma ferramenta, clique na parte
inferior da janela e o programa abre as opções.
A Barra de Ferramentas do GeoGebra se apresenta conforme a figura a
seguir:
Figura 7: Barra de Ferramentas do GeoGebra.
Fonte 7: Celço L. de Araújo
A seguir, mostramos os ícones da Barra de Ferramentas que serão
trabalhados e em suas aplicações.
2.2 - Quadro de ferramentas.
Ferramentas Ícones
Unidade 3 - Triângulo de Sierpinski:
A ideia que se encontra atrás do conjunto fractal é o autossimilaridade, isto é,
o conjunto na qual a parte dele é uma miniatura do conjunto todo. Ele é formado
pelas três cópias do triângulo, cada um é situado em um canto do triângulo original.
Cada cópia é exatamente a redução do original pela escala de 1=2. Quando o
conjunto é exatamente a união das cópias reduzidas dele mesmo, dizemos que o
conjunto é exatamente autossimilar. No entanto, fractal não precisam ser
exatamente autossimilares.
Também existe uma relação com o triângulo de Pascal. Montando o triângulo
de Pascal com 2n linhas, e pintando os números pares de branco e os ímpares de
preto, a figura obtida será uma aproximação do triângulo de Sierpinski.
A área de um triângulo de Sierpinski é zero. Isso pode ser percebido quando
observamos que, a cada iteração, a área da figura obtida foi reduzida em 25% em
relação à área da figura original.
Vamos fazer a construção de um triângulo de Sierpinski.
1º Passo: criar um triângulo no GeoGebra ir ao menu e clicar em polígono
regular e marcar dois pontos, abrirá uma janela, você deve apagar o 4 e colocar 3 e
dar enter, aí teremos um triângulo equilátero.
2º Passo: Determinar o ponto médio em todos os lados, para isso clique em
ponto e pegue a opção ponto médio, agora clique nos pontos dois de cada vez.
3º Passo: No menu em polígono, clicar nos pontos médios criado e fazer um
triângulo equilátero. Observar as figuras criadas.
4º Passo: Agora, colorir o triângulo do centro para visualizar melhor, clique
com o botão direito do mouse, vá a selecionar outro e escolha o polígono dois, esse
é o triângulo do meio, agora vá a propriedades.
Escolha a opção cor e procure uma do seu gosto, clique nela e logo abaixo
tem a opção transparência, coloque no máximo, agora basta clicar em fechar.
Figura 8: 1º Passo.
Fonte 8: Celço L. Araújo.
Figura 9: 2 º Passo.
Fonte 9: Celço L. de Araújo
Figura 10: 3 º Passo.
Fonte 10:Celço L. de Araújo.
Figura 11: 4 º Passo.
Fonte 11: Celço L. de Araújo.
Para fazer a sequência do fractal temos que construir um ferramenta, clique
no menu ferramentas em seguida criar ferramentas, abrirá uma janela, clique
seletor e clique nos pontos um de cada vez, em seguida, nos polígonos Um e Dois ,
depois disso em próximo, não precisa mexer nos pontos A e B, clique em próximo
de novo, agora você coloca o nome da ferramenta e depois em concluído. Você vai
observar que foi criado um novo ícone na barra de menu, clique nele e dê dois
cliques na malha, aparecerá uma figura igual à figura 11, basta agora ir clicando em
dois pontos dentro do triângulo, assim sucessivamente, até preencher todos os
espaços,depois que clicar em todos, vamos esconder os pontos e as legendas.
Selecionado o triângulo, clique no menu controle deslizante e vá em caixa
para exibir ou esconder objetos. Depois clique em qualquer local, abrirá uma
segunda janela, marque todos os pontos e clique em aplicar.
Figura 12: Fractal Sierpinski com os pontos.
Fonte 12: Celço L. de Araújo.
Figura 13: Fractal Sierpinski sem os pontos
Fonte 13: Celço L. de Araújo.
Vamos calcular a área dos triângulos. Observamos que do primeiro e do
segundo para mostrar que a área do triângulo central e ¼ do maior, para fazer esse
cálculo, pegue a ferramenta Área e clique sobre cada triângulo. Assim, teremos uma
sequência ¼ ,4/16, 16/64,...n/n.
Figura 14: : Vídeo do Triângulo de Sierpinski.
Fonte 14: Celço L. de Araújo - youtube.com.br
Unidade 4 - Pentágono: Para falar sobre o pentágono, vamos conhecer um pouco da sua história. O
pentágono e o pentagrama estão associados à crença de certos povos antigos,
principalmente os egípcios, que acreditavam que o rei, após a morte, tornava-se
uma estrela(MIGUEL, 1993).
Os pitagóricos consideravam o pentagrama ou triângulo triplo como um
símbolo. Para obtê-lo, eles estendiam as faces pentagonais até formar uma estrela.
O pentagrama era o emblema sagrado da Irmandade Pitagórica e essa era a
maneira como reconheciam os seus membros. A Sociedade de Pitágoras era uma
seita constituída de homens e mulheres que viviam em comunidade e se abstinham
de todos os confortos, dedicando-se apenas a uma vida de moderação e à prática
da cura. Eles consideravam o pentagrama como um símbolo de boa saúde
(PENNICK, 1980).
1º Passo: Vamos iniciar com a construção de um pentágono, depois vamos
ligar dois segmentos de uma reta, formando um X no centro.
2º Passo: Marca-se o ponto de intersecção desses dois segmentos, logo em
seguida marca o ponto médio entre A, faça uma reta perpendicular a esse ponto e o
segmento faz o mesmo com o outro.
3º Passo: Colocar os pentágonos dentro do maior logo, em seguida fazer a
ferramenta para a construção do fractal. Vejamos as figuras.
Figura 15: 1º Passo.
Fonte 15: Celço L. Araújo.
Figura 16: 2 º Passo.
Fonte 16: Celço L. Araújo.
Figura 17: 3 º Passo.
Fonte 17: Celço L. Araújo.
Agora será criada a ferramenta, para a construção do fractal pentágono.
Figura 18: O fractal Pentágono com os pontos.
Fonte 18: Celço L. de Araújo.
Figura 19: O fractal pentágono sem os pontos.
Fonte 19: Celço L. de Araújo..
Depois do fractal feito, você vai à ferramenta e clique em criar, Quando for
fazer a ferramenta você tem que colocar os pontos ao redor do pentágono, não
colocar o polígono maior, e sim todos os outros. Em seguida, mantém o ponto A e
B, e por final coloque o nome da ferramenta e clique em aplicar.
Para escondermos os pontos, temos que selecionar todo fractal pentágono,
clique no menu controle deslizante e vá em caixa para exibir ou esconder objetos.
Depois clique em qualquer local, abrirá uma segunda janela e marque todos os
pontos e clique em aplicar.
Teremos uma sequência exponencial de 6¹, 6², 6³ .......
Unidade 5 - Hexágono:
Para iniciar o Hexágono faça dois pontos A e B agora divida o espaço entre
os pontos em três partes iguais, com a seguinte fórmula A + (B-A)/3 depois B + (A-
B)/3.
1º Passo: Crie dois hexágonos entre os pontos A e C, depois entre os
pontos D e B.
2º Passo: Agora construa a ferramenta para criarmos o fractal, vá a menu
ferramentas criar uma nova ferramenta. Aqui você deve utilizar os polígonos, os
pontos C , D, L e M para que consiga montar o fractal.
Figura 20: 1 º Passo.
Fonte 20: Celço L. de Araújo
Figura 21: 2 º Passo.
Fonte 21: Celço L. de Araújo.
3º Passo: Crie um hexágono e pegue a ferramenta e vá clicando nos pontos
do hexágono. Depois vamos construir mais uma ferramenta para ficar mais rápido a
construção do fractal.
Figura 22: Fractal hexágono com os pontos.
Fonte 22: Celço L. de Araújo.
Figura 23: Fractal hexágono sem os pontos.
Fonte 23: Celço L. de Araújo
Unidade 6 - Octógono:
Para construção do Octógono trabalharemos um pouco diferente porque
termos que usar ângulos.
1 º Passo: Vamos fazer dois pontos A e B depois traçar um segmento entre
os dois pontos, construir um ângulo de amplitude fixa de 45 º.
Primeiro de A para B, sentido horário, e depois de B e A, no sentindo anti-
horário irá criar mais dois pontos.
2 º Passo: Agora irá criar uma reta perpendicular aos pontos criados e o
segmento, no cruzamento da reta e do segmento coloca um ponto de intersecção,
depois irá esconder as retas e segmento e fazer dois octógonos.
3 º Passo: Já podemos construir uma ferramenta com os dois octógonos que
temos para fazer a primeira parte do fractal, em seguida, construiremos outra
ferramenta para terminar o fractal.
Figura 24: Os Passos 1 º e 2 º.
Fonte 24: Celço L. de Araújo.
Figura 25: O Passo 3 º.
Fonte 25: Celço L. de Araújo
Figura 26: Construção da segunda ferramenta.
Fonte 26: Celço L. de Araújo.
Figura 27: O fractal octógono com os pontos.
Fonte 27: Celço L. de Araújo.
Figura 28: O fractal octógono sem os pontos.
Fonte 28: Celço L. de Araújo.
Unidade 7 - Árvores Pitagóricas triângulo
Retângulo:
Para criarmos a árvore de Pitágoras iniciamos com a construção de um
triângulo retângulo.
1 º Passo: Fazer dois pontos A e B de qualquer tamanho, em seguida usar
a ferramenta ângulo com amplitude fixa.
2º Passo: Clique no ponto A em seguida no ponto B, quando abrir a janela
alterar o ângulo para 60º no sentido horário, depois fazer de B para A e alterar o
ângulo para 30 º no sentido anti-horário, traçar um segmento entre os pontos.
No local que cruzar os dois segmentos fazer um ponto de intersecção entre
dois objetos, logo após desenhar um polígono formando um triângulo retângulo. Tem
que esconder os segmentos e os pontos extras.
3 º Passo: Fazer um polígono quadrado em cada um dos lados dos
triângulos. Após isso, alterar a cor de cada polígono, basta clicar com o botão direito
em cima de um dos polígonos e ir a propriedades. Ao realizar isso, vamos criar a
ferramenta para a construção do fractal.
4º Passo: Clique em ferramentas em criar, pegue os dois polígonos acima e
o triângulo retângulo e os pontos respectivos aos polígonos usados, depois em
próximo e aplicar.
Figura 29: Os passos 1 º e 2 º.
Fonte 29: Celço L. de Araújo.
Figura 30: Os passos 3 º e 4 º .
Fonte 30: Celço L. de Araújo.
Após a construção da ferramenta, é criado o fractal da árvore de
Pitagórica usando o triângulo retângulo com figura abaixo.
Figura 31: O fractal Retangular com os pontos.
Fonte 31: Celço L. de Araújo.
Figura 32O fractal Retangular sem os pontos.
Fonte 32: Celço L. de Araújo.
Unidade 8 – Árvores Pitagóricas triângulos
Isósceles: Para criarmos a árvore de Pitágoras iniciamos com a construção de um
triângulo Isósceles.
1 º Passo: Fazer dois pontos A e B de qualquer tamanho, em seguida usar a
ferramenta ângulo com amplitude fixa.
2 º Passo: Clique no ponto A, em seguida no ponto B quando abrir a janela e
alterar o ângulo para 45 º no sentido horário, depois fazer de B para A e alterar o
ângulo para 45 º no sentido anti-horário e traçar um segmento entre os pontos.
No local que cruzar os dois segmentos, fazer um ponto de intersecção entre
dois objetos, logo após desenhar um polígono formando um triângulo isóscele. Tem
que esconder os segmentos e os pontos extras.
3 º Passo: Fazer um polígono quadrado em cada um dos lados do triângulo,
após isso alterar a cor de cada polígono, basta clicar como o botão direito em cima
de um dos polígonos e ir a propriedades. Ao realizar isso vamos criar as ferramentas
para a construção do fractal.
4º Passo: Clique em ferramentas em criar, pegue os dois polígonos acima e o
triângulo isóscele e os pontos respectivos aos polígonos usados, depois em próximo
e aplicar.
Figura 33: Os passos 1º e 2 ª.
Fonte 33: Celço L. de Araújo.
Figura 34: O passo 3 º.
Fonte 34: Celço L. de Araújo.
Após a construção da ferramenta, é criado o fractal da árvore de
Pitágoras, usando o triângulo retângulo com figura abaixo.
Figura 35: O fractal isósceles com os pontos.
Fonte 35: Celço L. de Araújo.
Figura 36: O fractal isósceles sem os pontos.
Fonte 36: Celço L. de Araújo.
Unidade 9 - Árvores Pitagóricas triângulo
Equilátero:
Seguimos o mesmo procedimento do item anterior para criarmos a árvore de
Pitágoras iniciamos com a construção de um triângulo Equilátero.
1 º Passo: Fazer dois pontos A e B de qualquer tamanho, em seguida usar a
ferramenta ângulo com amplitude fixa.
2 º Passo: Clique no ponto A, em seguida no ponto B, quando abrir a janela
alterar o ângulo para 60 º no sentido horário, depois fazer de B para A e alterar o
ângulo para 60 º no sentido anti-horário, traçar um segmento entre os pontos.
Logo após desenhar um polígono formando um triângulo Equilátero. Tem que
esconder os segmentos e os pontos extras.
3 º Passo: Fazer um polígono quadrado em cada um dos lados do triângulo,
após isso, alterar a cor de cada polígono, basta clicar como o botão direito em cima
de um dos polígonos e ir a propriedades. Ao realizar isso, vamos criar a ferramenta
para a construção do fractal.
4º Passo: Clique em ferramentas em criar pegue os dois polígonos acima e o
triângulo Equilátero e os pontos respectivos aos polígonos usados, depois em
próximo e aplicar.
Figura 37: Os passos 1 º e 2 º
Fonte 37: Celço L. de Araújo
Figura 38: Os passos 3 º e 4 º.
Fonte 38: Celço L. de Araújo.
Após a construção da ferramenta, é criado o fractal da árvore de
Pitágoras, usando o triângulo retângulo como na figura abaixo.
Figura 39: O fractal Equilátero com os pontos.
Fonte 39: Celço L. de Araújo.
Figura 40: O fractal Equilátero sem os pontos.
Fonte 40: Celço L. de Araújo.
Nas atividades presenciais, o professor fará o fractal ensinado, da mesma
forma ou com método diferente, sempre procurando colocar relacionados os
conteúdos utilizados em sala com esses fractais, para com isso estar incentivando o
aluno a melhorar sua aprendizagem.
2- Encaminhamentos Metodológicos:
O mediador faz a instalação do software da lousa digital e do GeoGebra para
que possa iniciar os trabalhos, começa com uma explanação sobre a lousa digital e
explica como ela deve ser montada, em seguida mostra cada função fazendo
alguns exemplos para ilustrar.
Logo em seguida, fazer uma explicação sobre o software GeoGebra e mostrar
a função de cada item do menu, realizando exemplos para facilitar o entendimento
do professor.
Construiremos figuras geométricas triângulos, polígonos, funções algébricas e
também usaremos as ferramentas de edições como mudar a cor das figuras e
esconder os nomes e os pontos, isso tudo para que o professor se acostume com as
ferramentas e saiba encontrá-las no menu.
Um breve histórico de como surgiu o Fractal para iniciar as atividades com
ele, e seguir passo a passo as explicações na construção do triângulo de Sierpinski,
Pentágono, Hexágono Octógono e Árvore de Pitagórica, e trocar de conhecimento
com os professores sobre a importância do fractal na aprendizagem do aluno.
Através das imagens e da explicação escrita e também da excussão na
atividade presencial, o professor terá que fazer atividades à distância. No site do
Moodle, esse ambiente virtual foi criado para troca de experiências e tirar dúvidas
durante a realização da atividade à distância, o endereço é
celcoluiz.com/cursoonline, será criado filmes com ajuda da lousa digital para que os
professores utilizem em sala de aula.
Na atividade a distância, o professor fará textos em grupos, discussão
sobre sua atividade em sala de aula e o uso das mídias, além de poder colocar suas
dificuldades com o uso do fractal no software GeoGebra.
3- Avaliação:
Realização das atividades a distância no ambiente virtual de aprendizagem
Moodle.
Criar uma aula usando um dos fractais trabalhados durante o curso, no final
fazer a postagem no ambiente e apresentar no último encontro.
A participação dos professores com a excussão das atividades durante o
curso presencial.
Participação presencial todos os encontros com 100% de frequência.
4- Referências:
ARAÚJO L. Celço - Vídeo Triângulo de Sierpinski – <https://www.youtube.com/watch?v=3W8EbWvjGto&feature=youtu.be>- acesso em out. de 2014.
X Encontro Gaúcho de Educação Matemática - PENTAGRAMA: QUAL A SUA HISTÓRIA< http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/ CC/CC_21.pdf> - acesso em out. 2014 GEOGEBRA – Para baixar o software GeoGebra - <http://www.geogebra.org> –
acesso em out. de 2014.
MIGUEL, Antônio. Números Irracionais. Campinas: Delta Xis, 1993. (Coleção Tópicos de Ensino de Matemática, 15) PARANA. Tutorial da Lousa Digital criando pela Secretaria do Estado de Educação - <http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/proinfo/manual_usuario_sistema_lousa_a.PDF> acesso em set. de 2014. PARANA. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba: Secretaria de estado da Educação do Paraná 2008. Disponível em < http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf>acesso em 09 jun. 2014.
PENNICK, Nigel. Geometria Sagrada: simbolismo e intenção nas estruturas religiosas. Trad. Alberto Feltre. São Paulo: Pensamento, 1980.
PENAND - Para Baixar a Lousa Digital para o Windows <
http://www.penandfree.co.kr/english/solutions/download.asp>. Acesso em nov. 2014.
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