Onde piane nel vuoto
∇×E=−μ0
∂H
∂t
∇×H =ε0
∂E
∂t
∇⋅E =0
∇⋅H =0
∇×∇×E=−μ0
∂∇ × H
∂t= −ε 0μ 0
∂2E
∂t 2
∇×∇×E =∇∇⋅E −∇2E = −∇2E
Equazione delle onde nel vuoto
∇2 =∂2
∂x2 +∂2
∂y2 +∂2
∂z2
∇2E −
1
c2
∂2E
∂t 2 = 0
Equazione delle onde nel vuoto
Analogamente, eliminando E si trova
∇2H −
1
c2
∂2H
∂t 2 = 0
c =1ε0μ0
≈3⋅108 [m/s]
Onde piane uniformi nel vuoto
∂Ex
∂x+
∂Ey
∂y+
∂Ez
∂z= 0
∂2Eα
∂x2 +∂2Eα
∂y2 +∂2Eα
∂z2 −1
c2
∂2Eα
∂t 2 = 0 (α = x, y, z)
Studiamo l’evoluzione spazio-temporale di un generico campo dinamico che non dipende né da x né da y. .
∂Ez
∂z= 0
∂2Eα
∂z2 −1
c2
∂2Eα
∂t 2 = 0
equazione di D’Alembert
( = x,y,z)
Soluzione dell’equazione di D’Alembert
E = fα (z − ct) + gα (z + ct)
f , g funzioni arbitrarie ∈ C1( )
Le funzioni f e g rappresentano un moto ondulatorio, che si propaga nei due versi di z alla velocità della luce
f (z−ct)t=0 t>0
c t0 z
0 z
c t
t>0 t=0g (z+ ct)
Effetto della condizione
∂Ez
∂z= 0
Ez = fz(z−ct) +gz(z+ ct)
Poiche siamo interessati solo a soluzioni dinamiche poniamo
Ez =0
0 =
∂fz∂z
+∂gz
∂z=&fz + &gz Ez = fz +gz =cost.
Ex = fx(z−ct) +gx(z+ ct)
Ey = fy(z−ct) +gy(z+ ct) E =E +(z − ct) + E − (z + ct)
La soluzione dell’equazione delle onde relativa al campo magnetico ha forma analoga.
H =H +(z − ct) + H − (z + ct)
z
x
y
fx
fy
E +
Le onde rappresentate da ed si propagano alla velocità della luce, senza deformarsi, nella direzione dell’asse z, nel verso positivo e negativo, rispettivamente.
E+,H +
E−,H −
Tali onde sono piane e uniformi, perche il campo assume simultaneamente gli stessi valori sui piani perpendicolari alla direzione di propagazione.
L’evoluzione spazio-temporale del campo elettromagnetico è di tipo ondulatorio.
Le onde qui trovate sono Trasversali Elettriche e Magnetiche (TEM), perché e sono trasversali rispetto alla direzione di propagazione.
E H
∇=z∂
∂z(il campo considerato non dipende da x e y)
∂∂(z mct)
z × E ± mμ 0cE ±( ) = 0
Relazione fra e E± H±
∇×E±=−μ0
∂H ±
∂t
∂H±
∂t=
∂H ±
∂(z mct)
∂(z mct)
∂t= mc
∂H ±
∂(z mct)
∂E±
∂z=
∂E ±
∂(z mct)
∂(z mct)
∂z=
∂H ±
∂(z mct)
∂∂zz × E ±
( ) = −μ 0
∂H ±
∂t
z×E± mμ0cH±=cost.=0
Relazione fra e E± H±
H±=
±z × E ±
η 0 η0 @μ 0c =
μ 0
ε 0
≈ 377 Ω
I due campi sono sempre perpendicolari l’uno all’altro.
Nelle onde piane uniformi nel vuoto il campo elettrico e il campo magnetico hanno esattamente lo stesso andamento spazio-temporale.
La direzione di propagazione, il campo elettrico e il campo magnetico costituiscono una terna destra.
z
x
y
Onda non polarizzata
E +
η0H+
z
Vettore di Poynting
E±× ±z × E ±
( ) = ± z E ± ⋅E ±( ) mE ± E ± ⋅ z( ) = ± z E± 2
A × B×C( ) =B A⋅C( )−C A⋅B( )
S ±=E±×H±=
E±× ±z × E ±( )
η 0
S ±=±z
E ± 2
η 0
o anche S±=±z η 0 H ± 2
Questo risultato non
è ovvio !In un mezzo lineare, come il vuoto, i campi si sommano mentre non è generalmente lecito sommare le grandezze energetiche, che dipendono dal prodotto di campi.
S =S + −S −
Se sono presenti entrambe le onde si può mostrare facilmente che
W±=
E± 2
η 0
= η 0 H ± 2 densità di potenza di un’onda piana uniforme nel vuoto [W/m2]
w = W + −W−( ) A potenza netta transitante attraverso
l’area A, perpendicolare alla direzione di propagazione.
Densità di potenza A
z
x
y
Top Related