Onde 330 novembre 2012
InterferenzaDiffrazione (Battimenti)
Fenomeni ondulatori
• Interferenza e diffrazione sono fenomeni esclusivamente ondulatori e sono dovuti alla sovrapposizione di due o più onde
• La sovrapposizione può essere costruttiva o distruttiva, in dipendenza della fase relativa tra le onde che si sovrappongono
• Noi studieremo i seguenti fenomeni– Interferenza tra due fenditure (Young)– Diffrazione da una fenditura
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Coerenza
• Un concetto importante è quello di coerenza: due o più onde sono coerenti se mantengono costante la loro differenza di fase relativa
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Interferenza
• L’interferenza riguarda la distribuzione spaziale della sovrapposizione di onde di ugual frequenza e coerenti
• Il risultato è diverso da punto a punto, a seconda dello sfasamento relativo delle singole onde
• Per semplicità sovrapporremo due onde armoniche, di ugual direzione e ampiezza
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Interferenza
• L’esempio classico è l’esperienza di Young, in cui un’onda piana monocromatica incide su uno schermo su cui sono praticate due fenditure (distanti D l’una dall’altra)
• Per il PdH le due fenditure si comportano da sorgenti di onde sferiche coerenti, la cui sovrapposizione al di là dello schermo, dà luogo al fenomeno dell’interferenza
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Interferenza
• Per semplicità geometrica studiamo l’interferenza su uno schermo a grande distanza (potenzialmente infinita) dalle fenditure, in tal caso i cammini ottici sono semirette parallele
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6
Interferenza
• Analizziamo l’interferenza per ciascuna direzione e diciamo la coordinata relativa ad
• Per la simmetria delle fenditure, le due onde hanno ugual ampiezza A per lo stesso (A e` funzione di )
• Hanno inoltre una differenza di fase fissa dovuta alla differenza di cammino ottico
• La differenza di fase è data dalla proporzione
• E quindi
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l Dsin
l : : 2
sin22Dl
l
D
1
2
7
Interferenza
• Le due onde hanno dunque forma
• La funzione che ne rappresenta la sovrapposizione è la loro somma
• Applicando le formule di Werner, otteniamo
• L’espressione in parentesi quadre è l’ampiezza dell’onda risultante
tkAf
tkAf
cos
cos
2
1
21 fff
2cos
2cos2
tkAf
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Interferenza
• L’ampiezza dipende dallo sfasamento e può assumere il valore minimo, zero, per o 2n+1) e il valore massimo, 2A, per o 2n
• Il valore minimo corrisponde ad una differenza di cammino di un numero dispari di mezze lunghezze d’onda: interferenza distruttiva
• Il valore massimo corrisponde ad una differenza di cammino di un numero intero di lunghezze d’onda: interferenza costruttiva
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l 2
n 1
2
l n
Interferenza
• Poiché l’intensità di un’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza, l’intensità dell’onda di interferenza sullo schermo varia tra zero e quattro volte l’intensità delle singole onde sulle fenditure
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sincos4
2cos4 222 D
IAI interfIinterf
Grafico dell’intensita`nel caso particolare in cui A sia costante rispetto ad
Interferenza
• Commento sul fattore 4: questo non comporta una violazione della conservazione dell’energia, ma solo una redistribuzione spaziale dell’energia
• Nel caso le onde abbiano ampiezza diversa, un’analisi piu’ approfondita porta al risultato che l’intensità dell’onda risultante varia tra
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212121
2
1
2
1
2
21max 22 IIIIAAAAAAI 212121
2
1
2
1
2
21min 22 IIIIAAAAAAI
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Diffrazione • Consideriamo un’onda piana
monocromatica di ampiezza A0 incidente su uno schermo con una fenditura di larghezza D
• Per il PdH tutti i punti della fenditura si comportano da sorgenti di onde sferiche coerenti, la cui sovrapposizione al di là dello schermo, dà luogo al fenomeno della diffrazione
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Diffrazione
• Per semplicità geometrica studiamo la diffrazione su uno schermo a grande distanza (potenzialmente infinita) dalla fenditura, in tal caso i cammini ottici sono semirette parallele
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Diffrazione
• Analizziamo la diffrazione per ciascuna direzione e diciamo la coordinata relativa ad
• Le onde elementari hanno ugual ampiezza dA per lo stesso
• Un punto Q della fenditura a distanza y dal punto più alto P, ha una differenza di fase dovuta alla differenza di cammino ottico
• La differenza di fase è data da
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sinyl
yyl
y
sin22
l
y
P
Q
P
Q
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Diffrazione
• Detta dA l’ampiezza infinitesima di ciascuna onda elementare, queste hanno forma
• Ove A =dA/dy=A0/D (NB: A non dipende da y)
• Detto l’onda risultante sarà data dall’integrale delle onde elementari su tutta la fenditura
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ytkdyytkdAdf coscos A
uDudyyufD
sinsincos0
AA
tku
Diffrazione
• Applicando le formule di Werner
• e sostituendo i valori di e u
• L’ampiezza dell’onda diffratta risultante è quindi
• Con AD=A0 ampiezza dell’onda incidente16
2cos
2sin2
Du
Df
A
sincossin
sinsin Dtk
D
DDf A
sin
sinsin
D
DDA A
Idiff
Diffrazione • Se per semplicità assumiamo che A0 sia costante rispetto
ad , l’intensità dell’onda diffratta sullo schermo è
• Notare che l’intensità è diversa da zero anche per (e ) diversa da zero
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22
2
0
sin
sin
sinsin
ID
DAI diff
Battimenti
• Il fenomeno dei battimenti è in un certo senso complementare a quello dell’interferenza: riguarda l’evoluzione temporale della sovrapposizione di onde di frequenza diversa in un punto determinato dello spazio
• Consideriamo due onde che per semplicità supponiamo armoniche e di ugual ampiezza
f1 Acos k1x 1t 2 f2 Acos k2x 2t 1
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• Nel punto arbitrario x* assumono la forma
• La loro sovrapposizione in questo punto si calcola ricordando la formula del coseno di una somma
• con
Battimenti
f1 Acos k1x* 1t 1 Acos 1t k1x
* 1 Acos 1t 1
f2 Acos k2x* 2t 2 Acos 2t k2x
* 2 Acos 2t 2
f f1 f2 Acos 1t 1 Acos 2t 2
2Acos t cos t
2 1
2
2 1
219
Battimenti
• A parte due fasi inessenziali, la funzione è del tipo
• Il fenomeno vero e proprio dei battimenti si riferisce alla sovrapposizione di due onde sonore le cui frequenze sono circa uguali, allora
• Cioè si ottiene un’onda sinusoidale di frequenza molto vicina a quella delle onde che si sovrappongono:
con un’ampiezza che non è costante, ma modulata secondo una funzione sinusoidale di frequenza molto minore, che è poi quella che dà la sensazione acustica di battimento:
f 2Acost cost
1 2
0
cost
2Acost
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Battimenti
• Quel che l’orecchio percepisce è l’intensità dell’onda risultante, che è proporzionale al quadrato dell’ampiezza
• La modulazione dell’intensità ha frequenza doppia rispetto all’ampiezza
• L’intensità varia da un minimo di 0 ad un massimo di 4I0
ttI
ttkAttAkI
20
22222
cos2cos12
cos2cos12coscos4
21
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