Obrada signala 1
2017-2018
03.10.2017.
Z transformacija
• Z transformacija preslikava niz u kontinualnufunkciju komplesne promenljive z
• Postoji i unilateralna definicija koja se razlikujesamo u donjoj granici za sumu
n
nznxzX nxznxzXn
n Z
0n
n
I znxzX
Z transformacija - značaj
• Ako je niz {h[n]} impulsni odziv sistema onda je z transformacija
• funkcija prenosa posmatranog sistema.
n
nznhzH
Z tansformacija i Furijeova transformacija
• Furijeova transformacija može da se posmatra kao “specijalan slučaj” z transformacije, odnosno kao z transformacija računata samo za određene vrednosti iz skupa kompleksnih vrednosti z i to za one vrednosti koje leže na jediničnom krugu zravni
• U opštem slučaju, z transformacija može da se tumači kao Furijeova transformacija niza x[n]r -n
nj
n
j
ezenxeXzX j
n
njnj ernxreXzX
Z tansformacija i Furijeova transformacija
nj
n
j
ezenxeXzX j
Jedinični krug:z=ejω
Z transformacija
• S obzirom na to da je z transformacija funkcija kompleksne promenljive z=x+jy, |X(z)| može da se predstavi kao površ gde se svaka tačka površi dobija kao |X(z0)|, vrednost sračunata za određeno z0=x0+jy0.
-10
1
-1
0
1
-20
0
20
Re(z)Im(z)
20
log
10|X
(z)|
Z transformacija
• Očigledno da ovaj 3-D prikaz nije lako “protumaičiti”, čak ni u jednostavnijim primerima
-10
1
-1
0
1
-20
0
20
Re(z)Im(z)
20
log
10|X
(z)|
-10
1
-1
0
1
-100
-50
0
50
100
Re(z)Im(z)
20
log
10|X
(z)|
Z transformacija
-10
1
-1
0
1
-100
-50
0
50
100
Re(z)Im(z)
20
log
10|X
(z)|
Z transformacija
• Od posebnog su interesa funkcije koje mogu da se predstave kao količnik dva polinoma po z, X(z)=Q(z)/P(z).
• U nulama polinoma Q(z) funkcija X(z) ima vrednost nula - nule funkcije X(z).
• U nulama polinoma P(z)funkcija X(z) teži beskonačnosti - polovi funkcije X(z).
• Od posebne je važnosti položaj nula i polova u odnosu na jedinični krug.
Z transformacija
• Uobičajeno je da se, umesto površi X(z) posmatra položaj nula i polova u kompleksnoj z ravni. Najčešće se nule označavaju simbolom o (“kružić”) a polovi simbolom x (“krstić”).
-1
0
1
-1
0
1
-30
-20
-10
0
10
20
Re(z)Im(z)
20
log
10|X
(z)|
Z transformacija - konvergencija
• Oblast konvergencije određena je onim vrednostima z za koje suma X(z) ima konačnu vrednost. Uslov konvergencije z transformacije je:
• Za funkcije oblika X(z)=Q(z)/P(z), očigledno da polovi (vrednosti z za koje X(z) postaje beskonačno) ne mogu biti u oblasti konvergencije
n
nrnx
Z transformacija - konvergencija
• Za funkcije oblika količnika dva polinoma, oblast konvergencije određena je položajem polova
• Granice oblasti konvergencije određene su krugovima koji prolaze kroz polove
Re
z ravan
a
Im
Oblast konvegencije - primeri
• Posmatra se niz {anu[n]}
• Da bi beskonačan zbir
konvergirao, mora biti
|az-1|<1, odnosno, |z|>a
.0
1
n
n
n
nn azznuazX
azaz
zznuazX
n
nn
,
Oblast konvegencije - primeri
• Posmatra se niz {-anu[-n-1]}
• Da bi beskonačan zbir
konvergirao, mora biti
|a-1z|<1, odnosno |z|<a
azaz
zzX
,
0
1
1
1
1
1
n
n
n
nn
n
nn
n
nn
zaza
zaznuazX
Re
z ravan
a
Im
Osobine
• Linearnost
• Pomeraj u vremenskom domenu (kašnjenje)
• Inverzija u vremenu
zXznnxn0
0
Z
zXnx 1Z
1 2 1 2a x n b x n aX z bX z Z
Osobine
• Množenje eksponencijalnim nizom (modulacija)
• Množenje sa n
• Konjugovano kompleksni nizovi
n
nnn zznxnxz 00Z 00 zzXnxz Z
dz
zdXznnx Z
zXnx
Primeri
• Niz konačne dužine
• Kauzalni niz
• Dvostrani niz
Niz konačne dužine
• Konvergira za svako |z|>0
• Primer, filtar za usrednavanje dužine 3
• Diferencna jednačina:
• Impulsni odziv
1 2
3
x n x n x ny n
n -2 -1 0 1 2 3
x[n] 0 0 1 0 0 0
y[n] 0 0 1/3 1/3 1/3 0
Niz konačne dužine
21 2
0
21 2
2
1 1 1
3 3 3
1 1 11
3 3
n
n
H z h n z z z
z zz z
z
Nule:Koreni polinoma u brojiocu
Polovi:Koreni poinoma u imeniocu
1,2
1 1 4 1 3
2 2
jz
1,2 0z
Kauzalni niz
• x[n]=0.5n+0.8n, n≥0
1 1
1
1 2
1 1
1 0.5 1 0.8
2 1.3, | | max 0.5,0.8
1 1.3 0.4
X zz z
zz
z z
Dvostrani niz
1 2
1, 0
4
1, 1
2
n
n
n
x n
n
x n x n x n
1
1
11
41 1
1 110 0
1, 0
4
1 1 4 1 1, 1,
14 4 1 4 41
4
n
zn
n
n n
x n n
zX z x n z z z z
zz
2
1 11
2 2
1
2 1
1 0
1, 1
2
12
2
1 1 2 1 2 11 1 2 1 2 1 , 2 1,
1 2 1 2 1 2 2
n
nnn
n n n
zn n
n n
x n n
X z x n z z z
z zz z z z
z z z
1 1
4 2z
Inverzna z transformacija
• Košijeva teorema
.1,0
,1,1
2
1
k
kdzz
jC
k
C n
kn
C
k dzznxj
dzzzXj
11
2
1
2
1
C n C
knk dzzj
nxdzzzXj
11
2
1
2
1
kxdzzzXj
k
C
1
2
1
Inverzna z transformacija
C
n dzzzXj
nx 1
2
1
CzzX
dzzzXj
nx
n
C
n
kontureunutarpolovimaufunkcijeostaci
2
1
1
1
Računa se pomoću Košijeve teoreme o ostacima
Z transformacija - parovi
Z transformacija - parovi
Primeri - 1
• Za dato H(z) odrediti h[n], |z|>.5.
1211
121
2
25.015.015.01
25.015.01
1
z
C
z
B
z
A
zz
zzH
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
Real Part
Imagin
ary
Part
Primeri - 1
221
1
11
15.01
25.01
25.015.01
zzC
zB
zzA
221
1
21
125.01
25.01
125.025.01
zzzC
zB
zzA
Primeri - 1
125.0125.0
025.025.0
1
CA
CBA
CBA
2
3
14
9
42
3
5
9
15
19
086
183
82
82
04
1
B
A
C
C
BC
BC
CA
CA
CBA
CBA
Sistem odtri
jednačine
Rešenje
Primeri - 1
1211 25.01
1
3
5
5.01
12
5.01
1
3
14
zzz
zH
nuan
az
azaz
az
az
n11
1
1
1
11
1
21
121
1
21
Z
nununnunhnnn
25.03
55.0125.0
3
14
Primeri - 2
• Za dato H(z) odrediti h[n], |z|>.5.
21
21
25.05.01
21
zz
zzzH
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
Real Part
Imagin
ary
Part
Primer
21
21
25.05.01
21
zz
zzzH
5.0cos
5.0,25.0
cos21
21
2
221
21
p
p
rr
zrzr
zzzH
Primer
21
1
21
121
21
21
25.05.01
3
41
4
314
25.05.01
75.025.05.014
25.05.01
25.05.025.04
zz
z
zz
zzz
zz
zzzH
Primer
22
1
22
1
21
11
cos21
sin
sin
1
12
13
4
3
cos21
cos1
4
314
25.05.01
4
1
3
425.01
4
314
zrr
zr
rzrr
zr
zz
zz
zH
p
p
pp
p
2
3
4
11sin p
Primer
22
1
22
1
cos21
sin
325.0
1
12
13
4
3
cos21
cos1
4
314
zrr
zr
zrr
zrzH
p
p
p
p
p
n
p
n nrnrnnh sin33
13cos34
Konvolucija
zHzXnhnx Z
k
knhnxny
n
nznyzY
n
n
k
zknhkxzY
k
k
m
m zzmhkxzY
k
kzkxzHzY
Primer 3
• Odrediti odziv sistema datog funkcijom prenosa H(z)=(1+z-1)/2 na pobudu nizom x[n]=anu[n], a=0.5.
Top Related