Números Negativos
7ºAno
Escola EBI de
INSUA
Os Números Negativos
Operações com números inteiros relativos
11 de abril de 20233
Origem e Evolução dos Números
Os números nasceram da necessidade de contar coisas, sendo os símbolos numéricos usados para registar resultados de contagens.Podemos imaginar o homem primitivo a contar as cabras do seu rebanho e a registá-las através de marcações em ossos ou em troncos de árvores.
Desta forma se controlavam pequenas quantidades.
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Origem e Evolução dos Números (cont.)
Com a evolução das sociedades, tornou-se necessário representar números maiores.
Por exemplo:
Significava 1 Significava 5
Significava 20(20 dedos de uma pessoa)
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Origem e Evolução dos Números (cont.)
No sistema de numeração actual, usamos apenas 10 símbolos:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Estes símbolos (algarismos) ocupam as posições adequadas para formar os diferentes
números.
Com apenas 10 símbolos pode escrever-se qualquer número, por maior que seja, e mesmo os grandes números se escrevem com poucos algarismos.
11 de abril de 20236
Aperceber-te-ás, então, que os números naturais (1,2,...) não são suficientes para representar os movimentos do elevador, sendo necessário recorrer a outros números -
Os Números Negativos
Quando andas de elevador utilizas os números para subir e descer indicando o andar a que pretendes chegar.
Apartamento 4
Escritórios 3
Cabeleireiro 2
Restaurante 1
Boutique 0
Ginásio ?
Garagem ?
LavagemAutomática
?os negativos.
11 de abril de 20237
Os Números Negativos (cont.)
Apartamento 4
Escritórios 3
Restaurante 1
Boutique 0
Ginásio ?
Garagem ?
LavagemAutomática
?
A senhora que vai ao cabeleireiro carrega no
botão ...
Cabeleireiro ?2
11 de abril de 20238
Os Números Negativos (cont.)
Apartamento 4
Escritórios 3
Restaurante 1
Boutique 0
Ginásio ?
Garagem ?
LavagemAutomática
?
Qual te parece ser o andar do ginásio?
Cabeleireiro 2
-1
11 de abril de 20239
Os Números Negativos (cont.)
Apartamento 4
Escritórios 3
Restaurante 1
Boutique 0
Ginásio -1
Garagem ?
LavagemAutomática
?
E o andar da garagem?
Cabeleireiro 2
-2
11 de abril de 202310
Os Números Negativos (cont.)
Apartamento 4
Escritórios 3
Restaurante 1
Boutique 0
Ginásio -1
Garagem -2
LavagemAutomática
?
E o da estação das lavagens automáticas?
Cabeleireiro 2
-3
11 de abril de 202311
Os Números Negativos (cont.)
Apartamento 4
Escritórios 3
Restaurante 1
Boutique 0
Ginásio -1
Garagem -2
LavagemAutomática
Cabeleireiro 2
-3
Serão os números naturais os mais adequados para os andares subterrâneos?
Algumas situações não se podem exprimir somente com os números naturais. A partir de agora utilizaremos uns novos números que nos resolvem o problema:
os números negativos
-3
-2
-1
11 de abril de 202312
Os Números Negativos (cont.)
Chamamos números negativos a todos os que estão abaixo de zero.Os números negativos escrevem-se com o símbolo menos antes.Assim os diferenciamos dos positivos.
-5, -4, -3, -2, -1...,
Quando um número não leva sinal nenhum antes, entendemos que é positivo:
5=+5
+16=16
11 de abril de 202313
Os Números Negativos (cont.)
Quando se efectuam operações com números negativos, estes escrevem-se entre parêntesis:
O número positivo 8 a somar com o número negativo –3.
8 + (-3)
(-5) x (-2) O número negativo –5 a multiplicar com o número negativo –2.
Mais adiante aprenderás a obter o resultado destas operações.
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Os Números Negativos (cont.)
NOTA
Os números que se escrevem com o sinal + são os números positivos.
Exemplos: +3; +2; +1,99; ...
Os números que se escrevem com o sinal - são os números negativos.
Exemplos: - 2; - 4; - 3; - 6; ...
É costume chamar números relativos aos números positivos, aos números negativos e ainda ao zero.
Representa-se por Z o conjunto dos números inteiros relativos.
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A Utilidade dos Números Positivos e Negativos
1. Do andar em que se encontra o elevador do edifício, posso subir a pisos superiores ou descer a outros pisos inferiores:
- 4
+5•Subo cinco andares:
•Desço quatro andares:
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A Utilidade dos Números Positivos e Negativos
2. O saldo de uma conta do banco aumenta (+) com os depósitos e diminui (-) com os levantamentos.
+ € 20• A Carminho tem vinte euros:
• O Ernesto deve três euros: - € 3
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A Utilidade dos Números Positivos e Negativos
3. O termómetro pode marcar uma temperatura acima de zero (+8) ou abaixo de zero (-5).
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A Utilidade dos Números Positivos e Negativos
4. O número de pessoas que viajam num autocarro varia em cada paragem:
+ 10 pessoas•Sobem 10 pessoas:
•Descem 14 pessoas: - 14 pessoas
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e marquemos sobre ela um ponto O, a que chamamos origem.
Representação na RectaOs números relativos – positivos, negativos ou o zero – podem ser representados numa recta por meio de pontos.Consideremos uma recta r
Escolhemos uma unidade de medida
O r1
e um sentido positivo (por exemplo da esquerda para a direita).
Desta maneira obtemos um eixo.
+-
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Representação na RectaSe quisermos marcar o ponto A correspondente ao número +5, contamos 5 unidades para a direita de O.
Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número -3, contamos 3 unidades para a esquerda de O.
+- O +1
+- O +1
+5
A
-3B
11 de abril de 202321
Representação na RectaO número que corresponde a um ponto do eixo chamamos abcissa desse ponto.
+5
A+- O +
1-3B
A abcissa de A é +5A abcissa de B é -3
A origem tem abcissa zero.
Nota: O Eixo é uma recta orientada .
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OrdenaçãoQuando dispostos sobre um eixo, os números relativos encontram-se ordenados.Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a direita, um número é tanto maior quanto mais para a direita se encontrar.
2 3 4 50 1-1-2-3
Cada vez maior
11 de abril de 202323
OrdenaçãoVemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar este facto escrevemos:
2 3 4 50 1-1-2-3
+ 5 > + 2
Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever:
+ 2 < + 5
Isto é, a > b é o mesmo que b < a
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OrdenaçãoDa observação da posição relativa de dois números num eixo resultam algumas regras para comparar dois números diferentes:
•Qualquer número positivo é maior do que zero.
•Qualquer número positivo é maior do que qualquer negativo.
+ 0,012 > 0
0 > - 35
+1 > - 35
+ 0,5 > - 100;
•Zero é maior que qualquer número negativo.
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Valor Absoluto (ou Módulo)Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem abcissa + 3 e B tem abcissa – 2.
A distância do ponto B à origem é 2.
2 3
A
4 50 1-1-2
B
-3
A distância do ponto A à origem é 3.
2 3
A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo.
11 de abril de 202326
Valor Absoluto (ou Módulo)Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos:
Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à origem do ponto que representa esse
número.
Portanto, temos ainda que
+3 = 3
-2 = 2
0 = 0
Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a zero:
11 de abril de 202327
Valor Absoluto (ou Módulo)NOTA
•O próprio número, se ele for positivo ou zero.
+3 = 3
-2 = 2
0 = 0
O valor absoluto de um número é:
•O seu simétrico, se ele for negativo.
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Números SimétricosRelativamente à origem da recta, é sempre possível encontrar dois pontos que se encontram à mesma distância.
1 2 3 4-1 0-2-3-4
Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma distância à origem, ou seja,
- 4 = 4
Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos.
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Números Simétricos
Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais contrários e o mesmo
valor absoluto.
Exemplos de números simétricos: - 0,3 = 0,3- 0,3 e 0,3 porque
1 e - 1 porque 1 = -1
Nota que o simétrico do número zero é o próprio número zero:
0 = 0
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Números Simétricos
Observação
1. De dois números positivos o maior é o que tem maior valor absoluto (está mais longe da origem).
Exemplos:
+ 100 > + 40
+ 0,5 > + 0,1
2. De dois números negativos o maior é o que tem menor valor absoluto (está mais perto da origem).
Exemplos:
- 0,01 > - 10
- 3 > - 50
11 de abril de 202331
Números Simétricos
PropriedadeO simétrico do simétrico de um número é o próprio número.
Exemplos:
- (- a) = + a = a
- (- 3) = + 3
Esta propriedade permite simplificar expressões como:
- (- 8) = + 8 , o simétrico de – 8 é + 8
- (+ 8) = - 8 , o simétrico de + 8 é - 8
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Números Simétricos
Simplificação da escritaNa recta também se escreve 1,2,3,..., em vez de +1,+2,+3,...
+ (- 8) = - 8+ (+ 8) = + 8
Também:
1 2 3 4-1 0-2-3-4
Não é obrigatório escrever o sinal +
11 de abril de 202333
Números Simétricos
Concluindo
•Valor absoluto da abcissa de um ponto é a distância à origem.
•Dois números que têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários são números simétricos.
- (- a) = + a = a
+ (- a) = - a
; - (+a) = - a
; + (+a) = + a = a
•
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Números Simétricos
Nota
Na recta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor.
1 2 3 4-1 0-2-3-4
-2 é maior que - 4 - 2 > - 4
2 é maior que - 1 - 1 é menor que 2
2 > - 1 - 1 < 2
> maior
< menor
ou
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Números Inteiros RelativosNa Natureza encontramos 1 árvore, 2 árvores, 3 árvores, ...
Os números 1,2,3,... são os números naturais.
O conjunto dos números naturais representa-se pela letra maiúscula N com um traço, para distinguir da letra normal.
IN = {números naturais} = {1,2,3,4,5,...}
INo = {0,1,2,3,4,5,...} = IN U {0}
é o conjunto dos númerosinteiros não negativos.
11 de abril de 202336
IN C INo C
Z
Números Inteiros RelativosComo já sabes, existem números negativos, simétricos dos números naturais.Os números naturais, os seus simétricos e o zero, formam um novo conjunto:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}é o conjunto dos números
inteiros relativos.
IN
INo
ZZ INo
C
Significa
“está contido”
Significa
“contém”
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1.Exemplo - 4 Z -1 IN
O símbolo Significa pertence
O símbolo Significa não pertence
2.Os símbolos (intersecção) e (reunião)
ZZZ 00 -={+1,+2,+3,...}={números inteiros positivos}Z
ZZ -INo
Z IN = IN
0 ZZ0
={...,-3,-2,-1}={números inteiros negativos}-Z
0 ZZ0;
onde,
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Usando os símbolos ou completa:
Números Inteiros Relativos
Exercícios:
a) -1 IN ;
b) -3 Z ;c) 4 Z;d) -3 IN ; f) 0 Z.
e) 0 INo ;
2.2 Complete usando os símbolos C ou :
C
a) ;
Z Zb) ;
0Z-Z
C
C
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