ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPKrovnice.
J. Brndiar, R. Derian, P. Markos
11.6.2007
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
1 ÚvodVodivost’ a transfér maticaDMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica
2 Numerické riešenieCiel’ePredprípravaAlgoritmus
3 VýsledkySkúmané modelyQuasi 1D DMPK (testovací výpocet)KovKritický bodIzolant
4 Záver
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Vodivost’ a transfér matica
A
B
C
D(CB
)= S
(AD
)S =
(t+ r−
r+ t−
), (1)(
CD
)= T
(AB
)T =
(t+ − r−(t−)−1r+ r−(t−)−1
−(t−)−1r+ (t−)−1
), (2)
T =(
u 00 u∗
)(√λ + 1
√λ√
λ√
λ + 1
)(v 00 v∗
), (3)
g =e2
hTr(t−)†t− =
e2
h ∑a
11 + λa
. (4)
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Klasická DMPK rovnica
l∂P∂L
=2
βN + 2− β
N∑i=1
∂
∂λiλi(1 + λi)J
∂
∂λiJ−1P, (5)
J(λn) = ∏i<j|λi − λj |β , 〈v∗abvcd〉 =
1N
δabδcd , 〈v∗cav∗cbvdavdb〉 =1 + δab
N(N + 1)δcd , (6)
P(xn, s) = C(s) ∏i<j
(sinh2 xj − sinh2 xi) ∏i
(sinh 2xi)×
×Det
[∫ ∞
0dk exp
(− 1
4k2sN
)tanh
(12
πk)
k(2m−1)P 12 (ik−1)
(cosh 2xn)
], (7)
s =Ll
, λn = sinh2 xi , (8)
g =N∑a
11 + λa
, g =∫
...∫ N
∏a
dλaP(λa, L)N∑a
11 + λa
, (9)
var g = g2 − g2 =2
15β. (10)
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Zovšeobecnená DMPK rovnica (GDMPK)
pre β = 1 : l∂P∂L
=N∑i=1
∂
∂λiλi(1 + λi)KiiJ
∂
∂λiJ−1P, (11)
J(λn) = ∏i<j|λi − λj |
γij , (12)
γij =2Kij
Kii, Kij =
⟨∑a|uia |2 |uja |2
⟩. (13)
quasi 1D limit : K1Disotropyab =
1 + δabN + 1
, pre ˛ = 1, (14)
0 10 20 30a
1
1,2
1,4
1,6
1,8
kaa
W=2 14x14x112W=2 10x10x160W=4 18x18x72W=4 18x18x18W=2 14x14x14
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Ciel’e
• Numericky vyriešit’ GDMPK, preskúmat’ quasi 1D limitupre GDMPK na DMPK,
• Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant,• Rôzna dimenzionalita vzorky,• Dvojparametricky model matice Kij.
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Ciel’e
• Numericky vyriešit’ GDMPK, preskúmat’ quasi 1D limitupre GDMPK na DMPK,
• Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant,
• Rôzna dimenzionalita vzorky,• Dvojparametricky model matice Kij.
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Ciel’e
• Numericky vyriešit’ GDMPK, preskúmat’ quasi 1D limitupre GDMPK na DMPK,
• Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant,• Rôzna dimenzionalita vzorky,
• Dvojparametricky model matice Kij.
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Ciel’e
• Numericky vyriešit’ GDMPK, preskúmat’ quasi 1D limitupre GDMPK na DMPK,
• Numerické riešenie pre kov, kritický bod a izolant,• Rôzna dimenzionalita vzorky,• Dvojparametricky model matice Kij.
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Transformácia rovnice, 1.cast’
•l∂P∂L
=N∑i=1
∂
∂λiλi(1 + λi)KiiJ
∂
∂λiJ−1P, (15)
J(λn) = ∏i<j|λi − λj |
γij , γij =2Kij
Kii, lim
L→0P = ∏
iδ(λi − 0+). (16)
•∂
∂sP(λn, s) =
N∑i=1
∂
∂λiD(λi)
(∂P∂λi
+ P∂
∂λiΩ(λn)
), (17)
D(λi) = λi(1 + λi)Kii , Ω(λn) = −∑i<j
γij ln |λj − λi |, s =Ll
(18)
•P(xn, s) = P(λn, s) ∏
i|f ′(xi)|, λn = f (xn), (19)
Ω → Ω −∑i ln |f ′(xi)|, D → D/f ′(xi)2 , f (xi)[1 + f (xi)]/f ′(xi)
2 = const, (20)
•f (xi) = sinh2(xi), resp λn = sinh2(xi) (21)
∂
∂sP(xn, s) =
14
N∑i=1
∂
∂xiKii
(∂P∂xi
+ P∂
∂xiΩ(xn)
), (22)
Ω(xn) = −∑i<j
γij ln | sinh2(xj)− sinh2(xi)| −N∑i=1
ln | sinh(2xi)|. (23)
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Transformácia rovnice, 1.cast’
•l∂P∂L
=N∑i=1
∂
∂λiλi(1 + λi)KiiJ
∂
∂λiJ−1P, (15)
J(λn) = ∏i<j|λi − λj |
γij , γij =2Kij
Kii, lim
L→0P = ∏
iδ(λi − 0+). (16)
•∂
∂sP(λn, s) =
N∑i=1
∂
∂λiD(λi)
(∂P∂λi
+ P∂
∂λiΩ(λn)
), (17)
D(λi) = λi(1 + λi)Kii , Ω(λn) = −∑i<j
γij ln |λj − λi |, s =Ll
(18)
•P(xn, s) = P(λn, s) ∏
i|f ′(xi)|, λn = f (xn), (19)
Ω → Ω −∑i ln |f ′(xi)|, D → D/f ′(xi)2 , f (xi)[1 + f (xi)]/f ′(xi)
2 = const, (20)
•f (xi) = sinh2(xi), resp λn = sinh2(xi) (21)
∂
∂sP(xn, s) =
14
N∑i=1
∂
∂xiKii
(∂P∂xi
+ P∂
∂xiΩ(xn)
), (22)
Ω(xn) = −∑i<j
γij ln | sinh2(xj)− sinh2(xi)| −N∑i=1
ln | sinh(2xi)|. (23)
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Transformácia rovnice, 1.cast’
•l∂P∂L
=N∑i=1
∂
∂λiλi(1 + λi)KiiJ
∂
∂λiJ−1P, (15)
J(λn) = ∏i<j|λi − λj |
γij , γij =2Kij
Kii, lim
L→0P = ∏
iδ(λi − 0+). (16)
•∂
∂sP(λn, s) =
N∑i=1
∂
∂λiD(λi)
(∂P∂λi
+ P∂
∂λiΩ(λn)
), (17)
D(λi) = λi(1 + λi)Kii , Ω(λn) = −∑i<j
γij ln |λj − λi |, s =Ll
(18)
•P(xn, s) = P(λn, s) ∏
i|f ′(xi)|, λn = f (xn), (19)
Ω → Ω −∑i ln |f ′(xi)|, D → D/f ′(xi)2 , f (xi)[1 + f (xi)]/f ′(xi)
2 = const, (20)
•f (xi) = sinh2(xi), resp λn = sinh2(xi) (21)
∂
∂sP(xn, s) =
14
N∑i=1
∂
∂xiKii
(∂P∂xi
+ P∂
∂xiΩ(xn)
), (22)
Ω(xn) = −∑i<j
γij ln | sinh2(xj)− sinh2(xi)| −N∑i=1
ln | sinh(2xi)|. (23)
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Transformácia rovnice, 1.cast’
•l∂P∂L
=N∑i=1
∂
∂λiλi(1 + λi)KiiJ
∂
∂λiJ−1P, (15)
J(λn) = ∏i<j|λi − λj |
γij , γij =2Kij
Kii, lim
L→0P = ∏
iδ(λi − 0+). (16)
•∂
∂sP(λn, s) =
N∑i=1
∂
∂λiD(λi)
(∂P∂λi
+ P∂
∂λiΩ(λn)
), (17)
D(λi) = λi(1 + λi)Kii , Ω(λn) = −∑i<j
γij ln |λj − λi |, s =Ll
(18)
•P(xn, s) = P(λn, s) ∏
i|f ′(xi)|, λn = f (xn), (19)
Ω → Ω −∑i ln |f ′(xi)|, D → D/f ′(xi)2 , f (xi)[1 + f (xi)]/f ′(xi)
2 = const, (20)
•f (xi) = sinh2(xi), resp λn = sinh2(xi) (21)
∂
∂sP(xn, s) =
14
N∑i=1
∂
∂xiKii
(∂P∂xi
+ P∂
∂xiΩ(xn)
), (22)
Ω(xn) = −∑i<j
γij ln | sinh2(xj)− sinh2(xi)| −N∑i=1
ln | sinh(2xi)|. (23)
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Transformácia rovnice, 2.cast’
∂
∂tP =
(− ∂
∂xiDi(x) +
∂2
∂xi∂xjDij(x)
)P (24)
xi =hi(x, s) + gij(x)Γj(s), (25a)
〈Γ(s)〉 =0; 〈Γ(s)Γ(s′)〉 = 2δ(s− s′), (25b)
gij =(√
D)ij = (√
D)ji , (25c)
hi =Di − (√
D)kj∂
∂xk(√
D)ij , (25d)
Di(x) =− Kii4
∂Ω(xn)∂xi
, (26a)
Dij(x) =Kii4
. (26b)
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Algoritmus
štartovací bod s = s0 , xis0≡ xi(s0)
xi(n+1) = xin + Di(xn)σ +Nν
∑j=1
√Dij(xn)σwjn , (27)
kde Nν je pocet premenných (kanálov), σ je krok v “case“. Po N − 1 krokoch získame hodnotu premennejxin = xi(sn) v case sn = s0 + σn, (n = 0, 1, . . . , N − 1; i = 1, 2, . . . , Nν). wj0 , wj1 , . . . , wj(N − 1) sú N ×Nν nezávislé
Gaussovské premenné s nulovou strednou hodnotou a s variáciou rovnou 2,
〈wjnwkn′ 〉 = 2δjkδnn′ . (28)
Reflecting boundary conditions:
xi−1n < xin < xi+1n−1 , 0 < x1n , xNνn < xNν−1n . (29)
Cuttoff C:
xNνn , xNνn 5 C, ∀n. (30)
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Prezentované modely
GDMPK:Plná matica Kij; cervena farba v grafochDvojparametrický model maticeKij → Kii = K11, Kij,i 6=j = K12; fialová farba v grafoch
Transfer matrix; cierna farba v grafoch:H = w ∑
iεic†
i ci + t‖ ∑i
c†i ci′ + t⊥ ∑
ic†
i ci′
t‖ = 1, t⊥ = 0.4, 〈εi〉 = 0, var εi =112
3D a 2D konfigurácie (L× L× Lz resp. L2 × 1× Lz)
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Quasi 1D DMPK (testovací výpocet)
modely g var g ln g var ln gQuasi 1D W=2.0; TM vs. dmpk
TM 03x03x030 2.30712234 0.16610910 0.81967346 0.0337185TM 03x03x050 1.46148071 0.13290123 0.34528266 0.0731734
dmpk 1.46148266 0.12712081 0.34681085 0.0698290TM 03x03x070 1.03038504 0.11938658 -0.03622906 0.1493575
dmpk 1.03298297 0.11555760 -0.03094479 0.1425711TM 03x03x100 0.67593721 0.10492471 -0.53958478 0.3592139
dmpk 0.67525933 0.10361166 -0.53799740 0.3510078TM 03x03x120 0.52998731 0.09686311 -0.86426619 0.5760851
dmpk 0.52949337 0.09669330 -0.86480914 0.5745084TM 03x03x140 0.42687494 0.08852371 -1.17931111 0.8462932
dmpk 0.42677092 0.08823384 -1.17605441 0.8332798
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Quasi 1D DMPK (testovací výpocet)
0 1 2 3 40
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 40
0.5
1
1.5
2
0 5 100
0.1
0.2
0 1 2 3 40
0.5
1P(g)P(x )all
P(x )1 P(x )2
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Kov
modely g var g ln g var ln g3D kov W=3.0; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=0.5225082,K12=0.0243982TM 07x07x06 21.10119113 1.76419675 3.04733437 0.00400848TM 07x07x08 17.58169596 1.41077822 2.86456036 0.00461756gdmpk Kab 17.58187697 1.03233124 2.86518723 0.00337745
gdmpk K11K12 17.57655575 0.96968909 2.86498584 0.00317352TM 07x07x10 15.04990534 1.12387762 2.70887501 0.00501570gdmpk Kab 15.05894202 0.70083319 2.71041646 0.00312380
gdmpk K11K12 15.04886042 0.62157976 2.70995099 0.002773522D kov W=3.0; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=0.7127655, K12=0.0836649TM 49x01x06 21.89150239 2.40746083 3.08356720 0.00508899TM 49x01x08 18.18954484 2.12540797 2.89760559 0.00652321gdmpk Kab 18.20232036 1.79479770 2.89881889 0.00548970
gdmpk K11K12 18.18086030 1.91292690 2.89745276 0.00586525TM 49x01x10 15.46389649 1.85830418 2.73458050 0.00791316gdmpk Kab 15.48140069 1.47522927 2.73653568 0.00624348
gdmpk K11K12 15.48587701 1.65137950 2.73645679 0.00698428
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Kov 2D
0 0.1 0.20
5
10
0 0.1 0.20
5
10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
10 15 20 250
0.2
0.4
P(g)P(x )all
P(x )1 P(x )2
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Kov 3D
0 0.1 0.20
5
10
0 0.1 0.20
5
10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
10 15 20 250
0.2
0.4
P(g)P(x )all
P(x )1 P(x )2
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Kritický bod
modely g var g ln g var ln g3D kritický bod W=9.2; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=0.2854427,K12=0.0208497TM 07x07x06 1.87300456 0.53084800 0.54308067 0.1864628TM 07x07x08 1.08193841 0.31204193 -0.07924381 0.3701835gdmpk Kab 1.08439842 0.27366747 -0.05667295 0.3197861
gdmpk K11K12 1.09213164 0.26639205 -0.04402261 0.3067098TM 07x07x10 0.68340852 0.19954946 -0.64579267 0.6541755gdmpk Kab 0.67891404 0.17929548 -0.62587445 0.5786058
gdmpk K11K12 0.68420252 0.17618134 -0.61271147 0.56965633D ”kritický bod“ W=8.6; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=0.5523038,K12=0.0108764
TM 49x01x06 1.96580872 0.62550581 0.58766377 0.19263799TM 49x01x08 1.02300431 0.33549249 -0.15846532 0.41603823gdmpk Kab 1.03734923 0.330117112 -0.13602401 0.3938501
gdmpk K11K12 1.02752902 0.328701191 -0.14685221 0.3959069TM 49x01x10 0.56908481 0.19037690 -0.89968448 0.80319405gdmpk Kab 0.564644207 0.183100262 -0.89703062 0.7699043
gdmpk K11K12 0.566909785 0.18397689 -0.88991631 0.7598020
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Kritický bod 2D
0 1 2 30
0.5
1
0 1 2 30
0.5
1
0 5 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0 1 2 3 40
0.5
1
P(g)P(x )all
P(x )1 P(x )2
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Kritický bod 3D
0 1 2 30
0.5
1
0 1 2 30
0.5
1
0 5 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0 1 2 3 40
0.5
1
P(g)P(x )all
P(x )1 P(x )2
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Izolant
modely g var g ln g var ln g3D izolant W=26.0; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=0.5225082,K12=0.0243982TM 07x07x06 0.02881692 0.00898202 -5.83049273 4.660683TM 07x07x08 0.00538405 0.00163947 -9.42287309 7.664761gdmpk Kab 0.00672098 0.00229043 -9.43609423 8.108059
gdmpk K11K12 0.00653788 0.00215359 -9.41264990 8.354991TM 07x07x10 0.00120696 0.00036542 -13.12034178 10.69212gdmpk Kab 0.00183847 0.00064487 -13.12879793 11.75684
gdmpk K11K12 0.00187068 0.00064911 -13.16042742 12.667692D izolant W=26.0; gdmpk: Kab; gdmpk K11K12: K11=0.7127655, K12=0.0836649
TM 49x01x06 0.02117155 0.00645566 -5.83049273 4.6606838TM 49x01x08 0.00320916 0.00097178 -10.27277542 7.448712gdmpk Kab 0.00336747 0.00099279 -10.17790538 7.011966
gdmpk K11K12 0.00335025 0.00101573 -10.24674352 7.137807TM 49x01x10 0.00054608 0.00014943 -14.46819836 10.134059gdmpk Kab 0.00067939 0.00022282 -14.42633078 9.445906
gdmpk K11K12 0.00066689 0.00022251 -14.57082768 9.762933
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Izolant 2D
0 5 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 10 15 20 250
0.05
0.1
0.15
-20 -15 -10 -5 00
0.05
0.1
0.15
0.2 P(ln g)P(x )all
P(x )1 P(x )2
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Izolant 3D
0 5 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 10 15 20 250
0.05
0.1
0.15
-20 -15 -10 -5 00
0.05
0.1
0.15
0.2 P(ln g)P(x )all
P(x )1 P(x )2
ÚVOD NUMERICKÉ RIEŠENIE VÝSLEDKY ZÁVER
Zhrnutie
DMPK: použitel’ná v quasi 1D, súlad s exaktnýmvypoctom a TM.GDMPK: správne (? kov) opisuje jednotlivé oblastifázoveho diagramu kov-izolant pre vodivost’.GDMPK: matica Kij nesie informácie o dimensionalitevzorky.GDMPK: dvojparametrický model je postacujúcaaproximácia pre vodivost’.GDMPK: kompletný opis distribúcie neposkytuje ci už našalgoritmus alebo samotná rovnica; nezanedbatel’ný faktormá matica Kij, nakol’ko jej vyššie elementy sú urcenenepresne.
Top Related