MTE3101 MENGENAL NOMBOR
17
Topik 5
Nombor Bukan Nisbah
5.0 Sinopsis
Topik ini memberi pendedahan kepada pelajar tentang Nombor Bukan Nisbah serta ciri-ciri
asas nombor tersebut. Punca kuasa dua dan surd juga dibincangkan, khususnya tentang
hukum hasil darab dan hukum hasil bahagi bagi surd. Topik ini turut membincangkan
beberapa penyelesaian masalah tentang Nombor Bukan Nisbah.
5.1 Hasil Pembelajaran
1. Mengenal pasti ciri-ciri Nombor Bukan Nisbah.
2. Membahagi radikal/surd dengan indeks yang sama serta memudahkan hasil darab dan
hasil bahagi surd.
3. Memudahkan radikal melalui penyempurnaan / merasionalkan penyebut.
4. Menyelesaikan masalah harian yang melibatkan radikal / surd.
5.2 Kerangka Konsep
NOMBOR BUKAN NISBAH
Ciri-ciri asas / Definisi
Punca Kuasa Dua dan Surd
Penyelesaian Masalah
Hukum Hasil darab
Hukum Hasil bahagi
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
18
5.3 Ciri-ciri Asas Nombor Bukan Nisbah
5.3.1 Definisi
Nombor bukan nisbah ialah nombor bukan integer yang tidak boleh diungkapkan
sebagai nisbah / pecahan.
Lihat rajah di bawah. Apa yang anda dapat katakan tentang Nombor Bukan Nisbah?
Ianya nombor nyata yang boleh ditulis sebagai nombor perpuluhan yang tidak berakhir dan
tidak berulang. Antara contoh-contoh Nombor Bukan Nisbah ialah , , 2 5,3 dan
lain-lain.
Kita telah membincangkan tentang Nombor Nisbah. Sekarang cuba fikirkan apakah
maksud Nombor Bukan Nisbah.
Adakah )(Pi Nombor Nisbah atau Nombor Bukan Nisbah ?
)(Pi adalah bersamaan dengan 3.141592653589793238. tentunya anda tidak dapat
menulis sebarang nisbah / pecahan yang bersamaan nilai )(Pi .
Penghampiran 22/7 = 3.1428571428571adalah nilai yang hampir TETAPI tidak tepat.
Mari kita kaji Punca Kuasa dua bagi 2:
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
19
Apakah jarak bagi pepenjuru di atas ?
Jawapan anda tentulah punca kuasa dua bagi 2, iaitu 1.4142135623730950...
Didapati, ianya bukan nombor seperti 3, atau lima per tiga, atau sebagainya. Anda tidak
dapat menulis punca kuasa dua bagi 2 dengan menggunakan nisbah dua nombor. Nombor
sebegini dikenali sebagai Nombor Bukan Nisbah.
Nombor Bukan Nisbah lain yang popular adalah :
Nombor e (Euler's Number) Ramai pengkaji telah mendapati nilainya mempunyai beberapa tempat perpuluhan tanpa mendapati corak / pola tertentu. Nilainya adalah
2.7182818284590452353602874713527
Nisbah Keemasan ( Golden Ratio ) juga adalah Nombor Bukan Nisbah.Beberapa digit yang pertamanya adalah
1.61803398874989484820... ..
Banyak punca kuasa dua, punca kuasa tiga dan sebagainya adalah Nombor Bukan Nisbah . Contoh-contoh adalah
3 1.7320508075688772935274463415059
99 9.9498743710661995473447982100121
5.3.2 Punca Kuasa Dua
Perhatikan pernyataan di bawah :
Kita mengetahui bahawa 525 . Nombor seperti 25, mempunyai punca kuasa dua
berbentuk nombor bulat ( iaitu 5 ) dikenali sebagai KUASA DUA SEMPURNA. Nombor 5
pula dipanggil sebagai PUNCA KUASA DUA SEMPURNA.
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
20
Setiap nombor bulat mempunyai punca kuasa dua. Kebanyakan nombor yang bukan
KUASA DUA SEMPURNA (contohnya 26), mempunyai PUNCA KUASA DUA berbentuk
Nombor Bukan Nisbah.
5.3.2.1 Mencari Punca Kuasa Dua Sesuatu Nombor
Jika sesuatu nombor itu bukan Nombor Kuasa Dua Sempurna, anda boleh menggunakan
kalkulator untuk mencari jawapan tepat kepada perseribu yang hampir.
Contoh 1:
Cari punca kuasa dua bagi nombor-nombor 81, 37, 158. Penyelesaian:
981
083.637
570.12158
Contoh 2:
Cari dua nombor bulat yang berturutan yang memberikan lingkungan jawapan
kepada punca kuasa dua nombor berikut:
(a) 18 (b) 115
Penyelesaian:
(a) 416 dan 525 maka 18 berada antara 4 dan 5.
(b) 10100 dan 11121 maka 115 berada antara 10 dan 11.
5.3.3 Surd
Nombor Bukan Nisbah yang melibatkan simbol radikal seperti , 3 , 4 dan lain-lain
dikenali sebagai surd.
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
21
3 4,12 , , adalah contoh-contoh surd.
Kita sedia maklum bahawa 636 , ,
Semua punca kuasa nombor-nombor di atas mempunyai nilai yang tepat dan dikenali
sebagai Nombor Nisbah.
Bagi 43 100,21,2 , kita terpaksa menggunakan kalkulator untuk mencari
jawapan. Didapati 16.3100,76.221,41.12 43
Semua punca kuasa nombor-nombor di atas TIDAK mempunyai nilai yang tepat dan
dikenali sebagai Nombor Bukan Nisbah. Juga dikenali sebagai SURD.
Mari kita kaji nombor-nombor berikut:
Adakah nombor-nombor di bawah Nombor Nisbah atau Nombor Bukan Nisbah ?
(a) 5 (b) 36 (c) 2
(d)
2
Kita akan mendapati jawapan seperti berikut:
(a) 5 - Nombor Bukan Nisbah kerana ia tidak dapat dimudahkan kepada sebarang
integer.
(b) 36 - Nombor Nisbah kerana ia dapat dimudahkan kepada integer: 636
(c) 2
- Nombor Bukan Nisbah kerana adalah nombor Bukan Nisbah.
(d)
2- Nombor Nisbah kerana ia dapat dimudahkan kepada
2
1.
5.3.3.1 Bentuk Standard / Piawai bagi Surd
243 dan 39 adalah surd yang sama. 243 dikenali sebagai surd penuh manakala
39 pula adalah bentuk standard / piawai.
273 juga bersamaan 243 and 39 , tetapi ia bukan dalam bentuk surd penuh atau
bentuk standard.
Surd dalam bentuk standard mempunyai nombor (berada dalam tanda punca kuasa
dua/tiga) yang tidak boleh dibahagi oleh nombor kuasa dua sempurna (lebih besar
daripada 1).
53 5
3211
283 2325
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
22
Contoh 3:
Nyatakan dalam bentuk standard
(a) 8 (b) 125 (c) 325 . (d) 2000
Penyelesaian:
(a) 2224248
(b) 55525525125 .
(c) 22021652165325 .
330
3310
3910
271002700)(
d
Contoh 4:
Nyatakan dalam bentuk surd penuh
(a) 57 (b) 85 (c) x29 .
Penyelesaian:
(a) 24554954957 .
(b) 20082582585 .
(c) xxxx 16228128129 .
5.3.3.2 Penambahan dan Penolakan SURD. Contoh 5:
Kira hasil tambah dan hasil tolak surd berikut: (a) (b)
(c) (d)
2624 2372316
1712178 3437310
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
23
Penyelesaian:
(a)
(b)
(c)
(d)
5.3.3.3 Hukum Hasil Darab
Contoh 6:
Mudahkan 73
Penyelesaian:
217373 .
Contoh 7:
Mudahkan 10352
Penyelesaian:
5061053210352
Contoh 8:
Kembangkan dan mudahkan
(a) 2325 (b) 2356 (c) 2268 .
baab
2102624
2392372316
1741712178
3133437310
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
24
Penyelesaian:
(a) 25310253252325 .
(b) 626352356
= 62185
62295 .
62235
62215
(c) 162482268
= 8316
= 834 .
5.3.3.4 Hukum Hasil Bahagi
Contoh 9:
Mudahkan (a) 26 (b) 2
8
Penyelesaian:
(a) 32626 (b) 242
8
2
8
Contoh 10:
Mudahkan 315
153
nn
n
b
a
b
a
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
25
Penyelesaian:
55
1
3
15
15
3
315
153 atau
5
5
Contoh 11:
Mudahkan 33
5
yx
yx
Penyelesaian:
y
x
y
x
y
x
yx
yx
yx
yx
2
2
2
33
5
33
5
)(
Merasionalkan penyebut bagi sesuatu Ungkapan (Rationalising the denominator of
an expression)
Kadangkala, penyebut sesuatu ungkapan, perlu diubah kepada Nombor Nisbah. Apabila
tanda punca kuasa dua ( ) terlibat dalam operasi pembahagian, kita hendaklah cuba
menghapuskan tanda tersebut pada bahagian penyebut (denominator). Proses ini
dinamakan merasionalkan penyebut (rasionalizing the denominator).
Perhatikan penerangan di bawah:
Penyebut Darab dengan Penyebut tanpa radikal
3 3 3)3(2
13 13 213
32 32 2 9 = -7
35 35 5 3 = 2
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
26
Contoh 12:
Rasionalkan penyebut bagi ungkapan-ungkapan berikut:
(a) 7
2 (b)
5
3 (c)
32
2.
Penyelesaian:
(a) 7
72
77
72
7
2 . ( darab pengangka dan penyebut, dengan penyebut
yang sama)
(b) 5
15
55
53
5
3 .
(c) 6
6
32
6
332
32
32
2
. ( darab pengangka dan penyebut, dengan
penyebut yang bertanda surd)
Konjugat Surd
Jika diberi ba , kita dapati ba adalah pasangan konjugat surd. 7253 dan
7253 membentuk pasangan konjugat surd. Pendaraban pasangan konjugat surd
akan menghasilkan Nombor Nisbah.
Peraturan umum bagi pasangan konjugat surd adalah seperti berikut:.
Contoh mudah adalah seperti berikut:
4
37
333737)77()37()37(
ba)ba()ba(
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
27
Contoh 13:
Kembangkan pasangan surd konjugat berikut:
(a) 1313 (b) 2626
(c) 72537253 . Penyelesaian:
(a) 213133331313 .
(b) 226226662626 = 6 2 = 4.
(c) 72537253
774576756559
177459 .
Contoh 14:
Rasionalkan penyebut bagi 23
2
Penyelesaian:
26
23
)2(32
)2()3(
)23(2
23
23
23
2
23
2
2
22
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
28
Peringatan: Anda digalakkan melayari laman web atau cari dari buku rujukan di
pusat sumber untuk meningkatkan pemahaman anda. Segala latihan yang dibuat
perlu dimasukkan dalam portfolio masing-masing.
SELAMAT BELAJAR!
1. Nyatakan ungkapan berikut dalam bentuk standard bagi surd:
(a) 500 (b) 484756
2. Nyatakan ungkapan berikut dalam bentuk surd penuh:
(a) 4500 (b) 3200
3. Cuba anda ringkaskan ungkapan berikut:
35
2)(
a
3
1132)(
b
hxhx
hxhxc
)(
2873)( d
523 xxxpersamaanSelesaikan4. ( agak mencabar ).
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
29
RUJUKAN :
Sullivan, Michael. (1999). Algebra and Trigonometry. 5th ed. New Jersey: Prentice Hall. Tipler, M.J. et.al.(2003). New national framework Mathematics. USA: Nelson Thornes
Limited. Groves, Susie. (2006). Exploring number and space: Reader. Victoria: Deakin University.
Humble, S. (2002). The experimenters A-Z of Mathematics: Maths activities with computer
support. London: David Fulton.
Miller, C. D.; Heeren, V. E. & Hornsby, E. J. Jr. (1990). Mathematical ideas. 6th ed. USA:
Harper Collins.
Musser, Gary L.; Burger, William F. & Peterson, Blake E. (2006). Mathematics for elementary teachers. A contemporary approach. 7th ed. NJ: John Wiley and Sons.
Smith, K. J. (2001). The nature of Mathematics. 9th ed. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole.
Man, Leng Ka; Goen, Quek Suan; Kiang, Yong Ping, (1998). Kecemerlangan Dalam Matematik S STPM. Federal Publications Sdn.Bhd.
Top Related