1133133
Módulo 1
Atividades Adicionais Matemática
1. A negação da sentença: existem números irracionais e todos os naturais são racionais é:
a) Não existem números irracionais e nem todos os naturais são racionais.
b) Todos os números não são irracionais, mas todos os naturais são não irracionais.
c) Nem existem números irracionais e nem todos os naturais são racionais.
d) Todos os números não são irracionais ou existem naturais que não são racionais.
e) Existem números não irracionais ou todos os natu-rais não são racionais.
2. (IBMEC) Sabe-se que entre os agentes Mileum, Mile-dois e Miletrês do Serviço Secreto Vitruviano há um espião (e apenas um). Esses três agentes trabalham em equipe da seguinte maneira:
• Cada um deles recebe duas mensagens, que sem-pre são sentenças (ou seja, declarações que so-mente podem ser verdadeiras ou falsas);
• Cada mensagem vem endereçada a um dos ou-tros dois membros da equipe;
• Assim, cada uma das duas mensagens deve ser fielmente transmitida pelo agente que a recebeu para os outros dois membros da equipe, cada uma para seu destinatário.
Ainda não se sabe qual dos três é o espião, mas já foi descoberto que o espião transmite sempre as nega-ções das mensagens que ele recebe, no lugar das sentenças originais. Dessa forma, para desmascará--lo foram enviadas seis mensagens verdadeiras para os agentes, duas para cada um, que deveriam circu-lar conforme o esquema anteriormente apresenta-do. A transmissão das informações entre os agentes foi registrada a seguir:
Mileum " Miledois: Eu não sou o espião e Miletrês também não é.
Mileum " Miletrês: Você não é o espião.
Miledois " Mileum: Se Miletrês não é o espião, então o espião é você.
Miledois " Miletrês: Mileum é o espião.
Miletrês " Mileum: Miledois é o espião.
Miletrês " Miledois: Se eu não sou o espião, então o Mileum também não é.
Determine quem é o espião, justificando seu ra-ciocinio.
3. (IBMEC) Duas personalidades inseparáveis, Gollum e Sméagol, dialogam de uma maneira bem peculiar:
• Gollum sempre inicia com uma declaração que necessariamente é verdadeira ou falsa;
• Para cada declaração verdadeira proferida por Gollum, Sméagol faz em seguida uma declaração falsa e, para cada declaração falsa proferida por Gollum, Sméagol faz em seguida uma declaração verdadeira;
• Independente do que foi dito por Sméagol, Gollum faz na sequência uma outra declaração que é necessariamente verdadeira ou falsa, caso queira continuar o diálogo.
Considere que no diálogo a seguir, "nós" sempre se refere apenas a Sméagol e Gollum e que o "Mestre" não é nenhum dos dois.
1) Gollum: Se nós arrancarmos o dedo do precioso, então nós nunca mais morreremos.
2) Sméagol: Se nós nunca morreremos, então o Mes-tre é imortal.
3) Gollum: O Mestre é mortal, e estamos com o dedo certo, com o do precioso.
4) Sméagol: O dedo que arrancamos é o do precioso, nos vamos morrer, ou o Mestre é imortal.
Classifique cada uma das sentenças a seguir como verdadeira ou falsa, justificando seu raciocínio.
p: Sméagol e Gollum arrancaram o dedo do pre-cioso.
q: Sméagol e Gollum nunca mais morrerão.r: O Mestre é imortal.
4. (PUC) Sendo A = {{1}, {2}, {1, 2}}, pode-se afirmar que:
a) {1} z Ab) {1} f Ac) {1} + {2} j Ad) 2 d Ae) {1} , {2} d A
2133133
5. (FAAP) Analisando-se os resultados dos 112 alu-nos do 1o- semestre de uma faculdade verificou-se que 58 ficaram reprovados em matemática, 42 em informática e 31 foram reprovados em todas as disciplinas. Quantos desses alunos ficaram re-provados nas duas disciplinas: matemática e in-formática?
a) 15b) 19c) 23d) 25e) 39
6. (UERJ) Considere um grupo de 50 pessoas que foram identificadas em relação a duas categorias: quanto à cor dos cabelos, louras ou morenas; quanta à cor dos olhos, azuis ou castanhos. De acordo com essa iden-tificação, sabe-se que 14 pessoas no grupo são louras com olhos azuis, que 31 pessoas são morenas e que 18 têm olhos castanhos.
Calcule, no grupo, o número de pessoas morenas com olhos castanhos.
7. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:
• 40% dos entrevistados Ieem o jornal A;• 55% dos entrevistados Ieem o jornal B;• 35% dos entrevistados Ieem o jornal C;• 12% dos entrevistados Ieem os jornais A e B;• 15% dos entrevistados Ieem os jornais A e C;• 19% dos entrevistados Ieem os jornais B e C;• 7% dos entrevistados Ieem os três jornais;• 135 pessoas entrevistadas não Ieem nenhum dos
três jornais.Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o número total de entrevistados foi:
a) 1 200 b) 1 500 c) 1 250 d) 1 350
8. (FGV) Para esta questão, considere a seguinte no-tação:
A' = complemento de A em relação ao universo U. Sejam os conjuntos X, Y e Z. Qual das afirmações é falsa?
a) Se x f Y f Z então (Z − Y) f (Z − X)b) (X , Y) − Y = X − Y c) X + X' = X.d) Se X = Y’, então Y = X'.e) (X , X') + (Y + Y') = 0
9. lndica-se por n (X) o número de elementos de um conjunto X. Sejam os conjuntos A e B tais que
n(A , B) = 12, n(A + B) = 5 e n (B − A) = 3. Nestas con-dições, n(A × B) é igual a:
a) 21 b) 36 c) 40 d) 56 e) 72
10. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Sejam M = {(a; b)} d A × B mdc (a; b) = 2} e N = {(a; b) d A × B b = 2a}. Determine:
a) N k M b) N , M
11. (CESGRANRIO) Dados os conjuntos
A = 1, 12
, {x d R 2 < x < 3}
e B = {x d R 1≤ x ≤ 2}, o gráfico de A × B é melhor representado por:
a) 2
1
1 2 332
b) 2
1
1 2 332
c) 2
1
1 2 332
d) 2
1
1 2 332
e) 2
1
1 2 332
12. (UNIFESP) Há funções y = f(x) que possuem a se-guinte propriedade: “a valores distintos de x corres-pondem valores distintos de y".
Tais funções são chamadas injetoras.
Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem a seguir, é injetora?
a)
x1
y b)
x1
y
c)
x1
y d)
x1
y
e)
x1
y
3133133
13. (ESPM) O gráfico a seguir mostra uma reta que re-presenta a função f(x), cuja inversa é f−1(x). O valor de f−1(1) é:
y
x40
2
a) 1 b) 32
c) 2 d) 52
e) 3
14. (AFA) Se f e g são funções de R em R definidas por
f(3x + 2) = 3x − 2
5 e g(x − 3) = 5x − 2, então f(g(x)) é:
a) x − 4
5 b)
5x + 95
c) 5x + 13 d) 5x + 11
5
e) 5x + 9
3
15. Para cada número real x ≠ 1, define-se f(x) por
f(x) = x
x − 1
Então, f(f(x)) é sempre igual a:a) x b) −x c) f(x)
d) f(x)2 e) f(x2)
16. (VUNESP) Considere as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b. Determine o conjunto C dos pontos (a; b) d R2 tais que f ο g = g ο f.
17. (FCC) O gráfico de uma função y = f(x) de domínio real, periódica, de período 3, no intervalo [2; 5], é:
x8765432
2
1
1
f(x)
No intervalo [−1; 1], o gráfico será:
a) 2
321–1
1
f(x)
x
b)
–1 321
2
1
f(x)
x
c)
–1 321
2
f(x)
x
1
d)
–1 321
2
1
f(x)
x
e)
–1
2
1
f(x)
x321 x
18. (UNIFESP) Seja a função f: R " R, dada por f(x) = sen x.
Considere as afirmações seguintes:
1) A função f(x) é uma função par, isto é, f(x) = f(−x), para todo x real.
2) A função f(x) é periódica de período 2π, isto é, f(x + 2π) = f(x), para todo x real.
3) A função f(x) é sobrejetora.
4) f(0) = 0, f (π3 ) = 2
3 e f (π2 ) = 1
São verdadeiras as afirmações: a) 1 e 3, apenas. b) 3 e 4, apenas.c) 2 e 4, apenas. d) 1, 2 e 3, apenas.e) 1, 2, 3 e 4.
19. (MACK) Considerando-se as afirmações a seguir, as-sinale a alternativa correta:
I. Toda função bijetora é uma função ímpar.II. Toda função par é bijetora.III. A função de R em R, definida por f(x) = ax + b, com
a, b ≠ 0, não é par, nem ímpar.
IV. A função de [−1; 1] em − π2
; π2
, definida por f(x) = arc sen x, é impar.
a) São verdadeiras as afirmações I e II.b) São verdadeiras as afirmações I e III.c) São verdadeiras as afirmações II e IV.d) São verdadeiras as afirmações III e IV.e) São verdadeiras as afirmações I e IV.
20. (PUC) A produção diária de um certo produto, reali-zada por um determinado operário, é avaliada por: Produção = 8 ⋅ x + 9 ⋅ x2 − x3 unidades, x horas após às 8 horas da manhã, quando começa o seu turno.
a) Qual é a sua produção até o meio-dia?b) Qual é a sua produção durante a quarta hora de
trabalho?
21. (UFMA) Dada a função f:[−2; + ∞ ] " [−4; + ∞ ) defi-nida por f(x) = x2 + 4x:
a) Esboce o gráfico cartesiano de f.b) A função f admite a inversa? Em caso afirmativo,
calcule f−1(x).
4133133
22. Das representações gráficas a seguir, a que melhor re-presenta o esboço do gráfico da função f: R − {2} " R
definida por f(x) = x 2x 4x 42
-- +
é:
a)
2
1
–1
y
x
b)
2
1
y
x
c)
2
1
y
x
d)
2
1
y
x
e)
2
–1
y
x
23. (FEI) Se A(x) = x2 − 1 e B(x) = 1 − x2, determine o domínio e o conjunto imagem da função f(x) = A (x) + (x)B .
24. (FGV) seja f uma função de N* " R tal que
f(n + 1) = .
22 ( ) 1f n + e f(1) = 2.
Nessas condições, f(101) é igual a:
a) 49b) 50 c) 51 d) 52 e) 53
25. Dizemos que (a, f(a)) é um ponto fixo do gráfico de uma função real f : R " R se f(a) = a. Se f(x) = x2 + 8x + 6, então a distância entre os pontos fixos do gráfico de f é:
a) 7 2 b) 4 2 c) 8 2 d) 5 2 e) 6 2
26. (UFSCar) Seja f: N " Q uma função definida por
f(x) = x + 1, se x é impar
2x ,se x é par
Se n é impar e f(f(f(n))) = 5, a soma dos algarismos de n é igual a:
a) 10b) 9c) 8d) 7e) 6
27. Sejam f e g funções reais tais que f(g(x)) = x2 − 3x + 2 e g(x) = 2x − 3, para todo x d R. A partir dessas in-formações, considere as seguintes afirmativas, atribuindo V para a(s) verdadeira(s) e f para a(s) falsa(s):
( ) As raízes de f são −1 e 1.( ) O produto de f(3) e g(f(7)) é igual a 60.
( ) O resto da divisão de f(g(x)) por g(x) é igual a − 41 .
( ) Para todo x ≤ 3 tem-se que f(g(x)) ≤ 2.a) F, F, V, F.b) V, F, V, F.c) F, V, V, F.d) V, V, F, V.e) F, V, F, V.
28. (FAAP) Dados os seguintes intervalos:
A = [3, 6[ = { x d R, tal que 3 ≤ x < 6}
B = ]2, 7] = { x d R, tal que 2 < x ≤ 7}
C = [2, 6[ = { x d R, tal que 2 ≤ x < 6}
em que R é o conjunto dos números reais, o interva-lo (A , B) + (A , C) é igual a:
a) [2; 6]b) [2; 6[c) ]2; 6]d) ]2; 6[e) n.r.a.
29. Se x = 1, 666..., o valor numérico da expressão
x x
x x1
1
12
+ −
+ é:
a) 35
b) 43
c) 38
d) 83
e) 53
30. Se pq
é a fração irredutível equivalente a 6,888...2,444...
, o
valor de p + q é:
a) 38 b) 39 c) 40 d) 41 e) 42
5133133
31. (FUVEST) Dados dois números reais a e b que satis-fazem as desigualdades 1 ≤ a ≤ 2 e 3 ≤ b ≤ 5, pode-se afirmar que:
a) ab
≤ 25
b) ab
≥ 23
c) 15
≤ ab
≤ 23
d) 15
≤ ab
≤ 12
e) 32
≤ ab
≤ 5
32. (FATEC) sejam a e b números irracionais. Das afir-mações:
I. a ⋅ b é um número irracional. II. a + b é um número irracional.III. a − b pode ser um número racional.pode-se concluir que: a) as três são faIsas.b) as três são verdadeiras.c) somente I e II são verdadeiras.d) somente I é verdadeira.e) somente I e II são falsas.
33. (FUVEST) Na figura estão representados geometri-camente os números reais 0, x, y e 1.
0 x y 1
Qual a posição do número xy?
a) À esquerda de 0. b) Entre 0 e x. c) Entre x e y.d) Entre y e 1. e) À direita de 1.
34. Sendo A = 10 6 833 2- + e B = 7 7 9+ − ,
calcule o valor de A B2 2+ .
35. (MACK) Em uma promoção de final de semana, uma montadora de veículos colocou à venda n unida-des, ao preço único de R$ 20.000, 00.
No sábado, foram vendidos 29
dos veículos, no do-
mingo, 17
do que restou, e sobraram 300 veículos.
Nesse final de semana, se os n veículos tivessem sido vendidos, a receita da montadora, em miihões de reais, seria de:
a) 7, 6 b) 8, 4 c) 7 d) 9, 5 e) 9
36. Um automóvel flex, que funciona com álcool e ga-solina misturados em qualquer proporção, está com meio tanque de combustível, com uma mistu-ra de álcool e gasolina na proporção de 3 : 7. O mo-torista, então, completa o tanque colocando o res-tante com uma mistura de álcool e gasolina na proporção de 3 : 5. A proporção final de álcool e gasolina no tanque cheio é de:
a) 9 : 35 b) 27 : 53 c) 15 : 21 d) 36 : 35 e) 27 : 35
37. (MACK) Subtraindo 8 – 3 7
5 de
7 312
+ , obtém-se:
a) 81 − 4 7 b) 22 + 21 7 c) −22 − 21 7d) 41 7 − 81 e) n.r.a.
38. (FUVEST) Usando (1, 41)2 < 2 < (1,42)2, prove que:
6,1 < 5
1 500
+ < 6,3
39. (MACK) I. Se k + 1k
= 3, então kk13
3+ = 3 2 .
II.( 3 5+ + 3 – 5 )2 = 10
III. Não existe x real tal que 2– 4 4x x
–x
2 + = x − 2
Relativamente às afirmações anteriores, é correto afirmar que:
a) todas são verdadeiras.b) todas são falsas.c) somente I e II são verdadeiras.d) somente I e Ill são verdadeiras.e) somente II e Ill são verdadeiras.
40. (PUC) Simplificando a fração a – ac
a ab – ac – bc2
2 +,
obtém-se:
a) ab − ac b) aa b+
c) aa c–
d) a b
ca2 +
e) a − b
6133133
41. (MACK) O valor da expressão 2 2
2 2 22 –1n n
n n4n 2 1
–
–
++ +++
é:
a) 1b) 2n+1
c) 833
d) 382
e) n
42. (FATEC) Se os números reais x e y são tais que
y = x x
xx
x x3 3 1
23 2
3 2
+++ +
+, então y é igual a:
a) 27
b) 2
xx
3++
c) 3xx 1
++
d) xx
1+
e) ( )xx
3 12 1
++
43. (FGV) A expressão a – ba b–
– –
–4 –4
2 2 equivale a:
a) a−2 − b−2 b) a−2 + b2 c) a2 − b−2 d) a2 − b2 e) a−2 + b−2
44. A expressão a ba b
a – ba b–3 3 3 3
++d dn n (a ≠ ±b) é equiva-
lente a:
a) a2 + 2ab + b2 b) a3 + ab − b3 c) a4 + b4 d) a4 + a2b2 + b4 e) a4 − a2b2 + b4
45. (FGV) Uma empresa, a título de promoção, tira foto-cópias cobrando R$ 0,10 por folha, até um máximo de 100 foIhas; o que exceder a 100 folhas, a empre-sa cobra R$ 0,08 por folha.
a) Se um cliente deseja tirar 200 fotocópias, qual o preço total?
b) Chamando de y o preço total e x o número de fo-tocópias tiradas por um cliente, expresse y em função de x.
46. (MACK) Em cada uma das salas de aula de uma es-cola existem 30 carteiras. Distribuídos os alunos da escola nas salas, uma delas fica com exatamente 20
carteiras vazias e, as demais salas, totalmente ocu-padas. Utiiizando 4 salas a menos, e acrescentando 10 carteiras em cada uma delas, todas ficam total-mente ocupadas. O número de alunos da escola é:
a) 370 b) 380 c) 400 d) 410 e) 440
47. (FUVEST) Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contri-buir com RS 135,00 para as despesas. Como 7 alu-nos deixaram a escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar RS 27, 00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa?
a) R$ 136,00 b) R$ 138,00 c) RS 140,00 d) R$ 142,00 e) R$ 144,00
48. (FATEC) Sobre as raízes reais da equação x + – 1232
x = 0, é verdade que:
a) uma delas é o dobro da outra.b) têm sinais contrários.c) são maiores que 10.d) não são inteiras.e) são inexistentes.
49. (FAAP) Determine o valor de p para que as raízes da
equação x2 − (p + 1)x + p p4
4
2 + = 0 sejam reais e
iguais.
50. (VUNESP) Um vaIor de m para o quaI uma das raízes da equação x2 − 3mx + 5m = 0 é o dobro da outra é:
a) − 25
b) 2 c) −2d) −5
e) 25
51. Determine os valores de m para que a equação (m + 1)x2 − 2mx + (m − 1) = 0 tenha uma raiz positiva e outra negativa.
52. (UFMS) Considere os poIinômios p(x) = x2 − mx + 4 e q(x) = x2 − 4x + n, onde m, n d R. Sabendo que p(x)
7133133
tem uma única raiz real e que uma das raízes de q(x) é zero, considere as seguintes afirmações:
I. m + n = 4, se m > 0. II. m − n = −4.III. {0; 4} é o conjunto solução da equação q(x) = 0.IV. A soma das raízes de p(x) é 4 ou −4.V. Se p(1) = 9, então m = 4.
Somente estão corretas as afirmações:a) I e II.b) III, IV e V. c) III e IV.d) II, IV e V. e) I, III e IV.
53. Resolva as equações seguintes (U = R):
a) x4 − x2 − 12 = 0b) x6 − 28x3 + 27 = 0
54. . Determine as raízes da equação:
– 47
1x x2
2 +d n − 1,25 – 47
1x x2 +d n + 0, 25 = 0
55. (FUVEST) Sejam x1 e x2 as raízes da equação 10x2 + 33x − 7 = 0. O número inteiro mais próximo do nú-mero 5x1x2 + 2(x1 + x2) é:
a) −33 b) −10 c) −7 d) 10 e) 33
56. (PUC-C) No conjunto R, o conjunto verdade de −x2 + 2x + 15 < 0 é:
a) V = {3, 5} b) V = {x d R −3 < x < 5}c) V = {x d R x ≠ −3 e x ≠ 5} d) V = {x d R x < −3 ou x > 5}e) n.d.a
57. (FAAP) Resolver a inequação (x2 − 5x + 6)(−x2 + 5x − 4) > 0.
58. (FUVEST) Resolver a inequação – 3
1x x– –x x2
2 ≥ 0.
59. (FGV) Seja R o conjunto dos números reais. O con-
junto solução da inequação –– 3
xx
2 ≤ x − 1 é:
a) {x d R 1 ≤ x < 2} b) {x d R x > 2}c) {x d R x ≤ 1} d) {x d R x ≥ 2}e) {x d R x < 0}
60. (FATEC) Se –x3 27
42 − 93x
x+ ≤ 0, então:
a) x d ] −∞ ; −1] , [4; +∞ [b) x d ] −∞ ; −3] , [−1; 3[ , [4; +∞ [c) x d ]−∞ ; −4] , [−3; 1] , ]3; +∞ [d) x d ]; −3; −1] , ]3; 4]e) n.r.a
61. Resolva o sistema:
–xx
31–2
≥ 0
xx x4 3–2 +
≤ 0
62. (FUVEST) Três cidades A, B e C situam-se ao Iongo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C, e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, Iocalizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro.
63. (FUVEST) No segmento AC, toma-se um ponto B de
forma que ACAB
= 2 ABC
B ⋅ Então, o valor de ABC
B é;
a) 21
b) 32
1–
c) 5 1–
d) 21–5
e) 31–5
64. O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um re-lógio às 8 horas e 56 minutos é:
a) 60° b) 64° c) 68° d) 72° e) 82°
65. (FUVEST) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de a + b é:
40°
a) 50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220
8133133
66. (INSPER) Na figura a seguir:
•os segmentos AF e BF são congruentes;•a soma das medidas dos ângulos ∠BC E, ∠AD E e
∠CÊD totaliza 130°.
A
C
F
E B
D
Nessas condições, o ângulo ∠DÂB mede:a) 25° b) 30° c) 35° d) 40° e) 45°
67. (UFT) Na figura a seguir, os comprimentos dos Iados AB e BC do triângulo ABC são iguais.
165°
145°
125°
AB
C
O valor do ângulo a na figura é:a) 18° b) 20° c) 25° d) 22° e) 17°
68. Na figura a seguir, o triângulo ADE é equilátero e AD = BD.
BD
C
E
A
Além disso, o triângulo ABC é isósceles de base BC. A medida do ângulo a é:
a) 25° b) 30° c) 35° d) 40°e) 45°
69. (PUC-C) O triângulo ABC é isósceles (AC = BC). AO, BO, CO são bissetrizes respectivamente dos ângulos Â, B e C . Sendo AÔB = 130°, então:
C
A B
O
a) ACO + B = 90°b) Â = 65°, B = 65º, C = 50°,c) AÔC = 135°d) OCB = 60°e) n.r.a.
70. (FUVEST) Na figura a seguir, o Iado de cada quadra-do da malha quadriculada mede 1 unidade de com-
primento. Calcule a razão CBDE
.
B
D
A
EF
C
71. (VUNESP) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4, 8 m de ex-tensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1, 80 m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao Iongo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra.
72. (FUVEST) Na figura, os ângulos assinalados são re-tos. Temos necessariamente:
m
px
y
a) yx
= mp
b) yx
= pm
c) xy = pm d) x2 + y2 = p2 + m2
e) 1x + y
1 = m
1 + p
1
9133133
73. (FUVEST) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. O perimetro desse retângulo, em cm, é:
C
A B
PQ
NMa) 4 b) 8c) 12 d) 14 e) 16
74. (FUVEST) No retângulo ABCD da figura tem-se CD = l e AD = 2l. Além disso, o ponto E pertence à diago-nal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é perpen-dicular a BD.
A
B
B
F C
D2
Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco ve-zes a área do triângulo BEF, então BF mede:
a)
82
b) 2
4
c) 2
2
d) 2
43
e) 2
75. Na figura a seguir, BÂC ≅ BC D e BD = CD.
A C
D
B
Sabendo-se que ADBD
= 12 , podemos concluir que
BDBC é igual a:
a) 3 b) 12
c) 2 d) 13
e) n.r.a.
76. O mapa de uma região utiliza a escala de 1: 200 000. A porção desse mapa, contendo uma Área de Pre-servação Permanente (APP), está representada na figura, na qual AF e DF são segmentos de reta, o ponto G está no segmento AF, o ponto E está no segmento DF, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF = 15, AG = 12, AB = 6, CD = 3 e DF = 5 5 indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é:
B
A F G
E
C DObs.: figura ilustrativa sem escala
a) 100 km2
b) 108 km2
c) 210 km2
d) 240 km2
e) 444 km2
77. (FUVEST) Considere em um triângulo acutângulo ABC as alturas AD e BE.
a) Demonstre que os triângulos ADC e BEC são se-melhantes e escreva a relação de proporcionali-dade entre os lados desses triângulos.
b) Demonstre, a seguir, que os triângulos ABC e DEC são semelhantes.
78. (MACK) Na figura ao Iado, pelo ponto O, foram tra-çadas retas paralelas aos lados do triângulo ABC, obtendo-se os triângulos assinalados com áreas 1, 4 e 9. Então a área do triângulo ABC é:
A
A
O
B
a) 25 b) 36 c) 49 d) 64 e) 81
10133133
79. (VUNESP) Uma certa propriedade rural tem o for-mato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectiva-mente, e o Iado YZ margeia um rio.
W Z
Y
rio
(�gura fora de escala)
X
b
2b
9,4 km
5,7 km
(figura fora de escala)
Se o ângulo XY Z é o dobro do ângulo XW Z, a medi-da, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é:
3) 7,5 b) 5,7 c) 4,7 d) 4,3 e) 3,7
80. Define-se geometricamente a razão áurea do se-guinte modo: O ponto C da figura abaixo divide o segmento AB na razão áurea quando os valo-res AC/AB e CB/AC são lguais. Esse valor comum é chamado "razão áurea"
A C B
"A razão áurea, também denominada propor-ção áurea, número de ouro ou divina propor-ção, conquistou a imaginação popular e é tema de vários livros e artigos. Em geral, suas proprie-dades matemáticas estão corretamente enun-ciadas, mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estéti-ca são falsas ou equivocadas. lnfelizmente, es-sas afirmações sobre a razão áurea foram am-plamente divulgadas e adquiriram status de senso comum. Mesmo livros de geometria utili-zados no ensino médio trazem conceitos incor-retos sobre ela."
Trecho traduzido e adaptado do artigo de G. Markowsky. Misconceptions about the golden ratio. The College
Mathematics Journal, 23, 1º January, 1992, p. 2-19.
Na figura a seguir, o polígono ADEFG é um pentágo-no regular.
Utilize semelhança de triângulos para demonstrar que o ponto C da figura divide o segmento AB na razão áurea.
A
G
F
E
D
81. (FUVEST) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e o prolongamento desses lados forma um ângulo de 60°.
A B
C
D
a) lndicando por Â, B , C e D , respectivamente, as medidas dos ângulos internos do quadrilátero de vértices A, B, C e D, calcuie  + B e C + D .
b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.
c) Calcule a medida do ângulo MJN.
82. (EN) Considere o triângulo ABC de área S, baricentro G e medianas CM e BN. A área do quadrilátero AMGN é igual a:
a) S2
b) 32S
c) S3
d) S4
e) S
43
83. (FGV) As medianas BD e CE do triângulo ABC indica do na figura são perpendiculares, BD = 8 e CE = 12. Assim, a área do triângulo ABC é:
A
E
B
CD
a) 96 b) 64 c) 48 d) 32 e) 24
11133133
84. (UNEMAT) Na figura a seguir, o triângulo ABC é um triângulo equilátero de 3 cm de Iado, e o triângulo retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e CB D = 90°.
A
B
C
D
Qual a medida do segmento AD?
a) 3
b) 34
c) 3100 +
d) 31225 +
e) 32
85. (MACK) A folha de papel retangular da figura I é do-brada como mostra a figura II. Então o segmento DP mede:
A B
C
20
16
D
Figura I
A
BP
CD
Figura II
a) 12 5
b) 10 5
c) 8 5d) 21 e) 25
86. (FAAP) No triângulo ABC, retângulo em A, ao lado, têm-se AC = 8 cm e BC = 10 cm. Sendo AD ⊥ BC, cal-cule o comprimento do segmento AD.
A
8
10
B
C
D
87. (FGV) No triângulo retângulo ABC, retângulo em C, tem-se que AB = 3 3 . Sendo P um ponto de AB tal que PC = 2 e AB perpendicular a PC, a maior medida possível de PB é igual a:
a) 3 3 11
2+
b) 3 11+
c) 23 3 5+_ i
d) 23 3 7+_ i
e) 23 3 11+_ i
88. (ITA) Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Se D é um ponto sobre AB e o triângulo ADC é isósceles, a medida do segmento AD, em cm, é igual a :
a) 43
b) 615
c) 415
d) 425
e) 225
89. No trapézio ABCD, as diagonais AC e BD são perpen-diculares, BC = AD = 5 e a base AB mede 7. A medida da base CD é:
A B
CD
a) 21
b) 1
c) 2 d) 3 e) 4
12133133
93. (FEI) No momento em que a incidência dos raios sola-res ocorre segundo um ângulo de 30°, a partir da linha do horizonte, a sombra projetada no solo (horizontal) por um poste tem comprimento x. No momento em que a incidência ocorre segundo um ângulo de 60°, o comprimento da sombra é y. Se x − y = 2 m, então a altura do poste mede:
a) 2 m b) 2 3 mc) 4 m d) 3 m e) 3 3 m
94. (UNICAMP) Caminhando em Iinha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = 1 200 metros. Quando em A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NÂB é de 60°; e, quando em B, verifica que o ângulo NB A é de 45°.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule a distância em que se encontra o navio
da praia.
95. (VUNESP) Na figura, os pontos C, D e B são colinea-res e os triângulos ABD e ABC são retângulos em B.
A
BDC
30° 60°
Se a medida do ângulo ADB é 60° e a medida do ângulo ACB é 30°, demonstre que:
a) AD = DC b) CD = 2 ⋅ DB
96. Na figura a seguir, o triângulo BCD é isósceles de base DC, o raio da circunferência circunscrita ao tri-ângulo ABC é 2 3 e os ângulos têm as medidas as-sinaladas. Determine:
75°
60°A
C
DB
O
90. (FUVEST) Para se calcular a altura de uma torre, uti-lizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figu-ra: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ân-
gulo determinado entre o raio e o solo foi de a = π3
radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 me-tros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de b radianos, com tgb = 3 3
α
É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é:a) 4 3
b) 5 3
c) 6 3
d) 7 3
e) 8 3
91. (FATEC) No triângulo ABC, onde CM é a altura sobre o Iado AB, temos tg a = 0, 2, tg b = 0, 5 e h = 10. A medida do Iado AB é:
A BM
h
C
α
a) 18 b) 20 c) 21 d) 22 e) 24
92. (FUVEST)
M t
A
Q
sP
30°
Dados: MP ⊥ s; MQ ⊥ t; MQ ⊥ PQ; MP = 6. Então, PQ é igual a:
a) 3 3 b) 3
c) 6 3 d) 4 3
e) 2 3
13133133
a) o comprimento de BD. b) o comprimento de DC.
97. No triângulo ABC, AB = 8, AC = 6 e m (BÂC) = 60°.
BE e CF são alturas do triângulo, sendo que E está sobre AC e F está sobre AB. Quanta mede EF?
a) 11 b) 12
c) 31 d) 14
e) 15
98. Na figura ao Iado, D e E são pontos médios dos seg-mentos AB e BC, respectivamente, e F é a intersec-ção de AE e CD. Determine os possiveis valores de
FD, sabendo que cos(AF C) = − 1611 , AD = 3 e AE = 6.
BD
E
F
C
A
99. (MACK) A área do triângulo da figura a seguir é:
75
60°
a) 12 3
b) 18 3
c) 10 3
d) 20 3
e) 15 3
100. (EEM-FEI) a) No ∆ABC temos BC = a, AC = b, CÂB = 45° e CB A = 30°. Sendo a + b = 1 + 2 , calcule a.
B
b a
45° 30°
C
A
b) No paralelogramo ABCD, onde AB = 2 m, BC = 1 m e BÂD = 60°, calcule a diagonal maior AC.
60°
B
1 m
2 m
D C
A
14133133
Respostas das Atividades adicionais
Matemática
1. D
2. O enunciado não explicita se os agentas que não são o espião transmitem aos outros membros da equipe as mesmas mensagens que recebem; assim, resolveremos esse problema sem essa suposição.Se Mileum é o espião, ele transmitiu a negação das afir-mações que recebeu. Assim, podemos concluir a partir da segunda sentença que Miletrês é o espião, uma con-tradição. Logo Mileum não é o espião.Se Miletrês é o espião, podemos concluir que a última sentença é falsa. Como uma sentença do tipo p & q é falsa se, e somenta se, p é V e q é F, conclui-se que Mile-três não é o espião, uma contradição.Portanto, o espião é Miledois.
3. De acordo com o enunciado, as sentenças podem ser re-presentadas da seguinte forma:1) Gollum: p & q2) Sméagol: q & r3) Gollum: ∼r ∧ p 4) Sméagol: p ∨ ∼q ∨ R Fazendo a tabela verdade temos;
p q ∼q r ∼r 1 2 3 4
V V F V F V V F V
V F V V F F V F V
V V F F V V F V V
V F V F V F V V V
F V F V F V V F V
F F V V F V V F V
F V F F V V F F F
F F V F V V V F V
Como Gollum e Sméagol não fazem afirmações conse-cutivas, ambas falsas ou verdadeiras, temos que nem as colunas 1 e 2, nem as colunas 3 e 4 podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, p e r são verdadei-ras e q é falsa.
4. E
5. B
6. 13 pessoas
7. B
8. C
9. E
10. Temos M = {(2; 4), (2; 6), (2; 8), (2; 10), (4; 6), (4; 10), (6; 4), (6; 8), (6; 10)} e N = {(2; 4), (3; 6); (4: 8); (5; 10)}.a) N + M = {(2; 4)}b) N , M = {(2; 4), (2; 6), (2; 8), (2; 10), (3; 6), (4; 6), (4; 8), (4;
10), (5: 10), (6; 4), (6; 8), (6; 10)}
11. B
12. E
13. C
14. B
15. A
16. C = {(a; b) d R2 3a − b − 3 = 0}
17. A
18. C
19. D
20. a) 112 unidadesb) 34 unidades
21. a) A função f : R " R dada por f(x) = x2 + 4x tem como grá-fico uma parábola com concavidade para cima, cujas raí-zes são −4 e 0 e cujo ponto de mínimo é o ponto (−2; −4) Como o domínio de f é [−2; +∞ [, seu gráfico é o seguinte:
x–2
–4
y
b) Como f é injetora e sobrejetora, segue que esta admite inversa.
Sendo y = x2 + 4x, trocando x por y, temos:x = y2 + 4y + y2 + 4y + 4 = x + 4 + (y + 2)2 = x + 4+ y + 2 = 4x + + y = 4x + − 2 = f−1(x)
22. A
15133133
23. f(x) = ( )A x + ( )B x = 1x –2 + 1 – x2 devemos ter:
x2 − 1 ≥ 0 x2 − 1 ≥ 0 1 − x2 ≥ 0 + x2 − 1 ≤ 0 + x2 − 1 = 0 + x = 1 ∨ x = −1
D(f) = {1,−1}Como f(1) = f(−1) = 0, temos lm(f) = {0}.
24. D
25. A
26. A
27. B
28. D
29. C
30. E
31. C
32. E
33. B
34. A = 10 – 6 8333 + = 10 – 6 233 + =
= 10 – 23 = 2
e B = 7 7 – 9+ = 7 7 – 3+ = 7 2+ = 3.
Logo A B22 + = 16 9+ = 5.
35. A
36. B
37. C
38. (1,41)2 < 2 < (142)2 +1,41< 2 < 1, 42 + 7, 05 < 5 2 < 7,10
+ 7,05 < 50 < 7,10 + 8,05 < 1 + 50 < 8,10 +
+ 8, 051
> 1 50
1+
> 8, 101
+ 8, 0550
> 1 50
50+
>
> 8, 1050
+ 6,22 > 1 50
50+
> 6,17
+ 6,3 > 6,22 > 1 50
50+
> 6,17 > 6,1
+ 6,3 > 1 50
50+
> 6,1
39. C
40. B
41. D
42. D
43. E
44. D
45. a) R$ 18,00b) y = 0,10x, para 0 ≤ x ≤ 100 y = 0, 08x + 2, para x > 100
46. C
47. E
48. A
49. p = 21
50. E
51. Para tal, devemos ter: P < 0
∆ > 0 + 1
– 1mm
+ < 0
(−2m)2 − 4(m − 1)(m + 1) > 0
+ −1 < m < 1
+ −1 < m < 1
4m2 − 4(m2 − 1) > 0 4 > 0+ −1 < m < 1
52. E
53. a) V = {−2; 2}b) V = {1; 3}
54. – 47
1x x2 2+a k − 1,25 – 4
71x x2 +a k + 0, 25 = 0 +
m2 − 45
m + 41
= 0
+ +
m = x2 − 47
x + 1
m = 1 ou m = 41
x2 − 47
x + 1 = 1 4x2 − 7x = 0
+ + ou + ou
m = x2 − 47
x + 1 x2 − 47
x + 1 = 41
4x2 − 7x + 3 = 0
x = 0 ou x = 47
+
x = 1 ou x = 43
V = 0, 1, 43
, 47% /
55. B
56. D
57. V = ]1; 2[ , ]3; 4[
58. V = {x : x d R e (x ≤ 21 – 5
ou x > 3)}
59. B
60. B
61. ––
xx
312
≥ 0 (I)
–
xx x4 32 +
≤ 0 (II)
Cálculo de VI:
Sendo A = x2 − 1 e B = x − 3, temos o seguinte quadro de sinais:
16133133
A
A/B
B
–1 1 3
Assim, VI = [-1; 1] , ]3; + ∞ [Cálculo de VII: Sendo C = x2 − 4x + 3 e D = x, temos o seguinte quadro de sinais:
C
C/D
D
0 1 3
Logo VII = ]-∞ : 0[ , [1; 3].
–1
VI
VII
0 1 3
V = VI ∩ VII
Portanto, o conjunto verdade do sistema é dado por V = VI + VII = [-1; 0[ , {1}.
62. Seja x a distância, em km, entre A e B. Assim, a distância
entre B e C é 32
x e a distância entre A e C é x + 32
x = 3x5
, conforme mostra a figura a seguir:
210
A B P C
x
5x3
Como a distância entre P e B é 210 − x e entre P e C é
3x5
− 210, temos:
3x5
− 210 = (210 − x) − 20 + x = 150 km
A distância que o morador de B deve percorrer é igual à distância entre P e B, ou seja, 210 − 150 = 60 km.
63. B
64. C
65. D
66. A
67. B
68. D
69. A
70. 32
71. 4,08 m
72. B
73. B
74. E
75. E
76. E
77. a) AD C = BÊC (retos) &AA
∆ADC ∼ ∆ABEC A CD = B CE (medem a)
∆ADC ∼ ∆BEC & BEAD
= BCAC
= ECDC
que é a relação de proporcionalidade desejada.
A
α
B D C
E
b) Da proporção anterior: BA
CC
= CC
ED
+ CC
DA
= ECCB
.
Po outro lado, ACB ≅ DCE (medem a)
CC
DA
= ECCB
LAL& ∆ABC ∼ ∆DEC
ACB ≅ DCE
78. B
79. E
80. O ângulo interno do pentágono regular mede
( ) º
55 2 180–
= 108º. Assim, no triângulo ADE, que é isós-
celes, m(DÂE) = m(DÊA) = 18 º 108º
20 −
= 36º. Analoga-
mente, m (AD G) = m(FD E) = 36º.No triângulo ABD, m(BÂD) = 36º, m(AD B) = m(AD E) − m(FD E) = 108º − 36º = 72º e m(AB D) = 180º − 36º − 72º = 72º. No triângulo BCD, m(BD C) = m(AD B) − m(AD G) = 72º − 36º = 36º.Assim, os triângulos ABD e DBC têm ângulos de mesma medida, sendo semelhantes pelo caso AA. Além disso,
são isósceles. Sendo m(AD G) = m(DÂE) = 36º, o triângulo ACD é também isósceles. Logo AD = AB e BD = CD = AC.
Pela semelhança, DCAD
= CBB
D + C
AA
B= C
CBA
e, portanto, C
divide AB na razão áurea.
81. a) m(Â) + m(B ) = 120º; m(C ) + m(D ) = 240º.b) JM = JN = 1c) m(MJN) = 60º
17133133
82. C
83. B
84. D
85. B
86. AD = 4,8 cm
87. A
88. D
89. B
90. C
91. D
92. B
93. D
94. a)
60° 45°
A B1 200 m
N
60° 45°
45°
A C B
N
b) 60° 45°
A B1 200 m
N
60° 45°
45°
A C B
N
A distância do navio à praia é d = NC, sendo NC ⊥ AB.Como o ∆BCN, retângulo em C, é isósceles, concluímos que BC = NC = d.Logo AC = 1 200 − d. No triângulo ACN, retângulo em C,
temos CACN
= tg 60º
+ 1200 – dd
= 3 + d = 1 200 3 − d 3 +
+ d( 3 +1) = 1 200 3
+ d = 3
31
1200+
= 3 1 3 1
1200 3 3 1
––
+_ __i i
i = 600(3 − 3 )m.
95. a) Pelo teorema do ângulo externo, m (CÂD)+ m (AC D) = m (AD B) + m (CÂD) + 30° = 60° + m(CÂD) = 30º.Logo o triângulo ADC é isósceIes de base AC, isto é, AD = DC.
b) No triângulo ADB temos que ADDB
= cos 60º.
Portanto, como AD = CD, DDBC = 2
1 + CD = 2DB.
96. a) Sendo BC = BD = x e R = 2 3 o raio da circunferência circunscrita, pela lei dos senos:
ºsenBC
60 = 2R +
23
x = 2 ⋅ 2 3 + x = 6
b) Como o ângulo CB D é externo ao triângulo ABC, m(CB D) = 60° + 75° = 135° e, portanto, pela lei dos cossenos:
CD2 = 62 + 62 − 2 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ cos135° + CD2 = 72 + 36 2
+ CD = 6 22 +
97. E
98. Sendo F a mediana do triângulo ABC, F divide o segmento AE na razão 2 : 1, ou seja, AF = 4 e FE = 2. Sendo θ a medida do ângulo AFC, m(AFD) = 180° − θ e,
assim, cos(AFD) = cos(180° − θ) = −cos θ = − 1611−
= 1611
⋅
Dessa forma, pela lei dos cossenos, no triângulo AFD,
AD2 = AF2 + FD2 − 2 AF ⋅ FD ⋅ cos(AFD) +
+ 9 = 16 + FD2 − 2 ⋅ 4 ⋅ FD ⋅ 1611
+
+ FD2 − 112 ⋅ FD + 7 = 0 +
+ FD = 2 ou FD = 27
.
99. C
100. a) a = 2 b) AC = 7 m
Top Related