Modulazioni numeriche
Luca De Nardis
02 Dicembre 2020
Luca De Nardis Modulazioni numeriche 02 Dicembre 2020 1 / 15
Segnali numerici in banda traslata
Nelle lezioni passate abbiamo visto che è possibile trasmettere dei segnalinumerici in banda traslata in due passi:
1 Generare un segnale numerico multilivello in banda base m(t)
2 Utilizzare m(t) come segnale modulante in un modulatore analogicodi ampiezza o di angolo
Un approccio più generale consiste nel generare un segnale che costituiràl’inviluppo complesso del segnale modulato (BLD-PS):
s(t) = sf (t) + isq(t) (1)
L’inviluppo complesso definirà una traiettoria nel piano complesso, in cuisono definiti i simboli.Questa idea è alla base delle modulazioni numeriche in banda traslata.
I vari schemi di modulazione numerica differiranno nel modo in cui ècostruito l’inviluppo complesso s(t)
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Significato dell’inviluppo complessoPoiché l’inviluppo complesso è generato da simboli con periodo TL, ciinteresserà imporne il valore solo in t = kTL, k ∈ (−∞,+∞).s(t) sarà quindi libero di variare sul piano complesso assumendo qualunquevalore negli altri istanti!
-2 -1
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
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Costellazione di una modulazione numericaL’insieme degli L punti sul piano complesso che s(t) assume in kTL èdetto costellazione della modulazione numerica.Questi punti corrispondono agli L simboli associati alle 2N sequenze di bit,con N = log2(L)
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
8-PSK
-1 -0.3333 0.3333 1
-1
-0.3333
0.3333
1
16-QAM
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Analogia con il caso multilivelloL’inviluppo complesso generato da simboli con periodo TL è l’estensione alcaso 2D (piano complesso) del segnale generato da un modulatoremultilivello (solo reale)
0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Time (s)
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
s(t
)
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Modulazioni a due livelli - BPSKLa Binary Phase Shift Keying (BPSK) è l’equivalente in banda traslatadella modulazione antipodale con L = 2 in banda base.L’inviluppo complesso negli istanti significativi è:
s(kTL) ≡ s(kTb) =
{A se bk = 1
−A se bk = 0(2)
Si ha PS = A2 e quindi la potenza del segnale modulato corrispondente è
PS =A2
2 .In generale, s(t) assumerà valori sull’asse reale. Ad es., per A = 1 V :
-2 -1
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Modulazioni a due livelli - OOKLa On Off Keying (OOK) è l’equivalente in banda traslata dellamodulazione OOK in banda base.L’inviluppo complesso negli istanti significativi è:
s(kTL) ≡ s(kTb) =
{A se bk = 1
0 se bk = 0(3)
Si ha PS =A2
2 e quindi la potenza del segnale modulato corrispondente è
PS =A2
4 .
-2 -1
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Quadrature Amplitude ModulationLa Quadrature Amplitude Modulation (QAM) è l’estensione di unamultilivello al piano complesso.La costellazione è una griglia regolare di lato LT =
√L. Es: L = 16
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
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Quadrature Amplitude Modulation
Lo schema di trasmissione è il seguente:
La frequenza di simbolo su ciascun ramo è fL =fb
log2(L)
La banda di ciascuna componente analogica è quindiB = fb2log2(L)(1 + γ)
NB
Il segnale su ciascun ramo opera su un alfabeto di LT =√L simboli
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Phase Shift Keying
Nella Phase Shift Keying (PSK) gli L simboli sono determinati da L valoridi fase dati da:
ϕl = (2l + 1)π
L, l = [0, 1, · · · , L− 1] (4)
I valori negli istanti significativi dell’inviluppo complesso sono quindi:
s (kTL) = A cos (ϕk) + iA sin (ϕk) , (5)
dove ϕk è uno degli L valori indicati in precedenza.
Negli istanti differenti da quelli significativi s (kTL) potrà assumere unqualunque valore sul cerchio di raggio A.
Il modo in cui s (kTL) varierà dipenderà da come viene costruito ilsegnale (con l’unico vincolo di passare in uno dei punti indicati negliistanti significativi).
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Phase Shift KeyingNel caso A = 1, L = 8 si ha ad esempio:
-1
-0.5
-1 -0.5 0.5 1
0.5
1
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Valutazione di prestazioni - BPSK e OOK
Per le modulazioni a due livelli le prestazioni sono quelle già viste nel casodi banda base, e vale la relazione:
Pe =1
2erfc(y) (6)
dove però la relazione tra y e i parametri del segnale dipende dallamodulazione:
BPSK
y2 =SNRrif
2=
1
2
WdrkTsB
(7)
OOK
y2 =SNRrif
4=
1
2
Wdr/2
kTsB(8)
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Valutazione di prestazioni - QAMSi osservi che:
Ogni ramo è associato a un segnale di banda B = fL2 (1 + γ), ma
generato a partire da LT =√L simboli;
Ogni ramo del ricevitore utilizza metà della potenza ricevuta Wdr .
Di conseguenza per il singolo ramo si ha:
Pe,r ≈1
2erfc(y) (9)
con
y2 =3
2
Wdr/2
kTsB(L2T − 1
) = 34
WdrkTsB (L− 1)
=3
4
SNRrif(L− 1)
(10)
La probabilità di ricevere correttamente un simbolo è:
Pc = 1− Pe = (1− Pe,r ) (1− Pe,r ) = 1− 2Pe,r + P2e,r ≈ 1− 2Pe,r , (11)
e quindi:Pe = 2Pe,r . (12)
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Valutazione di prestazioni - PSKPer la PSK si ha ancora:
Pe ≈ erfc(y), (13)ma si dimostra che si ha in questo caso (per L e SNRrif elevati)
y2 =1
2SNRrif sin
2(πL
)(14)
5 10 15 20 25 30 35 40
SNRrif
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
Pe
L=2
L=4
L=8
L=16
L=32
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Valutazione di prestazioni - Confronto
5 10 15 20 25 30 35 40
SNRrif
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
Pe
ML, L=2
ML, L=4
ML, L=8
ML, L=16
ML, L=32
BPSK
4-PSK
8-PSK
16-PSK
32-PSK
4-QAM
16-QAM
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