7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
1/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Modul 08
MEDAN LISTRIK DAN
MAGNET STATIS
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
2/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Materi :
8.1 Persamaan Maxwell medan statis
8.2 Medan elektrostatis dan Potensial listrik
8.3 Kapasitansi dan energi listrik
8.4 Medan magnetostatis dan vektor potensialmagnet
8.5 Rangkaian Magnetik
8.6 Induktansi dan energi magnet
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
3/50
ELEKTROMAGNETIKA I
8.1 Persamaan Maxwell Medan StatisUntuk kasus medan-medan statis persamaan Maxwell
yang mengandung suku turunan terhadap waktu diambil
sama dengan nol.
Bentuk Integral
0. S
SdB
0. C
ldE
SC
SdJldH
..
Bentuk Diferensial
VD
.1
0.2 B
03 Ex
JHx
4
dVSdD V
S
.
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
4/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Untuk kasus medan-medan statis ini persamaan Maxwell
untuk medan listrik dan untuk medan magnet dapat
dipisah (Tidak ada Coupling antara medan listrik danmedan magnet)
dVSdD VS
.
0. S SdB
VD
.
0. B
0. C
ldE
0 Ex
Medan
listrik
SC
SdJldH
.. JHx
Medan
magnet
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
5/50
ELEKTROMAGNETIKA I
8.2MedanelektrostatisdanPotensiallistrik
PotensiallistrikTinjausatupersamaanMaxwellbentukintegral
0. C
ldE
yangartinyaintegralgarislintasantertutupdarimedanlistrikadalahnol.Jikalintasantertutupyangdiambildari
akembalikeamelaluititiktengahb(dariakebmelalui
C1,dandaribkeamelaluiC2)maka
b
Ca
b
Ca
a
Cb
b
CaC
ldEldEldEldEldE2,1,2,1,
..0...
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
6/50
ELEKTROMAGNETIKA I
KarenaC1danC2dapatberupalintasanyangberbeda
makadapatdisimpulkan
tan. konsldEb
a
Sehinggadapatdidefinisikansuatubesarankekal(tidak
bergantunglintasan,yaitu
a
acuan
ldEaV
.)(
V(a)disebutsebagaipotensallistrikdititikaterhadaptitikacuanyangdipakai.
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
7/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh
Tentukanpotensiallistrikpadajarakrdarisebuahsumbermuatantitik(q).
Jawaban:
r
qrV
04
1)(
Hasilinididapatdenganmengambilacuandititiktak
berhingga,dimanadititikinipotensiallistriknyasamadengannol.
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
8/50
ELEKTROMAGNETIKA I
JikamuatansumberadaNbuah,masing-masingber-
jarakridarititikpengamatanmakapotensiallistrikdititik
pengamatanadalah
N
i i
i
r
qV
104
1
Jikamuatansumberadalahmuatankontinumaka
potensiallistrikdititikpengamatanadalah
V
VdVV 04
1
SSdSV 04
1
l
LdlV 04
1
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
9/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh
TentukanpotensiallistrikpadajarakzdaripusatsimetrikawatyangpanjangnyaldanmemilikiLC/m
Sebuahpiringanberjari-jariamemilikimuatan
serbasamaSC/m2. Hitung potensial pada jarak z dari
pusat piringan ke atas
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
10/50
ELEKTROMAGNETIKA I
TinjausatupersamaanMaxwellbentukdiferensialuntuk
medanlistrikstatis:
MenentukanMedanlistrikdaripotensiallistrik
0 Ex
Secaramatematisdapatdidefinisikan
VE
denganVadalahpotensiallistrik.
Definisiinidapatdipenuhikarenasemuacurldarigradien
adalahnol.
Medanlistrik=-GradienPotensiallistrik
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
11/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Tentukan Vektor Medan listrik Epada suatudaerah jika potensial listrik (V) pada daerah tsbadalah :
V=2x2y+4xyz-4z Volt
V=kq/r Volt, dengan k dan q konstandan r adalah jarak
Contoh1
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
12/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh2
Tentukanmedanlistrik(menggunakanE=-gradienV)padajarakzdaripusatsimetrikawatyangpanjangnyal
danmemilikiLC/m
Sebuahpiringanberjari-jariamemilikimuatan
serbasamaSC/m2. Hitung medan listrik (menggunakanE= - gradien V) pada jarak z dari pusat piringan ke atas.
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
13/50
ELEKTROMAGNETIKA I
8.3KapasitansidanEnergilistrik
KapasitansiKapasitansidarisuatukapasitordidefinisikansebagai
V
QC
DenganQadalahmuatanpositifdarikonduktorpenyusunkapasitor,danVadalahbedapotensialantarkonduktornya
Padaprakteknya,nilaikapasitansidarisuatukapasitortidak
bergantungpadamuatandanbedapotensialnya,tetapibergantung
padarasiokeduanya.Kapasitansikapasitorhanyaditentukanolehgeometridarikonduktorpenyusunkapasitor,dimensi/ukurandan
jenisdielektrikyangmemisahkankeduakonduktor
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
14/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh
a. Kapasitorpelatsejajarb. Kapasitorsilinder
c. KapasitorBola
d. Duakapasitoryangdisusunseri
e. Duakapasitoryangdisusunparalel
CobaingatkembaliapayangdiperolehdikuliahFisika2ataubukakembalibukuFisikauntukmenentukannilai
kapasitansidari:
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
15/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Energilistrik
Energilistrikdisiniadalahenergiyangtersimpandalam
suatusistemyangmemilikimedanlistrik.
Andaikanada2muatanQ1danQ2,tentudiantara
keduanyaadagayalistrik.Jikakitainginmemindahkan
Q2
padajarakddariQ1
makadibutuhkankerjasebesar
2122 VQW
Sekarangdalamsisemdiataskitainginmemindahkan
muatanbaruQ3makakerjayangdibutuhkanuntukiniadalah
3233132 VQVQW
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
16/50
ELEKTROMAGNETIKA I
)1(132313212 ....(.....)( nnnn VVQVVQVQW
ij
iij
R
QV
04
1
Demikianseterusnya,jikadalamsistemtsbadanmuatan
makakerjatotalyangdilakukansatusistemadalah
Ingat:Vijadalahpotensiallistrikpadamuatanke-Iakibat
muatanke-j,yaitu
Denganmanipulasimetematisyangtidaksukardapat
dibuktikanbahwaenergitotalsistemnmuatanadalah
n
i
iiVQW12
1
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
17/50
ELEKTROMAGNETIKA I
CobalihatpenurunandibukuIskanderhal.291-293,
totalenergilistrikadalah
V
dVEDW
.2
1
Untukmuatankontinu
VVolVVdVW 2
1
S
SVdSW 2
1
L
LVdlW 2
1
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
18/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh1
Hitungenergiyangtersimpandalamkapasitorbola(anggapmuatankapasitorQdanjari-jarikeduabolaa
danb(a
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
19/50
ELEKTROMAGNETIKA I
8.5MedanMagnetdanPotensialVektorMagnet
TinjausatupersamaanMaxwell 0. B
DivergensidariBadalahselalunolsehinggaBdapat
dinyatakansebagaicurldarisuatubesaranvektorA,
karenasecaramatematisdivdaricurlselalunol.
AxB
SelanjutnyaAdisebutsebagaiPotensialVektormagnet.
SedangkandarisatupersamaanMaxwellyanglain
JAxxBxJHx
00
JAxx
0
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
20/50
ELEKTROMAGNETIKA I
menyatakanhubunganPotensialvektormagnetdengandistribusisumberarus
PotensialVektorMagnetAsecaraumumdapatditurun-
kandaripersamaandiatasdenganmenggunakan
relasinyadenganhukumBiot-Savart(lihatpenurunannya
padaIskanderhal324-325),sehinggapotensialvektor
magnetAdapatditulis
JAxx
0
V
dVRrJrA ')'(
4)( 0
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
21/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh1
ElemenpanjangdlmembawaarustotalIyangarahnyasepanjangsumbuz.TentukanPotensialVektormagnet
dankerapatanfluksmagnetpadajarakrdarielemen
panjangtersebut
Samaseperticontoh1tetapielemenpanjangdiganti
dengankawatpanjangLyangmembawaarusI,kawat
tersebutdibentangkansepanjangsbzdariL/2sampai
L/2.
Contoh2
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
22/50
ELEKTROMAGNETIKA I
8.6RangkaianMagnetik
Dalampersoalanmagnetostatisbanyakhalyangakanterlihatlebihmudahjikadianalogikandenganrangkaian
listrik.
mmf=Ni
Rangkaianmagnetik
I
R
emf=V
Rangkaianlistrik
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
23/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Analogibesarandalamrangkaianlistrikdanrangkaian
magnetik
listrik magnetik
emf = V=
Arus I
Resistansi R=
Konduktivitas
mmf = NI =
Fluks m
Reluktansi R=
Permeabilitas
ldE
. ldH
.
s
s
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
24/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh1
Toroidabesimemilikiradiusdalamadanluarbdanketebaland.Nlilitankawatmasing-masingberarusI
dipakaisebagaisumberfluksmagnet.Turunkan
pernyataanuntukintensitasmagnetHdanfluksmagnet
didalamtoroida.
mmf=Ni
a
b
d
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
25/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh2Rangkaianmagnetiktersusundaritoroidabesiyangme-
milikiradiusdalam3cmdanluar6cmdanketebalan3cm.200lilitankawatmasing-masingberarus1Adipakai
sebagaisumberfluksmagnet.Jikaadagapantaratoroida
besi,yaitugapudarayangpanjangnyalg=0,2cm,cari
fluksmagnetdankerapatanfluksmagnetditoroidabesidangapudara.
mmf=Ni
a
b
d
lg
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
26/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh3Rangkaianmagnetikdirancangsepertigambardibawah.
Intiferromagnetmemiliki=4000.Panjanggapudara0,1cm.TentukanFluksdalamgapudarajikaNI=200AT.
l2=30 cm, l1=5 cm3 cm
lg
l1
l1
l2 l2
3 cm
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
27/50
ELEKTROMAGNETIKA I
i(t)
Induktor
8.5 INDUKTANSI DAN ENERGI MAGNET
Dalam suatu alat listrik yang bertegangan bolak-balik, banyak dijum-
pai komponen listrik yang disebut induktor. Induktor dibuat dari kawat
yang dililitkan sehingga berbentuk seperti solenoida.
Induktansi diriJika sebuah solenoida dialiri arus listrik i yang berubah terhadap
waktu maka menurut hukum Induksi Faraday, sebuah gaya gerak
listrik imbas akan muncul di dalam solenoida tersebut.
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
28/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Arus berubah terhadap waktu, dan
menurut hukum Faraday akan
muncul gaya gerak listrik imbassebesar
,dt
dN B
N adalah jumlah lilitan pada solenoida. Fluks medan magnet yangmenembus solenoida akan sebanding dengan medan magnet yang
dihasilkan arus listrik pada solenoida. Sedangkan medan magnet
yang dihasilkan adalah sebanding dengan arus listrik pada
solenoida, sehingga fluks medan listrik yang menembus solenoida
juga akan sebanding dengan arus listrik pada solenoida. sehingga
,dt
diL
iNL B induktansi diri.
i(t)
Induktor
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
29/50
ELEKTROMAGNETIKA I
i1
Kumparan 1 Kumparan 2
2akan
terinduksi
Induktansi Bersama
Jika dua buah kumparan berdekatan satu dengan yang lain maka
perubahan arus pada salah satu kumparan akan menginduksi gaya
gerak listrik pada kumparan yang lainnya.
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
30/50
ELEKTROMAGNETIKA I
,dt
dN 2122
Perubahan arus pada kumparan 1 akan menginduksi terjadinya ggl
imbas pada kumparan 2. Misalnya pada kumparan 1 dialiri arus yang
berubah terhadap waktu i1. Arus i1 ini akan menyebabkan adanya
fluks medan magnet yang menembus ke kumparan 2. Karena i1berubah terhadap waktu maka fluks medan magnet yang menembus
kumparan 2 juga akan berubah terhadap waktu, dan menurut hukum
Induksi Faraday gaya gerak listrik imbas akan muncul pada kumparan
2, sebesar
N2 adalah jumlah lilitan pada kumparan 2, dan 21 adalah fluks
medan magnet pada kumparan 2 akibat arus pada kumparan 1. Besarnya
fluks medan magnet 21ini sebanding dengan arus i1, sehingga
,1212dt
diL
1
21221
iNL
= induktansi bersamapada kumparan 2 akibat arus
pada kumparan 1.
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
31/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh1
Sebuah solenoida yang panjangnya 20 cm dan luas penampang 10 cm2
memiliki 100 lilitan kawat yang rapat. Di sekeliling solenoida dililitkan lagikumparan sebanyak 10 lilitan, lihat gambar di bawah. Asumsikan bahwaseluruh fluks medan magnet dari solenoida memasuki kumparan, danmedan magnet di luar solenoida dianggap nol. Jika solenoida dialiri arusI=4cos(50t) Ampere, tentukanlah :a. Fluks medan magnet yang menembus kumparan.
b. Induktansi bersama yang terjadi pada kumparan.c. Gaya gerak listrik imbas pada kumparan.
I
20 cm
Kumparan (2)Solenoida (1)
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
32/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh2
Sebuah konduktor panjang berjari-jari a membawa arus I. Konduktor
ditempatkan secara koaksial dengan toroida yang intinya (core) memiliki ,dan torioda memiliki N lilitan. Tentukan induktansi bersama dan induktansidiri pada konduktor
a
I
a
I
b
c0
d
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
33/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh3
Sebuah saluran transmisi koaksial memiliki konduktor dalam berjejari a dan
konduktor luar berjejari b. Konduktor dalam memiliki permeabilitas . Antarakedua konduktor adalah udara. Hitung induktansi persatuan panjang darisaluran transmisi koaksial ini.
a
b
0
0
I
I
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
34/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Medan magnet dapat menyimpan energi yang disebut energi
magnet. Tinjau suatu induktor tunggal yang dialiri arusbergantung waktu. Gaya gerak listrik imbas muncul sebesar
.dt
diL
Adanya gaya gerak listrik imbas ini menyebabkan pada induktorterdapat energi dalam selang waktu dt sebesar
,dtdt
diLidU
sehingga energi total dalam induktor adalah
ILiLidiU B
i
21
2
1 2
0
EnergiMagnet
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
35/50
ELEKTROMAGNETIKA I
ILiLidiU B
i
2121 2
0
V
dVBHU
.2
1
Energi magnet total
Energi magnet total pada persamaan terakhir dapat dnyatakan dalam
fungsi B dan H (lihat penurunannya di buku Iskander hal 351-352),
sebagai berikut
V
dVBHI
L
.12
dan induktansinya
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
36/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh
HitungInduktansitotalpersatuanpanjangdarisaluran
transmisikoaksialsepertigambarberikut
a
I
b
c
I
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
37/50
ELEKTROMAGNETIKA I
8.4PersamaanLaplacedanPoisson
TinjausatupersamaanMaxwell
VED
..
Dengandefinisimedanlistrik=-gradienpotensialmaka
persamaandiatasmenjadi
VV 2
yangdisebutpersamaanPoisson.Jikatidakada
distribusimuatansumber(V=0)makapersamaan
PoissonmenjadipersamaanLaplace
02 V
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
38/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh1
Tinjaukapasitorbola(jari-jarikonduktordalamadanjari-jarikonduktorluarb).JikaPotensialkonduktordalam
disetsamadenganV0dankonduktorluardigroundkan,
tentukanpotensiallistrikdanmedanlistrikdiruang
kapasitordenganmenggunakanpersamaanLaplace.
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
39/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Contoh2
Suatubendaterletakpadasumbu-ymemilikipanjang1meter.Paday=1mterdapatpotensial2Volt,danpada
y=2terdapatpotensial1volt.Tentukanpotensial
sepanjangbendatersebut!
2Volt 1Volt
Y?1 2
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
40/50
ELEKTROMAGNETIKA I
Kasus1distribusipotensialpadasatu
dimensibiasanyamudahuntukdiselesaikan.Tetapitidakuntukkasus2dan3dimensi.
1Volt
2Volt
Y
Z(x,y,z)3Volt -5Volt
02
2
2
2
dz
Vd
dy
Vd???V
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
41/50
MetodeNumerik
02
2
2
2
2
2
dz
Vd
dy
Vd
dx
Vd???V
Olehkarenamenyelesaikanpersamaandiatas
sulitsecaranumerik,makaiadiselesaikansecaranumerik:
-MetodeFiniteDifference
-MetodeBandMatrix-MetodeFiniteElement
-MetodeMoment
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
42/50
MetodeFiniteDifference
V1(x1,y1,z1)
V2(x2,y2,z2)h
21111
11
12
2
2
)()()()(
)2/()2/(
)()(
x
xxVxVxVxxV
x
xxVxxV
x
x
xVxV
xx
V
xx
V
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
43/50
21111
2
2 )()()()(y
yyVyVyVyyVyV
21111
2
2 )()()()(
z
zzVzVzVzzV
z
V
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
44/50
Sehingga:
)()()()()()(
61,,
),,(6)()(
)()()()(
)(2)(2)(2)()(
)()()()(
0
11
1111111
11111
1111
11111
1111
2
2
2
2
2
2
zzVzzVyyVyyVxxVxxVzyxV
zyxVzzVzzV
yyVyyVxxVxxV
zVyVxVzzVzzV
yyVyyVxxVxxV
z
V
y
V
x
V
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
45/50
JikaAreayangditinjaukitaberigridsbb,
)()(
)()()()(
6
1,,
11
1111
kk
jjii
kjizVzV
yVyVxVxVzyxV
makapersamaannyadapatdidekatimenjadi:
V(xi,yj,zk)
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
46/50
Padabagiansebelumnya,kitameninjaudistribusi
potensialdiruangdimensi3.Untukdimensi2dan1,
halyangsamaberlaku.
)()()()(4
1, 1111 jjiiji yVyVxVxVyxV
)()(21
11 iii xVxVxV
2Dimensi:
1Dimensi:
X
V(xi,yj)
V(xi)V(xi-1) V(xi+1)
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
47/50
Contoh
DiberikandistribusiTegangan:
1Volt
2Volt
Y
Z(x,y,z)3Volt -5Volt
A B
C D
Bagaimanadistribusitegangandisuatutitik(x,y,z)?
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
48/50
Langkah-langkah:
1).Dibuatgridmendatardanhorizontaldenganjaraksesuaikebutuhan.
2).BerilabelpadasetiapNODE,titikpotonggridvertikaldangrid
horizontal.
3).Terdapat2jenisnode:FREENODE(Nodeyangbelumdiketahuitegangannya),danFIXNODE(NODEyangtelah
diketahuitegangannya).SettegangandisemuaFREENODE=0
4).LakukanPerhitunganFiniteDifferenceuntuksetiapFREE
NODE.
5).Ulangilagilangkah4sehingganilaiteganganFREENODE
tidakberubahlagi(Konvergen).
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
49/50
1Volt
2Volt
3Volt -5Volt
AB
C DV1 V2 V3
V4 V5 V6
103014
131
4
1241 VVV
Iterasi1:
5,001014
11
4
13152 VVVV
Dst.
ELEKTROMAGNETIKA I
7/25/2019 Modul 08-Medan listrik-magnet statis.pdf
50/50
Contoh
A
0Volt
50Volt
B
DenganMetodeFiniteDifference,berapapotensial
diAdanB?
Top Related