Problema del TransporteDecisiones sobre transporte
De una manera general, se define el problema del transporte como la
determinación de las cantidades de un bien a enviar de un número
"m" de orígenes a un número "n" de destinos, de manera que los
costos de envío sean los menores.
1
2
m
Orígenes
1
2
n
Destinos
Y existen rutas desde los orígenes hasta los destinos.
1
2
m
a1
a2
am
Oferta
Orígenes
1
2
n
Destinos
b1
b2
bn
Demanda
Rutas
Decisiones sobre transporte
Se pueden enviar xij unidades del bien desde el origen "i" al
destino "j".
Cada unidad del bien que se envía del origen "i" al destino "j"
tiene un costo "cij" asociado.
De tal manera que el costo de enviar las unidades de "i" a "j" es:
cijxij
1
2
m
1
2
n
x11
x1n
x2n
xm1
xmn
c11
cm1
cmn
c21
Decisiones sobre transporte
Sabiendo que se quiere minimizar el costo de transporte, y que la
cantidad a enviar no puede sobrepasar la capacidad de cada origen,
y que se desea surtir la demanda de los destinos, un modelo
matemático podría presentarse de la siguiente manera:
(Costo total del transporte)
(Capacidad en los orígenes)
(Demanda en los destinos)
Decisiones sobre transporte
Este nuevo modelo puede tratarse mediante el algoritmo Simplex, sin
embargo el número de variables y de restricciones crece rápidamente
a medida que aumenta el número de orígenes y de destinos. Así, se
ha ideado una forma más eficiente de resolver los problemas que
pueden plantearse como los de transporte.
Este método asume que el problema está "balanceado", es decir que
la cantidad ofrecida es igual a la cantidad demandada:
ai = bj
Dicha condición es fácilmente asegurada mediante la introducción de
las variables auxiliares adecuadas.
Decisiones sobre transporte
El modelo lineal típico de transporte se convierte en:
Donde las igualdades se aseguran por la adición de las variables
necesarias.
Decisiones sobre transporte
El método tabular consiste en vaciar la información pertinente en
una tabla de formato especial.
Como en el caso del Simplex, se genera una solución inicial, y se
va mejorando a través de las iteraciones propias del método.
La tabla de transporte tiene la siguiente forma:
Ejemplo 1 de Render y Stair.
De acuerdo a la información presentada, la oferta es igual a la
demanda, está balanceado:
Destino Origen
Método de distribución inicial: Esquina N.-O.
Consiste en ir asignando la mayor cantidad posible a la casilla de
la esquina superior izquierda del cuadro formado por las casillas
vacías.
Primera casilla N.-O.: Des Moines-Albuquerque. Cantidad: 100
100
Destino Origen
200
8
5
Cantidad máxima: 100
100
8
5
Método de distribución inicial: Esquina N.-O.
Como sólo quedan dos casillas por asignar, la elección resulta
obvia, y se completan las dos demandas y la oferta restantes.
Fort Lauderdale enviaría 100 unidades a Boston y 200 a
Cleveland
El costo total de tranporte sería de $ 4,200
Nótese que la cantidad de casillas asignadas es "m+n-1", lo que
indica que es una solución no-degenerada.
8
5
MODI (Distribución Modificada)
Consiste en determinar si la distribución de una tabla es la
óptima,
encontrando los costos de oportunidad de las casillas vacías
(variables no-básicas), es decir, el costo en el que se incurre al
no enviar una unidad del origen "i" al destino "j", y lograr una
tabla
óptima mediante las iteraciones necesarias.
Decisiones sobre transporte
Método Stepping-stone (Cruce del Arroyo)
Consiste en encontrar los elementos índice (cij – zij) de las
variables no-básicas (casillas vacías) mediante el uso de
recorridos o trayec-torias únicas de cada casilla vacía.
La variable con el índice negativo menor será la variable de
entrada.
La variable de salida será aquélla con la menor cantidad asignada,
seleccionada entre las casillas con signo negativo dentro del reco-
rrido.
Decisiones sobre transporte
Reglas para encontrar el circuito (recorrido cerrado o trayectoria
cerrada) de las casillas vacías:
1. El recorrido de una casilla vacía es único y toca siempre
un
número par de casillas (número de vértices).
2. Sólo se permiten movimientos en sentido horizontal y
vertical.
Nunca en diagonal.
3. Al iniciar el trayecto en un sentido, el regreso es en el otro
(Salida
vertical – regreso horizontal o viceversa).
4. El cambio de dirección (vértices) se efectúa sólo en
casillas
asignadas.
5. Al pasar de un vértice a otro (de un cambio de dirección a otro)
se
pueden saltar (ignorar) todas las casillas que se necesite, ya se
trate
de asignadas o de vacías.
Decisiones sobre transporte
Si se escogió partir en horizontal llegará a la 1,1.
Cambia en vertical a la 2,1.
Luego en horizontal a la 2,2.
Por último regresa verticalmente a la 1,2.
8
5
Costo de oportunidad para la casilla 1,2 (c12 – z12):
Se asignan signos "+" y "-" alternativamente a las casillas del
recorrido, iniciando por un "+" en la de origen.
Y se suman y restan los costos de transporte, según su signo:
(c12 – z12) = 4 – 5 + 8 – 4 = 3.
(+)
(-)
(-)
(+)
Si se escogió partir en vertical llegará a la 3,3.
Cambia en horizontal a la 3,2.
Luego en vertical a la 2,2.
... y por último regresa verticalmente a la 1,2.
Recorrido para la casilla 1,3 (variable no-básica x13):
Después en horizontal a la 2,1.
En vertical a la 1,1.
(c13 – z13) =
Si se escogió partir en horizontal llegará a la 2,2.
Cambia en vertical a la 3,2.
Luego en horizontal a la 3,3.
Por último regresa verticalmente a la 2,3.
(c23 – z23) =
Si se escogió partir en horizontal llegará a la 3,2.
Cambia en vertical a la 2,2.
Luego en horizontal a la 2,1.
Por último regresa verticalmente a la 3,1.
(c31 – z31) =
(c12 – z12) = 3
(c13 – z13) = 4
(c23 – z23) = 1
(c31 – z31) = - 2
El criterio de optimalidad es que todos los elementos índice
(costos de oportunidad) sean no-negativos: (cij – zij) 0, por lo
tanto x31 deberá entrar a la base, puesto que su índice es
"-2".
Decisiones sobre transporte
La iteración consiste en seleccionar el recorrido de la
variable
de entrada (x31) y reasignar las cantidades de las casillas
Pertene-
cientes a dicho recorrido.
Esto se logra seleccionando la menor cantidad asignada entre
las casillas con signo negativo. Esta cantidad se suma y se
resta
en las casillas del recorrido, según su signo: si tiene un "+"
se
suma a la cantidad que tiene asignada, y si tiene un "-" se le
resta.
Al hacerlo de esa manera, se asegura que la tabla siga siendo
factible y balanceada. Se puede presentar el caso de una
solución
degenerada, pero éste se discutirá más adelante. El
procedimiento
se repetirá hasta que no existan negativos en los costos de
opor-
tunidad, en cuyo caso se ha encontrado la solución óptima.
Decisiones sobre transporte
En este caso, las casillas con signo negativo son la 2,1 y la
3,2.
La menor cantidad asignada entre ellas es 100. Entonces se
sumarán
100 unidades a las casillas 2,2 y 3,1, y se restarán 100 unidades a
las
casillas 2,1 y 3,2 cuya variable (x32) sale de la base.
8
5
La nueva tabla quedaría de la manera siguiente:
(Nótese que la casilla de la variable de salida contiene ahora un
punto.
Esto es porque es ahora no-básica)
100
200
100
200
Y el nuevo costo total será: Z = 4,000 (menor que el
anterior)
Pregunta: ¿Esta solución es la óptima? ¿Por qué?
8
5
Decisiones sobre transporte
(+)
(-)
(+)
(-)
Variable de entrada: x23. Variable de salida: x21. ¿Correcto?
8
5
Y el nuevo costo total de transporte es:
Z = 100*5 + 200*4 + 100*3 + 200*9 + 100*5 = 3,900
¿Esta solución es la óptima? ¿Por qué?
8
5
Tienen razón. Es óptima porque ya no contiene índices
negativos.
La solución óptima será entonces:
Enviar:
100 unidades de la fábrica de Des Moines al almacén de
Albuquerque.
200 " " " " " Evansville " " " Boston.
Decisiones sobre transporte
Consiste en determinar los costos de oportunidad mediante la
relación:
(cij – zij) = cij – Ri - Kj
Donde Ri y Kj son valores asignados a renglones y columnas,
respectivamente, y se calculan por medio de las casillas asignadas,
tomando un valor inicial arbitrario de R o de K, y considerando su
respectivo (cij – zij) = 0 (por tratarse de variables
básicas).
Una vez calculados todos los valores R y K, se procede a encontrar
los costos de oportunidad (c – z) correspondientes a las variables
no-básicas (casillas vacías) con relación mencionada; El resto es
como en el método "Stepping Stone".
Decisiones sobre transporte
Tomemos de nuevo el ejemplo con distribución inicial por esquina
N-O, y asignemos arbitrariamente un cero (0) a R1.
0
Con ese cero en R1 se podrá encontrar el valor de K1, por medio de
la casilla asignada 1,1: K1 = c11 – R1 = 5 – 0 = 5
5
8
5
Decisiones sobre transporte
Ahora, con K1, se podrán encontrar valores de R en la columna 1. En
este caso solamente la 2,1 está asignada.
3
8
5
Decisiones sobre transporte
¡Excelente! Dedujeron bien: Ahora encontramos el valor de K2 por
medio de la casilla asignada 2,2. ¿Cuál es el valor?
En efecto, es 1: K2 = c22 – R2 = 4 - 3 = 1
1
Ahora ya pueden encontrar R3 y el de K3, mediante las otras
casillas asignadas.
8
5
Decisiones sobre transporte
El resultado es:
Lo que sigue ahora es encontrar los índices de las casillas vacías
y determinar si la solución es óptima con la relación: (cij – zij)
= cij – Ri - Kj
Obsérvese que los costos de oportunidad corresponden exactamente a
los que se encontraron con el método de la esquina N-O.:
(c12 – z12) = 3; (c13 – z13) = 4; (c23 – z23) = 1 y (c31 – z31) = -
2
8
5
Decisiones sobre transporte
Lo anterior nos indica, al igual que con el método anterior, que la
variable de entrada es x31, y al igual que anteriormente, se busca
su recorrido y se determina la variable de salida, que corresponde
a x32 , quedando como nueva solución:
8
5
Decisiones sobre transporte
Se vuelven a calcular los valores de R y K, y se encuentran los
nuevos índices.
Los costos de oportunidad para las casillas vacías son:
(c12 – z12) = 4 - 0 – 1 = 3; (c13 – z13) = 3 – 0 – 1 = 2;
(c23 – z23) = 3 – 3 – 1 = - 1 y (c32 – z32) = 7 – 4 – 1 = 2
8
5
Decisiones sobre transporte
Igual que en el método Stepping stone, la variable de entrada es
x23 y la de salida es x21. La nueva solución es:
8
5
Decisiones sobre transporte
Se vuelven a calcular los valores de R y K, y se encuentran los
nuevos índices.
(Favor de verificar que sean los valores correctos):
(c12 – z12) = 4 - 0 – 2 = 2; (c13 – z13) = 3 – 0 – 1 = 2;
(c21 – z21) = 8 – 2 – 5 = 1 y (c32 – z32) = 7 – 4 – 2 = 1
8
5
Decisiones sobre transporte
Puesto que no existen negativos en los índices, la solución es
óptima, y es exactamente la misma a la que se llegó por el método
Stepping Stone:
Siendo el costo total de transporte: $3,900.00
Enviar:
100 unidades de la fábrica de Des Moines al almacén de
Albuquerque.
200 " " " " " Evansville " " " Boston.