MODELO DIGITAL DE TERRENO ou MODELO NUMÉRICO DO RELEVO - conjunto de dados em suporte numérico que, para uma dada região, permite associar a qualquer ponto definido sobre o plano cartográfico um valor correspondente à sua altitude.
Conjunto de coordenadas topográficas(M1, P1, H1)……(Mn, Pn, Hn)
de uma amostra discreta do terreno situados na região.
Um algoritmo de interpolação, que permite estimar a altitude H de um ponto qualquer da região, a partir das suas coordenadas topográficas (M,P).
Constituído por:
REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA DO TERRENO
MODELO DIGITAL DO TERRENO
MDT de malha regular MDT de malha irregular
Malha quadrangular
Malha triangular
fixo variável
Rede de triângulos irregular
TIN
As estruturas mais usadas
GRID TIN(Triangulated Irregular Network)(malha quadrangular)
Pontos discretos georeferenciados, distribuidos irregularmente na região.
Estrutura vectorial
Rede regular de pontos.Estrutura matricial ou raster.
M
P E
E
PLLinha L
MK
Coluna K
H(L,K)
H(1,1) H(1,2)
H(2,1)
H(m,n)
MDT DE DISTRIBUIÇÃO EM QUADRÍCULA (RASTER)
Matriz de cotas H(m,n)
Linha L-1
Linha L+1
Coluna K+1
Coluna K-1
O elemento (K,L) da malha tem a seguinte informação:
(MK, PL, H(L,K))
H(MK,PL) H(L,K)
Estabelecendo uma correspondência entre as coordenadas do terreno e a sua cota
M
P
MK
PL
E
E
H(L,K)
H(i,j)
Mj
Pi
(i - L)E
(j - K)E
As coordenadas cartográficas do elemento H(i,j) relacionam-se com as do H(L,K) por:
Li
Kj
PLiEPMKjEM
)()(
A distância entre os seus centros é dada por:
22 )()()),(),,(( KjLiEKLjiD
MDT DE DISTRIBUIÇÃO EM QUADRÍCULA
Estimação da altitude dos elementos da matriz
MDT DE DISTRIBUIÇÃO EM QUADRÍCULA
Algoritmo dos prismasO ponto (MP) é enquadrado no elemento (l,k) da matriz H, que se encontra mais próximo, atribuindo-se-lhe a sua altitude:
)P,M(H)k,l(H (l,k)
M
P
O terreno é modelado com prismas de base horizontal, com diferentes cotas.
Altitude de (M,P)?
Estimação da altitude dos elementos da matriz
MDT DE DISTRIBUIÇÃO EM QUADRÍCULA
Funções de interpolação polinomiais
Polinómios bicúbicos
Polinómios bilineares
(spline)
Há continuidade na variação do relevo na transição entre os elementos contíguos da quadrícula.
Com as splines cúbicas os perfis verticais da superfície do terreno apresentam uma forma mais suavizada (smoothed) dos que os perfis traçados a partir de polinómios bilineares.
A face superior do prisma de cada elemento é uma superfície curva.
(spline cúbicas)
Não há continuidade no relevo entre elementos.
Pode-se definir uma vizinhança limitada de raio r. Pontos fora não contam.
MODELO RASTERConstrução de um MDT de malha quadrangular a partir de pontos cotados
Média aritmética pesada (MAP) (IDW)
M
P
1
2
3
4
5
6
interpolação sobre pontos
Função de interpolação para a determinação da cota de um elemento:
A cota é obtida pela média pesada das cotas de vários pontos na sua vizinhança.
Os pesos são inversamente proporcionais à potência p (>=2) da distância entre o ponto de coordenadas (M,P) e o ponto i da amostra.
n
1in
1ji
iiH)P,M(H
p2
i2
i
i)PP()MM(
1
Construção de um MDT de malha quadrangular a partir de pontos cotados
M
P
1
2
3
4
5
6
interpolação sobre pontos
Talvegue ou
festo
Na interpolação das cotas podem incluir-se linhas de interrupção:
breaklines
A cota dos pontos 3 e 6 não é considerada, pois encontram-se noutra margem de uma linha de água ou noutra encosta de um festo.
MDT DE DISTRIBUIÇÃO EM QUADRÍCULAEstimação do declive dos elementos da matriz
E)k,l(H)k,1l(H
N
(l,k)
l -1
k-1
l +1
l
k+1k
N
S
EW
Malha com largura E
E)k,l(H)1k,l(H
E
E)k,l(H)k,1l(H
S
E)k,l(H)1k,l(H
W
Declives segundo diferentes azimutes:
E)k,l(H)1k,1l(H
NE
Para um azimute A qualquer obtem-se o declive por interpolação:
)(50
150ASSESEA
gon200AAgon150A SESE
1
2 3
4u
v
Coordenadas locais u, v
(l,k)
(l+1,k+1)(l+1,k)
(l,k+1)
Para as operações de análise da superfície os modelos raster podem utilizar um sistema de coordenadas local.
MODELOS NUMÉRICOS DO RELEVO DE DISTRIBUIÇÃO EM QUADRÍCULA
1
2
3
4
u
v
Carta hipsométricaCarta a curvas de nívelO MDT permite obter diferentes tipos de representação do relevo.
Modelo digital do terreno com malha quadragunlar observado em perspectiva com diferentes ângulos
MODELO POLIÉDRICO DO TERRENO: Rede de triângulos irregular (TIN)
CPPHM
MHN iii
Equação geral do plano que contém 3 vértices:
Superfície irregular do terreno é aproximada por uma superfície poliédrica de faces triangulares. O número e dimensão das faces depende da irregularidade do terreno e do detalhe que se pretende representar.
M
P
Representação plana
ELEMENTO DA MALHA DA REDE IRREGULAR DE TRIÂNGULOS
M
P
i
j
k
(Mi, Pi, Hi) (Mj, Pj, Hj) (Mk, Pk, Hk)Coordenadas conhecidas dos vértices do triângulo
aMi + bPi +c = Hi
aMj + bPj+ c = Hj
aMk + bPk + c = Hk
O sistema de 3 equações lineares:
Permite obter os coeficientes a, b e c da equação do plano definido pelos 3 vértices do triângulo:
aM + bP + c = H
Esta equação é a função de interpolação, permite obter a cota de um ponto qualquer do interior do triângulo, a partir das suas coordenadas M e P.
MHa
a – declive do plano segundo o eixo M
PHb
b – declive do plano segundo o eixo P
12
121313
12
121313
MPMP
MHMH
b
12
1212
MPbHa
111 bPMaHc
Resolução do sistema de 3 equações lineares para cálculo dos parâmetros da equação do plano que passa em três pontos de coordenadas rectangulares conhecidas
1313
1212
1313
1212
1313
1212
PPPPPPNMMMMMHHHHHH
Com:
cbPaMH Conhecendo 3 pontos do plano
cbPaMHcbPaMHcbPaMH
333
222
111
Obtém-se o sistema de equações:
Cuja resolução permite obter os valores de a, b e c:
ORIENTAÇÃO DO TERRENOA orientação da superfície (Az) é o azimute da normal à superfície
O azimute é calculado pelas derivadas de primeira ordem, de acordo com a expressão:
batgarc
PH
MHtgarcAz
)/()(Orientação da superfície
S
NNE
SESW
NW
EW
0º
90º270º
180º
a>0 e b>0 3º Qa<0 e b<0 1º Qa>0 e b<0 4º Qa<0 e b>0 2º Q
A
Azimute
1º
2º3º
4º
N
Sendo o quadrante do azimute definido pelas condições:
DECLIVES DO TERRENO
O declive máximo da superfície (δmax) é a taxa máxima de variação de altitude
É calculado pelas derivadas de primeira ordem, de acordo com a expressão:
2222
max baPH
MH
Declive máximo
zz AcosbAsina
O declive segundo uma direcção qualquer com azimute Az:
A orientação do declive máximo é: batgarcA max,z
CURVAS DE NÍVEL
No plano, as curvas de nível são segmentos rectos perpendiculares à direcção do declive máximo, tendo como orientação
º90batgarcA CN,z
As curvas de nível podem ser obtidas por interpolação ao longo dos lados dos triângulos
34 30
815 10
Curva de nívelH = 20 m
10
6
14
12
8
4
2
24
68
1012
24 6 8 10
12P
M
H
N
nA
C
B
Az
Declive máximo:
%5.82825.0)2.0()8.0( 22max
h = – 0.8 M – 0.2 P + 14.4 Equação do plano:
A(2;4;12) B(10;2;6) C(6;8;8)
Dados 3 pontos do terreno com coordenadas:
2a + 4b + c = 12
10a + 2b + c = 6
6a + 8b + c = 8
Sistema de equações lineares:
MODELO TIN: EXEMPLO DO CÁLCULO PARA CADA ELEMENTO DA MALHA (TRIÂNGULO)
Orientação:
º762.08.0
tgarcAz ( Este – Noreste)
Para a<0 e b<0 azimute é do 1º Q
Estabelecimento da rede de triangular de interpolaçãoB
A
CD
B
A
CD
Hipótese 1 Hipótese 2
Hipótese 1 não é válida porque o ponto D está no interior da circunferência que contém os outros 3 pontos A, B e C.
Utiliza-se uma Triangulação de Delauney
B
A
CD
B
A
CD
Hipótese 2 é válida
Geração de uma rede irregular de triângulos a partir de pontos cotados
Pontos topográficos
76.7
73.472.9
74.5
74.8
75.4
74.7
71.971.4
72.372.6
71.2
M
P
TIN
76.7
73.472.9
74.5
74.8
75.4
74.7
71.971.4
72.372.6
71.2
P
MModelo discreto do terreno.As altitudes são conhecidas apenas em alguns pontos.
Modelo contínuo do terreno.Conhecem-se as altitudes em qualquer ponto da região.
Utiliza-se uma triangulação de Delauney
45 m35 m
40 m
50 m
1150 12701030
1210
1330
1450
OBTENÇÃO DE UMA TIN A PARTIR DAS CURVAS DE NÍVEL
OBTENÇÃO DE UMA TIN A PARTIR DAS CURVAS DE NÍVEL
45 m35 m
40 m
50 m
1150 12701030
1210
1330
1450
Festo
Talvegue
Linhas de festo e de talvegue devem ser arestas de triângulos.
São linhas de quebra(breaklines).Talvegues devem ser hard breaklines.Festos podem ser soft breaklines.
1150 12701030
1210
1330
1450
Festo
Talvegue
MODELO POLIÉDRICO DO TERRENO COM MALHA TRIANGULAR IRREGULAR (TIN)
Conhecem-se as coordenadas M, P e N dos vértices dos triângulos
Calculam-se as equações do plano de cada triângulo, sendo possível interpolar a cota para qualquer ponto da região –modelo de terreno contínuo.
1150 12701030
1210
1330
1450
Dos MDT podem derivar-se CARTAS HIPSOMÉTRICAS
< 35 m35 – 40 m 40 – 45 m45 – 50 m> 50 m
Festo
Talvegue
5 – 10 %10 – 15% 15 – 20%20 – 25%25 – 30%30 – 35%35 – 40%> 40%
1150 12701030
1210
1330
1450
Dos MDT podem derivar-se CARTAS DE DECLIVES
Festo
Talvegue
NNEESESSWWNW
1150 12701030
1210
1330
1450
25
75
125
175225
275
325
375
S
NNE
SESW
NW
EW
Azimutes em grados
Festo
Talvegue
Dos MDT podem derivar-se CARTAS DE ORIENTAÇÕES
Triangulação sem definição dos talvegues
Triangulação com altitudes dos talvegues
Geração de uma rede irregular de triângulos a partir de pontos cotados, curvas de nível, linhas de água e linhas de festo.
262,100006
262,899994
266,
8999
94
266,
1000
06
759
704
753
763
836
789
Carta topográfica com festos traçados
759
704
753
763
836
789
Rede irregular de triângulos para gerar o MDT
759
704
753
763
836
789
Modelo digital do terreno (TIN) com CN e linhas
de água
759
704
753
763
836
789
Carta de declives do terreno, com curvas de nível
759
704
753
763
836
789
LegendFlat (-1)
North (0-22.5)
Northeast (22.5-67.5)
East (67.5-112.5)
Southeast (112.5-157.5)
South (157.5-202.5)
Southwest (202.5-247.5)
West(247.5-292.5)
Northwest (292.5-337.5)
North (337.5-360)
Carta de orientações (azimutes) da superfície
do terreno, com CN.
O modelo digital do terreno e a cartografia derivada
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