Modélisation mathématique d’Internet
Julien Reynier
Publications disponibles sur http://www.eleves.ens.fr/home/jreynier/
Plan
• Partie Pratique– Une brève histoire d’Internet– La congestion dans Internet– Pourquoi modéliser ?
• Partie Théorique– Équations fluides– La méthode de champ moyen– Expérimentations
Les pionniers d’Internet
Tim Berners-Lee
Créateur du Web (1990-1992)
Vint Cerf
Créateur de TCP (1973-1980)
Jon Postel
Éditeur des RFC (1969-
1998)
Les briques techniques d’Internet
• Commutation de paquets (1960)
• Décentralisation complète (1965)
• TCP/IP : un protocole qui abstrait la couche matérielle (1973-1980)
• Des applications : mail (1972), forums et news (Usenet, 1979), le DNS (1987), WWW (1991), moteurs de recherche (1993)…
De l’idée à la réalité
• Un mécène : le DoD via ARPA
• Un déploiement universitaire massif (à partir de 1980)
• TCP/IP laissé dans le domaine public par ARPA (1986)
• Premiers ISP et fin progressive de l’AUP (1988-1992)
Plan
• Partie Pratique– Une brève histoire d’Internet– La congestion dans Internet– Pourquoi modéliser ?
• Partie Théorique– Équations fluides– La méthode de champ moyen– Expérimentations
Causes et solutions historiques
• 1975 : des collisions de paquets nombreuses aux concentrateurs (routeurs - switchs) -> Apposition de files d’attentes
• 1989 : capacité du réseau dépassée -> TCP implémente le contrôle de congestion décentralisé.
• 1993 : Tentative de contrôle au routeur• Aujourd’hui : le problème n’est toujours
pas définitivement résolu
Plan
• Partie Pratique– Une brève histoire d’Internet– La congestion dans Internet– Pourquoi modéliser ?
• Partie Théorique– Équations fluides– La méthode de champ moyen– Expérimentations
La modélisation pour les nuls
• Le problème de la congestion est trop difficile pour être résolu en temps raisonnable par l’ingénierie classique.
• L’interaction d’un grand nombre d’utilisateurs rend :– les simulations longues et inefficaces– les mesures difficiles à interpréter
• Les méthodes doivent « passer à l’échelle » pour résister à l’augmentation de l’usage. Ceci est irréalisable sans les mathématiques.
Plan
• Partie Pratique– Une brève histoire d’Internet– La congestion dans Internet– Pourquoi modéliser ?
• Partie Théorique– Équations fluides– La méthode de champ moyen– Expérimentations
L’approche classique
• Écrire ad nihilo les équations d’évolution du système considéré.
Pros et cons
• La formule marche bien en particulier pour des études de stabilité, elle modélise bien la réalité
• Elle n’a aucune justification, expérimentale ou mathématique
• Elle n’est pas adaptable pour étudier des variations dans le protocole
Plan
• Partie Pratique– Une brève histoire d’Internet– La congestion dans Internet– Pourquoi modéliser ?
• Partie Théorique– Équations fluides– La méthode de champ moyen– Expérimentations
L’approche de la physique statistique sur une version
améliorée de la physique quantique
• On modélise le comportement individuel des utilisateurs (avec mémoire)
• On étudie les lois de leur interaction lorsque leur nombre devient grand
• On en déduit la loi d’évolution exacte et prouvée. On connaît toutes les approximations qui ont été faites.
L’urne de Polya : le niveau 0 du champ moyen
• Une urne contient N boules, 55% de rouges et le reste de bleues
• On étudie la proportion de rouge sur le tirage de boules SANS remise.
• Quand N devient grand, cette proportion devient à coup sur exactement 55% sur tout tirage donné.
Application : Il est inutile de dépouiller tous les votes pour des élections
Plan
• Partie Pratique– Une brève histoire d’Internet– La congestion dans Internet– Pourquoi modéliser ?
• Partie Théorique– Équations fluides– La méthode de champ moyen– Expérimentations
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Limit : Matlab2 4 6 8 10 12 14 160
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La convergence vers les équations du champ moyen
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