7/26/2019 Metodos matematicos aplicados a la ingenieria
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Universidad de los Andes
Departamento de Fsica
Metodos Matematicos
Gabriel Tellez
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c2002 Gabriel Tellez Acosta.Todos los derechos reservados por el autor. Se autoriza el uso para estudiopersonal e individual. Toda otra utilizacion, en particular comercial, requiere laautorizacion escrita del autor. Prohibida la venta sin la autorizacion escrita delautor.
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Indice general
Prefacio VII
I. Funciones de una variable compleja 1
1. Funciones analticas y funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . 11.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Condiciones de CauchyRiemann . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Funciones trascendentales elementales. . . . . . . . . . . . 6
2. Representaciones geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. Integracion compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1. Integral de linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. Serie de Taylor y serie de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.1. Serie de Taylor, funciones enteras . . . . . . . . . . . . . . 184.2. Serie de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3. Ceros, polos y singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4. Prolongacion analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5. Teorema y calculo de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.1. Teorema de los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2. Calculo de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3. Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6. Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II. Distribuciones 371. La distribucion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.1. Un ejemplo sacado del electromagnetismo . . . . . . . . . 371.2. Primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3. Secuencias de funciones convergiendo hacia (x) . . . . . 391.4. Primitivas y derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5. Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432. La teora de las distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1. Los espaciosD(R) yD(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2. Ejemplos de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3. Operaciones enD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4. Otras distribuciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . 50
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iv INDICE GENERAL
2.5. Distribuciones enRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6. Soporte de una distribucion . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3. Producto de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1. Producto de convolucion de dos funciones . . . . . . . . . 553.2. Producto de convolucion de dos distribuciones . . . . . . 553.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4. La distribucion (1/r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5. Continuidad, regularizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.6. Asociatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.7. Algebras de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.8. Aplicacion a la solucion de ecuaciones diferenciales. Fun-
ciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.9. Senales y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4. Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
III.Series de Fourier 731. Introduccion historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732. Serie de Fourier de una funcion periodica . . . . . . . . . . . . . 76
2.1. Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.2. Convergencia para funciones de variacion acotada . . . . . 782.3. Coeficientes de las derivadas def . . . . . . . . . . . . . . 802.4. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3. Convergencia enL2(T). Interpretacion geometrica. . . . . . . . . 823.1. Interludio: Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 823.2. Series de Fourier y el espacio L2(T) . . . . . . . . . . . . 86
4. Serie de Fourier de una distribucion periodica . . . . . . . . . . . 884.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2. Distribuciones periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3. Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.4. Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5. Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
IV.Transformada de Fourier 951. Introduccion: de la serie de Fourier a la transformada de Fourier 962. Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1. Transformada y cotransformada de Fourier . . . . . . . . 972.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3. Transformada de Fourier de distribuciones . . . . . . . . . . . . . 1013.1. El espacioS(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.2. El espacioS(R) de las distribuciones templadas . . . . 1023.3. Transformacion de Fourier de distribuciones templadas . . 1044. Propiedades y aplicaciones varias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.1. Formula de Plancherel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2. Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3. Funciones y distribuciones periodi cas . . . . . . . . . . . . 107
5. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
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INDICE GENERAL v
5.1. Funciones y distribuciones radiales . . . . . . . . . . . . . 1106. Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
V. Transformada de Laplace 1191. Transformada de Laplace de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 119
1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2. Transformada de Laplace de distribuciones . . . . . . . . . . . . 1242.1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.2. Tabla de transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . 125
3. Formula de inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254. Convolucion y aplicacion a ecuaciones diferenciales . . . . . . . . 1305. Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
VI.Ecuaciones diferenciales de la Fsica 135
1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352. Algunos casos sin fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.1. Ecuacion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372.2. Ecuacion de onda no homogenea . . . . . . . . . . . . . . 138
3. Separacion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414. Funciones y polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.1. Ecuacion de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.2. Funcion generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.3. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.4. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.5. Funciones asociadas de Legendre . . . . . . . . . . . . . . 1524.6. Funciones esfericas armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5. Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.1. Ecuacion de Laplace en coordenadas cilndricas . . . . . . 1565.2. Funcion generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.3. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.4. Representacion integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.5. Comportamientos asintoticos . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.6. Ortogonalidad y series de FourierBessel . . . . . . . . . . 1615.7. Ejemplo de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.8. Transformada de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.1. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.2. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7. Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Apendice 175
Bibliografa 177
Smbolos utilizados 179
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vi INDICE GENERAL
Indice alfabetico 183
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Prefacio
Este libro nace de unas notas de clase del curso Metodos Matematicos
para estudiantes de la carrera de Fsica de la Universidad de los Andesque dicte en el segundo semestre del ano 2000 y en el primer semestre del ano2002. Este trata los conceptos basicos de matematicas que todo fsico debe co-nocer. Para abordar este libro el lector debe tener conocimientos elementales decalculo diferencial, integral y vectorial, as como nociones de algebra lineal co-rrespondientes a los cursos universitarios de primeros semestres de toda carreracientfica. El contenido de este libro esta orientado principalmente a estudiantesde pregrado en fsica aunque puede ser provechoso para estudiantes de otrascarreras cientficas como matematicos e ingenieros. A pesar de esta orientacionhacia la fsica se trato de mantener un cierto rigor matematico.
El libro esta dividido en seis captulos. Cada captulo presenta la teorailustrada con ejercicios, algunos de ellos resueltos, otros no. Al final de cadacaptulo hay ejercicios y problemas adicionales.
El primer captulo trata sobre funciones de variable compleja. No se trato depresentar un compendio sobre este vasto tema sino solo lo esencial. En particular
se da enfasis en las aplicaciones del teorema de residuos al calculo de integralesdefinidas. La principal bibliografa utilizada para esta parte es [Spi67, Arf66,But68, Kah91].
El segundo captulo trata sobre las distribuciones o funciones generalizadas.Se presentan primero de manera intuitiva con la distribucion de Dirac y luego sedan algunos elementos de la teora de Schwartz de las distribuciones, mostrandoas el fundamento matematico de esta herramienta. La principal referencia paraeste captulo es naturalmente el libro de Schwartz [Sch66] as como [Sch98,Kah91].
Los captulos III, IV y V tratan del analisis de Fourier y la transforma-da de Laplace. Aqu se abordan las nociones basicas de estas transformacionespara funciones y distribuciones as como sus aplicaciones. Se presentan algu-nos ejemplos de como aparece en fenomenos fsicos la transformada de Fourier,
por ejemplo en optica, pero tambien su utilidad como herramienta matematicapara resolver ecuaciones diferenciales. La bibliografa en este tema es amplia.Podemos citar [Arf66, Sne51, Kah91, Sch98, Spi70] entre otros.
El ultimo captulo aborda el tema de las ecuaciones diferenciales que mascomunmente aparecen en fsica. Es la ocasion para presentar en detalle el meto-do de las funciones de Green, y resolver la ecuaci on de Laplace en diferen-
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viii INDICE GENERAL
tes sistemas de coordenadas. Naturalmente se presenta entonces el estudio delas funciones especiales que aparecen en la solucion de la ecuacion de Lapla-
ce, a saber los polinomios y funciones asociadas de Legendre y las funcionesesfericas armonicas para los problemas con simetra esferica, y las funcionesde Bessel para los problemas con simetra cilndrica. Para las propiedades deestas funciones especiales el lector encontrara muy util consultar libros talescomo [GR94, Wat44, WW27].
Gabriel Tellez
Bogota, febrero 2003
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Captulo I
Funciones de una variable
compleja
En este captulo estudiaremos las propiedades de las funciones de una
variable compleja con valores complejos. En particular nos interesa estu-diar las funciones derivables (tambien llamadas holomorfaso analticas). Estastienen una propiedad muy particular: una funcion de variable compleja deriva-ble una vez lo es automaticamente una infinidad de veces. Esto es algo nuevocon respecto a la funciones de una variable real en que una funcion puede serderivable una vez pero no dos o mas veces. Esta propiedad tiene consecuen-cias muy especiales, una de ellas se conoce como la f ormula de Cauchy que nospermitira entre otros calcular muchas integrales definidas muy facilmente.
1. Funciones analticas y funciones holomorfas
1.1. Definiciones
En todo este captulo, salvo mencion de lo contrario, f es una funcion deuna variable compleja que toma valores complejos:
f : C C (I-1.1)z f(z) .
Definicion I.1.1. La funcion f es analtica en z0 C si existe >0 tal quepara todoz que cumple|z z0| < tenemos
f(z) =
n=0
an(z z0)n , (I-1.2)
con (an) una secuencia de numeros complejos.Decimos quefes analtica en un abiertoGde C si es analtica en todo punto
de G.
1
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2 CAPITULO I. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA
En otras palabrasfes analtica enz0si posee un desarrollo en serie de Tayloren la vecindad dez0.
Definicion I.1.2. Una funcion f esholomorfa o derivable en z0 si f esta de-finida en la vecindad dez0 y el lmite
lmh0
f(z0+h) f(z0)h
def= f(z0) , (I-1.3)
existe.Decimos que fes holomorfa en un abierto G de C si es holomorfa en todo
punto de G.
Se trata de la misma definicion que para funciones de variable real. Pero hayque caer en cuenta de un punto importante: h es un numero complejo. El lmitedebe existir y ser unico independientemente de como h se acerque a cero. Esto
tendra consecuencias importantes como lo veremos en la siguiente secci on.Teorema I.1.1. Toda funcion analtica es holomorfa y recprocamente.
Es bastante evidente que toda funcion analtica es derivable. Si f(z) =n=0an(z z0)n entonces:
f(z0+h) f(z0)h
= 1
h
n=0
anhn a0
(I-1.4)
= a1+n=2
anhn1
h0
a1 .
Tenemos ademas f(z0) = a1.La recproca, toda funcion holomorfa es analtica, es tambien cierta (aunque
no es evidente). Veremos su demostracion mas adelante. Notemos que esto escompletamente nuevo y es una propiedad muy fuerte. Para las funciones de unavariable real esto no es cierto: una funcion de variable real puede ser derivablesin ser analtica.
Finalmente, para funciones de una variable compleja, los terminos holomorfay analtica son sinonimos.
Ejemplo I.1.1. La funcionf(z) = z es holomorfa en todo C. La funcionf(z) =z, en donde z es el complejo conjugado dez , no es derivable en ningun punto.
Ejercicio I.1.1. Mostrarlo.
Algunas propiedades bastante evidentes para mostrar que una funcion esderivable:
Teorema I.1.2.
1. La suma de dos funciones derivables es derivable.
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1. FUNCIONES ANALITICAS Y FUNCIONES HOLOMORFAS 3
2. El producto de dos funciones derivables es derivable.
3. El cociente de dos funciones derivables es derivable si el denominador nose anula.
4. Si f y g son derivables entonces f g es derivable. f g(z) def= f(g(z)) y(f g)(z) = f(g(z))g(z). Es la regla de la cadena: dfdz = dfdg dgdz .
5. Si f es derivable y su derivadaf no se anula yfes uno-a-uno de un abiertoGhacia un abiertoH, entonces la funcion recprocaf1 que aplica de HhaciaG es derivable. Su derivada es: (f1)() = 1/f(f1()). O escritode otra forma: = f(z),z = f1(),f(z) = ddz y (f
1)() = dzd = 1/ddz .
Son las mismas propiedades basicas que para las funciones de una variablereal y se demuestran de la misma forma.
1.2. Condiciones de CauchyRiemann
Como mencionamos anteriormente el lmite (I-1.3) que define la derivadano debe depender de como h tiende hacia cero. Eso impone varias condicionessobre las derivadas parciales de la parte real e imaginaria de f con respecto ala parte real e imaginaria de z. Pongamos que z = x+ iy con (x, y) R2 yf(z) = u(x, y) + iv(x, y) con u y v parte real e imaginaria de f. Supongamosque f es holomorfa en z y que las derivadas parciales de u y v en z existan.Pongamos h = x +iy. Tenemos
f(z) = lmx0y0
u(x+x, y+y) u(x, y) +i (v(x+x, y+y) v(x, y))x+iy
.
(I-1.5)
Ahora escojamosy = 0 y miremos el lmite cuando x 0.f(z) = lm
x0
u(x+x, y) u(x, y) +i (v(x+x, y) v(x, y))x
f(z) = u
x+ i
v
x . (I-1.6)
De manera similar, tomando primero x= 0 podemos mostrar que
f(z) =v
y i u
y . (I-1.7)
Comparando las dos ecuaciones (I-1.6) y (I-1.7) deducimos las condiciones deCauchyRiemann:
vy
= ux
, (I-1.8a)
v
x = u
y. (I-1.8b)
Acabamos de demostrar que:
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4 CAPITULO I. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA
Teorema I.1.3. Si f es derivable y las derivadas parciales de u y v existenentonces se cumplen las condiciones de CauchyRiemann. En otras palabras las
condiciones de CauchyRiemann son una condicion necesaria para que f seaholomorfa.
Recprocamente, si las derivadas parciales de u y v son continuas, las con-diciones de CauchyRiemann son una condicion suficientepara quef sea holo-morfa.
Ejercicio I.1.2. Demostrar la recproca.
El siguiente ejercicio contiene varios resultados importantes. Antes es tal vezutil recordar la nocion de convergencia simple y convergencia uniforme.
Definicion I.1.3 (Convergencia simple). Una secuencia de funciones (fn)definidas en un conjunto X (de C o de R) converge simplemente hacia una
funcionfsi y solamente si para todo z X,lmn
fn(z) = f(z) . (I-1.9)
Definicion I.1.4 (Convergencia uniforme). Una secuencia de funciones (fn)converge uniformemente en un conjunto Xhacia una funcion fsi y solamentesi
lmn
supxX
|fn(x) f(x)| = 0 (I-1.10)
Ejercicio I.1.3. Sea f(z) =
n=0anzn una serie de potencias de z con radio
de convergenciaR.
1. Mostrar que la serie converge uniformemente dentro de todo disco de radio
r < R.
2. Mostrar que la serie de derivadas
n=0nanzn1 converge uniformemente
dentro de todo disco de radio r < R.
3. Mostrar quef es holomorfa dentro de su radio de convergencia.
4. Mostrar quefes derivable una infinidad de veces y que f(n)(0) =n! an.
Solucion.
1. Podemos usar el criterio de convergencia uniforme de Weierstrass que diceque si en un conjuntoR, existe una cota Mn para una secuencia un(z),
|un(z)
|< Mn para todo z
Ry queMn converge entoncesun(z)
converge uniformemente enR.Sea M tal que r < M < R. Tenemos
n |an|Mn
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1. FUNCIONES ANALITICAS Y FUNCIONES HOLOMORFAS 5
2. Primero probemos que la serie
nanz
n1 tiene mismo radio de conver-gencia R. Sea
|z
| < R y sea
|z0
| tal que
|z
| 0 tal que para todo n > N,|anzn0 | N, los terminos dela serie derivada|annzn1|< n|zn1|/|zn0 | = un. Pero vemos que la serie
unconverge pues lmnun+1/un= |z|/|z0| R, sea|z0| > |z|. Tenemos|annzn1| > |anzn|/|z0|ycomo la serie
|anzn| diverge entonces |nanzn1| diverge. Pero comotoda serie de potencias converge absolutamente dentro de su disco deconvergencia deducimos que
nanz
n1 diverge. El radio de convergenciade
annzn1 esR, el mismo que para
anz
n.
Aplicando los resultados del punto 1 para la serie
bnz
n con bn = (n+1) an+1 concluimos que la serie annzn1 es uniformemente convergentedentro de todo disco incluido en el disco de convergencia.
3. Por la convergencia uniforme de la serie de derivadas
nnanzn1 y con-
vergencia simple de la serie
anzn podemos intercambiar lmite y suma-
toria y deducir quefes derivable en todo punto z al interior del disco deconvergencia.
4. Ademas
f(z) =
n=1
annzn1 . (I-1.11)
Mas generalmente tenemos
f(p)(z) =
n=p
n(n
1)
(n
p+ 1)anz
np . (I-1.12)
De este resultado deducimos que f(p)(0) =p!ap.
Ejercicio I.1.4. Sea f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) una funcion compleja de dosvariables reales. Definimos las nuevas variablesz = x + iyy z = x iy. Podemosver af como una funcion de z y z, f(z, z).
1. Mostrar que
z =
1
2
x i
y
, (I-1.13a)
z =
1
2
x + i
y
, (I-1.13b)
x =
z+
z, (I-1.13c)
y = i
z i
z. (I-1.13d)
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6 CAPITULO I. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA
2. Mostrar que f es una funcion analtica (holomorfa) de la variable z si y
solamente si f
z= 0 y que ademasf(z) =
f
z.
3. De manera similar, mostrar quefes una funcion analtica (holomorfa) de
la variable z si y solamente si fz = 0 y que ademas
f(z) =fz . En este
caso decimos que fes una funcion anti-analticade la variable z .
Usaremos muy a menudo esas derivadas parciales. Algunas notaciones usuales:
z = =
z, (I-1.14a)
z = =
z. (I-1.14b)
Ejercicio I.1.5. Pongamos z = rei y sea f(z) = R(r, )ei(r,). Mostrar que
las condiciones de CauchyRiemann en coordenadas polares se escriben
R
r =
R
r
, (I-1.15a)
R
r = R
r . (I-1.15b)
Ejercicio I.1.6. Funciones armonicas.Decimos que una funcion es armonica en un abierto G si su laplaciano es
nulo en ese abierto. Sea f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) una funcion de dos variables.
1. Mostrar, usando las condiciones de CauchyRiemann, que si f es holo-morfa entonces u y v son armonicas.
2. Mostrar que el laplaciano
def=
2
x2+
2
y2 = 4
z
z. (I-1.16)
Y deducir usando los resultados del ejercicio I.1.4 otra demostracion parael punto 1.
Ejercicio I.1.7. Seau(x, y) = ex(x sin y y cos y).1. Mostrar queu es armonica.
2. Encontrar v tal que f(z) = u+iv sea analtica.
1.3. Funciones trascendentales elementales.
Definimos la funcion exponencial por la serie
ez def=
n=0
zn
n! , (I-1.17)
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1. FUNCIONES ANALITICAS Y FUNCIONES HOLOMORFAS 7
y las funciones trigonometricas e hiperbolicas
cos z def= eiz +eiz2
, sin z def= eiz eiz2i
, (I-1.18)
cosh z def=
ez +ez
2 , sinh z
def=
ez ez2
. (I-1.19)
La funcion exponencial tiene radio de convergencia infinito. Por los resultadosdel ejercicio I.1.3 deducimos que la funcion exponencial es analtica en todo C.
Ejercicio I.1.8. Mostrar usando la definicion (I-1.17) que (ez) =ez y deducirqueez+h =ezeh.
Ejercicio I.1.9. Mostrar que cos iz= cosh z, sin iz= i sinh z, cos z= cosh iz ysinh iz= i sin z. Encuentre unz tal que| cos z| >1.
La siguiente funcion a estudiar es la funcion logaritmo. Sin embargo su defi-nicion pone problemas porque la funcion exponencial es periodica en la direcciondel eje imaginario. Si = ez decimos que z es el logaritmo natural de . Pe-ro como ez+i2 = ez vemos que z + 2i tambien es el logaritmo de . Masgeneralmente todos los z +i2n con n Z son logaritmos de .
Esto nos lleva a introducir la nocion de funciones multivaluadas o multivocas.Estas funciones pueden tomar varios valores para un valor fijo del argumento.Esto por oposicion a las funciones unvocas que toman un solo valor.
Empezemos por poner por definicion ln 1 = 0. Para definir el logaritmo enotro puntoz empezamos en 1 y nos movemos por el plano complejo sin el origen,C\{0}, (puesto que el logaritmo de 0 no esta definido) hasta llegar az, pero conla convencion siguiente: si le damos una vuelta al origen en el sentido positivo novolvemos al punto 1 sino a un punto por encima de este (ei2) que tiene por
logaritmo 2i. Igualmente si damos la vuelta en el sentido negativo llegamos aun punto por debajo de 1 (e2i). Podramos seguir dando vueltas y cada vezllegar a un punto diferente e2in al dar |n| vueltas en el sentido positivo si n >0o negativo si n < 0. Este punto tiene logaritmo 2in. Hemos as definido unnuevo conjunto que puede visualizarse como una superficie en espiral, tambienllamada superficie de Riemann, y que se conoce como el recubrimiento universalde C\{0}. As encima y abajo de cada punto de C\{0} hay una infinidad depuntos que corresponden a hojas (hojas de Riemann) una encima de otra ypegadas.
Ejercicio I.1.10. Para tener una mejor idea del recubrimiento universal deC\{0} construya un modelo en papel de esta superficie.
Para calcular el logaritmo ln z hay que saber como se va de 1 hasta z (enespecial cuantas vueltas se dan alrededor del origen). El punto 0 centro de lahelice decimos que es un punto de ramificacion. En la practica lo mas sencilloes poner z =|z|ei en forma polar, con [0, 2[. Si no se ha dado ningunavuelta alrededor del origen entonces ln z = ln |z| +i. Si se han dado n vueltasalrededor del origen entonces ln z = ln |z| +i+i2n.
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8 CAPITULO I. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA
En ocasiones nos limitaremos a trabajar en una sola hoja de Riemann, convi-niendo que nunca daremos una vuelta alrededor del origen. Para esto escogemos
uncorteen el plano complejo (por ejemplo la media linea ], 0]) que no atra-vesaremos y consideraremos que la funcion logaritmo no esta definida ah. As lafuncion se vuelve unvoca y ademas holomorfa.
Ejercicio I.1.11. Calcular la derivada de ln z para z C\ ], 0].Podemos ahora definir la funcion potencia. Para cualquier a C, la funcion
potenciaa esta definida as: za def= ea ln z. Por la presencia del logaritmo en la de-
finicion, esta funcion es, en general, multivaluada y definida en el recubrimientouniversal de C\{0}. Pero hay casos particulares:
Sia es entero positivo, se trata de la funcion potencia usual:za =z z z(aveces) y es una funcion unvoca.
Si a = p/qes racional consideremos dos puntos uno encima de otro sepa-rados por qhojas de Riemann: z =|z|ei y z =|z|ei+2iq . Claramentetenemosz a =|z|aeip/q+2ip =za. No tiene utilidad distinguir la hoja 0y la hojaqpuesto que tienen mismas imagenes. As para definir la funcionpotencia nos podemos limitar a qhojas.
Ejemplo I.1.2. f(z) =
z = z1/2 esta definida sobre dos hojas de Riemann.
e0 = 1, f(e0) = e0/2 = 1 , (I-1.20a)
e2i, f(e2i) = ei = 1 , (I-1.20b)e4i, f(e4i) = e2i = 1 . (I-1.20c)
Podemos identificar los puntos e0 y e4i.
Tambien puede haber recubrimientos universales de cualquier abierto. Por ejem-plo para la funcion f(z) =
z z1z z2 tendramos dos puntos de ramifica-
cion y espirales de dos hojas alrededor de cada punto z1 y z2.
Ejemplo I.1.3.
a
c
b
El camino de la figura es cerrado en el recubrimiento universal de C\{b}pero no lo es para los recubrimientos universales de C
\{a
}, C
\{c
}, C
\{a,b,c
}.
Ejercicio I.1.12. Para la funcion f(z) =
z z1z z2 con z1= z2, cons-truya la superficie de Riemann sobre la cual esta definida. Muestre que con doscortes uno que empiece enz1 y vaya hacia el infinito y el otro enz2 y vaya haciael infinito sin cruzarse, la funcion f es unvoca. Muestre tambien que con unsolo corte [z1, z2] basta para que la funcion sea unvoca.
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2. REPRESENTACIONES GEOMETRICAS 9
Ejercicio I.1.13. Funciones hiperbolicas y trigonometricas inversas.Mostrar que
sinh1 = ln
2 + 1
, (I-1.21a)
cosh1 = ln
2 1
, (I-1.21b)
tanh1 = 1
2ln
+ 1
1
. (I-1.21c)
Encontrar formulas similares para las funciones trigonometricas inversas.
2. Representaciones geometricas
Como es bien sabido un numero complejo z = x+iy puede representarse
en el plano por un vector r = (x, y). Usando las notaciones del ejercicio I.1.4podemos encontrar representaciones de los operadores diferenciales usuales enel plano en terminos de derivadas complejas.
Gradiente:Sea(x, y) una funcion escalar. El gradiente de es
F= =
x
y
, (I-2.1)
y se puede representar por la funcion compleja
F = x
+ i y
= 2 z
(I-2.2)
Recordemos queF es perpendicular a las curvas constante.
Divergencia: A todo campo vectorial A(r) = (Ax(r), Ay(r)) podemosasociar una funcion compleja A = Ax+ iAy. La divergencia es A =xAx+yAy. En terminos de la funcion complejaA se expresa as
A= e(2zA) = Az
+A
z . (I-2.3)
Rotacional: Trabajando en el plano el rotacional no es un vector sino un
(pseudo) escalar: Rot A = xAy yAx. Con complejos se representa asRotA = m(2zA) = 1
i
A
z
A
z
. (I-2.4)
Ejercicio I.2.1. Verificar las formulas anteriores.
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10 CAPITULO I. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA
3. Integracion compleja
3.1. Integral de linea
Sea un caminoC en el plano parametrizado por dos funciones (X(t), Y(t)).Es decir que un punto corrienteM(t) del camino tiene coordenadas (X(t), Y(t)).El parametro t [, ] y M() = A y M() = B son los extremos del camino.
A
B
M(t)=( X(t), Y(t) )
Para dos funciones P(x, y) y Q(x, y) podemos definir la integral de linea ointegral de caminoC
[P(x, y)dx+Q(x, y)dy]def=
[P(X(t), Y(t))X(t) +Q(X(t), Y(t))Y(t)] dt .
(I-3.1)Para una funcion f(z) de una variable compleja tambien podemos definir
una integral de linea. Supongamos que los puntos A y B estan representadospor los numeros complejos a y b, la integral de linea de f sobreC esta definidapor suma de Riemann
C
f(z) dz =
ba
f(z) dz def= lm
Nzk0
Nk=1
zkf(k) , (I-3.2)
en donde hemos dividido el caminoC en pequenos segmentos zk =zk zk1yk esta en el segmento [zk1, zk].
a=z0
b=zN
z1
z2
zk1
zk
zk
Si f(z) = u(x, y) +iv(x, y) la relacion entre las dos integrales de linea es
C
f(z)dz = C
(u+iv)(dx+idy)
=
C
(u dx v dy) +iC
(u dy+v dx) . (I-3.3)
Si el punto corriente M(t) de la curvaC esta representado por el numero com-plejo(t) (es decir que la curva esta parametrizada por la funcion compleja
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3. INTEGRACION COMPLEJA 11
de una variable real t) entonces podemos calcular la integral de fpor la formula
C
f(z) dz =
f((t)) d(t) =
f((t))(t) dt . (I-3.4)
Esta es una de las formulas que mas usaremos para calcular integrales de lineacomplejas.
Ejemplo I.3.1. Sea la funcion f(z) = zn con n Z. Calculemos Cf(z) dzparaCun crculo de radio 1 centrado en 0. La curva se puede parametrizar conla funcion(t) = eit con t [0, 2]. Tenemos
C
zn dz =
20
(eit)n d(eit) =
20
eintieit dt
=
1n+1
ei(n+1)t
2
0 = 0, si n = 1
2i, si n =
1(I-3.5)
Teorema I.3.1. Si f(z) = F(z) en un abierto que contieneC entonces ba
f(z) dz= F(b) F(a). (I-3.6)
Notar que en este caso la integral no depende del camino, solamente de lospuntos inicial y final. Caso particular: si el camino es cerrado
Cf(z) dz= 0.
Demostracion. ba
F(z) dz=
F((t))(t) dt=
d
dt[F((t))]dt = F(a)F(b) . (I-3.7)
Con respecto al ejemplo I.3.1 podemos notar que si n = 1,zn = (zn+1/(n+1)) y se aplica el teorema I.3.1 que nos dice que la integral sobre un caminocerrado es cero. Pero para n = 1, 1/z = (ln z). La funcion logaritmo esta de-finida sobre el recubrimiento universal de C\{0} y el camino considerado en elejemplo I.3.1no es cerrado sobre esta superficie de Riemann: al dar una vueltallegamos a un punto sobre otra hoja de Riemann. De ah que el resultado de laintegral no sea necesariamente cero.
3.2. Teorema de Cauchy
Presentamos ahora un teorema muy importante del analisis complejo.
Teorema I.3.2 (Teorema de Cauchy). Si f es holomorfa en una region
abiertaR simplemente conexa entonces para todo camino cerradoC RC
f(z) dz = 0 . (I-3.8)
Si la region R es multiplemente conexa se aplica el teorema a todo caminoChomotopo a un punto.
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12 CAPITULO I. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA
Expliquemos primero la terminologa. Una region simplemente conexa esuna region en que todo camino cerrado de esta envuelve solo puntos de esta
region. Una region es multiplemente conexa si no es simplemente conexa. Porejemplo un disco es simplemente conexo mientras que un anillo es multiplementeconexo. El plano entero es simplemente conexo mientras que el plano sin unpunto es multiplemente conexo. Un camino cerrado homotopo a un punto esun camino que puede deformarse continuamente hasta volverse un punto. En lafigura siguiente el camino 1 es homotopo a un punto mientras que el camino 2no lo es.
Camino 1
Camino 2
Demostracion. Si suponemos ademas que las derivadas de u y v (parte real eimaginaria) defson continuas podemos demostrar facilmente el teorema usandola formula de Stokes
C
(P dx+Qdy) =
(xQ yP) dxdy . (I-3.9)
En efecto, tenemos
C
f(z) dz =
C
(udx vdy) +iC
(vdx+udy)
=
(xv+yu)dxdy+i
(xu yv)dxdy
= 0 . (I-3.10)
El paso a la segunda linea se hace usando la f ormula de Stokes y en el paso a laultima linea usamos las condiciones de CauchyRiemann (I-1.8).
Sin embargo la demostracion se puede hacer sin suponer que f
es continua.Esto es mas interesante puesto que veremos posteriormente que el teorema deCauchy implica que fes infintamente derivable (y en particularf continua).
Ejercicio I.3.1. Demostrar el teorema de Cauchy sin suponer quef es continuapara un camino triangular.
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3. INTEGRACION COMPLEJA 13
I
II
III IV
Solucion. Podemos descomponer el triangulo grande en cuatro triangulospequenos I, II, III y IV. Tenemos
f=I
f+II
f+III
f+IV
f
por lo tanto |
f| |I
f|+ |II
f|+ |III
f|+ |IV
f| 4|1
f| en donde1 es el triangulo pequeno en donde la integral es mayor en modulo. Repitiendo
el proceso n veces tenemos| f| 4n| n f|, para triangulos cada vez maspequenos que tienden hacia un punto z0.
Comofes derivable tenemos paraz cerca az0,f(z) = f(z0)+(zz0)f(z0)+(z z0)(z) = a + bz + (z z0)(z) con lmzz0(z) = 0 ya = f(z0) z0f(z0),b= f(z0) son constantes (no dependen de z). Ahora comoa + bz es la derivadadeaz + bz2/2 su integral en un camino cerrado es cero
n
(a + bz) dz = 0 segun
el teorema I.3.1. Queda pues| f| 4n| n (z)(z z0) dz|.LlamemosPel permetro de , claramente el permetro de nes P /2n. Por
otro lado lmzz0(z) = 0 quiere decir que para cualquier >0 existe >0 talque si|z z0| < entonces|(z)|< . Escojamos n suficientemente grande demanera que P /2n < . As tenemos|z z0| < P/2n y entonces se cumple que|(z)| < . Obtenemos
n
(z)(z z0)dz
n
|z z0||dz| P2n
P2n
=P2
4n . (I-3.11)
Finalmente
f
4nn
(z)(z z0)dz P2 . (I-3.12)
Y esto para cualquier >0, concluimos pues que
f= 0.
Algunas consecuencias directas del teorema de Cauchy. Si dos caminos C1yC2 son homotopos (es decir se pueden transformar continuamente el uno enel otro) entonces
C1
f(z) dz =C2
f(z) dz. Si f es holomorfa en todo el plano
complejo la integral
b
af(z)dz no depende del camino para ir de a a b.
Las integrales son iguales. Las integrales son diferentes
a
b
a
b
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14 CAPITULO I. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA
Ejercicio I.3.2. Mostrar explcitamente que la integral de una funcion holo-morfa es igual para los dos caminos mostrados a continuacion.
C
Como consecuencia del teorema de Cauchy podemos deducir una f ormulafundamental del analisis complejo conocida como formula de Cauchy.
Teorema I.3.3 (Formula de Cauchy). Seaf una funcion holomorfa en unabiertoG de C y sea z0
G. Sea un camino
C G que encierre el punto z0
dando una sola vuelta en el sentido positivo alrededor de este punto. Entonces
f(z0) = 1
2i
C
f(z)
z z0 dz . (I-3.13)
Demostracion. Notemos primero que la funcion f(z)/(z z0) es holomorfa enG excepto en el punto z0 en donde tiene un polo simple. Entonces el teoremade Cauchy no se aplica y la integral no es nula.
Sea un crculo centrado enz0 de radio suficientemente pequeno para que Gy que encierrez0en el sentido positivo. Los caminos y Cson homotopospor tanto
Cf(z)/(z z0)dz =
f(z)/(z z0)dz .
z0
C
Parametrizando por z = z0+eit cont [0, 2] tenemosC
f(z)
z z0 dz =
f(z)
z z0 dz
=
20
f(z0+eit)
eit ieitdt
= 20
if(z0+eit
)dt
0
2if(z0) . (I-3.14)
Como es arbitrario tomamos el lmite 0, de ah se deduce la formula deCauchy.
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3. INTEGRACION COMPLEJA 15
Armados de la formula de Cauchy podemos ahora por fin demostrar queanaltica y holomorfa son sinonimos.
Teorema I.3.4. Si f es holomorfa en G entonces f es analtica en G. Masprecisamente para todo z0 Gtenemos
f(z) =n=0
an(z z0)n , (I-3.15)
para todoz en un disco centrado en z0 y de radio igual a la distancia de z0 a lafrontera deG. Este disco se muestra en la figura.
z0
z
G
convergenciaDisco de
Ademas los coeficientes
an= 1
2i
f()
( z0)n+1 d , (I-3.16)
con Gun crculo centrado en z0, orientado en el sentido positivo, tal que zeste al interior del crculo.
z0
z
Demostracion. Tenemos z = z0+z0 z = ( z0)(1 zz0z0 ). Y como
|(z
z0)/(
z0)
|
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16 CAPITULO I. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA
Apliquemos ahora la formula de Cauchy
f(z) = 12i
f()d z
= 1
2i
f()n=0
(z z0)n( z0)n+1 dz . (I-3.18)
La integral y la sumatoria se pueden permutar porque la serie es uniformementeconvergente en todo disco de radio a centrado en z0 y dentro de . Ya que|z z0| a
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3. INTEGRACION COMPLEJA 17
Corolario I.3.4 (Teorema de dAlembert o Teorema fundamental delalgebra). Todo polinomio no constante P(z) admite por lo menos una raz en
C.
Demostracion. Si no fuese as la funcion 1/P(z) seria holomorfa en todo C,ademas es acotada puesto que lm|z|1/P(z) = 0, entonces por el teorema deLiouville es constante: contradiccion.
Corolario I.3.5. Todo polinomioP(z) de grado n se puede factorizar
P(z) = an
k=1
(z zk) . (I-3.23)
Ejercicio I.3.3. Seafanaltica en un abiertoGyz0 G. Mostrar quef(z0) esigual al promedio defsobre un crculo de centroz0 y radior arbitrario incluidoenG:
f(z0) = 12
2
0
f(z0+reit) dt (I-3.24)
Ejercicio I.3.4. Seafanaltica en un abiertoGque incluye 0. Sea Cun caminode G cerrado que encierra el origen 0 en el sentido positivo, empezando en unpunto z0 y volviendo a z0. Mostrar que
C
(ln z)f(z) dz = 2i (f(z0) f(0)) (I-3.25)
Indicacion. Integracion por partes.
La recproca del teorema de Cauchy es tambien cierta:
Teorema I.3.5 (Morera). Si f es continua en un abierto G simplemente
conexo y paratodacurva simple cerrada Cde Gtenemos Cf(z) dz = 0 entoncesfes analtica en G.
Demostracion. De la hipotesis que la integral sobre un camino cerrado es cerose deduce que la integral sobre un camino de extremos z0 y z no depende delcamino solo de los puntosz0y z. Paraz0fijo podemos entonces definir la funcionF(z) de la variable z
F(z) =
zz0
f() d . (I-3.26)
Probemos queF(z) = f(z), en otras palabras queFes una primitiva o integral(indefinida) de f. Tenemos
F(z+h) F(z)h
f(z) = 1
h
z
z0
f()d
z+h
z0
f()d f(z)=
1
h
z+hz
f()d f(z)
= 1
h
z+hz
(f() f(z))d . (I-3.27)
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18 CAPITULO I. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA
Por hipotesis todas estas integrales no dependen del camino. Escojamos en laultima integral un camino recto [z, z + h]. La continuidad de f nos dice que
para todo >0, existe >0 tal que si| z| < entonces|f(z) f()| .Escojamos ahorah tal que|h| < , entonces en la integral anterior los puntos zycumplen|z | |h| < yF(z+h) F(z)h f(z)
1|h| z+hz
|f() f(z)| |dz|
1|h||h| = . (I-3.28)
Queda pues demostrado que lmh0(F(z + h)F(z))/h= f(z) es decirF(z) =f(z).
Ademas mostramos queFes holomorfa y entonces analtica, por consecuen-ciaF =f tambien es analtica.
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176 CAPITULO I. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA
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Bibliografa
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Press, 1966. (document)
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[CCTL77] Bernard Diu Claude Cohen-Tannoudji y Franck Laloe. MecaniqueQuantique. Hermann, 1977.
[GR94] Izrail Solomonovich Gradshteyn y Iosif Moiseevich Ryzhik. Tableof Integrals, Series, and Products. Academic Press, Quinta edicion,1994. (document)
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[Kah91] Jean-Pierre Kahane. Mathematiques: Cours et Exercices. Orsay Pu-bLications Universitaires Scientifiques, 1991. (document)
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[Wat44] G. N. Watson. A treatise on the theory of Bessel functions. Cam-bridge University Press, Segunda edicion, 1944. (document)
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182 BIBLIOGRAFIA
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Indice alfabetico
abscisa de sumabilidad, 120analtica
funcion, 1, 15expansion en producto infini-
to, 32
parte analtica de una serie deLaurent, 18
prolongacion, 2123armonica
funcion, 6
base hilberciana, 85Bessel
ecuacion diferencial de, 157ecuacion diferencial de mo-
dificada, 158funcion generatriz de las fun-
ciones de , 158
funciones de, 156funciones de esfericas, 173funciones de modificadas, 158
Bromwichintegral de, 126
Cauchycriterio de convergencia de, 145formula de, 14secuencia de, 83Teorema, 11
CauchyRiemanncondiciones de, 3
cero, 20completo
espacio, 83condiciones de frontera
de Dirichlet, 166convergencia
simple, 4uniforme, 4
convolucionde dos distribuciones, 55de dos funciones, 55
corte, 7criterio de convergencia
de Cauchy, 145de Raabe-Duhamel, 145uniforme de Weierstrass, 4
dAlembertteorema de, 16
deltadistribucion, 37secuencias, 39
desigualdadde Schwarz, 84
triangular, 84difusion
ecuacion de, 73, 114Dirac
distribucion de, 37Dirichlet
condiciones de frontera, 166divergencia, 9dual, 46
topologico, 46
enterafuncion, 18
esfericas armonicas, 153teorema de adicion, 169
espacio completo, 83espacio dual, 46espectroscopa, 116estados coherentes, 114
183
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184 INDICE ALFABETICO
Eulerconstante de, 113, 161
exponencialfuncion, 6
formulade Plancherel-Parseval, 106de Rodrigues, 152sumatoria de Poisson, 108
Fouriercoeficientes de, 76cotransformada, 97series de, 73transformada, 26, 95, 97
Fourier-Besselserie de, 163
Frobeniusmetodo de, 144
funcion generatriz, 146, 158funciones esfericas armonicas, 153
teorema de adicion, 169funciones test, 45
Gammafuncion, 33
gaussianafuncion, 57, 102, 114
transformada de Fourier de una,102generatriz
funcion, 146, 158gradiente, 9Green
funcion de, 60, 64, 137, 166
Hankelfunciones de, 157funciones de esfericas, 173representacion integral de, 35,
36
transformada, 95, 165Hilbert
espacio de, 82hiperbolicas
funciones hiperbolicas, 7inversas, 9
holomorfafuncion, 1, 15, 120
homotopo, 12, 14, 19
ndicede una curva cerrada con res-
pecto a un punto, 23integral
de camino, 10de linea, 10de linea compleja, 10
integral de Bromwich, 126isometra, 85
Kronecker
smbolo de, 75
Laplaceecuacion de, 73transformada, 95, 119
laplaciano, 6en coordenadas esfericas, 59
Laurentserie de, 1820
parte analtica, 18parte principal, 18
Legendreecuacion de, 143
ecuacion de asociada, 143funcion de, 143funcion de asociada, 153funcion generatriz de las fun-
ciones de , 146Liouville
teorema de, 16
metodo de imagenes, 166Mellin
transformada, 95Morera
teorema de, 17
multivaluadasfunciones, 7
multivocasfunciones, 7
Neumann
7/26/2019 Metodos matematicos aplicados a la ingenieria
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INDICE ALFABETICO 185
funcion de, 157
ortogonalidadde funciones, 75
Parsevalformula de, 87
periodicadistribucion, 88funcion, 76
Plancheral-Parsevalformula de, 106
Poissonformula sumatoria de, 108
polo, 20potencia
funcion, 8producto escalar, 83producto tensorial
de distribuciones, 53de funciones, 53
puntoaislado, 22de acumulacion, 22
Raabe-Duhamelcriterio de convergencia de, 145
ramificacionpunto de, 7relacion de incertidumbre de Heisen-
berg, 113residuos
calculo de, 24definicion, 23teorema de los, 24
respuesta impulsional, 70, 131Riemann
funcion zeta de, 36hojas de, 7ramas de, 7
superficie de, 7Rodrigues
formula de, 152rotacional, 9
Schwartz, 37
Schwarzdesigualdad de, 84
secuencia de Cauchy, 83separacion de variables, 74singularidad, 20
esencial, 21soporte
de una distribucion, 54de una funcion, 45
Taylorserie de, 2, 18
teora analtica del calor, 73teorema de fundamental del algebra,
16
transformadade Fourier, 95de Fourier en coseno, 95de Fourier en seno, 95de Hankel, 95, 165de Laplace, 95, 119de Mellin, 95
transformada de Fourierde 1, 105de la distribucion de Dirac, 104
trigonometricasfunciones trigonometricas, 7
inversas, 9
unvocasfunciones, 7
Weierstrasscriterio de convergencia unifor-
me de, 4producto infinito de, 32
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