MÉTODO DA SECANTE
Este processo é semelhante ao método de Newton-Raphson.
Usa-se, no lugar equação da tangente, a equação da secante quecorta a curva da função em dois pontos cujas abscissas definem um intervalo onde está contida a raiz.
r
No gráfico, r é a raiz de f(x).
Tomemos os pontos de abscissas x = x0 e x = x1 e tracemos a secante S1.
S1
x0x1
f(x0)
f(x1)
A equação da secante que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)) é
Y – f(x0) = (x – x0)f(x1) – f(x0) x1 – x0
As ordenadas desses pontos são f(x0) e f(x1).
A secante intercepta o eixo dos y no ponto de abscissa x = x2.
x2 pode ser considerada a primeira aproximação da raiz.
x2
Calculando x2: 0 – f(x0) = (x2 – x0)f(x1) – f(x0) x1 – x0
x2 = x1 – f(x1). x1 – x0
f(x1) – f(x0)
Tomando os pontos de abscissas x1 e x2, traça-se a secante S2.
S2
Obtém-se então a abscissa x3, que é a segunda aproximação da raiz.
x3 = x2 – f(x2). x2 – x1
f(x2) – f(x1)
Continua o processo até obter a aproximaçãoDesejada. Em cada aproximação calcula-sef(xi) para conhecer o erro.
EXEMPLO
Resolver a equação 1,6x2 = 9,43x -10,362, com erro inferior a 0,001, usando o processo de truncamento.
1º passo: Escrever a equação na forma f(x) = 0.
f(x) = 1,6x2 – 9,43x + 10,362.
2º passo:Isto é importante pois, se a equação apresentar mais de uma raiz, não pode existir mais de uma raiz entre os pontos a serem escolhidos para a secante.
3º passo:
Para a menor raiz (r1), usaremos os pontosde abscissas x0 = 0 e x1 = 1.
x1 pode ser escolhido após r1. Não podeser escolhido após r2 (outra raiz).
Construir o gráfico
escolher dois pontos paraa secante.
4º passo: Determinar as ordenadas f(x0) e f(x1) relativas aos pontos escolhidos.
x0 = 0 f(x0) = f(0) = 1,6.02 – 9,43.0 + 10,362 = 10,362.
x1 = 1 f(x1) = f(1) = 1,6.12 – 9,43.1 + 10,362 = 2,532.
5º passo: Calcular x2 (interseção da secante com o eixo dos “x”).
x2 = x1 – f(x1). x1 – x0
f(x1) – f(x0)x2 = 1 – (2,532).(1 – 0)/(2,532 – 10,362)= 1,323372
6º passo: Calcular f(x2) para avaliar o erro.
f(x2) = f(1,323372) = 1,3133722 – 9,43. 1,313372 + 10,362 = 0,684705
Como x2 é uma suposta raiz, f(x2) deveria se igual a 0 (zero).
Portanto, o erro é maior que 0,001.
Devemos continuar o processo, calculando, xi, i = 3, 4, 5 e f(xi).
Vejamos então os cálculos.
x3 = x2 – f(x2). x2 – x1
f(x2) – f(x1)
x3 = 1,323372 – 0,684705(1,323372 – 1)/(0,684705 – 2,532) = 1,44323
f(x3) = 1,6.1,443232 – 9,43.1,44323 + 10,362 = 0,085.
O erro ainda é maior que 0,001.
Calculando x4. x4 = x3 – f(x3). x3 – x2
f(x3) – f(x2)
x4 = 1,44323 – 0,085.(1,44323 – 1,323372)/(0,085 – 0,68475) = 1,460219
f(x4) = 1,6.1,4602192 – 9,43. 1,460219 + 10,362 = 0,037.
Erro ainda maior que 0,001.
Calculando x5 x5 = x4 – f(x4). x4 – x3
f(x4) – f(x3)x5 = 1,460219 – 0,037.(1,460219 – 1,44323)/(0,037 – 0,085) = 1,460996
f(x5) = 1,6.1,4609962 – 9,43.1,460996 + 10,362 = 0,00022.
Como o erro é menor que 0,001 x5 = 1,460996 é a aproximação aceitável.
Resposta: 1,460.Como o erro deve ser menor que 0,001, a resposta deve ser dada com três casas decimais. Foi usado o processo de truncamento conforme enunciado.
USANDO O APLICATIVO CORRESPONDENTE
Intervalo estabelecido no gráfico
Função digitada: = 1,6.C8^2 – 9,43*C8 + 10,362
ERRO DIGITADO
Célula F8 copiada para G8 e H8.
Células F8, G8 e H8 copiadas para ascélulas abaixo delas.
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