CATATAN KULIAH
STIE NUSANTARA
PROGRAM MAGISTER MANAJEMEN
1998
STIE NUSANTARA
PROGRAM MAGISTER MANAJEMEN
TOPIK BAHASAN
METODE KUANTITATIF UNTUK BISNIS
Pertemuan
Tanggal
Topik Bahasan
Bahan Bacaan
1 1 Juli 1998 Linear Programming EGC, ch. 2, 3, 4
ASW, ch. 2, 3
MS, ch. 3
2 8 Juli 1998 Analisa Sensitivitas Linear
Programming
EGC, ch. 5
ASW, ch. 3
MS, ch. 4
3 15 Juli 1998 Aplikasi Linear Programming MS, ch. 3
ASW, ch. 4
4 22 Juli 1998 Integer Programming ASW, ch. 8
EGC, ch. 8
MS, ch. 8
5 19 Agustus 1998 Analytic Hierarchy Process ASW, ch. 15
6 5 Agustus 1998 Pembahasan Kasus : Red Brand
Canners
EGC hal. 83-86
EGC hal. 205-206
7 12 Agustus 1998 Ujian Sisipan
8 29 Juli 1998 Goal Programming ASW, ch. 15
EGC, ch. 11
BT, ch. 9
9 26 Agustus 1998 Optimasi Non Linear EGC, ch. 12
T, ch. 4, 8
10 2 September 1998 Analisa Network ASW, ch. 7 & 9
EGC, ch. 9
MS, ch. 9
11 9 September 1998 Project Scheduling EGC, ch. 15
MS, ch. 10
12 16 September 1998 Teori Pengambilan Keputusan
dan Decision Tree
EGC, ch. 14
13 23 September 1998 Game Theory BT, ch. 11
14 30 September 1998 Pembahasan Kasus :
- Johnsons Metal - To Drill or not to Drill
EGC, ch. 14
Hal. 659-660
15 7 Oktober 1998 Ujian Akhir
STIE NUSANTARA
PROGRAM MAGISTER MANAJEMEN
SILABUS
MATA KULIAH : METODE KUANTITATIF UNTUK BISNIS
Tujuan Pengajaran
Kuliah Metode Kuantitatif untuk Bisnis bertujuan untuk memberikan konsep berpikir
kuantitatif dalam memecahkan persoalan bisnis. Focus kuliah adalah pada pembuatan
model matematis dari persoalan yang dihadapi, yang kemudian dipecahkan dengan
bantuan program komputer.
Setelah mengikuti kuliah, mahasiswa diharapkan dapat mempergunakan konsep
kuantitatif untuk membuat model matematis, memecahkan model tersebut dengan
software komputer dan menggunakan solusi komputer sebagai alat bantu dalam
mengambil keputusan.
Daftar Pustaka
Selain Catatan Kuliah yang diberikan oleh dosen, buku yang menjadi referensi
perkuliahan ini adalah :
1. Anderson, Sweeney & Williams, Introductory Management Science, 8th Edition,
1997 (ASW).
2. Eppen, Gould, Schmidt, Introductory Management Science, 4th Edition, 1993
(EGC).
3. Taylor, Bernard W, Introduction to Management Science, 5th Edition, 1993 (BT).
4. Mathur & Solow, Management Science, 1994 (MS).
5. Tan, Applied Calculus, 3rd Edition, 1994 (T).
Buku No. 1 dan 2 adalah buku wajib.
Software
Software yang digunakan dalam kuliah ini adalah LINDO, GINO, LINGO dan QSB.
Software LINDO dan LINGO versi terbaru dengan kapasitas terbatas dapat
didownload secara gratis dari Lindo System di http : //www.lindo.com/.
Software yang lain akan diberikan oleh bagian administrasi pendidikan.
Tata Cara Pengajaran
Untuk mendapatkan hasil yang optimal, mahasiswa diharapkan untuk selalu mengikuti
perkuliahan, membaca bahan perkuliahan terutama Catatan Kuliah sebelum
perkuliahan, dan mengerjakan tugas-tugas yang diberikan.
Tugas-tugas dapat berupa kuis, pekerjaan rumah dan pembahasan kasus yang
bertujuan untuk mematangkan pemahaman setiap topik bahasan baik dari segi konsep
dan teori maupun aplikasi pada persoalan nyata.
Sistem Penilaian
Nilai ujian akan dihitung dengan bobot sebagai berikut :
Ujian Sisipan : 30%
Ujian Akhir : 40%
Pekerjaan Rumah & Kasus : 20%
Kehadiran : 10%
DAFTAR ISI
Pertemuan Topik Bahasan Halaman
1. Linear Programming
1. Pengantar LP-1
2. Komponen Linear Programming LP-1
2.1 Decision Variables LP-1
2.1.1 Objective Function LP-2
2.1.2 Constraint LP-2
3. Pemecahan secara Grafis LP-2
4. Kasus Khusus pada Liear Programming LP-4
4.1 Infeasible Linear Programming LP-4
4.2 Unbounded Linear Programming LP-4
4.3 Redundant Constraint LP-5
5. Pemecahan menggunakan Lindo LP-6
6. Pekerjaan Rumah LP-7
6.1 Dari ASW LP-7
6.2 Dari EGC LP-7
2. Analisa Sensitivitas Linear Programming
1. Pengantar ASLP-1
2. Pendekatan Grafis pada Analisa Sensitivitas ASLP-1
2.1 Analisa Sensitivitas pada Objective Function ASLP-1
2.2 Analisa Sensitivitas pada Right-Hand-side (RHS) ASLP-3
3. Menggunakan Lindo ASLP-4
4. Pekerjaan Rumah ASLP-7
4.1 Dari EGC ASLP-7
3. Aplikasi Linear Programming
1. Pengantar ALP-1
2. Aplikasi ALP-1
2.1 Aplikasi Marketing ALP-1
2.1.1 Biggs Departement Store ALP-1
2.1.2 Market Survey, Inc ALP-3
DAFTAR ISI
Pertemuan Topik Bahasan Halaman
2.2 Aplikasi Keuangan ALP-5
2.2.1 Individual Investor ALP-5
2.2.2 Longers Boats Yacht Company ALP-7
2.3 Aplikasi Produksi ALP-8
2.3.1 Astro dan Cosmo ALP-8
2.3.2 Make or Buy Problem of MYV Steel
Company ALP-9
2.4 Aplikasi Personalia ALP-12
2.4.1 Security Force Scheduling ALP-12
2.4.2 Work Force Assignment ALP-14
2.5 Diet Problem ALP-18
2.6 Blending Problem ALP-20
3. Pekerjaan Rumah ALP-22
3.1 Dari ASW ALP-22
3.2 Dari EGS ALP-22
4. Integer Programming
1. Pengantar IP-1
2. Contoh Pemecahan Secara Grafis IP-1
2.1 Analisa Sensitivitas pada Objective Function IP-1
3. Pemecahan menggunakan Lindo IP-2
4. Contoh Aplikasi IP-3
4.1 Capital Budgeting IP-3
4.2 RMC Problem IP-5
4.3 Distribution System Design IP-6
5. Variasi dari Binary Integer Constraint IP-9
6. Analisa Sensitivitas IP-9
7. Pekerjaan Rumah IP-10
7.1 Dari Buku ASW IP-10
7.2 Dari Buku EGC IP-10
5. Analytic Hierarchy Process
1. Pengantar AH-1
DAFTAR ISI
Pertemuan Topik Bahasan Halaman
2. Pengambilan Keputusan dengan AHP AH-1
2.1 Menentukan Criteria AH-1
2.2 Membuat Hierarchy AH-1
2.3 Membuat Pairwise Comparison Scale AH-1
2.4 Membuat Pairwise Comparison Matrix AH-2
2.4.1 Pairwise Comparison Matrix Price thd
A,B,C AH-2
2.4.2 Pairwise Comparison Matrix MPG thd
A,B,C AH-3
2.4.3 Pairwise Comparison Matrix Comfort thd
A,B,C AH-3
2.4.4 Pairwise Comparison Matrix Style thd
A,B,C AH-3
2.4.5 Pairwise Comparison Matrix Criteria
thd Criteria AH-3
2.5 Menghitung Relative Prioritas setiap Criteria AH-4
2.5.1 Relative Priorities Price AH-4
2.5.2 Relative Priorities MPG AH-4
2.5.3 Relative Priorities Comfort AH-4
2.5.4 Relative Priorities Style AH-5
2.5.5 Relative Prioritas Criteria AH-5
2.6 Menghitung Consistency Ratio (CR) AH-5
2.6.1 Consistensy Ratio Price AH-5
2.6.2 Consistensy Ratio MPG AH-6
2.6.3 Consistensy Ratio Comfort AH-7
2.6.4 Consistensy Ratio Style AH-7
2.6.5 Consistensy Ratio Criteria AH-7
2.7 Membuat Overall Priority Ranking AH-8
2.8 Rekomendasi AH-8
2.9 Pekerjaan Rumah AH-8
6. Pembahasan Kasus : Red Brand Canners (EGC hal. 83-86)
Dan hal. 205-206)
7. Ujian Sisipan
8. Goal Programming
1. Pengantar GP-1
2. Dasar Teori GP-1
2.1 Deviation Variables (d+ dan d
-) GP-1
2.2 Objective Function, System Constraint
Dan Goal Programming GP-3
2.3 Absolute Priority dan Weighted Priority GP-5
DAFTAR ISI
Pertemuan Topik Bahasan Halaman
3. Contoh GP-5
3.1 Nicole Investment Advisor GP-5
3.2 Swensons Media Selection Problem GP-8
4. Pekerjaan Rumah GP-12
4.1 Dari ASW GP-12
4.2 Dari EGC GP-12
4.3 PT. SIGMA GP-13
4.4 Multiperiod Investment Problem GP-13
9. Optimasi Non Linear
1. Pengantar NL-1
2. Dasar Teori NL-1
2.1 Review Calculus NL-1
2.1.1 Differentiation NL-1
2.1.2 Menggambar Kurva Fungsi 1 Variabel NL-2
2.1.2.1 Contoh :
f(x) = 1/3x3 4x2 + 12x + 5 NL-3
2.1.2.2 Contoh :
F(x) = + 6x2 12x + 30 NL-4
2.1.3 Maximum dan Minimum Fungsi 2
Variabel tanpa Constraint NL-6
2.2 Maximum dan Minimum Fungsi 2 Variabel
dengan Equality Constraint (Lagrange
Multiplier) NL-7
2.2.1 Contoh :
Max f(X1, X2) = 25 X12 X22; St 2x1 + X2 = 4 NL-8
3. Aplikasi NL-9
3.1 Fungsi 1 Variabel NL-9
3.1.1 Pembelian Tanah Real Estate NL-9
3.1.2 Pembangunan Jaringan Pipa NL-10
3.2 Fungsi 2 Variabel Tanpa Constraint NL-11
3.2.1 Importing Coconut Oil NL-11
3.3 Lagrange Multiplier NL-12
3.3.1 Robertson Control Company NL-12
3.4 Multivariabel Programming NL-13
3.4.1 Astro/Cosmo NL-13
4. Pekerjaan Rumah NL-14
4.1 Dari EGC NL-14
4.2 Sollar Collection Panels NL-14
DAFTAR ISI
Pertemuan Topik Bahasan Halaman
4.3 PT. Sri Rejeki NL-15
4.4 Perusahaan Kereta Api NL-15
4.5 Leisure World Travel NL-15
10. Analisa Network
1. Pengantar AN-1
2, Transportation dan Transhipment AN-1
2.1 Variasi dari Transportationdan Transhipment AN-4
2.1.1 Jika Muncul Demand Baru AN-4
2.1.2 Jika Terjadi Kerusakan AN-4
2.1.3 Jika Terdapat Inventory AN-5
2.1.4 Maximum Profit jika diketahui Harga
Jual dan Biaya Produksi AN-5
2.1.5 Jika Demand Meningkat 2 kali lipat
dan perlu dibangun Pabrik Baru AN-6
3. Shortest Route AN-8
4. Assignment Problem AN-10
4.1 Jika karyawan bisa bertugas di 3 proyek AN-12
4.2 Jika karyawan tidak boleh bertugas di
Proyek tertentu AN-12
4.3 Jika karyawan tertentu tidak boleh
mendapat tugas bersama-sama AN-12
4.4 Solusi Lindo Gabungan 4.1, 4.2 dan 4.3 AN-12
5. Maximum Flow AN-14
6. Minimal Spanning Tree AN-18
7. Travelling-Salesman Problem AN-19
8. Pekerjaan Rumah AN-21
8.1 Dari Buku EGC AN-21
8.2 Dari Buku ASW AN-21
11. Project Scheduling
1. Pengantar PS-1
2. Pembuatan Project Network PS-1
3. Critical path Method (CPM) PS-3
3.1 Duration PS-3
DAFTAR ISI
Pertemuan Topik Bahasan Halaman
3.2 Earliest Start Time (ES) dan Earliest
Finish Time (EF) PS-3
3.3 Latest Start Time (LS) dan Latest Finish
Time (LF) PS-4
3.4 Menentukan Critical Path PS-5
3.5 Crashing Model PS-6
3.5.1 Menggunakan Lindo PS-6
3.5.1.1 Model Minimum Crashing
Model PS-6
3.5.1.2 Model Minimum Completion
Time PS-9
3.5.2 Menggunakan QSB PS-13
3.6 Crashing Time Cost Trade Off PS-14
3.7 General Relationship of time and Cost PS-14
4. Project Evaluation Review Technique (PERT) PS-15
5. Project Cost Management PS-19
5.1 Budget berdasarkan Earliest Strart Time PS-19
5.2 Budget berdasarkan Latest Start Time PS-19
5.3 Cummulative Budget vs. Time PS-22
6. Pekerjaan Rumah PS-22
6.1 Dari ASW PS-22
6.2 Dari EGC PS-22
12. Teori Pengambilan Keputusan dan Decision Tree
1. Pengantar TD-1
2. Contoh Star Production TD-1
2.1 Decision Making Without Probabilities TD-1
2.1.1 Optimistic Approach TD-2
2.1.2 Conservative Approach TD-2
2.1.3 Minimax Regret Approach TD-2
2.2 Decision Making dengan Probabilities TD-3
2.2.1 Maximum Expected Profit TD-4
2.2.2 Expected Value of Perfect Information
(EVPI) TD-4
3. Contoh PROTRAC TD-5
3.1 Menghitung Maximum Ecpected Profit TD-5
DAFTAR ISI
Pertemuan Topik Bahasan Halaman
3.2 Sensitivity Analysis TD-6
3.3 Conditional Probability TD-7
3.3.1 Expected Value of Sample Information
(EVSI) TD-7
3.3.2 Test or No-Test TD-10
4. Konsep Utility TD-13
4.1 Risk-Averse TD-14
4.2 Risk-Seeking TD-15
4.3 Risk-Indifferent TD-15
5. Pekerjaan Rumah TD-16
5.1 Dari ASW TD-16
5.2 Dari EGC TD-16
13. Game Theory
1. Pengantar GT-1
2. Optimal Solusi dari Two-Person Zero-Sum Game GT-1
2.1 Pure Strategy GT-1
2.2 Mixed Strategy GT-2
2.2.1 Cara Manual GT-3
2.2.2 Cara Grafis GT-4
2.2.3 Menggunakan Linear Programming GT-5
3. Contoh Soal GT-7
4. Pekerjaan Rumah GT-11
5. Catatan GT-11
14. Pembahasan Kasus : Johnsons Metal dan To Drill or not to Drill (EGC hal. 659-660)
15. Ujian akhir
Pertemuan : 1
Topik Bahasan : Linear Programming
Bahan Bacaan : 1. Anderson, Sweeney & Williams, ch. 2,3 (ASW)
2. Eppen, Gould, Schmidt, ch. 2,3,4 (EGC)
3. Mathur & Solow, ch. 3 (MS)
Software : LINDO
1. Pengantar
Model matematis menggunakan Linear Programming bertujuan untuk mencari
optimal solusi yang memberikan maksimum atau minimum dari objective function.
Maksimum terjadi pada fungsi tujuan seperti profit, revenue dan sebagainya.
Minimum terjadi pada fungsi tujuan seperti cost, jarak, dan sebagainya.
Linear Programming terdiri dari objective function dan constraint yang berbentuk
fungsi linear.
2. Komponen Linear Programming
Contoh Production Planning di Case Chemicals
Case Chemicals memproduksi 2 Solvents, CS01, dan CS02. Proses produksi melalui
2 department yaitu Blending Department dan Purification Department. Data
selengkapnya sebagai berikut :
Jam Kerja Labor diperlukan
(jam/1000 gallon)
Jam Kerja
Tersedia
Per Minggu
(jam)
CS01
CS02
Blending
Purification
2
1
1
2
230
250
Kontribusi
Profit per gallon
0,3
0,5
Demand per minggu
(1000 gallon)
Tidak
Terbatas
Maksimal
120
Berapakah komposisi produksi CS01 dan CS02 sehingga diperoleh maksimum
profit per minggu ?
2.1 Decision Variables
Langkah Pertama pembuatan model adalah menentukan decision variables,
dimana jika decision variables sudah didapatkan nilainya, maka didapatkan
juga solusi dari model.
Karena nilai decision variables adalah yang akan dicari, maka setiap decision
variable diberi simbol. Simbol tersebut sebaiknya mudah mengingatkan
pada quantity yang diwakili.
Dalam contoh diatas, decision variables adalah :
CS1 : Jumlah (dalam 1000 gallon) CS01 diproduksi per minggu.
CS2 : Jumlah (dalam 1000 gallon) CS02 diproduksi per minggu.
Perlu diperhatikan bahwa deskripsi dari decision variables lengkap dengan
satuan jumlah dan satuan waktu.
2.2 Objective Function
Objective function dibuat biasanya dengan cara :
1. Menyatakan objective secara verbal : maximum profit per minggu.
2. Decompose objective menjadi penjumlahan/pengurangan dari masing-
masing produk.
Maximum profit = profit dari CS01 + profit dari CS02
3. Menyatakan objective function dengan decision variables.
Maximum 300 CS1 + 500 CS2
2.2 Constraint
Tujuan dalam contoh adalah maximize profit, sehingga semakin banyak
jumlah yang diproduksi, semakin besar profit yang diperoleh. Tetapi
terdapat batasan-batasan sehingga tidak dapat dilakukan produksi tanpa
batas, hal ini yang dinamakan constraint.
Constraint muncul karena terdapat :
- Physical Limitation : Misal jam kerja tersedia per minggu di
blending dan purification department.
- Management Restiction : Misal sudah berjanji mengirimkan sejumlah
tertentu produk kepada Customer.
- External Restriction : Misal demand CS02 paling banyak adalah
120,000 gallon per minggu, sehingga tidak
perlu case chemical memproduksi lebih
besar dari 120,000 gallon per minggu.
- Relationship antar Variabel : Misal jika investasi pada deposito rupiah
tidak boleh lebih besar dari separoh
investasi pada deposito US$.
- Logical Restiction dari : Misal tidak mungkin memproduksi CS01
masing-masing Variables dan CS02 yang negatif. Sehingga CS-01 > 0
dan CS02 > 0.
Dalam contoh diatas terdapat constraint :
- Labor constraint di blending department (jam per minggu)
2CS1 + 1CS2 < 230
- Labor constraint di purification department (jam per minggu)
1CS1 + 2CS2 < 250
- External restriction pada demand CS02
CS2 < 120
- Logical constraint
CS1 > 0, CS2 > 0
Sehingga model lengkap persoalan Case Chemicals adalah :
Max 300 CS1 + 500 CS2
Subject to 2 CS1 + 1 CS2 < 230
1 CS1 + 2 CS2 < 250
CS2 < 120
CS1, CS2 > 0
3. Pemecahan Secara Grafis
Pemecahan secara grafis dapat dilakukan pada model dengan 2 decision variables.
Langkah pertama adalah menentukan feasible region akibat adanya constraint dan
langkah kedua adalah memasukkan objective function.
CS2 (1000 gallon)
230 B
200
125 C
120 F G H
100 E
A D CSI (1000 gallon)
0 100 115 200 250 300
Constraint :
* 2 CS1 + 1 CS2 < 230
Mula-mula gambarkan garis 2 CS1 + 1 CS2 = 230 (garis AB). Kemudian
tentukan area yang memenuhi 2 CS1 + 1 CS2 < 230. Feasible region adalah
0AB.
* 1 CS1 + 2 CS2 < 250
Mula-mula gambarkan garis 1 CS1 + 2 CS2 = 250 (garis CD). Kemudian
tentukan area yang memenuhi 1 CS1 + 2 CS2 < 250. Feasible region adalah
0CD.
* CS2 < 120
Feasible region area yang terletak dibawah garis FGH.
Dari 3 constraint diatas, feasible region yang memenuhi adalah 0FGEA.
CS2 (1000 gallon)
230 B
200 L
180
125 C
120 F G
100 E
A D K CSI (1000 gallon)
0 100 115 200 250 300
Objective Function adalah max 300 CS1 + 500 CS2. Dari feasible region dicari titik
yang terletak dalam objective function dan memberikan nilai maksimum. Sehingga
bisa dibuat garis :
300 CS1 + 500 CS2 = konstanta.
Misal : 300 CS1 + 500 CS2 = 90.000, maka garis tersebut adalah garis KL. Garis
yang memenuhi Objective Function adalah seluruh garis yang sejajar dengan garis
KL.
Jika Objective Function adalah maksimum, maka titik solusi didapat dengan
menggeser sejajar garis Objective Functionmenjadi (0,0) sampai bertemu pada titik
yang terjadi pada feasible region.
Dengan demikian dalam contoh diatas, titik solusi adalah titik E, yaitu titik (70,90).
Sehingga didapat :
Jumlah CS1 diproduksi per minggu = 70,000 gallon.
Jumlah CS2 diproduksi per minggu = 90,000 gallon.
Profit per minggu = 70,000 (0.3) + 90,000 (0.5) = $ 66,000.
4. Kasus Khusus pada Linear Programming
4.1 Infeasible Linear Programming
Max 300 CS1 + 500 CS2
Subject to 2 CS1 + CS2 < 230
CS1 + CS2X2 < 250
CS2 < 120
CS1 > 150
CS2 (1000 gallon)
Q
230
200
125 C
120 F G
100
E
A P D CSI (1000 gallon)
0 100 115 150 200 250 300
Constraint CS1 > 150 diwakili dengan area disebelah kanan garis PQ. Sehingga tidak
terdapat feasible region yang memenuhi persyaratan semua constraint.
4.2 Unbounded Linear Programming
Max 300 CS1 + 500 CS2
Subject to 2 CS1 + CS2 > 230
CS1 + 2 CS2 > 250
CS2 < 120
CS2 (1000 gallon)
230
200 L
180
125 R
120
100 E
S K CSI (1000 gallon)
0 100 115 200 250 300
Contraint diwakili oleh bidang RES tanpa batas ke kanan. Sementara garis objective
function KL untuk mendapatkan titik maksimum digeser menjauhi titik (0,0).
Sehingga yang terjadi adalah unbounded solution.
4.3 Redundant Constraint
CS2 (1000 gallon)
300
Q
230
200
125
120 G
E
100 F
A P CS1 (1000
Gallon)
0 100 115 150 200 250 300
Max 300 CS1 + 500 CS2
Subject to 2 CS1 + CS2 < 230
CS1 + 2 CS2 < 250
CS2 < 120
CS1 + CS2 < 300
Constraint terakhir CS1 + CS2 < 300 dimana feasible areanya adalah
disebelah kiri garis PQ disebut redumdant karena keberadaan constraint
tersebut tidak mempengaruhi feasible region OFGEA.
4.4 Active / Inactive Constraint
300
230
200
180
125
120
E
100
0 100 115 150 200 250 300
Max 300 CS1 + 500 CS2
Subject to 2 CS1 + CS2 < 230 Bending Department
CS1 + 2 CS2 < 250 Purification Department
CS2 < 120 Demand CS02
Pada gambar solusi adalah di titik E (70,90). Titik E adalah terletak pada
perpotongan antara Blending Constraint dengan Purification Constraint.
Constraint yang demikian dinamakan Active Constraint. Demand Constraint
dinamakan Inactive Constraint. Titik E tidak terletak pada Demand
Constraint. Setiap Inactive Constraint akan mempunyai slack atau surplus
tergantung tandanya < atau >.
Pada Demand Constraint :
90 + slack < 120
Sehingga nilai slack = 30
5. Pemecahan Menggunakan Lindo :
Max 300 CS1 + 500 CS2
ST
2 CS1 + CS2
Pertemuan : 2
Topik Bahasan : Analisa Sensitivitas Linear Programming
Bahan Bacaan : 1. Anderson, Sweeney & Williams, ch. 3 (ASW)
2. Eppen, Gould, Schmidt, ch. 5 (EGC)
3. Mathur & Solow, ch. 4 (MS)
Software : LINDO
1. Pengantar
Pada dunia nyata, data pada model Linear Programming setiap saat bisa berubah
karena dinamika persoalan yang dihadapi. Apa yang terjadi pada optimal solution
jika market price turun ? jika raw material cost naik ? jika tambahan pekerjaan
diperlukan ?. Pada situasi ini kita ingin mengetahui seberapa sensitif optimal solution
terhadap perubahan tersebut.
2. Pendekatan Grafis pada Analisa Sensitivitas
2.1 Analisa sensitivitas pada Objective Function
Contoh pada Case Chemical dengan model :
Max 3X1 + 5X2
Subject to 2X1 + X2 < 230 (Blending department)
X1 + 2X2 < 250 (Purification department)
X2 < 120 (Demand X2)
X1, X2 > 0
X2
300
230
200
132 L
125
120
100 E D C
Objective Function
3X1 + 5X2 = 660
B K F
A 100 115 220 250 300 X1
Extreme X1 X2 Objective
Point Function
A 0 0 0
B 115 0 345
C 70 90 660
D 10 120 630
E 0 120 600
* Range perubahan koefisien Objective Function supaya Optimal Solution tetap pada
titik C
Garis KL adalah garis objective function dengan persamaan 3X1 + 5X2 = 660.
Perubahan koefisien pada objective function mengakibatkan slope garis KL berubah.
Sepanjang perubahan slope masih didalam CBF maka optimal solution tetap dititik
C.
Selama kontribusi profit tidak berubah, maka koefisien pada objective function tidak
berubah atau dengan kata lain slope garis KL tetap.
Pada saat KL berimpit dengan CF, maka optimal solution adalah seluruh titik yang
terletak pada DC.
Pada saat KL bergeser melewati CF akibat perubahan slope KL, maka optimal
solution berubah dari titik C ke titik D. Perubahan slope dari KL sebagai akibat
terjadinya perubahan kontribusi profit.
Semua perpindahan titik-titik optimal solution adalah sebagai akibat perubahan-
perubahan yang dilakukan terhadap kontribusi profit.
Pada saat KL berimpit dengan CB, maka optimal solution adalah seluruh titik yang
terletak pada CB.
Pada saat KL bergeser melewati CB, maka optimal solution berubah dari titik C ke
titik B.
Objective Function : bX1 + 5X2
Slope = -b
5
* Garis CF : X1 + 2X2 = 250
Slope = -
Objective Function berimpit dengan CF :
-b = - b = 2
5
* Garis CB : 2X1 + X2 = 230
Slope = -2
1
Objective function berimpit dengan CB :
-b = -2 b = 10
5 1
Sehingga jika b berubah dalam range 2 < b < 10, maka titik optimal tetap
pada titik C.
Cara yang sama jika :
Objective Function : 3X1 + aX2
Slope = -3
a
Berimpit dengan CF : -3 = - a = 6
a
Berimpit dengan CB : -3 = -2 a = 1
a 1
Sehingga jika a berubah dalam range 1 < a < 6, maka titik optimal
tetap pada titik C.
Jadi :
a. Jika koefisien X1 naik menjadi 9, maka maksimum profit = 70 (9) +
90 (5) = 1,080.
b. Jika koefisien X2 naik menjadi 2, maka maksimum profit = 70 (3) +
90 (2) =390.
c. Jika koefisien X1 naik menjadi 11, maka optimal solution berubah
dari titik C ke titik B. Sehingga maksimum profit = 115 (11) + 0 (5)
= 1,265.
d. Jika koefisien X2 naik menjadi 8, maka optimal solution berubah
dari titik C ke titik D. Sehingga maksimum profit = 10 (3) + 120 (8)
= 990.
2.2 Analisa Sensitivitas pada Right-Hand-Side (RHS)
X2
300
230 G
200
132 L
125
120
100 E D C
B K F
X1
A 100 115 220 250 300
Max 3X1 + 5X2
Subject to 2X1 + X2 < 230
X1 + 2X2 < 250
X2 < 120
Pada Constraint 2X1 + X2 < 230 :
* Jika RHS dinaikkan maka garis BCG bergeser sejajar kearah kanan.
Jika pergeseran tidak melewati titik F, maka titik optimal tetap
terletak pada perpotongan antara garis BG dengan FD.
* Jika RHS diturunkan maka garis BCG bergeser sejajar kearah kiri.
Jika pergeseran tidak melewati titik D, maka titik optimal tetap
terletak pada perpotongan antara garis BG dengan FD.
2X1 + X2 = b
Bergeser di titik F (250,0) : 2 (250) + 0 = b b = 500
Bergeser di titik D (10,120) : 2 (10) + 120 = b b = 140
Jadi jika 140 < b < 500, titik solusi tetap terletak pada perpotongan
antara garis BG dengan FD.
2X1 + X2 = b 140 < b < 500
b = 140 X1 = 10; X2 = 120 Z = 630
b = 500 X1 = 250; X2 = 0 Z = 750
Slope = 750 630 = 0,333 dual prices 500 140
Setiap penambahan 1 jam kerja tersedia di Blending Dept menambah
profit 0,333.
Contoh :
2X1 + X2 < 230 2X1 + X2 < 231
Max 3X1 + 5X2
ST 2X1 + X2 < 231
X1 + 2X2 < 250
X2 < 120
2X1 + X2 < 231
X1 + 2X2 < 250
__________________
231 1 2
X1 = 250 2 = 462 250 = 212 = 70 3 = 70,6667 2 1 4 1 3 1 2
2 231
X2 = 1 250 = 500 231 = 269 = 89,6667 3 3 3
Objektif function :
3X1 + X2 = 3 (70,6667) + 5 (89,6667) = 660,333
Keuntungan naik sebesar 660,333 660 = 0,333
Right Hand Side
Optimal Solution Objective Function
140
X1 = 10 X2 = 120 630
500 X1 = 250 X2 = 0
750
Slope = 750 630 = 0,333 500 140
Berarti :
* Selama 140 < b < 500, setiap penambahan 1 jam kerja tersedia, di
blending department akan menambah profit sebesar 0.333 dan setiap
pengurangan 1 jam kerja tersedia di blending department akan
mengurangi profit sebesar 0.333.
* Jika constraint jam kerja yang tersedia pada blending department
ditambah dari 230 jam menjadi 250 jam, maka profit menjadi = 660 +
0.333 (20) = 666.67.
* Angka 0.333 dinamakan duel prices.
* Jika range b diluar batasan diatas, kenaikkan RHS tidak linier dengan
kenaikkan profit sehingga harus dibuat model baru.
3. Menggunakan Lindo :
MODEL AWAL
MAX 3X1 + 5X2
ST
2X1 + X2
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 70.000000 0.000000
X2 90.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.333333
3) 0.000000 2.333333
4) 30.000000 0.000000
NO. ITERATIONS = 0
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED :
OBJ COEFISIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 3.000000 7.000000 0.500000
X2 5.000000 1.000000 3.500000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 230.000000 270.000000 90.000000
3 250.000000 45.000000 135.000000
2 120.000000 INFINITY 30.000000
KOEFISIEN X1 MENJADI 9 :
MAX 9X1 + 5X2
ST
2 X1 + X2
KOEFISIEN X1 MENJADI 2 :
MAX 3X1 + 2X2
ST
2 X1 + X2
1) 990.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 10.000000 0.000000
X2 120.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 90.000000 0.000000
3) 0.000000 3.000000
4) 0.000000 2.000000
RHS BLENDING DEPARTMENT MENJADI 231 :
MAX 3X1 + 5X2
ST
2X1 + X2
RHS BLENDING DEPARTMENT MENJADI 600 :
MAX 3X1 + 5X2
ST
2X1 + X2
Pertemuan : 3
Topik Bahasan : Aplikasi Linear Programming
Bahan Bacaan : 1. Anderson, Sweeney & Williams, ch. 4 (ASW)
2. Mathur & Solow, ch. 3 (MS)
3. Taylor, Bernard W, ch. 4 (BT)
Software : LINDO
1. Pengantar
Aplikasi Linear Programming secara luas diterapkan dalam produksi, marketing,
keuangan, HRD dan sebagainya. Topik bahasan ini menekankan pada variasi
pembuatan berbagai model, menyelesaikan dengan Lindo dan menganalisa
hasil output Lindo. Langkah pembuatan model adalah :
Mendefinisikan Decision Variables
Menentukan Objective Function
Menyusun Constraint
Aplikasi model khusus seperti project scheduling, analisa network dibahas pada
topik bahasan khusus.
2. Aplikasi
2.1 Aplikasi Marketing
2.1.1 Biggs Department Store (BT 102)
BDS menyewa konsultan advertising untuk menentukan tipe dari
jumlah advertising untuk outletnya. 3 tipe advertising yang dapat
dilakukan adal;ah di radio, televisi dan surat kabar. Manajemen
BDS ingin mengetahui jumlah advertising yang dilakukan dimasing-
masing media tersebut supaya dicapai maximum exposure.
Data berikut menunjukan exposure dan biaya dari setiap tipe
advertising :
Media Exposure Cost
(0rang / advertising) ($)
Televisi 20,000 15,000
Radio 12,000 6,000
Surat Kabar 9,000 4,000
Constraint yang dihadapi Manajemen BDS adalah :
1. Budget total advertising adalah $ 100,000
2. Jumlah maksimum advertising di televisi adalah 4 kali, radio
10 kali dan surat kabar 7 kali.
3. Staff konsultan advertising hanya mampu memproduksi
maksimum 15 kali dari seluruh media advertising.
Model Linear Programming :
- Decision Variables :
T = jumlah advertising di televisi
R = jumlah advertising di radio
S = jumlah advertising di surat kabar
- Objective Function :
Max 20,000 T + 12,000 R + 9,000 S
- Constraint :
* Budget Constraint :
15,000 T + 6,000 R + 4,000 S < 100,000
* Jumlah maksimum advertising dimasing-masing media
T < 4
R < 10
S < 7
* Jumlah maksimum seluruh advertising
T + R + S < 15
Pemecahan menggunakan Lindo :
MAX 20000 T + 12000 R + 9000 S
ST
15000 T + 6000 R + 4000 S
3) 2.181818 0.000000
4) 0.000000 1000.000000
5) 3.818182 0.000000
6) 0.000000 5000.000000
NO. ITERATION = 1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED :
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
T 20000.000000 5500.000000 11000.000000
R 12000.000000 INFINITY 1000.000000
S 9000.000000 1222.222290 3666.666748
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 100000.000000 24000.001953 20000.001953
3 4.000000 INFINITY 2.181818
4 10.000000 3.888889 4.666667
5 7.000000 INFINITY 3.818182
6 15.000000 2.800000 2.333333
2.1.2 Market Survey, Inc (ASW 136)
MSI mempunyai spesialisasi pada evaluasi reaksi konsumen akibat
adanya produk baru dan advertising campaign. Salah satu klien
MSI meminta untuk diadakan riset tentang salah satu produk
peralatan rumah tangga yang baru dipasarkan. Untuk itu harus
diadakan interview kepada para ibu rumah tangga yang dilakukan
pada siangdan sore hari. Klien meminta MSI untuk melakukan 1000
interview dengan kondisi sebagai berikut :
1. Interview dilakukan minimal pada 400 ibu rumah tangga yang
punya anak.
2. Interview dilakukan minimal pada 400 ibu rumah tangga yang
tidak punya anak.
3. Jumlah interview yang dilakukan sore hari minimal sama
dengan jumlah interview yang dilakukan siang hari.
4. Minimal 40% interview yang dilakukan kepada ibu rumah
tangga yang punya anak dilaksanakan pada sore hari.
5. Minimal 60% interview yang dilakukan kepada ibu rumah
tangga yang tidak punya anak dilaksanakan pada sore hari.
Berdasarkan pengalaman MSI masa lalu, biaya interview yang
dilakukan pada siang hari berbeda dengan sore hari. Dan biaya per
interview pada ibu rumah tangga yang punya anak berbeda
dengan tidak punya anak. Data tersebut adalah sebagai berikut :
Ibu Rumah Tangga
Biaya per Interview
($)
Siang
Sore
Punya Anak 20 25
Tidak Punya Anak 18 20
MSI ingin mengetahui bagaimana Komposisi Interview yang
memenuhi persyaratan klien dan memberikan biaya minimum ?
Model Linear Programming :
* Decision Variables :
PASI = Jumlah Interview pada siang hari kepada
ibu rumah tangga yang punya anak.
PASO = Jumlah Interview pada sore hari kepada
ibu rumah tangga yang punya anak
TPASI = Jumlah Interview pada siang hari kepada
ibu rumah tangga yang tidak punya anak
TPASO = Jumlah Interview pada sore hari kepada
ibu rumah tangga yang tidak punya anak
* Objective Function :
Min 20 PASI + 25 PASO + 18 TPASI + 20 TPASO
* Constraint :
- Jumlah total interview = 1000
PASI + PASO + TPASI + TPASO = 1000
- Jumlah interview pada ibu rumah tangga punya anak
minimal 400
PASI + PASO > 400
- Jumlah interview pada ibu rumah tangga tidak
punya anak minimal 400
TPASI + TPASO > 400
- Jumlah interview sore hari minimal sama dengan
jumlah interview siang hari
PASO + TPASO > PASI + TPASI
- Minimal 40% interview pada ibu rumah tangga yang
punya anak dilaksanakan sore hari.
PASO > (PASI + PASO) 0.4
- Minimal 60% interview pada ibu rumah tangga
tidak punya anak dilaksanakan sore hari.
TPASO > (TPASI + TPASO) 0.6
* Pemecahan menggunakan Lindo :
MIN 20 PASI + 25 PASO + 18 TPASI + 20 TPASO
ST
PASI + PASO + TPASI + TPASO = 1000
PASI + PASO >= 400
TPASI + TPASO >= 400
PASO + TPASO PASI TPASI >= 0 0.6 PASO 0.4 PASI >= 0 0.4 TPASO 0.6 TPASI >=0 END
1) 20320.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST
PASI 240.000000 0.000000
PASO 160.000000 0.000000
TPASI 240.000000 0.000000
TPASO 360.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -19.200001
3) 0.000000 -2.800000
4) 20 0.000000 0.000000
5) 40.000000 0.000000
6) 0.000000 -5.000000
7) 0.000000 -2.000000
NO ITERATIONS = 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED :
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
PASI 20.000000 5.000000 4.666667
PASO 25.000000 INFINITY 5.000000
TPASI 18.000000 2.000000 INFINITY
TPASO 20.000000 4.666667 2.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 1000.000000 INFINITY 200.000000
3 400.000000 100.000000 399.999969
4 400.000000 200.000000 INFINITY
5 0.000000 40.000000 INFINITY
6 0.000000 240.000000 20.000000
7 0.000000 240.000000 20.000000
2.2 Aplikasi Keuangan
2.2.1 Individual Investor
Investor mempunyai uang Rp. 5,000,000,000,- Alternatif
investasi dan return pertahun adalah pada :
- Membeli saham blue chip dengan estimasi return 15%.
- Dibelikan valuta asing dengan estimasi return 20%.
- Didepositokan dalam rupiah dengan estimasi return 50%.
- Ditanamkan pada usaha ekspor kayu dengan estimasi
return 60%.
Kondisi moneter menyebabkan investor membuat batasan
sebagai sebagai berikut :
- Karena kondisi bursa saham yang tidak menentu, investasi
pada saham bluechip maximal 20% dari total investasi.
- Karena nilai rupiah yang kemungkinan terus memburuk,
investasi pada valuta asing minimal 40% dari total
investasi.
- Iklim perbankan belum sepenuhnya sehat, deposito
dalam rupiah dibatasi paling banyak Rp. 1,000,000,000,-.
- Usaha ekspor kayu mempunyai prospek yang sangat
cerah, investasi yang ditanamkan minimal Rp. 1,500,000,-
- Investasi pada ekspor kayu minimal 2 kali lipat investasi
di saham.
- Jumlah investasi pada deposito rupiah harus lebih besar
dari investasi di saham.
Bagaimana portofolio investasi untuk mendapatkan
maksimum return ?
Model Linear Programming :
* Decision Variables :
S = Jumlah (juta Rp) investasi pada Saham.
V = Jumlah (juta Rp) investasi pada Valuta asing
D = Jumlah (juta Rp) investasi pada Deposito
Rupiah
E = Jumlah (juta Rp) investasi pada Ekspor kayu.
* Objective Function :
Max 0.15 S + 0.2 V + 0.5 D + 0.6 E
* Constraint :
- Total investasi = Rp. 5,000,000,000,-
S + V + D + E = 4,000
- Investasi saham maximal 20% dari total investasi
S < 0.2 (S + V + D + E)
- Investasi pada valuta asing minimal 40% dari total
investasi
V < 0.4 (S + V + D + E)
- Deposito rupiah dibatasi paling banyak Rp.
1,000,000,000,-.
D < 1,000
- Investasi ekspor kayu minimal Rp. 1,500,000,000,-
E > 1,500
- Investasi ekspor kayu minimal 2 kali lipat investasi
di saham
E > 2 S
- Investasi pada deposito rupiah harus lebih besar
dari investasi di saham
D > S
* Pemecahan menggunakan Lindo :
MAX 0.15 SI + 0.2 V + 0.5 D + 0.6 E
ST
S + V + D + E = 4000
0.8 S 0.2 V 0.2 D 0.2 E = 0 D = 1500
E-2S >= 0
D-S >= 0
END
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 1760.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
S 0.000000 0.550000
V 1600.000000 0.000000
D 0.000000 0.000000
E 2400.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.440000
3) 800.000000 0.000000
4) 0.000000 -0.400000
5) 1000.000000 0.000000
6) 900.000000 0.000000
7) 2400.000000 0.000000
8) 0.000000 -0.100000
NO ITERATIONS = 4
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED :
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
S 0.150000 0.550000 INFINITY
V 0.200000 0.400000 NFINITY
D 0.500000 0.100000 INFINITY
E 0.600000 INFINITY 0.100000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 4000.000000 INFINITY 1500.000000
3 0.000000 INFINITY 800.000000
4 0.000000 900.000000 1600.000000
5 1000.000000 INFINITY 1000.000000
6 1500.000000 900.000000 INFINITY
7 0.000000 2400.000000 INFINITY
8 0.000000 900.000000 0.000000
2.2.2 Longer Boats Yacht Company (EG 55)
LBYC memproduksi 3 macam produk high-performance
racing sloops, yang diberi nama Sting, Ray dan Breaker. Data
adalah sebagai berikut :
Sloop Selling Price Variable Cost Fixed Cost
Per unit ($) per unit ($) ($)
Sting 10,000 5,000 5,000,000
Ray 7,500 3,600 3,000,000
Breaker 15,000 8,000 10,000,000
Jika terdapat kondisi bahwa Sting harus diproduksi minimal
700 buah, Ray minimal diproduksi 400 buah dan Breaker
maksimak 300 buah, berapakah produksi masing-masing
produk tersebut supaya Break Even tercapai dengan
Minimum variable Cost.
Model Linear Programming :
* Decision Variables :
S = Jumlah Sting diproduksi
R = Jumlah Ray diproduksi
B = Jumlah Breaker diproduksi
* Objective Function :
Min 5,000 S + 3,600 R + 8,000 B
* Constraint :
- Demand
S > 700
R > 400
B > 300
- Break Even
Total Cost = Total Revenue
10,000 S + 7,500 R + 15,000 B = 5,000 S +
3,600 R + 8,000 B + 18,000,000 atau
5,000 S + 3,900 R + 7,000 B = 18,000,000
* Pemecahan menggunakan Lindo :
MIN 5000 S + 3600 R + 8000 B
ST
S >= 700
R >= 400
B
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 700.000000 2588.000000 700.000000
3 400.000000 3317.948730 INFINITY
4 300.000000 INFINITY 300.000000
5 18000000.000000 INFINITY 12940001.000000
2.3 Aplikasi Produksi
2.3.1. Astro dan Cosmo (EGC 48)
Produsen TV memproduksi 2 macam TV, Astro dan Cosmo.
Terdapat 2 line produksi masing-masing untuk Astro dan
Cosmo. Kapasitas line produksi Astro adalah 70 set perhari
dan Cosmo 50 set perhari. Picture tube diproduksi di
departemen A dimana Astro memerlukan 1 jam labor perset
dan Cosmo 2 jam labor perset. Jumlah jam labor yang
tersedia di departemen A adalah 120 jam perhari. Chasis
diproduksi di departemen B dimana Astro memerlukan 1 jam
labor dan Cosmo memerlukan 1 jam labor. Jumlah jam labor
tersedia di departemen B adalah 90 jam perhari. Profit perset
Astro adalah $ 20 dan Cosmo $ 10.
Jika perusahaan bisa menjual Astro dan Cosmo sebanyak-
banyaknya, bagaimana production plan yang memberikan
profit maksimum ?
Kapasitas Jam Labor per set
Line Produksi Dept. Dept. Profit per set
Per hari A B ($)
Astro
70
1
1
20
Cosmo
50 2 1 10
Total
tersedia
120
90
Model Linear Programming :
* Decision Variables :
A = Jumlah set produksi Astro perhari
C = Jumlah set produksi Cosmo perhari
* Objective Function :
Max 20A + 10C
* Constraint :
- Kapasitas line produksi perhari
A < 70
C < 50
- Jumlah jam labor tersedia di departemen A dan B
A + 2C < 120
A + C < 90
Penyelesaian menggunakan Lindo :
MAX 20 A + 10 C
ST
A
2.3.2 Make or Buy Problem of MTV Steel Company (MS 62)
MTV Steel Company memproduksi 3 macam produk : A, B
dan C dengan harga jual masing-masing $ 10, $ 12 dan $ 9
per meter. Untuk fabrikasi per meter A membutuhkan 0.5
menit proses di shaping machine, per meter B membutuhkan
0.45 menit dan permeter C membutuhkan 0.6 menit. Setelah
fabrikasi, produk A, B dan C masing-masing membutuhkan 1
Kg welding material. Total biaya produksi untuk A, B dan C
adalah $ 3, $ 4 per meter.
MTV menerima order sangat besar untuk dipenuhi minggu
depan, yaitu 2000 meter A, 4000 meter B dan 5000 meter
C. Karena hanya tersedia 40 jam machine time per minggu
dan 5500 Kg welding material per minggu, departemen
produksi tidak mampu memenuhi order ini karena akan
memerlukan 97 jam machine time dan 11,000 Kg welding
material.
Order besar ini bersifat tidak kontinyu, sehingga daripada
memperbesar kapasitas produksi, Manajemen MTV Steel
memutuskan membeli kekurangan dengan jalan mengimpor
dari Supplier Jepang. Harga impor dari Jepang untuk A, B
dan C adalah $ 6, $ 6 dan $ 7 per meter. Summary data
terlihat di tabel. Berapa meter A,B dan C diproduksi sendiri
dan diimpor supaya didapat maksimum profit ?
Produk Hrg Jual Demand Machine Welding Production Import
($/m) (m) Time Material Cost Cost
(menit) (Kg) ($/m) ($/m)
A 10 2000 0.5 1 3 6
B 12 4000 0.45 1 4 6
C 9 5000 0.6 1 4 7
Jumlah Tersedia 40 5500
Model Linear Programming :
* Decision Variables :
AP = Jumlah (meter) A diproduksi sendiri
BP = Jumlah (meter) B diproduksi sendiri
CP = Jumlah (meter) C diproduksi sendiri
AJ = Jumlah (meter) A impor dari Jepang
BJ = Jumlah (meter) B impor dari Jepang
CJ = Jumlah (meter) C impor dari Jepang
* Objective Function :
Total Profit = Profit dari produksi sendiri + profit
impor dari Jepang
Profit dari produksi
Sendiri = Profit A + Profit B + Profit C
= 7 AP + 8 BP + 5 CP
Profit impor dari
Jepang = 4 AJ + 6 BJ + 2 CJ
Objective Function Max 7 AP + 8 BP + 5 CP + 4 AJ +
6 BJ + 2 CJ
* Constraint :
- Demand
A : AP + AJ = 2000
B : BP + BJ = 4000
C : CP + CJ = 5000
- Resource :
0.5 AP + 0.45 BP + 0.6 CP < 2400 (machine
time)
AP + BP + CP < 5500 (welding
material)
Penyelesaian menggunakan Lindo :
MAX 7 AP + 80 BP + 5 CP + 4 AJ + 6 BJ + 2 CJ
ST
AP + AJ = 2000
BP + BJ = 4000
CP + CJ = 5000
0.5 AP + 0.45 BP + 0.6 CP
4) 0.000000 2.000000
5) 0.000000 5.000000
6) 1166.666626 0.000000
NO ITERATIONS = 3
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED :
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
AP 7.000000 INFINITY 0.500000
BP 8.000000 0.250000 INFINITY
CP 5.000000 0.000000 0.333333
AJ 4.000000 0.500000 INFINITY
BJ 6.000000 INFINITY 0.250000
CJ 2.000000 0.333333 0.600000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 2000.000000 2800.000000 2000.000000
3 4000.000000 INFINITY 4000.000000
4 5000.000000 INFINITY 2666.666748
5 2400.000000 700.000000 1400.000000
6 5500.000000 INFINITY 1166.666626
2.4 Aplikasi Personalia
2.4.1 Security Force Scheduling (EGC 50)
Personel Manager harus membuat skedul untuk Security Force
dengan staffing requirement seperti tabel :
Waktu Jml. Minimum
Diperlukan
(0rang)
2400
0400
5
0400
0800 7
0800
1200 15
1200
1600 7
1600
2000 12
2000
2400 9
Shift Starting Time Ending Time
1 2400
0800
2 0400
1200
3 0800
1600
4 1200
2000
5 1600
2400
6 2000
0400
Security Force dibagi dalam 6 shift yang masing-masing shift
adalah 8 jam. Personel Manager ingin menentukan berapa
jumlah security yang bekerja tiap shift dengan jumlah total
tenaga security minimum.
Model Linear Programming :
* Decision Variables :
X1 = Jumlah security bekerja pada shift 1
X2 = Jumlah security bekerja pada shift 2
X3 = Jumlah security bekerja pada shift 3
X4 = Jumlah security bekerja pada shift 4
X5 = Jumlah security bekerja pada shift 5
X6 = Jumlah security bekerja pada shift 6
* Objective Function :
Min X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6
* Constraint :
Shift Time Internal
24000400 04000800 08001200 12001600 16002000 20002400
1 X1 X1
2 X2 X2
3 X3 X3
4 X4 X4
5 X5 X5
6 X6
Require
ment
5 7 15 7 12 9
2400 0400 : X1 + X6 > 5
0400 0800 : X1 + X2 > 7
0800 1200 : X2 + X3 > 15
1200 1600 : X3 + X4 > 7
16
00 2000 : X4 + X5 > 12
2000 2400 : X5 + X6 > 9
Penyelesaian menggunakan Lindo :
Min X1 + X2 + X3 + X3 + X5 + X6
ST
X1 + X6 >= 5
X1 + X2 >= 7
X2 + X3 >= 15
X3 + X4 >= 7
X4 + X5 >= 12
X5 + X6 >= 9
END
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 32.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 0.000000 0.000000
X2 7.000000 0.000000
X3 8.000000 0.000000
X4 0.000000 0.000000
X5 12.000000 0.000000
X6 5.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -1.000000
3) 0.000000 0.000000
4) 0.000000 -1.000000
5) 1.000000 0.000000
6) 0.000000 -1.000000
7) 8.000000 0.000000
NO ITERATIONS = 3
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED :
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 1.000000 INFINITY 0.000000
X2 1.000000 0.000000 0.000000
X3 1.000000 0.000000 0.000000
X4 1.000000 INFINITY 0.000000
X5 1.000000 0.000000 1.000000
X6 1.000000 0.000000 1.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 5.000000 INFINITY 5.000000
3 7.000000 1.000000 7.000000
4 15.000000 INFINITY 1.000000
5 7.000000 1.000000 INFINITY
6 12.000000 INFINITY 8.000000
7 9.000000 8.000000 INFINITY
2.4.2 Work Force Assignment (ASW 157)
MC Cormick Manufacturing Company memproduksi 2
produk P1 dan P2 dengan profit per unit masing-masing $ 10
dan $ 9.
Labor requirement per unit produk dan jam kerja total yang
tersedia dari 4 departemen yang terkait tersebut adalah :
Jam Labor per unit Jam Kerja
Departemen Produk 1
(jam)
Produk 2
(jam)
Total Tersedia
(jam)
1 0.65 0.95 6500
2 0.45 0.85 7500
3 1.00 0.70 7000
4 0.15 0.30 1400
Pada pengaturan kerja labor dimungkinkan cross-training
program yang memungkinkan beberapa pekerja ditransfer
antar departemen, dengan data sebagai berikut :
Dari
Departemen
Cross-Training Transfer yg
diijinkan antar
Departemen
Maximum
Hours
Transferable
1 2 3 4 (jam)
1 - Ya Ya - 400
2 - - Ya Ya 800
3 - - - Ya 100
4 Ya Ya - - 200
Artinya dari departemen 1 terdapat labor yang mempunyai
skill sehingga dapat ditransfer ke departemen 2 dan 3 dengan
maksimum jam kerja = 400 jam.
Manajemen MC Cormick menginginkan jawaban pertanyaan
berikut :
a. Tanpa cross-training program, berapa maksimum profit
yang bisa diperoleh.
b. Dengan cross-training program, berapa maksimum profit
yang bisa diperoleh.
Model Linear Programming tanpa Cross-Training
Program:
* Decision Variables :
P1 = Jumlah unit Produk 1
P2 = Jumlah unit Produk 2
* Objective Function :
Max 10 P1 + 9 P2
* Constraint :
Departemen 1 : 0.65 P1 + 0.95 P2 < 6500
Departemen 2 : 0.45 P1 + 0.85 P2 < 6000
Departemen 3 : 1.00 P1 + 0.70 P2 < 7000
Departemen 4 : 0.15 P1 + 0.30 P2 < 1400
Penyelesaian menggunakan Lindo tanpa Cross-Training
Program :
Max 10 P1 + 9 P2
ST
0.65 P1 + 0.95 P2
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 1061.538452 0.000000
3) 1889.743530 0.000000
4) 0.000000 8.461538
5) 0.000000 10.256411
NO ITERATIONS = 1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED :
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
P1 10.000000 2.857143 5.500000
P2 9.000000 11.000000 2.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 6500.000000 INFINITY 1061.538452
3 6000.000000 INFINITY 1889.743530
4 7000.000000 2333.333252 3733.333252
5 1400.000000 418.181824 350.000000
Model Linear Programming tanpa Cross-Training
Program:
* Decision Variables :
P1 = Jumlah unit Produk 1
P2 = Jumlah unit Produk 2
b1 = Labor-hours (jam) dialokasikan ke
departemen 1
b2 = Labor-hours (jam) dialokasikan ke
departemen 2
b3 = Labor-hours (jam) dialokasikan ke
departemen 3
b4 = Labor-hours(jam) dialokasikan ke
departemen 4
t12 = Labor-hours (jam) ditransfer dari
departemen 1 ke 2
t13 = Labor-hours (jam) ditransfer dari
departemen 1 ke 3
t23 = Labor-hours (jam) ditransfer dari
departemen 2 ke 3
t24 = Labor-hours (jam) ditransfer dari
departemen 2 ke 4
t34 = Labor-hours (jam) ditransfer dari
departemen 3 ke 4
t41 = Labor-hours (jam) ditransfer dari
departemen 4 ke 1
t42 = Labor-hours (jam) ditransfer dari
departemen 4 ke 2
* Objective Function :
Max 10 P1 + 9 P2
* Constraint :
- Jam kerja total tersedia di departemen :
Departemen 1 : 0.65 P1 + 0.95 P2 < b1
Departemen 2 : 0.45 P1 + 0.85 P2 < b2
Departemen 3 : 1.00 P1 + 0.70 P2 < b3
Departemen 4 : 0.15 P1 + 0.30 P2 < b4
- Jam kerja tersedia dengan kemungkinan transfer :
Departemen 1 : b1 = 6500 + t41 t12 t13 Departemen 2 : b2 = 6000 + t42 + t12 t23 t24 Departemen 3 : b3 = 7000 + t13 + t23 t34 Departemen 4 : b4 = 1400 + t24 + t34 t41 t42
- Maksimum jam transfer tiap departemen :
Departemen 1 : t12 + t13 < 400
Departemen 2 : t23 + t24 < 800
Departemen 3 : t34 < 100
Departemen 4 : t41 + t42 < 200
Penyelesaian dengan Lindo dengan Cross-Training
Program :
Max 10 P1 + 9 P2
ST
0.65 P1 + 0.95 P2 B1
B1 6100.000000 0.000000
B2 5200.000000 0.000000
B3 8050.847656 0.000000
B4 1549.152588 0.000000
T41 0.000000 7.457627
T12 0.000000 8.248588
T13 400.000000 0.000000
T42 0.000000 8.248588
T23 650.847473 0.000000
T24 149.152542 0.000000
T34 0.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.790960
3) 640.112976 0.000000
4) 0.000000 8.248588
5) 0.000000 8.248588
6) 0.000000 0.790960
7) 0.000000 0.000000
8) 0.000000 8.248588
9) 0.000000 8.2485885
10) 0.000000 7.457627
11) 0.000000 8.248588
12) 100.000000 0.000000
13) 200.000000 0.000000
NO ITERATIONS = 0
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED :
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
P1 10.000000 0.350000 1.692308
P2 9.000000 1.833333 0.304348
B1 0.000000 7.457627 INFINITY
B2 0.000000 8.248588 INFINITY
B3 0.000000 1.794872 4.782609
B4 0.000000 7.373737 1.794872
T41 0.000000 7.457627 INFINITY
T12 0.000000 8.248588 INFINITY
T13 0.000000 INFINITY 7.457627
T42 0.000000 8.248588 INFINITY
T23 0.000000 0.000000 4.782609
T24 0.000000 4.782609 INFINITY
T34 0.000000 0.000000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 0.000000 536.966797 338.461548
3 0.000000 INFINITY 640.112976
4 0.000000 1192.307739 2266.000000
5 0.000000 133.333328 581.818176
6 6500.000000 536.966797 338.461548
7 6000.000000 INFINITY 640.112976
8 7000.000000 1192.307739 2266.000000
9 1400.000000 133.333328 581.818176
10 400.000000 266.666656 400.000000
11 800.000000 892.125977 581.818176
12 100.000000 INFINITY 100.000000
13 200.000000 INFINITY 200.000000
2.5 Diet Problem (MS 66)
Nutrition Department dari Mountain View General Hospital
menyiapkan menu makanan. Makanan terdiri dari kombinasi
Spaghetti, Turkey, Potatoes, Spinach dan Apple Strudel. Direktur dari
Nutrition Department menentukan bahwa dalam makanan tersebut
harus terpenuhi 63,000 milligram protein, 10 mg iron, 15 mg niacin, 1
mg thiamin dan 50 m vitamin C. Setiap 100 gram makanan
mempunyai kandungan nutrient sebagai berikut :
Nutrient )mg/100 gram)
Protein
Iron Niacin Thiamin Vitamin C Fat
Spaghetti 5,000 1.1 1.4 0.18 0 5,000
Turkey 29,300 1.8 5.4 0.06 0 5,000
Potatoes 5,300 0.5 0.9 0.06 10 7,900
Spinach 3,000 2.2 0.5 0.07 28 300
Apple
Strudel
4,000 1.2 0.6 0.15 3 14,300
Kombinasi makanan tersebut maksimal terdiri dari 300 gram spaghetti,
300 gram turkey, 200 gram potatoes, 100 gram spinach dan 100 gram
apple strudel. Bagaimana kombinasi makanan supaya didapat
minimum jumlah fat ?
Model Linear Programming :
* Decision Variables :
SPAG = Jumlah (dalam 100 gram) Spaghetti dalam
makanan
TURK = Jumlah (dalam 100 gram) Turkey dalam
makanan
POTA = Jumlah (dalam 100 gram) Potatoes dalam
makanan
SPIN = Jumlah (dalam 100 gram) Spinach dalam
makanan
APPL = Jumlah (dalam 100 gram) Apple Strudle dalam
makanan
* Objective Function :
Min 5,000 SPAG + 5,000 TURK + 7,900 POTA + 300
SPIN + 14,300 APPL
* Constraint :
- Nutient :
Protein : 5,000 SPAG + 29,300 TURK + 5,300 POTA +
3,000 SPIN + 4,000 APPL > 63,000
Iron : 1.1 SPAG + 1.8 TURK + 0.5 POTA + 2.2 SPIN +
1.2 APPL > 10
Niacin : 1.4 SPAG + 5.4 TURK + 0.9 POTA + 0.5 SPIN
+ 0.6 APPL > 15
Thiamin : 0.18 SPAG + 0.06 TURK + 0.06 POTA + 0.07
SPIN + 0.15 APPL > 1
Vit. C : 10 POTA + 28 SPIN + 3 APPL > 50
- Maksimum Jumlah dalam Makanan :
SPAG < 3
TURK < 3
POTA < 2
SPIN < 1
APPL < 1
Penyelesaian menggunakan Lindo :
Min 5,000 SPAG + 5,000 TURK + 7,900 POTA + 300 SPIN
+ 14,300 APPL
ST
5,000SPAG+29,300TURK+5,300POTA+3,000SPIN+4,000
APPL >= 63,000
1.1SPAG+1.8TURK+0.5POTA+2.2SPIN+1.2APPL >= 10
1.4SPAG+5.4TURK+0.9POTA+0.5SPIN+0.6APPL >= 15
0.18SPAG+0.06TURK+0.06POTA+0.07SPIN+0.15APPL >= 1
10POTA+28SPIN+3APPL >= 50
SPAG
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 63000.000000 51283.332031 INFINITY
3 10.000000 2.400000 INFINITY
4 15.000000 7.200000 INFINITY
5 1.000000 0.010000 0.080000
6 50.000000 1.000000 0.200000
7 3.000000 0.486486 0.055556
8 3.000000 INFINITY 0.166667
9 2.000000 0.022727 0.100000
10 1.000000 INFINTY 0.333333
11 1.000000 0.007519 0.035714
2.6 Blending Problem (MS 75)
Hexxon Oil Company memperoleh 3 tipe Crude Oil dari sumur
minyak di Mississippi, New Mwxico dan Texas. Untuk mendapatkan
produk akhir Gasoline yang didapat dari Crude Oil ini dicampur
menjadi satu dan ditambah 2 macam Additives. Setiap gallon Crude
Oil dari Mississippi setelah dimurnikan hanya bisa didapatkan 0.35
gallon dengan kadar sulfur 0.07%. Sedangkan New Mexico setelah
dimurnikan menjadi 0.4 gallon dengan kadar sulfur 0.08%. Data
selengkapnya pada tabel berikut :
Crude Oil Additives
Mississippi New
Mexico
Texas 1 2
Sulfur (%) 0.07 0.08 0.1 - -
Lead (gm/gal) - - - 7 6
Phosporus (gm/gal) - - - 0.025 0.02
Cost ($/gal) 0.55 0.47 0.33 0.08 0.12
Siap blending tiap
Gallon setelah
Pemurnian
0.35 0.40 0.30
Manajemen menentukan spesifikasi berikut :
1. Setiap gallon produk akhir terdapat maksimum 0.07% sulfur.
2. Setiap gallon produk akhir mempunyai kandungan lead antara 1.25
s/d 2.5 gram
3. Setiap gallon produk akhir mempunyai kandungan phosporus
antara 0.0025 s/d 0.0045 gram
4. Jumlah total additives tidak boleh melebihi 19% dari produk akhir.
Bagaimana komposisi campuran yang sesuai dengan spesifikasi dan
minimum cost ?
Model Linear Programming :
* Decision Variables :
XM = Jumlah gallon Crude Oil Mississippi digunakan
dalam 1 gallon gasoline
XN = Jumlah gallon Crude Oil New Mexico
digunakan dalam 1 gallon gasoline
XT = Jumlah gallon Crude Oil Texas digunakan
dalam 1 gallon gasoline
A1 = Jumlah gallon Additives 1 digunakan dalam 1
gallon gasoline
A2 = Jumlah gallon Additives 2 digunakan dalam 1
gallon gasoline
* Objective Function :
Min 0.55 XM+ 0.47 XN+0.33XT+ 0.08A1+0.12A2
* Constraint :
- Produksi 1 gallon :
0.35 XM + 0.4 XN + 0.3 XT + A1 + A2 = 1
- Sulfur :
0.07 (0.35XM) + 0.08 (0.4XN) + 0.1 (0.3XT) < 0.07
100 100 100 100
- Lead :
Upper limit : 7 A1 + 6 A2 < 2.5
Lower limit : 7 A1 + 6 A2 < 1.25
- Phosporus :
Upper limit : 0.025 A1 + 0.02 A2 < 0.0045
Lower limit : 0.025 A1 + 0.02 A2 < 0.0025
- Additives :
A1 + A2 < 0.19
Penyelesaian menggunakan Lindo :
Min 0.55 XM+ 0.47 XN+0.33XT+ 0.08A1+0.12A2
ST
0.35 XM+ 0.4 XN+0.3XT+ A1 + A2 = 1
0.000245 XM + 0.00032 XN + 0.0003 XT
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 0.9494500
VARIABLE VALUE REDUCED COST
XM 0.000000 0.125625
XN 1.375000 0.000000
XT 0.866666 0.000000
A1 0.140000 0.000000
A2 0.050000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -1.475000
3) 0.000000 374.999878
4) 1.220000 0.000000
5) 0.030000 0.000000
6) 0.000000 8.000000
7) 0.002000 0.000000
8) 0.000000 1.195000
NO. ITERATIONS = 7
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED :
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
XM 0.550000 INFINITY 0.125625
XN 0.470000 0.095714 0.030000
XT 0.330000 0.022500 0.215357
A1 0.080000 0.040000 0.298750
A2 0.120000 0.239000 0.040000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 1.000000 0.065000 0.110000
3 0.000700 0.000110 0.000052
4 2.500000 INFINITY 1.220000
5 1.250000 0.030000 INFINITY
6 0.004500 0.000250 0.000150
7 0.002500 0.002000 INFINITY
8 0.190000 0.035000 0.010000
3. Pekerjaan Rumah
3.1 Dari ASW :
Halaman 174 No.3 : Credit Union of State University
Halaman 176 No.7 : Hoxworth Corporation
Halaman 178 No.11 : Edward Manufacturing Company
Halaman 180 No.17 : Frandec Company
3.2 Dari EGS :
Halaman 75 No. 2-20 : Vineyard
Halaman 80 No. 2-32 : Waitress Scheduling
Pertemuan : 4
Topik Bahasan : Interger Programming
Bahan Bacaan : 1. Anderson, Sweeney & Williams, ch. 8 (ASW)
2. Eppen, Gould, Schmidt, ch. (EGC)
3. Mathur & Solow, ch. 8 (MS)
Software : LINDO
1. Pengantar
Integer Programming pada prinsipnya sama dengan Linear Programming,
kecuali bahwa Integer Programming terdiri dari 2 macam :
- Solusi optimal adalah bilangan general integer
- Solusi optimal adalah bilangan binary integer 0 - 1
2. Contoh Pemecahan Secara Grafis
2.1 Analisa Sensitivitas pada Objective Function
Buffalo Urban Development Department (BUUD) mendapatkan federal
grant $ 5 juta untuk membangun low-income dan middle-income
apartment building pada tanah seluas 180,000 square feet. Setiap tipe
apartment building memerlukan tanah 20,000 square feet. Estimated Cost
setiap low-income building adalah $ 300,000 dan estimated cost setiap
middle-income building adalah $ 600,000. Setiap low-income building
apartment terdiri dari 15 unit dan setiap middle-income building
apartment terdiri dari 12 unit. Pemerintah mensyaratkan ratio dari
middle-income terhadap low-income minimal 0.8.
Berapa jumlah unit apartment maksimal bisa dibangun dengan budget
dan kondisi diatas.
* Decision Variables :
L = Jumlah Low-income apartment building dibangun
M = Jumlah middle-income apartment building dibangun
* Objective Function :
Max 15 L + 12 M
* Constraint :
- Budget Constraint :
3 L + 6 M < 50
- Land Constraint :
20 L + 20 M < 180
- Ratio middle- income terhadap low-income :
12 M > 0.8
15 L
atau
12 M 12 L > 0 atau
M L > 0
M
D
10
9
B Ratio 8
E
7
6
5 F
4
3
Budget
2
1 G H
A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 L
Feasible Region adalah AFEB dan Objective Function adalah garis
GD. Optimal Solution tanpa persyaratan integer adalah titik F (4.5,
4.5). Jika terdapat persyaratan integer maka GD digeser sampai
menyinggung titik integer yang jauh dari (0,0), titik tersebut adalah
(4,5).
L M Objective
Function Value
4 4 108
4 5 120 Optimal Solution
3 6 117
2 7 114
3. Pemecahan Menggunakan LINDO :
Tanpa Integer Solution
Max 15 L + 12 M
ST
3 L + 6 M
M L >= 0 GIN L
GIN M
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 120.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
L 4.000000 -15.000000
M 5.000000 -12.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 8.000000 0.000000
3) 0.000000 0.000000
4) 1.000000 0.000000
NO. ITERATIONS = 7
BRANCHES = 1 DETERM. = 1.000 E 0
4. Contoh Aplikasi :
4.1 Capital Budgeting (ASW 342)
Ice-Cold Refrigerator Company mempertimbangkan beberapa proyek.
Manajemen harus memilih beberapa proyek yang paling menguntungkan
dan memperhitungkan keterbatasan resources.
Project
Estimated Net
Present Value
($)
Capital Requirement ($)
Tahun 1
Tahun 2 Tahun 3 Tahun 4
Plant
Expansion
70,000 15,000 20,000 20,000 15,000
Warehouse
Expansion
40,000 10,000 15,000 20,000 5,000
New
Machinery
10,000 10,000 0 0 4,000
New
Product
Research
37,000 15,000 10,000 10,000 10,000
Available Capital Funds ($)
50,000
45,000
50,000
34,000
* Decision Variables :
X1 = 1 Jika plant expansion project dilaksanakan, 0 jika tidak
X2 = 1 Jika warehouse expansion project dilaksanakan, 0 jika
tidak
X3 = 1 Jika new machinery project dilaksanakan, 0 jika tidak
X4 = 1 Jika new product research project dilaksanakan, 0 jika
tidak
* Objective Function :
Max 70X1 + 40X2 +10X3 + 37X4
* Constraint :
Tahun 1 : 15X1 + 10X2 +10X3 + 15X4 < 50
Tahun 2 : 20X1 + 15X2 +10X4 < 45
Tahun 3 : 20X1 + 20X2 +10X4 < 50
Tahun 4 : 15X1 + 5X2 +4X3 + 10X4 < 34
Pemecahan dengan Lindo tanpa integer :
Max 70X1 + 40X2 +10X3 + 37X4
ST
15X1 + 10X2 +10X3 + 15X4
Pemecahan dengan Lindo binary integer :
Max 90X1 + 40X2 +10X3 + 37X4
ST
15X1 + 10X2 +10X3 + 15X4
* Decision Variables :
X1 = Jumlah fuel additive diproduksi (ton)
X2 = Jumlah solvent base diproduksi (ton)
X3 = Jumlah carpet cleaning fluid diproduksi (ton)
Y1 = 0 Jika fuel additive tidak diproduksi
= 1 jika fuel additive diproduksi
Y2 = 0 Jika solvent base tidak diproduksi
= 1 jika solvent base diproduksi
Y3 = 0 Jika carpet cleaning fluid tidak diproduksi
= 1 jika carpet cleaning fluid diproduksi
* Objective Function :
Objective Function = Profit Setup Cost Max 40X1 + 30X2 +50X3 - 200Y1 - 50Y2 - 400Y3
* Constraint :
X1 < 35Y1 Maksimum X1 bisa diproduksi
X2 < 25Y2 Maksimum X2 bisa diproduksi
X3 < 33.33Y3 Maksimum X3 bisa diproduksi
0.4X1 + 0.5X2 + 0.6X3 < 20 Material 1
0.2X2 + 0.1X3 < 5 Material 2
0.6X1 + 0.3X2 + 0.3X3 < 21 Material 3
X1,X2,X3 > 0
Y1,Y2,Y3 = 0,1
Penyelesaian menggunakan Lindo :
Max 40X1 + 30X2 +50X3 - 200Y1 - 50Y2 - 400Y3
ST
X1 - 35Y1
Y3 0.000000 394.445007
X1 25.000000 0.000000
X2 20.000000 0.000000
X3 0.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 10.000000 0.000000
3) 5.000000 0.000000
4) 0.000000 16.666666
5) 0.000000 33.333332
6) 1.000000 0.000000
7) 0.000000 44.444443
4.3 Distribution System Design (ASW 346)
Martin-Beck Company sedang merencanakan fasilitas produksi baru
dan sistem distribusi yang lebih effisien. Saat ini MBC mempunyai 1
pabrik di St. Louis dengan kapasitas produksi 30,000 unit dan
mensupply regional distribution centers yang terletak di Boston,
Atlanta dan Houston.
Sehubungan dengan kenaikan demand, manajement
mempertimbangkan membangun pabrik baru dengan alternatif lokasi
di detroit, Toledo, Denver dan Kansas City. Data-data seperti pada
tabel :
Plant
Distribution Cost
($ / unit)
Capacity
(1000 unit)
Estimated
Construction
Cost
(1000 $)
Boston Atlanta Houston
Detroit 5 2 3 10 175
Toledo 4 3 4 20 300
Denver 9 7 5 30 375
Kansas City 10 4 2 40 500
St. Louis 8 4 3 30 -
Demand 30 20 20
Plant mana yang dipilih untuk dibangun supaya diperoleh minimum
cost ?
Plant
10 1
Detroit
1 30
Boston
20 2
Toledo
30 3 2 20
Denver Atlanta
4
40 Kansas
City
20
3
Houston
30 5
St. Louis
* Decision Variables :
X1j = Jumlah unit yang dikirim dari plant I ke distribution j
Y1 = 1 jika plant Detroit dibangun, 0 jika tidak
Y2 = 1 Jika plant Toledo dibangun, 0 jika tidak
Y3 = 1 Jika plant Denvet dibangun, 0 jika tidak
Y4 = 1 Jika plant Kansas City dibangun, 0 jika tidak
* Objective Function :
Min 5X11 + 2X12 + 3X13 + 4X21 + 3X22 + 4X23 + 9X31 + 7X32 + 5X33
+ 10X41 + 4X42 + 2X43 + 8X51 + 4X52 + 3X53 + 175Y1 + 300Y2
375Y3 + 500Y4
St
X11 + X12 + X13 < 10Y1 Detroit Capacity
X21 + X22 + X23 < 20Y1 Toledo Capacity
X31 + X32 + X33 < 30Y3 Denver Capacity
X41 + X42 + X43 < 40Y4 Kansas City Capacity
X51 + X52 + X53 < 30 St. Louis Capacity
X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 30 Boston Demand
X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 20 Atlanta Demand
X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 20 Houston Demand
Xij > 0
Y1, Y2, Y3, Y4 = 0,1
Pemecahan menggunakan Lindo :
Min
5X11 + 2X12 + 3X13 + 4X21 + 3X22 + 4X23 + 9X31 + 7X32 + 5X33 + 10X41 +
4X42 + 2X43 + 8X51 + 4X52 + 3X53 + 175Y1 + 300Y2 + 375Y3 + 500Y4
ST
X11 + X12 + X13 - 10Y1
X41 0.000000 2.000000
X42 20.000000 0.000000
X43 20.000000 0.000000
X51 30.000000 0.000000
X52 0.000000 0.000000
X53 0.000000 1.000000
X21 0.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 3.000000
3) 0.000000 8.000000
4) 0.000000 4.000000
5) 0.000000 0.000000
6) 0.000000 0.000000
7) 0.000000 -8.000000
8) 0.000000 -4.000000
9) 0.000000 -2.000000
NO. ITERATIONS = 47
BRANCHES = 2 DETERM = 1.000 E 0
5. Variasi dari Binary Integer Costraint
Pada contoh Martin-Beck Company
* Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1
Harus membangun satu pabrik
* Y1 + Y2 + Y3 + Y4 < 1
Boleh tidak membangun pabrik, jika membangun hanya diperbolehkan
maksimal satu pabrik
* Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 3
Harus membangun 3 pabrik
* Y1 + Y2 + Y3 + Y4 < 3
Boleh tidak membangun pabrik, jika membangun hanya diperbolehkan
maksimal 3 pabrik
* Y2 < Y1
- Pabrik 2 hanya boleh dibangun jika pabrik 1 dibangun
- Jika pabrik 1 dibangun, pabrik 2 tidak harus dibangun
* Y2 = Y1
Jika salah satu pabrik dibangun maka yang lainnya harus dibangun
6. Model Sensitivitas
Pada model :
Max 40X1 + 60X2 + 70X3 + 160X4
St
16X1 + 35X2 + 45X3 + 85X4 < 100
X1, X2, X3, X4 = 0,1
Solusi menggunakan Lindo :
Max 40X1 + 60X2 + 70X3 + 160X4
St
16X1 + 35X2 + 45X3 + 85X4
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS = 3
BRANCHES = 0 DETERM = 1.000 E 0
Dari data diatas terlihat bahwa tambahan $ 1 di RHS akan menambah
objective function value $ 30, sedangkan analisa sensitivitas dari Lindo
tidak ada. Sehingga pada pembuatan model disarankan mencoba
beberapa alternatif RHS.
7. Pekerjaan Rumah
7.1 Dari Buku ASW :
Halaman 362 No. 11 : Hawkins Manufacturing Company
Halaman 365 No. 18 : The Northsore Bank
Halaman 366 No. 21 : Bayside Art Gallery
7.2 Dari Buku EGC :
Halaman 384 No. 8 9 : Airline Scheduling Halaman 384 No. 8 9 : A Starup Problem Halaman 384 No. 8 10 : Production Planning Halaman 384 No. 8 11 : Large Manufacturing Halaman 387 No. 8 21 : Capacity Expansion
Pertemuan : 5
Topik Bahasan : Analytic Hierarchy Process
Bahan Bacaan : Anderson, Sweeney & Williams, ch. 15 (ASW)
1. Pengantar
Analytic Hierarchy Process digunakan untuk memecahkan permasalahan
dengan multiple criteria. Perbedaan dengan goal programming, pada AHP
pengambil keputusan harus melakukan judgement untuk menentukan relative
importance dari setiap kriteria dan membuat hierarchy dari step pengambilan
keputusan.
2. Pengambilan Keputusan dengan Analytic Hierarchy Process
Proses Analytic Hierarchy Process adalah sebagai berikut :
a) Menentukan criteria
b) Membuat hierarchy dari criteria
c) Membuat pairwise comparison scale
d) Membuat pairwise comparison matrix
e) Menghitung relative priorities
f) Menghitung consistency ratio (CR), jika CR > 0.10 berarti terjadi
incosistent judgement dan pairwise comparison matrix perlu direvisi
g) Membuat overall priority ranking
Contoh (ASW ch. 15) :
Diane Payne merencanakan membeli mobil dengan informasi sesuai tabel
berikut :
Category Car A Car B Car C
Price $ 13,100 $ 11,100 $ 9,500
MPG 18 23 29
Interior Deluxe Above average Standard
Body 4-door midsize 2-door sport 2-door compact
Radio AM/FM, tape AM/FM AM/FM
Engine
6-cylinder 4-cylinder 4-cylinder
2.1 Menentukan Criteria
Criteria yang digunakan untuk membandingkan adalah : Price, MPG,
Comfort, Style.
2.2 Membuat Hierarchy
Hierarchy dibuat berdasarkan overall goal, criteria dan decision
alternatives.
Overall Goal :
Select the best car
Criteria : Price MPG Comfort Style
A A A A
Decision
Alternatives : B B B B
C C C C
2.3 Membuat Pairwise Comparison Scale
Verbal Judgement
Of Preference
Numerial
Rating
Extremelly preferred
9
Very strongly to extremely preferred 8
Very strongly preferred 7
Strongly to very strongly preferred 6
Strongly preferred 5
Moderately to strongly preferred 4
Moderately preferred 3
Equally to moderately preferred 2
Equally preferred 1
Pairwise comparison scale digunakan untuk membandingkan 2 item.
Misal comfort antara A dan B, A dan C, B dan C.
2.4 Membuat Pairwise Comparison Matrix
Pairwise Comparison Matrix adalah membandingkan 2 item
berdasarkan pairwise comparison scale.
2.4.1 Pairwise Comparison Matrix Price terhadap A, B, C
Price
A B C
A 1 1/3 AC merupakan
Top Related