8/17/2019 Metnum Kuliah 1
1/42
METODE NUMERIK Kuliah 1
Pendahuluan
Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya
2010
Kompetensi:Mampu menghitung akar sebuah persamaan
polynomial pangkat 3 keatas dan menyelesaikanpersamaan linier simultan
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
2/42
ReferensiPustaka Utama :
Chapra SC ! Canale RP" #$$% & Numeri'al Meth(ds f(rEn)ineers&" *th Ed" M'+ra,-.ill Primis"
http://,,,primis(nline'(m Ste0en C Chapra ! Ram(nd P Canale" Metode Numerik
untuk Teknik dengan Penerapan pada Komputer Pribadi "UI-Press" 2akarta" 1%%1
Kres3i) E" Kres3i) ." N(rmint(n" E2 #$11 &4d0an'e
En)ineerin) Mathemati's&" 1$th Ed 2(hn 5ile ! S(ns"In'
.(6man" 2D #$$1 7Numeri'al Meth(ds f(r En)ineersand S'ientists8" #nd Ed Mar'el Dekker" In'" Ne,9(rk
4tkins(n K &Elementar Numeri'al 4nalsis&" 2(hn 5ile! S(ns " Sin)ap(re" 1%%
Dr Ir ;am
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
3/42
Per=an=ian Kuliah :
Datan) tepat ,aktu" t(leransi 1A menitBK(nsekuensi: tidak
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
4/42
Per=an=ian Kuliah :
;erd(a se
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
5/42
Per=an=ian Kuliah :H 2ika pen)umpulan tu)as mele
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
6/42
Per=an=ian Kuliah :11 Untuk praktikum" k(mtin)/,ak(mtin)
harus mem
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
7/42
Materi Metnum Kuliahke-1
1 Pendahuluan
11 Men)apa 4nalisis Numerikdi
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
8/42
x 0 x 1 x n x n-1 x
f ( x )
;a)aimana Cara Menelesaikanluas di
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
9/42
x 0 x 1 x n x n-1 x
f ( x )
1Pendahuluan danKesalahan
uyun Tajunnisa
Email Addres: [email protected]
)(...)()(
)()(
1100
0
nn
i
n
i
i
b
a
x f c x f c x f c
x f cdx x f
+++=
≈
∑∫ =
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
10/42
Dasar Pengintegralan Numerik
Met(de Numerik hana men'(
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
11/42
;a)aimana Penelesaianpersamaan
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
12/42
.itun) inte)ral dari
S(lusi eksak
4turan trapesium
1Pendahuluan danKesalahan
uyun Tajunnisa
Email Addres: [email protected]
926477.5216)12(4
1
4
1
2
4
0
2
4
0
224
0
2
=−=
−=∫
xe
ee x
dx xe
x
x x x
dx xe4
0
x 2
%..
..
.)()()(
12357 926 5216
66 23847 926 5216
66 23847 e4024 f 0 f 2
04dx xe I
84
0
x 2
=
=
≈
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
13/42
PENDAHULUAN
Metode numerik adalah teknik untukmenyelesaikan permasalahan yangdiormulasikan se!ara matematis dengan!ara operasi hitungan (arithmetic).
Metode numerik banyakdikembangkan ahli
matematika tetapi ilmunyamilik berbagai bidang
"idang teknik : sipil#mesin# elektro# kimia#dsb
"idang kedokteran#ekonomi# sosial# dll
1Pendahuluan danKesalahan
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
14/42
Pen)antar Mengapa Harus Metode Numerik ?
4lasan pemakaian met(de numerik ini karena tidaksemua permasalahan matematis
atau perhitun)an matematis dapatdiselesaikan den)an mudah ;ahkandalam prinsip matematik" suatu pers(alan matematikan) palin) pertama dilihat adalah apakah pers(alanitu memiliki penelesaian atau tidak
2adi" 2ika suatu pers(alan sudah san)at sulit atau tidakmun)kin diselesaikan den)an met(de matematisBanalitik maka kita dapat men))unakan met(denumerik se
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
15/42
Pen)antar Met(de Numerik S(lusi analitis an)
pasti
Met(de Numerik Meli
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
16/42
Kesalahan (Error)
Penelesaian se'ara numeris daripersamaan matematik hana mem
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
17/42
KE$ALAHAN (ERROR)
4da ma'am kesalahan:- Kesalahan
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
18/42
1
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
19/42
KE$ALAHAN A"$%LU& DAN 'ELA&()
Kesalahan dinatakan
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
20/42
KE$ALAHAN A"$%LU& DAN 'ELA&()
Dalam met(de numerik" serin) dilakukanpendekatan se'ara iteratif
Perkiraan sekaran) di
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
21/42
KE$ALAHAN A"$%LU& DAN 'ELA&()
C(nt(h 1:
Pen)ukuran pan=an) =em
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
22/42
KE$ALAHAN A"$%LU& DAN 'ELA&()
2a,a
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
23/42
KE$ALAHAN A"$%LU& DAN 'ELA&()
C(nt(h #:.itun) kesalahan an) ter=adi dari nilai e@ den)an @ J $"A apa
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
24/42
KE$ALAHAN A"$%LU& DAN 'ELA&()
2a,a
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
25/42
KE$ALAHAN A"$%LU& DAN 'ELA&()
Nilai e@ dihitun)
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
26/42
KE$ALAHAN A"$%LU& DAN 'ELA&()
b+ Keadaan II: diperhitungkan dua suku pertama+e, -. / ,
untuk , -0#1
Kesalahan#
Kesalahan berdasarkan perkiraan terbaik dihitung
dengan rumus
1Pendahuluan danKesalahan
e0,5
= 1 + 0 , 5 = 1 , 5
Eeε = x 100% =e1,648721271-1,5
x 100%=9,02%p 1,648721271
1,5 1x 100% 33,33%
1,5
−=a
εε = x 100 % =
p *
1
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
27/42
KE$ALAHAN A"$%LU& DAN 'ELA&()
' Keadaan III: diperhitungkan tiga suku pertama+
1Pendahuluan danKesalahan
2 2
x x 0,5e x 1 0,5 1, 625
2 2
+ = + + == 1 +
ε =e1,648721271-1,1625
x 100%=1,44%1,648721271
1,625 1,5
x 100% 7,69%1,625
−
=a
ε
ε = x 100 % =p *
1
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
28/42
KE$ALAHAN A"$%LU& DAN 'ELA&()
.itun)an dilan=utkan sampai den)anmemperhitun)kan * suku pertama sepertita
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
29/42
DE'E& &A8L%' Merupakan dasar utk menelesaikan masalah
metnum Persamaan Deret Tal(r:
Dimana:
1Pendahuluan danKesalahan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 n
n
i i i i i i
x x xf x 1 f x f ' x f '' x f ''' x .... f x Rn
1! 2! 3! n!
∆ ∆ ∆ ∆+ = + + + + + +
1
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
30/42
DE'E& &A8L%'
Kesalahan pem(t(n)an Rn di
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
31/42
DE'E& &A8L%'
Perkiraan fun)si den)an deret Tal(r:1 Memperhitun)kan satu suku pertama B(rder
n(l
Perkiraan terse
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
32/42
DE'E& &A8L%'
# Memperhitun)kan dua suku pertama B(rder
1
yang merupakan suatu garis lurus 9naikturun;+
misal: y - , /
3+ Memperhitun)kan ti)a suku pertama B(rder#
persamaan disebut perkiraan orde dua
misal : y - ,3
< 3, / uyun Tajunnisa, ST, MTEmail Addres: [email protected]
1Pendahuluan danKesalahan
( ) ( ) x
f xi 1 f (xi) f ' xi1!
∆+ ≈ +
( ) ( ) x
f xi 1 f (xi) f '(xi) x f '' xi2!
∆+ ≈ + ∆ +
1
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
33/42
DE'E& &A8L%'
+am
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
34/42
Di6erensial Numerik
Digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensialk(ntinu men=adi diskret+
Di=erensial numerik banyak digunakan untukmenyelesaikan persamaan dierensial+ ;entuk
di6erensial numerik dapat diturunkan
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
35/42
D())E'EN$(AL NUME'(K
*ika data yang digunakan untuk memperkirakan
dierensial dari ungsi adalah pada titik @i dan @i-1
maka disebut diferensial mundur# dan deret &aylormen>adi:
atau
1Pendahuluan danKesalahan
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3
i i i i i
x xf x 1 f x f ' x f '' x f ''' x ...1! 2! 3!
∆ ∆ ∆
− = − + − +
( ) ( ) ( ) ( )2
i i if x 1 f x f ' x x O x− = − ∆ + ∆
( ) ( ) ( )
( )if xi f xi 1f
f ' x O xx x
− −∂= = + ∆
∂ ∆
1
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
36/42
D())E'EN$(AL NUME'(K
*ika data yang digunakan untuk memperkirakan
dierensial dari ungsi adalah pada titik @i-1 dan@i1 maka disebut diferensial terpusat+
uyun Tajunnisa, ST, MT
Email Addres: [email protected]
Dari Persamaan yang terakhir terlihat bah?akesalahan pemotongan berorder @, sedangpada dierensial ma>u dan mundur berorder
@,+
Pendahuluan danKesalahan
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
i i i i
2
i
2
i
f x 1 f x 1 2f ' x x f ''' x ...3!
atau
f xi 1 f xi 1f xf ' x f ''' xi ...x 2 x 6
atau
f xi 1 f xi 1f f ' x O x ...
x 2 x
∆+ − − = ∆ + +
+ − −∂ ∆= = −∂ ∆
+ − −∂= = + ∆ −
∂ ∆
1
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
37/42
D())E'EN$(AL NUME'(K
Dari Persamaan di6erensial terpusatterlihat
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
38/42
D())E'EN$(AL NUME'(K
uyun Tajunnisa, ST, MT
Email Addres: [email protected]
Bambar + Perkiraan garis $inggung
Keadaan ini >ugadapat dilihat pada
gambar + Kemiringangaris melalui A C
Bdiferensialterpusat hampir
sama d) )arissin))un) fun)si
titik @i dibandinggaris singgung yang
melalui titik A C "9dierensial mundur;
atau " C
9dierensial ma>u;
Pendahuluan danKesalahan
1
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
39/42
D())E'EN$(AL NUME'(K
Pers Deret Tal(r:
s diferensial mundur dari deret Tal(r:
ri # Pers di atas =ika di=umlahkan:
Pendahuluan danKesalahan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 n
n
i i i i i i
x x xf x 1 f x f ' x f '' x f ''' x .... f x Rn
1! 2! 3! n!
∆ ∆ ∆ ∆+ = + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3
i i i i i
x xf x 1 f x f ' x f '' x f ''' x ...
1! 2! 3!
∆ ∆ ∆− = − + − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 4
i i i i
4
i 2
22
i2 2
x xf x 1 f x 1 2f xi 2f '' x 2f '''' x ... atau,
2! 4!
f xi 1 2f xi f xi 1 xf '' x f '''' xi ... atau,
x 12f xi 1 2f xi f xi 1f
f '' x O x ...x x
∆ ∆+ + − = + + +
+ − + − ∆= −
∆+ − + −∂
= = − ∆ −∂ ∆
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
40/42
1
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
41/42
.i
8/17/2019 Metnum Kuliah 1
42/42
TerimaKasih(nsya Allah dilan>utkan
minggu depan+Selalu ;erseman)atSetiap Saat
Pendahuluan danKesalahan