Méthodes Mécaniques d’Analyse
I. Elasticité
II. Plasticité et Rhéologie
III. Fracturation
ISTIL Matériaux 2ème année
BIBLIOGRAPHIE Ouvrages généraux :M.F. Ashby et D.R.H. Jones, Matériaux, Dunod ed. (1998), 2 tomesY. Quéré, Physique des Matériaux, Ellipse ed. (1990)A. Zaoui, A. Pineau et D. François, Comportement Mécanique des Matériaux, Hermes ed. (1995)R. Lehoucq, D’où viennent les pouvoirs de Superman ?, EDP Sciences ed. (2003)
Ouvrages plus spécifiques :S. Etienne et L. David, Introduction à la physique des polymères, Dunod ed. (2002)S. Suresh, Fatigue of Materials, Cambridge University Press (1998)D. Bellet et J.J. Barreau, Cours d’Elasticité (photo-élasticimétrie), Cepadues-Editions (1993)J. Salençon, Mécanique des Milieux continus, Ellipse ed. (1990)L.Landau and E. Lifshitz, Théorie de l’Elasticité, Mir ed. (1990)
Ouvrages appliqués :R. Bourgeois et coll., Memotech Génie des Matériaux, Educalivre ed.Colombié et coll. Matériaux industriels, Dunod ed.G. Forest, Choix d’une méthode de contrôle, AFNOR ed.J. Perdijon, Aide mémoire Contrôle non destructif, Dunod ed.M. Dupeux, Aide mémoire Science des Matériaux, Dunod ed.Cahiers Formation du CETIM sur les contrôles non destructifs ,…
Introduction
Vocabulaire des mécaniciens+
Interprétation physico-chimique
Elasticité Plasticité Rhéologie Rupture
Qu’est-ce qu’un « Matériau »?
(A. Zaoui)
Résultat d’une synthèse entre la matière et l’usage qui en est fait.
Mise en oeuvre
Microstructure
Propriétés
Performances
Al polycristal (Electron Back Scattering Diffraction)
Cu polycristal : cold lamination (70%)/ annealing.
Si3N4 SiC dense
Dendritic growth in Al:
TiO2 metallic foams, prepared with different aging, and different tensioactif agent:
1) Deux éléments proches évoluent de façon similaire2) En particulier: conservation de la proximité« Champ » = quantité physique moyennée
sur un volume élémentaire= fonction continue de l’espace
3) En pratique: Hypothèse à valider.A cette échelle, les forces sont de courte portée
(forces de surface entre éléments de volume)
En général, valable à des échelles >> échelle caractéristique de la microstructure.Exemples: cristaux d >> distance interatomique (~ Å )
polycristaux d >> taille des grains (~nm ~mm) assemblée régulière de grains d >> taille des grains (~ mm) liquides d >> libre parcours moyen matériaux désordonnés d >> 100 distances interatomiques (~10nm)
Qu’est-ce qu’un milieu « continu » ?
Le comportement mécanique est entièrement décrit par la donnée du champ de déplacement:
ZYX
zyx
ZzuYyuXxu
z
y
x
ruV
W
v
Théorie Classique de l’Elasticité:
w
(1635-1703)
1678: Robert Hooke développe sa“True Theory of Elasticity”
Ut tensio, sic vis (ceiii nosstuv)“The power of any spring is in the sameproportion with the tension thereof.”
Loi de Hooke: s = E e (contrainte = E x déformaiton)où E est le MODULE D’YOUNG (RIGIDITE).
0SF
0ll
Elasticité Linéaire: Loi de Hooke
Machines de traction:
Réponse Elasto-Plastique:
u
Lz
F
Réponse élastique linéaire: F/S = E.u/Lz
Module d’élasticité
Contrainte de compression s
Déformation e
S
Ecoulement Plastique Elasticité
F/S
Eu/LzLimite d’élasticité sy
Ecoulement Visco-Plastique sflow de/dt
vitreloy
I. Elasticité
A) Concepts en Elasticité LinéaireB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de mesure
I. Elasticité
A) Concepts en Elasticité LinéaireB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de mesure
1) Contraintes locales:
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
sssssssss
s
Force par unité de surface
Agissant le long de la direction x,Sur la face normale à la direction y.
Expression des forces: dSnF .s
vecteur normalsurface
Unités: Pa (1atm = 105 Pa)
Ordre de Grandeur: MPa =106 Pa
Exemples de tenseurs de contrainte:
Traction:
Cisaillement:
Pression Hydrostatique:
SF00000000
s
u
00000
00
SF
SF
s
PP
P
000000
s
F
S
3)(str
P Par définition, pression
ZYX
zyx
ZzuYyuXxu
z
y
x
2) Déformations: ru
WeVWVwvwWvV
e
..2.. alors et si
: Lagrange-Green deTenseur
angulaire" distorsion" )21)(21(
2),cos( then 0. if
unitaire"extension "
WWVV
VW
VV
eeewvWV
eVVv
local"rotation detenseur "
21
.linéarisé"n déformatio detenseur " 21
Lagrange"-Green deTenseur " .21
uu
uu
uuuue
t
t
tt
e
VW
v
w
ZYX
zyx
ZzuYyuXxu
z
y
x
2) Déformations: ru
e
e
xu
xu
uu t
21
21
VW
v
w
Exemples de tenseurs de déformation linéarisés:
Traction:
Cisaillement:
Compression isotrope:
Unités: %. Ordre de Grandeur: élasticité OK si e<0.1% (métal) e<1% (polymère, amorphe)
L
Lu
Lv
Lv
y
x
00
00
00
eL+u
L-vu
002
0002
00
Lu
Lu
e
Lv
Lv
Lv
z
y
x
00
00
00
e
kllk
ijklijij C ess .,
0 3) Modules d’élasticité:21 Modules d’élasticité Cijkl
Cas particulier d’un milieu homogène et isotrope :
3/21
tr tr3
PV
V1- ilitécompressib
.tr..2 scontrainte 0
mse
deems
ijijijijσ 2 Modules d’élasticité (,m)
F
Lu
Lv
LuES
F
.
.
E, module d’Young, Coefficient de Poisson
Traction:u
Cisaillement simple:
Lu
SF .m
m, Module de Cisaillement
PCompression hydrostatique:
E)21(3
233
m
, compressibilité.Unités: J.m-3 , ou Pa.Ordre de Grandeur: -1< ≈ 0.33<0.5 et E ≈ Gpa ≈ sY/10-3
4) Energie Mécanique (déformations internes):
Expression de la puissance des efforts intérieurs:
partiespar n intégratio après .-
volumede unitépar .
, t
tu
rtW
dde
s
dds
dd
Energie Mécanique:
desd .,
E
Ainsi,
deds E
par unité de volume
Développement de Landau de l’énergie mécanique:
Expression générale de l’énergie mécanique par unité de volume:
....::21:0 eeesd CE
Ainsi Loi de Hookeut tensio sic vis
21 Modules d’élasticité Cgd
dans le cas 3D le plus général.
...:0 esed
ds CE
Pas de dépendance en (invariance par translation)
Pas de dépendance en (invariance par rotation)
u
Symétries du tenseur des Modules d’élasticité:
)..(:.. 11 SSSS es C+ Symétries spécifiques du cristal:
S Operateur de symétrie
)
)
)
gdgd
dggddggd
gdgd
deds
ee
ss
E
(CC
(CC
(CCSymétries générales:
Exemple d’un matériau homogène et isotrope :
2 modules d’élasticité
ItrEE
Itr sseeems
1or 2
21 modules d’élasticité dans le cas le + général à 3D
Onde longitudinale:Le mouvement des atomes est dans le sens de la propagation
Onde transverse:Le mouvement des atomes est perpendiculaire au sens de la propagation
m
2
,. 22..
LL cc
222.2.2. lmnL
cc LLlmn
Onde longitudinale:
LTT ccc m ,. 22
..
Ondes transverses: cisaillement simple
Ondes acoustiques dans un matériau isotrope :2 vitesses du son cL et cT
mm
u
)u(.)u.(.2u2
2
extft
Exemple d’un matériau anisotrope (cristal):
FCC3 modulesC11 C12 C44
HCP5 modulesC11 C12 C13 C33 C44 C66=(C11-C12)/2
Ex. cobalt Co: HC FCC T=450°C
3 modules(3 axes équivalents)
6 (5) modules(invariance de rotation autour d’un axe)
Le nombre de Modules d’élasticitédépend des Symétries
Notation de Voigt:
6)12(5)31(4)23(3)33(2)22(
1)11(
21 Modules d’élasticité indépendants)
)
)
gdgd
dggddggd
gdgd
deds
ee
ss
E
(CC
(CC
(CC
3 modules(3 axes équivalents)
6 (5) modules(invariance par rotation autour d’un axe)
6 modules
6 modules(2 axes équivalents de symétrie)
9 modules(2 plans orthogonaux de symétrie)
13 modules(1 plan de symétrie)
21 modules
I. Elasticité
A) Concepts en Elasticité LinéaireB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de mesure
Expression Microscopique des Modules locaux d’élasticité:
Example simple d’un cristal cubique.
Sur chaque liaison:
....)(21).( 02
22
0000 rdrd
rrrdrd
rrrr ijijijijij
ijijEEEE
déformation
contraintes
0
011 r
rrij e
20
20
2
0
20
11
).(
44'
rdrrd
rr
rf ijij
ijE
s
Modules d’élasticité
30
02
02
0111111 .1/'
rr
drrd
rC ijij EE
es
C1 ~ 2 m1 C2 ~ 2 m2 C3 ~ 2 (+mVerre de Lennrad-Jones 2D N=216 225 L=483
Cas général: Modules d’élasticité locaux
M. Tsamados et al. (2007)
)(..
....1)( 4321)(
)
,,,,2
4321
4321 4321
43432121
4321
iiiiinrr
rrrrrrV
iC iiiiiiii
eqii
eqii
eqii
eqii
eqii
eqii
iiiii
E
(
dg
gd
Exemple d’un matériau amorphe
Convergence progressivevers un matériaux isotrope
à grande échelle
Born-Huang
Introduction1) Types de liaisons interatomiques- Liaison covalente- Liaison ionique- Liaison métallique- Liaison de van der Waals- Liaison Hydrogène- Forces de solvatation
2) Structure de l’empilement- Cristaux- Composites- Amorphes- Polymères
Interprétation Microscopique
Bornes générales pour les modules d’élasticité macroscopiques d’un solide inhomogène.
Exemple de fibres dans une matrice:
VVEV
VEE
SSSESE
SSF
SESESESE
SSFFF
E
mm
ffL
Lmf
mmff
mf
LL
Lmmff
mmmfff
mmffmfL
Lmf
LLL
..
..........
..
.
es
eee
ss
eeeees
EL,T Module d’Young effectifEf Module des fibresEm , Module de la matrice
Voigt (1889)
Reuss (1929) Vf/V
EL
ET
E
m
m
f
f
T
mm
ff
T
mmmfffTT
mftotal
Tmf
TTT
EVV
EVV
E
VV
VV
VVV
E
1.1.1
..
..21..
21..
21
.
eee
sesese
sssses
EEE
Exemple de matériau hétérogène:
N. Teyssier-Doyen et al. (2007)
Voigt
Reuss
I. Elasticité
A) Concepts en Elasticité LinéaireB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de mesure
Méthodes de Mesure:
- Photoélasticimétrie- Essais de traction- Nanomécanique (micro-pilliers, couches minces..)- Mesures de déformation: TEM, X-Ray, Corrélations d’images..
Machines de traction:
Micro-Pilliers
Visualisation des réarrangements plastiques à petite échelle.
Expérimentalement
Spectrométrie Raman
B. C
ham
pagn
on e
t col
l. (2
006) Bande principale:
relation entre pression et angle entre tétraèdres de SiO2 (Si-O-SI)
Raie D2: densification variable selon les verres.
Micro-spectroscopie Raman ~mm2
Changement d’environnement sous contraintes
Changement d’environnement local.(variations de e sur ~10 Å)
Plasticité?
X-ray diffraction 90keVPoulsen et al. (2004)
410e
Axial strain field e11
resolution 50x200 mm2
h=0°
h=90°
Riz
za e
t col
l. (2
006)
Visualisation directe par MET in situ
Huf
nage
l et c
oll.
(200
2)
réarrangements locaux~ 1 nm
II. Plasticité
A) Mesures MacroscopiquesB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de durcissement
II.Bis Rhéologie Linéaire et Non-linéaire
II. Plasticité
A) Mesures MacroscopiquesB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de durcissement
Réponse Elasto-Plastique:
u
Lz
F
Réponse élastique linéaire: F/S = E.u/Lz
Module d’élasticité
Contrainte de compression s
Déformation e
S
Ecoulement Plastique Elasticité
F/S
Eu/LzLimite d’élasticité sy
Ecoulement Visco-Plastique sflow de/dt
vitreloy
ou Déformation Plastique irréversible
e
s
Elasticité
Plasticité
Essai de traction compression simple (uniaxial) sur un métal
e
pe elepel eee E
el se
e
s
Essai de traction compression simple (uniaxial) sur un métal
Domaine d’élasticité initial
Domaine d’élasticité actuel
L’évolution du domaine d’élasticité est appelé écrouissage
Comportement Parfaitement Plastique
EcrouissageProgressif
s
Critères de plasticité en fonction des contraintesSur le tenseur des contraintes, de valeurs propres s1, s2 et s3:
Critère de Tresca: (cission maximale)
Critère de von Mises: (énergie de distorsion)
Critère de Mohr-Coulomb (frottement):
Critère de Drucker-Prager (Pression):
La réponse plastique, irréversible, dépend de l’histoire du chargement.
Ecrouissage « cinématique » Ecrouissage « isotrope»
Domaine d'élasticité en traction torsion de l'acier doux
-100
-50
0
50
100
150
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250
Contrainte de traction en MPa
Cont
rain
te d
e to
rsio
n en
MPa
Domaine d'élasticité initial Domaine d'élasticité après chargement
Chargement
Translation du domaine élastique Dilatation du domaine élastiquedans l’espace des contraintes.
II. Plasticité
A) Mesures MacroscopiquesB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de durcissement
Modèles de Frenkel?
Cission maximale à 45°:
max. pour q=45°
Modèle de Frenkel (glissement en phase):
qqsqqs
q
qq cos.sin.
cos/Ssin.F
SF
q
F
S
S q
F q
?a2
a.
ax.2sin.
a2a.
//max
//
//
ms
ms
Valeur trop élevée !
Tapis de Mott
Dislocation de type « coin » Dislocation de type « vis »
Lb L//b
Vecteur de Burgers bLigne de dislocation LLargeur de dislocation W
Mouvement par glissement: dans le plan (b,L)Mouvement par montée
L
Estimation de la largeur W d’une dislocation:
W2
br
r2b)r(
max
maxmax
sm
smss
2b5.0 m
bW2exp2PN
ms
PNs
Visualisation de dislocations:
Photoélasticimétrie:
Microsope Electronique à Transmission:
MET haute résolution
« forêt » de dislocations (reconstitution numérique)
+ Lors d’un croisement: formation de crans..
12
2112 r
b.bF m
II. Plasticité
A) Mesures MacroscopiquesB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de durcissement
- Résistance mécanique intrinsèque- Durcissement par la « forêt »- Interaction avec des atomes étrangers- Interaction avec des joints de grains
- Durcissement par irradiation- Durcissement par amorphisation..
Méthodes de mesure:
- traction-compression-torsion- Mesures de dureté:
Dureté Brinell Dureté Vickers
II. Plasticité
A) Mesures MacroscopiquesB) Interprétation MicroscopiqueC) Méthodes de durcissement
II.Bis Rhéologie Linéaire et Non-linéaire
Réponse Elasto-Plastique:
u
Lz
F
Réponse élastique linéaire: F/S = E.u/Lz
Module d’élasticité
Contrainte de compression s
Déformation e
S
Ecoulement Plastique Elasticité
F/S
Eu/LzLimite d’élasticité sy
Ecoulement Visco-Plastique sflow de/dt
vitreloy
Verres Métalliques Verres Minéraux (SiO2, a-Si) Polymères (PMMA,PC)
Pâtes
Colloides
Poudres
Au-delà du comportement élastique:
- Comportement plastique- Comportement visco-élastique- Réponse rhéologique non-linéaire
),(dtdf ees
Plasticité Viscosité
Réponse rhéologique linéaire:
tdttttdtd
cstet
.)'(1)()(.1 0
0 htt
het
he
h
mh
mte
ehemt
sst
hm
ct tiquecaractéris temps t.
0
VE
e1.)t(
dtd.)t(.)t(
. )()(.1.10
0 thm
teth
tm
eeee
tttdtd
dtd
VE
Fluide Visqueux Newtonien: Ex. Eau, miel..
Solide de Kelvin-Voigt: Elasticité Retardée (comportement anelastique)
Fluide de Maxwell: Ex. Solide près de Tf
Elasticité Instantanée + Ecoulement Visqueux
Comportement visco-élastique général: (mémoire) 'dt)'t(.'ttf)t(.f)t(t
0
.
0 tte
crystaux les dans , 3
2
DakTL
h
Differents comportements:
(1643-1727)
1687: Isaac Newton parle des liquides et des écoulements sous cisaillement dans ses “Principia”:“The resistance which arises from the lack ofslipperiness of the parts of the liquid, other things being equal, is proportional to the velocity with which the parts of the liquid are separated from one another.”
Loi de Newton: τ = η dγ/dtoù η est le coefficient de viscosité Newtonien.
(1635-1703)
1678: Robert Hooke développe sa“True Theory of Elasticity”
Ut tensio, sic vis (ceiii nosstuv)“The power of any spring is in the sameproportion with the tension thereof.”
Loi de Hooke: s = E e (contrainte = E x déformaiton)où E est le MODULE D’YOUNG (RIGIDITE).
)(es )/( dtdes
dtd, ees
interne" friction" 'G/''G)tan()(''iG)('G)(G
d
)sin(0 tee
)sin(0 dtt t
)cos(.).('')sin(.).(' 00 tGtG eet
Rhéomètres Dynamiques:
Forceage oscillant:
Réponse:
G’, Module Elastique-réponse instantanée-
G’’, Module de perte (visqueux)-retard-
Exemple d’un solide Elastique
Exemple d’un fluide Visqueux Newtonien
Exemple d’un fluide de Maxwell:
0''G'G et m
h.'' and 0' GG
0'' and ' response elastic :.'' and 0' response viscous:0
..'' and .' 222
2
222
22
GGGG
GG
mh
hmmh
hmhm
PâtesHuiles Acier
Appareils de Mesure:
Bilan Energétique:
)(''.2.)('..)(4
)(sin).(''..)2sin().('.2..
20
20
4/
0
220
20
ee
eeet
GGdttT
tGtGdtd
T
P
P
Energie élastique stockée pendant T/4 puis rendue
(par unité de volume et de temps).
Energie Moyenne Dissipée, par unité de temps pendant T/4,
à cause du frottement visqueux >0
eemmagasiné énergiedissipée énergie
'G''Gtand
Facteur de Perte (Frottement Interne)
Facteur de Perte d Matériau
> 100 Polymer or Elastomer (example : Butyl rubber)
10-1 Natural rubber, PVC with plasticizer, Dry Sand, Asphalte, Cork, Composite material with sandwich structure (example 3 layers metal / polymer / metal)
10-2 Plexiglas, Wood, Concrete, Felt, Plaster, Brick
10-3 Steel, Iron, Lead, Copper, Mineral Glass10-4 Aluminium, magnésium
Module Elastique
Cristallisation: G’ augmente, la mobilité décroit
Polymère (PET) Verre Minéral
ZrF4
Exemple de Globules Rouges:
G’
G’’
e(t)/t0
Fluage (creep) Macroscopique dans les Métaux:
Canalisation Romaine en Plomb
Fluage Métaux Céramiques Polymères T > 0,3-0,4 Tm 0,4-0,5 Tm Tg
Dislocation creep: b=0 m=4-6 Non-Lineaire 0.3 Tm<T<0.7 Tm
Nabarro-Herring creep: b=2 m=1 « Newtonien ». diffusion de défauts
T>0.7 Tm
~ 1h
Températures de Fusion, pour P=1 atm, Glace: Tm=273°K, Plomb: Tm=600°K, Tungstène: Tm=3000°K
ms
Limite Théorique
Rhéologie non-linéaire:
F. Varnik (2006) 3D Lenard-Jones Glass
Du Liquide au Solide Amorphe:
Comportements Rhéologiques Non-Linéaires:
Shear softeningEx. peinture, shampoing
(1925) Ostwald avec 1n.Kn.
et
Shear thickeningEx. sable mouillé, huile polymère, silly-putty 1n.K
n.
avec et
Fluide à seuil (plastique)Ex. solides amorphes, pâtes
Casson 1,nBulkley -Herschel 1,n Bingham
.
0 .
.
n
CC
C
K etttt
ett
Ex. Verre de Lennard-JonesTsamados, 2010
avec <1
../ ehes xy
shear softening
Exemple:Systèmes amorphes (verres, colloïdes..)
Ex. Billes de gel polyélectrique
Ex. Ketchup
?mh
Origine Microscopique du comportement non-linéaire?
II. Fracturation
A) Faciès de fractureB) Critères de fracturation
Faciès de fracture:
Fracture Ductile
Fracture Fragile
Fracture Ductile et Fracture Fragile
Rupture Mixte ductile/fragile
Rupture mixte dans un acier austéno-ferritiquerupture ductile de l’austénite (CFC)rupture fragile de la ferrite (CC)
c..K
fr.2
K
0
ijij
s
q
s
Champ de contraintes au voisinage d’une fracture:
Critère naïf de fracturation fragile:
Valeur trop élevée !aa
E.4
e.L.2We.L.a.E
..21W
0
diss0
0él
gs
gss
L
e
c
0
diss
00él
KK
E.2c.
e.dc.2W
e.dc.c2.E
..21W
gs
g
ss
:Griffith de Critère
fissure la créer pour dissipée Energie
:dc de fracture la de avancéel' de lors relaxée élastique Energie
Facteur d’intensité de contraintes
Ténacité
Critère de Irwin-Griffith: préfissuration, longue portée des interactions.
Approche Statistique des critères de fracturation:
Loi de Weibull (1951):
Plus m (module de Weibull) est faible,plus la dispersion est grande
Ex: Acier m=100, Craie m=5 Céramiques techniques m=10
m
00rupt V
Vexp1Pss
Rupture en Fatigue:
stries de fatigue
Sollicitation cyclique:
Lois de fatigue de matériaux sans préfissuration:Rupture contrôlée par l’initiation des fissures.
Fatigue à grand nombre de cycles N>104, smaxet |smin|<sYexemple: pièces en vibrationLoi de Basquin:
Fatigue oligocyclique, smax>sYexemple: pièces soumises à des surchages occasionnellesLoi de Coffin:
1/15a1/8 avec 1a
f CN.s
0.6b0.5 avec 2b
fP CN.e
CC
CFC
Puis, à partir de la loi de Paris :
on détermine le nombre de cycle à rupture par intégration de cette loi :
Lois de fatigue de matériaux Avec préfissuration:Propagation des fissures
Loi de Paris
On calcule tout d'abord la dimension du défaut critique pour K=Kc :
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