1
Silvestre T Pinho
Mestrado em Engenharia MecânicaMecânica não linear
Dra. Lúcia Dinis
Hiperelasticidade
25 de Outubro de 2005
Conclusões
25 de Outubro de 2005 2
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Objectivos
• Perceber o que é hiperelasticidade e porque é que um modelo hiperelásticotem dissipação nula
• Como obter os diferentes tensores das tensões com base na função energia de deformação, para diferentes casos (materiais compressíveis, incompressíveis)
• Conhecer e saber usar algumas formas particulares da função energia de deformação
Conclusões
25 de Outubro de 2005 3
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Sumário da aula
• Introdução
• Notas gerais
• Materais hiperelásticos isotrópicos
• Materiais hiperelásticos incompressíveis
• Materiais hiperelásticos compressíveis
• Formas particulares da energia de deformação
• Recapitulação e conclusões
Conclusões
25 de Outubro de 2005 4
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
O que é hiperelasticidade?
From http://www.fitnessheaven.com/resources/adam03/ency/article/003280.asp
Para os médicos... é uma doença da pele.
Conclusões
25 de Outubro de 2005 5
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
O que é hiperelasticidade?
Modelos Materiais
Não elásticos Elásticos
ε
σ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
Carregamento Descarregamento
ε
σ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 6
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
O que é hiperelasticidade?
Um modelo material elástico (ou Cauchy-elástico) é:
•um modelo material (ou modelo constitutivo) em que a relação tensão vs. deformação é reversível
(seja esta relação linear ou não)
ε
σ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
Carregamento Descarregamento
Conclusões
25 de Outubro de 2005 7
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
O que é hiperelasticidade?
Carregamento Descarregamento
Um modelo material elástico (ou Cauchy-elástico) é:(outra forma da definição)
•um modelo material (ou modelo constitutivo) em que o estado de tensão em cada momento depende apenas do estado de deformação naquele momento (e eventualmente da temperatura), mas não da história de deformação
ε
σ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 8
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
O que é hiperelasticidade?
•No entanto, um modelo material elástico (ou Cauchy-elástico) não garante que o trabalho feito pelo campo de tensões durante um certo intervalo de tempo é independente do percurso
Carregamento Descarregamento
ε
σ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 9
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
O que é hiperelasticidade?
•Se a lei constitutiva puder ser expressa
na forma , isto é, se a função de energia
de deformação Ψ existir, então podemos provar (com base na segunda lei da termodinâmica) que o trabalho feito pelo campo de tensões durante um certo intervalo de tempo é independente do percurso
)(FP f=
FP
∂
Ψ∂=
Conclusões
25 de Outubro de 2005 10
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
O que é hiperelasticidade?Modelos materiais elásticos para grandes deformações
Hipoelásticos Hiperelásticos
Green (1839, 1841)
Os materiais hiperelásticostambém são chamados super-elásticos perfeitamente elásticos ou Green-elásticos
tal que a relação não pode ser derivada de uma função de energia acumulada
( – taxa de tensão de Kirchhoff
d – taxa de deformação)
da :*
=τ
*
τ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 11
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
O que é hiperelasticidade?
•Formalmente, define-se um material hiperelástico como sendo um material para o qual existe uma função de energia livre de Helmholtz (ou energia de deformação ou energia armazenada) ψ tal que:
iK
iKF
P∂
Ψ∂=
∂
Ψ∂= ou
FP
Conclusões
25 de Outubro de 2005 12
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Exemplo de uso de um modelo hiperelástico
Computation of a hyperelastic membrane at finite strains. The deformation (no scaling) is displayed. The material law is based on a polyconvex and coercive strain-energy function proprosed by Hartmann and Neff. The mesh consists of six hexahedral elements of high order (p=7)From http://www.inf.bauwesen.tu-muenchen.de/~duester/projekt_hyper/hyper.html
Conclusões
25 de Outubro de 2005 13
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Notas gerais sobre equações constitutivasEquações constitutivas para materiais hiperelásticos
• Existe uma energia livre de Helmholtz Ψ , a qual é definida por unidade de volume na configuração de referência, e não por unidade de massa.
Material heterogeneo: ( )XF,Ψ=Ψ Materiao homogéneo: ( )FΨ=Ψ
• Se ( )XF,Ψ=Ψ , isto é, a energia livre de Helmholtz
Ψ é apenas função de F (ou outro tensor de deformação, para além (eventualemente) da posição do ponto material), então também é chamada energia de deformação ou energia acumulada.
Conclusões
25 de Outubro de 2005 14
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Notas gerais sobre equações constitutivasEquações constitutivas para materiais hiperelásticos
Por definição de Ψ ,
F
FP
∂
Ψ∂=
)( ou
iK
iKF
P∂
Ψ∂=
)(F
E, tendo em conta a relação entre o tensor das tensões de iK
E, tendo em conta a relação entre o tensor das tensões de Piola-Kirchhoff e o tensor das tensões de Cauchy ( T
J PF1−=σ ), obtemos:
T
J
∂
Ψ∂= −
F
FF
)(1σ ou
T
jK
iKijF
FJ
∂
Ψ∂= − )(1 F
σ
As equações anteriores são designadas por equações As equações anteriores são designadas por equações constitutivas ou equações de estado. O modelo resultante chama-se modelo material ou modelo constitutivo.
Conclusões
25 de Outubro de 2005 15
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Notas gerais sobre equações constitutivasEquações constitutivas para materiais hiperelásticos
Desigualdade de Clausius-Planck (1ª e 2ª leis da termodinâmica), ignorando efeitos térmicos:
&
0intint ≥Ψ−= &wD em que intw é a potencia interna resultante do campo de tensões e pode ser expressa como
2/int
C:SF:P && ==w
e intD é a dissipação interna ou produção local de
entropia.
Conclusões
25 de Outubro de 2005 16
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Notas gerais sobre equações constitutivasEquações constitutivas para materiais hiperelásticos
Para um modelo material hiperelástico,
Logo um modelo material hiperelástico tem produção local de entropia nula.
0intint ≥Ψ−= &wD em que
Para um
int=D
Logo um modelo material hiperelástico tem produção loc
Para um modelo material hiperelástico,
: =∂
Ψ∂− F
FF:P &&
Logo um modelo material hiperelástico tem produção loc
material hiperelástico,
: =
∂
Ψ∂− F
FP &
Logo um modelo material hiperelástico tem produção loc
material hiperelástico,
0
Logo um modelo material hiperelástico tem produção local
Conclusões
25 de Outubro de 2005 17
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Notas gerais sobre equações constitutivasEquações constitutivas para materiais hiperelásticos
Limitações para a função Ψ : • (condição de normalização)
• 0)( =Ψ I (condição de normalização) •• E logo para a configuração deformada 0)( ≥Ψ F
• ∞→Ψ⇒∞→ )(FJ
• ∞→Ψ⇒→ +)(0 FJ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 18
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Notas gerais sobre equações constitutivasFormas equivalentes da energia de deformação
Objectividade:
• a energia de deformação de um material deformado não é afectada por uma subsequente rotação e/ou translação do material deformado
Pode-se demonstrar a partir da objectividade da energia de deformação que
• )()( QFF Ψ=Ψ para qualquer tensor ortogonal Q
• Para TRQ = , conclui-se que )()( UF Ψ=Ψ
(decomposição polar)
Conclusões
25 de Outubro de 2005 19
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Notas gerais sobre equações constitutivasFormas reduzidas das equações constitutivas
Usando a regra da diferenciação em cadeia, é possível provar que:
T
T
FC
C
F
F
∂
Ψ∂=
∂
Ψ∂ )(2
)(
O que pode ser usado para obter formas reduzidas das O que pode ser usado para obter formas reduzidas das equações constitutivas em termos das:
• Tensões de Cauchy equações constitutivas em termos das:
• Tensões de Cauchy •
Tensões de Cauchy • Primeiras tensões de Piola-Kirchhoff • Segundas tensões de Piola-Kirchhoff • Segundas tensões de Piola-Kirchhoff
Conclusões
25 de Outubro de 2005 20
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Notas gerais sobre equações constitutivasFormas reduzidas das equações constitutivas
Tensões de Cauchy
T
TT
JJ FC
CF
F
FF
∂
Ψ∂=
∂
Ψ∂= −− )(
2)( 11σ ou
jL
T
KL
iK
T
jK
iKij FC
FJF
FJ
∂
Ψ∂=
∂
Ψ∂= −− )(
2)( 11 CF
σ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 21
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Notas gerais sobre equações constitutivasFormas reduzidas das equações constitutivas
Primeiras tensões de Piola-Kirchhoff
C
CFP
∂
Ψ∂=
)(2 ou
KL
iLiKC
FP∂
Ψ∂=
)(2
C
Segundas tensões de Piola-Kirchhoff
E
E
C
CS
∂
Ψ∂=
∂
Ψ∂=
)()(2 ou
KLKL
iKEC
S∂
Ψ∂=
∂
Ψ∂=
)()(2
EC
Conclusões
25 de Outubro de 2005 22
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Notas gerais sobre equações constitutivasTrabalho feito por materiais hiperelásticos
=W
inicial e final: independente da trajerctória. • Para processos fechados (
21FF = ), o trabalho é
sempre nulo.
d2
1
F:P =∫t
t
t& d)(2
1
F:F
F=
∂
Ψ∂∫t
t
t& )()( 12 FF Ψ−Ψ=
• Ao contrário de materiais Cauchy-elásticos, o trabalho feito pelo campo de tensões num material hiperelástico depende apenas das configurações inicial e final: independente da trajectória.
d)(
2
1
F=
Ψ∫t
t
tDt
D
Conclusões
25 de Outubro de 2005 23
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais isotrópicos hiperelásticosDefinições
• A resposta do material (tensão vs. deformação) é a mesma em todas as direcções.
•• Formalmente, em hiperelasticidade, pode ser
demonstrado que um material é isotrópico quando )()(
TFQF Ψ=Ψ para qualquer tensor ortogonal Q
• Alternativamente, a condição anterior pode ser expressa como: )()(
TQCQC Ψ=Ψ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 24
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais isotrópicos hiperelásticosEquações constitutivas em termos de invariantes
• Pode-se demonstrar que se uma função tensorial (Ψ ) é invariante perante uma rotação (isotropia), então pode ser expressa em termos dos invariantes do seu argumento:
[ ])(),(),()( 321 CCCC IIIΨ=Ψ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 25
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais isotrópicos hiperelásticosEquações constitutivas em termos de invariantes
Aplicando regra da diferenciação em cadeia,
∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂−
∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂=
∂
Ψ∂= −1
3
3
22
1
1
2)(
2 CCIC
CS
II
III
I
Conclusões
25 de Outubro de 2005 26
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais isotrópicos hiperelásticosEquações constitutivas em termos de invariantes
E, tendo em conta a relação entre o segundo tensor das tensões de Piola-Kirchhoff e o tensor das tensões de Cauchy ( T
J FSF1−=σ ) e que T
FFb = , obtemos:
∂
Ψ∂−
∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂= − 2
22
1
13
3
12 bbI
III
IIIJσ ou
∂
Ψ∂−+
∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂= −− 1
2
3
13
3
2
2
12 bbI
II
III
IIJσ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 27
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais isotrópicos hiperelásticosEq. constitutivas em termos dos alongamentos relativos principais
• Se Ψ é invariante, então pode ser expressa em termos dos alongamentos relativos principais:
[ ])(),(),()( 321 CCCC λλλΨ=Ψ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 28
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais hiperelásticos incompressíveisIntrodução
• Vários tipos de polímeros e tecidos vivos (biomacânica) podem ser consideravelmente deformados sem apreciáveis alterações de volume
•• Para esses casos, é comum tratá-los como
incompressíveis • Condição de incompressibilidade: • Condição de incompressibilidade: 1=J •
Conclusões
25 de Outubro de 2005 29
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais hiperelásticos incompressíveisFunção de energy de deformação
Condição de incompressibilidade: • Para obter equações constitutivas para um material
hiperelástico incompressível, postula-se a seguinte função de energia armazenada:
)1()( −−Ψ=Ψ JpF
onde p é um multiplicador de Lagrange que se pode identificar com a pressão hidrostática.
• só pode ser determinado a partir das equações de identificar com a pressão hidrostática. • p só pode ser determinado a partir das equações de
equilíbrio e das condições de fronteira
Conclusões
25 de Outubro de 2005 30
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais hiperelásticos incompressíveisFunção de energy de deformação
Por definição de material hiperelástico, o primeiro tensor de Piola-Kirchhoff vem:
F
FFP
∂
Ψ∂+−= − )(T
p
O segundo tensor de Piola-Kirchhoff pode ser obtido como: F∂
O segundo tensor de Piola-Kirchhoff pode ser obtido como:
C
CC
F
FFFFS
∂
Ψ∂+−=
∂
Ψ∂+−= −−−− )(
2)( 111
ppT
E o tensor de Cauchy vem: CF ∂∂
E o tensor de Cauchy vem: T
T pp
∂
Ψ∂+−=
∂
Ψ∂+−=
F
FFIF
F
FI
)()(σ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 31
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais hiperelásticos incompressíveisHiperelasticidade isotrópica incompressível
• Uma função de energia de deformação apropriada é dada por
1[ ] )1(2
1,
321−−Ψ=Ψ IpII
• O segundo tensor das tensões de Piola-Kirchoff é 2
• O segundo tensor das tensões de Piola-Kirchoff é dado por:
CICS22
1
1
122
III
Ip
∂
Ψ∂−
∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂+−= −
• E o tensor das tensões e Cauchy 1
21
22−
∂
Ψ∂−
∂
Ψ∂+−= bbI
IIpσ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 32
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais hiperelásticos incompressíveisHiperelasticidade isotrópica incompressível
• Em termos dos alongamentos relativos principais,
( ) )1(2
1,, 321 −−Ψ=Ψ Jpλλλ
As tensões principais de Cauchy podem ser obtidas como:
i
ii pλ
λσ∂
Ψ∂+−=
E as tensões principais de Piola-Kirchhoff E as tensões principais de Piola-Kirchhoff
ii
i pPλλ ∂
Ψ∂+−=
1 e
iii
i pSλλλ ∂
Ψ∂+
−=
112
Conclusões
25 de Outubro de 2005 33
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais hiperelásticos compressíveisIntrodução
• Um material que pode sofrer variações de volume é dito compressível. As espumas são exemplos de materiais que suportam deformações finitas com mudança de volume
• É útil dividir-se o comportamento do material numa
componente volumétrica e numa componente isocórica (ou de desvio ou de corte). Por exemplo para materiais quase incompressíveis, esta divisão evita complicações numéricas ao usar elementos finitos
Conclusões
25 de Outubro de 2005 34
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais hiperelásticos compressíveisDecomposição
• Decomposição de F e C numa componente dilatacional (volume variável) e distorcional (volume constante):
( )FIF3/1
J= e ( )CIC3/2
J=
• C tensor direito de Cauchy-Green modificado
( )
• F gradiente de deformação modificado
• 1det321
== λλλF ( ) 1detdet2
== FC
• ii J λλ 3/1−= - alongamentos relativos principais modificados
Componente dilatacional componente distorcional
Conclusões
25 de Outubro de 2005 35
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais hiperelásticos compressíveisEnergia de deformação
Postula-se que a função de energia de deformação pode ser desacoplada: deacoplada:
)()()(isovol
CC Ψ+Ψ=Ψ J Usando a expressão da segunda lei da termodinâmica sob a
Conclusões
25 de Outubro de 2005 36
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais hiperelásticos compressíveisDissipação
Usando a expressão da segunda lei da termodinâmica sob a forma da desigualdade de Clausius-Plank,
&
0intint ≥Ψ−= &wD em que intw é a potencia interna resultante do campo de tensões e pode ser expressa como
2/int C:SF:P && ==w
e intD é a dissipação interna ou produção local de entropia...
Conclusões
25 de Outubro de 2005 37
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Materiais hiperelásticos compressíveisDissipação� Lei constitutiva
...pode obter-se para um material hiperelástico (dissipação nula):
02
:d
)(d2:
d
)(diso3/21vol
int =
Ψ−
Ψ−= −− C
C
CCS
&
PJJ
JJD
• O termo entre parenteses é nulo e permite definir as segundas tensões de Piola-Kirchhoff para um material hiperelástico compressível, as quais podem ser divididas numa componente volumétrica e numa componente isocórica...
Conclusões
25 de Outubro de 2005 38
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoIntrodução
• A resposta de materiais hiperelásticos é derivada da função de energia de deformação Ψ
• Existem várias formas para essa função, propostas
• Existem várias formas para essa função, propostas por diferentes autores
Conclusões
25 de Outubro de 2005 39
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis
Modelo de Ogden para materais incompressíveis (borracha) • Função energia de deformação em termos dos • Função energia de deformação em termos dos
alongamentos relativos principais:
( ) ( )3,,321
1
321−++=Ψ=Ψ ∑
=
ppp
N
p p
p αααλλλ
α
µλλλ
• - número inteiro positivo que controla o número • N - número inteiro positivo que controla o número de termos
• pµ - módulos de corte
• α• pα - constantes adimensionais
• 3=N � excelente correlação com dados experimentais
Conclusões
25 de Outubro de 2005 40
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis
Modelo de Ogden para materais incompressíveis (borracha) • Função energia de deformação em termos dos
Exemplo Considere uma membrana incompressível hiperelástica sob deformação biaxial. O campo de deslocamentos pode ser expresso em termos dos alongamentos relativos principais de acordo com:
111Xx λ= ,
222Xx λ= ,
3
21
3
1Xx
λλ= .
Determine o campo de tensões de Cauchy em função dos alongamentos relativos principais, usando o modelo de Odgen.
Conclusões
25 de Outubro de 2005 41
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis
Modelo de Ogden para materais incompressíveis (borracha) • Função energia de deformação em termos dos Solução:
Ψ∂1. Material incompressível:
i
ii pλ
λσ∂
Ψ∂+−=
2. Modelo de Odgen:
( ) ( )3,, 321
1
321 −++=Ψ=Ψ ∑=
ppp
N
p p
p αααλλλ
α
µλλλ
3. Incompressibilidade: 21
3
1
λλλ =
4. Substituindo (2) em (1): 4. Substituindo (2) em (1):
( )p
i
N
p
pi pα
λµσ ∑=
+−=1
Conclusões
25 de Outubro de 2005 42
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis
Modelo de Ogden para materais incompressíveis (borracha) • Função energia de deformação em termos dos
4. Substituindo (2) em (1):
( )p
i
N
p
pi pα
λµσ ∑=
+−=1
5. ?=p 5. ?=p
Estado plano de tensão: 03
=σ Usando (4) com 3=i , obtem-se
( )p
N
p
ppα
λµ3
1
∑=
=
Conclusões
25 de Outubro de 2005 43
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis
Modelo de Ogden para materais incompressíveis (borracha) • Função energia de deformação em termos dos Usando (4) com 3=i , obtem-se
( )p
N
p
ppα
λµ3
1
∑=
=
λ6. Pode-se substituir p (obtido em (5)) e exprimir 3
λ em
função de 1
λ e 2
λ (3):
[ ]( )[ ]pp
N
p
p
ααλλλµσ
−
=
−=∑ 211
1
1
( )[ ]pp
N
p
p
ααλλλµσ
−
=
−=∑ 212
1
2
Conclusões
25 de Outubro de 2005 44
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis
Modelos de Mooney-Rivlin, neo-Hookean e Varga para materiais incompressíveis
• São casos particulares do modelo de Ogden
Conclusões
25 de Outubro de 2005 45
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis
Modelo de Mooney-Rivlin para materais incompressíveis
É igual ao modelo de Odgen
( ) ( )3,,321
1
321−++=Ψ=Ψ ∑
=
ppp
N
p p
p αααλλλ
α
µλλλ com 2=N , 2
1=α
e 22
−=α : e 2 :
( ) ( )( ) ( )33
33
2211
2
3
2
2
2
12
2
3
2
2
2
11
−+−=Ψ
−+++−++=Ψ −−−
IcIc
cc λλλλλλ
Com 2/
11µ=c e 2/
22µ=c
Conclusões
25 de Outubro de 2005 46
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis
É igual ao modelo de Odgen
( ) ( )3,,321
1
321−++=Ψ=Ψ ∑
=
ppp
N
p p
p αααλλλ
α
µλλλ com 1=N e
21 =α :
1
( )( )3
3
11
2
3
2
2
2
11
−=Ψ
−++=Ψ
Ic
c λλλ
Modelo neo-Hookean para materais incompressíveis
Conclusões
25 de Outubro de 2005 47
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis
Modelo de Varga para materais incompressíveis
É igual ao modelo de Odgen
( ) ( )3,,321
1
321−++=Ψ=Ψ ∑
=
ppp
N
p p
p αααλλλ
α
µλλλ com 1=N e
11
=α : 1
( )33211
−++=Ψ λλλc com 11µ=c
Conclusões
25 de Outubro de 2005 48
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis - exemplo
Exemplo Insuflamento de um balão atmosférico. Objectivo: Calcular a pressão dentro do balão p e a tensão circunferencial (de Cauchy) σ em função do alongamento relativo circunferencial.
Conclusões
25 de Outubro de 2005 49
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis - exemplo
p
h, r
Geometria corrente
Geometria inicial
H=0.1 m
R=10 m
Conclusões
25 de Outubro de 2005 50
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis - exemplo
Geometria: Raio inicial: m10=R Espessura inicial: m1.0=H Propriedades mecânicas ( 2
N/m5
10225.4 ⋅=µ ): Ogden:
2
2
2
N/m
N/m
N/m
5
33
5
22
5
11
101.00.2
10012.00.5
103.63.1
⋅−=−=
⋅==
⋅==
µα
µα
µα
Mooney-Rivlin: µ4375.0
1=c e µ0625.0
2=c
Neo-Hookean: µ2
1=c
Conclusões
25 de Outubro de 2005 51
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis - exemplo
1. Devido à simetria, 21
λλλ == 2. Usando a solução do exercício anterior: 2. Usando a solução do exercício anterior:
( )[ ]pp
N
p
p
ααλλλµσ
−
=
−=∑ 211
1
1
( )[ ]pp
N
p
p
ααλλλµσ
−
=
−=∑ 212
1
2
E a simetria, obtemos:
[ ]pp
N
p
p
ααλλµσ
2
1
−
=
−=∑
Conclusões
25 de Outubro de 2005 52
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis - exemploE a simetria, obtemos:
[ ]pp
N
p
p
ααλλµσ
2
1
−
=
−=∑
3. A pressão é determinada pelas equações de equilíbrio:
Conclusões
25 de Outubro de 2005 53
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis - exemplo
p σσ
r
σr
hp 2=
h
Conclusões
25 de Outubro de 2005 54
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis - exemploE a simetria, obtemos:
[ ]pp
N
p
p
ααλλµσ
2
1
−
=
−=∑
3. A pressão é determinada pelas equações de equilíbrio:
σr
hp 2=
r
4. cinemática: =λ5. Incompressibilidade:
Conclusões
25 de Outubro de 2005 55
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis - exemplo
2πR
2πr
R
r=λ
H
h
H
h=3λ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 56
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis - exemploE a simetria, obtemos:
[ ]pp
N
p
p
ααλλµσ
2
1
−
=
−=∑
3. A pressão é determinada pelas equações de equilíbrio:
σr
hp 2=
r
4. cinemática: Rr /=λ 4. cinemática: Rr / 5. Incompressibilidade: λλ /13 = 2 5. Incompressibilidade: 3 6. Usando (2), (3), (4), (5) e (6):
[ ]323
1
2−−−
=
−= ∑ pp
N
p
pR
Hp
ααλλµ
Hh /3
=λ
Conclusões
25 de Outubro de 2005 57
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis - exemplo
0
10
20
30
40
1 3 5 7 9
Alongamento relativo λ
Tensão de Cauchy (MPa)
Ogden
Mooney-Rivlin
neo-Hookean
Varga
Conclusões
25 de Outubro de 2005 58
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis - exemplo
0
2
4
6
1 3 5 7 9
Alongamento relativo
Pressão interna (kPa) Ogden
Mooney-Rivlin
neo-Hookean
Varga
Conclusões
25 de Outubro de 2005 59
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis
Modelos de Yeoh, e de Arruda e Boyce para materiais incompressíveis
incompressíveis • Adequado para borracha contendo negro de carbono
e/ou sílica
Conclusões
25 de Outubro de 2005 60
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis
Modelo de Yeoh para materiais incompressíveis
( ) ( ) ( )3
33
2
2211333 −+−+−=Ψ IcIcIc
Modelo de Arruda e Boyce
• Com base numa expansão de Taylor • Com base numa expansão de Taylor
( ) ( )( ) ( ) ( )
+−+−+−=Ψ ...27
1050
119
20
13
2
1 3
12
2
11I
nI
nIµ
onde n é o número de segmentos numa cadeia
Conclusões
25 de Outubro de 2005 61
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Modelo de Ogden para materiais compressíveis
),,()(321isovol
λλλΨ+Ψ=Ψ J
Com ( )1ln)(
2
vol−+=Ψ −− ββκβ JJJ
( )∑=
−=ΨN
p
i
p
p p
1
321iso 1),,(α
λα
µλλλ
Formas da função energia de deformaçãoMateriais compressíveis
Conclusões
25 de Outubro de 2005 62
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Modelo de Simo e Miehe: Igual ao modelo de Odgen, mas com Modelo de Simo e Miehe: Igual ao modelo de Odgen, mas com
( )JJJ ln214
1)(
2
vol−−=Ψ κ
4
• É possível formular os modelos de Mooney-Rivlin, neo-Hookean, Varga, e de Arruda e Boyce para materiais compressíveis, usando o mesmo formalismo
Formas da função energia de deformaçãoMateriais compressíveis
Conclusões
25 de Outubro de 2005 63
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Recapitulação
• O que é hiperelasticidade e porque é que um modelo hiperelástico tem dissipação nula
• Como obter os diferentes tensores das tensões com base na função energia de deformação, para diferentes casos (materiais compressíveis, incompressíveis)
• Como usar algumas formas particulares da função energia de deformação
Conclusões
25 de Outubro de 2005 64
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Conclusões
• Modelo hiperelástico � dissipação nula
• Hiperelasticidade + Mecânica não linear �descrição adequada do comportamento de vários materiais reais (eg borrachas) no domínio das grandes deformações
• Para cada material (ou tipo de material), deve ser escolhida uma forma apropriada da função energia de deformação
Conclusões
25 de Outubro de 2005 65
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Referências
• G A Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics, A continuum approach for enginneers. John Wiley & Sons Ldt, England, 2000.
• L E Malvern. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice-Hall, Inc, USA, 1969.
• I Doghri. Mechanics of Deformable Solids, Linear and nonlinear, analytical and computational aspects. Springer-Verlag, Germany, 2000.
• V A Lubarda. Elastoplasticity theory. CRC Press LLC, 2002
• G T Mase, G E Mase. Continuum Mechanics for Engineers, Second Edition, CRC Press LLC, 1999
Conclusões
25 de Outubro de 2005 66
Introdução
Notas gerais
Mat. Isotróp.
Incompres.
Compres.
Formas part.
Apontamentos
• Esta apresentação (em formato pdf) encontra-se em:
http://www.fe.up.pt/~ldinis
e em
http://www.fe.up.pt/~stpinho
• Perguntas?
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