Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________
79
X. NIELINIOWOŚĆ GEOMETRYCZNA, ZAGADNIENIE STATECZNOŚCI
Źródła nieliniowości: – duże przemieszczenia, duże gradienty przemieszczeń, – duże odkształcenia.
W przypadku dużych przemieszczeń: – obciążenie zachowawcze (potencjalne): nie zmienia swojej wielkości i orientacji na wsku-
tek przemieszczeń konstrukcji, – obciążenie niezachowawcze (nie konserwatywne): zmienia swoją orientacje w zależności
od przemieszczeń konstrukcji, np. obciążenie śledzące, zawsze prostopadłe do aktualnej powierzchni ciała
1. Sformułowanie zagadnienia nieliniowo - geometrycznego w MES
Założenia: małe odkształcenia, duże przemieszczenia, obciążenia konserwatywne, opis Lagrange’a ( względem konfiguracji odniesienia).
Równanie równowagi wynikające z zasady pracy przygotowanej
0tufuε =Ω∂δ−Ωρδ−Ωδ ∫∫∫Ω∂ΩΩ
)(dˆdˆd TTTσ , (10.1)
stąd ( ) 0d =−Ω∫= Τ
ΩQΒqΨ σ , (10.2)
równanie to jest słuszne dla dowolnego typu nieliniowości. Wektor ( )qΨ jest wektorem różnicy sił węzłowych pochodzących od oddziaływań wewnętrznych i zewnętrznych. W warunkach rów-nowagi wektor ten jest równy zeru.
Związki geometryczne qqΒε dd )(= , (10.3)
gdzie macierz )(qΒ jest liniowa funkcja parametrów q
)(L0 qΒΒΒ += , (10.4)
gdzie B0 - jak dla infinitezymalnych odkształceń.
Rys. 10.1. Obciążenie śledzące
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________
80
Związki fizyczne – prawo Hooke’a dla małych odkształceń ( ) 00 σεεσ +−= D , (10.5)
gdzie: σ0 - naprężenia początkowe, np. sprężenie; ε0 - odkształcenia niemechaniczne; np. skurcz, temp.
Nieliniowe związki fizyczne nie zmieniają zasadniczo algorytmu rozwiązania.
Rozwiązanie równania (2)
Jest to równanie nieliniowe, które należy rozwiązać jedna z metod. W tym celu należy wyzna-czyć styczną macierz sztywności qKΒΒΨ dddddd Τ
Τ
Ω
Τ
Ω=Ω∫+Ω∫= σσ , (10.6)
gdzie przyrosty: qΒDεD ddd ==σ ,
Ldd ΒΒ = ,
stąd
( ) ( ) =⋅Ω++∫+Ω∫=⋅Ω∫+Ω∫=Ω
Τ
Ω
Τ
Ω
Τ
ΩqΒΒDΒΒΒqΒDΒΒΨ ddddddddd L0
TL0LL σσ
( ) qDΒΒDΒΒDΒΒDΒΒΒ ddddd L0LL0L00L⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Ω+++Ω+Ω∫= ∫∫
Ω
ΤΤΤ
Ω
ΤΤ
Ωσ , (10.7)
qK dσ 0K uK
gdzie
)(u qK - macierz początkowych przemieszczeń (macierz dużych przemieszczeń),
0K - macierz sztywności, małych przemieszczeń,
)(qK σ - macierz początkowych naprężeń.
Ostatecznie: ( ) qKqKKKΨ ddd u0 Τσ =++= , (10.8)
gdzie: KT - styczna macierz sztywności.
Algorytm rozwiązania
Przykładowo równanie (1) ( ) 0QΒqΨ =−Ω∫= Τ
Ωdσ , (10.9)
rozwiązujemy metodą iteracyjną nieprzyrostową korzystając z równania iiii
i dΨQdqK ⇒+⋅α=− )( 1T , (10.10)
gdzie iii dqq += −1 ,
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________
81
⎩⎨⎧
>=
=α1 dla01 dla1
ii
.
Przyjmujemy na początku kroku 0q =0 .
Niech i = 1,
a) wyznaczamy 001T )( KqK = ,
b) wyznaczamy 0Ψ =1 ,
c) rozwiązujemy równanie QKdQdK 10110
−=⇒= ,
d) stąd 11 dq = ,
e) niech i = i+1, f) wyznaczamy )()()( 1101
iT −σ−− ++= iiui qKqKKqK ,
g) wyznaczamy QqσqΒΨ −Ω∫= −−Ω
d)()( 11 iii ,
h) rozwiązujemy równanie ii
iiiii
i ΨqKdΨdqK 11T1T ))(()(−
−− =⇒= ,
i) stąd 11 dqq += −ii ,
j) przechodzimy do punktu e) dopóki spełniony jest warunek ε>iΨ , gdzie ε - mała liczba.
2. Zagadnienie stateczności początkowej
Jest to zlinearyzowane zagadnienie stateczności.
Zakładamy : a) 0u ≡K
Rys. 10.2
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________
82
b) naprężenia są proporcjonalne do mnożnika obciążenia, jeżeli oznaczyć: ( )( ) ** σσ = KQK σ , to dla obciążenia *QQ λ= macierz naprężeń początkowych będzie równa *σσ λ= KK .
Układ jest w równowadze obojętnej pod obciążeniem krytycznym *krQλ jeżeli
( ) 0qKKΨ =λ+= σ dd *kr0 . (10.11) Układ równań ma nietrywialne rozwiązanie, jeżeli det ( ) 0*kr0 =λ+ σKK . (10.12) Zagadnienie sprowadza się do poszukiwania wartości własnych. Najmniejsza wartość własna jest poszukiwanym rozwiązaniem .}min{ krλ=λ i
3. Nieliniowa stateczność
Jest to najbardziej ogólne zagadnienie stateczności.
Rozważamy zagadnienie jednoparametrowego obciążenia, co oznacza, że wszystkie obciążenia rosną proporcjonalnie do jednego mnożnika λ *QQ λ= . (10.13)
Ścieżka równowagi to krzywa w przestrzeni parametrów węzłowych oraz parametru λ },......,{ ,21 λnqqq . Zwykle analizujemy rzut tej ścieżki na płaszczyznę α×λ q , gdzie αq jest wio-
dącym parametrem.
Na rys. 10.3: B – punkt bifurkacji, 21,GG - punkty graniczne.
Ogólnie punkt bifurkacji i punkty graniczne określone są jako punkty krytyczne.
Rys. 10.3. Punkty krytyczne na ścieżce równowagi
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________
83
Podstawowa ścieżka równowagi to taka, dla której ( ) 00 =q . W punktach bifurkacji ścieżka roz-dwaja się na podstawową i wtórną.
Lokalna i globalna utrata stateczności. – lokalna utrata stateczności → następuje przeskok na ścieżkę stateczną, – globalna utrata stateczności → przemieszczenia rosną nieograniczenie.
4. Wiodące stopnie swobody
Bardzo często w przypadku bifurkacyjnej utraty stateczności obserwuje się: – przed utrata stateczności tylko część parametrów jest aktywna, tzn. mają znacznie większe
wartości od pozostałych parametrów, oznaczamy je przez qp – po bifurkacji uaktywniają się inne parametry, oznacza je wb.
Ścieżki równowagi można analizować w przestrzeni parametrów qp traktując je jako parametry wiodące lub wb. Analizując typy punktów bifurkacji wygodniej jest jako parametry wiodące przyjmować parametry wb – do momentu bifurkacji przyjmują one często wartości bliskie zeru.
Rys. 10.4
Rys. 10.5
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________
84
5. Układy idealne i imperfekcyjne
Układ idealny to układ z idealną geometrią i idealnym schematem obciążenia (np. słup idealnie prosty, obciążony siłą idealnie osiową).
W rzeczywistości, w praktyce mamy do czynienia z układami imperfekcyjnymi. W takim przy-padku zwykle na ścieżce równowagi zamiast punktów bifurkacji mamy punkty graniczne (patrz rysunki).
Typu punktów bifurkacji stanów równowagi.
Analizujemy jednokrotne punkty bifurkacji w układzie pobifurkacyjnych parametrów wiodących wb .
W zależności od punktu bifurkacyjnego, rzeczywista konstrukcja zachowuje się jako: niestatecz-na lub stateczna.
Warunki stateczności układu.
Warunkiem koniecznym stateczności układu jest dodatnia określoność energii potencjalnej.
Jeżeli układ jest w równowadze to 0p =Πδ , (10.14)
oraz 0p
2 >Πδ − stan równowagi statecznej,
0p2 =Πδ − stan równowagi krytycznej (obojętnej), (10.15)
0p2
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________
85
lub 0=ΔΔ Τ
Τ qKq , (10.17)
co pociąga za sobą warunek zerowania się wyznacznika macierzy stycznej ( ) 0,det =λ≡ Τ qKD . (10.18)
W takim przypadku spełniony jest wzór Cramera λΔ=Δ dqD , (10.19)
gdzie
*βαβ
α ∂∂
= QKDd dla N....,2,1=α . (10.20)
Wg wzoru Cramera wyznacznik D jest równy zeru w następujących przypadkach a) 0d ≠ 0=λΔ - punkt graniczny, b) 0d = 0≠λΔ - punkt bifurkacji.
6. Analiza stateczności poprzez zagadnienie własne
Sposób 1:
Mamy przyrostowe równanie równowagi *QqK λΔ=ΔΤ . (10.21)
Przekształcamy macierz styczną ΤK do postaci diagonalnej. W tym celu formułujemy standar-dowe zagadnienie własne ( ) 0WIK =κ−Τ . (10.22)
Ponieważ ΤK jest symetrycznie i dodatnio określone to otrzymujemy z równania (22) N pier-wiastków rzeczywistych Nκκκ ,...,, 21 i wektory własne Nwww ,...,, 21 , które stanowią macierz wektorów własnych [ ]NwwwW ,...,, 21= . (10.23)
Korzystając z powyższego, równanie (1) przekształca się do postaci *κκκ λΔ=Δ QqK , (10.24)
gdzie qWq Δ=Δ κ ,
** QWQ Τκ = , (10.25)
WKWK ΤΤ
κ = , ],...,,[diag 21 Nκκκ=κK . (10.26)
Wyznacznik κK łatwo obliczyć
....)det( 321 ND κ⋅⋅κ⋅κ⋅κ== κK (10.27)
Jeżeli wartości własne są uszeregowane wzrastająco, to pierwszy punkt krytyczny mamy dla ⇒=⇒=κ 001 D W takim razie prawa strona pierwszego równania z układu (3) odpowiadają-
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________
86
ca pierwszej wartości własnej musi być zero: 0*1
* =λΔ=λΔ Τκ QwQ , (10.28)
stąd mamy dwa przypadki:
a) →≠=λΔ Τ 0i0 *1 Qw punkt graniczny, b) →=≠λΔ Τ 0i0 *1 Qw punkt bifurkacji.
Wynika stad, że w punkcie bifurkacji *1 Qw ⊥ (wektor formy wyboczenia prostopadły do wek-tora obciążenia).
Podobnie można analizować pozostałe wartości własne pojedyncze lub wielokrotne. Opowiadają im albo punkty graniczne lub kolejne punkty bifurkacji.
Sposób 2
Wychodzimy z założenia, że w punkcie krytycznym równanie przyrostowe MES może mieć więcej niż jedno rozwiązanie tzn. będą spełnione równania *1 QqK λΔ=ΔΤ i
*22 QqK λΔ=ΔΤ (10.29)
gdzie 21, qq ΔΔ są odpowiednio rozwiązaniami na dwóch ścieżkach równowagi wychodzących z punktu bifurkacji.
Po odjęciu stronami mamy: 0=ΤvK , (10.30)
gdzie 21 qqv Δ−Δ= .
Macierz styczną przedstawiamy w postaci ( ) ( ) ( )σKuuKuKKK σ+++=Τ ,2u1u0 . (10.31)
Zakładamy, że na odcinku [ ]ttt Δ+, macierz ΤK jest funkcja małego parametru ( )1,0∈τ i zapi-suje się w postaci ( ) ( )σσuuKK Δτ+Δτ+=τ ΤΤ , . (10.32)
Po rozwinięciu ( )τΤK w szereg Taylora w otoczeniu 0=τ mamy
( ) ...21)0( 22 +ττ∂
∂+τ
τ∂∂
+=τ ΤΤΤΤKKKK (10.33)
Stąd otrzymujemy uogólnione kwadratowe zagadnienie własne
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) 0},,,],{[
2u2
2u2u1uu0
=ΔΔτ+
+Δ+Δ+Δ+Δτ+++ δδvuuK
uuKuuKuKσKuuKσKK (10.34)
Jest to złożone kwadratowe zagadnienie własne – trudne do rozwiązania.
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________
87
Sposób 3
Podobny do sposobu 2 z tym że przyrost macierzy stycznej liczymy bezpośrednio ( ) ( )qKqqKK Τ−Δ+=Δ ΤΤ , (10.35)
stąd zag. własne ma postać ( )[ ] 0vKqK =Δτ+ ΤΤ . (10.36)
Po rozwiązaniu zagadnienia własnego wyznaczamy τkr jako minimalną wartość własną. Jeżeli )1,0(kr ∈τ to oznacza, że na analizowanym odcinku przyrostu obciążenia występuje punkt kry-
tyczny.
7. Zagadnienie dużych przemieszczeń w płytach cienkich
1. Założenia – analizuje się cienką płytę dla której słuszne są założenia kinematyczne Kirhhoffa- Love, – płytę traktuje się jako zagadnienie dwuwymiarowe i wszystkie pola fizyczne opisujące teo-
rię płyty są polami dwuwymiarowymi na powierzchni środkowej płyty, – w przypadku dowolnego obciążenia w płycie wyróżnia sie stan tarczowy i zgięciowy, – dla zagadnień liniowych stany tarczowy i zgięciowy płyty separują się względem siebie, w
przypadku uwzględnienia nieliniowości geometrycznej stany te są częściowo sprzężone; w klasycznym ujęciu uwzględnia się jedynie wpływ stanu zgięciowego na stan tarczowy,
– w opisie teorii płyty będą konsekwentnie wyróżniane pola związane ze stanem tarczowym i zgięciowym oznaczane odpowiednio: ( . )t i ( . )p.
2. Podstawowe równania teorii powłok cienkich
a) Stan przemieszczenia
Przyjmuje się ortogonalny układ współrzędnych taki, że osie x i y leżą w płaszczyźnie środkowej płyty. Stan przemieszczenia definiuje wektor przemieszczenia.
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=),(),(),(
),( pt
yxwyxvyxu
yxuuu . (10.37)
b) Stan odkształcenia, wektor odkształcenia
Związki geometryczne określają zależności pomiędzy uogólnionymi odkształceniami a funkcja-mi przemieszczenia. Uogólnionymi odkształceniami stanu tarczowego są odkształcenia po-wierzchni środkowej płyty w jej płaszczyźnie, natomiast uogólnionymi odkształceniami stanu zgięciowego są krzywizny powierzchni środkowej. W definicji odkształceń εt uwzględnia się człony nieliniowe związane z przemieszczeniem w(x,y) (patrz rys. 10.8).
Rys. 10.7. Schemat płyty cienkiej
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________
88
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+= ...211d1d'd
22
xwx
xwxx (10.38)
,
2
2121
2
2
2
2
2
2
2
p
t
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂
−
∂∂
−
∂∂
−
∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
χκκγεε
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
yxw
yw
xw
yw
xw
xv
yu
yw
yv
xw
xu
y
x
xy
y
x
εε
ε (10.39)
c) Stan naprężenia, siły wewnętrzne, wektor naprężeń
Stan naprężenia definiowany jest poprzez siły wewnętrzne. Dla stanu tarczowego są nimi siły przekrojowe, natomiast dla stanu zgięciowego momenty zginające i skręcające. Wektor napręże-nia zapisano w postaci
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
xy
y
x
xy
y
x
MMMNNN
p
t
σσ
σ . (10.40)
d) Liniowe związki konstytutywne mają postać
Rys. 10.8
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________
89
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⇒= pt
p
t
p
t
εε
σσ
εσD00DD . (10.41)
3. Model dyskretny MES
Poniżej zdefiniowano podstawowe wielkości i równania związane z modelem MES płyty. Wszystkie równania zapisano na poziomie zintegrowanego modelu, bez odwoływania się do funkcji na poziomie poszczególnych elementów.
a) Parametry węzłowe – w węźle i-tym
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
θθ
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
yi
xi
i
i
i
i
ii w
vu
p
t
qqq (10.42)
– globalny wektor parametrów węzłowych modelu dyskretnego płyty
[ ]T321 ,...,,, Nqqqqq = . (10.43) b) Interpolacja funkcji przemieszczenia, funkcje kształtu
Stany tarczowy i zgięciowy interpolowane są niezależnie. Funkcje interpolacyjne (funkcje
Rys. 10.9. Siły wewnętrzne w płycie
Rys. 10.10. Model dyskretny obszaru płyty
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________
90
kształtu) dla stanu tarczowego muszą należeć do przestrzeni H1 (co najmniej), natomiast stan zgięciowy wymaga co najmniej przestrzeni H2.
Zwykle funkcjami bazowymi są odpowiednio: funkcje ciągłe klasy C0 dla stanu tarczowego i funkcje klasy C1 dla stanu zgięciowego.
Funkcje przemieszczenia zapisujemy w postaci
Nqqq
N00N
uuu =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= pt
p
t
p
t
),(),(),(
),(i
i
i
i
yxwyxvyxu
yx . (10.44)
c) Związki geometryczne
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂
−
∂∂
−
∂∂
−
∂∂
+∂∂
∂∂∂∂
=+=
000
2121
2
2
2
2
2
2
2
2L0
yw
xw
ywxw
yxw
yw
xw
xv
yu
yvxu
εεε . (10.45)
Część nieliniową wektora odkształcenia zapisujemy w postaci
θε A210
0
21
2121
2
2
tL =
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂∂∂
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=
ywxw
xw
yw
yw
xw
yw
xw
ywxw
. (10.46)
Oba obiekty A i θ są zależne od parametrów węzłowych.
Różniczka nieliniowego składnika odkształcenia jest równa
ptpLpt
L dddd21d
21d iiii qBqAGAAA ===+= θθθε . (10.47)
W powyższym wyrażeniu różniczka wektora θ jest równa
pppp dd iiiiii
y
x
ywxw
qGqGqN =⇒=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂∂∂
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂∂∂
= θθ . (10.48)
Top Related