Université KASDI MERBAH Ouargla
Faculté des Sciences et Technologie et Sciences de la Matière
Département d’Hydrocarbures et Chimie
Module : La mécanique des roches (cours)
Niveau : 1ère
année mastère – Forage
Enseignante : HADJADJ SOUAD
1
Chapitre I :
Introduction à la mécanique des roches et les principes de la géomécanique
1. La mécanique : couvre la connaissance des forces et leurs effets, déformations,
ruptures et déplacements des corps
2. La géologie : se considère en même temps une science naturelle et historique,
Naturelle → description des matériaux qui constituent la croute terrestre, y compris les
fluides (les eaux sous terraines, le gaz naturel, le pétrole et l’air)
Historique → étude de la genèse et les transformations de ces matériaux
(sédimentologie, tectonique, sismologie, …)
3. La géomécanique : étudie la déformation ou le déplacement de géomatériau, sol, roche
ou fluide souterrain sous l'action de la gravité, à laquelle peuvent se superposer des
contraintes induites. Elle manipule des modèles très schématiques, issus des conditions
aux limites simplistes, qu'impose l'intégration des équations de champs très complexes.
Elle mesure très ponctuellement divers paramètres, sur échantillon ou in situ et prétend
les extrapoler à l'ensemble du site.
Elle réduit l'action de la contrainte qui produit un déplacement, une déformation
instantanée pouvant aller jusqu'à la rupture.
4. La pétrologie : est la science des roches, qui s'attache à décrire, définir et classer les
roches, puis à établir les lois régissant les modes de mise en place, leur origine et leur
évolution. Elle étudie des matériaux se présentant sous les trois aspects de la matière :
solide, liquide et gazeux (mécanismes à l’origine de la formation de la transmormation
des roches).
5. La pétrographie : est la description des roches, définir et mesurer leurs paramètres
caractéristiques (structurales) comme la résistivité électrique, la composition chimique
et minéralogique, la perméabilité, la résistance mécanique, etc.
6. La mécanique des roches : traite les effets des forces (déformation, rupture et
déplacement) appliquées aux roches pour résoudre les problèmes de l'ingénierie à toutes
échelles de longueur et de temps, variant du micromètre (cristaux) au rayon terrestre
(blocs de granite) selon le domaine d'application. En génie civile sont à l'échelle du
mètre et du siècle, en plus petit (à l'échelle de longueur), le forage, le concassage,
l'altération, en plus grand, le stockage, la stabilité des montagnes. A l'échelle du temps,
l'exploitation minière est le jour ou la semaine, tandis que à l'explosif, la milliseconde et
en sens inverse pour le stockage des déchets radioactifs c'est les 1000 siècles.
Elle concerne tantôt les milieux continus tant solides que fluides, tantôt les
discontinuités et les milieux associants solides et fluides.
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2
Dans le domaine pétrolier elle s'applique sur les essais mécaniques en laboratoire et sur
place (en forage), par l'intermédiaire de la similitude et sur la base de la modélisation
numérique.
Elle se base sur la mécanique rationnelle pour comprendre les équilibres et les
mouvements des roches, la mécanique des milieux continus afin d'étudier les
déformations effectuées sur le milieu continu et la mécanique de rupture, en cas de
fissures (concentration des contraintes).
7. L'ingénierie du pétrole : s'intéresse par l'efficacité des outils de forage, la stabilité des
puits, les affaissements de la surface et les réservoirs profonds à hautes pression et
température.
8. Les roches
8.1. Définition : assemblage plus au moins compact de grains cristallins / des
agrégats compacts ou meubles qui constituent l'écorce terrestre et son composés de
minéraux homogènes ou différents.
8.2. Identification : Les roches s'identifient par leurs :
Structure : qui embrasse les particularités de leurs architectures, assurés par les
dimensions, la forme, la nature d'association des minéraux constituants et le degré
de cristallinité de leurs matières.
Texture : (ou l'arrangement, ou l'orientation) est la répartition mutuelle de leurs
éléments constitutifs dans l'espace occupé par ces dernières.
Donc pour mieux comprendre le comportement mécanique des roches on appui sur :
L'anatomie : les changements ou déformations des roches.
La morphologie : l'analyse des formes de la surface, qui renseigne sur ce qu'on va
trouver à l'intérieur
La physiologie : rend compte de ce qui se passe à l'intérieur, naturellement ou sur
intervention humaine.
8.3. Classification des roches : ils existent trois types sont
Roches ignées ou magmatiques (éruptives)
Formées par le refroidissement et la solidification du magma, aux niveaux de surface
(roches volcaniques ou effusives : laves) portent peu de cristaux. Aux profondeurs
(roches plutoniques) portent plus de cristaux. Elles sont généralement enrichies des
silicates (minéraux) tels que le quartz; feldspaths alcalins et plagioclases, amphiboles,
micas, etc. les plus répondues sont les granites.
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3
Roches sédimentaires
Se forment par des phénomènes exogènes, par :
le cumul des dépôts des débris organiques (organogènes), les bitumes et le charbon.
le dépôt des éléments détritiques résultant de la corrosion des roches magmatiques
par l'intermédiaire d'une source :
- mécanique (vents, précipitations, écoulements des fluides, …)
- chimique (réaction chimique entre fluide et roche)
Les roches sédimentaires donnent naissance aux différents grés, argiles, glaises, marnes
et conglomérats. Elles contiennent souvent des impuretés en grandes quantités servant
de ciment pour donner forme à des schistes argileux, des calcaires gréseux, des
calcaires silicifiés, des sables schisteux, …etc. un autre groupes est formé par des
formations où l’eau s’est évaporée, pour donner naissance aux sels, anhydrites, gypses
et potasses
Etant donné leur importance, il est bon de résumer les gites des minéraux sédimentaires,
tels que :
Détritiques → or (dans les alluvions), diamant, oxyde de titane
(Alluvion : Dépôt de sédiments charriés par les eaux d'une rivière, d'un fleuve.. )
Chimiques → par altération (dégradation de quelque chose) sur place (bauxite,
oxyde de fer)
Par transport et précipitation (roches salines : gypse, sel gemme, chlorure de
potassium) ; fer oolithique
Biologique → charbon, hydrocarbures
Biochimique → phosphates
Roches métamorphiques
L'exercice des fortes températures et grandes pressions sur les 02 types précédents des
roches forme les roches métamorphiques, les plus connues sont les schistes et les gneiss.
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Chapitre II : Contraintes et contraintes principales dans le massif rocheux
1. Contraintes et contraintes principales
1.1. Continuité du milieu
Un milieu continu est un milieu dont le comportement macroscopique peut être
schématisé en supposant la matière répartie sur tout le domaine qu'il occupe.
Au voisinage d'un point géométrique de coordonnées ( ix , i=1, 2, 3), à l'instant (t) il
existe une distribution de masse volumique 3,2,1),,( itxdv
dmi
La fonction est supposée continue, toutes les autres propriétés physiques de la matière
seront également continues.
Isotropie
Les propriétés mécaniques des matériaux ne changent pas avec la direction autour du
point.
Homogénéité
Les propriétés mécaniques du matériau ne changent pas avec le point dans le corps
Phénomènes de discontinuité
La continuité des transformations doit être absolue, elle n'est pas vérifiée dans les cas
suivants :
Formation de troue : cavitation dans les liquides et les fissures dans les solides
Glissement relatif des parties du milieu : sillage dans les liquides et le glissement
dans les solides
Choc de veines fluides
1.2. Tenseur de contrainte
1.2.1. Vecteur tenseur des contraintes
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Soit D un domaine du milieu, de frontière A. les forces extérieures à D sont :
- Forces volumiques dvf
, dans tout le volume, dont :
f
est une densité de force
dv est un volume élémentaire
- Forces superficielles (de contact) ou de tension dAt
, sur la surface A, frontière de
D, dont :
test une densité de force ; dAn
est un aire élémentaire
Tension > 0 → dirigée vers l'extérieur de D
Tension < 0 → pression
Le vecteur contrainte :
dAnTfd
tn TnTT
Dont :
nT la contrainte normale (algébrique)
tT
la contrainte tangentielle (cisaillement)
Le tenseur des contraintes est une application linéaire de l'espace vectoriel à 3
dimensions 3E dans lui-même
nT
. →
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
n
n
n
T
T
T
Les composantes diagonales 332211 ,, sont
les contraintes normales (normal stress)
Les composantes non diagonales ,....,, 211312
etc, sont les contraintes tangentielles (shear
stress)
La contrainte est homogène à une force par
unité de surface, donc à une pression
1.2.2. Contraintes principales
Les contraintes principales s'obtiennent par
résolution de l'équation caractéristique
0
100
010
001
det0det
333231
232221
131211
IT ; scalaire:
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6
00det 32
2
1
3
332313
232212
131211
III ………….(1)
L'équation (1) aura 3 racines : 332211 ,, , dites les contraintes
principales. On peut aussi déterminer les directions correspondantes de chacune
321 ,, .
Remarque :
La connaissance des contraintes principales, leurs positions et directions, est importante
pour le calcul des structures en résistance des matériaux.
Exp : possibilités de rupture, une pression hydrostatique s'exerçant sur un fluide idéal
au repos
1.2.3. Etats particuliers de contraintes
Tension ou compression hydrostatique
00
00
00
T
si > 0 → tension
< 0 → compression
Les 3 contraintes principales sont égales. Toutes
les directions sont principales.
S'exerce une contrainte purement normale
Exp : L'état des fluides à l'équilibre
Contraintes de révolution (triaxiale)
2
2
1
00
00
00
T
2 contraintes principales coïncident
2 directions principales, 11 pourx et toutes autres
directions 232 , pourxx (direction fixe)
Exp : L'état de contrainte dans le sol en profondeur
( 1 < 2 < 0)
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Traction ou compression uniaxiale
000
000
00
T
si > 0 → tension
< 0 → compression
Lorsque 02 du cas précédent (pas de contrainte
latérale)
Exp : l'état le plus facile des contraintes, peut se réaliser
expérimentalement
Exercer une force longitudinale sur un barreau
Essais de traction pour l'acier et la compression pour une roche
Cisaillement pur
000
00
00
T
Contraintes purement déviatrices
Les directions principales sont 033 x , les bissectrices des
axes 21 , xx (contraintes principales
et )
Plan de contraintes
000
0
0
2212
1211
T ou
33
2212
1211
00
0
0
T
Les directions principales sont : 3x et les 2 directions
perpendiculaires du plan 21 , xx
Lorsque n varie dans le plan 21 , xx le vecteur de contrainte se
limite dans le plan
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2. Les contraintes dans les massifs rocheux
2.1. Le massif rocheux : assemblage de blocs ou de feuillets, séparés plus ou moins
complètement par des joints
2.2. Les contraintes qui influent sur le massif rocheux
Les contraintes naturelles
Existent dans le massif rocheux, avant toutes perturbations artificielles, en résultant de
diverses manifestations dans son historique (primitives). Par conséquent, elles
pourraient être le résultat de l’application de plusieurs états antérieurs de contraintes.
La contrainte gravitationnelle (overburden stress) : Est due aux poids du massif
rocheux
Les contraintes tectoniques : Sont dues aux déplacements relatifs des plaques
lithosphériques
Les contraintes thermiques : Sont dues aux changements de températures
Les contraintes physico-chimiques : Changements du massif rocheux dues aux
effets physiques et/ ou chimiques (cristallisation)
Les contraintes induites : La perturbation des contraintes naturelles par
l’ingénierie
Les contraintes résiduelles : Restent dans le massif rocheux, comme-ci le corps
est préservé de toutes tractions externes (contrainte rémanente)
Les contraintes régionales : Relatives à un large domaine géologique
Les contraintes locales : Relatives à un petit domaine géologique (échelle
d’ingénierie)
Les contraintes près du domaine (near field stress)
Existantes dans le voisinage, perturbé par l’hétérogénéité généralement causé par
l’ingénierie
Les contraintes loin du domaine (far field stress)
Existantes dans la région au-delà du champ proche (voisinage), où aucune perturbation
significative en raison de l’hétérogénéité
Les contraintes Palaeo
Existantes dans le massif rocheux qui peuvent être déduites mais ne se déterminent pas
par les techniques de mesures
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2.3. Les contraintes principales dans un massif rocheux
La définition des contraintes dans le massif rocheux (milieu tridimensionnel indéfini)
est difficile et inaccessible à l'expérimentateur.
Considérons IIIIII ,, les contraintes principales, qui sont rangées par valeurs
décroissantes (les compressions étant toujours comptées positives en mécanique des
roches), selon I contrainte majeure, II contrainte intermédiaire et III contraintes
mineure.
Si on considère la direction verticale comme principale vI , les deux autres
contraintes redeviennent, HII la composante horizontale maximale et hIII la
composante horizontale minimale.
L'orientation de ces contraintes dépend du :
- Contexte tectonique générale
- La proximité éventuelle de surfaces libres (surface du sol ou cavité souterraine)
- Les éléments structuraux importants tels que les failles, les plis, les
hétérogénéités, …
2.3.1. Contrainte verticale : Généralement les géo-mécaniciens désignent une
contrainte verticale, dite contrainte géostatique, par analogie à la contrainte
hydrostatique (suivant l'hypothèse de pression isotrope de Heim):
gHv ; si varie dHHgH
v 0
…………………………………. (2)
Dont :
v : la contrainte verticale (géostatique)
g : la gravité
: la masse volumique (fluides inclus) de la roche
H : l'épaisseur de la couverture
Donc cette contrainte dépend de la masse volumique des roches situées entre la surface
du sol et le point considéré, suivant la profondeur et la nature des sédiments on en
réalité : mHmbaràv )/25.021.0(
En approximation : mHmbarv )/23.0(
Il est notamment fréquent d'admettre que la direction verticale est principale,
cette supposition est vérifiée en absence d'effets dus au relief si le matériau est
homogène ou stratifié (disposé par des couches superposées) horizontalement, dans ces
conditions l'équation (2) est vérifiée.
En présence de relief (montagne), cette contrainte peut être plus petite que ce
poids, donc il faut définir la profondeur au-delà de laquelle la direction verticale
redevient principale.
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2.3.2. Contraintes horizontales
Au début ils ont cru quelles peuvent être déduites de la composante verticale par
l'effet de coefficient de Poisson , ce qui n'a de sens que pour une variation de charge
sans déformation latérale en régime élastique, dont :
vh
1 ………………………………………………………………..(3)
Généralement, la direction de la contrainte horizontale maximale H devient plus
homogène à partir de 300/400 m de profondeur (effet de la tectonique régionale), en
absence de reliefs importants et d'effets de structures (selon la carte mondiale des
contraintes, proposée par Zoback, qui définit les grandes provinces tectoniques avec
l'orientation des directions principales associées). Au voisinage de la surface (< 300 m)
d'autres effets que l'effet de la tectonique régionale influe sur cette direction.
Les deux contraintes horizontales peuvent être égales, si le réservoir est tectoniquement
au repos (isotropie des contraintes dans le plan horizontale)
Souvent on trouve que les deux contraintes horizontales sont inférieures à la
contrainte verticale, mais dans des cas particuliers on trouve l’inverse, dont les
contraintes horizontales sont plus fortes que la verticale (sous effet d’hétérogénéités des
terrains, déformations tectoniques, érosion …,)
La contrainte horizontale la plus faible h peut être déterminée lors d’un test le
leak-off, ainsi que son orientation est importante pour ajuster les pressions d'injection
lors de la stimulation du puits par la fracturation hydraulique.
2.4. Composantes des contraintes principales dans le massif rocheux
Les contraintes principales dans le massif rocheux se partagent entre la pression
(interstitielle) du fluide contenue dans les pores et la contrainte effective de la roche
Pi
Pi
Pi
hh
HH
vv
2.4.1. Pression interstitielle (pression du fluide de la couche ou pression de pore)
Pression exercées par les fluides à l’intérieure des pores d’une roche, elle est de l’ordre
de grandeur et souvent inférieure à la pression hydrostatique à une certaine profondeur.
Elle joue un rôle de première importance dans la considération des propriétés
mécaniques des roches, en donnant lieu aux effets mécaniques et physico-chimiques.
Effets mécaniques de la pression interstitielle Pi sur les caractéristiques de la
mécanique des roches
Prenons un pore de forme géométrique simple, dont ses parois sont mises sous l’effet de
2 contraintes normales de compression F1(verticale correspond au poids de la couche
sédimentaire) et F2 (est latérale)
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L’état de contraintes résultantes sera :
F1-Pi → vertical
F2- Pi → latéral
Le déviateur défini par la différence de F1et F2, égale à :
F1- F2 → roche sèche (Pi = 0)
(F1 – Pi) – (F2 – Pi) = F1 – F2 → roche imprégnée
→ La présence d’une pression interstitielle dans la roche ne modifie pas la valeur de
déviateur des contraintes qui lui est appliquée
2.4.2. Contrainte effective
Principe de la contrainte effective (du a Terzaghi, c'est le principe de base de la
Mécanique des Sols Moderne)
Au point O, la contrainte totale est : satAw HHH
Avec :
satwet : Poids volumique ou spécifique [ 3mN ]
Cette contrainte totale peut être décomposée en deux composantes essentielles :
- La première composante est supportée par l'eau interstitielle circulant á l'intérieur
de l'espace poreux, c'est la pression interstitielle. Elle est identique quelque soit la
direction prise
- Le reste est supporté par la phase solide (les grains solides), c'est la contrainte
effective.
- La contrainte effective correspond aux efforts transmis par les grains du squelette
minéral du sol, au niveau de leurs points de contact.
- Le squelette solide est assimilé à un ressort. La variation de volume du sol ainsi
que sa résistance au cisaillement sont en fonction de la charge supportée par les
grains solides et indépendamment de la pression hydrostatique.
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La contrainte effective est, d’après la loi de Terzaghi, est la contrainte totale (σ) à
laquelle on soustrait la contrainte neutre (u), soit la pression de l’eau remplissant les
interstices du sol : σ’ = σ – u ………………………………………………….. (3)
Alors :
Contrainte totale (σ) = contrainte effective (σ') + contrainte neutre (u)
wsatA
wAsatAw
HH
HHHHu
NB : la contrainte neutre est la pression interstitielle
Contrainte tangentielle
Le principe de la contrainte effective ne s'applique que pour les contraintes normales en
ce sens que l'eau ne supporte pas de contrainte de cisaillement.
Interprétation physique de la contrainte effective (Lambe et Whitman, 1979)
Remarque :
Pratiquement nous raisonnerons surtout avec les contraintes effectives
3. Mesure des contraintes in-situ Les principales méthodes de mesure in-situ sont :
Relâchement des contraintes
Rétablissement des contraintes après relâchement (vérin plat)
Fracturation hydraulique
Réouvertures des fissures préexistantes
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Dans le forage pétrolier profond, l'observation des ovalisations des forages et des
ruptures en paroi constitue la méthode la moins couteuse pour estimer la direction et la
valeur des contraintes.
3.1. Procédé de fracturation hydraulique
Dans un milieu isotrope poreux et perméable, la contrainte principale mineure s'exerce
sur la surface de moindre résistance.
Exp :
L'injection sous forte pression d'un fluide dans un puits, peut provoquer la rupture du
terrain encaissant suivant la surface la plus faible.
Cas de stimulation des puits en production
Etapes :
1- Isoler une portion de découvert (puits non tubé) entre 2 obturateurs annulaires
gonflables, ou entre un obturateur et le fond.
2- Injecter un volume limité d'un fluide à débit constant puis mesurer la pression
d'injection (phase de montée en pression "build up")
3- Le passage de cette pression par le maximum → début de propagation de fracture
4- Arrêter l'injection, fermer le puits, continuer l'enregistrement de pression en
fonction du temps
5- Purger le puits de ce fluide à débit constant et enregistrer la chute de pression
(phase "fall off")
6- Répéter 2 et 5
Remarque : il est préférable de réaliser cette méthode en forage vertical, si la contrainte
verticale est supposée principale et majeure
Interprétation :
Jusqu'au maximum de pression et au-delà : la pression enregistrée dépend de la
contrainte du paroi et la mécanique de propagation
En suite : cette pression est de plus en plus régie par la contrainte minimale dans
le massif (le champ loin du puits)
Lors de la fermeture : la pression instantanée de fermeture équilibre cette
contrainte minimale en place.
hfP (dans un puits vertical)
Avec : fP est la pression instantanée de fermeture (ISIP : Instantaneous Shut-In
Pressure) ; n'est pas facile à déterminer car elle rejoint rapidement la pression du pore.
En roche imperméable
iHhfondfrac PP 3
Avec : iP est la pression de pore
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En roche perméable
1212/1213 bPbP iHhfondfrac
Avec : b est le coefficient de Biot
Cette analyse n'est valable que pour des roches idéales (c-à-d non fissurée et pénétration
du fluide dans la fracture est parfaite). En effet l'erreur absolue est de l'ordre de 0.5
MPa.
Conclusion :
- La fracturation hydraulique est susceptible de fournir une estimation,
généralement par excès, de l’une des contraintes principales s’exerçant sur le
réservoir.
3.2. HTPF (le Test Hydraulique sur Fracture Préexistantes) (Hydro-fracturing
Test on Preexisting Fractures) proposée par Cornet et Valette en 1984
En cas où le milieu est peu perméable et fissuré, les fissures préexistantes (repérées par
diagraphie) sont aussi des plans de faiblesse susceptibles d'orienter l'amorce d'une
fracture hydraulique.
On met les fractures isolées entre 2 obturateurs annulaires gonflables, on injecte le
fluide jusqu'à l'ouverture de la fracture, on assimile la pression d'ouverture.
L'ensemble des mesures obtenues est traité par une méthode de problèmes inverses pour
caractériser soit le tenseur de contrainte moyen s'exerçant dans le volume testé, soit le
champ de contrainte et ses variations dans l'axe du forage. On disposera d'un système
linéaire surdéterminé pour calculer les valeurs cherchées par modélisation numériques.
3.3. Procédé des ruptures à la paroi du puits (en forage)
L'observation (par le BHTV : BoreHole TeleViewer ou le microrésistivimètre de
paroi) des ruptures -dans la roche- durant le forage, est la méthode la moins couteuse
pour évaluer la direction de la contrainte principale majeure au sein de la formation
encaissante, en obtenant l'ordre de sa grandeur.
Le forage annule la contrainte qui s'exerçait sur la future paroi, ou la diminue en cas
d'utilisation de la boue. Dans le cas d'un forage à boue dans une roche poreuse, la
contrainte P exerçait par la boue est purement normale donc principale, dont :
iboue PPP ………………………………………………………………(4)
Avec :
boueP est la pression de la boue
iP est la pression interstitielle (de pore)
Cette diminution peut causer l'endommagement de la paroi, en impliquant de graves
conséquences telles que la production du sable ou de fragment, coincement de l'outil,
perte de boue …etc.
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3.3.1. Caractéristiques mécaniques des roches aux conditions du front de taille
- La résistance des roches augmente avec la pression exercée sur elles
- La résistance des roches dépend de la pression environnante
Exp
Le sable de Miocène (en Golf Coast), carotté à 10 cm/h, la carotte s’écrasait sous
les doigts sous la pression atmosphérique (au sol)
Il existe des particularités concernant les formations géologiques, telle que les
formations siliceuses ou quartzitiques, qui sont très peu influencées par les
pressions environnantes quelque soit leurs profondeurs
- La forabilité des roches est inversement proportionnelle à sa profondeur
3.3.2. Contraintes effectives à la paroi du puits
Soit autour d'un futur forage vertical, une contrainte principale verticale v et H , h
les contraintes horizontales à l'infini, différentes de v et plus petites.
Le forage définis des contraintes effectives radiales r et tangentielles agissant dans
le plan horizontal qui ont pour valeur :
),5.....(..................................................2cos3
12
12
),5......(........................................2cos43
12
12
2
2
4
4
2
2
2
2
4
2
4
4
2
2
br
aPµ
r
a
r
a
ar
aP
r
a
r
a
r
a
hHhH
hHhH
r
La composante verticale prend la valeur
),5(..............................................................................................................2cos2
chH
vz
dont : a est le rayon du puits
r : distance d’un point quelconque du milieux poreux à l’axe du puits
φ : angle que fait le rayon vecteur du point avec la direction de la plus grande
contrainte principale horizontale
sur les parois du puits, où r = a
- La contrainte normale r exercée par la boue P , l’équation (4)
- La contrainte ortho-radiale ( perpendiculaire à la précédente et à l'axe du puits)
- La contrainte verticale z .
Ces deux contraintes n’étant pas égale, il en résulte une contrainte de cisaillement, son
maximum sera égale à :
2
r
On remarque que la rupture de la roche à la paroi du puits, se fait par traction,
compression, cisaillement et écaillage
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Faculté des Sciences et Technologie et Sciences de la Matière
Département d’Hydrocarbures et Chimie
Module : La mécanique des roches (cours)
Niveau : 1ère
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16
3.4. Mesure des carottes
- Mesures de recouvrance et de recompression des carottes
Les carottes se déforment souvent en parties différées, après la surpression des
contraintes et l'annulation de la pression interstitielles. Dès l'extraction de ces dernières
du carottier, on mesure ces déformations différées, en essayant d'en déduire –au moins
l'orientation- des contraintes en place, avant environ 72 heures, où les déformations
différées perdent leurs effets sur les carottes
Interprétation :
Le carottage produit des microfissures, leurs densités varie avec l’amplitude de la
contrainte normale à la direction du plan considéré (ce résultat devient flagrant lorsque
la roche est anisotrope et/ ou fissurée)
NB : Cette technique est devenue peu employée avec le développement des techniques
d’observation des parois
- Etude de discage des carottes « selle de cheval »
Les carottes connaissent une rupture spontanée sous forme d’un empilement de disques,
lorsque les roches sont soumises à des fortes contraintes.
Contraintes in-situ plus fortes → disques plus minces
Les selles de cheval → informations sur l’orientation des directions principales
3.5. Variations de contraintes au cours de l'exploitation du gisement Dans un réservoir tectoniquement au repos, on observe que la contrainte effective
horizontale 'h dépend de la contrainte effective verticale 'v , en sorte que :
'33.025.0' vh à
Cette relation ne présente pas un caractère général, dont on observe parfois que :
'' vh (exp : réservoir Hassi Messaoud)
D'après les études effectués depuis les années 1970, il apparaît que chaque site à ces
caractéristiques propres à lui traduite dans la valeur K, dont :
Kv
h
(K dépend de la loi de comportement de la roche ainsi que d'autres facteurs
moins clairement identifiables)
Les gisements exploités deviennent des zones perturbées, car le remplacement des
matières fossiles produites par des réinjections d'eau perturbe les contraintes au
voisinage, en créant d'éventuelles ruptures stables, instables ou déférées.
L'abaissement de pression interstitielle dans le gisement pétrolier diminue les
contraintes horizontales.
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Chapitre III : Les déformations
On appelle déformation un changement de distance entre deux points matériels d'un
milieu. Elle s'accompagne donc d'un déplacement ainsi que d'un changement de forme
1. Gradient de déformation et de déplacement
Le vecteur déplacement de R
à r
est défini par :
Xxu
………………………………………………………………….. (1)
Le vecteur de déplacement u
peut être exprimé en fonction de X
(représentation
Lagrangienne) :
ijiiji etxuetXUu ,,
…………………………………………………. (2)
Exps :
le cisaillement simple
Les plans // 02 X glissent avec une amplitude tf proportionnelle à 2X dans la
direction 1
03
22
211
tx
Xtx
XtfXtx
ou
03
22
211
tx
Xtx
xtftxX
Le vecteur de déplacement
0,
0,
,
3
2
2111
tXU
tXU
XtfXxtXU
j
j
j
ou
0,
0,
,
3
2
2111
txu
txu
xtfXxtxu
j
j
j
la dilatation uniforme
33
22
11
XtgtxXtgtxXtgtx
avec tg une fonction de proportionnalité
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Le vecteur de déplacement
1,
1,
1,
33
22
111111
tgXtXU
tgXtXU
tgXXXtgXxtXU
j
j
j
1, tgXtXU iji
Ou
23
22
111111
11,
11,
11
1,
xtg
txu
xtg
txu
xtg
xtg
xXxtxu
j
j
j
iji xtg
txu
11,
le gradient de déformation
Soit XN l'ensemble des points constituants le voisinage d'un point X appartenant à un
milieu continu et Y un autre point proche de X appartenant à XN . Le mouvement des
points matériels dans XN peut être décrit par un développement de série de Taylor.
...
jj
j
iii XY
X
xxy
j
j
ii dX
X
xdx
ou encore j
j
ii dx
x
XdX
……………………………………… (3)
Les composantes j
i
X
x
définissent le tenseur des gradients de déformation au point X.
Il est noté : ijFF , sa connaissance permet donc de représenter le mouvement dans le
voisinage X.
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j
iij
X
xFF
j
iij
x
XFF
11 (tenseur inverse)
Exps :
le cisaillement simple
000
010
01
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
tf
X
x
X
x
X
x
X
x
X
x
X
x
X
x
X
x
X
x
F et
000
010
011
tf
F
la dilatation uniforme
ijtgtg
tg
tg
tg
F
100
010
001
00
00
00
et ijtg
F 11
La relation entre le déplacement et le gradient de déformation
Divisons les équations (1) et (2) sur X , on aura :
ijijij
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i FX
x
X
X
X
x
X
U
X
u
Donc :
j
iij
j
iij
X
U
X
xF
ou
j
iij
j
iij
x
u
x
XF
1 ………………………….. (4)
2. Tenseur de déformation et déplacement
Soient dL et dl respectivement les longueurs des éléments Xd
et xd
.
mmdXdXXdXddL
.2
De l'équation (3), on aura :
ji
j
m
i
mj
j
mi
i
m dxdxx
X
x
XdLdx
x
Xdx
x
XdL
22
De la même manière on a :
mmdxdxxdxddl
.2
ji
j
m
i
mj
j
mi
i
m dXdXX
x
X
xdldX
X
xdX
X
xdl
22
Le tenseur de déformation de Green ijG
FFX
x
X
xGG
T
j
m
i
mij
…………………………………………………… (5)
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Le tenseur de déformation de Cauchy ijg
11
FF
x
X
x
Xgg
T
j
m
i
mij ……………………………………………….. (6)
On peut écrire donc :
jiij
jiij
dxdxgdL
dXdXGdl2
2
Le tenseur de Green nous permet la détermination de la longueur déformée dans la
configuration finale en fonction des composantes dans la configuration initiale, tandis
que l'inverse est réalisé par le tenseur de Cauchy
Mais généralement on s'intéresse à 22 dLdlD qui traduit le changement de
configuration suite à une déformation.
mmjiij dXdXdXdXGdLdlD 22
jiijjiij dXdXdXdXGdLdlD 22
jiijij dXdXGdLdlD 22
Donc : ijijij G 2 est le tenseur de Lagrange ……………………………….. (7)
De la même manière, on aura :
jiijmm dxdxgdxdxdLdlD 22
jiijjiij dxdxgdxdxdLdlD 22
jiijij dxdxgdLdlD 22
Donc : ijijij g2 est le tenseur d'Euler ………………………………………..(8)
Relation tenseur déformation-déplacement
De l'équation (5) et l'équation (7) on a :
ij
j
m
i
mijijij
X
x
X
xG
2
On aussi l'équation (4) :
j
iij
j
iij
X
U
X
xF
On peut écrire alors :
ij
j
mmj
i
mmiij
j
m
i
mij
X
x
X
x
X
x
X
x
2
j
m
i
m
i
j
j
i
ijX
U
X
U
X
U
X
U
2
1 ………………………………………………. (9)
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De la même manière, on obtient :
j
m
i
m
i
j
j
i
ijx
u
x
u
x
u
x
u
2
1 …………………………………………………(10)
3. Hypothèse des petits déplacements et des petites déformations
Si on néglige les termes d'ordres 2 qui introduisent la linéarité, on obtient les tenseurs de
déformations infinitésimales :
i
j
j
i
ijX
U
X
U
2
1 et
i
j
j
i
ijx
u
x
u
2
1
On peut aisément vérifier la symétrie de ces deux tenseurs, cette simplification n'aura un
sens que si les déplacements sont très petits.
Les conséquences ce cette hypothèse :
- remplacement des dérivées partielles / iX par celles / ix : ii xX
- ije peut être utilisé à la place de ij et ij , dit tenseur de.
Petits déplacements → petites transformations → petites déformations
De l'équation (4) on peut mettre :
SYMETRIQUEANTISYMETRIQUE
UgradH
022
20
2
220
22
22
22
2
3
3
2
1
3
3
1
3
2
2
3
1
2
2
1
3
1
1
3
2
1
1
2
3
3
2
3
3
2
1
3
3
1
3
2
2
32
2
1
2
2
1
3
1
1
3
2
1
1
21
1
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
SYMETRIQUE
ije
3
3
2
3
3
2
1
3
3
1
3
2
2
32
2
1
2
2
1
3
1
1
3
2
1
1
21
1
22
22
22
ijee est nommé aussi le tenseur des déformations linéaires. Lorsqu'il s'annule →
mouvement rigide
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SYMETRIQUEANTI
ij
022
20
2
220
2
3
3
2
1
3
3
1
3
2
2
3
1
2
2
1
3
1
1
3
2
1
1
2
ij est nommé aussi le tenseur de rotation infinitésimales.
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