MATRIZESQuantidade das vitaminas A, B e C contidas em cada unidade das frutas I e II.

fruta I

fruta II

vit. A vit. B vit. C

Ao imaginarmos 5 unidade de fruta I e 2 unidade da fruta II quanto consumirmos de cada tipo de vitamina?

Matriz “consumo” [ 5 2 ]

4 3 0

5 0 1

MATRIZES

[5 2] 4 3 0

5 0 1

= [ 5 4+2 5 5 3 + 2 0 5 2+ 10 ] =

54

25

MATRIZES

[5 2] 4 3 0

5 0 1

= [ 5 4+2 5 5 3 + 2 0 5 2+ 10 ] =

53

20

MATRIZES

[5 2]4 3 0

5 0 1

= [ 5 4+2 5 5 3 + 2 0 5 2+ 10 ] =

50

21

= [ 5 4+2 5 5 3 + 2 0 5 2+ 10 ] =

MATRIZES

[5 2]4 3 0

5 0 1

= [ ] =

= [ 30 15 2 ]

5 4+2 55 4+2 5 5 3 + 2 05 3 + 2 0

30 unidades

vit. A vit. B vit. C

15 unidades 2 unidades

5 2+ 105 2+ 10

O   produto   (linha por coluna)   de   uma   matriz   A por uma matriz B   é uma

MATRIZES

Produto de matrizes

C = A.B

matriz, de modo que cada elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente

os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se osprodutos assim obtidos . Indicamos:

MATRIZES

Produto de matrizes

EXEMPLO:

1 2 3

4 5 6

A =2 x 3

7

8

9

B =

3 x 1

1 7 2 8 3 9

4 7 5 8 6 9

A.B =

2 x 1

=50

122

2 x 1

MATRIZES

Produto de matrizes

EXEMPLO:

• Só existe o produto de uma matriz A por uma matriz B se o número de colunas de

A m x p B p x n C m x n

A 3 x 2 B 2 x 4

C 3 x 4

A 3 x 2 B 4 x 2

Não é possível a multiplicação

A for igual ao número de linhas de B.

MATRIZES

Produto de matrizes

Propriedades:

• Associativa: (A.B).C = A.(B.C)

• Distributiva pela esquerda: C.(A+B) = C.A + C.B

• Distributiva pela direita: (A+B).C = A.C + B.C

• Elemento neutro: A.In = Im.A = A• (α.A).B = A.(α.B) = α.(A.B)• A.0nxp = 0mxp e 0pxm.A = 0pxn

• (A.B)t = Bt.At

Sendo A uma matriz de ordem m × n, B e C matrizes convenientes e α um número real:

MATRIZES

Produto de matrizes

Importante:

A propriedade Comutativa não é valida para multiplicação de

A.B ≠ B.A

EXEMPLO:

A 3 x 2 B 2 x 4

A.B 3 x 4

A 3 x 2 B 4 x 2

Não existe A.B

matrizes