1
Materi Pembelajaran Daring (online)
Matematika Kelas X
MATRIKS
TIM MGMP MATEMATIKA
SMK BHAKTI PRAJA DUKUHWARU
2
MATRIKS
Kompetensi Dasar
3.15 Menerapkan operasi matriks dalam
menyelesaikan masalah berkaitan
dengan matriks.
3.16 Menentukan nilai determinan, invers
dan tranpos pada ordo 2x2 dan nilai
determinan , tranpos pada ordo 3x3.
4.15 Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan matriks.
4.16 Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan determinan, invers dan tranpos
pada ordo 2x2 serta nilai determinan
dan tranpos pada ordo 3x3.
A. Pengertian Matriks
1. Pengertian dan Notasi Matriks
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berebentuk
persegi panjang. Susunan bilangan-bilangan itu dibatasi oleh kurva biasa “( )” atau kurung
siku “[ ]”
Contoh :
A =
543
1086
Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar dan ditulis secara umum sebagai
berikut:
mnmm
n
n
mxn
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
...
...
...
21
22221
11211
mkebaris
kebaris
kebaris
.
2.
1.
kolom ke-n
kolom ke-2
kolom ke-1
Amxn artinya matriks A mempunyai baris sebanyak m dan mempunyai kolom sebanyak n.
Setiap bilangan yang terdapat pada baris dan kolom dinamakan anggota atau elemen
matriks dan diberi nama sesuai dengan nama baris dan nama kolom serta dinotasikan
dengan huruf kecil sesuai dengan nama matriknya.
a11 = elemen baris pertama kolom pertama.
a12 = elemen baris pertama kolom kedua.
a1n = elemen baris pertama kolom ke-n.
3
a21 = elemen baris kedua kolom pertama.
a22 = elemen baris kedua kolom kedua.
a2n = elemen baris kedua kolom ke-n.
am1 = elemen baris ke-m kolom pertama.
am2 = elemen baris ke-m kolom kedua.
amn = elemen baris ke-m kolom ke-n.
Contoh:
A =
1067
952
834
6 = elemen baris ketiga kolom kedua.
5 = elemen baris kedua kolom kedua.
9 = elemen baris kedua kolom ketiga.
10 = elemen baris ketiga kolom ketiga.
dan seterusnya.
2. Ordo Matriks
Ordo suatu matriks adalah banyakna elemen-elemen suatu matriks atau perkalian antara
baris dan kolom.
Contoh:
A =
14
25; A berordo 2x2 atau A2x2.
B =
013
523 ; B berordo 2x3 atau B2x3.
C =
5
2
1
; C berordo 3x1 atau C3x1.
D = ( 6 7 8 ) ; D berordo 1x3 atau D1x3.
B. Macam-Macam Matriks
1. Matriks nol.
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol, dilambangkan dengan “O”.
Contoh:
O2x2 =
00
00 O2x3 =
000
000
2. Matriks bujur sangkar (persegi).
Matriks bujur sangkar (persegi) adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.
4
Contoh:
A =
31
24 B =
897
654
321
3. Matriks baris.
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris.
Contoh:
A = ( 2 5 ) B = ( 1 2 3 5 )
4. Matriks kolom.
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom.
Contoh:
A =
2
4 C =
6
4
2
D =
7
6
5
1
5. Matriks diagonal.
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali pada diagonal
utamanya ada yang tidak nol.
Contoh:
A =
10
02 B =
100
020
002
6. Matriks identitas.
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya
bernilai satu, dilambangkan dengan “I” .
Contoh:
I2 = I3 =
100
010
001
C. Kesamaan Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika kedua matriks itu berordo sama dan elemen-elemen
yang seletak besarnya sama.
Contoh:
Jika A =
15
23 dan B =
15
23 maka dikatakan A = B.
Jika M =
817
532 dan N =
817
532 maka dikatakan M = N.
10
01
5
D. Transpos Matriks
Jika pada matriks A setiap baris ditempatkan pada setiap kolom maka matriks itu merupakan
matriks transpos. Jika diketahui matriks A berordo mxn maka matriks transpos dari A
dilambangkan dengan At yang berordo nxm.
Contoh:
A =
1323
0231
5654
maka matriks transposnya At =
105
326
235
314
E. Penjumlahan Matriks
Dua matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan jika ordo matriks A sama dengan ordo
matriks B. Menjumlahkan matriks A dengan matriks B dilakukan dengan cara menjumlahkan
elemen-elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang bersesuaian letaknya.
Apabila matriks A dan matriks B ordonya berlaianan maka penjumlahan matriks itu tidak
didefinisikan.
Contoh:
Diketahui matriks A = dan B =
a. Tentukan A + B
b. Tentukan B + A
Penyelesaian:
a. A + B = + =
1463
7251 =
59
96
b. B + A = +
43
21 =
4136
2715 =
59
96
Dari contoh di atas, ternyata A + B = B + A. Jadi pada matriks berlaku sifat komutatif
penjumlahan. Juga dapat kita buktikan bahwa pada matriks berlaku sifat assosiatif
penjumlahan yaitu (A+B)+C = A+(B+C).
F. Pengurangan Matriks
Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil pengurangan A dan B sama
artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B, atau ditulis
sebagai berikut:
A – B = A + (-B).
43
21
16
75
43
21
16
75
16
75
6
Contoh:
1) Jika P =
23
74 dan Q =
23
12, maka tentukan P – Q !
Penyelesaian:
P – Q = - =
23
74 +
23
12 =
40
62
2) Jika X matriks ordo 2x2, tentukan matriks X jika diketahui persamaan :
X +
42
35 =
23
41
Penyelesaian:
X + =
X = - =
23
41 +
42
35 =
61
76
Jadi matriks X =
61
76
G. Perkalian Matriks
1. Perkalian Skalar Dengan Matriks
Jika k adalah sebuah bilangan real dan A adalah sebuah matriks, maka kA adalah matriks
yang diperoleh dengan cara mengalikan k (bilangan skalar) dengan setiap elemen matriks A.
Contoh:
Jika A = dan B = , tentukan :
a. 3A c. 3A + 4B
b. 4B d. 21 A +
21 B
Penyelesaian:
a. 3A = 3
95
64 =
b. 4B = 4
43
21 =
1612
84
c. 3A + 4B =
2715
1812 +
1612
84 =
433
2616
d. A + 21 B =
21
95
64 +
21
43
21 =
29
25
32 +
2
1
23
21
=
2
13
25
1
4
23
74
23
12
42
35
23
41
23
41
42
35
95
64
43
21
2715
1812
21
7
2. Perkalian Matriks Dengan Matriks
Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A sama dengan
jumlah baris matriks B. Hasil perkaliannya adalah matriks baru yang ordonya adalah jumlah
baris matriks A kali jumlah kolom matriks B. Secara umum ditulis :
Amxp x Bpxn = Cmxn
Cara mengalikan kedua matriks tersebut adalah dengan jalan mengalikan setiap baris pada
matriks A dengan setiap kolom pada matriks B, kemudian dijumlahkan.
Contoh:
1) Jika A = dan B = , tentukan A x B !
Penyelesaian:
A x B =
12
34
2
3 =
2.13.2
2.33.4 =
8
18
2) Jika A = dan B =
62
13, tentukan A x B !
Penyelesaian:
A x B =
62
13 =
6.11.4)2.(13.4
6.51.2)2.(53.2 =
64212
302106 =
1010
324
3) Jika C =
654
123 dan D = , tentukan C x D !
Penyelesaian:
C x D =
654
123 =
1.62.56.4
1.12.26.3 =
40
23
4) Jika M =
15
32
64
dan N = , tentuakn M x N !
Penyelesaian:
M x N tidak dapat dikalikan karena tidak memenuhi definisi Amxp x Bpxn = Cmxn
H. Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2
Jika A = , maka matriks A akan mempunyai invers jika det(A) 0 atau A = a.d –
b.c 0.
Secara umum hubungan ini dinyatakan :
12
34
2
3
14
52
14
52
1
2
6
1
2
6
5
3
4
dc
ba
8
Jika A = , maka A-1
=
ac
bd
A)det(
1
Keterangan :
A-1
= Invers dari matriks A
det(A) = determinan dari matriks A
Contoh:
Diketahui A = , tentukan A-1
!
Penyelesaian:
det(A) = ad – bc = 3.2 – 5.1 = 6 – 5 = 1
A =
21
53 A
-1 =
ac
bd
A)det(
1
=
31
52
1
1 =
Jadi, invers matriks A adalah
31
52.
Apakah setiap matriks mempunyai invers? Telah diuraikan di atas bahwa matriks yang
determinannya sama dengan nol (det = 0) tidak mempunyai invers dan disebut matriks
singular; misalnya B =
12
36.
Invers sebuah matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks.
Contoh:
Jika A matriks rdo 2x2, tentukan A dari :
A =
42
314 !
Penyelesaian:
Untuk mencari matriks A, kedua ruas dikalikan dengan invers matriks.
Invers matriks P = adalah P-1
=
24
13
10
1
24
13.
34
12
1
24
13
10
1
34
12 A =
42
314
A =
2060
540
10
1 =
26
421
Jadi, matriks A =
26
421
.
dc
ba
21
53
31
52
34
12
34
12
24
13
10
1
10
01
9
Dua matriks yang saling invers.
Jika A dan B adalah dua buah matriks persegi yang berordo sama dan berlaku AB = BA = I
(matriks satuan), maka dikatakan b invers dari A (ditulis B = A-1
) atau A invers dari B (ditulis
A = B-1
).
Contoh:
Diketahui A=
57
23 dan B =
37
25. Apakah A invers dari B ?
Penyelesaian :
AB = =
3.5)2.(7)7.(55.7
3.2)2.(3)7.(25.3 = = I
BA = =
5.32).7(7.33).7(
5).2(2.57).2(3.5 =
10
01 = I
Jadi, A invers dari B atau B invers dari A.
I. Determinan Dan Invers Matriks Ordo 3x3
Misal A =
332331
232221
131211
aaa
aaa
aaa
.
Invers matriks A yang berordo 3x3 dapat dicari dengan menggunakan aturan :
A-1
= )(.)det(
1AAdj
A
Keterangan :
A-1
= Invers dari matriks A
Adj(A) = matriks Adjoin dari A
det(A) = determinan dari matriks A
Cara menghitung determinan A adalah :
Cara I (metode sarrus)
- - -
det (A) =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
aa
aa
aa
+ + +
= (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a32) – (a31a22a13) – (a32a23a11) – (a33a21a12)
Cara II (metode cramer)
det (A) =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
= a11
3332
2322
aa
aa - a12
3331
2321
aa
aa + a13
3231
2221
aa
aa
= a11(a22a33-a32a23) – a12(a21a33-a31a23) + a13(a21a32-a31a22)
57
23
37
25
10
01
37
25
57
23
10
Cara menentukan matriks Adj(A) adalah :
Ajd(A) =
2221
1211
3231
1211
3231
2221
2321
1311
3331
1311
3331
2321
2322
1312
3332
1312
3332
2322
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
Contoh:
Hitunglah invers matriks A =
543
320
121
!
Penyelesaian:
Pertama-tama kita hitung determinan A.
- - -
det(A) =
543
320
121
43
20
21
+ + +
= [1.(-2).5] + [2.3.(-3)] + [(-1).0.4] – [(-3).(-2).(-1)] – [4.3.1] – [ 5.0.2]
= -10 – 18 + 0 + 6 – 12 – 0 = -34
atau
det(A) =
543
320
121
= 154
32 - 2
53
30
+ (-1)
43
20
= 1(-10-12) – 2(0-(-9)) + (-1)(0-6)
= -22 -18 + 6 = -34
Jadi, determinan A adalah -34.
Adjoin dari A adalah:
Adj(A) =
20
21
43
21
43
20
03
11
53
11
53
30
32
12
54
12
54
32
=
2106
329
41422
Invers dari matriks A adalah :
A-1
= )(.)det(
1AAdj
A
11
Diperoleh : A-1
= 34
1
2106
329
41422
=
34
2
34
10
34
634
3
34
2
34
934
4
34
14
34
22
J. Penyelesaian Persamaan Matriks
Penyelesaian persamaan matriks berbentuk A.X = B atau X.A = B, dengan A, B, dan X adalah
matriks-matriks berordo 2x2, dan matriks A adalah matriks nonsingular, sehingga matriks A
mempunyai invers (A-1
).
1. Persamaan bentuk A.X = B
Untuk persamaan A.X = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A-1
dari arah kiri.
A-1
.(A.X) = A-1
.B
(A-1
.A).X = A-1
.B
I.X = A-1
.B (sebab A-1
.A = I)
X = A-1
.B (sebab I.X = X.I = X)
Jadi, jika A.X = B, maka X = A-1
.B
2. Persamaan bentuk X.A = B
Untuk persamaan X.A = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A-1
dari arah kanan.
(X.A) A-1
= B. A-1
X.(A. A-1
) = B. A-1
X.I = B. A-1
(sebab A.A-1
= I)
X = B. A-1
(sebab I.X = X.I = X)
Jadi, jika X.A = B, maka X = B. A-1
Contoh:
Diketahui matriks-matriks A =
57
23 dan B =
32
15.
Tentukan matriks X berordo 2x2 yang memenuhi persamaan berikut !
a. A.X = B b. X.A = B
Penyelesaian:
det(A) = 57
23 = 15 – 14 = 1, sehingga A
-1 =
37
25.
a. Untuk persamaan matriks A.X = B penyelesaiannya adalah :
X = A-1
.B =
37
25
32
15 =
229
121
b. Untuk persamaan matriks X.A = B penyelesaiannya adalah :
X = B. A-1
=
32
15
37
25 =
511
718
12
LATIHAN SOAL MATRIKS
Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat dan benar!
1. Diketahui (
) (
) (
) (
)
( ) dan ( ).
Tentukan hasil dari matriks berikut.
a. Q + P c.
b. R + S d.
2. Diketahui matriks (
) (
) dan (
).
Tentukan: a. 2B + 3C+A d. AB
b. 5A – B + 4C e. C (A+B)
c.
3. Diketahui (
) dan (
). Tentukan :
a. AB c.
b. ( ) d.
4. Tentukan nilai a, b, c, dan d dari persamaan (
) (
) (
).
5. Tentukan determinan dari matriks berikut.
a. (
) c. (
)
b. (
)
6. Tentukan nilai x dari persamaan berikut.
a. |
| b. |
|
7. Tentukan invers dari matriks berikut.
a. (
) b. (
)
8. Tentukan nilai matriks X yang memenuhi persamaan berikut.
a. (
) (
) b. (
) (
)
9. Tentukan nilai dari dari kesamaan matriks (
) (
).
10. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan (
) (
) (
).
Top Related