Mathématiques 9:
L’algèbre
VocabulaireExpressions algébriques •Définition : Une expression
algébrique est un ensemble de lettres et de nombres et entre eux il y a un signe qui nous dit quelle est l’opération à effectuer.
•Exemple : - 4x+6 - 2xy+6xy
Variable •Définition : Une variable est la
lettre dans le terme algébrique.Exemple : 3x la variable est x . : 2a la variable est a .
Coefficient•Définition : Un coefficient est
le chiffre qui se retrouve devant une variable dans une expression algébrique.
Exemple : 3x+4y les coefficients sont
3 et 4
Terme algébrique
• Définition : Un terme algébrique est un monôme qui est constitué d’un coefficient et d’un groupe variable.
Exemple : 8x² coefficient 8 variable x exposant ²
Terme constant•Définition : Un terme constant
est un terme formé avec qu’un seul nombre. Il faut indiquer si ce nombre est positif ou négatif.
Exemple : 2x + 1 le + 1 est le terme constant .
Termes semblables•Définition : Un terme semblable doit avoir les mêmes variables soulevées à la même puissance
Exemple : 45y et 2y (semblables)
4y et 3y2 (pas semblables)
Les polynômes :- Monôme- Binôme - Trinôme
Les monômes • Définition : Un monôme est une
expression formée d’un seul terme. Ce terme peut inclure un coefficient, une ou plusieurs variables et des exposants. Un monôme est un produit de tous ces composants.
•Exemple : 4a3 b2
Les binômes
•Définition : Un binôme est une expression formée de deux termes. Un binôme est une somme ou une différence de deux monômes.
Exemple : 4ab2 + a2b
Les trinômes•Définition : C’est une
expression formée de trois termes non semblables.
Exemple : 4a² + 6ab² - 4b²
Quel est le degré du monôme?
245 bx le degré d’un monôme est la somme de ses exposants.
Les exposants pour chaque variable sont 4 et 2. 4+2 = 6.
Ce monôme est de degré 6.
Les polynômes• Définition : Un polynôme est une expression
qui inclut la somme ou la différence de plusieurs termes algébriques et peut inclure un terme constant.
• Les termes sont organisés en ordre alphabétique et en ordre décroissant des exposants.
•Exemple : 2x² + 3y² - 6x + 4y +1
14 x
83 3 x
1425 2 xx
Le degré d’un polynôme est le plus haut degré dans un de ces termes. Il faut déterminer le degré de chaque terme dans le polynôme, et puis le plus ‘puissant’ est le degré du polynôme.
2 Un terme constant : pas de variable. Un monôme de degré 0.
Ce binôme et de dégré 1. La variable x est à la puissance de 1. Les expressions polynomiales de degré un sont linéaires.
Ce trinôme est de degré 2. Des polynômes de degré 2 sont quadratiques.
Ce polynôme est de 3e degré. Des polynômes de degré 3 sont cubiques.
Polynôme
a.
b.
c.
d.
5
42 x
xx 23
14 23 xx
DegréClassification
par degréClassification
par # de termes
Zéro Constant Monôme
1 Linéaire Binôme
2 Quadratique Binôme
3 Cubique Trinôme
745 24 xxx
x544x 2x 7
243 5572 xxxx
32x4x 7x525x
)7552(1 234 xxxx
32x4x 7x525x
Le premier terme doit être positif.
Pour changer le signe du premier terme, multiplie tout le polynôme par –1 (utilise la distributivité).
*Les termes sont organisé en ordre décroissant des exposants. *Le premier terme est positif.
a) Réécris les polynômes en forme standarde
b) Identifie-les par le degré et par le nombre de termes.
c) Identifie le terme constant.
23 237 xx 1.
2.
€
1+a2 +2a
Addition des polynômesAddition des polynômes
3y2+6y7+y+9
et
y2+2y7+3y+12
Démarche: L’addition de 2 polynômes se fait en additionnant les termes de chaque polynôme qui sont semblables et réduire l’expression algébrique obtenue. On obtient un nouveau polynôme correspondant à la somme recherchée.
Exemple:
3y2 + 6y7 + y + 9
+ y2 + 2y7 + 3y + 12
4y2 + 8y7 + 4y + 21
Ce polynôme correspond à lasomme recherchée.
Soustraction des Soustraction des polynômes polynômes
Démarche: La soustraction des polynômes équivaut à additionner l’opposé de chacun des termes deuxièmepolynôme au premier et à réduire l’expression algébrique obtenue. On obtient un nouveau polynôme correspondant à la différence recherchée. -3x2 - 6x + 7
Soustrait de
5x2 + 10x - 12.
(5x2 + 10x – 12) – (-3x2 – 6x + 7)
= (5x2 + 10x – 12) + 3x2 + 6x + (–7)
= 5x2 + 3x2 + 10x + 6x + (-12) + (-7)
= 8x2 + 16x + (-19) ou 8x2 + 16x – 19
Ce polynôme correspond à ladifférence recherchée.
Exemple:
Les propriétés des Les propriétés des exposantsexposantsRègles:am x an = am+n
(am)n = amn
am ÷ an =am-n
(ab)n = an x bn
n√a
√afn
Ex: 32 x 33 = 32+3
Ex: (32)4 = 32x4
Ex: 28 ÷ 25 = 28-5
Ex: (34)2 = 32 x 42
Ex: 5 1
4= √5
4
Ex: 3
=6561
= 35
=38
=23
=9x16
=144
=8
=243
=8,9
3
4=
4√33=20,78
a0 =1 Ex: 1800=1 =1€
a1
n =
€
af
n =
Multiplication de monômes
(a3b4)(a5b2)
(a3a5)(b4b2)Regrouper les bases semblables
Pour multiplier des monômes, additionne les exposants.
solution: a8b6
Quel propriété? La commutativité
Multiplie
(5a4b3)(2a6b5)
À toi!
1. (a2b3)(a9b)
Solution: a11b4
2. (3a12b4)(-5ab2)(a3b8)
Solution: -15a16b14
Multiplication d’un Multiplication d’un polynôme polynôme
par un monômepar un monômeDémarche: Distribuer--- il faut multiplier chacun des termes du polynôme par le monôme.
Exemple:
(7ab) (5a2 + 6b + 12) = (7ab × 5a2) + (7ab × 6b) + (7ab × 12) = 35a3b + 42ab2 + 84ab
Division des monômes
a7b5
a4b
Regrouper les bases semblables
Pour diviser,
Soustrais les exposants
solution: a3b4
(a7 - 4)(b5 - 1)
a7
a4
b5
b1
•
Division des monômes
-30x3y4
-5xy3
Divise les coefficients.
Regroupe les bases
solution: 6x2y
(x3 - 1)(y4 - 3)-30
-5
Divise
2m5n4
-3m4n2
Divise les coefficients et soustrais les exposants (m5 - 4)(n4 - 2)
2
-3
Solution: 2
- 3mn2
2mn2
- 3=
À toi!
1. m8n5
m4n2
Solution: m4n3
(m8 - 4)(n5 - 2)
2. - 3x10y7
6x9y2
- 3 6
(x10 - 9)(y7 - 2)
Solution: -1
2xy5
- xy5
2=
•La division d’un polynôme par un
monôme.
• Définition : Il faut diviser chacun des termes par le monôme.
• Exemple :
€
(4x +16) ÷ 2
=4x
2+16
2= 2x +8
Simplifier une puissance ayant une base monomiale
(ab)2
Règle : (xy)n = xnyn
(ab)(ab)
a2b2
(ab)3
(ab)(ab)(ab)
a3b3
(aa)(bb) (aaa)(bbb)
Simplifier une puissance ayant une base monomiale:
Puissance d’une puissance(a9b5)3
Règle: (xayb)n = xanybn
(a9•3)(b5•3)
Solution: a27b15
(4m11n20)2
(41•2)(m11•2)(n20•2)
Solution: 16m22n40
(41m11n20)2
À toi!
1. (2a4)3
Règle: (xayb)n = xanybn
(21•3)(a4•3)Solution: 8a12
2. (4xy5z2)4
(41•4)(x1•4)(y5•4)(z2•4)
Solution: 256x4y20z8
(21a4)3 (41x1y5z2)4
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