เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตนแบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต
ประจ�าป พ.ศ. 2553-2554
ส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ
ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน
กระทรวงศกษำธกำร
เสรมคด...คณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตนแบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต
ประจาป พ.ศ. 2553-2554
ISBN 978-616-202-598-3
พมพครงแรก พ.ศ. 2555
จ�ำนวนพมพ 2,000 เลม
เรยบเรยง กลมวจยและพฒนำองคกรแหงกำรเรยนร
ส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ
ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน
สงวนลขสทธ ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน
กระทรวงศกษำธกำร
จดพมพโดย โครงกำรพฒนำคณภำพกำรเรยนรสสำกล
กลมวจยและพฒนำองคกรแหงกำรเรยนร
ส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ
ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน
กระทรวงศกษำธกำร
พมพท โรงพมพองคกำรสงเครำะหทหำรผำนศก เลขท2/9ซอย31ถนนกรงเทพ-นนทบร เขตบำงซอกรงเทพฯ10800 โทรศพท0-2587-3137โทรสำร0-2587-3295
คานาส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำนมนโยบำยยกระดบคณภำพมำตรฐำน
กำรศกษำขนพนฐำนและใชกระบวนกำรแขงขนทำงวชำกำรกระบวนกำรวจยพฒนำคณภำพ
กำรเรยนรเปนเครองมอในกำรขบเคลอนนโยบำยสกำรปฏบต และในโอกำสทส�ำนกงำน
คณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน ไดรบเชญจำกกระทรวงและหนวยงำนทำงกำรศกษำ
ตำงประเทศในกำรพจำรณำนกเรยนเขำรวมกำรแขงขนทำงวชำกำร ระดบนำนำชำต
จงไดด�ำเนนงำนโครงกำรพฒนำคณภำพกำรเรยนรสสำกลกจกรรมกำรแขงขนทำงวชำกำร
ระดบนำนำชำต โดยมวตถประสงคเพอเปดโอกำสใหนกเรยนไดแลกเปลยนเรยนรสเวท
วชำกำรและไดพฒนำควำมสำมำรถเตมตำมศกยภำพส�ำหรบกจกรรมกำรแขงขนทำงวชำกำร
จงเปนเวทแหงประสบกำรณนอกหองเรยน และเปนกำวหนงของนกเรยนทไดมโอกำส
ฉำยแววแหงควำมสำมำรถ ดงนน ควำมส�ำคญจงมไดอยทรำงวลจำกกำรแขงขนทนกเรยน
ไดรบเทำนน หำกแตควำมส�ำคญนนคอประสบกำรณกำรเรยนรอนเปนประสบกำรณตรง
ททรงคณคำของนกเรยน
เอกสำรชดเสรมคดคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน(แบบทดสอบกำรแขงขน
ทำงวชำกำร ระดบนำนำชำต ประจ�ำป พ.ศ. 2553-2554) เปนผลผลตจำกกำรศกษำ
วเครำะหเนอหำหลกสตรในกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบนำนำชำตทเนนดำนกระบวนกำร
ทำงคณตศำสตร และใชเปนพมพเขยวในกำรสรำงแบบทดสอบทใชในกำรแขงขน
ทำงวชำกำรระดบเขตพนทกำรศกษำ และกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบประเทศ เพอ
กำรคดเลอกนกเรยนทมควำมสำมำรถทำงคณตศำสตรเปนตวแทนนกเรยนไปแขงขนทำงวชำกำร
ระดบนำนำชำต ประจ�ำป พ.ศ. 2553-2554 เอกสำรชดน ส�ำนกงำนคณะกรรมกำร
กำรศกษำขนพนฐำน เผยแพรเปนแนวทำงในกำรพฒนำคณภำพกำรเรยนรและ
พฒนำขดควำมสำมำรถของนกเรยนใหสำมำรถกำวทนโลก กำวทนกำรเปลยนแปลง
ตลอดจนสำมำรถน�ำสงทไดจำกกำรเรยนรไปปรบใชในชวตประจ�ำวนไดอยำงมควำมสข
โอกำสน ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน ขอขอบคณคณะท�ำงำน
ทกทำนทไดมสวนรวมจดท�ำเอกสำรชดเสรมคดคณตศำสตร ระดบมธยมศกษำตอนตน
และขอขอบคณหนวยงำนทเกยวของในกำรรวมสรำงสรรคเปดโอกำสใหนกเรยนไทย
ไดกำวไกลสสำกล
ส�านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน
ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน โดยส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจด
กำรศกษำไดจดท�ำเอกสำรชดเสรมคดคณตศำสตรและเสรมคดวทยำศำสตร(แบบทดสอบ
กำรแขงขนทำงวชำกำรระดบนำนำชำตประจ�ำปพ.ศ.2553-2554)และเปนผลผลตจำก
กำรด�ำเนนงำนโครงกำรพฒนำคณภำพกำรเรยนรสสำกล กจกรรมกำรแขงขนทำงวชำกำร
ระดบนำนำชำตจดท�ำขนเพอเผยแพรเปนแนวทำงหนงส�ำหรบครผสอนใชในกำรจดกจกรรม
กำรเรยนรและส�ำหรบนกเรยนใชเปนแบบฝกเสรมทกษะเพมพนประสบกำรณพฒนำควำม
สำมำรถทำงคณตศำสตรและวทยำศำสตร เปนกำรเพมขดควำมสำมำรถดำนกระบวนกำรคด
และเตรยมควำมพรอมนกเรยนเพอกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบนำนำชำต
เอกสำรชดเสรมคดคณตศำสตรและเสรมคดวทยำศำสตรประกอบดวยแบบทดสอบ
คณตศำสตรและแบบทดสอบวทยำศำสตร ทใชในกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบนำนำชำต
ประจ�ำป พ.ศ. 2553-2554 ของส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน จ�ำนวน
3เลมดงตอไปน
เลมท 1เสรมคด...คณตศำสตรระดบประถมศกษำ
แบบทดสอบกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบนำนำชำตประจ�ำปพ.ศ.2553-2554
เลมท 2เสรมคด...คณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน
แบบทดสอบกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบนำนำชำตประจ�ำปพ.ศ.2553-2554
เลมท 3 เสรมคด...วทยำศำสตรระดบประถมศกษำ
แบบทดสอบกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบนำนำชำตประจ�ำปพ.ศ.2553-2554
เอกสำรชดเสรมคดคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน(แบบทดสอบกำรแขงขน
ทำงวชำกำรระดบนำนำชำตประจ�ำปพ.ศ.2553-2554) เปนกำรน�ำเสนอวธกำรยทธศำสตร
กำรแกโจทยปญหำ และใชเปนยทธวธในกำรเฉลยแนวคดแบบทดสอบทใชในกำรแขงขน
ทำงวชำกำรระดบเขตพนทกำรศกษำ และกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบประเทศประจ�ำป
พ.ศ. 2553-2554ส�ำหรบเนอหำสำระทไดน�ำเสนอในเอกสำรนเปนแนวทำงหนงในกำรแก
โจทยปญหำทหลำกหลำย ภำยใตกรอบเนอหำสำระทใชในกำรแขงขนคณตศำสตร
ระดบนำนำชำต
ส�านกพฒนานวตกรรมการจดการศกษา
คาชแจง
สารบญ
หนำ
ค�ำน�ำ
ค�ำชแจง
สำรบญ
๏ แบบทดสอบคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน........................................................7
ระดบเขตพนทกำรศกษำประจ�ำปพ.ศ.2553
๏ แนวคดแบบทดสอบคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน............................................13
ระดบเขตพนทกำรศกษำประจ�ำปพ.ศ.2553
๏ แบบทดสอบคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน........................................................31
ระดบประเทศประจ�ำปพ.ศ.2553
๏ แนวคดแบบทดสอบคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน............................................39
ระดบประเทศประจ�ำปพ.ศ.2553
๏ แบบทดสอบคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน........................................................57
ระดบเขตพนทกำรศกษำประจ�ำปพ.ศ.2554
๏ แนวคดแบบทดสอบคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน............................................65
ระดบเขตพนทกำรศกษำประจ�ำปพ.ศ.2554
๏ แบบทดสอบคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน.........................................................81
ระดบประเทศประจ�ำปพ.ศ.2554
๏ แนวคดแบบทดสอบคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน............................................89
ระดบประเทศประจ�ำปพ.ศ.2554
การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน
กระทรวงศกษาธการ
แบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน
ระดบเขตพนทการศกษา ประจ�าป พ.ศ. 2553
การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553
สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ
แบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน
เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบพนทการศกษา ประจาป พ.ศ. 2553
สอบวนท 23 มกราคม พ.ศ. 2553 เวลา 9.30 น.-11.30 น.
คาชแจง
1. แบบทดสอบฉบบน เปนแบบทดสอบชนดเตมคาตอบ (ไมตองแสดงวธทา) มจานวน 5 หนา
รวมเวลา 2 ชวโมง
2. แบบทดสอบมทงหมด 30 ขอ คะแนนเตม 120 คะแนน
แบงเปน 3 ตอนคอ
ตอนท 1 ตงแตขอท 1 – 10 ขอละ 3 คะแนน รวม 30 คะแนน
ตอนท 2 ตงแตขอท 11 – 20 ขอละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน
ตอนท 3 ตงแตขอท 21 – 30 ขอละ 5 คะแนน รวม 50 คะแนน
3. กระดาษคาตอบม 1 แผน ใหนกเรยนเขยน ชอ-นามสกล เลขประจาตวสอบ หองสอบ
ชอ โรงเรยน สานกงานเขตพนทการศกษาของนกเรยนใหครบในกระดาษคาตอบ
4. คาตอบ แตละขอทนกเรยนตอบ ตองตอบลงในกระดาษคาตอบเทานนและใหตรงกบขอคาถาม
5. คาถามขอใดทตองแสดงคาตอบมากกวาหนงคาตอบ นกเรยนตองตอบใหถกทกคาตอบ
จงจะไดคะแนนในขอนน
6. ไมอนญาตใหใชเครองคดเลข โทรศพท หรอ เครองมออเลกทรอนกสใดๆ ในการคานวณ
7. นกเรยนจะออกจากหองสอบได หลงจากเรมสอบไปแลว 1 ชวโมง โดยวางกระดาษคาตอบ
กระดาษทดและแบบทดสอบไวบนโตะ
8. การตดสนของคณะกรรมการถอเปนขอยต
แบบทดสอบฉบบน เปนลขสทธของ
สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ
หามเผยแพร อางอง ตดตอ ดดแปลงหรอเฉลย กอนไดรบอนญาต
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2553) : 10
1. จงหำค.ร.น.ของ84,90และ120
2. จงหำผลบวกของจ�ำนวนเฉพำะ9จ�ำนวนแรกมคำเทำกบเทำไร
3. จงหำรำกทสำมของ91125
4. จงหำจ�ำนวน5หลกทมคำมำกทสดทหำรดวย654ลงตว
5. จงหำพนทของรปสเหลยมผนผำ
6. A = และ B = ถำ AB = แลว
มคำเทำใด
7. เปนจ�ำนวนเตมบวกทหำรดวย 5, 4, 3, 2 เหลอเศษ 4, 3, 2, 1 ตำมล�ำดบ คำต�ำสดของ
ทท�ำให11หำรลงตวมคำเทำใด
8. ถำ จงหำคำของ
9. ถำm หำรดวย 10 เหลอเศษ 5 และ n หำรดวย 10 เหลอเศษ 2 แลว 3m-2n หำรดวย 5
เหลอเศษpจงหำคำของp+3
10. ABCเปนรปสำมเหลยมซงม อตรำสวนของสวนสงทงสำมของ
รปสำมเหลยมABC มคำเทำไร(ตอบเปนอตรำสวนอยำงต�ำ)
เมอ เซนตเมตร
เซนตเมตร
ตอนท 1 ตงแตขอท 1-10 ขอละ 3 คะแนน
11แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
11. กอยเขยนหนงสอและพมพจ�ำหนำยจ�ำนวน2,000 เลม ในชวงแรกขำยได1,400 เลม ไดก�ำไร20%
ตอมำขำยหนงสอทเหลอขำดทน30%สดทำยเขำไดก�ำไรหรอขำดทนรอยละเทำใด
12. จงหำรำกของสมกำร
13. ทรงกระบอกมรศม เซนตเมตรบรรจในกรวยกลมทมรศม5เซนตเมตรและสง
12เซนตเมตรโดยทขอบของทรงกระบอกดำนบนอยในระนำบเดยวกนกบฝำกรวยกลมพอด
จงหำเกำเทำของปรมำตรของทรงกระบอกนวำมกลกบำศเซนตเมตร(ตอบในรปของπ)
14.รปสำมเหลยมมมฉำกมดำนตรงขำมมมฉำกคอAB,AC=8ซม.และBC=6ซม.
จดDเปนจดกงกลำงของดำนABจำกจดDลำกเสนตงฉำกกบABบนACทจดE
จงหำควำมยำวของDEยำวกเซนตเมตร(ตอบเปนทศนยม2ต�ำแหนง)
15. ABCD เปนรปสเหลยมผนผำมAB=50หนวยBC=40 หนวยEเปนจดบนCDท�ำให
จงหำพนทรปสำมเหลยมADEเปนกตำรำงหนวย
16. ชำยคนหนงตองเดนทำงไปท�ำงำนโดยเดนจำกทพกผำน 4 ชวงตกไปทำงทศตะวนออกและเดนไปทำง
ทศเหนออก3ชวงตกจงจะถงทท�ำงำนถำเขยนแผนกำรเดนทำงผำนชวงตก1ชวงคอผำน1ชอง
ในตำรำง7 x 7จงหำจ�ำนวนเสนทำงกำรเดนทเปนไปไดทงหมดทชำยคนนเดนทำงไปท�ำงำน
17. ADเปนสวนสงของรปสำมเหลยมABCสวนของเสนตรงPQ , RSและBCขนำนกนโดยทสวนของ
เสนตรงPQและRSตดADทจดMและNตำมล�ำดบดงรป
ถำAM = MN = ND
และพนทรปสเหลยมPQSRเทำกบ24ตำรำงหนวย
จงหำพนทรปสำมเหลยมABCเปนกตำรำงหนวย
18. จงหาจานวนวธในการสรธในการสรธ ในการสรในการสรางจานวนคบวก 3 หลกจากเลขโดดกจากเลขโดดตวเลขโดดซวเลขโดดซ วเลขโดดซวเลขโดดซากน
19. กาหนด a, b, c เปเปเปนคาตอบของสมการ 3 2x 3x kx 12 03 2x 3x kx 12 03 2x 3x kx 12 0x 3x kx 12 0 x 3x kx 12 0 x 3x kx 12 0 จงหาคา k ททาใหาใหาให a b 6a b 6 a b 6
20. จงหาคา k ทเปเปเปนบวกททาใหาใหาใหกราฟของเสกราฟของเสกราฟของเสนตรง y 2x k 0y 2x k 0y 2x k 0y 2x k 0 y 2x k 0 สมผสกราฟวงกลมสกราฟวงกลม 2 2x y 202 2x y 202 2 2 2 2 2x y 20 x y 202 2x y 202 2 2 2x y 202 2
กจากเลขโดด 0, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 และไมและไมและไมใชใชใช
a,b,c
ตอนท 2 ตงแตขอท 11-20 ขอละ 4 คะแนน
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2553) : 12
22. ถา 67723 22 yxykxyx แยกตวประกอบในรวประกอบในร ปเชปเชปเชงเสนและมสมประสมประส มประสมประสทธเปเปเปนจานวนเตม จงหาคา k
23. ในการทอดลกเตา 3 ลกพรอมกน 1 ครง จานวนวธทผลรวมของแตมบนหนาลกเตา มคาเทากบ 14 มอยทงหมดกวธ
24. O เปเปเปนจดศนยกลางของวงกลม โดยมโดยมโดยมเสนผานศนยกลางยาว 34 เซนตเมตร คอรด AB ตดกบคอรด CD เปเปเปนมมฉากทจด X ถา คอรด AB ยาว 2 2532 2532 253 เซนตเมตร และ OX ยาว 10 เซนตเมตร จงหาผลคณของความยาวของ CX กบความยาวของ XD เปเปเปนกเซนตเมตร
25. จงหาเศษของการหาร 10321032 ดวย 100 เปเปเปนเทาไร
26. 26. กกาหนดาหนด bba, เปเปเปเปนจนจานวนเตานวนเตมบวกมบวก โดยทโดยทโดยทโดยท 00201201,...,44,33,22,1111AA ถถาเลาเลอกอก a และและ bb จากจาก AA นนามาามาสรางเปางเปางเปนคอนดบ b a , โดยทโดยทโดยท 4ba จะสราง ba, ไดไดไดกคอนดบทสอดคลองกบเงอนไขดอนไขดอนไขดงกลาว
27. กาหนดใหาหนดใหาหนดให N เปเปเปนจานวนนบ และ 1......21! NNNN เชน 12345!5 ใหใหให !100...!7!6!5!4!3!2!1 A เลขโดด C เปเปเปนตวเลขในหลวเลขในหล วเลขในหลวเลขในหลกหนวยของ A และ เลขโดด D เปเปเปนตวเลขในหลวเลขในหล วเลขในหลวเลขในหลกหนวยของ
10A จงหาคาของ C +C +C D
28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสในระบบเลขฐานสในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22
กาหนด
1287714714714714 16
1161
21
41
21
81
41
161
81
n
จงหาคาของ Sum(n)
29. กาหนด yx, และ z เปเปเปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปเปเปนเทาไร
30. กาหนด 2009 bad a d c dcb c b a และ
4991111
badadcdcbcba
จงหาคาของcba
dbad
cadc
bdcb
a
เปเปเปนเทาไร
22.ถำ แยกตวประกอบในรปเชงเสนและมสมประสทธเปนจ�ำนวนเตม
จงหำคำk
ถำคอรด
21. จากรป สวนโควนโควนโคงเกดจากวงกลมทมรศม 7 หนวยเทากน พนทในรปปปปปปดทงหมดเปเปเปนกตารางหนวย (กาหนด
722
)
ตอนท 3 ตงแตขอท 21-30 ขอละ 5 คะแนน
*******************************
การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจ�าป พ.ศ. 2553
ส�านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ
แนวคดแบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน
เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบเขตพนทการศกษา ประจ�าป พ.ศ. 2553
แนวคดแบบทดสอบคณตศำสตรฉบบนเปนลขสทธของ
ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำนกระทรวงศกษำธกำร
หามเผยแพร อางอง ตดตอ ดดแปลงหรอเฉลย กอนไดรบอนญาต
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2553) : 14
1. จงหา ค.ร.น. ของ 84, 90 และ 120 แนวคด
237
10157)5
304521)3
604542)2
1209084)2
ค.ร.น. 2375322 2520 ตอบ 2520 2. จงหาผลบวกของจานวนเฉพาะ 9 จานวนแรก มคาเทากบเทาไร แนวคด จานวนเฉพาะ
1002319171311753223,19,17,13,11,7,5,3,2
ตอบ 100 3. จงหารากทสามของ 91125 แนวคด
1
3)3
9)3
27)3
81)3
243)3
729)3
3645)518225)5
91125)5
4533591125
333333555911253
ตอบ 45
จ�ำนวนเฉพำะ9จ�ำนวนแรกคอ2, 3, 5, 7, 11 , 13, 17, 19, 23
ผลบวกคอ2+3+5+7+11+13+17+19+23=100
1. จงหา ค.ร.น. ของ 84, 90 และ 120 แนวคด
237
10157)5
304521)3
604542)2
1209084)2
ค.ร.น. 2375322
2520ตอบ 2520
2. จงหาผลบวกของจานวนเฉพาะ 9 จานวนแรก มคาเทากบเทาไรแนวคด
ตอบ 100
จ�ำนวนเฉพำะ9จ�ำนวนแรกคอ2, 3, 5, 7, 11 , 13, 17, 19, 23
ผลบวกคอ2+3+5+7+11+13+17+19+23=100
3. จงหารากทสามของ 91125 แนวคด
1
3)3
9)3
27)3
81)3
243)3
729)3
3645)518225)5
91125)5
4533591125
333333555911253
ตอบ 45
15แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
4. จงหาจานวน 5 หลกทมคามากทสดทหารดวย 654 ลงตว แนวคด จานวน 5 หลกทมคามากทสดคอ 99999
59113181899
32703459654
152(99999)654
จานวนทตองการ 99999 – 591 = 99408 ตอบ 99408 5. จงหาพนทของรปสเหลยมผนผา ABCD
เมอ 48AB เซนตเมตร 50AC เซนตเมตร
แนวคด
2
222
222
222
1419698248504850
4850BC
BC4850BCABAC
14BC ซม. พนทรปสเหลยม 1448ABCD 672 ซม 2 ตอบ 672 ซม 2
A B
CD
1308
4. จงหาจานวน 5 หลกทมคามากทสดทหารดวย 654 ลงตวแนวคด
จานวน 5 หลกทมคามากทสดคอ 99999
59113181899
32703459654
152(99999)654
จานวนทตองการ 99999 – 591 = 99408 ตอบ 99408
1308
จงหำพนทของรปสเหลยมผนผำABCDเมอAB=48เซนตเมตรและAC=50เซนตเมตร5.
แนวคด
A B
CD
จงหำพนทของรปสเหลยมผนผำABCDเมอAB=48เซนตเมตรและAC=50AC=50AC เซนตเมตร
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2553) : 16
6. A = 932 xx และ B = 932 xx ถา AB = cbxax 24 แลว cba มคาเทาใด แนวคด 932 xxA
9181,9,1
81998118
39
39399393
93
24
224
222
22
22
2
cbacba
xxxxx
xx
xxxxxxxxAB
xxB
ตอบ 91 7. N เปนจานวน เตมบวกทหารดวย 5, 4, 3, 2 เหลอเศษ 4, 3, 2, 1 ตามลาดบ คาตาสดของ N ท
ทาให 11 หารลงตวมคาเทาใด แนวคด 45 pN
1282334
NrNqN
1N หารดวย 60 ลงตว
539540194554415331522151115015
1115
1155
11
160601
NN
aa
aaaaa
aaNaNaN
ตอบ 539
…………
จาก
6. A = 932 xx และ B = 932 xx ถา AB = cbxax 24 แลว cba มคาเทาใด แนวคด 932 xxA
9181,9,1
81998118
39
39399393
93
24
224
222
22
22
2
cbacba
xxxxx
xx
xxxxxxxxAB
xxB
ตอบ 91 7. N เปนจานวน เตมบวกทหารดวย 5, 4, 3, 2 เหลอเศษ 4, 3, 2, 1 ตามลาดบ คาตาสดของ N ท
ทาให 11 หารลงตวมคาเทาใด แนวคด 45 pN
1282334
NrNqN
1N หารดวย 60 ลงตว
539540194554415331522151115015
1115
1155
11
160601
NN
aa
aaaaa
aaNaNaN
ตอบ 539
…………
จาก
6. A = 932 xx และ B = 932 xx ถา AB = cbxax 24 แลว cba มคาเทาใด แนวคด 932 xxA
9181,9,1
81998118
39
39399393
93
24
224
222
22
22
2
cbacba
xxxxx
xx
xxxxxxxxAB
xxB
ตอบ 91 7. N เปนจานวน เตมบวกทหารดวย 5, 4, 3, 2 เหลอเศษ 4, 3, 2, 1 ตามลาดบ คาตาสดของ N ท
ทาให 11 หารลงตวมคาเทาใด แนวคด 45 pN
1282334
NrNqN
1N หารดวย 60 ลงตว
539540194554415331522151115015
1115
1155
11
160601
NN
aa
aaaaa
aaNaNaN
ตอบ 539
…………
จาก
2 S + 1
แนวคด 45 pN
1282334
NrNqN
1N หารดวย 60 ลงตว
1115
1155
11
160601
aaNaNaN …………
53954054011
NNN
ตอบ 539
จากจาก
2 S + 1
6. A = 932 xx และ B = 932 xx ถา AB = cbxax 24 แลว cba มคาเทาใด แนวคด
932 xxA
9181,9,1
81998118
3 9 3 9 3 9 9 3 9 3
93
24
224
22 2 2 2 2 2
2
cbacba
xxxxx
x x x x x x x x x x AB
xxB
ตอบ 91
5a - 1 = 0 ; a =5a - 1 = 11 ; a =5a - 1 = 22 ; a =
5a - 1 = 33 ; a =
5a - 1 = 44 ; a =
15125235345455
7. เปนจ�ำนวนเตมบวกทหำรดวย5,4,3,2เหลอเศษ4,3,2,1ตำมล�ำดบคำต�ำสดของ
ทท�ำให11หำรลงตวมคำเทำใด
17แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
8. ถา 76
x จงหาคาของ 2142
xx
แนวคด
22
2 121x
xx
x
หรอ
2
22 1242142
xx
xx
42169
4284852
4285
4242
4936
267
76
7612
76
76
1276
2
2
169498436
672
7642
7612
7642
2142
xx = 169
ตอบ 169
แนวคดท 1 แนวคดท 2
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2553) : 18
9. ถา m หารดวย 10 เหลอเศษ 5 และ n หารดวย 10 เหลอเศษ 2 แลว 3m-2n หารดวย 5 เหลอเศษ p จงหาคาของ p+3
แนวคด am
10
เศษ 5 510 am
จะได ...15303 am .. bn
10
เศษ 2 210 bn
จะได ...4202 bn …. - ; 11203023 banm 12465 ba ดงนน nm 23 หารดวย 5 เหลอเศษ 1 P = 1 P+3 = 4 ตอบ 4 10. ABC เปนรปสามเหลยมซง 4:5:2:: CABCAB อตราสวนของสวนสงทงสามของ รปสามเหลยม ABC CFBEAD :: มคาเทาไร (ตอบเปนอตราสวนอยางตา) แนวคด จะได BECAADBCCFAB ...
xCAxBCxABCABCAB
4,5,24:5:2::
จะไดวา BExADxCFx 452
10:5:4::2:1:5:4:
452
CFBEADCFBEBEAD
BEADCF
ตอบ 4:5:10
A
D
E F
BC
9. ถา m หารดวย 10 เหลอเศษ 5 และ n หารดวย 10 เหลอเศษ 2 แลว 3m-2n หารดวย 5 เหลอเศษ p จงหาคาของ p+3
แนวคด am
10
เศษ 5 510 am
จะได ...15303 am .. bn
10
เศษ 2 210 bn
จะได ...4202 bn …. - ; 11203023 banm 12465 ba ดงนน nm 23 หารดวย 5 เหลอเศษ 1 P = 1 P+3 = 4 ตอบ 4 10. ABC เปนรปสามเหลยมซง 4:5:2:: CABCAB อตราสวนของสวนสงทงสามของ รปสามเหลยม ABC CFBEAD :: มคาเทาไร (ตอบเปนอตราสวนอยางตา) แนวคด จะได BECAADBCCFAB ...
xCAxBCxABCABCAB
4,5,24:5:2::
จะไดวา BExADxCFx 452
10:5:4::2:1:5:4:
452
CFBEADCFBEBEAD
BEADCF
ตอบ 4:5:10
A
D
E F
BC
10. ABCเปนรปสำมเหลยมซงABCเปนรปสำมเหลยมซงABC AB : BC : CA = 2 : 5 : 4อตรำสวนของสวนสงทงสำมของ
รปสำมเหลยมABC (AD : BE : CF)มคำเทำไร(ตอบเปนอตรำสวนอยำงต�ำ)
แนวคด จะไดAB·CF = BC·AD = CA·BE
19แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
11. กอยเขยนหนงสอและพมพจาหนายจานวน 2,000 เลม ในชวงแรก ขายได 1,400 เลม ไดกาไร 20% ตอมาขายหนงสอทเหลอขาดทน 30% สดทายเขาไดกาไรหรอขาดทนรอยละเทาใด แนวคด %5
000,2)914((000,2
000,2)60030()400,120(
ไดกาไรรอยละ 5 ตอบ ไดกาไรรอยละ 5 12. จงหารากของสมการ 2 2x 2x 2 x 2x 10 x 0 แนวคด
2 2 2
2
2 2
x 2x 2 x 2x 10 x
2 x 2x 10 2x
x 2x 10 x x 5
ตอบ 5
11. กอยเขยนหนงสอและพมพจาหนายจานวน 2,000 เลม ในชวงแรก ขายได 1,400 เลม ไดกาไร 20% ตอมาขายหนงสอทเหลอขาดทน 30% สดทายเขาไดกาไรหรอขาดทนรอยละเทาใด แนวคด %5
000,2)914((000,2
000,2)60030()400,120(
ไดกาไรรอยละ 5 ตอบ ไดกาไรรอยละ 5 12. จงหารากของสมการ 2 2x 2x 2 x 2x 10 x 0 แนวคด
2 2 2
2
2 2
x 2x 2 x 2x 10 x
2 x 2x 10 2x
x 2x 10 x x 5
ตอบ 5
%5000,2
)914((000,2000,2
)60030()400,120(
ไดไดไดกาไรราไรราไรรอยละ 5
11.กอยเขยนหนงสอและพมพจ�ำหนำยจ�ำนวน2,000เลมในชวงแรกขำยได1,400เลมไดก�ำไร
20%ตอมำขำยหนงสอทเหลอขำดทน30%สดทำยเขำไดก�ำไรหรอขำดทนรอยละเทำใด
แนวคด
ไดก�ำไร
x2 + 2x - 2 x2 - 2x + 10 = x2
2 x2 - 2x + 10 = 2x x2 - 2x + 10 = x2
x = 5
ตอบ 5
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2553) : 20
35
5
h
12
แนวคด
51260
5601212
125
rh
hr
hr
ปรปรปรมาตรทรงกระบอก
512602 rrrr
r r 12 60 5
2
rr
เมอ35
321 r
จะไดจะไดจะไดปรปร ปรปรมาตรทรงกระบอกคอ
351260
925
5
9200
40 5 9
ดงนน 9 เทาปราปราปรมาตรทรงกระบอก = 200
ตอบ 200 ลกบาศกเซนตเมตร
13.ทรงกระบอกมรศม321 เซนตเมตรบรรจในกรวยกลมทมรศม5เซนตเมตรและ
สง12เซนตเมตรโดยทขอบของทรงกระบอกดำนบนอยในระนำบเดยวกนกบฝำ
กรวยกลมพอดจงหำเกำเทำของปรมำตรของทรงกระบอกนวำมกลกบำศกเซนตเมตร
(ตอบในรปของπ)
21แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
14. รปสามเหลยมมมฉาก ABC ม AB เปนดานตรงขามมมฉาก คอ 8, ACAB ซม. และ 6BC ซม. จด D เปนจดกงกลางของดาน AB จากจด D ลากเสนตงฉากกบ AB บน AC ทจด E จงหาความยาวของ DE กเซนตเมตร (ตอบเปนทศนยม 2 ตาแหนง)
แนวคด จากทฤษฏบทพธากอรส 366468 22 AB 10100 5 BDAD AED ~ ABC จะได
BCAC
DE
5 68
75.3830
DE ซ.ม.
ตอบ 3.75 เซนตเมตร 15. ABCD เปนรปสเหลยมผนผาม 50AB หนวย 40BC หนวย
E เปนจดบน CD ทาให EACCAB ˆˆ จงหาพนทรปสามเหลยม ADE เปนกตารางหนวย แนวคด
1. ตอ AE ยาวพอประมาณ ลาก CF พบสวนตอ AE ท F จะได AFCABC 2. EFCEDA ˆˆ (ขนาด 90 เทากน) CFAD FECDEA ˆˆ (มมตรงขาม) CFEADE (ม.ด.ม.) จะได xCEAE 50
9160010025004050
22
222
xxxxxx
พ.ท. 94021
ADE
= 180 ตอบ 180 ตารางหนวย
E
D
A
C B
40
x
40
B
CD
F
E
A
14. รปสามเหลยมมมฉาก ABC ม AB เปนดานตรงขามมมฉาก คอ 8, ACAB ซม. และ 6BC ซม. จด D เปนจดกงกลางของดาน AB จากจด D ลากเสนตงฉากกบ AB บน AC ทจด E จงหาความยาวของ DE กเซนตเมตร (ตอบเปนทศนยม 2 ตาแหนง)
แนวคด จากทฤษฏบทพธากอรส 366468 22 AB 10100 5 BDAD AED ~ ABC จะได
BCAC
DE
5 68
75.3830
DE ซ.ม.
ตอบ 3.75 เซนตเมตร 15. ABCD เปนรปสเหลยมผนผาม 50AB หนวย 40BC หนวย
E เปนจดบน CD ทาให EACCAB ˆˆ จงหาพนทรปสามเหลยม ADE เปนกตารางหนวย แนวคด
1. ตอ AE ยาวพอประมาณ ลาก CF พบสวนตอ AE ท F จะได AFCABC 2. EFCEDA ˆˆ (ขนาด 90 เทากน) CFAD FECDEA ˆˆ (มมตรงขาม) CFEADE (ม.ด.ม.) จะได xCEAE 50
9160010025004050
22
222
xxxxxx
พ.ท. 94021
ADE
= 180 ตอบ 180 ตารางหนวย
E
D
A
C B
40
x
40
B
CD
F
E
A
14. รปสามเหลยมมมฉาก ABC ม AB เปนดานตรงขามมมฉาก คอ 8, ACAB ซม. และ 6BC ซม. จด D เปนจดกงกลางของดาน AB จากจด D ลากเสนตงฉากกบ AB บน AC ทจด E จงหาความยาวของ DE กเซนตเมตร (ตอบเปนทศนยม 2 ตาแหนง)
แนวคด จากทฤษฏบทพธากอรส 366468 22 AB 10100 5 BDAD AED ~ ABC จะได
BCAC
DE
5 68
75.3830
DE ซ.ม.
ตอบ 3.75 เซนตเมตร 15. ABCD เปนรปสเหลยมผนผาม 50AB หนวย 40BC หนวย
E เปนจดบน CD ทาให EACCAB ˆˆ จงหาพนทรปสามเหลยม ADE เปนกตารางหนวย แนวคด
1. ตอ AE ยาวพอประมาณ ลาก CF พบสวนตอ AE ท F จะได AFCABC 2. EFCEDA ˆˆ (ขนาด 90 เทากน) CFAD FECDEA ˆˆ (มมตรงขาม) CFEADE (ม.ด.ม.) จะได xCEAE 50
9160010025004050
22
222
xxxxxx
พ.ท. 94021
ADE
= 180 ตอบ 180 ตารางหนวย
E
D
A
C B
40
x
40
B
CD
F
E
A
14. รปสามเหลยมมมฉาก ABC ม AB เปนดานตรงขามมมฉาก คอ 8, ACAB ซม. และ 6BC ซม. จด D เปนจดกงกลางของดาน AB จากจด D ลากเสนตงฉากกบ AB บน AC ทจด E จงหาความยาวของ DE กเซนตเมตร (ตอบเปนทศนยม 2 ตาแหนง)
แนวคด จากทฤษฏบทพธากอรส 366468 22 AB 10100 5 BDAD AED ~ ABC จะได
BCAC
DE
5 68
75.3830
DE ซ.ม.
ตอบ 3.75 เซนตเมตร 15. ABCD เปนรปสเหลยมผนผาม 50AB หนวย 40BC หนวย
E เปนจดบน CD ทาให EACCAB ˆˆ จงหาพนทรปสามเหลยม ADE เปนกตารางหนวย แนวคด
1. ตอ AE ยาวพอประมาณ ลาก CF พบสวนตอ AE ท F จะได AFCABC 2. EFCEDA ˆˆ (ขนาด 90 เทากน) CFAD FECDEA ˆˆ (มมตรงขาม) CFEADE (ม.ด.ม.) จะได xCEAE 50
9160010025004050
22
222
xxxxxx
พ.ท. 94021
ADE
= 180 ตอบ 180 ตารางหนวย
E
D
A
C B
40
x
40
B
CD
F
E
A
14. รปสามเหลยมมมฉาก ABC ม AB เปนดานตรงขามมมฉาก คอ 8, ACAB ซม. และ 6BC ซม. จด D เปนจดกงกลางของดาน AB จากจด D ลากเสนตงฉากกบ AB บน AC ทจด E จงหาความยาวของ DE กเซนตเมตร (ตอบเปนทศนยม 2 ตาแหนง)
แนวคด จากทฤษฏบทพธากอรส 366468 22 AB 10100 5 BDAD AED ~ ABC จะได
BCAC
DE
5 68
75.3830
DE ซ.ม.
ตอบ 3.75 เซนตเมตร 15. ABCD เปนรปสเหลยมผนผาม 50AB หนวย 40BC หนวย
E เปนจดบน CD ทาให EACCAB ˆˆ จงหาพนทรปสามเหลยม ADE เปนกตารางหนวย แนวคด
1. ตอ AE ยาวพอประมาณ ลาก CF พบสวนตอ AE ท F จะได AFCABC 2. EFCEDA ˆˆ (ขนาด 90 เทากน) CFAD FECDEA ˆˆ (มมตรงขาม) CFEADE (ม.ด.ม.) จะได xCEAE 50
9160010025004050
22
222
xxxxxx
พ.ท. 94021
ADE
= 180 ตอบ 180 ตารางหนวย
E
D
A
C B
40
x
40
B
CD
F
E
A
14. รปสามเหลยมมมฉาก ABC ม AB เปนดานตรงขามมมฉาก คอ 8, ACAB ซม. และ 6BC ซม. จด D เปนจดกงกลางของดาน AB จากจด D ลากเสนตงฉากกบ AB บน AC ทจด E จงหาความยาวของ DE กเซนตเมตร (ตอบเปนทศนยม 2 ตาแหนง)
แนวคด จากทฤษฏบทพธากอรส 366468 22 AB 10100 5 BDAD AED ~ ABC จะได
BCAC
DE
5 68
75.3830
DE ซ.ม.
ตอบ 3.75 เซนตเมตร 15. ABCD เปนรปสเหลยมผนผาม 50AB หนวย 40BC หนวย
E เปนจดบน CD ทาให EACCAB ˆˆ จงหาพนทรปสามเหลยม ADE เปนกตารางหนวย แนวคด
1. ตอ AE ยาวพอประมาณ ลาก CF พบสวนตอ AE ท F จะได AFCABC 2. EFCEDA ˆˆ (ขนาด 90 เทากน) CFAD FECDEA ˆˆ (มมตรงขาม) CFEADE (ม.ด.ม.) จะได xCEAE 50
9160010025004050
22
222
xxxxxx
พ.ท. 94021
ADE
= 180 ตอบ 180 ตารางหนวย
E
D
A
C B
40
x
40
B
CD
F
E
A
แนวคดจากทฤษฏบทพธากอรส
22
A
14.รปสำมเหลยมมมฉำกมดำนตรงขำมมมฉำกคอAB,AC=8ซม.และAC=8ซม.และAC BC=6ซม.BC=6ซม.BC=6
จดDเปนจดกงกลำงของดำนABจำกจดDลำกเสนตงฉำกกบABบนACทจดACทจดAC E
จงหำควำมยำวของDEยำวกเซนตเมตร(ตอบเปนทศนยม2ต�ำแหนง)DEยำวกเซนตเมตร(ตอบเปนทศนยม2ต�ำแหนง)DE
ซม.
14. รปสามเหลยมมมฉาก ABC ม AB เปนดานตรงขามมมฉาก คอ 8, ACAB ซม. และ 6BC ซม. จด D เปนจดกงกลางของดาน AB จากจด D ลากเสนตงฉากกบ AB บน AC ทจด E จงหาความยาวของ DE กเซนตเมตร (ตอบเปนทศนยม 2 ตาแหนง)
แนวคด จากทฤษฏบทพธากอรส 366468 22 AB 10100 5 BDAD AED ~ ABC จะได
BCAC
DE
5 68
75.3830
DE ซ.ม.
ตอบ 3.75 เซนตเมตร 15. ABCD เปนรปสเหลยมผนผาม 50AB หนวย 40BC หนวย
E เปนจดบน CD ทาให EACCAB ˆˆ จงหาพนทรปสามเหลยม ADE เปนกตารางหนวย แนวคด
1. ตอ AE ยาวพอประมาณ ลาก CF พบสวนตอ AE ท F จะได AFCABC 2. EFCEDA ˆˆ (ขนาด 90 เทากน) CFAD FECDEA ˆˆ (มมตรงขาม) CFEADE (ม.ด.ม.) จะได xCEAE 50
9160010025004050
22
222
xxxxxx
พ.ท. 94021
ADE
= 180 ตอบ 180 ตารางหนวย
E
D
A
C B
40
x
40
B
CD
F
E
A
14. รปสามเหลยมมมฉาก ABC ม AB เปนดานตรงขามมมฉาก คอ 8, ACAB ซม. และ 6BC ซม. จด D เปนจดกงกลางของดาน AB จากจด D ลากเสนตงฉากกบ AB บน AC ทจด E จงหาความยาวของ DE กเซนตเมตร (ตอบเปนทศนยม 2 ตาแหนง)
แนวคด จากทฤษฏบทพธากอรส 366468 22 AB 10100 5 BDAD AED ~ ABC จะได
BCAC
DE
5 68
75.3830
DE ซ.ม.
ตอบ 3.75 เซนตเมตร 15. ABCD เปนรปสเหลยมผนผาม 50AB หนวย 40BC หนวย
E เปนจดบน CD ทาให EACCAB ˆˆ จงหาพนทรปสามเหลยม ADE เปนกตารางหนวย แนวคด
1. ตอ AE ยาวพอประมาณ ลาก CF พบสวนตอ AE ท F จะได AFCABC 2. EFCEDA ˆˆ (ขนาด 90 เทากน) CFAD FECDEA ˆˆ (มมตรงขาม) CFEADE (ม.ด.ม.) จะได xCEAE 50
9160010025004050
22
222
xxxxxx
พ.ท. 94021
ADE
= 180 ตอบ 180 ตารางหนวย
E
D
A
C B
40
x
40
B
CD
F
E
A
(ม.ม.ด)
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2553) : 22
16. ชายคนหนงตองเดนทางไปทางานโดยเดนจากทพกผาน 4 ชวงตกไปทางตะวนออก และเดนทางไปทศเหนออก 3 ชวงตก จงจะถงททางานถาเขยนแผนการเดนผาน ชวงตก 1 ชวงคอ ผาน 1 ชอง ในตาราง 77 จงหาจานวนเสนทางการเดนทเปนไปไดทงหมดทชายคนน
เดนทางไปทางาน แนวคด 35
!4!3!4567
!4!3!7
ตอบ 35 เสนทาง
แนวคด
35
!4!3!4567
!4!3!7
ตอบ 35 เสนทาง
16. ชำยคนหนงตองเดนทำงไปท�ำงำนโดยเดนจำกทพกผำน4ชวงตกไปทำงตะวนออก
และเดนทำงไปทศเหนออก3ชวงตกจงจะถงทท�ำงำนถำเขยนแผนกำรเดนทำงผำน
ชวงตก1ชวงคอผำน1ชองในตำรำง7 X 7จงหำจ�ำนวนเสนทำงกำรเดนทเปนไปไดทงหมดทชำยคนน
เดนทำงไปท�ำงำน
23แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
17. AD เปนสวนสงของรปสามเหลยม ABC สวนของเสนตรง PQ , RS และ BC ขนานกน โดยทสวนของเสนตรง PQ และ RS ตด AD ทจด M และ N ตามลาดบ ดงรป
SR
QP
N
M
B D C
A
ถา AM = MN = ND และ พนทรปสเหลยม PQSR เทากบ 24 ตารางหนวย จงหาพนทรปสามเหลยม ABC เปนกตารางหนวย
แนวคด พ.ท. สเหลยมคางหม PQSR
21 สง ผลบวกดานคขนาน
2421
RSPQMN
ตอบ 72 ตารางหนวย
723482
1BC:AD
2
1
348BCAD
48BC3
2
3
2AD
3
1
48RS2
3MN
48RSPQMN
17. AD เปเปเปนสวนสงของรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยม ABC สวนของเสนตรง PQ , RS และ BC ขนานกน โดยทโดยทโดยทสวนของเสนตรง PQ และ RS ตด AD ทจด M และ N ตามลาดบ ดงรป
SR
QP
N
M
B D C
A ถา AM = MN = ND และ พนทรปสปสปสเหลยม PQSR เทากบ 24 ตารางหนวย จงหาพนทรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยม ABC เปเปเปนกตารางหนวย
แนวคดพ.ท. สเหลยมคางหม PQSR
21 สง ผลบวกดานคขนาน
2421
RS PQ MN
ตอบ72ตำรำงหนวย
MN
!MN " PQ + RS( ) = 48
MN 3
2RS = 48
#
$%
&
'(
1
3AD
#
$%
&
'(
3
2"
2
3BC
#
$%
&
'( = 48
AD )BC = 48" 3
1
2 AD BC =
1
2" 48" 3 = 72
RS
!MN " PQ + RS( ) = 48
MN 3
2RS = 48
#
$%
&
'(
1
3AD
#
$%
&
'(
3
2"
2
3BC
#
$%
&
'( = 48
AD )BC = 48" 3
1
2 AD BC =
1
2" 48" 3 = 72
= 48
!MN " PQ + RS( ) = 48
MN 3
2RS = 48
#
$%
&
'(
1
3AD
#
$%
&
'(
3
2"
2
3BC
#
$%
&
'( = 48
AD )BC = 48" 3
1
2 AD BC =
1
2" 48" 3 = 72
AD BC = 48 x 3
!MN " PQ + RS( ) = 48
MN 3
2RS = 48
#
$%
&
'(
1
3AD
#
$%
&
'(
3
2"
2
3BC
#
$%
&
'( = 48
AD )BC = 48" 3
1
2 AD BC =
1
2" 48" 3 = 72
= 48
!MN " PQ + RS( ) = 48
MN 3
2RS = 48
#
$%
&
'(
1
3AD
#
$%
&
'(
3
2"
2
3BC
#
$%
&
'( = 48
AD )BC = 48" 3
1
2 AD BC =
1
2" 48" 3 = 72
พนทรปสเหลยมคำงหม
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2553) : 24
18. จงหำจ�ำนวนวธในกำรสรำงจ�ำนวนคบวก3หลกจำกเลขโดด0,2,3,4,5,6,7
และไมใชตวเลขโดดซ�ำกน
แนวคด
หลกหนวยเปน0 ม 6 · 5 · 1 = 30 จ�ำนวน
หลกหนวยไมเปน0 ม 5 · 5 · 3 = 75 จ�ำนวน รวม 30+75=105 จ�ำนวน
ตอบ105วธ
19.ก�ำหนดa, b, cเปนค�ำตอบของสมกำรx3 - 3x2 + kx - 12 = 0จงหำคำkทท�ำใหkทท�ำใหk a · b = - 6แนวคด
ตอบ-16
20. จงหำคำkทเปนบวกทท�ำใหกรำฟของเสนตรง y - 2x - k = 0สมผสกรำฟวงกลมx2 + y2 = 20
แนวคด
y = 2x + kx2 + y2 = 20x2 + 4x2 + 4kx + k2 k2 k - 20 = 0
5x2 + 4kx + k2 k2 k - 20 = 0
ท�ำให 16 k2k2k - 20 (k2 k2 k - 20) = 0 16k2 k2 k - 20 (k2 k2 k - 20) = 0 k = ± 10k = ± 10k k = 10k = 10k
ตอบ10
25แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
21. จากรป สวนโคงเกดจากวงกลมทมรศม 7 หนวยเทากน พนทในรปปด ทงหมดเปนกตารางหนวย (กาหนด
722
)
แนวคด จากรปพนทแรเงา = 2 พ.ท.วงกลม + พ.ท. จตรส
196308
1414777222
= 504 ตารางหนวย ตอบ 504 ตารางหนวย
21. จากรป สวนโคงเกดจากวงกลมทมรศม 7 หนวยเทากน พนทในรปปด ทงหมดเปนกตารางหนวย (กาหนด
722
)
แนวคด จากรปพนทแรเงา = 2 พ.ท.วงกลม + พ.ท. จตรส
196308
1414777222
= 504 ตารางหนวย ตอบ 504 ตารางหนวย
21. จากรป สวนโคงเกดจากวงกลมทมรศม 7 หนวยเทากน พนทในรปปด ทงหมดเปนกตารางหนวย (กาหนด
722
)
แนวคด จากรปพนทแรเงา = 2 พ.ท.วงกลม + พ.ท. จตรส
196308
1414777222
= 504 ตารางหนวย ตอบ 504 ตารางหนวย
21. จากร จากร จากร ป ป ส ส วนโค วนโค วนโควนโคงเกดจากวงกลมทมรศม 7 หนวยเทากน พนทในรปปปปปปดทงหมดเปงหมดเป งหมดเปงหมดเปนกตารางหนวย (กาหนด
722
)
แนวคด
= 504
ตอบ 504 ตารางหนวย
จำกรปพนทแรเงำ= 2พนทรปวงกลม+พนทรป จตรส
= (2 X
21. จากรป สวนโคงเกดจากวงกลมทมรศม 7 หนวยเทากน พนทในรปปด ทงหมดเปนกตารางหนวย (กาหนด
722
)
แนวคด จากรปพนทแรเงา = 2 พ.ท.วงกลม + พ.ท. จตรส
196308
1414777222
= 504 ตารางหนวย ตอบ 504 ตารางหนวย
X 7 X 7) + (14 X 14)
= 308 + 196= 504 ตำรำงหนวย
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2553) : 26
22. ถา 67723 22 yxykxyx แยกตวประกอบในรปเชงเสนและมสมประสทธ เปนจานวนเตม จงหาคา k
แนวคด 67723 22 yxykxyx
3,32
03230673
637637
37,7,2
73,3,6
3333
2
2
22
C
CCCC
CCCCCB
BDACADBCkADBC
BCBDyBxACyADyAxyxCxyDxCDyxBAyx
ถา 2;3 BC แทนใน 7 BDAC ...723 DA จาก
DA 2 แทนใน
kADAD
D
DDDD
DD
DD
51631,2
2,23
02320672
762
726
2
2
ตอบ 5
22. ถา 67723 22 yxykxyx แยกตวประกอบในรปเชงเสนและมสมประสทธ เปนจานวนเตม จงหาคา k
แนวคด 67723 22 yxykxyx
3,32
03230673
637637
37,7,2
73,3,6
3333
2
2
22
C
CCCC
CCCCCB
BDACADBCkADBC
BCBDyBxACyADyAxyxCxyDxCDyxBAyx
ถา 2;3 BC แทนใน 7 BDAC ...723 DA จาก
DA 2 แทนใน
kADAD
D
DDDD
DD
DD
51631,2
2,23
02320672
762
726
2
2
ตอบ 5
22. ถา 67723 22 yxykxyx แยกตวประกอบในรปเชงเสนและมสมประสทธ เปนจานวนเตม จงหาคา k
แนวคด 67723 22 yxykxyx
3,32
03230673
637637
37,7,2
73,3,6
3333
2
2
22
C
CCCC
CCCCCB
BDACADBCkADBC
BCBDyBxACyADyAxyxCxyDxCDyxBAyx
ถา 2;3 BC แทนใน 7 BDAC ...723 DA จาก
DA 2 แทนใน
kADAD
D
DDDD
DD
DD
51631,2
2,23
02320672
762
726
2
2
ตอบ 5
22. ถา 67723 22 yxykxyx แยกตวประกอบในรปเชงเสนและมสมประสทธ เปนจานวนเตม จงหาคา k
แนวคด 67723 22 yxykxyx
3,32
03230673
637637
37,7,2
73,3,6
3333
2
2
22
C
CCCC
CCCCCB
BDACADBCkADBC
BCBDyBxACyADyAxyxCxyDxCDyxBAyx
ถา 2;3 BC แทนใน 7 BDAC ...723 DA จาก
DA 2 แทนใน
kADAD
D
DDDD
DD
DD
51631,2
2,23
02320672
762
726
2
2
ตอบ 5
22. ถา 67723 22 yxykxyx แยกตวประกอบในรปเชงเสนและมสมประสทธ เปนจานวนเตม จงหาคา k
แนวคด 67723 22 yxykxyx
3,32
03230673
637637
37,7,2
73,3,6
3333
2
2
22
C
CCCC
CCCCCB
BDACADBCkADBC
BCBDyBxACyADyAxyxCxyDxCDyxBAyx
ถา 2;3 BC แทนใน 7 BDAC ...723 DA จาก
DA 2 แทนใน
kADAD
D
DDDD
DD
DD
51631,2
2,23
02320672
762
726
2
2
ตอบ 5
22. ถา 67723 22 yxykxyx แยกตวประกอบในรปเชงเสนและมสมประสทธ เปนจานวนเตม จงหาคา k
แนวคด 67723 22 yxykxyx
3,32
03230673
637637
37,7,2
73,3,6
3333
2
2
22
C
CCCC
CCCCCB
BDACADBCkADBC
BCBDyBxACyADyAxyxCxyDxCDyxBAyx
ถา 2;3 BC แทนใน 7 BDAC ...723 DA จาก
DA 2 แทนใน
kADAD
D
DDDD
DD
DD
51631,2
2,23
02320672
762
726
2
2
ตอบ 5
3x2 + kxy - 2y2 - 7x + 7y - 6
= (3x + Ay + B)(x + Dy + C)
= 3x2 + 3xyD + 3xC + Axy + ADy2 + ACy + Bx + BDy + BC
BC = -6, 3D + A = k, 3C + B = - 7
AD = - 2, AC + BD = 7,
B = - 7 - 3C
(- 7 - 3C) C = - 6
- 7C - 3C2 = - 6
3C2 + 7C - 6 = 0
(3C - 2) (C + 3) = 0
C = 2 , - 3
ถำ C = - 3 ; B = 2 แทนใน AC+BD=7
- 3A + 2D = 7 ...
22. ถา 67723 22 yxykxyx แยกตวประกอบในรปเชงเสนและมสมประสทธ เปนจานวนเตม จงหาคา k
แนวคด 67723 22 yxykxyx
3,32
03230673
637637
37,7,2
73,3,6
3333
2
2
22
C
CCCC
CCCCCB
BDACADBCkADBC
BCBDyBxACyADyAxyxCxyDxCDyxBAyx
ถา 2;3 BC แทนใน 7 BDAC ...723 DA จาก
DA 2 แทนใน
kADAD
D
DDDD
DD
DD
51631,2
2,23
02320672
762
726
2
2
ตอบ 5
แทนA =
22. ถา 67723 22 yxykxyx แยกตวประกอบในรปเชงเสนและมสมประสทธ เปนจานวนเตม จงหาคา k
แนวคด 67723 22 yxykxyx
3,32
03230673
637637
37,7,2
73,3,6
3333
2
2
22
C
CCCC
CCCCCB
BDACADBCkADBC
BCBDyBxACyADyAxyxCxyDxCDyxBAyx
ถา 2;3 BC แทนใน 7 BDAC ...723 DA จาก
DA 2 แทนใน
kADAD
D
DDDD
DD
DD
51631,2
2,23
02320672
762
726
2
2
ตอบ 5
ใน
22. ถา 67723 22 yxykxyx แยกตวประกอบในรปเชงเสนและมสมประสทธ เปนจานวนเตม จงหาคา k
แนวคด 67723 22 yxykxyx
3,32
03230673
637637
37,7,2
73,3,6
3333
2
2
22
C
CCCC
CCCCCB
BDACADBCkADBC
BCBDyBxACyADyAxyxCxyDxCDyxBAyx
ถา 2;3 BC แทนใน 7 BDAC ...723 DA จาก
DA 2 แทนใน
kADAD
D
DDDD
DD
DD
51631,2
2,23
02320672
762
726
2
2
ตอบ 5
3
27แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
10
17253
X
O
A
B
CD
P
23. ในการทอดลกเตา 3 ลกพรอมกน 1 ครง จานวนวธทผลรวมของแตมบนหนาลกเตา มคาเทากบ 14 มอยทงหมดกวธ แนวคด 266, 662, 626, 356, 365, 536, 563, 635, 653, 446, 464, 644, 455, 545, 554
ตอบ 15 วธ 24. O เปนจดศนยกลางของวงกลม โดยมเสนผานศนยกลางยาว 34 เซนตเมตร คอรด AB ตดกบคอรด
CD เปนมมฉากทจด X ถา คอรด AB ยาว 2 253 เซนตเมตร และ OX ยาว 10 เซนตเมตร จงหาผลคณของความยาวของ CX กบ ความยาวของ XD
แนวคด
18964253
8253,8253,8
362532892
XBAXXDCXXBAXPX
OP
ตอบ 189 เซนตเมตร
25. จงหาเศษของการหาร 10321032 ดวย 100 เปนเทาไร แนวคด 1032 หารดวย 100 เศษคอ 32 21032 หารดวย 100 เศษคอ 24 31032 หารดวย 100 เศษคอ 68 41032 หารดวย 100 เศษคอ 76 10321032 หารดวย 100 เศษคอ 76 ตอบ 76
10
17253
X
O
A
B
CD
P
23. ในการทอดลกเตา 3 ลกพรอมกน 1 ครง จานวนวธทผลรวมของแตมบนหนาลกเตา มคาเทากบ 14 มอยทงหมดกวธ แนวคด 266, 662, 626, 356, 365, 536, 563, 635, 653, 446, 464, 644, 455, 545, 554
ตอบ 15 วธ 24. O เปนจดศนยกลางของวงกลม โดยมเสนผานศนยกลางยาว 34 เซนตเมตร คอรด AB ตดกบคอรด
CD เปนมมฉากทจด X ถา คอรด AB ยาว 2 253 เซนตเมตร และ OX ยาว 10 เซนตเมตร จงหาผลคณของความยาวของ CX กบ ความยาวของ XD
แนวคด
18964253
8253,8253,8
362532892
XBAXXDCXXBAXPX
OP
ตอบ 189 เซนตเมตร
25. จงหาเศษของการหาร 10321032 ดวย 100 เปนเทาไร แนวคด 1032 หารดวย 100 เศษคอ 32 21032 หารดวย 100 เศษคอ 24 31032 หารดวย 100 เศษคอ 68 41032 หารดวย 100 เศษคอ 76 10321032 หารดวย 100 เศษคอ 76 ตอบ 76
10
17253
X
O
A
B
CD
P
23. ในการทอดลกเตา 3 ลกพรอมกน 1 ครง จานวนวธทผลรวมของแตมบนหนาลกเตา มคาเทากบ 14 มอยทงหมดกวธ แนวคด 266, 662, 626, 356, 365, 536, 563, 635, 653, 446, 464, 644, 455, 545, 554
ตอบ 15 วธ 24. O เปนจดศนยกลางของวงกลม โดยมเสนผานศนยกลางยาว 34 เซนตเมตร คอรด AB ตดกบคอรด
CD เปนมมฉากทจด X ถา คอรด AB ยาว 2 253 เซนตเมตร และ OX ยาว 10 เซนตเมตร จงหาผลคณของความยาวของ CX กบ ความยาวของ XD
แนวคด
18964253
8253,8253,8
362532892
XBAXXDCXXBAXPX
OP
ตอบ 189 เซนตเมตร
25. จงหาเศษของการหาร 10321032 ดวย 100 เปนเทาไร แนวคด 1032 หารดวย 100 เศษคอ 32 21032 หารดวย 100 เศษคอ 24 31032 หารดวย 100 เศษคอ 68 41032 หารดวย 100 เศษคอ 76 10321032 หารดวย 100 เศษคอ 76 ตอบ 76
10
17253
X
O
A
B
CD
P
23. ในการทอดลกเตา 3 ลกพรอมกน 1 ครง จานวนวธทผลรวมของแตมบนหนาลกเตา มคาเทากบ 14 มอยทงหมดกวธ แนวคด 266, 662, 626, 356, 365, 536, 563, 635, 653, 446, 464, 644, 455, 545, 554
ตอบ 15 วธ 24. O เปนจดศนยกลางของวงกลม โดยมเสนผานศนยกลางยาว 34 เซนตเมตร คอรด AB ตดกบคอรด
CD เปนมมฉากทจด X ถา คอรด AB ยาว 2 253 เซนตเมตร และ OX ยาว 10 เซนตเมตร จงหาผลคณของความยาวของ CX กบ ความยาวของ XD
แนวคด
18964253
8253,8253,8
362532892
XBAXXDCXXBAXPX
OP
ตอบ 189 เซนตเมตร
25. จงหาเศษของการหาร 10321032 ดวย 100 เปนเทาไร แนวคด 1032 หารดวย 100 เศษคอ 32 21032 หารดวย 100 เศษคอ 24 31032 หารดวย 100 เศษคอ 68 41032 หารดวย 100 เศษคอ 76 10321032 หารดวย 100 เศษคอ 76 ตอบ 76
10
17253
X
O
A
B
CD
P
23. ในการทอดลกเตา 3 ลกพรอมกน 1 ครง จานวนวธทผลรวมของแตมบนหนาลกเตา มคาเทากบ 14 มอยทงหมดกวธ แนวคด 266, 662, 626, 356, 365, 536, 563, 635, 653, 446, 464, 644, 455, 545, 554
ตอบ 15 วธ 24. O เปนจดศนยกลางของวงกลม โดยมเสนผานศนยกลางยาว 34 เซนตเมตร คอรด AB ตดกบคอรด
CD เปนมมฉากทจด X ถา คอรด AB ยาว 2 253 เซนตเมตร และ OX ยาว 10 เซนตเมตร จงหาผลคณของความยาวของ CX กบ ความยาวของ XD
แนวคด
18964253
8253,8253,8
362532892
XBAXXDCXXBAXPX
OP
ตอบ 189 เซนตเมตร
25. จงหาเศษของการหาร 10321032 ดวย 100 เปนเทาไร แนวคด 1032 หารดวย 100 เศษคอ 32 21032 หารดวย 100 เศษคอ 24 31032 หารดวย 100 เศษคอ 68 41032 หารดวย 100 เศษคอ 76 10321032 หารดวย 100 เศษคอ 76 ตอบ 76
23. ในการทอดลกเตา 3 ลกพรอมกน 1 ครง จานวนวธทผลรวมของแตมบนหนาลกเตา มคาเทากบ 14 มอยทงหมดกวธ
แนวคด 266, 662, 626, 356, 365, 536, 563, 635, 653, 446, 464, 644, 455, 545, 554
ตอบ 15 วธ
10
17253
XX
O
A
B
CD
P
18964253
8253,8253,8
362532892
XBAXXDCXXBAXPX
OP
ตอบ 189 เซนตเมตร
24.O เปนจดศนยกลำงของวงกลม โดยมเสนผำนศนยกลำงยำว 34 เซนตเมตร คอรด AB ตดกบคอรด CD
เปนมมฉำกทจดXถำคอรดABยำว เซนตเมตรและOXยำว10เซนตเมตรจงหำผลคณของ
ควำมยำวของCXกบควำมยำวของXDเปนกเซนตเมตร
แนวคด
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2553) : 28
26. กาหนด ba, เปนจานวนเตมบวก โดยท 0201,...,4,3,2,1A ถาเลอก a และ b จาก A นามาสรางเปนคอนดบ ba, โดยท 4ba จะสราง ba, ไดกคอนดบทสอดคลองกบเงอนไขดงกลาว
แนวคด 1 ba จะได 2010,2009,...,4,3,3,2,2,1 และ 2009,2010,...,3,42,3,1,2 จะไดคอนดบทงหมด 401822009 2ba จะได 2010,2008,...5,3,4,2,3,1 และ 2008,2010,...,3,5,2,4,1,3 จะไดคอนดบทงหมด 401620082 3ba จะได 2010,2007,...,6,3,5,2,4,1 และ 2007,2010,...,3,6,2,5,1,4 จะไดคอนดบทงหมด 401420072 4ba จะได 2006,2010,...,3,7,2,2,1,52010,2006,...7,3,6,2,5,1 และ จะไดคอนดบทงหมด 401220062 0ba จะได 2010,2010,...,3,3,2,2,1,1 จะไดคอนดบทงหมด 2010 ดงนนคอนดบทงหมดทสอดคลองกบงอนไข = 4018 + 4016 + 4014 + 4012 + 2010 ตอบ 18070 คอนดบ 27. กาหนดให N เปนจานวนนบ และ 1...21! NNNN เชน 12345!5 ให
!100...!7!6!5!4!3!2!1 A เลขโดด C เปนตวเลขในหลกหนวยของ A และเลขโดด D เปนตวเลขในหลกหนวยของ
10A จงหาคาของ C + D
แนวคด พจารณา 1! = 1 6! = 720 2! = 2 7! = 5,040 3! = 6 8! = 40,320 4! = 24 9! = 362,880 5! = 120 10! = 3,628,800 และหาคาตงแต 11! ขนไปจะไดวามเลขหลกสบและหลกหนวยเปนศนย จะไดวา 1! + 2!+…+10! มเลขสามหลกสดทายเปน 913 ดงนน C = 3 และเมอนาเลขสามหลกสดทายเปน 913 ทมหลกสบเปนเลข 1 เมอนา 10 ไปหาร ทาใหมหลกหนวยเปน 1 D = 1 นนคอ 413 DC ตอบ 4
26. กาหนด ba, เปนจานวนเตมบวก โดยท 0201,...,4,3,2,1A ถาเลอก a และ b จาก A นามาสรางเปนคอนดบ ba, โดยท 4ba จะสราง ba, ไดกคอนดบทสอดคลองกบเงอนไขดงกลาว
แนวคด 1 ba จะได 2010,2009,...,4,3,3,2,2,1 และ 2009,2010,...,3,42,3,1,2 จะไดคอนดบทงหมด 401822009 2ba จะได 2010,2008,...5,3,4,2,3,1 และ 2008,2010,...,3,5,2,4,1,3 จะไดคอนดบทงหมด 401620082 3ba จะได 2010,2007,...,6,3,5,2,4,1 และ 2007,2010,...,3,6,2,5,1,4 จะไดคอนดบทงหมด 401420072 4ba จะได 2006,2010,...,3,7,2,2,1,52010,2006,...7,3,6,2,5,1 และ จะไดคอนดบทงหมด 401220062 0ba จะได 2010,2010,...,3,3,2,2,1,1 จะไดคอนดบทงหมด 2010 ดงนนคอนดบทงหมดทสอดคลองกบงอนไข = 4018 + 4016 + 4014 + 4012 + 2010 ตอบ 18070 คอนดบ 27. กาหนดให N เปนจานวนนบ และ 1...21! NNNN เชน 12345!5 ให
!100...!7!6!5!4!3!2!1 A เลขโดด C เปนตวเลขในหลกหนวยของ A และเลขโดด D เปนตวเลขในหลกหนวยของ
10A จงหาคาของ C + D
แนวคด พจารณา 1! = 1 6! = 720 2! = 2 7! = 5,040 3! = 6 8! = 40,320 4! = 24 9! = 362,880 5! = 120 10! = 3,628,800 และหาคาตงแต 11! ขนไปจะไดวามเลขหลกสบและหลกหนวยเปนศนย จะไดวา 1! + 2!+…+10! มเลขสามหลกสดทายเปน 913 ดงนน C = 3 และเมอนาเลขสามหลกสดทายเปน 913 ทมหลกสบเปนเลข 1 เมอนา 10 ไปหาร ทาใหมหลกหนวยเปน 1 D = 1 นนคอ 413 DC ตอบ 4
26. กาหนด ba, เปนจานวนเตมบวก โดยท 0201,...,4,3,2,1A ถาเลอก a และ b จาก A นามาสรางเปนคอนดบ ba, โดยท 4ba จะสราง ba, ไดกคอนดบทสอดคลองกบเงอนไขดงกลาว
แนวคด 1 ba จะได 2010,2009,...,4,3,3,2,2,1 และ 2009,2010,...,3,42,3,1,2 จะไดคอนดบทงหมด 401822009 2ba จะได 2010,2008,...5,3,4,2,3,1 และ 2008,2010,...,3,5,2,4,1,3 จะไดคอนดบทงหมด 401620082 3ba จะได 2010,2007,...,6,3,5,2,4,1 และ 2007,2010,...,3,6,2,5,1,4 จะไดคอนดบทงหมด 401420072 4ba จะได 2006,2010,...,3,7,2,2,1,52010,2006,...7,3,6,2,5,1 และ จะไดคอนดบทงหมด 401220062 0ba จะได 2010,2010,...,3,3,2,2,1,1 จะไดคอนดบทงหมด 2010 ดงนนคอนดบทงหมดทสอดคลองกบงอนไข = 4018 + 4016 + 4014 + 4012 + 2010 ตอบ 18070 คอนดบ 27. กาหนดให N เปนจานวนนบ และ 1...21! NNNN เชน 12345!5 ให
!100...!7!6!5!4!3!2!1 A เลขโดด C เปนตวเลขในหลกหนวยของ A และเลขโดด D เปนตวเลขในหลกหนวยของ
10A จงหาคาของ C + D
แนวคด พจารณา 1! = 1 6! = 720 2! = 2 7! = 5,040 3! = 6 8! = 40,320 4! = 24 9! = 362,880 5! = 120 10! = 3,628,800 และหาคาตงแต 11! ขนไปจะไดวามเลขหลกสบและหลกหนวยเปนศนย จะไดวา 1! + 2!+…+10! มเลขสามหลกสดทายเปน 913 ดงนน C = 3 และเมอนาเลขสามหลกสดทายเปน 913 ทมหลกสบเปนเลข 1 เมอนา 10 ไปหาร ทาใหมหลกหนวยเปน 1 D = 1 นนคอ 413 DC ตอบ 4
26. กาหนด ba, เปนจานวนเตมบวก โดยท 0201,...,4,3,2,1A ถาเลอก a และ b จาก A นามาสรางเปนคอนดบ ba, โดยท 4ba จะสราง ba, ไดกคอนดบทสอดคลองกบเงอนไขดงกลาว
แนวคด 1 ba จะได 2010,2009,...,4,3,3,2,2,1 และ 2009,2010,...,3,42,3,1,2 จะไดคอนดบทงหมด 401822009 2ba จะได 2010,2008,...5,3,4,2,3,1 และ 2008,2010,...,3,5,2,4,1,3 จะไดคอนดบทงหมด 401620082 3ba จะได 2010,2007,...,6,3,5,2,4,1 และ 2007,2010,...,3,6,2,5,1,4 จะไดคอนดบทงหมด 401420072 4ba จะได 2006,2010,...,3,7,2,2,1,52010,2006,...7,3,6,2,5,1 และ จะไดคอนดบทงหมด 401220062 0ba จะได 2010,2010,...,3,3,2,2,1,1 จะไดคอนดบทงหมด 2010 ดงนนคอนดบทงหมดทสอดคลองกบงอนไข = 4018 + 4016 + 4014 + 4012 + 2010 ตอบ 18070 คอนดบ 27. กาหนดให N เปนจานวนนบ และ 1...21! NNNN เชน 12345!5 ให
!100...!7!6!5!4!3!2!1 A เลขโดด C เปนตวเลขในหลกหนวยของ A และเลขโดด D เปนตวเลขในหลกหนวยของ
10A จงหาคาของ C + D
แนวคด พจารณา 1! = 1 6! = 720 2! = 2 7! = 5,040 3! = 6 8! = 40,320 4! = 24 9! = 362,880 5! = 120 10! = 3,628,800 และหาคาตงแต 11! ขนไปจะไดวามเลขหลกสบและหลกหนวยเปนศนย จะไดวา 1! + 2!+…+10! มเลขสามหลกสดทายเปน 913 ดงนน C = 3 และเมอนาเลขสามหลกสดทายเปน 913 ทมหลกสบเปนเลข 1 เมอนา 10 ไปหาร ทาใหมหลกหนวยเปน 1 D = 1 นนคอ 413 DC ตอบ 4
26. กาหนด ba, เปนจานวนเตมบวก โดยท 0201,...,4,3,2,1A ถาเลอก a และ b จาก A นามาสรางเปนคอนดบ ba, โดยท 4ba จะสราง ba, ไดกคอนดบทสอดคลองกบเงอนไขดงกลาว
แนวคด 1 ba จะได 2010,2009,...,4,3,3,2,2,1 และ 2009,2010,...,3,42,3,1,2 จะไดคอนดบทงหมด 401822009 2ba จะได 2010,2008,...5,3,4,2,3,1 และ 2008,2010,...,3,5,2,4,1,3 จะไดคอนดบทงหมด 401620082 3ba จะได 2010,2007,...,6,3,5,2,4,1 และ 2007,2010,...,3,6,2,5,1,4 จะไดคอนดบทงหมด 401420072 4ba จะได 2006,2010,...,3,7,2,2,1,52010,2006,...7,3,6,2,5,1 และ จะไดคอนดบทงหมด 401220062 0ba จะได 2010,2010,...,3,3,2,2,1,1 จะไดคอนดบทงหมด 2010 ดงนนคอนดบทงหมดทสอดคลองกบงอนไข = 4018 + 4016 + 4014 + 4012 + 2010 ตอบ 18070 คอนดบ 27. กาหนดให N เปนจานวนนบ และ 1...21! NNNN เชน 12345!5 ให
!100...!7!6!5!4!3!2!1 A เลขโดด C เปนตวเลขในหลกหนวยของ A และเลขโดด D เปนตวเลขในหลกหนวยของ
10A จงหาคาของ C + D
แนวคด พจารณา 1! = 1 6! = 720 2! = 2 7! = 5,040 3! = 6 8! = 40,320 4! = 24 9! = 362,880 5! = 120 10! = 3,628,800 และหาคาตงแต 11! ขนไปจะไดวามเลขหลกสบและหลกหนวยเปนศนย จะไดวา 1! + 2!+…+10! มเลขสามหลกสดทายเปน 913 ดงนน C = 3 และเมอนาเลขสามหลกสดทายเปน 913 ทมหลกสบเปนเลข 1 เมอนา 10 ไปหาร ทาใหมหลกหนวยเปน 1 D = 1 นนคอ 413 DC ตอบ 4
26. กาหนด ba, เปนจานวนเตมบวก โดยท 0201,...,4,3,2,1A ถาเลอก a และ b จาก A นามาสรางเปนคอนดบ ba, โดยท 4ba จะสราง ba, ไดกคอนดบทสอดคลองกบเงอนไขดงกลาว
แนวคด 1 ba จะได 2010,2009,...,4,3,3,2,2,1 และ 2009,2010,...,3,42,3,1,2 จะไดคอนดบทงหมด 401822009 2ba จะได 2010,2008,...5,3,4,2,3,1 และ 2008,2010,...,3,5,2,4,1,3 จะไดคอนดบทงหมด 401620082 3ba จะได 2010,2007,...,6,3,5,2,4,1 และ 2007,2010,...,3,6,2,5,1,4 จะไดคอนดบทงหมด 401420072 4ba จะได 2006,2010,...,3,7,2,2,1,52010,2006,...7,3,6,2,5,1 และ จะไดคอนดบทงหมด 401220062 0ba จะได 2010,2010,...,3,3,2,2,1,1 จะไดคอนดบทงหมด 2010 ดงนนคอนดบทงหมดทสอดคลองกบงอนไข = 4018 + 4016 + 4014 + 4012 + 2010 ตอบ 18070 คอนดบ 27. กาหนดให N เปนจานวนนบ และ 1...21! NNNN เชน 12345!5 ให
!100...!7!6!5!4!3!2!1 A เลขโดด C เปนตวเลขในหลกหนวยของ A และเลขโดด D เปนตวเลขในหลกหนวยของ
10A จงหาคาของ C + D
แนวคด พจารณา 1! = 1 6! = 720 2! = 2 7! = 5,040 3! = 6 8! = 40,320 4! = 24 9! = 362,880 5! = 120 10! = 3,628,800 และหาคาตงแต 11! ขนไปจะไดวามเลขหลกสบและหลกหนวยเปนศนย จะไดวา 1! + 2!+…+10! มเลขสามหลกสดทายเปน 913 ดงนน C = 3 และเมอนาเลขสามหลกสดทายเปน 913 ทมหลกสบเปนเลข 1 เมอนา 10 ไปหาร ทาใหมหลกหนวยเปน 1 D = 1 นนคอ 413 DC ตอบ 4
26. กาหนด ba, เปนจานวนเตมบวก โดยท 0201,...,4,3,2,1A ถาเลอก a และ b จาก A นามาสรางเปนคอนดบ ba, โดยท 4ba จะสราง ba, ไดกคอนดบทสอดคลองกบเงอนไขดงกลาว
แนวคด 1 ba จะได 2010,2009,...,4,3,3,2,2,1 และ 2009,2010,...,3,42,3,1,2 จะไดคอนดบทงหมด 401822009 2ba จะได 2010,2008,...5,3,4,2,3,1 และ 2008,2010,...,3,5,2,4,1,3 จะไดคอนดบทงหมด 401620082 3ba จะได 2010,2007,...,6,3,5,2,4,1 และ 2007,2010,...,3,6,2,5,1,4 จะไดคอนดบทงหมด 401420072 4ba จะได 2006,2010,...,3,7,2,2,1,52010,2006,...7,3,6,2,5,1 และ จะไดคอนดบทงหมด 401220062 0ba จะได 2010,2010,...,3,3,2,2,1,1 จะไดคอนดบทงหมด 2010 ดงนนคอนดบทงหมดทสอดคลองกบงอนไข = 4018 + 4016 + 4014 + 4012 + 2010 ตอบ 18070 คอนดบ 27. กาหนดให N เปนจานวนนบ และ 1...21! NNNN เชน 12345!5 ให
!100...!7!6!5!4!3!2!1 A เลขโดด C เปนตวเลขในหลกหนวยของ A และเลขโดด D เปนตวเลขในหลกหนวยของ
10A จงหาคาของ C + D
แนวคด พจารณา 1! = 1 6! = 720 2! = 2 7! = 5,040 3! = 6 8! = 40,320 4! = 24 9! = 362,880 5! = 120 10! = 3,628,800 และหาคาตงแต 11! ขนไปจะไดวามเลขหลกสบและหลกหนวยเปนศนย จะไดวา 1! + 2!+…+10! มเลขสามหลกสดทายเปน 913 ดงนน C = 3 และเมอนาเลขสามหลกสดทายเปน 913 ทมหลกสบเปนเลข 1 เมอนา 10 ไปหาร ทาใหมหลกหนวยเปน 1 D = 1 นนคอ 413 DC ตอบ 4
26. กาหนด ba, เปนจานวนเตมบวก โดยท 0201,...,4,3,2,1A ถาเลอก a และ b จาก A นามาสรางเปนคอนดบ ba, โดยท 4ba จะสราง ba, ไดกคอนดบทสอดคลองกบเงอนไขดงกลาว
แนวคด 1 ba จะได 2010,2009,...,4,3,3,2,2,1 และ 2009,2010,...,3,42,3,1,2 จะไดคอนดบทงหมด 401822009 2ba จะได 2010,2008,...5,3,4,2,3,1 และ 2008,2010,...,3,5,2,4,1,3 จะไดคอนดบทงหมด 401620082 3ba จะได 2010,2007,...,6,3,5,2,4,1 และ 2007,2010,...,3,6,2,5,1,4 จะไดคอนดบทงหมด 401420072 4ba จะได 2006,2010,...,3,7,2,2,1,52010,2006,...7,3,6,2,5,1 และ จะไดคอนดบทงหมด 401220062 0ba จะได 2010,2010,...,3,3,2,2,1,1 จะไดคอนดบทงหมด 2010 ดงนนคอนดบทงหมดทสอดคลองกบงอนไข = 4018 + 4016 + 4014 + 4012 + 2010 ตอบ 18070 คอนดบ 27. กาหนดให N เปนจานวนนบ และ 1...21! NNNN เชน 12345!5 ให
!100...!7!6!5!4!3!2!1 A เลขโดด C เปนตวเลขในหลกหนวยของ A และเลขโดด D เปนตวเลขในหลกหนวยของ
10A จงหาคาของ C + D
แนวคด พจารณา 1! = 1 6! = 720 2! = 2 7! = 5,040 3! = 6 8! = 40,320 4! = 24 9! = 362,880 5! = 120 10! = 3,628,800 และหาคาตงแต 11! ขนไปจะไดวามเลขหลกสบและหลกหนวยเปนศนย จะไดวา 1! + 2!+…+10! มเลขสามหลกสดทายเปน 913 ดงนน C = 3 และเมอนาเลขสามหลกสดทายเปน 913 ทมหลกสบเปนเลข 1 เมอนา 10 ไปหาร ทาใหมหลกหนวยเปน 1 D = 1 นนคอ 413 DC ตอบ 4
26. กาหนด ba, เปนจานวนเตมบวก โดยท 0201,...,4,3,2,1A ถาเลอก a และ b จาก A นามาสรางเปนคอนดบ ba, โดยท 4ba จะสราง ba, ไดกคอนดบทสอดคลองกบเงอนไขดงกลาว
แนวคด 1 ba จะได 2010,2009,...,4,3,3,2,2,1 และ 2009,2010,...,3,42,3,1,2 จะไดคอนดบทงหมด 401822009 2ba จะได 2010,2008,...5,3,4,2,3,1 และ 2008,2010,...,3,5,2,4,1,3 จะไดคอนดบทงหมด 401620082 3ba จะได 2010,2007,...,6,3,5,2,4,1 และ 2007,2010,...,3,6,2,5,1,4 จะไดคอนดบทงหมด 401420072 4ba จะได 2006,2010,...,3,7,2,2,1,52010,2006,...7,3,6,2,5,1 และ จะไดคอนดบทงหมด 401220062 0ba จะได 2010,2010,...,3,3,2,2,1,1 จะไดคอนดบทงหมด 2010 ดงนนคอนดบทงหมดทสอดคลองกบงอนไข = 4018 + 4016 + 4014 + 4012 + 2010 ตอบ 18070 คอนดบ 27. กาหนดให N เปนจานวนนบ และ 1...21! NNNN เชน 12345!5 ให
!100...!7!6!5!4!3!2!1 A เลขโดด C เปนตวเลขในหลกหนวยของ A และเลขโดด D เปนตวเลขในหลกหนวยของ
10A จงหาคาของ C + D
แนวคด พจารณา 1! = 1 6! = 720 2! = 2 7! = 5,040 3! = 6 8! = 40,320 4! = 24 9! = 362,880 5! = 120 10! = 3,628,800 และหาคาตงแต 11! ขนไปจะไดวามเลขหลกสบและหลกหนวยเปนศนย จะไดวา 1! + 2!+…+10! มเลขสามหลกสดทายเปน 913 ดงนน C = 3 และเมอนาเลขสามหลกสดทายเปน 913 ทมหลกสบเปนเลข 1 เมอนา 10 ไปหาร ทาใหมหลกหนวยเปน 1 D = 1 นนคอ 413 DC ตอบ 4
26. กาหนด ba, เปนจานวนเตมบวก โดยท 0201,...,4,3,2,1A ถาเลอก a และ b จาก A นามาสรางเปนคอนดบ ba, โดยท 4ba จะสราง ba, ไดกคอนดบทสอดคลองกบเงอนไขดงกลาว
แนวคด 1 ba จะได 2010,2009,...,4,3,3,2,2,1 และ 2009,2010,...,3,42,3,1,2 จะไดคอนดบทงหมด 401822009 2ba จะได 2010,2008,...5,3,4,2,3,1 และ 2008,2010,...,3,5,2,4,1,3 จะไดคอนดบทงหมด 401620082 3ba จะได 2010,2007,...,6,3,5,2,4,1 และ 2007,2010,...,3,6,2,5,1,4 จะไดคอนดบทงหมด 401420072 4ba จะได 2006,2010,...,3,7,2,2,1,52010,2006,...7,3,6,2,5,1 และ จะไดคอนดบทงหมด 401220062 0ba จะได 2010,2010,...,3,3,2,2,1,1 จะไดคอนดบทงหมด 2010 ดงนนคอนดบทงหมดทสอดคลองกบงอนไข = 4018 + 4016 + 4014 + 4012 + 2010 ตอบ 18070 คอนดบ 27. กาหนดให N เปนจานวนนบ และ 1...21! NNNN เชน 12345!5 ให
!100...!7!6!5!4!3!2!1 A เลขโดด C เปนตวเลขในหลกหนวยของ A และเลขโดด D เปนตวเลขในหลกหนวยของ
10A จงหาคาของ C + D
แนวคด พจารณา 1! = 1 6! = 720 2! = 2 7! = 5,040 3! = 6 8! = 40,320 4! = 24 9! = 362,880 5! = 120 10! = 3,628,800 และหาคาตงแต 11! ขนไปจะไดวามเลขหลกสบและหลกหนวยเปนศนย จะไดวา 1! + 2!+…+10! มเลขสามหลกสดทายเปน 913 ดงนน C = 3 และเมอนาเลขสามหลกสดทายเปน 913 ทมหลกสบเปนเลข 1 เมอนา 10 ไปหาร ทาใหมหลกหนวยเปน 1 D = 1 นนคอ 413 DC ตอบ 4
คอนดบ
คอนดบ
คอนดบและ
คอนดบคอนดบ
คอนดบ
29แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
จงหาคาของ Sum(n)
แนวคด
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
1 1 1 116 16 2 2
1 18 16
2
(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )
14 7 189sum(189) 18
ตอบ 18 29. กาหนด yx, และ z เปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ
20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปนเทาไร แนวคด จาก 20724860808610 zyxzxyzxyxyz จะได 25524804860808610 zyxzxyzxyxyz 291181086 zyx เพราะวา yx, และ z เปนจานวนเตมบวก 98,76 yx และ 1110 z ดงนน 118,86 yx และ 2910 z
897694432193,2
zyxzyx และ
ตอบ 89
28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
จงหาคาของ Sum(n)
แนวคด
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
1 1 1 116 16 2 2
1 18 16
2
(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )
14 7 189sum(189) 18
ตอบ 18 29. กาหนด yx, และ z เปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ
20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปนเทาไร แนวคด จาก 20724860808610 zyxzxyzxyxyz จะได 25524804860808610 zyxzxyzxyxyz 291181086 zyx เพราะวา yx, และ z เปนจานวนเตมบวก 98,76 yx และ 1110 z ดงนน 118,86 yx และ 2910 z
897694432193,2
zyxzyx และ
ตอบ 89
28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
จงหาคาของ Sum(n)
แนวคด
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
1 1 1 116 16 2 2
1 18 16
2
(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )
14 7 189sum(189) 18
ตอบ 18 29. กาหนด yx, และ z เปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ
20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปนเทาไร แนวคด จาก 20724860808610 zyxzxyzxyxyz จะได 25524804860808610 zyxzxyzxyxyz 291181086 zyx เพราะวา yx, และ z เปนจานวนเตมบวก 98,76 yx และ 1110 z ดงนน 118,86 yx และ 2910 z
897694432193,2
zyxzyx และ
ตอบ 89
28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
จงหาคาของ Sum(n)
แนวคด
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
1 1 1 116 16 2 2
1 18 16
2
(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )
14 7 189sum(189) 18
ตอบ 18 29. กาหนด yx, และ z เปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ
20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปนเทาไร แนวคด จาก 20724860808610 zyxzxyzxyxyz จะได 25524804860808610 zyxzxyzxyxyz 291181086 zyx เพราะวา yx, และ z เปนจานวนเตมบวก 98,76 yx และ 1110 z ดงนน 118,86 yx และ 2910 z
897694432193,2
zyxzyx และ
ตอบ 89
28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
จงหาคาของ Sum(n)
แนวคด
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
1 1 1 116 16 2 2
1 18 16
2
(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )
14 7 189sum(189) 18
ตอบ 18 29. กาหนด yx, และ z เปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ
20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปนเทาไร แนวคด จาก 20724860808610 zyxzxyzxyxyz จะได 25524804860808610 zyxzxyzxyxyz 291181086 zyx เพราะวา yx, และ z เปนจานวนเตมบวก 98,76 yx และ 1110 z ดงนน 118,86 yx และ 2910 z
897694432193,2
zyxzyx และ
ตอบ 89
28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
จงหาคาของ Sum(n)
แนวคด
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
1 1 1 116 16 2 2
1 18 16
2
(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )
14 7 189sum(189) 18
ตอบ 18 29. กาหนด yx, และ z เปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ
20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปนเทาไร แนวคด จาก 20724860808610 zyxzxyzxyxyz จะได 25524804860808610 zyxzxyzxyxyz 291181086 zyx เพราะวา yx, และ z เปนจานวนเตมบวก 98,76 yx และ 1110 z ดงนน 118,86 yx และ 2910 z
897694432193,2
zyxzyx และ
ตอบ 89
28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
จงหาคาของ Sum(n)
แนวคด
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
1 1 1 116 16 2 2
1 18 16
2
(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )
14 7 189sum(189) 18
ตอบ 18 29. กาหนด yx, และ z เปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ
20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปนเทาไร แนวคด จาก 20724860808610 zyxzxyzxyxyz จะได 25524804860808610 zyxzxyzxyxyz 291181086 zyx เพราะวา yx, และ z เปนจานวนเตมบวก 98,76 yx และ 1110 z ดงนน 118,86 yx และ 2910 z
897694432193,2
zyxzyx และ
ตอบ 89
28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
จงหาคาของ Sum(n)
แนวคด
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
1 1 1 116 16 2 2
1 18 16
2
(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )
14 7 189sum(189) 18
ตอบ 18 29. กาหนด yx, และ z เปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ
20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปนเทาไร แนวคด จาก 20724860808610 zyxzxyzxyxyz จะได 25524804860808610 zyxzxyzxyxyz 291181086 zyx เพราะวา yx, และ z เปนจานวนเตมบวก 98,76 yx และ 1110 z ดงนน 118,86 yx และ 2910 z
897694432193,2
zyxzyx และ
ตอบ 89
28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
จงหาคาของ Sum(n)
แนวคด
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
1 1 1 116 16 2 2
1 18 16
2
(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )
14 7 189sum(189) 18
ตอบ 18 29. กาหนด yx, และ z เปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ
20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปนเทาไร แนวคด จาก 20724860808610 zyxzxyzxyxyz จะได 25524804860808610 zyxzxyzxyxyz 291181086 zyx เพราะวา yx, และ z เปนจานวนเตมบวก 98,76 yx และ 1110 z ดงนน 118,86 yx และ 2910 z
897694432193,2
zyxzyx และ
ตอบ 89
28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
จงหาคาของ Sum(n)
แนวคด
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
1 1 1 116 16 2 2
1 18 16
2
(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )
14 7 189sum(189) 18
ตอบ 18 29. กาหนด yx, และ z เปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ
20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปนเทาไร แนวคด จาก 20724860808610 zyxzxyzxyxyz จะได 25524804860808610 zyxzxyzxyxyz 291181086 zyx เพราะวา yx, และ z เปนจานวนเตมบวก 98,76 yx และ 1110 z ดงนน 118,86 yx และ 2910 z
897694432193,2
zyxzyx และ
ตอบ 89
28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
จงหาคาของ Sum(n)
แนวคด
กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)
1 1 1 116 16 2 2
1 18 16
2
(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )
14 7 189sum(189) 18
ตอบ 18 29. กาหนด yx, และ z เปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ
20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปนเทาไร แนวคด จาก 20724860808610 zyxzxyzxyxyz จะได 25524804860808610 zyxzxyzxyxyz 291181086 zyx เพราะวา yx, และ z เปนจานวนเตมบวก 98,76 yx และ 1110 z ดงนน 118,86 yx และ 2910 z
897694432193,2
zyxzyx และ
ตอบ 89
x = 2, y = 3 และ z = 19
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2553) : 30
30. กาหนด 2009 badadcdcbcba และ
4991111
badadcdcbcba
จงหาคาของcba
dbad
cadc
bdcb
a
เปนเทาไร
แนวคด
1233
2009499
32009
baddcba
adcdcba
dcbdcba
cbadcba
dcba
1231111
bad
cadc
bdcb
acba
d
bad
cadc
bdcb
acba
d
= 119
ตอบ 119
30. กาหนด 2009 badadcdcbcba และ
4991111
badadcdcbcba
จงหาคาของcba
dbad
cadc
bdcb
a
เปนเทาไร
แนวคด
1233
2009499
32009
baddcba
adcdcba
dcbdcba
cbadcba
dcba
1231111
bad
cadc
bdcb
acba
d
bad
cadc
bdcb
acba
d
= 119
ตอบ 119
30. กาหนด 2009 badadcdcbcba และ
4991111
badadcdcbcba
จงหาคาของcba
dbad
cadc
bdcb
a
เปนเทาไร
แนวคด
1233
2009499
32009
baddcba
adcdcba
dcbdcba
cbadcba
dcba
1231111
bad
cadc
bdcb
acba
d
bad
cadc
bdcb
acba
d
= 119
ตอบ 119
30. กาหนด 2009 badadcdcbcba และ
4991111
badadcdcbcba
จงหาคาของcba
dbad
cadc
bdcb
a
เปนเทาไร
แนวคด
1233
2009499
32009
baddcba
adcdcba
dcbdcba
cbadcba
dcba
1231111
bad
cadc
bdcb
acba
d
bad
cadc
bdcb
acba
d
= 119
ตอบ 119
30. กาหนด 2009 badadcdcbcba และ
4991111
badadcdcbcba
จงหาคาของcba
dbad
cadc
bdcb
a
เปนเทาไร
แนวคด
1233
2009499
32009
baddcba
adcdcba
dcbdcba
cbadcba
dcba
1231111
bad
cadc
bdcb
acba
d
bad
cadc
bdcb
acba
d
= 119
ตอบ 119
จำก(a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b) = 2009 จะได a+b+c+d = จะได a+b+c+d = จะได 2009
จะได (a+b+c+d) x 1 1 1 1
()()()()()b()ba()ad()da()ad()dc()cd()dc()cb()bc()cb()ba()a ()()()
()()()
()()()
()() = 3
2009499
3
การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน
กระทรวงศกษาธการ
แบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน
ระดบประเทศ ประจ�าป พ.ศ. 2553
การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553
สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ
แบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน
เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบประเทศ ประจาป พ.ศ. 2553
สอบวนท 6 มนาคม พ.ศ. 2553 เวลา 9.30 น. - 11.30 น.
คาชแจง
1. แบบทดสอบฉบบน เปนแบบทดสอบชนดเตมคาตอบ (ไมตองแสดงวธทา) มจานวน 6 หนา
รวมเวลา 2 ชวโมง
2. แบบทดสอบมทงหมด 30 ขอ คะแนนเตม 120 คะแนน
แบงเปน 3 ตอนคอ
ตอนท 1 ตงแตขอท 1 – 10 ขอละ 3 คะแนน รวม 30 คะแนน
ตอนท 2 ตงแตขอท 11 – 20 ขอละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน
ตอนท 3 ตงแตขอท 21 – 30 ขอละ 5 คะแนน รวม 50 คะแนน
3. กระดาษคาตอบม 2 หนา ใหนกเรยนเขยน ชอ-นามสกล เลขประจาตวสอบ หองสอบ
ชอ โรงเรยน สานกงานเขตพนทการศกษาของนกเรยนใหครบในกระดาษคาตอบ
4. คาตอบ แตละขอทนกเรยนตอบ ตองตอบลงในกระดาษคาตอบเทานนและใหตรงกบขอคาถาม
5. คาถามขอใดทตองแสดงคาตอบมากกวาหนงคาตอบ นกเรยนตองตอบใหถกทกคาตอบ
จงจะไดคะแนนในขอนน
6. ไมอนญาตใหใชเครองคดเลข โทรศพท หรอ เครองมออเลกทรอนกสใดๆ ในการคานวณ
7. นกเรยนจะออกจากหองสอบได หลงจากเรมสอบไปแลว 1 ชวโมง โดยวางกระดาษคาตอบ
กระดาษทดและแบบทดสอบไวบนโตะ
8. การตดสนของคณะกรรมการถอเปนขอยต
แบบทดสอบฉบบน เปนลขสทธของ
สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ
หามเผยแพร อางอง ตดตอ ดดแปลงหรอเฉลย กอนไดรบอนญาต
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2553) : 34
1. หอยทากสองตวอยหางกน 1 เมตร คลานเขาหากนโดยตวหนงคลานดวยความเรว 0.5 มลลเมตรตอ
วนาท และอกตวหนงคลานดวยความเรว 0.75 มลลเมตรตอวนาท แลวหอยทากสองตวนใชเวลากวนาทจงจะพบกน
2. ถา n เปนจานวนเตมบวกทนอยทสด ททาให 24 + 27 + 2n เปนจานวนกาลงสอง แลว n เปนจานวนใด 3. รปสามเหลยม ABC ม E เปนจดบนสวนตอของ AB ทาให ECA
= BCA47
และ D เปนจดบน
สวนตอของ AC ทาให BD แบงครง CBE ถา BD ตด CE ทจด P และ BC = BP = CP แลว
ขนาดของมม BAC เทากบกองศา 4. A 0,0 , B 5,0 , C 5,5 , D 0,5 เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD จด E มพกด (0, 2) F เปนจดบนดาน CD ถา เสนตรง EF แบงพนทรปสเหลยม ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆ กน และ เสนตรง EF ตด แกน X ทจด P แลว สามสบเทาของ
PAEA มคาเทาใด
5. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม BE = 4 หนวย และ DF = 6 หนวย
6
4
F
E
A
D C
B
ถา พนทรปสามเหลยม AEF เทากบ 25 ตารางหนวย แลว ABCD ม พนทกตารางหนวย
6. ในการใชสมบตการเปลยนกลมการคณของจานวนจรง พบวา จานวนจรง 3 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 2 แบบ คอ (ab)c, a(bc) จานวนจรง 4 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 5 แบบ คอ (a(bc))d,
((ab)c)d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd)) จงหาวา สาหรบจานวนจรง 5 จานวน เมอใชสมบต การเปลยนกลมการคณ จะทาไดแตกตางกนกแบบ 7. จงแยกตวประกอบของ abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab 8. d,c,b,a เปนจานวนจรงท 0dcba ถา 1cb,1da 2222 และ
31bdac
แลว )cdab(23 มคาเทาใด 9. ถา x เปนจานวนจรง ททาให )12x)(x4(2y แลว y มคามากทสดเทาใด 10. จานวนหาหลกทไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตละจานวนไมมเลขโดดทซากน ซงจะตองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปน
จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปนจานวนทไมสอดคลองตามขอกาหนด) 11. เศษสวนทกาหนดให มกจานวนทไมเปนเศษสวนอยางตา
505500,,
10023,
10032,
10041
12. กาหนด a, b เปนจานวนเตม
4bxx
ax4xx)x(f 2
223
โดยท a 5 , b 5
จานวนคอนดบ (a, b) ทเปนไปไดทงหมด ททาให f (1) = 0 มกคอนดบ
ตอนท 1 ตงแตขอท 1-10 ขอละ 3 คะแนน
35แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
6. ในการใชสมบตการเปลยนกลมการคณของจานวนจรง พบวา จานวนจรง 3 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 2 แบบ คอ (ab)c, a(bc) จานวนจรง 4 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 5 แบบ คอ (a(bc))d,
((ab)c)d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd)) จงหาวา สาหรบจานวนจรง 5 จานวน เมอใชสมบต การเปลยนกลมการคณ จะทาไดแตกตางกนกแบบ 7. จงแยกตวประกอบของ abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab 8. d,c,b,a เปนจานวนจรงท 0dcba ถา 1cb,1da 2222 และ
31bdac
แลว )cdab(23 มคาเทาใด 9. ถา x เปนจานวนจรง ททาให )12x)(x4(2y แลว y มคามากทสดเทาใด 10. จานวนหาหลกทไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตละจานวนไมมเลขโดดทซากน ซงจะตองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปน
จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปนจานวนทไมสอดคลองตามขอกาหนด) 11. เศษสวนทกาหนดให มกจานวนทไมเปนเศษสวนอยางตา
505500,,
10023,
10032,
10041
12. กาหนด a, b เปนจานวนเตม
4bxx
ax4xx)x(f 2
223
โดยท a 5 , b 5
จานวนคอนดบ (a, b) ทเปนไปไดทงหมด ททาให f (1) = 0 มกคอนดบ
6. ในการใชสมบตการเปลยนกลมการคณของจานวนจรง พบวา จานวนจรง 3 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 2 แบบ คอ (ab)c, a(bc) จานวนจรง 4 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 5 แบบ คอ (a(bc))d,
((ab)c)d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd)) จงหาวา สาหรบจานวนจรง 5 จานวน เมอใชสมบต การเปลยนกลมการคณ จะทาไดแตกตางกนกแบบ 7. จงแยกตวประกอบของ abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab 8. d,c,b,a เปนจานวนจรงท 0dcba ถา 1cb,1da 2222 และ
31bdac
แลว )cdab(23 มคาเทาใด 9. ถา x เปนจานวนจรง ททาให )12x)(x4(2y แลว y มคามากทสดเทาใด 10. จานวนหาหลกทไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตละจานวนไมมเลขโดดทซากน ซงจะตองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปน
จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปนจานวนทไมสอดคลองตามขอกาหนด) 11. เศษสวนทกาหนดให มกจานวนทไมเปนเศษสวนอยางตา
505500,,
10023,
10032,
10041
12. กาหนด a, b เปนจานวนเตม
4bxx
ax4xx)x(f 2
223
โดยท a 5 , b 5
จานวนคอนดบ (a, b) ทเปนไปไดทงหมด ททาให f (1) = 0 มกคอนดบ
13. ให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม BAC เปนมมฉาก
oY'
X'
BXA
Y
C
รปวงกลมสมผสดาน AB และ ดาน AC ท X และ Y ตามลาดบ เมอ XX และ YY เปนเสนผานศนยกลางของวงกลม ดงรป ถา 6AB หนวย แลวรอยเทาของพนทสวนทแรเงาเทากบ กตารางหนวย ( = 3.14)
14. รปสามเหลยม ABC มจด D บนดาน BC ททาให DAB
= DAC ถา AB = 5 หนวย AC = 6 หนวย
และ AD = 4 หนวย แลวพนทรปสเหลยมมมฉากทมขนาดของดานกวางและดานยาวเทากบขนาดของ ดาน BD และดาน DC เทากบกตารางหนวย 15. สวนของเสนตรง AP กบสวนของเสนตรง AD สมผสวงกลม C ทมรศม 7 นว ทจด P และ D
ตามลาดบ BD ยาว 24 นว ถา BC // AP (ดงรป)
แลวสบเทาของพนทสวนทแรเงาเปนกตารางนว ( 227
)
16. ถา x เปนคาตอบของสมการ
320104x2553320104x2553
x201048x2553x201048x2553
แลว 25x4x2 มคาเทาใด 17. ถา a, b, c เปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลว
cb
bc
ca
ac
ab
ba
มคาเทาใด 18. ถา P(x) เปนพหนามทม
x1PxP
x1PxP และ
1615
21P
,
8180
31P
แลว P(1) + P(2) + P(3) + P(4) มคาเทาใด
P
D
C
BA
13. ให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม BAC เปนมมฉาก
oY'
X'
BXA
Y
C
รปวงกลมสมผสดาน AB และ ดาน AC ท X และ Y ตามลาดบ เมอ XX และ YY เปนเสนผานศนยกลางของวงกลม ดงรป ถา 6AB หนวย แลวรอยเทาของพนทสวนทแรเงาเทากบ กตารางหนวย ( = 3.14)
14. รปสามเหลยม ABC มจด D บนดาน BC ททาให DAB
= DAC ถา AB = 5 หนวย AC = 6 หนวย
และ AD = 4 หนวย แลวพนทรปสเหลยมมมฉากทมขนาดของดานกวางและดานยาวเทากบขนาดของ ดาน BD และดาน DC เทากบกตารางหนวย 15. สวนของเสนตรง AP กบสวนของเสนตรง AD สมผสวงกลม C ทมรศม 7 นว ทจด P และ D
ตามลาดบ BD ยาว 24 นว ถา BC // AP (ดงรป)
แลวสบเทาของพนทสวนทแรเงาเปนกตารางนว ( 227
)
16. ถา x เปนคาตอบของสมการ
320104x2553320104x2553
x201048x2553x201048x2553
แลว 25x4x2 มคาเทาใด 17. ถา a, b, c เปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลว
cb
bc
ca
ac
ab
ba
มคาเทาใด 18. ถา P(x) เปนพหนามทม
x1PxP
x1PxP และ
1615
21P
,
8180
31P
แลว P(1) + P(2) + P(3) + P(4) มคาเทาใด
P
D
C
BA
ตอนท 2 ตงแตขอท 11-20 ขอละ 4 คะแนน
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2553) : 36
13. ให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม BAC เปนมมฉาก
oY'
X'
BXA
Y
C
รปวงกลมสมผสดาน AB และ ดาน AC ท X และ Y ตามลาดบ เมอ XX และ YY เปนเสนผานศนยกลางของวงกลม ดงรป ถา 6AB หนวย แลวรอยเทาของพนทสวนทแรเงาเทากบ กตารางหนวย ( = 3.14)
14. รปสามเหลยม ABC มจด D บนดาน BC ททาให DAB
= DAC ถา AB = 5 หนวย AC = 6 หนวย
และ AD = 4 หนวย แลวพนทรปสเหลยมมมฉากทมขนาดของดานกวางและดานยาวเทากบขนาดของ ดาน BD และดาน DC เทากบกตารางหนวย 15. สวนของเสนตรง AP กบสวนของเสนตรง AD สมผสวงกลม C ทมรศม 7 นว ทจด P และ D
ตามลาดบ BD ยาว 24 นว ถา BC // AP (ดงรป)
แลวสบเทาของพนทสวนทแรเงาเปนกตารางนว ( 227
)
16. ถา x เปนคาตอบของสมการ
320104x2553320104x2553
x201048x2553x201048x2553
แลว 25x4x2 มคาเทาใด 17. ถา a, b, c เปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลว
cb
bc
ca
ac
ab
ba
มคาเทาใด 18. ถา P(x) เปนพหนามทม
x1PxP
x1PxP และ
1615
21P
,
8180
31P
แลว P(1) + P(2) + P(3) + P(4) มคาเทาใด
P
D
C
BA
19. กาหนด c,b,a เปนจานวนจรง และถาระบบสมการเปนดงน 6cba 18cba 222 4cba แลว abc9 มคาเทาใด
20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ
ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปนทเพอน จะทายวนเกดเขาไดถกตองเปน
ba เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว a + b มคาเทาใด
21. ถา20092008
2009
200820081A 2
22 แลว 103A มคาเทาใด
22. กาหนดให n เปนจานวนเตมบวก ถา 1255325532553 81624 หารดวย n2 ลงตว แลว n มคามากทสดเปนเทาใด
23. ABC เปนรปสามเหลยม ม AB = 108 หนวย BC = 1009 หนวย CA = 1043 หนวย
ถาเสนแบงครงมมแบบภายในตดกนทจด O แลว พนทรปสามเหลยม ABC เปนกเทา ของพนทรปสามเหลยม AOB
24. วงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S เปนวงกลมทสมผสกบดานของรปสเหลยม ดานขนาน ABCDและเสนทแยงมม BD ดงรป โดยท AB เปนเสนสมผสวงกลม P และวงกลม Q BD เปนเสนสมผสวงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S CD เปนเสนตรงสมผสวงกลม R และวงกลม S กาหนดให พนทวงกลม P และวงกลม R เทากน เทากบ 4 ตารางหนวย และพนทวงกลม Q และวงกลม S เทากน เทากบ ตารางหนวย ถา ABCD มพนท ba ตารางหนวย และ b เปนจานวนเฉพาะ แลว ba มคาเทาใด
R
Q
PS
CB
DA
19. กาหนด c,b,a เปนจานวนจรง และถาระบบสมการเปนดงน 6cba 18cba 222 4cba แลว abc9 มคาเทาใด
20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ
ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปนทเพอน จะทายวนเกดเขาไดถกตองเปน
ba เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว a + b มคาเทาใด
21. ถา20092008
2009
200820081A 2
22 แลว 103A มคาเทาใด
22. กาหนดให n เปนจานวนเตมบวก ถา 1255325532553 81624 หารดวย n2 ลงตว แลว n มคามากทสดเปนเทาใด
23. ABC เปนรปสามเหลยม ม AB = 108 หนวย BC = 1009 หนวย CA = 1043 หนวย
ถาเสนแบงครงมมแบบภายในตดกนทจด O แลว พนทรปสามเหลยม ABC เปนกเทา ของพนทรปสามเหลยม AOB
24. วงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S เปนวงกลมทสมผสกบดานของรปสเหลยม ดานขนาน ABCDและเสนทแยงมม BD ดงรป โดยท AB เปนเสนสมผสวงกลม P และวงกลม Q BD เปนเสนสมผสวงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S CD เปนเสนตรงสมผสวงกลม R และวงกลม S กาหนดให พนทวงกลม P และวงกลม R เทากน เทากบ 4 ตารางหนวย และพนทวงกลม Q และวงกลม S เทากน เทากบ ตารางหนวย ถา ABCD มพนท ba ตารางหนวย และ b เปนจานวนเฉพาะ แลว ba มคาเทาใด
R
Q
PS
CB
DA
ตอนท 3 ตงแตขอท 21-30 ขอละ 5 คะแนน
37แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
19. กาหนด c,b,a เปนจานวนจรง และถาระบบสมการเปนดงน 6cba 18cba 222 4cba แลว abc9 มคาเทาใด
20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ
ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปนทเพอน จะทายวนเกดเขาไดถกตองเปน
ba เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว a + b มคาเทาใด
21. ถา20092008
2009
200820081A 2
22 แลว 103A มคาเทาใด
22. กาหนดให n เปนจานวนเตมบวก ถา 1255325532553 81624 หารดวย n2 ลงตว แลว n มคามากทสดเปนเทาใด
23. ABC เปนรปสามเหลยม ม AB = 108 หนวย BC = 1009 หนวย CA = 1043 หนวย
ถาเสนแบงครงมมแบบภายในตดกนทจด O แลว พนทรปสามเหลยม ABC เปนกเทา ของพนทรปสามเหลยม AOB
24. วงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S เปนวงกลมทสมผสกบดานของรปสเหลยม ดานขนาน ABCDและเสนทแยงมม BD ดงรป โดยท AB เปนเสนสมผสวงกลม P และวงกลม Q BD เปนเสนสมผสวงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S CD เปนเสนตรงสมผสวงกลม R และวงกลม S กาหนดให พนทวงกลม P และวงกลม R เทากน เทากบ 4 ตารางหนวย และพนทวงกลม Q และวงกลม S เทากน เทากบ ตารางหนวย ถา ABCD มพนท ba ตารางหนวย และ b เปนจานวนเฉพาะ แลว ba มคาเทาใด
R
Q
PS
CB
DA
25. ABCD เปนทรงเหลยมสหนามปรมาตร 999 ลกบาศกหนวย โดยทแตละหนาเปนรปสามเหลยมดานเทา ถา PABC, QABD, RACD และ SBCD เปนทรงเหลยมสหนาทแตละหนาเปนรปสามเหลยมดานเทาซงถกสรางบน ABCD แลว ทรงเหลยมสหนา PQRS มปรมาตรกลกบาศกหนวย
26. ถา b,a เปนจานวนเตมบวก และนยามดงน 1. abba 2. aaa และ 3. baabbaba แลว 6*8 มคาเทาใด 27. มจานวนเตมบวก n ทงหมดกจานวนทสอดคลองกบอสมการ 99
10n9n)1(
541
431
321
21149
9n
28. กาหนดให z,y,x และ w เปนจานวนเตมบวก
ถา 10373xyzw8)wzyx()wzyx(2 222224444 แลว wxzwyzxy เปนเทาใด
29. ตวประกอบทมคามากทสดของ nn37 ทกคาของ n ทเปนจานวนเตมบวก มคาเทาใด 30. ABCDE เปนรปหาเหลยมแนบในวงกลม ถาระยะหางจากจด A ไปยง CD,BC และ DE เปน 3293
หนวย 4628 หนวย และ 3588 หนวย ตามลาดบ แลวระยะหางจากจด A ไปยง BE เทากบกหนวย *******************************
การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจ�าป พ.ศ. 2553
ส�านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ
แนวคดแบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน
เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบประเทศ ประจ�าป พ.ศ. 2553
แนวคดแบบทดสอบคณตศำสตรฉบบนเปนลขสทธของ
ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำนกระทรวงศกษำธกำร
หามเผยแพร อางอง ตดตอ ดดแปลงหรอเฉลย กอนไดรบอนญาต
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2553) : 40
1. หอยทากสองตวอยหางกน 1 เมตร คลานเขาหากนโดยตวหนงคลานดวยความเรว 0.5 มลลเมตรตอวนาท และอกตวหนงคลานดวยความเรว 0.75 มลลเมตรตอวนาท แลวหอยทากสองตวน ใชเวลากวนาทจงจะพบกน
แนวคด หอยทากสองตวนใชเวลา t วนาท จงจะพบกน
0 5t 0 75t 1000
t 800
. .
ตอบ 800 วนาท 2. ถา n เปนจานวนเตมบวกทนอยทสด ททาให 24 + 27 + 2n เปนจานวนกาลงสอง แลว n เปนจานวนใด แนวคด 24 + 27 + 2n = 24 (1+ 23 + 2n-4 ) = 24 (9 + 2n-4 ) = 24 (9 + 28-4 ) = 24 (25) ตอบ 8 3. รปสามเหลยม ABC ม E เปนจดบนสวนตอของ AB ทาให ECA
= BCA47
และ D เปนจดบน
สวนตอของ AC ทาให BD แบงครง CBE ถา BD ตด CE ทจด P และ BC = BP = CP แลว ขนาด
ของมม BAC เทากบกองศา แนวคด
P
DE
B C
A BC = BP = CP ทาให PCB
= PBC = 60 องศา
ดงนน BCA = 80 องศา
และ CBA = 60 องศา
นนคอ CAB = 180 – 140 = 40 องศา
ตอบ 40 องศา
1. หอยทากสองตวอยหางกน 1 เมตร คลานเขาหากนโดยตวหนงคลานดวยความเรว 0.5 มลลเมตรตอวนาท และอกตวหนงคลานดวยความเรว 0.75 มลลเมตรตอวนาท แลวหอยทากสองตวน ใชเวลากวนาทจงจะพบกน
แนวคด หอยทากสองตวนใชเวลา t วนาท จงจะพบกน
0 5t 0 75t 1000
t 800
. .
ตอบ 800 วนาท 2. ถา n เปนจานวนเตมบวกทนอยทสด ททาให 24 + 27 + 2n เปนจานวนกาลงสอง แลว n เปนจานวนใด แนวคด 24 + 27 + 2n = 24 (1+ 23 + 2n-4 ) = 24 (9 + 2n-4 ) = 24 (9 + 28-4 ) = 24 (25) ตอบ 8 3. รปสามเหลยม ABC ม E เปนจดบนสวนตอของ AB ทาให ECA
= BCA47
และ D เปนจดบน
สวนตอของ AC ทาให BD แบงครง CBE ถา BD ตด CE ทจด P และ BC = BP = CP แลว ขนาด
ของมม BAC เทากบกองศา แนวคด
P
DE
B C
A BC = BP = CP ทาให PCB
= PBC = 60 องศา
ดงนน BCA = 80 องศา
และ CBA = 60 องศา
นนคอ CAB = 180 – 140 = 40 องศา
ตอบ 40 องศา
1. หอยทากสองตวอยหางกน 1 เมตร คลานเขาหากนโดยตวหนงคลานดวยความเรว 0.5 มลลเมตรตอวนาท และอกตวหนงคลานดวยความเรว 0.75 มลลเมตรตอวนาท แลวหอยทากสองตวน ใชเวลากวนาทจงจะพบกน
แนวคด หอยทากสองตวนใชเวลา t วนาท จงจะพบกน
0 5t 0 75t 1000
t 800
. .
ตอบ 800 วนาท 2. ถา n เปนจานวนเตมบวกทนอยทสด ททาให 24 + 27 + 2n เปนจานวนกาลงสอง แลว n เปนจานวนใด แนวคด 24 + 27 + 2n = 24 (1+ 23 + 2n-4 ) = 24 (9 + 2n-4 ) = 24 (9 + 28-4 ) = 24 (25) ตอบ 8 3. รปสามเหลยม ABC ม E เปนจดบนสวนตอของ AB ทาให ECA
= BCA47
และ D เปนจดบน
สวนตอของ AC ทาให BD แบงครง CBE ถา BD ตด CE ทจด P และ BC = BP = CP แลว ขนาด
ของมม BAC เทากบกองศา แนวคด
P
DE
B C
A BC = BP = CP ทาให PCB
= PBC = 60 องศา
ดงนน BCA = 80 องศา
และ CBA = 60 องศา
นนคอ CAB = 180 – 140 = 40 องศา
ตอบ 40 องศา
1. หอยทากสองตวอยหางกน 1 เมตร คลานเขาหากนโดยตนโดยต นโดยตนโดยตวหนงคลานดวยความเรว 0.5 มลลเมตรตอวนาท และอกตวหนงคลานดวยความเรว 0.75 มลลเมตรตอวนาท แลวหอยทากสองตวนใชใชใชเวลากวนาทจงจะพบกน
แนวคด หอยทากสองตวนใชวนใชวน ใชใชเวลา t วนาท จงจะพบกน
0 5t 0 75t 1000
t 800 0 5t 0 75t 1000 0 5t 0 75t 1000
t 800t 8000 5t 0 75t 1000. .0 5t 0 75t 10000 5t 0 75t 1000 0 5t 0 75t 1000. .0 5t 0 75t 1000 0 5t 0 75t 1000
ตอบ 800 วนาท
2. ถา n เปเปเปนจานวนเตมบวกทนอยทสด ททาใหาใหาให 2 2 4 + 27 + 2n เปเปเปนจานวนกาลงสอง แลว n เปเปเปนจานวนใด แนวคด 24 + 27 + 2n = 24 (1+ 23 + 2n-4 ) = 24 (9 + 2n-4 ) = 24 (9 + 28-4 ) = 24 (25)
3. รปสามเหลปสามเหลปสามเหลยม ABC ม E เปเปเปนจดบนสวนตอของ AB ทาใหาใหาให ECA = BCA
47
และ D เปเปเปนจดบน
สวนตอของ AC ทาใหาใหาให BD แบงครง CBE ถา BD ตด CE ทจด P และ BC = BP = CP แลว ขนาด
ของมม BAC เทากบกองศาแนวคด
P
DE
B C
A BC = BP = CP ทาใหาใหาให PCB
= PBC = 60 องศา
ดงนน BCA = 80 องศา
และ CBA = 60 องศา
นนนคนคออ CCAABB = 180 – 140 = 40 = 180 – 140 = 40 องศาองศา
ตอบ 40 องศา
nเปนจ�ำนวนนอยทสดทท�ำให(a+2n-4)
เปนก�ำลงสองจะไดn=8
ตอบ8
41แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
4. A 0,0 , B 5,0 , C 5,5 , D 0,5 เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD จด E มพกด (0, 2) F เปนจดบนดาน CD ถา เสนตรง EF แบงพนทรปสเหลยม ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆ กน และ เสนตรง EF ตด แกน X ทจด P แลว สามสบเทาของ
PAEA มคาเทาใด
แนวคด เสนตรงผานจด 2,0 ตด CD ทจด 3,5F แบง พนท ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆกน สมการเสนตรงผานจด 3,5,2,0 คอ
5032
0x2y
จะได
51
PAEA
สามสบเทาของPAEA = 6
ตอบ 6 5. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม BE = 4 หนวย และ DF = 6 หนวย
6
4
F
E
A
D C
B
ถา พนทรปสามเหลยม AEF เทากบ 25 ตารางหนวย แลว ABCD ม พนทกตารางหนวย
แนวคด ให x แทนความยาวดาน BC y แทนความยาวดาน DC พ.ท. xy4x6y
21y2x3AEF
xy74xy224y4x6xyy4x650
xy24y4x6xy21y2x325
ดงนน พนทรปสเหลยมผนผา เปน 74 ตารางหนวย ตอบ 74 ตารางหนวย
3
32
2
A (0,0)
B (0,5)
D (5,0)
E (0,2)
C (5,5)
F
P X
Y
4. A 0,0 , B 5,0 , C 5,5 , D 0,5 เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD จด E มพกด (0, 2) F เปนจดบนดาน CD ถา เสนตรง EF แบงพนทรปสเหลยม ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆ กน และ เสนตรง EF ตด แกน X ทจด P แลว สามสบเทาของ
PAEA มคาเทาใด
แนวคด เสนตรงผานจด 2,0 ตด CD ทจด 3,5F แบง พนท ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆกน สมการเสนตรงผานจด 3,5,2,0 คอ
5032
0x2y
จะได
51
PAEA
สามสบเทาของPAEA = 6
ตอบ 6 5. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม BE = 4 หนวย และ DF = 6 หนวย
6
4
F
E
A
D C
B
ถา พนทรปสามเหลยม AEF เทากบ 25 ตารางหนวย แลว ABCD ม พนทกตารางหนวย
แนวคด ให x แทนความยาวดาน BC y แทนความยาวดาน DC พ.ท. xy4x6y
21y2x3AEF
xy74xy224y4x6xyy4x650
xy24y4x6xy21y2x325
ดงนน พนทรปสเหลยมผนผา เปน 74 ตารางหนวย ตอบ 74 ตารางหนวย
3
32
2
A (0,0)
B (0,5)
D (5,0)
E (0,2)
C (5,5)
F
P X
Y
4. A 0,0 , B 5,0 , C 5,5 , D 0,5 เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD จด E มพกด (0, 2) F เปนจดบนดาน CD ถา เสนตรง EF แบงพนทรปสเหลยม ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆ กน และ เสนตรง EF ตด แกน X ทจด P แลว สามสบเทาของ
PAEA มคาเทาใด
แนวคด เสนตรงผานจด 2,0 ตด CD ทจด 3,5F แบง พนท ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆกน สมการเสนตรงผานจด 3,5,2,0 คอ
5032
0x2y
จะได
51
PAEA
สามสบเทาของPAEA = 6
ตอบ 6 5. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม BE = 4 หนวย และ DF = 6 หนวย
6
4
F
E
A
D C
B
ถา พนทรปสามเหลยม AEF เทากบ 25 ตารางหนวย แลว ABCD ม พนทกตารางหนวย
แนวคด ให x แทนความยาวดาน BC y แทนความยาวดาน DC พ.ท. xy4x6y
21y2x3AEF
xy74xy224y4x6xyy4x650
xy24y4x6xy21y2x325
ดงนน พนทรปสเหลยมผนผา เปน 74 ตารางหนวย ตอบ 74 ตารางหนวย
3
32
2
A (0,0)
B (0,5)
D (5,0)
E (0,2)
C (5,5)
F
P X
Y
4. A 0,0 , B 5,0 , C 5,5 , D 0,5 เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD จด E มพกด (0, 2) F เปนจดบนดาน CD ถา เสนตรง EF แบงพนทรปสเหลยม ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆ กน และ เสนตรง EF ตด แกน X ทจด P แลว สามสบเทาของ
PAEA มคาเทาใด
แนวคด เสนตรงผานจด 2,0 ตด CD ทจด 3,5F แบง พนท ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆกน สมการเสนตรงผานจด 3,5,2,0 คอ
5032
0x2y
จะได
51
PAEA
สามสบเทาของPAEA = 6
ตอบ 6 5. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม BE = 4 หนวย และ DF = 6 หนวย
6
4
F
E
A
D C
B
ถา พนทรปสามเหลยม AEF เทากบ 25 ตารางหนวย แลว ABCD ม พนทกตารางหนวย
แนวคด ให x แทนความยาวดาน BC y แทนความยาวดาน DC พ.ท. xy4x6y
21y2x3AEF
xy74xy224y4x6xyy4x650
xy24y4x6xy21y2x325
ดงนน พนทรปสเหลยมผนผา เปน 74 ตารางหนวย ตอบ 74 ตารางหนวย
3
32
2
A (0,0)
B (0,5)
D (5,0)
E (0,2)
C (5,5)
F
P X
Y
4. A 0,0 , B 5,0 , C 5,5 , D 0,5 เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD จด E มพกด (0, 2) F เปนจดบนดาน CD ถา เสนตรง EF แบงพนทรปสเหลยม ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆ กน และ เสนตรง EF ตด แกน X ทจด P แลว สามสบเทาของ
PAEA มคาเทาใด
แนวคด เสนตรงผานจด 2,0 ตด CD ทจด 3,5F แบง พนท ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆกน สมการเสนตรงผานจด 3,5,2,0 คอ
5032
0x2y
จะได
51
PAEA
สามสบเทาของPAEA = 6
ตอบ 6 5. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม BE = 4 หนวย และ DF = 6 หนวย
6
4
F
E
A
D C
B
ถา พนทรปสามเหลยม AEF เทากบ 25 ตารางหนวย แลว ABCD ม พนทกตารางหนวย
แนวคด ให x แทนความยาวดาน BC y แทนความยาวดาน DC พ.ท. xy4x6y
21y2x3AEF
xy74xy224y4x6xyy4x650
xy24y4x6xy21y2x325
ดงนน พนทรปสเหลยมผนผา เปน 74 ตารางหนวย ตอบ 74 ตารางหนวย
3
32
2
A (0,0)
B (0,5)
D (5,0)
E (0,2)
C (5,5)
F
P X
Y
4. A 0,0 , B 5,0 , C 5,5 , D 0,5 เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD จด E มพกด (0, 2) F เปนจดบนดาน CD ถา เสนตรง EF แบงพนทรปสเหลยม ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆ กน และ เสนตรง EF ตด แกน X ทจด P แลว สามสบเทาของ
PAEA มคาเทาใด
แนวคด เสนตรงผานจด 2,0 ตด CD ทจด 3,5F แบง พนท ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆกน สมการเสนตรงผานจด 3,5,2,0 คอ
5032
0x2y
จะได
51
PAEA
สามสบเทาของPAEA = 6
ตอบ 6 5. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม BE = 4 หนวย และ DF = 6 หนวย
6
4
F
E
A
D C
B
ถา พนทรปสามเหลยม AEF เทากบ 25 ตารางหนวย แลว ABCD ม พนทกตารางหนวย
แนวคด ให x แทนความยาวดาน BC y แทนความยาวดาน DC พ.ท. xy4x6y
21y2x3AEF
xy74xy224y4x6xyy4x650
xy24y4x6xy21y2x325
ดงนน พนทรปสเหลยมผนผา เปน 74 ตารางหนวย ตอบ 74 ตารางหนวย
3
32
2
A (0,0)
B (0,5)
D (5,0)
E (0,2)
C (5,5)
F
P X
Y
4. A 0,0 , B 5,0 , C 5,5 , D 0,5 เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD จด E มพกด (0, 2) F เปนจดบนดาน CD ถา เสนตรง EF แบงพนทรปสเหลยม ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆ กน และ เสนตรง EF ตด แกน X ทจด P แลว สามสบเทาของ
PAEA มคาเทาใด
แนวคด เสนตรงผานจด 2,0 ตด CD ทจด 3,5F แบง พนท ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆกน สมการเสนตรงผานจด 3,5,2,0 คอ
5032
0x2y
จะได
51
PAEA
สามสบเทาของPAEA = 6
ตอบ 6 5. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม BE = 4 หนวย และ DF = 6 หนวย
6
4
F
E
A
D C
B
ถา พนทรปสามเหลยม AEF เทากบ 25 ตารางหนวย แลว ABCD ม พนทกตารางหนวย
แนวคด ให x แทนความยาวดาน BC y แทนความยาวดาน DC พ.ท. xy4x6y
21y2x3AEF
xy74xy224y4x6xyy4x650
xy24y4x6xy21y2x325
ดงนน พนทรปสเหลยมผนผา เปน 74 ตารางหนวย ตอบ 74 ตารางหนวย
3
32
2
A (0,0)
B (0,5)
D (5,0)
E (0,2)
C (5,5)
F
P X
Y
4. A 0,0 , B 5,0 , C 5,5 , D 0,5 เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD จด E มพกด (0, 2) F เปนจดบนดาน CD ถา เสนตรง EF แบงพนทรปสเหลยม ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆ กน และ เสนตรง EF ตด แกน X ทจด P แลว สามสบเทาของ
PAEA มคาเทาใด
แนวคด เสนตรงผานจด 2,0 ตด CD ทจด 3,5F แบง พนท ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆกน สมการเสนตรงผานจด 3,5,2,0 คอ
5032
0x2y
จะได
51
PAEA
สามสบเทาของPAEA = 6
ตอบ 6 5. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม BE = 4 หนวย และ DF = 6 หนวย
6
4
F
E
A
D C
B
ถา พนทรปสามเหลยม AEF เทากบ 25 ตารางหนวย แลว ABCD ม พนทกตารางหนวย
แนวคด ให x แทนความยาวดาน BC y แทนความยาวดาน DC พ.ท. xy4x6y
21y2x3AEF
xy74xy224y4x6xyy4x650
xy24y4x6xy21y2x325
ดงนน พนทรปสเหลยมผนผา เปน 74 ตารางหนวย ตอบ 74 ตารางหนวย
3
32
2
A (0,0)
B (0,5)
D (5,0)
E (0,2)
C (5,5)
F
P X
Y
4. A 0 , 0 , B 5 , 0 , C 5 , 5 , D 0 , 5 เปเปเปนจดยอดของรปสปสปสเหลยม ABCD จด E มพกด (0, 2)
3
32
2
A (0,0) (0,0)
B (0,5)
D (5,0)
E (0,2)
C (5,5)
F
P X
Y เสนตรงผานจด 2,0 ตด CD ทจด 3 , 5 F แบง พนท ABCD ออกเปออกเปออกเปน 2 สวนเทาๆกนสมการเสนตรงผานจด 3,5,2,0
คอ5032
0x2y
จะไดจะไดจะได
51
PAEA
สามสบเทาของPAEA = 6
ตอบ 6
= xy
= xy
= 2xy
74 = xy
พ.ท. ABCD = ∆ AEF + ∆ ADF + ∆ FCE + ∆ ABE
FเปนจดบนดำนCDถำเสนตรงEFแบงพนทรปสเหลยมABCDออกเปน2สวนเทำๆกน
และเสนตรงEFตดแกนXทจดPแลวสำมสบเทำของ มคำเทำใด
แนวคด
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2553) : 42
6. ในการใชสมบตการเปลยนกลมการคณของจานวนจรง พบวา จานวนจรง 3 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 2 แบบ คอ (ab)c, a(bc) จานวนจรง 4 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 5 แบบ คอ (a(bc))d,
((ab)c)d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd)) จงหาวา สาหรบจานวนจรง 5 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาไดแตกตางกนกแบบ แนวคด ชด (abcd)e ม 6 แบบ คอ ((ab)(cd))e, (ab)((cd)e), ((a(bc))d)e, (a((bc)d))e, (((ab)c)d)e,
(a(b(cd)))e
ชด a(bcde) ม 6 แบบ คอ a((bc)(de)), (a(bc))(de) , a(((bc)d)e), a(b(c(de))), (a((bc)d)e), a((b(cd))e)
และ ((ab)c)(de), (ab)(c(de)) ตอบ 14 แบบ 7. จงแยกตวประกอบของ abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab แนวคด abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab
)ba)(cb)(ca(cabcbab)ca(
ca)cba(b)ca()ac(ca)bcab)(cba(
)ac(ca)cba(bc)cba(ab
2
ตอบ )ba)(cb)(ca(
6. ในการใชสมบตการเปลยนกลมการคณของจานวนจรง พบวา จานวนจรง 3 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 2 แบบ คอ (ab)c, a(bc) จานวนจรง 4 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 5 แบบ คอ (a(bc))d,
((ab)c)d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd)) จงหาวา สาหรบจานวนจรง 5 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาไดแตกตางกนกแบบ แนวคด ชด (abcd)e ม 6 แบบ คอ ((ab)(cd))e, (ab)((cd)e), ((a(bc))d)e, (a((bc)d))e, (((ab)c)d)e,
(a(b(cd)))e
ชด a(bcde) ม 6 แบบ คอ a((bc)(de)), (a(bc))(de) , a(((bc)d)e), a(b(c(de))), (a((bc)d)e), a((b(cd))e)
และ ((ab)c)(de), (ab)(c(de)) ตอบ 14 แบบ 7. จงแยกตวประกอบของ abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab แนวคด abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab
)ba)(cb)(ca(cabcbab)ca(
ca)cba(b)ca()ac(ca)bcab)(cba(
)ac(ca)cba(bc)cba(ab
2
ตอบ )ba)(cb)(ca(
6. ในการใชสมบตการเปลยนกลมการคณของจานวนจรง พบวา จานวนจรง 3 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 2 แบบ คอ (ab)c, a(bc) จานวนจรง 4 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 5 แบบ คอ (a(bc))d,
((ab)c)d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd)) จงหาวา สาหรบจานวนจรง 5 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาไดแตกตางกนกแบบ แนวคด ชด (abcd)e ม 6 แบบ คอ ((ab)(cd))e, (ab)((cd)e), ((a(bc))d)e, (a((bc)d))e, (((ab)c)d)e,
(a(b(cd)))e
ชด a(bcde) ม 6 แบบ คอ a((bc)(de)), (a(bc))(de) , a(((bc)d)e), a(b(c(de))), (a((bc)d)e), a((b(cd))e)
และ ((ab)c)(de), (ab)(c(de)) ตอบ 14 แบบ 7. จงแยกตวประกอบของ abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab แนวคด abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab
)ba)(cb)(ca(cabcbab)ca(
ca)cba(b)ca()ac(ca)bcab)(cba(
)ac(ca)cba(bc)cba(ab
2
ตอบ )ba)(cb)(ca(
6. ในการใชในการใชในการใชสมบตการเปลการเปลการเปลยนกลมการคณของจานวนจรง พบวาจานวนจรง 3 จานวน เมอใชอใชอใชสมบต การเปลการเปลการเปลยนกลมการคณ จะทาไดาไดาได 2 2 แบบ คอ (ab)c, a(bc)
จานวนจรง 4 จานวน เมอใชอใชอใชสมบต การเปลการเปลการเปลยนกลมการคณ จะทาไดาไดาได 5 แบบ คอ (a(bc))d, ((ab)c)d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd)) จงหาวา สาหรบจานวนจรง 5 จานวน เมอใชอใชอใชสมบต การเปลการเปลการเปลยนกลมการคณ จะทาไดาไดาไดแตกตางกนกแบบแนวคด ชด (abcd)e ม 6 แบบ คอ ((ab)(cd))e, (ab)((cd)e), ((a(bc))d)e, (a((bc)d))e, (((ab)c)d)e, (a(b(cd)))e
ชด a(bcde) ม 6 แบบ คอ a((bc)(de)), (a(bc))(de) , a(((bc)d)e), a(b(c(de))), (a((bc)d)e), a((b(cd))e)
และ ((ab)c)(de), (ab)(c(de)) ตอบ 14 แบบ
7. จงแยกตวประกอบของวประกอบของ abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab
แนวคด abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab
)ba)(cb)(ca( ca bc b ab )ca(
ca ) c b a ( b )ca()ac(ca)bcab)(cba(
)ac(ca)cba(bc)cba(ab
2
ตอบ )ba)(cb)(ca(
= ab (a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+abc+abc
43แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
8. d,c,b,a เปนจานวนจรงท 0dcba ถา 1cb,1da 2222 และ 31bdac
แลว )cdab(23 มคาเทาใด แนวคด
98
3111
bdaccbdacdab2
222222
เนองจาก 0dcba 0cdab ดงนน
322cdab
)cdab(23 = 4 ตอบ 4 9. ถา x เปนจานวนจรง ททาให )12x)(x4(2y แลว y มคามากทสดเทาใด
แนวคด x = 4 ทาให )12x)(x4(2y มคามากทสด เทากบ 128 ตอบ 128
10. จานวนหาหลกทไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตละจานวนไมมเลขโดดทซากน ซงจะตองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปน
จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปนจานวนทไมสอดคลองตามขอกาหนด) แนวคด เรยงจานวนหาหลกทกรปแบบ ได 54321 = 120 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 692 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 และ 692 อยดวยพรอมกน ม 1 จานวน ดงนน จานวนวธในการจดเรยงตวเลข 2, 3, 4, 6, 9 ซงจะตองไมมรปแบบ 346 หรอ 692 ม 120 - 13 = 107 จานวน ตอบ 107 จานวน
8. d,c,b,a เปนจานวนจรงท 0dcba ถา 1cb,1da 2222 และ 31bdac
แลว )cdab(23 มคาเทาใด แนวคด
98
3111
bdaccbdacdab2
222222
เนองจาก 0dcba 0cdab ดงนน
322cdab
)cdab(23 = 4 ตอบ 4 9. ถา x เปนจานวนจรง ททาให )12x)(x4(2y แลว y มคามากทสดเทาใด
แนวคด x = 4 ทาให )12x)(x4(2y มคามากทสด เทากบ 128 ตอบ 128
10. จานวนหาหลกทไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตละจานวนไมมเลขโดดทซากน ซงจะตองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปน
จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปนจานวนทไมสอดคลองตามขอกาหนด) แนวคด เรยงจานวนหาหลกทกรปแบบ ได 54321 = 120 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 692 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 และ 692 อยดวยพรอมกน ม 1 จานวน ดงนน จานวนวธในการจดเรยงตวเลข 2, 3, 4, 6, 9 ซงจะตองไมมรปแบบ 346 หรอ 692 ม 120 - 13 = 107 จานวน ตอบ 107 จานวน
8. d,c,b,a เปนจานวนจรงท 0dcba ถา 1cb,1da 2222 และ 31bdac
แลว )cdab(23 มคาเทาใด แนวคด
98
3111
bdaccbdacdab2
222222
เนองจาก 0dcba 0cdab ดงนน
322cdab
)cdab(23 = 4 ตอบ 4 9. ถา x เปนจานวนจรง ททาให )12x)(x4(2y แลว y มคามากทสดเทาใด
แนวคด x = 4 ทาให )12x)(x4(2y มคามากทสด เทากบ 128 ตอบ 128
10. จานวนหาหลกทไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตละจานวนไมมเลขโดดทซากน ซงจะตองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปน
จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปนจานวนทไมสอดคลองตามขอกาหนด) แนวคด เรยงจานวนหาหลกทกรปแบบ ได 54321 = 120 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 692 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 และ 692 อยดวยพรอมกน ม 1 จานวน ดงนน จานวนวธในการจดเรยงตวเลข 2, 3, 4, 6, 9 ซงจะตองไมมรปแบบ 346 หรอ 692 ม 120 - 13 = 107 จานวน ตอบ 107 จานวน
8. d,c,b,a เปนจานวนจรงท 0dcba ถา 1cb,1da 2222 และ 31bdac
แลว )cdab(23 มคาเทาใด แนวคด
98
3111
bdaccbdacdab2
222222
เนองจาก 0dcba 0cdab ดงนน
322cdab
)cdab(23 = 4 ตอบ 4 9. ถา x เปนจานวนจรง ททาให )12x)(x4(2y แลว y มคามากทสดเทาใด
แนวคด x = 4 ทาให )12x)(x4(2y มคามากทสด เทากบ 128 ตอบ 128
10. จานวนหาหลกทไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตละจานวนไมมเลขโดดทซากน ซงจะตองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปน
จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปนจานวนทไมสอดคลองตามขอกาหนด) แนวคด เรยงจานวนหาหลกทกรปแบบ ได 54321 = 120 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 692 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 และ 692 อยดวยพรอมกน ม 1 จานวน ดงนน จานวนวธในการจดเรยงตวเลข 2, 3, 4, 6, 9 ซงจะตองไมมรปแบบ 346 หรอ 692 ม 120 - 13 = 107 จานวน ตอบ 107 จานวน
8. d,c,b,a เปนจานวนจรงท 0dcba ถา 1cb,1da 2222 และ 31bdac
แลว )cdab(23 มคาเทาใด แนวคด
98
3111
bdaccbdacdab2
222222
เนองจาก 0dcba 0cdab ดงนน
322cdab
)cdab(23 = 4 ตอบ 4 9. ถา x เปนจานวนจรง ททาให )12x)(x4(2y แลว y มคามากทสดเทาใด
แนวคด x = 4 ทาให )12x)(x4(2y มคามากทสด เทากบ 128 ตอบ 128
10. จานวนหาหลกทไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตละจานวนไมมเลขโดดทซากน ซงจะตองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปน
จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปนจานวนทไมสอดคลองตามขอกาหนด) แนวคด เรยงจานวนหาหลกทกรปแบบ ได 54321 = 120 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 692 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 และ 692 อยดวยพรอมกน ม 1 จานวน ดงนน จานวนวธในการจดเรยงตวเลข 2, 3, 4, 6, 9 ซงจะตองไมมรปแบบ 346 หรอ 692 ม 120 - 13 = 107 จานวน ตอบ 107 จานวน
8. d,c,b,a เปเปเปนจานวนจรงท 0dcba ถา da 22
แลว )cdab(23 มคาเทาใดแนวคด
1cb 22 และ31bdac
98
31 1 1
2
เนองจาก 0dcba
0cdab
ดงนน 322cdab
)cdab(23 = 4 ตอบ 4
8. d,c,b,a เปนจานวนจรงท 0dcba ถา 1cb,1da 2222 และ 31bdac
แลว )cdab(23 มคาเทาใด แนวคด
98
3111
bdaccbdacdab2
222222
เนองจาก 0dcba 0cdab ดงนน
322cdab
)cdab(23 = 4 ตอบ 4 9. ถา x เปนจานวนจรง ททาให )12x)(x4(2y แลว y มคามากทสดเทาใด
แนวคด x = 4 ทาให )12x)(x4(2y มคามากทสด เทากบ 128 ตอบ 128
10. จานวนหาหลกทไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตละจานวนไมมเลขโดดทซากน ซงจะตองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปน
จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปนจานวนทไมสอดคลองตามขอกาหนด) แนวคด เรยงจานวนหาหลกทกรปแบบ ได 54321 = 120 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 692 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 และ 692 อยดวยพรอมกน ม 1 จานวน ดงนน จานวนวธในการจดเรยงตวเลข 2, 3, 4, 6, 9 ซงจะตองไมมรปแบบ 346 หรอ 692 ม 120 - 13 = 107 จานวน ตอบ 107 จานวน
8. d, c, b, a เปนจานวนจรงท 0 d c b a ถา 1 c b, 1 d a2 2 2 2 และ 31 bd ac
แลว ) cd ab ( 2 3 มคาเทาใด แนวคด
98
31 1 1
bd ac c b d a cd ab2
2 2 2 2 2 2
เนองจาก 0 d c b a 0 cd ab ดงนน 3
2 2 cd ab ) cd ab ( 2 3 = 4 ตอบ 4 9. ถา x เปนจานวนจรง ททาให ) 12 x )( x 4( 2 y แลว y มคามากทสดเทาใด
แนวคด x = 4 ทาให ) 12 x )( x 4( 2 y มคามากทสด เทากบ 128 ตอบ 128
10. จานวนหาหลกทไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตละจานวนไมมเลขโดดทซากน ซงจะตองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปน
จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปนจานวนทไมสอดคลองตามขอกาหนด) แนวคด เรยงจานวนหาหลกทกรปแบบ ได 54321 = 120 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 692 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 และ 692 อยดวยพรอมกน ม 1 จานวน ดงนน จานวนวธในการจดเรยงตวเลข 2, 3, 4, 6, 9 ซงจะตองไมมรปแบบ 346 หรอ 692 ม 120 - 13 = 107 จานวน ตอบ 107 จานวน
9. ถา x เปเปเปนจานวนจรง ททาใหาใหาให )12x)(x4(2y แลว y มคามากทสดเทาใด แนวคด x = 4 ทาใหาใหาให )12x)(x4(2y มคามากทสด เทากบ 128 ตอบ 128
10. จานวนหาหลกทไดไดไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตโดยแตโดยแตละจานวนไมานวนไมานวนไมมเลขโดดทเลขโดดทเลขโดดทซากน ซงจะตองไมองไมองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยปรากฏอยปรากฏอยปรากฏอยปรากฏอยในจในจในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปเปเปน
จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปเปเปนจานวนทไมไมไมสอดคลองตามขอกาหนด) แนวคด เรยงจานวนหาหลกทกรปแบบ ไดไดได 54321 = 120 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 692 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 และ 692 อยดวยพรอมกน ม 1 จานวน ดงนน จานวนวธในการจธในการจธ ในการจในการจดเรยงตวเลข 2, 3, 4, 6, 9 ซงจะตองไมองไมองไมมรปแบบ 346 หรอ 692 ม 120 - 13 = 107 จานวน ตอบตอบ 107 107 จจานวนานวน
1 ,
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2553) : 44
11. เศษสวนทกาหนดให มกจานวนทไมเปนเศษสวนอยางตา
505500,,
10023,
10032,
10041
แนวคด
505500,,
10023,
10032,
10041
เขยนใหมไดเปน
5001005500,,
310053,
210052,
110051
67531005 จงตองหาวามจานวนนบ 1 ถง 500 กจานวนทหารดวย 3, 5, 67 ไมลงตว
1675
500
2673
500
3353
500
767500
1005
500
1663
500
3 หรอ 5 หรอ 67 หาร 500 ลงตวมทงหมด = 237 จานวน ดงนนมเศษสวนทไมเปนเศษสวนอยางตาเทากบ 500 – 237 = 263 จานวน ตอบ 263 จานวน 12. กาหนด a, b เปนจานวนเตม
4bxx
ax4xx)x(f 2
223
โดยท a 5 , b 5
จานวนคอนดบ (a, b) ทเปนไปไดทงหมด ททาให f (1) = 0 มกคอนดบ แนวคด
3 2 2 2
21 1 4 a a 4f (1) 0
1 b 4 b 5
a2 – 4 = 0 a = 2, -2 b = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 จานวนคอนดบ (a,b) ทเปนไปไดทงหมด ม 20 คอนดบ ตอบ 20 คอนดบ
67
10
2
6633
4
131
53 หารดวย 3 ลงตว
หารดวย 5 ลงตว
หารดวย 67 ลงตว
11. เศษสวนทกาหนดใหาหนดใหาหนดให มกจานวนทไมไมไมเปเปเปนเศษสวนอยางตา
505500,,
10023,
10032,
10041
แนวคด
505500,,
10023,
10032,
10041
เขยนใหมยนใหมยนใหมไดไดไดเปเปเปน
5001005500,,
310053,
210052,
110051
67531005
จงตองหาวามจานวนนบ 1 ถง 500 กจานวนทหารดวย 3, 5, 67 ไมไมไมลงตว
1675
500
2673
500
3353
500
767500
1005
500
1663
500
3 หรอ 5 หรอ 67 หาร 500 ลงตวมทงหมด = 237 จานวนดงนนมเศษสวนทไมไมไมเปเปเปนเศษสวนอยางตาเทากบ 500 – 237 = 263 จานวนตอบ 263 จานวน
10
2
6633
4
131
หารดหารดหารดวยวยวย 3 3 3 ลงตว หารดวย 5 ลงตลงตลงตวว
หารดวยวยวย 67 67 ลงตว
45แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
13. ให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม BAC เปนมมฉาก
oY'
X'
BXA
Y
C
รปวงกลมสมผสดาน AB และ ดาน AC ท X และ Y ตามลาดบ เมอ XX และ YY เปนเสนผานศนยกลางของวงกลม ดงรป ถา 6AB หนวย แลวรอยเทาของพนทสวนทแรเงาเทากบ กตารางหนวย ( = 3.14)
แนวคด
ตอบ 114 ตารางหนวย 14. รปสามเหลยม ABC มจด D บนดาน BC ททาให DAB
= DAC ถา AB = 5 หนวย AC = 6 หนวย
และ AD = 4 หนวย แลวพนทรปสเหลยมมมฉากทมขนาดของดานกวางและดานยาวเทากบขนาดของ ดาน BD และดาน DC เทากบกตารางหนวย แนวคด
สรางวงกลมลอมรอบรปสามเหลยม ABC ตอ AD ออกไปตดวงกลมทจด E ตอ CE ABD AEC AB AD AB AC AD AE AD(AD DE)
AE AC
2 2AB AC AD DE AD AD BD CD 56 = 42 + BDDC BDDC = 14 ตารางหนวย
ตอบ 14 ตารางหนวย
4
5
6
D
C
A
E
B
ให O เปนจดศนยกลางวงกลม r เปนรศม rYOXO 90YOX YOX ~ CAB 2r พ.ท. แรเงา = )22(
41 พ.ท. YXO
= 22214
41
= 2 = 3.14 – 2 = 1.14 รอยเทาของพนทแรเงา = 114 ตารางหนวย
r
r
6x
y
C
BA
x'
Oy'
13. ให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม BAC เปนมมฉาก
oY'
X'
BXA
Y
C
รปวงกลมสมผสดาน AB และ ดาน AC ท X และ Y ตามลาดบ เมอ XX และ YY เปนเสนผานศนยกลางของวงกลม ดงรป ถา 6AB หนวย แลวรอยเทาของพนทสวนทแรเงาเทากบ กตารางหนวย ( = 3.14)
แนวคด
ตอบ 114 ตารางหนวย 14. รปสามเหลยม ABC มจด D บนดาน BC ททาให DAB
= DAC ถา AB = 5 หนวย AC = 6 หนวย
และ AD = 4 หนวย แลวพนทรปสเหลยมมมฉากทมขนาดของดานกวางและดานยาวเทากบขนาดของ ดาน BD และดาน DC เทากบกตารางหนวย แนวคด
สรางวงกลมลอมรอบรปสามเหลยม ABC ตอ AD ออกไปตดวงกลมทจด E ตอ CE ABD AEC AB AD AB AC AD AE AD(AD DE)
AE AC
2 2AB AC AD DE AD AD BD CD 56 = 42 + BDDC BDDC = 14 ตารางหนวย
ตอบ 14 ตารางหนวย
4
5
6
D
C
A
E
B
ให O เปนจดศนยกลางวงกลม r เปนรศม rYOXO 90YOX YOX ~ CAB 2r พ.ท. แรเงา = )22(
41 พ.ท. YXO
= 22214
41
= 2 = 3.14 – 2 = 1.14 รอยเทาของพนทแรเงา = 114 ตารางหนวย
r
r
6x
y
C
BA
x'
Oy'
13. ให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม BAC เปนมมฉาก
oY'
X'
BXA
Y
C
รปวงกลมสมผสดาน AB และ ดาน AC ท X และ Y ตามลาดบ เมอ XX และ YY เปนเสนผานศนยกลางของวงกลม ดงรป ถา 6AB หนวย แลวรอยเทาของพนทสวนทแรเงาเทากบ กตารางหนวย ( = 3.14)
แนวคด
ตอบ 114 ตารางหนวย 14. รปสามเหลยม ABC มจด D บนดาน BC ททาให DAB
= DAC ถา AB = 5 หนวย AC = 6 หนวย
และ AD = 4 หนวย แลวพนทรปสเหลยมมมฉากทมขนาดของดานกวางและดานยาวเทากบขนาดของ ดาน BD และดาน DC เทากบกตารางหนวย แนวคด
สรางวงกลมลอมรอบรปสามเหลยม ABC ตอ AD ออกไปตดวงกลมทจด E ตอ CE ABD AEC AB AD AB AC AD AE AD(AD DE)
AE AC
2 2AB AC AD DE AD AD BD CD 56 = 42 + BDDC BDDC = 14 ตารางหนวย
ตอบ 14 ตารางหนวย
4
5
6
D
C
A
E
B
ให O เปนจดศนยกลางวงกลม r เปนรศม rYOXO 90YOX YOX ~ CAB 2r พ.ท. แรเงา = )22(
41 พ.ท. YXO
= 22214
41
= 2 = 3.14 – 2 = 1.14 รอยเทาของพนทแรเงา = 114 ตารางหนวย
r
r
6x
y
C
BA
x'
Oy'
13. ให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม BAC เปนมมฉาก
oY'
X'
BXA
Y
C
รปวงกลมสมผสดาน AB และ ดาน AC ท X และ Y ตามลาดบ เมอ XX และ YY เปนเสนผานศนยกลางของวงกลม ดงรป ถา 6AB หนวย แลวรอยเทาของพนทสวนทแรเงาเทากบ กตารางหนวย ( = 3.14)
แนวคด
ตอบ 114 ตารางหนวย 14. รปสามเหลยม ABC มจด D บนดาน BC ททาให DAB
= DAC ถา AB = 5 หนวย AC = 6 หนวย
และ AD = 4 หนวย แลวพนทรปสเหลยมมมฉากทมขนาดของดานกวางและดานยาวเทากบขนาดของ ดาน BD และดาน DC เทากบกตารางหนวย แนวคด
สรางวงกลมลอมรอบรปสามเหลยม ABC ตอ AD ออกไปตดวงกลมทจด E ตอ CE ABD AEC AB AD AB AC AD AE AD(AD DE)
AE AC
2 2AB AC AD DE AD AD BD CD 56 = 42 + BDDC BDDC = 14 ตารางหนวย
ตอบ 14 ตารางหนวย
4
5
6
D
C
A
E
B
ให O เปนจดศนยกลางวงกลม r เปนรศม rYOXO 90YOX YOX ~ CAB 2r พ.ท. แรเงา = )22(
41 พ.ท. YXO
= 22214
41
= 2 = 3.14 – 2 = 1.14 รอยเทาของพนทแรเงา = 114 ตารางหนวย
r
r
6x
y
C
BA
x'
Oy'
สรำงวงกลมลอมรอบรปสำมเหลยมABCตอADออกไปตดวงกลมทจดEตอCE
5·6=42+BD·DC BD·DC=14ตำรำงหนวยตอบ14ตำรำงหนอย
13. ใหใหให ABC เปเปเปนรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยมทมมม BAC เปเปเปนมมฉาก
oY'
X'
BXA
Y
C รปวงกลมสปวงกลมสปวงกลมสมผสดาน AB และ ดาน AC ท X และ Y ตามลาดบ เมอ XX และ YY เปเปเปนเสนผานศนยกลางของวงกลม ดงรป ถา 6AB หนวย แลวรอยเทาของพนทสวนทแรเงาเทากบกตารางหนวย ( = 3.14)
แนวคด
ตอบ 114 ตารางหนวย
ใหใหให O O เปเปเปนจดศนยกลางวงกลมr เปเปเปนรศม
rYOXO 90YOX
YOX ~ CAB 2r
พ.ท. แรเงา = )22(41 พ.ท. YXO
= 2221 4
41
= 2
= 3.14 – 2 = 1.14 รอยเทาของพนทแรเงา = 114 ตารางหนวย
r
r
6x
y
C
BA
x'
Oy'
14. รปสามเหลปสามเหลปสามเหลยม ABC มจด D บนดาน BC ททาใหาใหาให DAB = DAC
ถา AB = 5 หนวย AC = 6 หนวยและ AD = 4 หนวย แลวพนทรปสปสปสเหลยมมมฉากทมขนาดของดานกวางและดานยาวเทากบขนาดของ ดาน BD และดาน DC เทากบกตารางหนวย
แนวคด
ABD AEC AB AD AB AC AD AE AD(AD DE)AE AC
AB AC AD AE AD(AD DE) AB AC AD AE AD(AD DE)
2 2AB AC AD DE AD AD BD CD 2 2 2 2AB AC AD DE AD AD BD CD AB AC AD DE AD AD BD CD2 2AB AC AD DE AD AD BD CD2 2 2 2AB AC AD DE AD AD BD CD2 24
5
6
D
A
E
B
สรำงวงกลมลอมรอบรปสำมเหลยมABCตอADออกไปตดวงกลมทจดEตอCE
5·6=4 5·6=4 5·6=4 5·6=4 5·6=4 5·6=4 5·6=4 5·6=42+BD·DC BD·DC=14ตำรำงหนวย BD·DC=14ตำรำงหนวย BD·DC=14ตำรำงหนวย BD·DC=14ตำรำงหนวย BD·DC=14ตำรำงหนวย
E BD·DC=14ตำรำงหนวย
E
ตอบ14ตำรำงหนอย
สรำงวงกลมลอมรอบรปสำมเหลยมABCตอADออกไปตดวงกลมทจดEตอCEสรำงวงกลมลอมรอบรปสำมเหลยมABCตอADออกไปตดวงกลมทจดEตอCE
c
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2553) : 46
15. สวนของเสนตรง AP กบสวนของเสนตรง AD สมผสวงกลม C ทมรศม 7 นว ทจด P และ D ตามลาดบ BD ยาว 24 นว ถา BC // AP (ดงรป)
แลวสบเทาของพนทสวนทแรเงาเปนกตารางนว ( 227
)
แนวคด ลาก CP และ CD ทาให P และ D เทากบ 90 BC ตดเสนรอบวงทจด E ทาให 25FP ลาก BF ขนานกบ PC
ตอบ 2,205 ตารางนว
พ.ท. 21APCB สง ผลบวกดานคขนาน
BCAP721
2592549721
แตพ.ท.เซกเตอร 27360
90PCE
= 4941
พ.ท. แรเงา = 259 – 38.5 = 220.5 ตารางนว สบเทาของ พนทสวนทแรเงา 2,205 ตารางนว
P
D
C
BA
ให AF = X
49xAB
49xAB
2
22
แต ADAP
24x48x2
492x1x22x492x1x
492x2425x
C
BA
E
F
P
725
7 7
24 D
15. สวนของเสนตรง AP กบสวนของเสนตรง AD สมผสวงกลม C ทมรศม 7 นว ทจด P และ D ตามลาดบ BD ยาว 24 นว ถา BC // AP (ดงรป)
แลวสบเทาของพนทสวนทแรเงาเปนกตารางนว ( 227
)
แนวคด ลาก CP และ CD ทาให P และ D เทากบ 90 BC ตดเสนรอบวงทจด E ทาให 25FP ลาก BF ขนานกบ PC
ตอบ 2,205 ตารางนว
พ.ท. 21APCB สง ผลบวกดานคขนาน
BCAP721
2592549721
แตพ.ท.เซกเตอร 27360
90PCE
= 4941
พ.ท. แรเงา = 259 – 38.5 = 220.5 ตารางนว สบเทาของ พนทสวนทแรเงา 2,205 ตารางนว
P
D
C
BA
ให AF = X
49xAB
49xAB
2
22
แต ADAP
24x48x2
492x1x22x492x1x
492x2425x
C
BA
E
F
P
725
7 7
24 D
15. สวนของเสนตรง AP กบสวนของเสนตรง AD สมผสวงกลม C ทมรศม 7 นว ทจด P และ D
ตามลาดบ BD ยาว 24 นว ถา BC // AP (ดงรป)
แลวสบเทาของพนทสวนทแรเงาเปแรเงาเปแรเงาเปนกตารางนว ( 227
)
แนวคด
P
D
C
BA
ลาก CP และ CD ทาใหาใหาให P และ D เทากบ 90 BC ตดเสนรอบวงทจด E ทาใหาใหาให 25FP
ลาก BF ขนานกบ PC
พ.ท. 21APCB สง ผลบวกดานคขนาน
BC AP 721
259 25 49 721
แตพ.ท.เซกเตอร 2 7 360
90PCE
= 49 41
พ.ท. แรเงา = 259 – 38.5 = 220.5 ตารางนวสบเทาของ พนทสวนทแรเงา 2,205 ตารางนว
ใหใหให AF = AF = X
49xAB
49xAB
2
22
แต ADAP
24x48x2
492x1x22x492x1x
492x2425x
C
BA
E
F
P
725
7 7
24 D
แนวคด
ตอบ 2,205ตำรำงนว
47แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
16. ถา X เปนคาตอบของสมการ 320104x2553320104x2553
x201048x2553x201048x2553
แลว 25x4x2 มคาเทาใด แนวคด จะได
34x
x48x
34521324
212x25x4x
16x09x16x0144x7x
x4x144x3
22
2
2
ตอบ 345 17. ถา a, b, c เปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลว
cb
bc
ca
ac
ab
ba
มคาเทาใด แนวคด a b c a c b
b a a c b c a a b b c c
b c a c a b
1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b
1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c
1 1 1 bc ac aba b c 3 a b c 3a b c abc
27 8 3 693
ตอบ 69
=
16. ถา X เปนคาตอบของสมการ 320104x2553320104x2553
x201048x2553x201048x2553
แลว 25x4x2 มคาเทาใด แนวคด จะได
34x
x48x
34521324
212x25x4x
16x09x16x0144x7x
x4x144x3
22
2
2
ตอบ 345 17. ถา a, b, c เปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลว
cb
bc
ca
ac
ab
ba
มคาเทาใด แนวคด a b c a c b
b a a c b c a a b b c c
b c a c a b
1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b
1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c
1 1 1 bc ac aba b c 3 a b c 3a b c abc
27 8 3 693
ตอบ 69
=
16. ถา X เปนคาตอบของสมการ 320104x2553320104x2553
x201048x2553x201048x2553
แลว 25x4x2 มคาเทาใด แนวคด จะได
34x
x48x
34521324
212x25x4x
16x09x16x0144x7x
x4x144x3
22
2
2
ตอบ 345 17. ถา a, b, c เปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลว
cb
bc
ca
ac
ab
ba
มคาเทาใด แนวคด a b c a c b
b a a c b c a a b b c c
b c a c a b
1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b
1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c
1 1 1 bc ac aba b c 3 a b c 3a b c abc
27 8 3 693
ตอบ 69
=
17. ถา a, b, c เปเปเปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลวcb
bc
ca
ac
ab
ba
มคาเทาใดแนวคด
a b c a c bb a a c b c
ตอบ 69
16. ถา X เปนคาตอบของสมการ 320104x2553320104x2553
x201048x2553x201048x2553
แลว 25x4x2 มคาเทาใด แนวคด จะได
34x
x48x
34521324
212x25x4x
16x09x16x0144x7x
x4x144x3
22
2
2
ตอบ 345 17. ถา a, b, c เปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลว
cb
bc
ca
ac
ab
ba
มคาเทาใด แนวคด a b c a c b
b a a c b c a a b b c c
b c a c a b
1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b
1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c
1 1 1 bc ac aba b c 3 a b c 3a b c abc
27 8 3 693
ตอบ 69
=
16. ถา X เปนคาตอบของสมการ 320104x2553320104x2553
x201048x2553x201048x2553
แลว 25x4x2 มคาเทาใด แนวคด จะได
34x
x48x
34521324
212x25x4x
16x09x16x0144x7x
x4x144x3
22
2
2
ตอบ 345 17. ถา a, b, c เปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลว
cb
bc
ca
ac
ab
ba
มคาเทาใด แนวคด a b c a c b
b a a c b c a a b b c c
b c a c a b
1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b
1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c
1 1 1 bc ac aba b c 3 a b c 3a b c abc
27 8 3 693
ตอบ 69
=
16. ถา X เปนคาตอบของสมการ 320104x2553320104x2553
x201048x2553x201048x2553
แลว 25x4x2 มคาเทาใด แนวคด จะได
34x
x48x
34521324
212x25x4x
16x09x16x0144x7x
x4x144x3
22
2
2
ตอบ 345 17. ถา a, b, c เปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลว
cb
bc
ca
ac
ab
ba
มคาเทาใด แนวคด a b c a c b
b a a c b c a a b b c c
b c a c a b
1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b
1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c
1 1 1 bc ac aba b c 3 a b c 3a b c abc
27 8 3 693
ตอบ 69
=
16. ถา X เปนคาตอบของสมการ 320104x2553320104x2553
x201048x2553x201048x2553
แลว 25x4x2 มคาเทาใด แนวคด จะได
34x
x48x
34521324
212x25x4x
16x09x16x0144x7x
x4x144x3
22
2
2
ตอบ 345 17. ถา a, b, c เปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลว
cb
bc
ca
ac
ab
ba
มคาเทาใด แนวคด a b c a c b
b a a c b c a a b b c c
b c a c a b
1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b
1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c
1 1 1 bc ac aba b c 3 a b c 3a b c abc
27 8 3 693
ตอบ 69
=
16. ถา X เปนคาตอบของสมการ 320104x2553320104x2553
x201048x2553x201048x2553
แลว 25x4x2 มคาเทาใด แนวคด จะได
34x
x48x
34521324
212x25x4x
16x09x16x0144x7x
x4x144x3
22
2
2
ตอบ 345 17. ถา a, b, c เปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลว
cb
bc
ca
ac
ab
ba
มคาเทาใด แนวคด a b c a c b
b a a c b c a a b b c c
b c a c a b
1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b
1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c
1 1 1 bc ac aba b c 3 a b c 3a b c abc
27 8 3 693
ตอบ 69
= =
3x + 144 = x2 - 4x x2 - 7x - 144 = 0 (x - 16)(x + 9) = 0 x = 16 x2 + 4x + 25 = (x + 2)2 + 21 = 324 + 21 = 345
ตอบ345
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2553) : 48
18. ถา P(x) เปนพหนามทม
x1PxP
x1PxP และ
1615
21P
,
8180
31P
แลว P(1) + P(2) + P(3) + P(4) มคาเทาใด แนวคด 2P(1) 2P(1) P(1) 0, 2
1516P(2) 1515 1
16
,
8081P(3) 8080 1
81
41 15 1P( ) 12 16 2
, 41 80 1P( ) 1
3 81 3
4P(x) 1 x P(1) = 0 , P(4) = –255 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0 – 15 – 80 – 255 = –350 ตอบ –350
18. ถา P(x) เปนพหนามทม
x1PxP
x1PxP และ
1615
21P
,
8180
31P
แลว P(1) + P(2) + P(3) + P(4) มคาเทาใด แนวคด 2P(1) 2P(1) P(1) 0, 2
1516P(2) 1515 1
16
,
8081P(3) 8080 1
81
41 15 1P( ) 12 16 2
, 41 80 1P( ) 1
3 81 3
4P(x) 1 x P(1) = 0 , P(4) = –255 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0 – 15 – 80 – 255 = –350 ตอบ –350
18. ถา P(x) เปนพหนามทม
x1PxP
x1PxP และ
1615
21P
,
8180
31P
แลว P(1) + P(2) + P(3) + P(4) มคาเทาใด แนวคด 2P(1) 2P(1) P(1) 0, 2
1516P(2) 1515 1
16
,
8081P(3) 8080 1
81
41 15 1P( ) 12 16 2
, 41 80 1P( ) 1
3 81 3
4P(x) 1 x P(1) = 0 , P(4) = –255 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0 – 15 – 80 – 255 = –350 ตอบ –350
18. ถา P(x) เปนพหนามทม
x1PxP
x1PxP และ
1615
21P
,
8180
31P
แลว P(1) + P(2) + P(3) + P(4) มคาเทาใด แนวคด 2P(1) 2P(1) P(1) 0, 2
1516P(2) 1515 1
16
,
8081P(3) 8080 1
81
41 15 1P( ) 12 16 2
, 41 80 1P( ) 1
3 81 3
4P(x) 1 x P(1) = 0 , P(4) = –255 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0 – 15 – 80 – 255 = –350 ตอบ –350
18. ถา P(x) เปนพหนามทม
x1PxP
x1PxP และ
1615
21P
,
8180
31P
แลว P(1) + P(2) + P(3) + P(4) มคาเทาใด แนวคด 2P(1) 2P(1) P(1) 0, 2
1516P(2) 1515 1
16
,
8081P(3) 8080 1
81
41 15 1P( ) 12 16 2
, 41 80 1P( ) 1
3 81 3
4P(x) 1 x P(1) = 0 , P(4) = –255 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0 – 15 – 80 – 255 = –350 ตอบ –350
49แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
19. กาหนด c,b,a เปนจานวนจรง และถาระบบสมการเปนดงน
6cba
18cba 222
4cba
แลว abc9 มคาเทาใดแนวคด
...............6 cba
..............18222 cba ..............4 cba
จาก 36cba 2
9cabcab
18cabcab2
1836ca2bc2ab2
36ca2bc2ab2cba 222
จาก 222 4cba
10cabcab2
16cabcab26
16ca2bc2ab2cba
5cabcab
5cabcab 222
25bca2abc2cab2cabcab 222
16925bca2abccab2 222
82
16bcaabccab 222
8acbabc
4
8abc
3649abc9
4abc
24
8abc
ตอบ 36
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2553) : 50
20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปนทเพอน จะทายวนเกดเขาไดถกตองเปน
ba เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว a + b มคาเทาใด
แนวคด ถา 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( แลว 5,4,3,2x S = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, . . . , 30} n(S) = 13 , n(E) = 1
131EP
131 =
ba
14131ba ตอบ 14
21. ถา20092008
2009200820081 2
22 A แลว 103A มคาเทาใด
แนวคด
211210320091032009
20092008
200920082009
20092008
200920082009
20092008
20092008200822009
20081200822009
12008220082009
120082009
2
22
22
22
22
A
A
ตอบ 2,112
20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปนทเพอน จะทายวนเกดเขาไดถกตองเปน
ba เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว a + b มคาเทาใด
แนวคด ถา 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( แลว 5,4,3,2x S = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, . . . , 30} n(S) = 13 , n(E) = 1
131EP
131 =
ba
14131ba ตอบ 14
21. ถา20092008
2009200820081 2
22 A แลว 103A มคาเทาใด
แนวคด
211210320091032009
20092008
200920082009
20092008
200920082009
20092008
20092008200822009
20081200822009
12008220082009
120082009
2
22
22
22
22
A
A
ตอบ 2,112
20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปนทเพอน จะทายวนเกดเขาไดถกตองเปน
ba เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว a + b มคาเทาใด
แนวคด ถา 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( แลว 5,4,3,2x S = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, . . . , 30} n(S) = 13 , n(E) = 1
131EP
131 =
ba
14131ba ตอบ 14
21. ถา20092008
2009200820081 2
22 A แลว 103A มคาเทาใด
แนวคด
211210320091032009
20092008
200920082009
20092008
200920082009
20092008
20092008200822009
20081200822009
12008220082009
120082009
2
22
22
22
22
A
A
ตอบ 2,112
20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปนทเพอน จะทายวนเกดเขาไดถกตองเปน
ba เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว a + b มคาเทาใด
แนวคด ถา 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( แลว 5,4,3,2x S = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, . . . , 30} n(S) = 13 , n(E) = 1
131EP
131 =
ba
14131ba ตอบ 14
21. ถา20092008
2009200820081 2
22 A แลว 103A มคาเทาใด
แนวคด
211210320091032009
20092008
200920082009
20092008
200920082009
20092008
20092008200822009
20081200822009
12008220082009
120082009
2
22
22
22
22
A
A
ตอบ 2,112
20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปนทเพอน จะทายวนเกดเขาไดถกตองเปน
ba เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว a + b มคาเทาใด
แนวคด ถา 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( แลว 5,4,3,2x S = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, . . . , 30} n(S) = 13 , n(E) = 1
131EP
131 =
ba
14131ba ตอบ 14
21. ถา20092008
2009200820081 2
22 A แลว 103A มคาเทาใด
แนวคด
211210320091032009
20092008
200920082009
20092008
200920082009
20092008
20092008200822009
20081200822009
12008220082009
120082009
2
22
22
22
22
A
A
ตอบ 2,112
20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปนทเพอน จะทายวนเกดเขาไดถกตองเปน
ba เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว a + b มคาเทาใด
แนวคด ถา 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( แลว 5,4,3,2x S = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, . . . , 30} n(S) = 13 , n(E) = 1
131EP
131 =
ba
14131ba ตอบ 14
21. ถา20092008
2009200820081 2
22 A แลว 103A มคาเทาใด
แนวคด
211210320091032009
20092008
200920082009
20092008
200920082009
20092008
20092008200822009
20081200822009
12008220082009
120082009
2
22
22
22
22
A
A
ตอบ 2,112
20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปนทเพอน จะทายวนเกดเขาไดถกตองเปน
ba เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว a + b มคาเทาใด
แนวคด ถา 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( แลว 5,4,3,2x S = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, . . . , 30} n(S) = 13 , n(E) = 1
131EP
131 =
ba
14131ba ตอบ 14
21. ถา20092008
2009200820081 2
22 A แลว 103A มคาเทาใด
แนวคด
211210320091032009
20092008
200920082009
20092008
200920082009
20092008
20092008200822009
20081200822009
12008220082009
120082009
2
22
22
22
22
A
A
ตอบ 2,112
21. ถา20092008
2009200820081 2
22 A แลว 103A มคาเทาใด
แนวคด 12008 2009 22
1 2008 2 2008 2009 2 2
2008 1 2008 2 2009 2 2
20092008
200920082009
20092008
200920082009
20092008
20092008 2008 2 2009
2
2
2
A
2009
21121032009103 Aตอบ 2,112
20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปดของเขาเปดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปาจะเปาจะเปนทเพอนจะทายวนเกดเขาไดดเขาไดดเขาไดถกตองเปองเปองเปน
ba เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เปเปเปน 1 แลว a + b มคาเทาใด
แนวคดถา 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( แลว 5,4,3,2x
S = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, . . . , 30} n(S) = 13 , n(E) = 1
131 E P
131 =
ba
14131ba
ตอบ 14
51แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
22. กาหนดให n เปนจานวนเตมบวก ถา 1255325532553 81624 หารดวย n2 ลงตวแลว n มคามากทสดเปนเทาใดแนวคด
)12553()12553()12553()12553()12553(1255325532553 824222281624 จะได
132222n 2222282
ดงนน 13n
ตอบ 13
23. ABC เปนเปนเป รปสามเหลยสามเหลยสามเหล ม ม ม ม ม ม AB = 108 หนวหนวหน ย BC = 1009 หนวหนวหน ย CA = 1043 หนวหนวหน ย ถาย ถาย ถ เสนแบงนแบงนแบ ครงครงคร มมแบบภายในตดกนทจด O แลว พนทรปสามเหลยม ABC เปนกเทาของพนทรปสามเหลยม AOBแนวคดท 1
R
OO
P
Q
B C
A
พนท ABC = 20 เทาของพนท AOB
แนวคดท 2จะได O เปนจดศนยกลางของวงกลมทแนบในรป ABC
20
1
2160
108
CABCAB
AB
CABCABr2
1
ABr2
1
พ.ท. 20ABC (พ.ท. )AOB ตอบ ตอบ 20 20 เทาเทา
พ.ท.AOB
พ.ท.ABCABCAB
พ�นท�พ�นท�พ� ABP
พ�นท�พ�นท�พ� ACP=
BP
CP=
AB
AC=พ�นท�พ�นท�พ� OBP
พ�นท�พ�นท�พ� OCP
พ�นท�พ�นท�พ� BAQพ�นท�พ�นท�พ� BCQ
=AQCQ
=BABC
=พ�นท�พ�นท�พ� OAQพ�นท�พ�นท�พ� OCQ
พ�นท�พ�นท�พ� CAR
พ�นท�พ�นท�พ� CBR=
AR
BR=
CA
CB=พ�นท�พ�นท�พ� OAR
พ�นท�พ�นท�พ� OBR
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2553) : 52
24. วงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S เปนวงกลมทสมผสกบดานของรปสเหลยมดาน ขนาน ABCDและเสนทแยงมม BD ดงรป โดยท AB เปนเสนสมผสวงกลม P และวงกลม Q BD เปนเสนสมผสวงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S CD เปนเสนตรงสมผสวงกลม R และวงกลม S กาหนดให พนทวงกลม P และวงกลม R เทากน เทากบ 4 ตารางหนวย และพนทวงกลม Q และวงกลม S เทากน เทากบ ตารางหนวย ถา ABCD มพนท ba ตารางหนวย และ b เปนจานวนเฉพาะ แลว ba มคาเทาใด แนวคด
จากรป วงกลม P , วงกลม R มรศม 2 หนวย, วงกลมQ วงกลม S มรศม 1 หนวย
,3RQSRPSPQ หนวย 3BQ หนวย F เปนจดสมผสบนดาน AB แลว 22BF หนวย G เปนจดสมผสบนดาน AD แลว 8BG หนวย
BFQ ~ BGA ทาให 24AD หนวย ABCD มพนท 232 ตารางหนวย
34ba
ตอบ 34
R
Q
PS
CB
DA
G
F
A D
B C
SP
Q
R
24. วงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S เปเปเปนวงกลมทสมผสกบดานของรปสปสปสเหลยมดานขนาน ABCDและเสนทแยงมม BD ดงรป
โดยทโดยทโดยท AB เปเปเปนเสนสมผสวงกลม P และวงกลม Q BD เปเปเปนเสนสมผสวงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S
CD เปเปเปนเสนตรงสมผสวงกลม R และวงกลม S กาหนดใหาหนดใหาหนดให พนทวงกลม P และวงกลม R เทากน เทากบ 4 ตารางหนวย และพนทวงกลม Q และวงกลม S เทากน เทากบ ตารางหนวย ถาABCD มพนท ba ตารางหนวย และ b เปเปเปนจานวนเฉพาะ แลว ba มคาเทาใด
แนวคดจากรป วงกลม P , วงกลม R มรศม 2 หนวย, วงกลมQ วงกลม S มรศม 1 หนวย
,3RQSRPSPQ หนวย 3BQ หนวยF เปเปเปนจดสมผสบนดาน AB แลว 22BF หนวยG เปเปเปนจดสมผสบนดาน AD แลว 8BG หนวย
BFQ ~ BGA ทาใหาใหาให 24AD หนวยABCD มพนท 232 ตารางหนวย
34ba
ตอบ 34
R
Q
PS
S
CB
DA
G
F
A D
B C
SP
Q
R
53แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
25. ABCD เปนทรงเหลยมสหนามปรมาตร 999 ลกบาศกหนวย โดยทแตละหนาเปนรปสามเหลยมดานเทา ถา PABC, QABD, RACD และ SBCD เปนทรงเหลยมสหนาทแตละหนาเปนรปสามเหลยมดานเทาซงถกสรางบน ABCD แลว ทรงเหลยมสหนา PQRS มปรมาตรกลกบาศกหนวย แนวคด
B C
A
D
S
O
T
จากรป OA
35OS
ปรมาตร PQRS = 3
35
ปรมาตร ABCD
= 99927
125
= 4625 ลกบาศกหนวย ตอบ 4,625 ลกบาศกหนวย
26. ถา b,a เปนจานวนเตมบวก และนยามดงน 1. abba 2. aaa และ 3. baabbaba แลว 6*8 มคาเทาใด แนวคด 6 * 8 = 4 (2 * 6)
(2 * 6) = 32
(2 * 4)
(2 * 4) = 4 ดงนน 6 * 8 = 4 6 = 24 ตอบ 24
25. ABCD เปนทรงเหลยมสหนามปรมาตร 999 ลกบาศกหนวย โดยทแตละหนาเปนรปสามเหลยมดานเทา ถา PABC, QABD, RACD และ SBCD เปนทรงเหลยมสหนาทแตละหนาเปนรปสามเหลยมดานเทาซงถกสรางบน ABCD แลว ทรงเหลยมสหนา PQRS มปรมาตรกลกบาศกหนวย แนวคด
B C
A
D
S
O
T
จากรป OA
35OS
ปรมาตร PQRS = 3
35
ปรมาตร ABCD
= 99927
125
= 4625 ลกบาศกหนวย ตอบ 4,625 ลกบาศกหนวย
26. ถา b,a เปนจานวนเตมบวก และนยามดงน 1. abba 2. aaa และ 3. baabbaba แลว 6*8 มคาเทาใด แนวคด 6 * 8 = 4 (2 * 6)
(2 * 6) = 32
(2 * 4)
(2 * 4) = 4 ดงนน 6 * 8 = 4 6 = 24 ตอบ 24
25. ABCD เปนทรงเหลยมสหนามปรมาตร 999 ลกบาศกหนวย โดยทแตละหนาเปนรปสามเหลยมดานเทา ถา PABC, QABD, RACD และ SBCD เปนทรงเหลยมสหนาทแตละหนาเปนรปสามเหลยมดานเทาซงถกสรางบน ABCD แลว ทรงเหลยมสหนา PQRS มปรมาตรกลกบาศกหนวย แนวคด
B C
A
D
S
O
T
จากรป OA
35OS
ปรมาตร PQRS = 3
35
ปรมาตร ABCD
= 99927
125
= 4625 ลกบาศกหนวย ตอบ 4,625 ลกบาศกหนวย
26. ถา b,a เปนจานวนเตมบวก และนยามดงน 1. abba 2. aaa และ 3. baabbaba แลว 6*8 มคาเทาใด แนวคด 6 * 8 = 4 (2 * 6)
(2 * 6) = 32
(2 * 4)
(2 * 4) = 4 ดงนน 6 * 8 = 4 6 = 24 ตอบ 24
26 ถำa, bเปนจ�ำนวนเตมบวก
และนยำมดงน
1. a * b = b * a
2.a * a = aและ 3. (a + b) (a * b) = b (a * (a+b)) แลว6 * 8มคำเทำใด
แนวคด
6 * 8 =4(2 * 6)
(2 * 6) =
(2 * 4) =4
ดงนน6 * 8=4×6=24
ตอบ 24
3 (2 * 4)3
ตอบ 4,625ลกบำศกหนวย
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2553) : 54
27. มจานวนเตมบวก n ทงหมดกจานวนทสอดคลองกบอสมการ 99
10n9n)1(
541
431
321
21149
9n
แนวคด
n 9
n 9
n 10
n 10
49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99
49 1 1 ( 1) n 10 99
49 1 ( 1) n 10 99
50 ( 1) n 10 1002500 n 10 10,0002490 n 9,990
แต n เปนจานวนเตมคบวก ดงนน ม n ทงหมด 3,749 จานวน ตอบ 3,749 จานวน
28. กาหนดให z,y,x และ w เปนจานวนเตมบวก
ถา 10373xyzw8)wzyx()wzyx(2 222224444 แลว wxzwyzxy เปนเทาใด
แนวคด จาก 10373xyzw8)wzyx()wzyx(2 222224444 จะได 4123111wzyxwzyxwzyxwzyx 1wzyx ………………….. (1) 11wzyx ………………….. (2) 23wzyx ………………….. (3) 41wzyx ………………….. (4) (1) + (2) + (3); 35wzyx3 ………………….. (5) (4) + (5) ; 4x = 76 แลว 13w,7z,2y,19x wxzwyzxy = 38 + 14 + 91 + 247 = 390 ตอบ 390
27. มจานวนเตมบวก n ทงหมดกจานวนทสอดคลองกบอสมการ 99
10n9n)1(
541
431
321
21149
9n
แนวคด
n 9
n 9
n 10
n 10
49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99
49 1 1 ( 1) n 10 99
49 1 ( 1) n 10 99
50 ( 1) n 10 1002500 n 10 10,0002490 n 9,990
แต n เปนจานวนเตมคบวก ดงนน ม n ทงหมด 3,749 จานวน ตอบ 3,749 จานวน
28. กาหนดให z,y,x และ w เปนจานวนเตมบวก
ถา 10373xyzw8)wzyx()wzyx(2 222224444 แลว wxzwyzxy เปนเทาใด
แนวคด จาก 10373xyzw8)wzyx()wzyx(2 222224444 จะได 4123111wzyxwzyxwzyxwzyx 1wzyx ………………….. (1) 11wzyx ………………….. (2) 23wzyx ………………….. (3) 41wzyx ………………….. (4) (1) + (2) + (3); 35wzyx3 ………………….. (5) (4) + (5) ; 4x = 76 แลว 13w,7z,2y,19x wxzwyzxy = 38 + 14 + 91 + 247 = 390 ตอบ 390
27. มจานวนเตมบวก n ทงหมดกจานวนทสอดคลองกบอสมการ 99
10n9n)1(
541
431
321
21149
9n
แนวคด
n 10
n 10
49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99
49 1 1 ( 1) n 10 99
49 1 ( 1) n 10 9949 1 ( 1) n 10 9949 1 ( 1) n 10 9949 1 ( 1) n 10 99
50 ( 1) n 10 10050 ( 1) n 10 10050 ( 1) n 10 1002500 n 10 10,0002490 n 9,990
n 10n 10
n 10n 10
49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 n 9 n 9 n 9n 9 n 9n 9 n 9 n 9
n 9 n 9n 9n 9 n 9n 9
n 9n 9 n 9n 9 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 n 9 n 9 n 9 n 9
n 9 n 9 n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9
n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9
n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9
n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9
49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 n 9 n 9 n 9n 9 n 9n 9 n 9 n 9
n 9 n 9n 9n 9 n 9n 9
n 9n 9 n 9n 9 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 9949 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 9949 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 n 9 n 9 n 9 n 9
n 9 n 9 n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 9949 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 9949 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9
n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9
n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9
n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9
n 10 n 1049 1 ( 1) n 10 99 49 1 ( 1) n 10 9949 1 ( 1) n 10 99 49 1 ( 1) n 10 99n 1049 1 ( 1) n 10 99n 10 n 1049 1 ( 1) n 10 99n 10n 10n 10 n 10n 10n 1049 1 ( 1) n 10 99n 10n 1049 1 ( 1) n 10 99n 10 n 1049 1 ( 1) n 10 99n 10n 1049 1 ( 1) n 10 99n 10
n 10 n 1050 ( 1) n 10 100 50 ( 1) n 10 10050 ( 1) n 10 100 50 ( 1) n 10 10050 ( 1) n 10 100 50 ( 1) n 10 100n 1050 ( 1) n 10 100n 10 n 1050 ( 1) n 10 100n 10n 10n 10 n 10n 10n 1050 ( 1) n 10 100n 10n 1050 ( 1) n 10 100n 10 n 1050 ( 1) n 10 100n 10n 1050 ( 1) n 10 100n 10
2500 n 10 10,000 2500 n 10 10,000 2490 n 9,990 2490 n 9,990
แต n เปเปเปนจานวนเตมคบวก ดงนน ม n ทงหมด 3,749 จานวน ตอบ 3,749 จานวน
28. กาหนดใหาหนดใหาหนดให z,y,x และ w เปเปเปนจานวนเตมบวก ถา 10373xyzw8)wzyx()wzyx(2 222224444 แลว wxzwyzxy เปเปเปนเทาใด
แนวคด จาก 10373xyzw8)wzyx()wzyx(2 222224444
จะไดจะไดจะได 4123111wzyx w z y x w z y x w z y x 1wzyx ………………….. (1) 11wzyx ………………….. (2) 23wzyx ………………….. (3) 41wzyx ………………….. (4) (1) + (2) + (3); 35wzyx3 ………………….. (5) (4) + (5) ; 4x = 76 แลว 13w,7z,2y,19x
wxzwyzxy = 38 + 14 + 91 + 247 = 390 ตอบ 390
แนวคด
แนวคด
55แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
29. ตวประกอบทมคามากทสดของ nn37 ทกคาของ n ทเปนจานวนเตมบวก มคาเทาใด แนวคด
)1nn)(1nn)(1nn)(1nn)(1nn)(1nn)(1n)(1n)(1n(nnn 61236362422237
จะได 5187019137532 เปนตวประกอบทมากทสด ตอบ 51,870 30. ABCDE เปนรปหาเหลยมแนบในวงกลม ถาระยะหางจากจด A ไปยง CD,BC และ DE เปน 3293
หนวย 4628 หนวย และ 3588 หนวย ตามลาดบ แลวระยะหางจากจด A ไปยง BE เทากบกหนวย แนวคด
DAR ~ BAS และ DAQ ~ BAP จะได 2553
AQARAPAS
หนวย
ตอบ 2,553 หนวย
29. ตวประกอบทมคามากทสดของ nn37 ทกคาของ n ทเปนจานวนเตมบวก มคาเทาใด แนวคด
)1nn)(1nn)(1nn)(1nn)(1nn)(1nn)(1n)(1n)(1n(nnn 61236362422237
จะได 5187019137532 เปนตวประกอบทมากทสด ตอบ 51,870 30. ABCDE เปนรปหาเหลยมแนบในวงกลม ถาระยะหางจากจด A ไปยง CD,BC และ DE เปน 3293
หนวย 4628 หนวย และ 3588 หนวย ตามลาดบ แลวระยะหางจากจด A ไปยง BE เทากบกหนวย แนวคด
DAR ~ BAS และ DAQ ~ BAP จะได 2553
AQARAPAS
หนวย
ตอบ 2,553 หนวย
29. ตวประกอบทวประกอบท วประกอบทวประกอบทมคามากทสดของ nn37 ทกคาของ n ทเปเปเปนจานวนเตมบวก มคาเทาใดแนวคด
)1nn)(1nn)(1nn)(1nn)(1nn)(1nn)(1n)(1n)(1n(nnn 61236362422237
จะไดจะไดจะได 5187019137532 เปเปเปนตวประกอบทวประกอบท วประกอบทวประกอบทมากทสดตอบ 51,870
30. ABCDE เปเปเปนรปหปหปหาเหลยมแนบในวงกลม ถาระยะหางจากจด A ไปยไปยไปยง CD,BC และ DE เปเปเปน 3293 หนวย 4628 หนวย และ 3588 หนวย ตามลาดบ แลวระยะหางจากจด A ไปยไปยไปยง BE เทากบกหนวย
แนวคด
DAR ~ BAS และ DAQ ~ BAP
จะไดจะไดจะได 2553AQ
ARAPAS
หนวย
ตอบ 2,553 หนวย
การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ.2554สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน
กระทรวงศกษาธการ
แบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน
ระดบเขตพนทการศกษา ประจ�าป พ.ศ. 2554
การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจ�าป พ.ศ. 2554ส�านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ
แบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน
เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบพนทการศกษา ประจ�าป พ.ศ. 2554
สอบวนท 22 มกราคม พ.ศ. 2554 เวลา 9.30 น. - 11.30 น.
ค�าชแจง
1.แบบทดสอบฉบบนเปนแบบทดสอบชนดเตมค�ำตอบ (ไมตองแสดงวธท�า) มจ�ำนวน6หนำ
รวมเวลา 2 ชวโมง
3.แบบทดสอบมทงหมด28ขอคะแนนเตม100คะแนน
แบงเปน3ตอนคอ
ตอนท 1ตงแตขอท1–16จ�ำนวน16ขอขอละ3คะแนนรวม48คะแนน
ตอนท 2ตงแตขอท17–24จ�ำนวน8ขอขอละ4คะแนนรวม32คะแนน
ตอนท 3ตงแตขอท25–28จ�ำนวน4ขอขอละ5คะแนนรวม20คะแนน
4.กระดำษค�ำตอบม1แผนใหนกเรยนเขยนชอ-นำมสกลเลขประจ�ำตวสอบหองสอบ
ชอโรงเรยนส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำประถมศกษำเขตของนกเรยนใหครบในกระดำษค�ำตอบ
5.ค�ำตอบแตละขอทนกเรยนตอบตองตอบลงในกระดำษค�ำตอบเทำนนและใหตรงกบขอค�ำถำม
6.ค�ำถำมขอใดทตองแสดงค�ำตอบมำกกวำหนงค�ำตอบนกเรยนตองตอบใหถกทกค�ำตอบ
จงจะไดคะแนนในขอนน
7.ไมอนญำตใหใชเครองคดเลขโทรศพทหรอเครองมออเลกทรอนกสใดๆในกำรค�ำนวณ
8.การตดสนของคณะกรรมการถอเปนขอยต
แบบทดสอบฉบบนเปนลขสทธของ
ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำนกระทรวงศกษำธกำร
หามเผยแพร อางอง ตดตอ ดดแปลงหรอเฉลย กอนไดรบอนญาต
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2554) : 60
1. จากรป OPQR เปนรปสเหลยมดานขนาน O เปนจดกาเนด R มพกดจดเปน )0,5(
x
y
P(a,b) Q
RO
และ Q มพกดจดเปน )4,8( ถา P มพกดจดเปน ),( ba แลว ba มคาเทาใด
2. กาหนด 732 23 a และ 1173 2 b ถา p เปน ห.ร.ม. ของ a กบ b และ q เปน ค.ร.น. ของ a กบ b แลว qp มคาเทาใด 3. a เปนจานวนนบทมากกวา 1000 และ b มากกวา a อย 543 เมอพจารณา ),( ba ใด ๆ แลวพบวา )1545,1002( เปนคอนดบแรก ทม ห.ร.ม. ของ 1002 และ 1545 เปน 3 )1548,1005( เปนคอนดบทสอง ทม ห.ร.ม. ของ 1005 และ 1548 เปน 3 ถา ),( ba เปนคอนดบท 5 ทม ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 3 แลว ba มคาเทาใด 4. ผลบวกของจานวนนบทงหมดทหาร 2040 และ 2376 ลงตว มคาเทาใด 5. ถา a 998616414111 4999461644144111 แลวเลขโดดในหลกหนวยของ a เปนเทาใด 6. ถานาจานวนค 1 ถง 17 ใสลงในตารางมหศจรรยขางลาง โดยใหผลบวกแนวนอน แนวตง และแนวเสนทแยงมมเทากน แลว x มคาเทาใด
1
5 13
x
ตอนท 1 ตงแตขอท 1-16 ขอละ 3 คะแนน
61แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
O
CB
A
r
7. จากรป มรปสเหลยมจตรสกรป 8. จากรป ถาตวเลขและตวอกษรทเขยนกากบไวเปนคาของมมของรปหลายเหลยมมหนวยเปนองศา แลว xa มคาเทาใด
4x
2x3x
3x 3x
3x2x
a
9. จากรป ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากมมม C เปนมมฉาก ม 6AC หนวย , 8BC หนวย O เปนจดศนยกลางของวงกลมทมดาน AC และ BC เปนเสนสมผส r เปนความยาวของรศมของวงกลม O ถา
bar แลว ba มคาเทาใด (กาหนดให
ba เปนเศษสวนอยางตา)
10. 221010110 เมอทาเปนผลสาเรจในรปตวเลขฐานสอง แลวผลลพธทไดจะมเลข 1 ทงหมดกตว 11. จากรป
12
D CA
B
ABC เปนรปสามเหลยม ม B เปนมมฉาก และ D เปนจดกงกลางของดาน AC ถา 548AB หนวย และ 12BC หนวย แลว BD เทากบกหนวย
548
12. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา
FG
E
B
C
A
D
กาหนดให aAD หนวย 102 aCD หนวย
45
ADG องศา และ 215ED หนวย ถา GEEF แลว a มคาเทาใด
13. นางสาวสาวกาเลยงเปดไวจานวนหนง ปรากฏวาเปดเปนโรคไขหวดนกตายไป 100 ตว และอก 200 ตว ถกนาไปกาจดทง ถาขณะนเหลอเปดนอยกวา 430 ตว แลวเดมสาวกาเลยงเปดมากทสดกตว 14. เสนตรง 1243 yx ตดแกน x ทจด A และตดแกน y ทจด B ถา O เปนจดกาเนด แลว พนท OAB เทากบกตารางหนวย 15. ถา )10(2)19()5( 22 aaaaa แยกตวประกอบไดเปน ))()(5( cabaa เมอ b และ c เปนจานวนนบแลว bc มคาเทาใด 16. ถา
21009899
22
2
A แลว A2010 มคาเทาใด
17. ถา 756 x และ 456 y แลว 8 มคาเทาใด 18. สาหรบจานวนจรง a, b ใด ๆ กาหนด a
2
1bab
ถา x x( x)12 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ แลว x มคาเทาใด 19. กาหนดให จานวนนบสองจานวนมผลตางของกาลงสองของแตละจานวนเปน 75 และ ผลตางของสองเทาของจานวนมากกบจานวนนอยเปนจานวนเฉพาะ ถา m และ n เปนจานวนนบสองจานวนท m > n แลว m + 2n มคาเทาใด
x
yx
1
2
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2554) : 62
12. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา
FG
E
B
C
A
D
กาหนดให aAD หนวย 102 aCD หนวย
45
ADG องศา และ 215ED หนวย ถา GEEF แลว a มคาเทาใด
13. นางสาวสาวกาเลยงเปดไวจานวนหนง ปรากฏวาเปดเปนโรคไขหวดนกตายไป 100 ตว และอก 200 ตว ถกนาไปกาจดทง ถาขณะนเหลอเปดนอยกวา 430 ตว แลวเดมสาวกาเลยงเปดมากทสดกตว 14. เสนตรง 1243 yx ตดแกน x ทจด A และตดแกน y ทจด B ถา O เปนจดกาเนด แลว พนท OAB เทากบกตารางหนวย 15. ถา )10(2)19()5( 22 aaaaa แยกตวประกอบไดเปน ))()(5( cabaa เมอ b และ c เปนจานวนนบแลว bc มคาเทาใด 16. ถา
21009899
22
2
A แลว A2010 มคาเทาใด
17. ถา 756 x และ 456 y แลว 8 มคาเทาใด 18. สาหรบจานวนจรง a, b ใด ๆ กาหนด a
2
1bab
ถา x x( x)12 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ แลว x มคาเทาใด 19. กาหนดให จานวนนบสองจานวนมผลตางของกาลงสองของแตละจานวนเปน 75 และ ผลตางของสองเทาของจานวนมากกบจานวนนอยเปนจานวนเฉพาะ ถา m และ n เปนจานวนนบสองจานวนท m > n แลว m + 2n มคาเทาใด
x
yx
1
2
12. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา
FG
E
B
C
A
D
กาหนดให aAD หนวย 102 aCD หนวย
45
ADG องศา และ 215ED หนวย ถา GEEF แลว a มคาเทาใด
13. นางสาวสาวกาเลยงเปดไวจานวนหนง ปรากฏวาเปดเปนโรคไขหวดนกตายไป 100 ตว และอก 200 ตว ถกนาไปกาจดทง ถาขณะนเหลอเปดนอยกวา 430 ตว แลวเดมสาวกาเลยงเปดมากทสดกตว 14. เสนตรง 1243 yx ตดแกน x ทจด A และตดแกน y ทจด B ถา O เปนจดกาเนด แลว พนท OAB เทากบกตารางหนวย 15. ถา )10(2)19()5( 22 aaaaa แยกตวประกอบไดเปน ))()(5( cabaa เมอ b และ c เปนจานวนนบแลว bc มคาเทาใด 16. ถา
21009899
22
2
A แลว A2010 มคาเทาใด
17. ถา 756 x และ 456 y แลว 8 มคาเทาใด 18. สาหรบจานวนจรง a, b ใด ๆ กาหนด a
2
1bab
ถา x x( x)12 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ แลว x มคาเทาใด 19. กาหนดให จานวนนบสองจานวนมผลตางของกาลงสองของแตละจานวนเปน 75 และ ผลตางของสองเทาของจานวนมากกบจานวนนอยเปนจานวนเฉพาะ ถา m และ n เปนจานวนนบสองจานวนท m > n แลว m + 2n มคาเทาใด
x
yx
1
2
G
T
Q R
S
PL
M
N
O
K
F
J
E
I
H
A
D C
B
20. ถา 97)( 24 xbxaxxf และ 2011)7( f แลว )7(f มคาเทาใด 21. สมหยบสลากทมจานวนนบตงแต 1 ถง 2020 เขยนกากบไว ใบละ 1 จานวน มา 1 ใบ
ถาความนาจะเปนทไดสลากทจานวนนนยกกาลงสามแลวหารดวย 3 ไมลงตว เทากบ ba
โดยท 0b และ ห.ร.ม. ของ a กบ b เทากบ 1 แลว ba มคาเทาใด 22. รปสามเหลยมหนาจวมดานทเทากนยาว 5 หนวย ฐานยาว 6 หนวย แนบในวงกลม ถารศมของวงกลมเทากบ R หนวย แลว R8 เทากบกหนวย 23. ให ABCD เปนรปสเหลยมจตรส มดานยาวดานละ 10 หนวย โดย G,F,E และ H เปนจดกงกลางดานแตละดาน แลวสรางรปสเหลยม EFGH การกระทานเกดขนซา ๆ ดงรป ถาผลบวกของความยาวเสนรอบรปของรปสเหลยมจตรสทงหมดเทากบ 270 a หนวย เมอ a เปนจานวน ตรรกยะแลว a มคาเทาใด 24. ถงใบหนงมลกหน สแดง 5 ลก และ สขาว 3 ลก หนดหยบลกหน 2 ลกอยางสม โดยหยบทละลก แลวไมใสคนกอนหยบลกใหม ถาความนาจะเปนทจะไดลกหนสแดงทงสองลกเปน
ba เมอ
ba เปนเศษสวนอยางตา
แลว ba มคาเทาใด
ตอนท 2 ตงแตขอท 17-24 ขอละ 4 คะแนน
63แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
G
T
Q R
S
PL
M
N
O
K
F
J
E
I
H
A
D C
B
20. ถา 97)( 24 xbxaxxf และ 2011)7( f แลว )7(f มคาเทาใด 21. สมหยบสลากทมจานวนนบตงแต 1 ถง 2020 เขยนกากบไว ใบละ 1 จานวน มา 1 ใบ
ถาความนาจะเปนทไดสลากทจานวนนนยกกาลงสามแลวหารดวย 3 ไมลงตว เทากบ ba
โดยท 0b และ ห.ร.ม. ของ a กบ b เทากบ 1 แลว ba มคาเทาใด 22. รปสามเหลยมหนาจวมดานทเทากนยาว 5 หนวย ฐานยาว 6 หนวย แนบในวงกลม ถารศมของวงกลมเทากบ R หนวย แลว R8 เทากบกหนวย 23. ให ABCD เปนรปสเหลยมจตรส มดานยาวดานละ 10 หนวย โดย G,F,E และ H เปนจดกงกลางดานแตละดาน แลวสรางรปสเหลยม EFGH การกระทานเกดขนซา ๆ ดงรป ถาผลบวกของความยาวเสนรอบรปของรปสเหลยมจตรสทงหมดเทากบ 270 a หนวย เมอ a เปนจานวน ตรรกยะแลว a มคาเทาใด 24. ถงใบหนงมลกหน สแดง 5 ลก และ สขาว 3 ลก หนดหยบลกหน 2 ลกอยางสม โดยหยบทละลก แลวไมใสคนกอนหยบลกใหม ถาความนาจะเปนทจะไดลกหนสแดงทงสองลกเปน
ba เมอ
ba เปนเศษสวนอยางตา
แลว ba มคาเทาใด
ตอนท 3 ตงแตขอท 25-28 ขอละ 5 คะแนน
25. จากรป ถา 20
BDADBA , 30
DBC และ 40
DAC
C
B
A
DF
แลว
BDC มขนาดกองศา
26. กาหนด 2
2
2
2
)1(25
)1(9
yy
xx
= 61 และ 30
115
yxxy
xy
จงหาผลเฉลย ),( yx ทงหมดของสมการททาให xy เปนจานวนเตม 27. ถา 31420161620 33 a และ a เปนจานวนนบ แลว a มคาเทาใด 28. ABCDE เปนรปหาเหลยมม DCABCA,90AEDABC
และ
ADECDA
ถา 65AC หนวย 138CD หนวย และ 119AD หนวย แลวรปหาเหลยม ABCDE มพนทกตารางหนวย
138
11965
C
A
D
E
B
***********************************
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2554) : 64
25. จากรป ถา 20
BDADBA , 30
DBC และ 40
DAC
C
B
A
DF
แลว
BDC มขนาดกองศา
26. กาหนด 2
2
2
2
)1(25
)1(9
yy
xx
= 61 และ 30
115
yxxy
xy
จงหาผลเฉลย ),( yx ทงหมดของสมการททาให xy เปนจานวนเตม 27. ถา 31420161620 33 a และ a เปนจานวนนบ แลว a มคาเทาใด 28. ABCDE เปนรปหาเหลยมม DCABCA,90AEDABC
และ
ADECDA
ถา 65AC หนวย 138CD หนวย และ 119AD หนวย แลวรปหาเหลยม ABCDE มพนทกตารางหนวย
138
11965
C
A
D
E
B
***********************************
การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจ�าป พ.ศ. 2554
ส�านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ
แนวคดแบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน
เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบเขตพนทการศกษา ประจ�าป พ.ศ. 2554
แนวคดแบบทดสอบคณตศำสตรฉบบนเปนลขสทธของ
ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำนกระทรวงศกษำธกำร
หามเผยแพร อางอง ตดตอ ดดแปลงหรอเฉลย กอนไดรบอนญาต
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2554) : 66
1. จากรป OPQR เปนรปสเหลยมดานขนาน O เปนจดกาเนด R มพกดจดเปน )0,5(
x
y
P(a,b) Q
RO
และ Q มพกดจดเปน )4,8( ถา P มพกดจดเปน ),( ba แลว ba มคาเทาใด
แนวคด
R(5,0)O(0,0)
Q(8,4)P(3,4)
x
y
จากรป 743 ba
ตอบ 7 2. กาหนด 732 23 a และ 1173 2 b ถา p เปน ห.ร.ม. ของ a กบ b และ q เปน ค.ร.น. ของ a กบ b แลว qp มคาเทาใด แนวคด 2173 p 3880811732 223 q ดงนน 2138808 qp 38829 ตอบ 38829
1. จากรป OPQR เปนรปสเหลยมดานขนาน O เปนจดกาเนด R มพกดจดเปน )0,5(
x
y
P(a,b) Q
RO
และ Q มพกดจดเปน )4,8( ถา P มพกดจดเปน ),( ba แลว ba มคาเทาใด
แนวคด
R(5,0)O(0,0)
Q(8,4)P(3,4)
x
y
จากรป 743 ba
ตอบ 7 2. กาหนด 732 23 a และ 1173 2 b ถา p เปน ห.ร.ม. ของ a กบ b และ q เปน ค.ร.น. ของ a กบ b แลว qp มคาเทาใด แนวคด 2173 p 3880811732 223 q ดงนน 2138808 qp 38829 ตอบ 38829
1. จากรป OPQR เปเปเปนรปสปสปสเหลยมดานขนาน O เปเปเปนจดกาเนด R มพกดจดเปดเปดเปน )0,5(
x
y
P(a,b) QQ
RO
และ Q มพกดจดเปดเปดเปน )4,8( ถา P มพกดจดเปดเปดเปน ),( ba แลว ba มคาเทาใด
R(5,0)O(0,0)
Q(8,4)P(3,4)
x
y จากรป743 ba
ตอบ 7
แนวคด
67แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
5. ถำ4111111 + 4414414 + 4616616 + 4999998 = aแลวเลขโดดในหลกหนวยของเปนเทำใด
แนวคดใชแบบรป
4111111 มหลกหนวยเปน1
4414414 มหลกหนวยเปน6
4616616 มหลกหนวยเปน6
4999998 มหลกหนวยเปน1
เลขโดดในหลกหนวยไดจำกกำรน�ำเลขโดดแตละตวมำรวมกนจะไดเลขโดดในหลกหนวยเปน4
ตอบ4
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2554) : 68
x
6. ถานาจานวนค 1 ถง 17 ใสใสใสลงในตารางมหลงในตารางมหลงในตารางมหศจรรยขางลาง โดยใหโดยใหโดยใหผลบวกแนวนอน แนวตง และแนวเสนทแยงมมเทากน แลว x มคาเทาใด
แนวคดผลบวก 9 จานวน 17,15,13,11,9,7,5,3,1
มคาเทากบ 8192 จะไดจะไดจะไดผลบวกของแตละแถวหรอแตละหลกหรอแตละแนวเสนทแยงมมเทากบ 27
แถวท 2 279135
c 1 b
5 9 13
x 17 a
1
5 13
x
6. ถานาจานวนค 1 ถง 17 ใสลงในตารางมหศจรรยขางลาง โดยใหผลบวกแนวนอน แนวตง และแนวเสนทแยงมมเทากน แลว x มคาเทาใด แนวคด
ผลบวก 9 จานวน 17,15,13,11,9,7,5,3,1 มคาเทากบ 8192 จะไดผลบวกของแตละแถวหรอแตละหลกหรอแตละแนวเสนทแยงมมเทากบ 27
แถวท 2 279135 ถา x = 9 จะได 1a ซงเปนไปไมได และ 9 อยตรงกลางของตาราง ดงนน 9x ถา x = 7 จะได จะได 3a , 11b เปนไปได ดงนน 7x ตอบ 7 7. จากรป มรปสเหลยมจตรสกรป แนวคด
1. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 1 หนวย = 16 รป 2. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 2 หนวย = 9 รป 3. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 3 หนวย = 4 รป 4. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 4 หนวย = 1 รป
ตอบ 30 รป
c 1 b
5 9 13
x 17 a
1
5 13
x
6. ถานาจานวนค 1 ถง 17 ใสลงในตารางมหศจรรยขางลาง โดยใหผลบวกแนวนอน แนวตง และแนวเสนทแยงมมเทากน แลว x มคาเทาใด แนวคด
ผลบวก 9 จานวน 17,15,13,11,9,7,5,3,1 มคาเทากบ 8192 จะไดผลบวกของแตละแถวหรอแตละหลกหรอแตละแนวเสนทแยงมมเทากบ 27
แถวท 2 279135 ถา x = 9 จะได 1a ซงเปนไปไมได และ 9 อยตรงกลางของตาราง ดงนน 9x ถา x = 7 จะได จะได 3a , 11b เปนไปได ดงนน 7x ตอบ 7 7. จากรป มรปสเหลยมจตรสกรป แนวคด
1. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 1 หนวย = 16 รป 2. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 2 หนวย = 9 รป 3. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 3 หนวย = 4 รป 4. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 4 หนวย = 1 รป
ตอบ 30 รป
c 1 b
5 9 13
x 17 a
1
5 13
7. จากรป มรปสปสปสเหลยมจตรสกรป
แนวคด 1. ม รปสปสปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 1 หนวย = 16 รป 2. ม รปสปสปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 2 หนวย = 9 รป 3. ม รปสปสปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 3 หนวย = 4 รป 4. ม รปสปสปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 4 หนวย = 1 รป
ตอบ 30 รป
เตม 9กงกลำงตำรำง
เตม 17ในหลกทสองแถวท3
หลกท 1และแนวทแยง
พบวำ c+x =22
b+x =18
c-b =4แต c+b=26
x
6. ถานาจานวนค 1 ถง 17 ใสลงในตารางมหศจรรยขางลาง โดยใหผลบวกแนวนอน แนวตง และแนวเสนทแยงมมเทากน แลว x มคาเทาใด แนวคด
ผลบวก 9 จานวน 17,15,13,11,9,7,5,3,1 มคาเทากบ 8192 จะไดผลบวกของแตละแถวหรอแตละหลกหรอแตละแนวเสนทแยงมมเทากบ 27
แถวท 2 279135 ถา x = 9 จะได 1a ซงเปนไปไมได และ 9 อยตรงกลางของตาราง ดงนน 9x ถา x = 7 จะได จะได 3a , 11b เปนไปได ดงนน 7x ตอบ 7 7. จากรป มรปสเหลยมจตรสกรป แนวคด
1. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 1 หนวย = 16 รป 2. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 2 หนวย = 9 รป 3. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 3 หนวย = 4 รป 4. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 4 หนวย = 1 รป
ตอบ 30 รป
c 1 b
5 9 13
x 17 a
1
5 13
c=15
ดงนน x=27-20=7
ตอบ 7
แนวคด
ตอบ
69แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
4x
2x3x
3x 3x
3x2x
a
O
CB
A
r
M
N
r
A
B C
O
8. จากรป ถาตวเลขและตวอกษรทเขยนกากบไวเปนคาของมมของรปหลายเหลยมมหนวยเปนองศา แลว xa มคาเทาใด แนวคด รปเจดเหลยมมมภายในรวมกนได )27(1804)2(2)3(4 xxx 45x 1804360 xa 225 xa ตอบ 225 องศา
9. จากรป ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากมมม C เปนมมฉาก ม 6AC หนวย , 8BC หนวย O เปนจดศนยกลางของวงกลมทมดาน AC และ BC เปนเสนสมผส r เปนความยาวของรศมของวงกลม O ถา
bar แลว ba มคาเทาใด (กาหนดให
ba เปนเศษสวนอยางตา)
แนวคด ให rONOM หนวย พนท 2486
21
ABC ตารางหนวย
ลาก OC จะได BOC และ AOC พนท BOC พนท 24AOC 248
216
21
rr
247 r
724
r
724
ba
31724 ba ตอบ 31
4x
2x3x
3x 3x
3x2x
a
O
CB
A
r
M
N
r
A
B C
O
8. จากรป ถาตวเลขและตวอกษรทเขยนกากบไวเปนคาของมมของรปหลายเหลยมมหนวยเปนองศา แลว xa มคาเทาใด แนวคด รปเจดเหลยมมมภายในรวมกนได )27(1804)2(2)3(4 xxx 45x 1804360 xa 225 xa ตอบ 225 องศา
9. จากรป ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากมมม C เปนมมฉาก ม 6AC หนวย , 8BC หนวย O เปนจดศนยกลางของวงกลมทมดาน AC และ BC เปนเสนสมผส r เปนความยาวของรศมของวงกลม O ถา
bar แลว ba มคาเทาใด (กาหนดให
ba เปนเศษสวนอยางตา)
แนวคด ให rONOM หนวย พนท 2486
21
ABC ตารางหนวย
ลาก OC จะได BOC และ AOC พนท BOC พนท 24AOC 248
216
21
rr
247 r
724
r
724
ba
31724 ba ตอบ 31
4x
2x2x2x3x
3x 3x
3x2x2x2x
a
8. จากรป ถาตวเลขและตวอกษรทเขยนกากบไวบไว บไวบไวเปเปเปนคาของมมของรปหลายเหลปหลายเหลปหลายเหลยมมหนวยเปวยเปวยเปนองศา แลว xa มคาเทาใด
แนวคด รปเจปเจปเจดเหลยมมมภายในรวมกมภายในรวมกมภายในรวมกนไดนได นไดนได )27(1804)2(2)3(4 xxx
45x 1804360 xa 225 xa
O
CB
A
r
M
N
r
A
B CB CB CB CB CB CB CB C
O
9. จากรป ABC เปเปเปนรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยมมมฉากมมม C เปเปเปนมมฉาก ม 6AC หนวย , 8BC หนวย O เปเปเปนจดศนยกลางของวงกลมทมดาน AC และ BC เปเปเปนเสนสมผส r เปเปเปนความยาวของรศมของวงกลม O ถา
bar แลว ba มคาเทาใด (กาหนดใหาหนดใหาหนดให
ba เปเปเปนเศษสวนอยางตา)
แนวคด ใหใหให rONOM หนวย พนท 2486
21
ABCABC ตารางหนวย
ลาก OC จะไดจะไดจะได BOCBOCBOC และ AOCAOCAOC พนท BOCBOC พนท 24AOCAOC
248216
21
rr
247 r
724
r
724
ba
31724 ba
แนวคด
แนวคด
ตอบ 31
ตอบ 225องศำ
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2554) : 70
10. 221010110 เมอทาเปนผลสาเรจในรปตวเลขฐานสอง แลวผลลพธทไดจะมเลข 1 ทงหมดกตว แนวคด
10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 11 10 00 01 11 00 1 ตอบ 7 11. จากรป
12
D CA
B
ABC เปนรปสามเหลยม ม B เปนมมฉาก และ D เปนจดกงกลางของดาน AC ถา 548AB หนวย และ 12BC หนวย แลว BD เทากบกหนวย
แนวคด
12
E
D CA
B
8112)154(1212)548( 222222 AC
108AC ลาก BD ตอไปทาง D จนถง E โดยท ED = BD จะได ABCE เปนรปสเหลยมผนผา จด D แบงครง AC จะได D เปนจดศนยกลางวงกลม ทมรปสามเหลยม ABC แนบใน จะได 54 DCDBDA หนวย
ตอบ 54 หนวย
548
10. 221010110 เมอทาเปนผลสาเรจในรปตวเลขฐานสอง แลวผลลพธทไดจะมเลข 1 ทงหมดกตว แนวคด
10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 11 10 00 01 11 00 1 ตอบ 7 11. จากรป
12
D CA
B
ABC เปนรปสามเหลยม ม B เปนมมฉาก และ D เปนจดกงกลางของดาน AC ถา 548AB หนวย และ 12BC หนวย แลว BD เทากบกหนวย
แนวคด
12
E
D CA
B
8112)154(1212)548( 222222 AC
108AC ลาก BD ตอไปทาง D จนถง E โดยท ED = BD จะได ABCE เปนรปสเหลยมผนผา จด D แบงครง AC จะได D เปนจดศนยกลางวงกลม ทมรปสามเหลยม ABC แนบใน จะได 54 DCDBDA หนวย
ตอบ 54 หนวย
548
10 10 10 1
10 10 10 1
10 10 10 1
10 10 10 1
10 10 10 1
10 10 10 1
11 10 00 01 11 00 1
x
10. (10101012)2เมอท�ำเปนผลส�ำเรจในรปตวเลขฐำนสองแลวผลลพธทไดจะมเลข1ทงหมดกตว
แนวคด
11. จำกรป
ตอบ7
71แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
12. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา
FG
E
B
C
A
D กาหนดให aAD หนวย 102 aCD หนวย
45ADG
และ 215ED หนวยถา GEEF แลว a มคาเทาใด
แนวคดท 1
จาก
45ADG จะได
FGEEFGAGD 45
และ 10GF ดงนน 222 10 EFEG
1002 2 x
25x
2102521525 DEDG
aDG 2
10a
ตอบ 10 หนวย
แนวคดท 2CED เปนรปสามเหลยมมมฉากหนาจว
222 EDCECD 22 )215()215( 4152
30102 a
10a
ตอบ 10 หนวย
E
102 aD
A G FF B
C
a2a4545 45
45 45454545 454510
a
aax x9090
แนวคดท 1
แนวคดท 2
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2554) : 72
13. นางสาวสาวกาเลยงเปดไวจานวนหนง ปรากฏวาเปดเปนโรคไขหวดนกตายไป 100 ตว และอก 200 ตว ถกนาไปกาจดทง ถาขณะนเหลอเปดนอยกวา 430 ตว แลวเดมสาวกาเลยงเปดมากทสดกตว แนวคด ใหสาวกาเลยงเปด x ตว จะไดอสมการคอ 430200)100( x 430300 x 730x เดมสาวกาเลยงเปดมากทสด 729 ตว ตอบ 729 ตว 14. เสนตรง 1243 yx ตดแกน x ทจด A และตดแกน y ทจด B ถา O เปนจดกาเนด แลว พนท OAB เทากบกตารางหนวย แนวคด พนท 634
21
OAB ตารางหนวย
ตอบ 6 ตารางหนวย 15. ถา )10(2)19()5( 22 aaaaa แยกตวประกอบไดเปน ))()(5( cabaa เมอ b และ c เปนจานวนนบแลว bc มคาเทาใด แนวคด 20192)10(2)19()5( 2322 aaaaaaaa )4)(5)(1( aaa 314 bc ตอบ 3
(4,0)
B (0,3)
AO
x
y
13. นางสาวสาวกาเลยงเปดไวจานวนหนง ปรากฏวาเปดเปนโรคไขหวดนกตายไป 100 ตว และอก 200 ตว ถกนาไปกาจดทง ถาขณะนเหลอเปดนอยกวา 430 ตว แลวเดมสาวกาเลยงเปดมากทสดกตว แนวคด ใหสาวกาเลยงเปด x ตว จะไดอสมการคอ 430200)100( x 430300 x 730x เดมสาวกาเลยงเปดมากทสด 729 ตว ตอบ 729 ตว 14. เสนตรง 1243 yx ตดแกน x ทจด A และตดแกน y ทจด B ถา O เปนจดกาเนด แลว พนท OAB เทากบกตารางหนวย แนวคด พนท 634
21
OAB ตารางหนวย
ตอบ 6 ตารางหนวย 15. ถา )10(2)19()5( 22 aaaaa แยกตวประกอบไดเปน ))()(5( cabaa เมอ b และ c เปนจานวนนบแลว bc มคาเทาใด แนวคด 20192)10(2)19()5( 2322 aaaaaaaa )4)(5)(1( aaa 314 bc ตอบ 3
(4,0)
B (0,3)
AO
x
y
13. นางสาวสาวกาเลยงเปยงเปยงเปดไวดไวดไวจานวนหนง ปรากฏวปรากฏวปรากฏวาเปาเปาเปดเปดเปดเปนโรคไขนโรคไขนโรคไขหวดนกตายไปดนกตายไป 100 ตว และอก 200 ตวถกนาไปกาไปกาไปกาจดทง ถาขณะนเหลอเปอเปอเปดนอยกวา 430 ตว แลวเดมสาวกาเลยงเปยงเปยงเปดมากทสดกตว
แนวคดใหใหใหสาวกาเลยงเปยงเปยงเปด x ตว จะไดจะไดจะไดอสมการคอ 430200)100( x
430300 x 730x เดมสาวกาเลยงเปยงเปยงเปดมากทสด 729 ตว
15. ถา )10(2)19()5( 22 aaaaa แยกตวประกอบไดเปน ))()(5( cabaa
เมอ b และ c เปนจานวนนบแลว bc มคาเทาใด
แนวคดแนวคด 20192)10(2)19()5( 2322 aaaaaaaa
)4)(5)(1( aaa
314 bc
แนวคด
แนวคด
แนวคด
ตอบ 6ตำรำงหนวย
ตอบ 3
ตอบ 729ตว
73แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
16. ถา 210098
9922
2
A แลว A2010 มคาเทาใด
แนวคดท 1 ให 99x 981 x 1001x จะได
2)1()1(21009899
22
2
22
2
xxx
21212 22
2
xxxxx
21
2 2
2
xx
นนคอ 10052120102010 A
แนวคดท 2
)1100()198(99
21009899
22
2
22
2
)1100)(1100()198)(198(
)99( 2
)10197(99
)99( 2
21
)198(99)99( 2
A
10052120102010 A
ตอบ 1005
แนวคดท 1
แนวคดท 2
ตอบ 1005
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2554) : 74
17. ถา 756 x และ 456 y แลว 8 มคาเทาใด แนวคด
xx
1565656
7568 ดงนน 196449568 21
2
yxxyx
ตอบ 196 18. สาหรบจานวนจรง a, b ใด ๆ กาหนด a
2
1bab
ถา x x( x)12 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ แลว x มคาเทาใด แนวคด x x( x)12 x xx
2)112(
x
xx
2
1)213(
12)213(
xxx
2213 xx 15x ตอบ 15
x
yx
1
2
17. ถา 756 x และ 456 y แลว 8 มคาเทาใด แนวคด
xx
1565656
7568 ดงนน 196449568 21
2
yxxyx
ตอบ 196 18. สาหรบจานวนจรง a, b ใด ๆ กาหนด a
2
1bab
ถา x x( x)12 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ แลว x มคาเทาใด แนวคด x x( x)12 x xx
2)112(
x
xx
2
1)213(
12)213(
xxx
2213 xx 15x ตอบ 15
x
yx
1
2
17. ถา 756 x และ 456 y แลว 8 มคาเทาใด แนวคด
xx
1565656
7568 ดงนน 196449568 21
2
yxxyx
ตอบ 196 18. สาหรบจานวนจรง a, b ใด ๆ กาหนด a
2
1bab
ถา x x( x)12 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ แลว x มคาเทาใด แนวคด x x( x)12 x xx
2)112(
x
xx
2
1)213(
12)213(
xxx
2213 xx 15x ตอบ 15
x
yx
1
2
17. ถา 756 x และ 456 y แลว 8 มคาเทาใด แนวคด
xx
1565656
7568 ดงนน 196449568 21
2
yxxyx
ตอบ 196 18. สาหรบจานวนจรง a, b ใด ๆ กาหนด a
2
1bab
ถา x x( x)12 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ แลว x มคาเทาใด แนวคด x x( x)12 x xx
2)112(
x
xx
2
1)213(
12)213(
xxx
2213 xx 15x ตอบ 15
x
yx
1
2
17. ถา 756 x และ 456 y แลว 8 มคาเทาใด แนวคด
xx
1565656
7568 ดงนน 196449568 21
2
yxxyx
ตอบ 196 18. สาหรบจานวนจรง a, b ใด ๆ กาหนด a
2
1bab
ถา x x( x)12 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ แลว x มคาเทาใด แนวคด x x( x)12 x xx
2)112(
x
xx
2
1)213(
12)213(
xxx
2213 xx 15x ตอบ 15
x
yx
1
2
17. ถา 756 x และ 456 y แลว 8 มคาเทาใด แนวคด
xx
1565656
7568 ดงนน 196449568 21
2
yxxyx
ตอบ 196 18. สาหรบจานวนจรง a, b ใด ๆ กาหนด a
2
1bab
ถา x x( x)12 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ แลว x มคาเทาใด แนวคด x x( x)12 x xx
2)112(
x
xx
2
1)213(
12)213(
xxx
2213 xx 15x ตอบ 15
x
yx
1
2
17. ถา 756 x และ 456 y แลว 8 มคาเทาใด แนวคด
xx
1565656
7568 ดงนน 196449568 21
2
yxxyx
ตอบ 196 18. สาหรบจานวนจรง a, b ใด ๆ กาหนด a
2
1bab
ถา x x( x)12 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ แลว x มคาเทาใด แนวคด x x( x)12 x xx
2)112(
x
xx
2
1)213(
12)213(
xxx
2213 xx 15x ตอบ 15
x
yx
1
2
17. ถา 756 x และ 456 y แลว 8 มคาเทาใด แนวคด
xx
1565656
7568 ดงนน 196449568 21
2
yxxyx
ตอบ 196 18. สาหรบจานวนจรง a, b ใด ๆ กาหนด a
2
1bab
ถา x x( x)12 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ แลว x มคาเทาใด แนวคด x x( x)12 x xx
2)112(
x
xx
2
1)213(
12)213(
xxx
2213 xx 15x ตอบ 15
x
yx
1
2 17.
ตอบ 15
75แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
19. กาหนดให จานวนนบสองจานวนมผลตางของกาลงสองของแตละจานวนเปน 75 และ ผลตางของสองเทาของจานวนมากกบจานวนนอยเปนจานวนเฉพาะ
ถา m และ n เปนจานวนนบสองจานวนท m > n แลว m + 2n มคาเทาใด แนวคด ให m , n เปนจานวนนบทตองการ 7522 nm 75))(( nmnm
m – n m + n m n 2m – n m + 2n 1 75 38 37 39 112 3 25 14 11 17* 36 5 15 10 5 15 20
ตอบ 36 20. ถา 97)( 24 xbxaxxf และ 2011)7( f แลว )7(f มคาเทาใด แนวคด 9)7(7)7()7()7( 24 baf 9494924012011 ba ba 492401402011 9)7(7)7()7()7( 24 baf 949492401 ba 58)2051( 2109 ตอบ 2109
19. กาหนดให จานวนนบสองจานวนมผลตางของกาลงสองของแตละจานวนเปน 75 และ ผลตางของสองเทาของจานวนมากกบจานวนนอยเปนจานวนเฉพาะ
ถา m และ n เปนจานวนนบสองจานวนท m > n แลว m + 2n มคาเทาใด แนวคด ให m , n เปนจานวนนบทตองการ 7522 nm 75))(( nmnm
m – n m + n m n 2m – n m + 2n 1 75 38 37 39 112 3 25 14 11 17* 36 5 15 10 5 15 20
ตอบ 36 20. ถา 97)( 24 xbxaxxf และ 2011)7( f แลว )7(f มคาเทาใด แนวคด 9)7(7)7()7()7( 24 baf 9494924012011 ba ba 492401402011 9)7(7)7()7()7( 24 baf 949492401 ba 58)2051( 2109 ตอบ 2109
20. ถา 97)( 24 xbxaxxf และ 2011)7( f แลว )7(f มคาเทาใด
แนวคด
9)7(7)7()7()7( 24 baf
9494924012011 ba
ba 492401402011
9)7(7)7()7()7( 24 baf
949492401 ba
58)2051(
2109
ตอบ 2109
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2554) : 76
55
A
C
B6
N
O
21. สมหยบสลากทมจานวนนบตงแต 1 ถง 2020 เขยนกากบไว ใบละ 1 จานวน มา 1 ใบ ถาความนาจะเปนทไดสลากทจานวนนนยกกาลงสามแลวหารดวย 3 ไมลงตว เทากบ
ba
โดยท 0b และ ห.ร.ม. ของ a กบ b เทากบ 1 แลว a+b มคาเทาใด แนวคด
จานวนยกกาลงสามทหารดวย 3 ไมลงตว ไดแก 33333333 11,10,8,7,5,4,2,1 ม 8 จานวน
5052
20208
ba จะได a = 2, b = 505 , a+b = 507
ตอบ 507 22. รปสามเหลยมหนาจวมดานทเทากนยาว 5 หนวย ฐานยาว 6 หนวย แนบในวงกลม ถารศมของวงกลมเทากบ R หนวย แลว R8 เทากบกหนวย แนวคด จากสตร
4abcR
4
655R
พนท ))()(( csbsassABC เมอ 8
2655
2
cbaS
พนท )58)(58)(68(8 ABC )3)(3)(2(8 1234 แทนใน
825
)12(4655
R
258 R ตอบ 25
55
A
C
B6
N
O
21. สมหยบสลากทมจานวนนบตงแต 1 ถง 2020 เขยนกากบไว ใบละ 1 จานวน มา 1 ใบ ถาความนาจะเปนทไดสลากทจานวนนนยกกาลงสามแลวหารดวย 3 ไมลงตว เทากบ
ba
โดยท 0b และ ห.ร.ม. ของ a กบ b เทากบ 1 แลว a+b มคาเทาใด แนวคด
จานวนยกกาลงสามทหารดวย 3 ไมลงตว ไดแก 33333333 11,10,8,7,5,4,2,1 ม 8 จานวน
5052
20208
ba จะได a = 2, b = 505 , a+b = 507
ตอบ 507 22. รปสามเหลยมหนาจวมดานทเทากนยาว 5 หนวย ฐานยาว 6 หนวย แนบในวงกลม ถารศมของวงกลมเทากบ R หนวย แลว R8 เทากบกหนวย แนวคด จากสตร
4abcR
4
655R
พนท ))()(( csbsassABC เมอ 8
2655
2
cbaS
พนท )58)(58)(68(8 ABC )3)(3)(2(8 1234 แทนใน
825
)12(4655
R
258 R ตอบ 25
55
A
C
B6
N
O
22. รปสามเหลยมหนาจวมดานทเทากนยาว 5 หนวย ฐานยาว 6 หนวย แนบในวงกลมถารศมของวงกลมเทากบ R หนวย แลว R8 เทากบกหนวย
แนวคด
จากสตร
4
abcR
4
655R
พนท ))()(( csbsassABC ABCABC
เมอ 82
655
2
cbaS
พนท )58)(58)(68(8 ABCABC
)3)(3)(2(8
1234 แทนใน
8
25
)12(4
655
RR
258 R
ตอบ 25 หนวย
แนวคด
แนวคด
77แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
G
T
Q R
S
PL
M
N
O
K
F
J
E
I
H
A
D C
B
23. ให ABCD เปนรปสเหลยมจตรส มดานยาวดานละ 10 หนวย โดย E , F , G และ H เปนจดกงกลางดานแตละดาน แลวสรางรปสเหลยม EFGH การกระทานเกดขนซา ๆ ดงรป ถาผลบวกของความยาวเสนรอบรปของรปสเหลยมจตรสทงหมดเทากบ 270 a หนวย เมอ a เปนจานวน ตรรกยะแลว a มคาเทาใด แนวคด ความยาวเสนรอบรปของ )10(4ABCD ความยาวเสนรอบรปของ )25(4EFGH ความยาวเสนรอบรปของ )5(4IJKL
ความยาวเสนรอบรปของ )225(4MNOP
ความยาวเสนรอบรปของ )25(4QRST
ผลบวกของความยาวเสนรอบรปของรปสเหลยมทงหมด เทากบ
25
225525104
270230702215
2354 a
30a ตอบ 30
G
T
Q R
S
PL
M
N
O
K
F
J
E
I
H
A
D CGD CG
B
23. ใหใหให ABCD ABCD เปเปเปนรปสปสปสเหลยมจตรส มดานยาวดานละ 10 หนวย โดย E , F , G และ H เปเปเปนจดกงกลางดานแตละดาน แลวสรางรปสปสปสเหลยม EFGH การกระทานเกดขนซา ๆ ดงรปถาผลบวกของความยาวเสนรอบรปของรปสปสปสเหลยมจตรสทงหมดเทากบ 270 a หนวย เมอ a เปเปเปนจานวน
ตรรกยะแลว a มคาเทาใด
ตอบ30
แนวคด
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2554) : 78
24. ถงใบหนงมลกหน สแดง 5 ลก และ สขาว 3 ลก หนดหยบลกหน 2 ลกอยางสม โดยหยบทละลก แลวไมใสคนกอนหยบลกใหม ถาความนาจะเปนทจะไดลกหนสแดงทงสองลกเปน
ba เมอ
ba เปนเศษสวนอยางตา
แลว ba มคาเทาใด แนวคด วธทหยบลกหนสองลกโดยหยบทละลก แลวไมใสคนได 5678 วธ
หยบลกแรกไดสแดง ได 5 วธ หยบลกทสองไดสแดง 4 วธ ความนาจะเปนทไดทงสองลกเปนสแดง
ba
145
7845
19 ba
ตอบ 19 25. จากรป ถา 20
BDADBA , 30
DBC และ 40
DAC
C
B
A
DF
แลว
BDC มขนาดกองศา
แนวคด
T
30
60
6060
7030
503020
A
B
C
D
40
2030
ลาก AT แบงครง
BAD ลาก DT จะได ADTABT DTBT DTCBTA
50CDTABT
80BDC
ตอบ 80
24. ถงใบหนงมลกหน สแดง 5 ลก และ สขาว 3 ลก หนดหยบลกหน 2 ลกอยางสม โดยหยบทละลก แลวไมใสคนกอนหยบลกใหม ถาความนาจะเปนทจะไดลกหนสแดงทงสองลกเปน
ba เมอ
ba เปนเศษสวนอยางตา
แลว ba มคาเทาใด แนวคด วธทหยบลกหนสองลกโดยหยบทละลก แลวไมใสคนได 5678 วธ
หยบลกแรกไดสแดง ได 5 วธ หยบลกทสองไดสแดง 4 วธ ความนาจะเปนทไดทงสองลกเปนสแดง
ba
145
7845
19 ba
ตอบ 19 25. จากรป ถา 20
BDADBA , 30
DBC และ 40
DAC
C
B
A
DF
แลว
BDC มขนาดกองศา
แนวคด
T
30
60
6060
7030
503020
A
B
C
D
40
2030
ลาก AT แบงครง
BAD ลาก DT จะได ADTABT DTBT DTCBTA
50CDTABT
80BDC
ตอบ 80
24. ถงใบหนงมลกหน สแดง 5 ลก และ สขาว 3 ลก หนดหยบลกหน 2 ลกอยางสม โดยหยบทละลก แลวไมใสคนกอนหยบลกใหม ถาความนาจะเปนทจะไดลกหนสแดงทงสองลกเปน
ba เมอ
ba เปนเศษสวนอยางตา
แลว ba มคาเทาใด แนวคด วธทหยบลกหนสองลกโดยหยบทละลก แลวไมใสคนได 5678 วธ
หยบลกแรกไดสแดง ได 5 วธ หยบลกทสองไดสแดง 4 วธ ความนาจะเปนทไดทงสองลกเปนสแดง
ba
145
7845
19 ba
ตอบ 19 25. จากรป ถา 20
BDADBA , 30
DBC และ 40
DAC
C
B
A
DF
แลว
BDC มขนาดกองศา
แนวคด
T
30
60
6060
7030
503020
A
B
C
D
40
2030
ลาก AT แบงครง
BAD ลาก DT จะได ADTABT DTBT DTCBTA
50CDTABT
80BDC
ตอบ 80
24. ถงใบหนงมลกหน สแดง 5 ลก และ สขาว 3 ลก หนดหยบลกหน 2 ลกอยางสม โดยหยบทละลก แลวไมใสคนกอนหยบลกใหม ถาความนาจะเปนทจะไดลกหนสแดงทงสองลกเปน
ba เมอ
ba เปนเศษสวนอยางตา
แลว ba มคาเทาใด แนวคด วธทหยบลกหนสองลกโดยหยบทละลก แลวไมใสคนได 5678 วธ
หยบลกแรกไดสแดง ได 5 วธ หยบลกทสองไดสแดง 4 วธ ความนาจะเปนทไดทงสองลกเปนสแดง
ba
145
7845
19 ba
ตอบ 19 25. จากรป ถา 20
BDADBA , 30
DBC และ 40
DAC
C
B
A
DF
แลว
BDC มขนาดกองศา
แนวคด
T
30
60
6060
7030
503020
A
B
C
D
40
2030
ลาก AT แบงครง
BAD ลาก DT จะได ADTABT DTBT DTCBTA
50CDTABT
80BDC
ตอบ 80 องศำ
79แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
26. กาหนด 2
2
2
2
)1(25
)1(9
yy
xx
= 61 และ 30
115
yxxy
xy
จงหาผลเฉลย ),( yx ทงหมดของสมการททาให xy เปนจานวนเตม แนวคด
ให
yyB
xxA
15,
13
6122 BA …………………… 30AB ………………. 1,1 BA )1(,1 BBA ถา BA 1 แทนใน ถา )1( BA แทนใน
5,6
03061221
2
2
BBBBB
5,6
03061221
2
2
BBBBB
B 6 -5 -6 5 A -5 6 5 -6
AAx
AxAx
Axx
3
313
BBy
ByBy
Byy
5
515
B 6 -5 -6 5 A -5 6 5 -6 X
25
32
85 2
Y 116 ∞ 6
21
ตอบ (2,21 )
26. กาหนด 2
2
2
2
)1(25
)1(9
yy
xx
= 61 และ 30
115
yxxy
xy
จงหาผลเฉลย ),( yx ทงหมดของสมการททาให xy เปนจานวนเตม แนวคด
ให
yyB
xxA
15,
13
6122 BA …………………… 30AB ………………. 1,1 BA )1(,1 BBA ถา BA 1 แทนใน ถา )1( BA แทนใน
5,6
03061221
2
2
BBBBB
5,6
03061221
2
2
BBBBB
B 6 -5 -6 5 A -5 6 5 -6
AAx
AxAx
Axx
3
313
BBy
ByBy
Byy
5
515
B 6 -5 -6 5 A -5 6 5 -6 X
25
32
85 2
Y 116 ∞ 6
21
ตอบ (2,21 )
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2554) : 80
27. ถา 31420161620 33 a และ a เปนจานวนนบ แลว a มคาเทาใด
แนวคด
ให 31420161620 33 a
)31420)(161620(24741620 333332 a
496166204320160024741620 333332 a
22333332 3616104101024741620 a
252 a แต 0a 5a
ตอบ 5
28. ABCDE เปนรปหาเหลยมม DCABCAAEDABC
,90 และ
ADECDAถา 65AC หนวย 138CD หนวย และ 119AD หนวย แลวรปหาเหลยม ABCDEมพนทกตารางหนวย
แนวคดวาดรปจากโจทย
138
11965
E
DC
B
A
T
ลาก CDAT ท T จะได ATCABC ATCATCABCABC และ ATDAED ATDATDAEDAED พนท 2ABCDE พนท ACDACDACD
)119161)(138161)(65161(1612 77287728 ตารางหนวยตารางหนวย
ตอบ 7728
การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ.2554สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน
กระทรวงศกษาธการ
แบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน
ระดบประเทศ ประจ�าป พ.ศ. 2554
การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจ�าป พ.ศ. 2554
ส�านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ
แบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน
เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบประเทศ ประจ�าป พ.ศ. 2554
สอบวนท 6 มนาคม 2554 เวลา 09.30 - 11.30 น.
ค�าชแจง
1.แบบทดสอบฉบบนเปนแบบทดสอบชนดเตมค�ำตอบ (ไมตองแสดงวธท�า)
2.แบบทดสอบมจ�ำนวน7หนำ28ขอคะแนนเตม100คะแนนแบงเปน3ตอนดงน
ตอนท 1 ตงแตขอท1-16จ�ำนวน16ขอขอละ3คะแนนรวม48คะแนน
ตอนท 2 ตงแตขอท17-24จ�ำนวน8ขอขอละ4คะแนนรวม32คะแนน
ตอนท 3 ตงแตขอท25-28จ�ำนวน4ขอขอละ5คะแนนรวม20คะแนน
3.กระดำษค�ำตอบม1แผนใหนกเรยนเขยนขอมลลงในกระดำษค�ำตอบใหครบถวน
(ชอ-นำมสกลเลขประจ�ำตวสอบหองสอบชอโรงเรยน
ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำประถมศกษำ)
4.ค�ำตอบแตละขอทนกเรยนตอบตองตอบลงในกระดำษค�ำตอบเทำนนและตอบใหตรงกบ
ขอค�ำถำม
5. ไมอนญำตใหใชเครองคดเลขโทรศพทหรอเครองมออเลกทรอนกสใดๆในกำรค�ำนวณ
6.ไมอนญำตใหนกเรยนออกจำกหองสอบจนกวำจะหมดเวลำสอบ
(เมอหมดเวลำสอบใหวำงกระดำษค�ำตอบกระดำษทดและแบบทดสอบไวบนโตะ)
7.การตดสนของคณะกรรมการถอเปนขอยต
แบบทดสอบฉบบนเปนลขสทธของ
ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำนกระทรวงศกษำธกำร
หามเผยแพร อางอง ตดตอ ดดแปลงหรอเฉลย กอนไดรบอนญาต
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2554) : 84
1. กาหนดให nn ...4321! และ !n อานวา n แฟคทอเรยล จานวนเตมบวกทงหมดทหาร !10 ลงตว มกจานวน 2. ถา 222222222222 1234...4546474849505152 N แลวจานวนเตมบวกทหาร N ลงตวมทงหมดกจานวน 3. ถา n เปนจานวนเตมคทมคาระหวาง 6 กบ 20 และ 12 n เปนจานวนเฉพาะ แลวมธยฐานของ n มคาเทาใด 4. กาหนดพหนาม 13 2 bxxaxp และ 1322 2 xcxxq
ถา xqxp ทกคาของ x แลวคาของ cba มคาเทาใด 5. ถา )532)(532()532)(532( xxxx แลว 35 2 x มคาเทาใด 6. ถา P เปนจดวกกลบของกราฟพาราโบลา 38122 xxy และ O เปนจดกาเนดแลว 2
PO มคาเทาใด 7. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม AB ยาว x4 หนวย และ BC ยาว x หนวย และรปสามเหลยมมมฉาก ABF เทากนทกประการกบรปสามเหลยมมมฉาก CDE ถาพนท สวนทแรเงาตอพนทรปสเหลยมผนผา ABCD เทากบ dc : โดยท c และ d เปนจานวนเตมบวก และ ห.ร.ม. ของ dc , เทากบ 1 แลว dc มคาเทาใด
F
E
D C
BA
8. จากรป ถารปสามเหลยม ABC และรปสามเหลยม BDE เปนรปสามเหลยมดานเทาทมความยาว ดานละ 4 หนวย และ xAE แลว x มคาเทาใด
A B
C
D
E
9. จากรป รปสเหลยมจตรส ABCD ม 6 ECAE หนวย 60
BCEBAE องศา ถา พนทรปสเหลยม ABCD เขยนใหอยในรปอยางงายไดเปน 3yx เมอ yx , เปนจานวนเตม แลว yx มคาเทาใด
CD
A B
E
10. เขยนหมายเลข 1 ถง 1000 ลงในสลากใบละ 1 หมายเลข ใสกลอง แลวสมหยบมา 1 ใบ ความนาจะเปนทจะไดสลากหมายเลข ท 2 หารลงตว แต 3 หารไมลงตวเทากบ A แลว A500 มคาเทาใด 11. จานวนเตมบวกจานวนหนงจะถกเรยกวา “จานวนโชคด” เมอมสมบตครบทงหมดดงตอไปน 1. จานวนนมเลขโดดอย 4 ตว 2. เลขโดดแตละตวสามารถนาไปหาร 48 ลงตว 3. เลขโดดแตละตวอาจปรากฏมากกวา 1 ครงกได 4. ผลรวมของเลขโดดทงหมด คอ 20 5. จานวนนเปนพหคณของ 4 จงหาจานวนโชคดทมคานอยทสด
แลว
ตอนท 1 ตงแตขอท 1-16 ขอละ 3 คะแนน
85แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
8. จากรป ถารปสามเหลยม ABC และรปสามเหลยม BDE เปนรปสามเหลยมดานเทาทมความยาว ดานละ 4 หนวย และ xAE แลว x มคาเทาใด
A B
C
D
E
9. จากรป รปสเหลยมจตรส ABCD ม 6 ECAE หนวย 60
BCEBAE องศา ถา พนทรปสเหลยม ABCD เขยนใหอยในรปอยางงายไดเปน 3yx เมอ yx , เปนจานวนเตม แลว yx มคาเทาใด
CD
A B
E
10. เขยนหมายเลข 1 ถง 1000 ลงในสลากใบละ 1 หมายเลข ใสกลอง แลวสมหยบมา 1 ใบ ความนาจะเปนทจะไดสลากหมายเลข ท 2 หารลงตว แต 3 หารไมลงตวเทากบ A แลว A500 มคาเทาใด 11. จานวนเตมบวกจานวนหนงจะถกเรยกวา “จานวนโชคด” เมอมสมบตครบทงหมดดงตอไปน 1. จานวนนมเลขโดดอย 4 ตว 2. เลขโดดแตละตวสามารถนาไปหาร 48 ลงตว 3. เลขโดดแตละตวอาจปรากฏมากกวา 1 ครงกได 4. ผลรวมของเลขโดดทงหมด คอ 20 5. จานวนนเปนพหคณของ 4 จงหาจานวนโชคดทมคานอยทสด
8. จากรป ถารปสามเหลยม ABC และรปสามเหลยม BDE เปนรปสามเหลยมดานเทาทมความยาว ดานละ 4 หนวย และ xAE แลว x มคาเทาใด
A B
C
D
E
9. จากรป รปสเหลยมจตรส ABCD ม 6 ECAE หนวย 60
BCEBAE องศา ถา พนทรปสเหลยม ABCD เขยนใหอยในรปอยางงายไดเปน 3yx เมอ yx , เปนจานวนเตม แลว yx มคาเทาใด
CD
A B
E
10. เขยนหมายเลข 1 ถง 1000 ลงในสลากใบละ 1 หมายเลข ใสกลอง แลวสมหยบมา 1 ใบ ความนาจะเปนทจะไดสลากหมายเลข ท 2 หารลงตว แต 3 หารไมลงตวเทากบ A แลว A500 มคาเทาใด 11. จานวนเตมบวกจานวนหนงจะถกเรยกวา “จานวนโชคด” เมอมสมบตครบทงหมดดงตอไปน 1. จานวนนมเลขโดดอย 4 ตว 2. เลขโดดแตละตวสามารถนาไปหาร 48 ลงตว 3. เลขโดดแตละตวอาจปรากฏมากกวา 1 ครงกได 4. ผลรวมของเลขโดดทงหมด คอ 20 5. จานวนนเปนพหคณของ 4 จงหาจานวนโชคดทมคานอยทสด
12. จานวนสหลกแตละหลกไมซากนทสรางจากเลขโดด 7,6,5,4,3,2,1 และ 8 โดยทจานวนนน หารดวย 9 ลงตว มทงหมดกจานวน 13. มตเอกสารอยจานวนหนง ตองการตดแผนปายพลาสตกเพอแสดงหมายเลข โดยทแผนปายพลาสตก แตละแผนจะแสดงเลขโดดแผนละ 1 ตว เชน ถาตดเลข 31 ตองตดแผนทเปนเลข 3 กบแผนทเปนเลข 1 โดยตวเลขพลาสตกมราคาตวละ 2 บาท เรมตดหมายเลข 1 ทตแรกแลวเรยงหมายเลขไปเรอย ๆ ถาใชเงนซอพลาสตกทงหมด 8306 บาท แลวตเอกสารมทงหมดกต 14. จานวนนบตงแต 2 ถง 1000 มกจานวน ทสามารถเขยนไดในรป 2n หรอ 3n เมอ n เปนจานวนนบ 15. มจานวนเตมบวกกจานวน ทหาร m ลงตว เมอ m มสมบตดงน 1. มจานวนเตมบวก 35 จานวน ทหาร 2m ลงตว 2. มจานวนเฉพาะ 2 จานวนเทานนทหาร m ลงตว 16. จากระบบสมการ 1xyz
811
361
xy
zx
แลว z มคาเทาใด
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2554) : 86
17. ให xP เปนพหนามทมดกรเทากบ n โดยท 3n ถา xP หารดวย 1x เหลอเศษ 1 หารดวย 2x เหลอเศษ 2 หารดวย 3x เหลอเศษ 3 ถาหารดวย 321 xxx จะเหลอเศษเทาใด 18. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมด ททาให 7562 23 nnn หารดวย 3n ลงตว 19. กาหนดให yxcba ,,,, และ z เปนจานวนจรงซงสอดคลองกบระบบสมการ 1254325432543254325432543 zyxcba 10254425442544254425442544 zyxcba 100254525452545254525452545 zyxcba คาของ 1000255425542554255425542554 zyxcba เปนเทาใด 20. ถาหาร 220092010 2 xxx ดวย 12 x แลวจะเหลอเศษเทาใด 21. คาตาสดทเปนไปไดของ
433138106 22 yxyxyx มคาเทาใด
22. รปสเหลยมจตรสมเสนทแยงมมยาว 214 เซนตเมตร บรรจในครงวงกลมโดยมจดยอดทงสอยบนเสน รอบวงและเสนผานศนยกลาง ทาใหพนทรปสเหลยมจตรส เปน
ba เทาของพนทรปครงวงกลมสวนทอยนอก
รปสเหลยมจตรส เมอ a และ b เปนจานวนเตม และ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว ba
มคาเทาใด (ใช 722 แทนคาประมาณของ )
23. จากรปมครงวงกลม 3 ครงวงกลมแตละครงวงกลมมรศมยาวเทากน คอ R หนวย ถา r เปนความยาว ของรศมวงกลมเลกทสมผสกบครงวงกลมทงสามดงรป แลว R เปนกเทาของ r 24. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมจตรสมจด A และ B อยบนเสนรอบวงของวงกลม และดาน CD สมผสกบวงกลม ถารปสเหลยม ABCD มพนท 64 ตารางหนวย แลววงกลมมรศมยาวกหนวย
A B
D C
ตอนท 2 ตงแตขอท 17-24 ขอละ 4 คะแนน
87แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
23. จากรปมครงวงกลม 3 ครงวงกลมแตละครงวงกลมมรศมยาวเทากน คอ R หนวย ถา r เปนความยาว ของรศมวงกลมเลกทสมผสกบครงวงกลมทงสามดงรป แลว R เปนกเทาของ r 24. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมจตรสมจด A และ B อยบนเสนรอบวงของวงกลม และดาน CD สมผสกบวงกลม ถารปสเหลยม ABCD มพนท 64 ตารางหนวย แลววงกลมมรศมยาวกหนวย
A B
D C
25. AB และ CD เปนเสนผานศนยกลางวงกลมตดกนเปนมมฉาก ถา DF เปนคอรดตด AB ทจด E ทาให 8DE หนวย และ 4EF หนวย แลวพนทวงกลมเปนกตารางหนวย (ตอบในรป ) 26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy
27. คาของ 3
300029994321
3000299943212
200019994321
200019994321
33...333333...3333
22...222222...2222
เปนเทาใด 28. ถามจานวนนบทหาร n2 ลงตวอย 28 จานวน และมจานวนนบทหาร n3 ลงตวอย 30 จานวน แลวจะมจานวนนบทหาร n6 ลงตวทงหมดกจานวน
***********************************
25. AB และ CD เปนเสนผานศนยกลางวงกลมตดกนเปนมมฉาก ถา DF เปนคอรดตด AB ทจด E ทาให 8DE หนวย และ 4EF หนวย แลวพนทวงกลมเปนกตารางหนวย (ตอบในรป ) 26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy
27. คาของ 3
300029994321
3000299943212
200019994321
200019994321
33...333333...3333
22...222222...2222
เปนเทาใด 28. ถามจานวนนบทหาร n2 ลงตวอย 28 จานวน และมจานวนนบทหาร n3 ลงตวอย 30 จานวน แลวจะมจานวนนบทหาร n6 ลงตวทงหมดกจานวน
***********************************
ตอนท 3 ตงแตขอท 25-28 ขอละ 5 คะแนน
การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจ�าป พ.ศ. 2554
ส�านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ
แนวคดแบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน
เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบประเทศ ประจ�าป พ.ศ. 2554
แนวคดแบบทดสอบคณตศำสตรฉบบนเปนลขสทธของ
ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำนกระทรวงศกษำธกำร
หามเผยแพร อางอง ตดตอ ดดแปลงหรอเฉลย กอนไดรบอนญาต
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2554) : 90
1. กาหนดให nn ...4321! และ !n อานวา n แฟคทอเรยล จานวนเตมบวกทงหมดทหาร !10 ลงตว มกจานวน
แนวคด
1248
23
7532232532723325
12345678910!10
จานวนของจานวนเตมบวกทหาร 10! ลงตว เทากบ 11121418
2702359
ตอบ 270 จานวน 2. ถา 222222222222 1234...4546474849505152 N แลวจานวนเตมบวกทหาร N ลงตวมทงหมดกจานวน
แนวคด
132535253
1357...45474951532627...746647
548449350251152
2
222222
2222222222
N
ตอบ จานวนเตมบวกทหาร N ลงตวม 12 จานวน 3. ถา n เปนจานวนเตมคทมคาระหวาง 6 กบ 20 และ 12 n เปนจานวนเฉพาะ แลวมธยมฐานของ n มคาเทาใด
แนวคด
n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12 n 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 325 362 ตอบ n - - - 10 - - - 14 - 16 - - -
คามธยมฐานของ 16,14,10 เทากบ 14 ตอบ 14
1. กาหนดให nn ...4321! และ !n อานวา n แฟคทอเรยล จานวนเตมบวกทงหมดทหาร !10 ลงตว มกจานวน
แนวคด
1248
23
7532232532723325
12345678910!10
จานวนของจานวนเตมบวกทหาร 10! ลงตว เทากบ 11121418
2702359
ตอบ 270 จานวน 2. ถา 222222222222 1234...4546474849505152 N แลวจานวนเตมบวกทหาร N ลงตวมทงหมดกจานวน
แนวคด
132535253
1357...45474951532627...746647
548449350251152
2
222222
2222222222
N
ตอบ จานวนเตมบวกทหาร N ลงตวม 12 จานวน 3. ถา n เปนจานวนเตมคทมคาระหวาง 6 กบ 20 และ 12 n เปนจานวนเฉพาะ แลวมธยมฐานของ n มคาเทาใด
แนวคด
n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12 n 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 325 362 ตอบ n - - - 10 - - - 14 - 16 - - -
คามธยมฐานของ 16,14,10 เทากบ 14 ตอบ 14
1. กาหนดให nn ...4321! และ !n อานวา n แฟคทอเรยล จานวนเตมบวกทงหมดทหาร !10 ลงตว มกจานวน
แนวคด
1248
23
7532232532723325
12345678910!10
จานวนของจานวนเตมบวกทหาร 10! ลงตว เทากบ 11121418
2702359
ตอบ 270 จานวน 2. ถา 222222222222 1234...4546474849505152 N แลวจานวนเตมบวกทหาร N ลงตวมทงหมดกจานวน
แนวคด
132535253
1357...45474951532627...746647
548449350251152
2
222222
2222222222
N
ตอบ จานวนเตมบวกทหาร N ลงตวม 12 จานวน 3. ถา n เปนจานวนเตมคทมคาระหวาง 6 กบ 20 และ 12 n เปนจานวนเฉพาะ แลวมธยมฐานของ n มคาเทาใด
แนวคด
n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12 n 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 325 362 ตอบ n - - - 10 - - - 14 - 16 - - -
คามธยมฐานของ 16,14,10 เทากบ 14 ตอบ 14
1. กาหนดให nn ...4321! และ !n อานวา n แฟคทอเรยล จานวนเตมบวกทงหมดทหาร !10 ลงตว มกจานวน
แนวคด
1248
23
7532232532723325
12345678910!10
จานวนของจานวนเตมบวกทหาร 10! ลงตว เทากบ 11121418
2702359
ตอบ 270 จานวน 2. ถา 222222222222 1234...4546474849505152 N แลวจานวนเตมบวกทหาร N ลงตวมทงหมดกจานวน
แนวคด
132535253
1357...45474951532627...746647
548449350251152
2
222222
2222222222
N
ตอบ จานวนเตมบวกทหาร N ลงตวม 12 จานวน 3. ถา n เปนจานวนเตมคทมคาระหวาง 6 กบ 20 และ 12 n เปนจานวนเฉพาะ แลวมธยมฐานของ n มคาเทาใด
แนวคด
n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12 n 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 325 362 ตอบ n - - - 10 - - - 14 - 16 - - -
คามธยมฐานของ 16,14,10 เทากบ 14 ตอบ 14
1. กาหนดให nn ...4321! และ !n อานวา n แฟคทอเรยล จานวนเตมบวกทงหมดทหาร !10 ลงตว มกจานวน
แนวคด
1248
23
7532232532723325
12345678910!10
จานวนของจานวนเตมบวกทหาร 10! ลงตว เทากบ 11121418
2702359
ตอบ 270 จานวน 2. ถา 222222222222 1234...4546474849505152 N แลวจานวนเตมบวกทหาร N ลงตวมทงหมดกจานวน
แนวคด
132535253
1357...45474951532627...746647
548449350251152
2
222222
2222222222
N
ตอบ จานวนเตมบวกทหาร N ลงตวม 12 จานวน 3. ถา n เปนจานวนเตมคทมคาระหวาง 6 กบ 20 และ 12 n เปนจานวนเฉพาะ แลวมธยมฐานของ n มคาเทาใด
แนวคด
n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12 n 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 325 362 ตอบ n - - - 10 - - - 14 - 16 - - -
คามธยมฐานของ 16,14,10 เทากบ 14 ตอบ 14
1. กาหนดให nn ...4321! และ !n อานวา n แฟคทอเรยล จานวนเตมบวกทงหมดทหาร !10 ลงตว มกจานวน
แนวคด
1248
23
7532232532723325
12345678910!10
จานวนของจานวนเตมบวกทหาร 10! ลงตว เทากบ 11121418
2702359
ตอบ 270 จานวน 2. ถา 222222222222 1234...4546474849505152 N แลวจานวนเตมบวกทหาร N ลงตวมทงหมดกจานวน
แนวคด
132535253
1357...45474951532627...746647
548449350251152
2
222222
2222222222
N
ตอบ จานวนเตมบวกทหาร N ลงตวม 12 จานวน 3. ถา n เปนจานวนเตมคทมคาระหวาง 6 กบ 20 และ 12 n เปนจานวนเฉพาะ แลวมธยมฐานของ n มคาเทาใด
แนวคด
n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12 n 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 325 362 ตอบ n - - - 10 - - - 14 - 16 - - -
คามธยมฐานของ 16,14,10 เทากบ 14 ตอบ 14
1. กาหนดใหาหนดใหาหนดให nn ...4321! และ !n อานวา n แฟคทอเรแฟคทอเรแฟคทอเรยล จานวนเตมบวกทงหมดทหาร !10 ลงตว มกจานวน
1248
2 3 7532
2325 3 2 7 2 3 3 2 5 12345678910!10
จานวนของจานวนเตมบวกทหาร 10! ลงตวเทากบ 1 1 12 1 4 1 8
270
2 3 5 9
ตอบ 270 จานวน
แลวมธยฐำนของn
คำมธยฐำนของ10, 14, 16เทำกบ14
ตอบ 14
แนวคด
91แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
4. กาหนดพหนาม 13 2 bxxaxp และ 1322 2 xcxxq ถา xqxp ทกคาของ x แลวคาของ cba มคาเทาใด
แนวคด
13221961322196132213
22
22
22
ccxxbxaaxaxccxxbxxxa
xcxbxxa
จะได 19132 ac 1229 ca 2a จะได 12218 c 3c bac 6
83929
312;21...........36
cbab
baba
ตอบ 8 5. ถา )532)(532()532)(532( xxxx แลว 35 2 x มคาเทาใด แนวคด
93635
56
6454
)32()32()5()5(
)32()5()32()5(
2
2222
2222
x
x
x
xx
xx
ตอบ 9
จากการเทยบสมประสทธ
4. กาหนดพหนาม 13 2 bxxaxp และ 1322 2 xcxxq ถา xqxp ทกคาของ x แลวคาของ cba มคาเทาใด
แนวคด
13221961322196132213
22
22
22
ccxxbxaaxaxccxxbxxxa
xcxbxxa
จะได 19132 ac 1229 ca 2a จะได 12218 c 3c bac 6
83929
312;21...........36
cbab
baba
ตอบ 8 5. ถา )532)(532()532)(532( xxxx แลว 35 2 x มคาเทาใด แนวคด
93635
56
6454
)32()32()5()5(
)32()5()32()5(
2
2222
2222
x
x
x
xx
xx
ตอบ 9
จากการเทยบสมประสทธ
4. กาหนดพหนาม 13 2 bxxaxp และ 1322 2 xcxxq ถา xqxp ทกคาของ x แลวคาของ cba มคาเทาใด
แนวคด
13221961322196132213
22
22
22
ccxxbxaaxaxccxxbxxxa
xcxbxxa
จะได 19132 ac 1229 ca 2a จะได 12218 c 3c bac 6
83929
312;21...........36
cbab
baba
ตอบ 8 5. ถา )532)(532()532)(532( xxxx แลว 35 2 x มคาเทาใด แนวคด
93635
56
6454
)32()32()5()5(
)32()5()32()5(
2
2222
2222
x
x
x
xx
xx
ตอบ 9
จากการเทยบสมประสทธ
4. กาหนดพหนาม 13 2 bxxaxp และ 1322 2 xcxxq ถา xqxp ทกคาของ x แลวคาของ cba มคาเทาใด
แนวคด
13221961322196132213
22
22
22
ccxxbxaaxaxccxxbxxxa
xcxbxxa
จะได 19132 ac 1229 ca 2a จะได 12218 c 3c bac 6
83929
312;21...........36
cbab
baba
ตอบ 8 5. ถา )532)(532()532)(532( xxxx แลว 35 2 x มคาเทาใด แนวคด
93635
56
6454
)32()32()5()5(
)32()5()32()5(
2
2222
2222
x
x
x
xx
xx
ตอบ 9
จากการเทยบสมประสทธ
4. กาหนดพหนาม 13 2 bxxaxp และ 1322 2 xcxxq ถา xqxp ทกคาของ x แลวคาของ cba มคาเทาใด
แนวคด
13221961322196132213
22
22
22
ccxxbxaaxaxccxxbxxxa
xcxbxxa
จะได 19132 ac 1229 ca 2a จะได 12218 c 3c bac 6
83929
312;21...........36
cbab
baba
ตอบ 8 5. ถา )532)(532()532)(532( xxxx แลว 35 2 x มคาเทาใด แนวคด
93635
56
6454
)32()32()5()5(
)32()5()32()5(
2
2222
2222
x
x
x
xx
xx
ตอบ 9
จากการเทยบสมประสทธ
4. กาหนดพหนาม 1 3 2 bx x a x p และ 1322 2 xcxxq ถา x q x p ทกคาของ x แลวคาของ cba มคาเทาใด
แนวคด a(x - 3)2 + bx+1 = 2x2 + c (x - 2) + 13 a(x2 - 6x + 9) + bx + 1 = 2x2 + cx-2c + 13 ax2 - 6ax + 9a + bx + 1 = 2x2 + cx - 2c + 13จำกกำรเทยบสมประสทธจะได-2c+13=9a+1 9a+2c =12 a = 2จะได18 + 2c = 12 c = - 3
4. กาหนดพหนาม 13 2 bxxaxp และ 1322 2 xcxxq ถา xqxp ทกคาของ x แลวคาของ cba มคาเทาใด
แนวคด
13221961322196132213
22
22
22
ccxxbxaaxaxccxxbxxxa
xcxbxxa
จะได 19132 ac 1229 ca 2a จะได 12218 c 3c bac 6
83929
312;21...........36
cbab
baba
ตอบ 8 5. ถา )532)(532()532)(532( xxxx แลว 35 2 x มคาเทาใด แนวคด
93635
56
6454
)32()32()5()5(
)32()5()32()5(
2
2222
2222
x
x
x
xx
xx
ตอบ 9
จากการเทยบสมประสทธ
c = - 6a + b
4. กาหนดพหนาม 13 2 bxxaxp และ 1322 2 xcxxq ถา xqxp ทกคาของ x แลวคาของ cba มคาเทาใด
แนวคด
13221961322196132213
22
22
22
ccxxbxaaxaxccxxbxxxa
xcxbxxa
จะได 19132 ac 1229 ca 2a จะได 12218 c 3c bac 6
83929
312;21...........36
cbab
baba
ตอบ 8 5. ถา )532)(532()532)(532( xxxx แลว 35 2 x มคาเทาใด แนวคด
93635
56
6454
)32()32()5()5(
)32()5()32()5(
2
2222
2222
x
x
x
xx
xx
ตอบ 9
จากการเทยบสมประสทธ
-6a+b = -3 a = 2;b-12 = -3 b = 9
4. กาหนดพหนาม 13 2 bxxaxp และ 1322 2 xcxxq ถา xqxp ทกคาของ x แลวคาของ cba มคาเทาใด
แนวคด
13221961322196132213
22
22
22
ccxxbxaaxaxccxxbxxxa
xcxbxxa
จะได 19132 ac 1229 ca 2a จะได 12218 c 3c bac 6
83929
312;21...........36
cbab
baba
ตอบ 8 5. ถา )532)(532()532)(532( xxxx แลว 35 2 x มคาเทาใด แนวคด
93635
56
6454
)32()32()5()5(
)32()5()32()5(
2
2222
2222
x
x
x
xx
xx
ตอบ 9
จากการเทยบสมประสทธ
a + b + c = 2 + 9 - 3 = 8
ตอบ 8
ตอบ9
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2554) : 92
6. ถา P เปนจดวกกลบของกราฟพาราโบลา 38122 xxy และ O เปนจดกาเนดแลว 2PO
มคาเทาใด
แนวคด 38122 xxy 38)12( 2 xx 3836)3612( 2 xx 2)6( 2 x จดวกกลบ คอ )2,6( และจด O คอ )0,0( ดงนน 22 )02()06( PO 436 40 40
2 PO
ตอบ 40
7. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม AB ยาว x4 หนวย และ BC ยาว x หนวย และรปสามเหลยมมมฉาก ABF เทากนทกประการกบรปสามเหลยมมมฉาก CDE ถาพนท สวนทแรเงาตอพนทรปสเหลยมผนผา ABCD เทากบ dc : โดยท c และ d เปนจานวนเตมบวก และ ห.ร.ม. ของ dc , เทากบ 1 แลว dc มคาเทาใด
F
E
D C
BA
แนวคด ลาก EF
bba
a
A B
CD
E
F ไดรปสเหลยม AEFD และ BCFE เปนรปสเหลยมมมฉาก
32,1
21
)(4)(2
dcdc
baba
dc
ตอบ 3
6. ถา P เปนจดวกกลบของกราฟพาราโบลา 38122 xxy และ O เปนจดกาเนดแลว 2PO
มคาเทาใด
แนวคด 38122 xxy 38)12( 2 xx 3836)3612( 2 xx 2)6( 2 x จดวกกลบ คอ )2,6( และจด O คอ )0,0( ดงนน 22 )02()06( PO 436 40 40
2 PO
ตอบ 40
7. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม AB ยาว x4 หนวย และ BC ยาว x หนวย และรปสามเหลยมมมฉาก ABF เทากนทกประการกบรปสามเหลยมมมฉาก CDE ถาพนท สวนทแรเงาตอพนทรปสเหลยมผนผา ABCD เทากบ dc : โดยท c และ d เปนจานวนเตมบวก และ ห.ร.ม. ของ dc , เทากบ 1 แลว dc มคาเทาใด
F
E
D C
BA
แนวคด ลาก EF
bba
a
A B
CD
E
F ไดรปสเหลยม AEFD และ BCFE เปนรปสเหลยมมมฉาก
32,1
21
)(4)(2
dcdc
baba
dc
ตอบ 3
7. จากรป ABCD เปเปเปนรปสปสปสเหลยมผนผา ม AB ยาว x4 หนวย และ BC ยาว x หนวย และรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยมมมฉาก ABFABFAB เทากนทกประการกกประการกกประการกบรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยมมมฉาก CDE ถาพนท สวนทแรเงาตอพนทรปสปสปสเหลยมผนผา ABCD เทากบ dc : โดยทโดยทโดยท c และ d เปเปเปนจานวนเตมบวก
และ ห.ร.ม. ของ dc , เทากบ 1 แลว dc มคาเทาใด
F
E
D C
BA
แนวคดลาก EFEFE
bba
a
A B
CD
A BEA B
F ไดไดไดรปสปสปสเหลยม AEFD และ BCFE เปเปเปนรปสปสปสเหลยมมมฉาก
32,1
21
)(4)(2
dcdc
baba
dc
แลว
ตอบ3
ตอบ40
93แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
8. จากรป ถารปสามเหลยม ABC และรปสามเหลยม BDE เปนรปสามเหลยมดานเทาทมความยาว ดานละ 4 หนวย และ xAE แลว x มคาเทาใด
A B
C
D
E
แนวคด ลาก EF ตงฉากกบ AD
F
E
D
C
BA
ได 4AB และ 2BF ดงนน 6AF และ 32EF 486)32()( 222 x เพราะฉะนน 48x
ตอบ 48 9. จากรป รปสเหลยมจตรส ABCD ม 6 ECAE หนวย 60
BCEBAE องศา ถา พนทรปสเหลยม ABCD เขยนใหอยในรปอยางงายไดเปน 3yx เมอ yx , เปนจานวนเตม แลว yx มคาเทาใด
CD
A B
E
แนวคด
ลาก ABEF และ BCEG จะได 3 CGAF หนวย และ
33 EGEF หนวย พนทรปสเหลยม 31836)333( 2 ABCD
18,36 yx 54 yx
ตอบ 54
G
F
3
6
6
3
3 3
3 3
CD
A B
E
8. จากรป ถารปสามเหลยม ABC และรปสามเหลยม BDE เปนรปสามเหลยมดานเทาทมความยาว ดานละ 4 หนวย และ xAE แลว x มคาเทาใด
A B
C
D
E
แนวคด ลาก EF ตงฉากกบ AD
F
E
D
C
BA
ได 4AB และ 2BF ดงนน 6AF และ 32EF 486)32()( 222 x เพราะฉะนน 48x
ตอบ 48 9. จากรป รปสเหลยมจตรส ABCD ม 6 ECAE หนวย 60
BCEBAE องศา ถา พนทรปสเหลยม ABCD เขยนใหอยในรปอยางงายไดเปน 3yx เมอ yx , เปนจานวนเตม แลว yx มคาเทาใด
CD
A B
E
แนวคด
ลาก ABEF และ BCEG จะได 3 CGAF หนวย และ
33 EGEF หนวย พนทรปสเหลยม 31836)333( 2 ABCD
18,36 yx 54 yx
ตอบ 54
G
F
3
6
6
3
3 3
3 3
CD
A B
E
8. จากรป ถารปสามเหลปสามเหลปสามเหลยม ABC และรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยม BDBDB EDED เปเปเปนรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยมดานเทาทมความยาวดานละ 4 หนวย และ xAE แลว x มคาเทาใด
AAAA B
C
D
E
แนวคดลาก EFEFE ตงฉากกบ AD
F
E
D
C
BAAAA
ไดไดได 4AB และ 2BFดงนน 6AF และ 32EF 486)32()( 222 xเพราะฉะนน 48x
9. จากรป รปสปสปสเหลยมจตรส ABCD ม 6 ECAE หนวย 60
BCEBAE องศา ถา พนทรปสปสปสเหลยม ABCD เขยนใหยนใหยนใหอยในรปอยปอยปอยางงายไดายไดายไดเปเปเปน 3yx
เมอ yx , เปเปเปนจานวนเตม แลว yx มคาเทาใด
CD
A B
E
แนวคดลาก ABEFEFE และ BCEG จะไดจะไดจะได 3 CGAF หนวย และ
3333 EGEGEFEF หนหนวยวย พนทรปสปสปสเหลยม 31836)333( 2 ABCD
18,36 yx54 yx
G
F
3
6
6
3
3 3
3 3
CD
A B
E
ตอบ48
ตอบ54
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2554) : 94
166334
32
10. เขยนหมายเลข 1 ถง 1000 ลงในสลากใบละ 1 หมายเลข ใสกลอง แลวสมหยบมา 1 ใบ ความนาจะเปนทจะไดสลากหมายเลข ท 2 หารลงตว แต 3 หารไมลงตวเทากบ A แลว A500 มคาเทาใด
แนวคด ดงนนจาก 1 ถง 1000 ทหารดวย 2 ลงตว แต 3 หารไมลงตว มทงหมด 334 จานวน ความนาจะเปนทจะไดสลากหมายเลขหารดวย 2 ลงตว แต 3 หารไมลงตวเทากบ
1000334
1000334
A 167500 A ตอบ 167 11. จานวนเตมบวกจานวนหนงจะถกเรยกวา “จานวนโชคด” เมอมสมบตครบทงหมดดงตอไปน 1. จานวนนมเลขโดดอย 4 ตว 2. เลขโดดแตละตวสามารถนาไปหาร 48 ลงตว 3. เลขโดดแตละตวอาจปรากฏมากกวา 1 ครงกได 4. ผลรวมของเลขโดดทงหมด คอ 20 5. จานวนนเปนพหคณของ 4 จงหาจานวนโชคดทมคานอยทสด แนวคด เลขโดดทเปนตวประกอบของ 48 คอ 8,6,4,3,2,1 หลกพนทนอยทสดคอ เลข 1 ตวเลข อก 3 หลก รวมกนเทากบ 19 หลกหนวยทมากทสด คอ 8 และสองหลกสดทายท 4 หารลงตว คอ 88 ดงนนจานวนทตองการคอ 1388 ตอบ 1388
166334
32
10. เขยนหมายเลข 1 ถง 1000 ลงในสลากใบละ 1 หมายเลข ใสกลอง แลวสมหยบมา 1 ใบ ความนาจะเปนทจะไดสลากหมายเลข ท 2 หารลงตว แต 3 หารไมลงตวเทากบ A แลว A500 มคาเทาใด
แนวคด ดงนนจาก 1 ถง 1000 ทหารดวย 2 ลงตว แต 3 หารไมลงตว มทงหมด 334 จานวน ความนาจะเปนทจะไดสลากหมายเลขหารดวย 2 ลงตว แต 3 หารไมลงตวเทากบ
1000334
1000334
A 167500 A ตอบ 167 11. จานวนเตมบวกจานวนหนงจะถกเรยกวา “จานวนโชคด” เมอมสมบตครบทงหมดดงตอไปน 1. จานวนนมเลขโดดอย 4 ตว 2. เลขโดดแตละตวสามารถนาไปหาร 48 ลงตว 3. เลขโดดแตละตวอาจปรากฏมากกวา 1 ครงกได 4. ผลรวมของเลขโดดทงหมด คอ 20 5. จานวนนเปนพหคณของ 4 จงหาจานวนโชคดทมคานอยทสด แนวคด เลขโดดทเปนตวประกอบของ 48 คอ 8,6,4,3,2,1 หลกพนทนอยทสดคอ เลข 1 ตวเลข อก 3 หลก รวมกนเทากบ 19 หลกหนวยทมากทสด คอ 8 และสองหลกสดทายท 4 หารลงตว คอ 88 ดงนนจานวนทตองการคอ 1388 ตอบ 1388
ตอบ167
ตอบ1388
95แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
12. จานวนสหลกแตละหลกไมซากนทสรางจากเลขโดด 7,6,5,4,3,2,1 และ 8 โดยทจานวนนน หารดวย 9 ลงตว มทงหมดกจานวน แนวคด พจารณาจากเลขโดดทมคานอยไปมาก แยกไดดงน กรณท 1 ใชเลขโดด 1, 2, 7, 8 สรางได 241234 จานวน 1, 3, 6, 8 สรางได 241234 จานวน 1, 4, 5, 8 สรางได 241234 จานวน 1, 4, 6, 7 สรางได 241234 จานวน กรณท 2 ใชเลขโดด 2, 3, 5, 8 สรางได 241234 จานวน 2, 3, 6, 7 สรางได 241234 จานวน 2, 4, 5, 7 สรางได 241234 จานวน กรณท 3 ใชเลขโดด 3, 4, 5, 6 สรางได 241234 จานวน จานวนสหลกท 9 หารลงตว มทงหมด 192248 จานวน ตอบ 192 จานวน 13. มตเอกสารอยจานวนหนง ตองการตดแผนปายพลาสตกเพอแสดงหมายเลข โดยทแผนปายพลาสตก แตละแผนจะแสดงเลขโดดแผนละ 1 ตว เชน ถาตดเลข 31 ตองตดแผนทเปนเลข 3 กบแผนทเปนเลข 1 โดยตวเลขพลาสตกมราคาตวละ 2 บาท เรมตดหมายเลข 1 ทตแรกแลวเรยงหมายเลขไปเรอย ๆ ถาใชเงนซอพลาสตก ทงหมด 8306 บาท แลวตเอกสารมทงหมดกต แนวคด จานวน 91 มเลขโดด 9 ตว จานวน 9910 มเลขโดด 180290 ตว จานวน 999100 มเลขโดด 27003900 ตว รวมตวเลขพลาสตกทงหมด 288991802700 ตว คดเปนเงน 577822889 บาท เหลอเงน 252857788306 บาท แสดงวามตเหลกทใชเลข 4 หลกอย 316
82528
ต
รวมต 1315316900909 ต ตอบ 1315 ต
12. จานวนสหลกแตละหลกไมซากนทสรางจากเลขโดด 7,6,5,4,3,2,1 และ 8 โดยทจานวนนน หารดวย 9 ลงตว มทงหมดกจานวน แนวคด พจารณาจากเลขโดดทมคานอยไปมาก แยกไดดงน กรณท 1 ใชเลขโดด 1, 2, 7, 8 สรางได 241234 จานวน 1, 3, 6, 8 สรางได 241234 จานวน 1, 4, 5, 8 สรางได 241234 จานวน 1, 4, 6, 7 สรางได 241234 จานวน กรณท 2 ใชเลขโดด 2, 3, 5, 8 สรางได 241234 จานวน 2, 3, 6, 7 สรางได 241234 จานวน 2, 4, 5, 7 สรางได 241234 จานวน กรณท 3 ใชเลขโดด 3, 4, 5, 6 สรางได 241234 จานวน จานวนสหลกท 9 หารลงตว มทงหมด 192248 จานวน ตอบ 192 จานวน 13. มตเอกสารอยจานวนหนง ตองการตดแผนปายพลาสตกเพอแสดงหมายเลข โดยทแผนปายพลาสตก แตละแผนจะแสดงเลขโดดแผนละ 1 ตว เชน ถาตดเลข 31 ตองตดแผนทเปนเลข 3 กบแผนทเปนเลข 1 โดยตวเลขพลาสตกมราคาตวละ 2 บาท เรมตดหมายเลข 1 ทตแรกแลวเรยงหมายเลขไปเรอย ๆ ถาใชเงนซอพลาสตก ทงหมด 8306 บาท แลวตเอกสารมทงหมดกต แนวคด จานวน 91 มเลขโดด 9 ตว จานวน 9910 มเลขโดด 180290 ตว จานวน 999100 มเลขโดด 27003900 ตว รวมตวเลขพลาสตกทงหมด 288991802700 ตว คดเปนเงน 577822889 บาท เหลอเงน 252857788306 บาท แสดงวามตเหลกทใชเลข 4 หลกอย 316
82528
ต
รวมต 1315316900909 ต ตอบ 1315 ต
12. จานวนสหลกแตละหลกไมกไม กไมกไมซากนทสรางจากเลขโดด 7,6,5,4,3,2,1 และ 8 โดยทโดยทโดยทจานวนนน หารดวย 9 ลงตว มทงหมดกจานวน
แนวคดพจารณาจากเลขโดดทจารณาจากเลขโดดทจารณาจากเลขโดดทมคานอยไปมาก แยกไดแยกไดแยกไดดงนกรณท 1 ใชใชใชเลขโดด 1, 2, 7, 8 สรางไดางไดางได 241234 จานวน
1, 3, 6, 8 สรางไดางไดางได 241234 จานวน 1, 4, 5, 8 สรางไดางไดางได 241234 จานวน 1, 4, 6, 7 สรางไดางไดางได 241234 จานวน
กรณท 2 ใชใชใชเลขโดด 2, 3, 5, 8 สรางไดางไดางได 241234 จานวน 2, 3, 6, 7 สรางไดางไดางได 241234 จานวน 2, 4, 5, 7 สรางไดางไดางได 241234 จานวน
กรณท 3 ใชใชใชเลขโดด 3, 4, 5, 6 สรางไดางไดางได 241234 จานวน
จานวนสหลกท 9 หารลงตว มทงหมด 192248 จานวน
ตอบ 192 จานวน
แนวคดจานวน 91 มเลขโดด 9 ตวจานวน 9910 มเลขโดด 180290 ตวจานวน 999100 มเลขโดด 27003900 ตว
รวมตวเลขพลาสตกทงหมด 288991802700 ตว คดเปดเปดเปนเงน 577822889 บาท เหลอเงน 252857788306 บาท แสดงวามตเหลกทใชใชใชใชใชใชเลข 4 หลกอย 316
825282528
ต
รวมต 1315316900909 ต
13. มตเอกสำรอยจ�ำนวนหนงตองกำรตดแผนปำยพลำสตกเพอแสดงหมำยเลขโดยทแผนปำยพลำสตก
แตละแผนจะแสดงเลขโดดแผนละ1ตวเชนถำตดเลข31ตองตดแผนทเปนเลข3กบแผนทเปนเลข1 โดยตวเลขพลำสตกมรำคำตวละ2บำทเรมตดหมำยเลข1ทตแรกแลวเรยงหมำยเลขไปเรอยๆ
ถำใชเงนซอพลำสตกทงหมด8306บำทแลวตเอกสำรมทงหมดกต
ตอบ1315ต
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2554) : 96
14. จานวนนบตงแต 2 ถง 1000 มกจานวน ทสามารถเขยนไดในรป 2n หรอ 3n เมอ n เปนจานวนนบ แนวคด เพราะวา 10002 2 n 6.3110102 n จานวนเตม 2 ถง 1000 ม n อยในรป 2n อย 30 จานวน 10002 3 n 1023 n จานวนเตม 2 ถง 1000 ม n อยในรป 3n อย 9 จานวน จานวนทเขยนไดทง 2n และ 3n ม 2 จานวน คอ
72933
64222332
2332
ตอบ 372930 จานวน 15. มจานวนเตมบวกกจานวน ทหาร m ลงตว เมอ m มสมบตดงน 1. มจานวนเตมบวก 35 จานวน ทหาร 2m ลงตว 2. มจานวนเฉพาะ 2 จานวนเทานนทหาร m ลงตว แนวคด ให ba qpm โดยท p และ q เปนจานวนเฉพาะ และ ba , เปนจานวนเตมบวก ba qpm 222 และ 75351212 ba 712512 ba และ หรอ 512712 ba และ 32 ba และ หรอ 23 ba และ 642 32 m หรอ 46 32 2332 32,32 m จะมจานวนเตมบวก 121213 จานวน ทหาร m ลงตว ตอบ 12 จานวน
14. จานวนนบตงแต 2 ถง 1000 มกจานวน ทสามารถเขยนไดในรป 2n หรอ 3n เมอ n เปนจานวนนบ แนวคด เพราะวา 10002 2 n 6.3110102 n จานวนเตม 2 ถง 1000 ม n อยในรป 2n อย 30 จานวน 10002 3 n 1023 n จานวนเตม 2 ถง 1000 ม n อยในรป 3n อย 9 จานวน จานวนทเขยนไดทง 2n และ 3n ม 2 จานวน คอ
72933
64222332
2332
ตอบ 372930 จานวน 15. มจานวนเตมบวกกจานวน ทหาร m ลงตว เมอ m มสมบตดงน 1. มจานวนเตมบวก 35 จานวน ทหาร 2m ลงตว 2. มจานวนเฉพาะ 2 จานวนเทานนทหาร m ลงตว แนวคด ให ba qpm โดยท p และ q เปนจานวนเฉพาะ และ ba , เปนจานวนเตมบวก ba qpm 222 และ 75351212 ba 712512 ba และ หรอ 512712 ba และ 32 ba และ หรอ 23 ba และ 642 32 m หรอ 46 32 2332 32,32 m จะมจานวนเตมบวก 121213 จานวน ทหาร m ลงตว ตอบ 12 จานวน
15. มจานวนเตมบวกกจานวน ทหาร m ลงตว เมอ m มสมบต ดงน 1. มจานวนเตมบวก 35 จานวน ทหาร 2m ลงตว 2. มจานวนเฉพาะ 2 จานวนเทานนทหาร m ลงตว
แนวคดใหใหให ba qpm โดยทโดยทโดยท p และ q เปเปเปนจานวนเฉพาะ และ ba , เปเปเปนจานวนเตมบวก
ba qpm 222
และ 7535 1 2 1 2 b a 7 1 2 5 1 2 b a และ
หรอ 5 1 2 7 1 2 b a และ 3 2 b a และ หรอ 2 3 b a และ
642 32 m หรอ 46 32 2332 32,32 m
จะมจานวนเตมบวก 12 1 2 13 จานวน ทหาร m ลงตว
ตอบ30+9-2=37จ�ำนวน
ตอบ12จ�ำนวน
97แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
16. จากระบบสมการ 1xyz
811
361
xy
zx
แลว z มคาเทาใด แนวคด
2................811
1................361
xy
zx
21 813611 zxz
yxy
81368111
8136111
zxy
xy
zxy
291582
1813682
181368136828136811813681
z
zzzzz
zzxyz
ตอบ
291582
16. จากระบบสมการ 1xyz
811
361
xy
zx
แลว z มคาเทาใด แนวคด
2................811
1................361
xy
zx
21 813611 zxz
yxy
81368111
8136111
zxy
xy
zxy
291582
1813682
181368136828136811813681
z
zzzzz
zzxyz
ตอบ
291582
16. จากระบบสมการ 1xyz
811
361
xy
zx
แลว z มคาเทาใด แนวคด
2................811
1................361
xy
zx
21 813611 zxz
yxy
81368111
8136111
zxy
xy
zxy
291582
1813682
181368136828136811813681
z
zzzzz
zzxyz
ตอบ
291582
16. จากระบบสมการ 1xyz
811
361
xy
zx
แลว z มคาเทาใด แนวคด
2................811
1................361
xy
zx
21 813611 zxz
yxy
81368111
8136111
zxy
xy
zxy
291582
1813682
181368136828136811813681
z
zzzzz
zzxyz
ตอบ
291582
ตอบ 82
2915
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2554) : 98
17. ให xP เปนพหนามทมดกรเทากบ n โดยท 3n ถา xP หารดวย 1x เหลอเศษ 1 หารดวย 2x เหลอเศษ 2 หารดวย 3x เหลอเศษ 3 ถาหารดวย 321 xxx จะเหลอเศษเทาใด แนวคด cbxaxxQxxxxP 2)()3)(2)(1()( 1)1( cbaP 224)2( cbaP 339)3( cbaP – 13 ba – 15 ba 02 a 0a 1)0(3 b 1b ,1,0 ba แทนใน 110 c 0c ดงนนเศษคอ xxx 00 2 ตอบ x 18. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมด ททาให 7562 23 nnn หารดวย 3n ลงตว แนวคด 84)3)(3(7562 223 nnnnnn 84 หารดวย )3( n ลงตว 84,42,28,21,14,12,7,6,4,3,2,13 n 81,39,25,18,11,9,4,3,1,0,1,2 n จะมจานวนเตมบวก n อย 9 จานวน ตอบ 9 จานวน
17. ให xP เปนพหนามทมดกรเทากบ n โดยท 3n ถา xP หารดวย 1x เหลอเศษ 1 หารดวย 2x เหลอเศษ 2 หารดวย 3x เหลอเศษ 3 ถาหารดวย 321 xxx จะเหลอเศษเทาใด แนวคด cbxaxxQxxxxP 2)()3)(2)(1()( 1)1( cbaP 224)2( cbaP 339)3( cbaP – 13 ba – 15 ba 02 a 0a 1)0(3 b 1b ,1,0 ba แทนใน 110 c 0c ดงนนเศษคอ xxx 00 2 ตอบ x 18. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมด ททาให 7562 23 nnn หารดวย 3n ลงตว แนวคด 84)3)(3(7562 223 nnnnnn 84 หารดวย )3( n ลงตว 84,42,28,21,14,12,7,6,4,3,2,13 n 81,39,25,18,11,9,4,3,1,0,1,2 n จะมจานวนเตมบวก n อย 9 จานวน ตอบ 9 จานวน
17. ให xP เปนพหนามทมดกรเทากบ n โดยท 3n ถา xP หารดวย 1x เหลอเศษ 1 หารดวย 2x เหลอเศษ 2 หารดวย 3x เหลอเศษ 3 ถาหารดวย 321 xxx จะเหลอเศษเทาใด แนวคด cbxaxxQxxxxP 2)()3)(2)(1()( 1)1( cbaP 224)2( cbaP 339)3( cbaP – 13 ba – 15 ba 02 a 0a 1)0(3 b 1b ,1,0 ba แทนใน 110 c 0c ดงนนเศษคอ xxx 00 2 ตอบ x 18. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมด ททาให 7562 23 nnn หารดวย 3n ลงตว แนวคด 84)3)(3(7562 223 nnnnnn 84 หารดวย )3( n ลงตว 84,42,28,21,14,12,7,6,4,3,2,13 n 81,39,25,18,11,9,4,3,1,0,1,2 n จะมจานวนเตมบวก n อย 9 จานวน ตอบ 9 จานวน
18. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมด ททาใหาใหาให 7562 23 nnnn หารดวย 3n ลงตว
แนวคด84)3)(3(7562 223 nnnnnn
84 หารดวย )3( n ลงตว 84,42,28,21,14,12,7,6,4,3,2,13 n 81,39,25,18,11,9,4,3,1,0,1,2 n
จะมจะมจจานวนเตานวนเตมบวกมบวก n อยอย 9 9 จจานวนานวน
17. ให xP เปนพหนามทมดกรเทากบ n โดยท 3n ถา xP หารดวย 1x เหลอเศษ 1 หารดวย 2x เหลอเศษ 2 หารดวย 3x เหลอเศษ 3 ถาหารดวย 321 xxx จะเหลอเศษเทาใด แนวคด cbxaxxQxxxxP 2)()3)(2)(1()( 1)1( cbaP 224)2( cbaP 339)3( cbaP – 13 ba – 15 ba 02 a 0a 1)0(3 b 1b ,1,0 ba แทนใน 110 c 0c ดงนนเศษคอ xxx 00 2 ตอบ x 18. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมด ททาให 7562 23 nnn หารดวย 3n ลงตว แนวคด 84)3)(3(7562 223 nnnnnn 84 หารดวย )3( n ลงตว 84,42,28,21,14,12,7,6,4,3,2,13 n 81,39,25,18,11,9,4,3,1,0,1,2 n จะมจานวนเตมบวก n อย 9 จานวน ตอบ 9 จานวน
17. ให xP เปนพหนามทมดกรเทากบ n โดยท 3n ถา xP หารดวย 1x เหลอเศษ 1 หารดวย 2x เหลอเศษ 2 หารดวย 3x เหลอเศษ 3 ถาหารดวย 321 xxx จะเหลอเศษเทาใด แนวคด cbxaxxQxxxxP 2)()3)(2)(1()( 1)1( cbaP 224)2( cbaP 339)3( cbaP – 13 ba – 15 ba 02 a 0a 1)0(3 b 1b ,1,0 ba แทนใน 110 c 0c ดงนนเศษคอ xxx 00 2 ตอบ x 18. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมด ททาให 7562 23 nnn หารดวย 3n ลงตว แนวคด 84)3)(3(7562 223 nnnnnn 84 หารดวย )3( n ลงตว 84,42,28,21,14,12,7,6,4,3,2,13 n 81,39,25,18,11,9,4,3,1,0,1,2 n จะมจานวนเตมบวก n อย 9 จานวน ตอบ 9 จานวน
17. ใหใหให x P เปเปเปนพหนามทมดกรเทากบ n โดยทโดยทโดยท 3nถา x P หารดวย 1 x เหลอเศษ 1 อเศษ 1 อเศษ หารดวย 2x เหลอเศษ 2 หารดวย 3 x เหลอเศษ 3 ถาหารดวย 3 2 1 x x x จะเหลอเศษเทาใด
แนวคด cbxaxxQxxxxP 2)()3)(2)(1()( 1)1( cbaP 224)2( cbaP 339)3( cbaP – 13 ba – 15 ba
02 a 0a 1)0(3 b 1b ,1,0 ba แทนใน 110 c 0c
ดงนนเศษคอ xxx 00 2
ตอบ x
17. ให xP เปนพหนามทมดกรเทากบ n โดยท 3n ถา xP หารดวย 1x เหลอเศษ 1 หารดวย 2x เหลอเศษ 2 หารดวย 3x เหลอเศษ 3 ถาหารดวย 321 xxx จะเหลอเศษเทาใด แนวคด cbxaxxQxxxxP 2)()3)(2)(1()( 1)1( cbaP 224)2( cbaP 339)3( cbaP – 13 ba – 15 ba 02 a 0a 1)0(3 b 1b ,1,0 ba แทนใน 110 c 0c ดงนนเศษคอ xxx 00 2 ตอบ x 18. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมด ททาให 7562 23 nnn หารดวย 3n ลงตว แนวคด 84)3)(3(7562 223 nnnnnn 84 หารดวย )3( n ลงตว 84,42,28,21,14,12,7,6,4,3,2,13 n 81,39,25,18,11,9,4,3,1,0,1,2 n จะมจานวนเตมบวก n อย 9 จานวน ตอบ 9 จานวน
...............
...............
...............
;;
17. ให xP เปนพหนามทมดกรเทากบ n โดยท 3n ถา xP หารดวย 1x เหลอเศษ 1 หารดวย 2x เหลอเศษ 2 หารดวย 3x เหลอเศษ 3 ถาหารดวย 321 xxx จะเหลอเศษเทาใด แนวคด cbxaxxQxxxxP 2)()3)(2)(1()( 1)1( cbaP 224)2( cbaP 339)3( cbaP – 13 ba – 15 ba 02 a 0a 1)0(3 b 1b ,1,0 ba แทนใน 110 c 0c ดงนนเศษคอ xxx 00 2 ตอบ x 18. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมด ททาให 7562 23 nnn หารดวย 3n ลงตว แนวคด 84)3)(3(7562 223 nnnnnn 84 หารดวย )3( n ลงตว 84,42,28,21,14,12,7,6,4,3,2,13 n 81,39,25,18,11,9,4,3,1,0,1,2 n จะมจานวนเตมบวก n อย 9 จานวน ตอบ 9 จานวน
...............
...............5 4
ตอบ9จ�ำนวน
99แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
19. กาหนดให yxcba ,,,, และ z เปนจานวนจรงซงสอดคลองกบระบบสมการ 1254325432543254325432543 zyxcba 10254425442544254425442544 zyxcba 100254525452545254525452545 zyxcba คาของ 1000255425542554255425542554 zyxcba เปนเทาใด แนวคด ให 2544,2544,2544,2544,2544 yQxPcCbBaA และ 2544 zR จะได 10 PQRABC
100100)1)(1)(1()1)(1)(1(
11)1)(1)(1()1)(1)(1(
RQPRPQRPQPQRCBACABCABABCRQPCBA
RQPRPQRPQPQRCBACABCABABCRQPCBA
+ จะได 81)(2 RQPCBA – จะได 99)(2 RPQRPQCABCAB
55551000)81(50)99(510
1000100100100101010100100100101010
1000)10)(10)(10()10)(10)(10(1000)2554)(2554)(2554()2554)(2554)(2554(
RQPRPQRPQPQRCBACABCABABC
RQPCBAzyxcba
ตอบ 5555
19. กาหนดใหาหนดใหาหนดให yxcba ,,,, และ z เปเปเปนจานวนจรงซงสอดคลองกบระบบสมการ 1254325432543 2543 2543 2543 zyx c b a 10254425442544 2544 2544 2544 zyx c b a 100254525452545 2545 2545 2545 zyx c b a คาของ 1000255425542554 2554 2554 2554 zyx c b a เปเปเปนเทาใด
แนวคดใหใหให 2544,2544,2544,2544,2544 yQxPcCbBaA และ 2544 zR จะไดจะไดจะได
10 PQRABC
100100)1)(1)(1()1)(1)(1(
11)1)(1)(1()1)(1)(1(
RQPRPQRPQPQRCBACABCABABCRQPCBA
RQPRPQRPQPQRCBACABCABABCRQPCBA
+ จะไดจะไดจะได 81)(2 RQPCBA– จะไดจะไดจะได 99)(2 RPQRPQCABCAB
55551000)81(50)99(510
1000100100100101010100100100101010
1000)10)(10)(10()10)(10)(10(1000)2554)(2554)(2554()2554)(2554)(2554(
RQPRPQRPQPQRCBACABCABABC
RQPCBAzyxcba
...............
.......
........
ตอบ5555
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2554) : 100
20. ถาหาร 220092010 2 xxx ดวย 12 x แลวจะเหลอเศษเทาใด แนวคดท 1 ให 220092010 2 xxxxP ไดผลลพธ xq และ xr เปนเศษ ดงนน xrxqxxxx 12 2220092010 จะได xr เปนพหนามทมดกรสงสดเทากบ 1 ให baxxr
)2.(..........3
1111)1.(..........9
9111
babaP
babaP
362;)2()1(6
122;)2()1(
aa
bb
เศษเทากบ 63 x แนวคดท 2
63111
53144
220082010
220092010
220092010
xxxxxxxxxx
xxxxxP
เหลอเศษ 63 x ตอบ 63 x
20. ถาหาร 220092010 2 x xx ดวย 12 x แลวจะเหลอเศษเทาใด
แนวคดท 1 ใหใหให 2 2009 2010 2 x x x x P ไดไดไดผลลพธ xq และ xr เปเปเปนเศษดงนน xrxq q x x xx 1 2 2 220092010
จะไดจะไดจะได x r เปเปเปนพหนามทมดกรสงสดเทากบ 1 ใหใหให bax x r
)2.(..........3
111 1 )1.(..........9
911 1
babaP
babaP
362;)2()1(6
122;)2()1(
aa
bb
เศษเทากบ 63 x
แนวคดท 2
63 1 1 1
53 1 44
2 2008 2010 2 2009 2010
220092010
x x x x x xx x x x
xxxx x P
เหลอเศษ 63 x
ตอบ3x+6
101แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
B
CD
OA
21. คาตาสดทเปนไปไดของ 433138106 22 yxyxyx มคาเทาใด
แนวคด
241
433)12(2)
21()(5
433885105
433138106
222
2222
22
yxyx
yyxxyxyx
yxyxyx
6)12(2)21()(5 222 yxyx
เมอ 21,
21
yx
ตอบ 6 22. รปสเหลยมจตรสมเสนทแยงมมยาว 214 เซนตเมตร บรรจในครงวงกลมโดยมจดยอดทงสอยบนเสน รอบวงและเสนผานศนยกลาง ทาใหพนทรปสเหลยมจตรส เปน
ba เทาของพนทรปครงวงกลมสวนทอยนอก
รปสเหลยมจตรส เมอ a และ b เปนจานวนเตม และ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว ba
มคาเทาใด (ใช 722 แทนคาประมาณของ )
แนวคด
รปสเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมจตรส ม 214AC จะได 7,14 OBBC ดงนน 24519649 OC พนทครงวงกลม 385
พนทรปสเหลยมจตรส 196
2728
189196
196385196
ba ดงนน 1 ba
ตอบ 1
B
CD
OA
21. คาตาสดทเปนไปไดของ 433138106 22 yxyxyx มคาเทาใด
แนวคด
241
433)12(2)
21()(5
433885105
433138106
222
2222
22
yxyx
yyxxyxyx
yxyxyx
6)12(2)21()(5 222 yxyx
เมอ 21,
21
yx
ตอบ 6 22. รปสเหลยมจตรสมเสนทแยงมมยาว 214 เซนตเมตร บรรจในครงวงกลมโดยมจดยอดทงสอยบนเสน รอบวงและเสนผานศนยกลาง ทาใหพนทรปสเหลยมจตรส เปน
ba เทาของพนทรปครงวงกลมสวนทอยนอก
รปสเหลยมจตรส เมอ a และ b เปนจานวนเตม และ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว ba
มคาเทาใด (ใช 722 แทนคาประมาณของ )
แนวคด
รปสเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมจตรส ม 214AC จะได 7,14 OBBC ดงนน 24519649 OC พนทครงวงกลม 385
พนทรปสเหลยมจตรส 196
2728
189196
196385196
ba ดงนน 1 ba
ตอบ 1
14 2
ตอบ6
ตอบ1
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2554) : 102
Rr
OA
C
23. จากรปมครงวงกลม 3 ครงวงกลมแตละครงวงกลมมรศมยาวเทากน คอ R หนวย ถา r เปนความยาว ของรศมวงกลมเลกทสมผสกบครงวงกลมทงสามดงรป แลว R เปนกเทาของ r แนวคด RAOrRAC และ rROC
จากทฤษฎพธากอรส ใน AOC
rR
rRRRrR
rRrRRrRrRrRRrR
404
4022
2
22222
222
ตอบ 4
Rr
OA
C
23. จากรปมครงวงกลม 3 ครงวงกลมแตละครงวงกลมมรศมยาวเทากน คอ R หนวย ถา r เปนความยาว ของรศมวงกลมเลกทสมผสกบครงวงกลมทงสามดงรป แลว R เปนกเทาของ r แนวคด RAOrRAC และ rROC
จากทฤษฎพธากอรส ใน AOC
rR
rRRRrR
rRrRRrRrRrRRrR
404
4022
2
22222
222
ตอบ 4
Rr
OA
C
23. จากรปมครงวงกลม 3 ครงวงกลมแตละครงวงกลมมรศมยาวเทากน คอ R หนวย ถา r เปนความยาว ของรศมวงกลมเลกทสมผสกบครงวงกลมทงสามดงรป แลว R เปนกเทาของ r แนวคด RAOrRAC และ rROC
จากทฤษฎพธากอรส ใน AOC
rR
rRRRrR
rRrRRrRrRrRRrR
404
4022
2
22222
222
ตอบ 4
Rr
OA
C
23. จากรปมครงวงกลม 3 ครงวงกลมแตละครงวงกลมมรศมยาวเทากน คอ R หนวย ถา r เปนความยาว ของรศมวงกลมเลกทสมผสกบครงวงกลมทงสามดงรป แลว R เปนกเทาของ r แนวคด RAOrRAC และ rROC
จากทฤษฎพธากอรส ใน AOC
rR
rRRRrR
rRrRRrRrRrRRrR
404
4022
2
22222
222
ตอบ 4
Rr
OA
C
23. จากรปมครงวงกลม 3 ครงวงกลมแตละครงวงกลมมรศมยาวเทากน คอ R หนวย ถา r เปนความยาว ของรศมวงกลมเลกทสมผสกบครงวงกลมทงสามดงรป แลว R เปนกเทาของ r แนวคด RAOrRAC และ rROC
จากทฤษฎพธากอรส ใน AOC
rR
rRRRrR
rRrRRrRrRrRRrR
404
4022
2
22222
222
ตอบ 4
23. จากรปมปมปมครงวงกลม 3 ครงวงกลมแตละครงวงกลมมรศมยาวเทากน คอ R หนวย ถา r เปเปเปนความยาว ของรศมวงกลมเลกทสมผสกบครงวงกลมทงสามดงรป แลว R เปเปเปนกเทาของ r
Rrr
OA
CC
แนวคด
ตอบ 4
RAOrRAC และ rROC จากทฤษฎพธากอรส ใน AOCAOCAOC
rRRrR 222
rRrRRrRrR 22 22222
rR r R R
RrR
40 4
40 2
103แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
24. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมจตรสมจด A และ B อยบนเสนรอบวงของวงกลม และดาน CD สมผสกบวงกลม ถารปสเหลยม ABCD มพนท 64 ตารางหนวย แลววงกลมมรศมยาวกหนวย แนวคด
รปสเหลยมจตรสมพนท 64 ตารางหนวยแสดงวามดานยาว 8 หนวย
4816161664
48
48
2............41.............8
22
222
222
2222
xxxx
xx
xx
xOArxr
3x แทนใน )1( จะได 5r ตอบ 5 หนวย
A B
D C
8-2x
rx
x
O
CD
BA
24. จากรป ABCD เปเปเปนรปสปสปสเหลยมจตรสมจด A และ B อยบนเสนรอบวงของวงกลม และดาน CD สมผสกบวงกลม ถารปสปสปสเหลยม ABCD มพนท 64 ตารางหนวย แลววงกลมมรศมยาวกหนวย
แนวคด
รปสปสปสเหลยมจตรสมพนท 64 ตารางหนวยแสดงวามดานยาว 8 หนวย
4816161664
4 8 4 8
2 ............4 1 .............8
22
222
222
2222
xxxx
x x x x
xOArxr
3x แทนใน )1(จะไดจะไดจะได 5r
ตอบ 5 หนวย
A B
D C
8-2x
rx
x
O
CD
BA
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2554) : 104
25. AB และ CD เปนเสนผานศนยกลางวงกลมตดกนเปนมมฉาก ถา DF เปนคอรดตด AB ทจด E ทาให 8DE หนวย และ 4EF หนวย แลวพนทวงกลมเปนกตารางหนวย (ตอบในรป ) แนวคด
E8
O
D
B
F
C
A
ลาก CF จะได 90ˆ DFC CFD คลายกบ EOD จะได
DODF
EDCD
EOCF
481241282
1282
2
2
2
rrr
rr
พนทวงกลม 482 r ตอบ 48 ตารางหนวย 26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy แนวคด 5552 yxxy 2 คณตลอด 1102104 yxxy
753353
105)52)(12(10552104
yxyxxy
จะมคาตอบทเปนจานวนเตมทงหมด 16 คอนดบ ตอบ 16 คอนดบ
25. AB และ CD เปนเสนผานศนยกลางวงกลมตดกนเปนมมฉาก ถา DF เปนคอรดตด AB ทจด E ทาให 8DE หนวย และ 4EF หนวย แลวพนทวงกลมเปนกตารางหนวย (ตอบในรป ) แนวคด
E8
O
D
B
F
C
A
ลาก CF จะได 90ˆ DFC CFD คลายกบ EOD จะได
DODF
EDCD
EOCF
481241282
1282
2
2
2
rrr
rr
พนทวงกลม 482 r ตอบ 48 ตารางหนวย 26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy แนวคด 5552 yxxy 2 คณตลอด 1102104 yxxy
753353
105)52)(12(10552104
yxyxxy
จะมคาตอบทเปนจานวนเตมทงหมด 16 คอนดบ ตอบ 16 คอนดบ
25. AB และ CD เปนเสนผานศนยกลางวงกลมตดกนเปนมมฉาก ถา DF เปนคอรดตด AB ทจด E ทาให 8DE หนวย และ 4EF หนวย แลวพนทวงกลมเปนกตารางหนวย (ตอบในรป ) แนวคด
E8
O
D
B
F
C
A
ลาก CF จะได 90ˆ DFC CFD คลายกบ EOD จะได
DODF
EDCD
EOCF
481241282
1282
2
2
2
rrr
rr
พนทวงกลม 482 r ตอบ 48 ตารางหนวย 26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy แนวคด 5552 yxxy 2 คณตลอด 1102104 yxxy
753353
105)52)(12(10552104
yxyxxy
จะมคาตอบทเปนจานวนเตมทงหมด 16 คอนดบ ตอบ 16 คอนดบ
25. AB และ CD เปนเสนผานศนยกลางวงกลมตดกนเปนมมฉาก ถา DF เปนคอรดตด AB ทจด E ทาให 8DE หนวย และ 4EF หนวย แลวพนทวงกลมเปนกตารางหนวย (ตอบในรป ) แนวคด
E8
O
D
B
F
C
A
ลาก CF จะได 90ˆ DFC CFD คลายกบ EOD จะได
DODF
EDCD
EOCF
481241282
1282
2
2
2
rrr
rr
พนทวงกลม 482 r ตอบ 48 ตารางหนวย 26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy แนวคด 5552 yxxy 2 คณตลอด 1102104 yxxy
753353
105)52)(12(10552104
yxyxxy
จะมคาตอบทเปนจานวนเตมทงหมด 16 คอนดบ ตอบ 16 คอนดบ
25. AB และ CD เปนเสนผานศนยกลางวงกลมตดกนเปนมมฉาก ถา DF เปนคอรดตด AB ทจด E ทาให 8DE หนวย และ 4EF หนวย แลวพนทวงกลมเปนกตารางหนวย (ตอบในรป ) แนวคด
E8
O
D
B
F
C
A
ลาก CF จะได 90ˆ DFC CFD คลายกบ EOD จะได
DODF
EDCD
EOCF
481241282
1282
2
2
2
rrr
rr
พนทวงกลม 482 r ตอบ 48 ตารางหนวย 26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy แนวคด 5552 yxxy 2 คณตลอด 1102104 yxxy
753353
105)52)(12(10552104
yxyxxy
จะมคาตอบทเปนจานวนเตมทงหมด 16 คอนดบ ตอบ 16 คอนดบ
25. AB และ CD เปนเสนผานศนยกลางวงกลมตดกนเปนมมฉาก ถา DF เปนคอรดตด AB ทจด E ทาให 8DE หนวย และ 4EF หนวย แลวพนทวงกลมเปนกตารางหนวย (ตอบในรป ) แนวคด
E8
O
D
B
F
C
A
ลาก CF จะได 90ˆ DFC CFD คลายกบ EOD จะได
DODF
EDCD
EOCF
481241282
1282
2
2
2
rrr
rr
พนทวงกลม 482 r ตอบ 48 ตารางหนวย 26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy แนวคด 5552 yxxy 2 คณตลอด 1102104 yxxy
753353
105)52)(12(10552104
yxyxxy
จะมคาตอบทเปนจานวนเตมทงหมด 16 คอนดบ ตอบ 16 คอนดบ
25. AB และ CD เปนเสนผานศนยกลางวงกลมตดกนเปนมมฉาก ถา DF เปนคอรดตด AB ทจด E ทาให 8DE หนวย และ 4EF หนวย แลวพนทวงกลมเปนกตารางหนวย (ตอบในรป ) แนวคด
E8
O
D
B
F
C
A
ลาก CF จะได 90ˆ DFC CFD คลายกบ EOD จะได
DODF
EDCD
EOCF
481241282
1282
2
2
2
rrr
rr
พนทวงกลม 482 r ตอบ 48 ตารางหนวย 26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy แนวคด 5552 yxxy 2 คณตลอด 1102104 yxxy
753353
105)52)(12(10552104
yxyxxy
จะมคาตอบทเปนจานวนเตมทงหมด 16 คอนดบ ตอบ 16 คอนดบ
26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปเปเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy
แนวคด 5552 yxxy
2 คณตลอด 1102104 yxxy
753353
105)52)(12(10552104
yxyxxy
จะมคาตอบทเปเปเปนจานวนเตมทงหมด 16 คอนดบ
ตอบ 16 คอนดบ
4
105แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
27. คาของ 3
300029994321
3000299943212
200019994321
200019994321
33...333333...3333
22...222222...2222
เปนเทาใด แนวคด
)12(2...)12(2)12(2)12(2...)12(2)12(2
2...22222...2222
200042
200042
20004321
20004321
)12)(2...222()12)(2...222(
2000642
2000642
31212
)13(3...)13(3)13(3)13(3...)13(3)13(3
3...33333...3333
300042
300042
30004321
30004321
)13)(3...333()13)(3...333(
3000642
3000642
21313
323
30004321
300043212
20004321
20004321
233...33333...3333
2...22222...2222
17 ตอบ 17 28. ถามจานวนนบทหาร n2 ลงตวอย 28 จานวน และมจานวนนบทหาร n3 ลงตวอย 30 จานวน แลวจะมจานวนนบทหาร n6 ลงตวทงหมดกจานวน แนวคด 36 322 n
46
54
326233
nn
ม 351416 จานวนทหาร n6 ลงตว ตอบ 35 จานวน
ตอบ17ตอบ17
27. คาของ 3
300029994321
3000299943212
200019994321
200019994321
33...333333...3333
22...222222...2222
เปนเทาใด แนวคด
)12(2...)12(2)12(2)12(2...)12(2)12(2
2...22222...2222
200042
200042
20004321
20004321
)12)(2...222()12)(2...222(
2000642
2000642
31212
)13(3...)13(3)13(3)13(3...)13(3)13(3
3...33333...3333
300042
300042
30004321
30004321
)13)(3...333()13)(3...333(
3000642
3000642
21313
323
30004321
300043212
20004321
20004321
233...33333...3333
2...22222...2222
17 ตอบ 17 28. ถามจานวนนบทหาร n2 ลงตวอย 28 จานวน และมจานวนนบทหาร n3 ลงตวอย 30 จานวน แลวจะมจานวนนบทหาร n6 ลงตวทงหมดกจานวน แนวคด 36 322 n
46
54
326233
nn
ม 351416 จานวนทหาร n6 ลงตว ตอบ 35 จานวน
)12)(2...222(
)12)(2...222(2000642
2000642
312
12
)13(3...)13(3)13(3
)13(3...)13(3)13(3
3...3333
3...3333300042
300042
30004321
30004321
)13)(3...333(
)13)(3...333(3000642
3000642
213
13
32
3
30004321
300043212
20004321
20004321
233...3333
3...3333
2...2222
2...2222
17
ตอบ35จ�ำนวน
107แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :
คณะผจดทาทปรกษา
นำยชนภทรภมรตน เลขำธกำรคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน
นำงเบญจลกษณน�ำฟำ รองเลขำธกำรคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน
นำงพจมำนพงษไพบลย ผอ�ำนวยกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ
คณะรวบรวม / เรยบเรยง
1. นำยปรำโมทยขจรภย ศกษำนเทศกเชยวชำญ
ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำประถมศกษำกรงเทพมหำนคร
ชวยรำชกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ
2. วำทพ.ต.ไพโรจนเอมวฒน ศกษำนเทศกช�ำนำญกำรพเศษ
ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำประถมศกษำสงขลำเขต1
3.นำยมำนตยจรโกเมศ โรงเรยนสวนกหลำบวทยำลย
ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำมธยมศกษำเขต1
4. นำงวรรณวภำสทธเกยรต โรงเรยนสำมเสนวทยำลย
ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำมธยมศกษำเขต1
5.นำยไมตรศรทองแท โรงเรยนเตรยมอดมศกษำ
ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำมธยมศกษำเขต1
6. วำทร.ต.วชรสนตอนธสำร โรงเรยนสำยปญญำ
ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำมธยมศกษำเขต1
7.นำงสำวภำวดสรยพนธ โรงเรยนพระปฐมวทยำลย
ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำมธยมศกษำเขต9
8. นำงนจวดเจรญเกยรตบวร นกวชำกำรศกษำช�ำนำญกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ
9. นำงรชทตำเชยกลน นกวชำกำรศกษำช�ำนำญกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ
10. นำยลออเพมสมบต ขำรำชกำรบ�ำนำญกระทรวงศกษำธกำร
11. นำยอดมแคกระโทก ขำรำชกำรบ�ำนำญกระทรวงศกษำธกำร
12. นำงรชนนำคนคร ขำรำชกำรบ�ำนำญกระทรวงศกษำธกำร
ปก / รปเลม
1. นำยประมขปญสร รองผอ�ำนวยกำรโรงเรยนวดหวำยเหนยว“ปณสรวทยำ”
ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำประถมศกษำกำญจนบรเขต2
2. นำยภำณวชญสโสภำ ส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ
เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2554) : 108
คณะรบผดชอบโครงการพฒนาคณภาพการเรยนรสสากล
1.นำงนจวดเจรญเกยตบวร หวหนำกลมวจยและพฒนำองคกรแหงกำรเรยนร
ส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ
2. นำยปรำโมทยขจรภย ศกษำนเทศกเชยวชำญ
ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำประถมศกษำกรงเทพมหำนคร
ชวยรำชกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ
3. นำงสำววรนชรงเรองเจรญกล นกวชำกำรศกษำช�ำนำญกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ
4. นำงสำวมำลกตตอดมเดช นกวชำกำรศกษำช�ำนำญกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ
5. นำงรชทตำเชยกลน นกวชำกำรศกษำช�ำนำญกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ
……………………………………………….
Top Related