Matematika Teknik Dasar-210 – Aplikasi Integral - 1Sebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya

Volume Benda-Putar

Sebuah bentuk bidang yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, dan ordinat-ordinat di x=a dan x=b, diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x, maka putaran ini akan membentuk sebuah benda yang simetris terhadapOX.

Volume Benda-Putar

Volume yang dibentuk oleh potongan kira-kira sama dengan volume yang dibentuk oleh empat-persegi panjang, atau 𝜹𝑽 = 𝒚𝟐. 𝒅𝒙

Volume Benda-Putar

Jika dibagi seluruh bentuk bidang menjadi sejumlah potongan tipis. Makamasing-masing akan menghasilkan cakram tipis dengan volume 𝜋𝑦2. 𝛿𝑥

∴ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, 𝑉 =

𝑥=𝑎

𝑥=𝑏

𝜋𝑦2. 𝛿𝑥

Volume Benda-Putar

Dalam pendekatan model ini muncul kesalahan dikarenakan luas daerah di atas masing-masing adalah empat-persegi panjang, sehingga muncul polatangga.

Tetapi jika 𝛿𝑥 → 0, kesalahan akan hilang maka 𝑉 = 𝑎𝑏𝜋𝑦2. 𝛿𝑥

Contoh - 1

Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi olehy=5cos2x, sumbu-x dan ordinat-ordinat di x=0 dan x=/4, diputar satuputaran penuh mengelilingi sumbu-x

𝑉 = න0

𝜋/4

𝜋𝑦2. 𝛿𝑥 = 25𝜋න0

𝜋/4

𝑐𝑜𝑠22𝑥𝑑𝑥

Dinyatakan dalam bentuk sudut ganda (4x)

cos 2𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 1; 𝑐𝑜𝑠2𝜃 =1

21 + cos 2𝜃

𝑉 =25𝜋

4න0

𝜋/4

1 + cos 4𝑥 𝑑𝑥

Contoh - 1

𝑉 =25𝜋

4𝑥 +

sin 4𝑥

4 0

𝜋/4

𝑉 =25𝜋

4

𝜋

4+ 0 − 0 + 0

V=25𝜋2

8satuan3

Contoh - 2

Persamaan parametrik suatu kurva adalah x = 3t2, y = 3t – t2.

Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva, sumbu-x dan ordinat-ordinat yang bersangkutan dengan t=0 dan t=2, diputar mengelilingi sumbu-x

𝑉 = න𝑎

𝑏

𝜋𝑦2. 𝑑𝑥

𝑉 = න𝑡=0

𝑡=2

𝜋 3𝑡 − 𝑡2 2. 𝑑𝑥

x = 3t2, y= 3t-t2

c = 3t2

dx = 6t dt

Contoh - 2

𝑉 = 𝜋න0

2

9𝑡2 − 6𝑡3 + 𝑡4 6𝑡𝑑𝑡

𝑉 = 6𝜋න0

2

9𝑡2 − 6𝑡3 + 𝑡4 𝑑𝑡

𝑉 = 6𝜋9𝑡4

4−6𝑡5

5+𝑡6

60

2

𝑉 = 6𝜋 36 − 38,4 + 10,67𝑉 = 6𝜋 8,27

𝑉 = 156 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛3

Volume Benda-Putar

Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurvay=x2+5, sumbu-x, dan ordinat-ordinat di x=1 dan x=3, diputar mengelilingisumbu-y sampai satu putaran penuh.

Volume Benda-Putar

Pada kasus tersebut tidak memiliki rumus standar, karena rumus 𝑉 =

𝑎𝑏𝜋𝑦2. 𝑑𝑥 adalah rumus untuk rotasi mengelilingi sumbu-x.

Dibuat metode umum

Volume yang dibentuk oleh potongan =

Volume yang dibentuk oleh empat persegi

panjang (silinder tipis yang berongga)

Volume Benda-Putar

∴ 𝛿𝑉 ≈ 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑥 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔𝛿𝑉 ≈ 𝑦𝛿𝑥. 2𝜋𝑥 ≈ 2𝜋𝑥𝑦. 𝛿𝑥

Maka untuk semua potongan seperti ini di antara x=1 dan x=3:

𝑉 ≈𝛿𝑉 ≈

𝑥=1

𝑥=3

2𝜋𝑥𝑦. 𝛿𝑥

Jika 𝛿𝑥 → 0, kesalahan akan hilang dan akan diperoleh

𝑉 = 2න1

3

𝜋𝑥𝑦 𝑑𝑡

Contoh - 3

Menggunakan soal yang diberikan pada pembahasan sebelumnya.

Karena y=x2 + 5, maka dapat mensubstitusikan y:

𝑉 = 2න1

3

𝜋𝑥𝑦 𝑑𝑥 = 2𝜋න1

3

𝑥 𝑥2 + 5 𝑑𝑥 = 2𝜋න1

3

𝑥3 + 5𝑥 𝑑𝑥

𝑉 = 2𝜋𝑥4

4+5𝑥2

21

3

𝑉 = 2𝜋81

4+45

2−

1

4+5

2

Contoh - 3

𝑉 = 2𝜋80

4+40

2

𝑉 = 2𝜋 20 + 20

V = 80 satuan3

Sentroid dari Suatu Bentuk Bidang

Sentroid dapat dicari posisinya dengan cara mengambil satu potonganelementer dan kemudiann menghitung momennya (a) terhadap OY untukmencari ҧ𝑥, dan (b) terhadap OX untuk mencari ത𝑦.

𝐴 ҧ𝑥 ≈ σ𝑥=𝑎𝑥=𝑏 𝑥. 𝑦𝛿𝑥

𝐴ത𝑦 ≈ σ𝑥=𝑎𝑥=𝑏 𝑦

2. 𝑦𝛿𝑥

Yang menghasilkan ҧ𝑥 =𝑎𝑏𝑥𝑦𝑑𝑥

𝑎𝑏𝑦𝑑𝑥

, ത𝑦 =1

2𝑎𝑏𝑦2𝑑𝑥

𝑎𝑏𝑦𝑑𝑥

Contoh - 4

Carilah posisi sentroid dari daerah yang dibatasi oleh y=e2x, sumbu-x, sumbu-y, dan ordinat di x=2

Jawaban:

Langkah pertama dicari ҧ𝑥

ҧ𝑥 =𝑎𝑏𝑥𝑦𝑑𝑥

𝑎𝑏𝑦𝑑𝑥

, yang kemudian dihitung kedua integral

secara terpisah.

Contoh - 4

Misalkan, ҧ𝑥 =𝐼1

𝐼2

Maka 𝐼1 = 02𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥

𝑒2𝑥

2−

1

2 𝑒2𝑥𝑑𝑥

0

2

𝐼1 =𝑥𝑒2𝑥

2−𝑒2𝑥

40

2

𝐼1 = 𝑒4 −𝑒4

4− −

1

4

𝐼1 =3𝑒4

4+1

4=3𝑒4 + 1

4

Contoh - 4

Maka 𝐼2 = 02𝑒2𝑥𝑑𝑥 =

𝑒2𝑥

2 0

2

=𝑒4

2−

1

2=

𝑒4−1

2

Sehingga ҧ𝑥 =𝐼1

𝐼2=

3𝑒4+1

4.

2

𝑒4−1=

3𝑒4+1

2 𝑒4−1=

3 54,60 +1

2 54,60−1=

163,8+1

109,2−2=

164,8

107,2

ҧ𝑥 = 1,537

Kemudian dicari ത𝑦

ത𝑦 =02 12𝑦2𝑑𝑥

02𝑦𝑑𝑥

=𝐼3𝐼2

Contoh - 4

𝐼3 = න0

2 1

2𝑦2𝑑𝑥

𝐼3 =1

2න0

2

𝑦2𝑑𝑥 =1

2න0

2

𝑒4𝑥𝑑𝑥 =1

2

𝑒4𝑥

20

2

=1

8𝑒8 − 1

ത𝑦 =𝐼3𝐼2=

18𝑒8 − 1

12𝑒4 − 1

=1

4𝑒4 − 1 =

1

454,60 + 1 = 13,90

Maka sentroidnya adalah di ҧ𝑥 = 1,537 dan ത𝑦 = 13,90

Pusat Massa Suatu Benda Putar

Akan dicari posisi pusat massa (centre of gravity) dari suatu benda yang terbentuk apabila bentuk bidang yang dibatasi kurva y=f(x), sumbu-x, dnaordinat-ordinat di x=a dan x=b, diputar mengelilingi sumbu-x

Jika diambil cakram-cakram elementer danmenjumlahkan seluruh momen volumenya (ataumomen massanya) terhadap OY, maka kita dapatmenghitung ҧ𝑥.

ҧ𝑥 =𝑎𝑏𝑥𝑦2𝑑𝑥

𝑎𝑏𝑥𝑦2𝑑𝑥

, sedangkan ത𝑦 = 0

Contoh - 5

Carilah posisi pusat massa dari benda yang terbentuk apabila bentukbidang yang dibatasi oleh kurva x2 + y2 = 16, sumbu-x, dan ordinat-ordinatdi x=1 dan x=3 diputar mengelilingi sumbu-x

𝐼1 = න1

3

𝑥 16 − 𝑥2 𝑑𝑥 = න1

3

16𝑥 − 𝑥3 𝑑𝑥 = 8𝑥2 −𝑥4

41

3

𝐼1 = 72 −81

4− 8 −

1

4= 64 − 20 = 44 ∴ 𝐼1 = 44

Contoh - 5

𝐼2 = න1

3

16 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 16𝑥 −𝑥3

31

3

𝐼1 = 48 − 9 − 16 −1

3= 23

1

3∴ 𝐼2 = 23

1

3

ҧ𝑥 =𝐼1𝐼2=44

1.3

70=132

70= 1,89

Jadi ҧ𝑥 = 1,89 dan ത𝑦 = 0

Panjang Kurva

Akan dicari panjang busur suatu kurva y=f(x) diantara x=a dan x=b

Misalkan P adalah titik (x,y) dan Q adalah suatu titik pada kurva di dekat P. misalkan 𝛿𝑥= panjang busur kecil PQ.

Panjang Kurva

Maka:

𝛿𝑠 2 ≈ 𝛿𝑥 2 + 𝛿𝑦 2 ∴𝛿𝑠 2

𝛿𝑥 2≈ 1 +

𝛿𝑦 2

𝛿𝑥 2

𝛿𝑠

𝛿𝑥

2

≈ 1 +𝛿𝑦

𝛿𝑥

2

∴𝛿𝑠

𝛿𝑥≈ 1 +

𝛿𝑦

𝛿𝑥

2

Jika 𝛿𝑥 → 0𝑑𝑠

𝑑𝑥= 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2∴ 𝑠 = 𝑎

𝑏1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2. 𝑑𝑥

Contoh - 6

Carilah panjang dari kurva y=10 cosh𝑥

10diantara x=-1 dan x=2

Jawaban:

y=10 cosh𝑥

10𝑠 = 1−

21 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2. 𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= sinh

𝑥

10∴ 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

= 1 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2𝑥

10= 𝑐𝑜𝑠ℎ2

𝑥

10

∴ 𝑠 = න−1

2

𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥

10. 𝑑𝑥 = න

−1

2

cosh𝑥

10𝑑𝑥 = 10 sinh

𝑥

10 −1

2

Contoh - 6

𝑠 = 10 (sinh 0,2 − sinh(−0,1)) sinh −𝑥 = −sinh 𝑥𝑠 = 10 (sinh 0,2 + sinh 0,1) = 10(0,2013 + 0,1002)

𝑠 = 10 0,3015 = 3,015 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛

Panjang Kurva – Persamaan Parametrik

Daripada dilakukan proses perubahan variable integral seperti yang dilakukan sebelumnya jika kurva dinyatakan dalam persamaan parametrik, dapat dibuat suatu bentuk kurva yang akan memudahkan pekerjaan.

Misalkan 𝑦 = 𝑓 𝑡 , 𝑥 = 𝐹(𝑡)

Seperti sebelumnya:

𝛿𝑠 2 = 𝛿𝑥 2 + 𝛿𝑦 2

Bagi kedua sisi dengan 𝛿𝑡 2

∴𝑑𝑠

𝑑𝑡

2=

𝑑𝑥

𝑑𝑡

2+

𝑑𝑦

𝑑𝑡

2

Panjang Kurva – Persamaan Parametrik

Jika t 0, ini mejadi:

𝑑𝑠

𝑑𝑡

2=

𝑑𝑥

𝑑𝑡

2+

𝑑𝑦

𝑑𝑡

2

𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑑𝑥

𝑑𝑡

2+

𝑑𝑦

𝑑𝑡

2∴ 𝑠 = 𝑡=𝑡1

𝑡=𝑡2 𝑑𝑥

𝑑𝑡

2+

𝑑𝑦

𝑑𝑡

2. 𝑑𝑡

Contoh 7

Carilah panjang dari kurva 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2𝜃, 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛3𝜃 di antara titik-titik yang berkorespondensi dengan =0 dan =/2

Ingatlah 𝑠 = 0𝜋/2 𝑑𝑥

𝑑𝜃

2+

𝑑𝑦

𝑑𝜃

2. 𝑑𝜃

Kita memiliki 𝑑𝑥

𝑑𝜃= 6𝑐𝑜𝑠2𝜃 − sin 𝜃 = −6𝑐𝑜𝑠2𝜃 sin 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝜃= 6𝑠𝑖𝑛2𝜃 cos 𝜃

∴𝑑𝑥

𝑑𝜃

2

+𝑑𝑦

𝑑𝜃

2

= 36 𝑐𝑜𝑠4𝜃 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 36𝑠𝑖𝑛4𝜃𝑐𝑜𝑠2𝜃

Contoh 7

∴𝑑𝑥

𝑑𝜃

2

+𝑑𝑦

𝑑𝜃

2

= 36 𝑐𝑜𝑠4𝜃 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 36𝑠𝑖𝑛4𝜃𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑑𝑥

𝑑𝜃

2

+𝑑𝑦

𝑑𝜃

2

= 36 𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝑑𝑥

𝑑𝜃

2

+𝑑𝑦

𝑑𝜃

2

= 36 𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠2 𝜃

∴𝑑𝑥

𝑑𝜃

2

+𝑑𝑦

𝑑𝜃

2

= 6 sin 𝜃 cos 𝜃 = 3 sin 2𝜃

Contoh 7

∴ 𝑠 = න0

𝜋/2

3 sin 2𝜃 𝑑𝜃 = 3 −cos 2𝜃

20

𝜋/2

𝑠 = 31

2− −

1

2= 3 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛

Luas Permukaan Benda Putar

Jika busur suatu kurva diputar mengelilingi sebuah sumbu, maka putaran ini akan membentuk suatu permukaan.

Carilah luas permukaan benda-putar yang terjadi jika busur suatu kurva y=f(x) diantara x=x1 dan x=x2 diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x.

Luas Permukaan Benda Putar

Jika kita memutar sebuah elemen busur kecil dengan panjang 𝛿𝑠 satuan, maka putaran ini akan membentuk pita tipis dengan luas A.

Maka 𝛿𝐴 ≈ 2𝜋𝑦. 𝛿𝑠

Dengan membagi kedua sisi dengan x

kita peroleh 𝑑𝐴

𝑑𝑥= 2𝜋𝑦

𝑑𝑠

𝑑𝑥

Seperti yang telah kita lihat sebelumnya 𝑑𝑠

𝑑𝑥= 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

Luas Permukaan Benda Putar

∴𝑑𝐴

𝑑𝑥= 2𝜋𝑦 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

Sehingga 𝐴 = 𝑥1𝑥2 2𝜋𝑦 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

Contoh 8

Carilah luas permukaan yang terbentuk jika busur dari parabola y2=8x di antara x=0 dan x=2 diputar mengelilingi sumbu-x

Jawaban

𝐴 = න0

2

2𝜋𝑦 1 +𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

. 𝑑𝑥

𝑦2 = 8𝑥 ∴ 2 2𝑥1/2 ∴𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥1/2 ∴

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

=2

𝑥

∴ 1 +𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

= 1 +2

𝑥=𝑥 + 2

𝑥

Contoh 8

∴ 𝐴 = න0

2

2𝜋2 2 𝑥1/2𝑥 + 2

𝑥. 𝑑𝑥

𝐴 = න0

2

4 2. 𝜋. 𝑥1/2𝑥 + 2 1/2

𝑥1/2𝑑𝑥

𝐴 = 4 2. 𝜋න0

2

𝑥 + 2 1/2 𝑑𝑥

𝐴 = 4 2. 𝜋𝑥 + 2 3/2

3/20

2

Contoh 8

𝐴 =4 2. 𝜋

38 − 2 2

𝐴 =8𝜋

38 2 − 4 =

8𝜋

37,314

𝐴 = 19,5𝜋 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛2

Luas Permukaan Benda-Putar – Persamaan Parametrik

Telah dilihat bahwa jika kita memutar sebuah busur kecil s, maka luas A dari pita tipis yang terbentuk diberikan oleh:

𝛿𝐴 ≈ 2𝜋𝑦. 𝛿𝑠

Jika dibagi semua sisi dengan , maka didapatkan𝛿𝐴

𝛿𝜃≈ 2𝜋𝑦.

𝛿𝑠

𝛿𝜃

Dan jika 0, ini menjadi:𝑑𝐴

𝑑𝜃≈ 2𝜋𝑦.

𝑑𝑠

𝑑𝜃

Luas Permukaan Benda-Putar – Persamaan Parametrik

Ketika membahas tentang panjang kurva, maka:

𝑑𝑠

𝑑𝜃=

𝑑𝑥

𝑑𝜃

2

+𝑑𝑦

𝑑𝜃

2

∴𝛿𝐴

𝛿𝜃= 2𝜋𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝜃

2

+𝑑𝑦

𝑑𝜃

2

∴ 𝐴 = න𝜃1

𝜃2

2𝜋𝑦𝑑𝑥

𝑑𝜃

2

+𝑑𝑦

𝑑𝜃

2

. 𝑑𝜃

Contoh 9

Carilah luas permukaan yang dihasilkan ketika kurva x=a(- sin ), y=a(1 -cos) antara =0 dan = diputar mengelilingi sumbu-x sampai satu putaran penuh.

Disini 𝑑𝑥

𝑑𝜃= 𝑎 1 − cos 𝜃 ∴

𝑑𝑥

𝑑𝜃

2= 𝑎2 1 − 2 cos 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝜃= 𝑎 sin 𝜃 ∴

𝑑𝑦

𝑑𝜃

2

= 𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝜃

∴𝑑𝑥

𝑑𝜃

2

+𝑑𝑦

𝑑𝜃

2

= 𝑎2 1 − 2 cos 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃

Contoh 9

∴𝑑𝑥

𝑑𝜃

2

+𝑑𝑦

𝑑𝜃

2

= 2𝑎2 1 − cos 𝜃 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 cos 𝜃 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2𝜃

2

𝑑𝑥

𝑑𝜃

2

+𝑑𝑦

𝑑𝜃

2

= 4𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝜃

2

Diselesaikan integralnya dan dicari luas permukaan yang terbentuk

𝐴 = න0

𝜋

2𝜋𝑦𝑑𝑥

𝑑𝜃

2

+𝑑𝑦

𝑑𝜃

2

. 𝑑𝜃

Contoh 9

𝐴 = 2𝜋න0

𝜋

𝑎 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 2𝑎 sin𝜃

2. 𝑑𝜃 = 2𝜋න

0

𝜋

𝑎 2𝑠𝑖𝑛2𝜃

2. 2𝑎 sin

𝜃

2. 𝑑𝜃

𝐴 = 8𝜋𝑎2න0

𝜋

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃

2. sin

𝜃

2. 𝑑𝜃

𝐴 = 8𝜋𝑎2න0

𝜋

𝑠𝑖𝑛𝜃

2− 𝑐𝑜𝑠2

𝜃

2sin

𝜃

2. 𝑑𝜃

𝐴 = 8𝜋𝑎2 −2 cos𝜃

2+2𝑐𝑜𝑠3𝜃/2

30

𝜋

𝐴 = 8𝜋𝑎2 0 − −2 + 2/3

𝐴 = 8𝜋𝑎2 4/3 =32𝜋𝑎2

3𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛2

Aturan-Aturan Pappus

Ada dua aturan yang bermanfaat dan perlu diketahui:

1. Jika busur dari suatu kurva bidang diputar mengelilingi sebuah sumbu dalam bidang tersebut, maka luas permukaan yang terbentuk akan sama dengan panjang kurva tersebut dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya

2. Jika suatu bentuk bidang diputar mengelilingi sebuah sumbu putar dalam bidang tersebut, maka volume yang terbentuk akan sama dengan luas bentuk tersebut dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya.