1 Profa. Msc. Érica Siqueira
Matemática Financeira
Aulas Introdutórias
Profaª Msc. Érica Siqueira
Mini Currículo Professora: Érica Siqueira
• Formação:
Doutoranda em Administração pela FGV.
Mestre em Administração pela FEA USP (2014),
Especialista em Administração pela FGV (2011) e
Bacharel em Sistemas de Informação pelo Mackenzie.
• Professora convidada para cursos de pós graduação.
• Foi professora nos cursos de Administração nas faculdades
Unisant´anna e Estácio.
• Consultora de empresas para elaboração/análise de viabilidade de
projetos de inovação.
• Atua há 17 anos implantando e desenhando sistemas para gestão
empresarial, gestão pública, gestão financeira, cadeia de
suprimentos, etc..
Profaª Msc. Érica Siqueira
Matemática Financeira
Objetivos de aprendizagem:Depois de ler e discutir este tópicovocê será capaz entender
• Fazer contas utilizando a regra de três eporcentagens
• Entender os princípios de Matemática Financeira• Calcular valores futuros e presente em juros simples• Entender operação de desconto de duplicata
4 Profa. Msc. Érica Siqueira
Agenda do Curso
Data Conteúdo
27/08/2018
Apresentação da Disciplina
Revisão de Porcentagens
Juros Simples: Montante
Exercícios
03/09/2018
Juros Simples: Capital, Taxa, Prazo
Desconto de Duplicata
Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Simples
Exercícios
10/09/2018Juros Compostos
Exercícios
17/09/2018
Taxa Equivalente em Juros Compostos
Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente
Taxa Acumulada, Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Exercícios
24/09/2018
Pagamentos e Depósitos Constantes
Fluxo de Caixa
Payback Simples e Descontado, VPL, TIR
Sistema de Amortização: SAC e PRICE
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Observações
• Usar HP12C
• Para estudar:
• Slides como grandes tópicos
• Livros indicados na bibliografia
• Lista de Exercícios
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Aplicações
• Gestão Financeira
• Planejamento Financeiro
• Investimentos
• Finanças Pessoais
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Revisão: Início
8 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Resolução de problemas, usando igualdade de frações, sobre
as quais conhece-se 3 valores dos 4 valores possíveis.
• A partir desses 3 valores é possível montar uma equação, de
primeiro grau, com uma incógnita.
• Os valores conhecidos podem ser diretamente proporcionais,
ou seja, a medida que um valor aumenta, espera-se que o
outro também aumente, mantendo a proporção
• Ou, podem ser inversamente proporcionais: a medida que um
aumenta o outro diminui.
Regra de Três Simples
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• Se um produto custa R$ 400,00 e teve um desconto
de R$ 30,00 representa que percentual de desconto?
Porcentagens com Regra de Três
Reais (R$) Porcentagem
400,00 100%
30,00 X
10 Profa. Msc. Érica Siqueira
• (SóMatemática) Com uma área de absorção de raios
solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a
energia solar consegue produzir 400 watts por hora
de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2,
qual será a energia produzida?
Diretamente Proporcional
Área Energia
1,2 400
1,5 X
11 Profa. Msc. Érica Siqueira
• (Globo) Um atleta, com velocidade constante de
8km/h, leva 50 minutos para percorrer um quarteirão.
Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma
constante, quanto tempo ele levará para percorrer
esse mesmo quarteirão?
Inversamente Proporcionais
Velocidade (km/h) Tempo (minutos)
8 50
16 X
12 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Enquanto a regra de três simples envolve até 2
grandezas, velocidade e tempo, por exemplo, a regra
de três composta envolve 3 ou mais grandezas direta
ou indiretamente.
• A forma de resolução é montar uma série de regra de
três simples
Regra de Três Composta
13 Profa. Msc. Érica Siqueira
• (Globo) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias,
trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia
que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em
20 dias.
Exemplo Regra de Três Composta
14 Profa. Msc. Érica Siqueira
• A porcentagem é uma maneira de expressar um
número como parte de um todo.
• Para calculá-la, damos ao todo o valor de 100%.
• Por exemplo, digamos que você tenha 10 reais
(=100%).
• Se você gastar 2, então você gastou 2/10 × 100% =
20% dos seus 10 reais, e ficou com apenas 80%
Revisão de Porcentagem
15 Profa. Msc. Érica Siqueira
Taxa Unitária Corresponde à Taxa Percentual
0,05 = 5%
0,5 = 50%
0,8 = 80%
1 = 100%
Taxas Unitárias e Percentuais
16 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Dessa forma, 20% = 0,20 ou 30% = 0,3 e 5%=0,05
• Para achar o valor correspondente, basta multiplicar
pela porcentagem, sem necessidade de usar a regra
de 3
• Por exemplo: 10% de R$ 1.000
• 0,10 * 1000 = R$ 100,00
O percentual de um valor
17 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Por outro lado, para achar o percentual, basta dividir a parte pelo
todo, também sem necessidade de usar regra de três.
• Exemplo: Se há um grupo de 1000 pessoas, das quais 485 são
universitárias, qual o percentual de universitários?
• Parte = 485
• Todo = 1000
• O primeiro passo é dividir a parte pelo todo
• 485 / 1000 = 0,485
• Depois multiplicar por 100 para achar o valor em percentual
• 0,485 x 100 = 48,5%
• 48,5% das pessoas desse grupo são universitárias
Para calcular o percentual
18 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Para somar uma porcentagem ao número original, por
exemplo “200 + 40%”, basta utilizar a fórmula 200 x (1
+ 0.40) = 280
• Exemplos: acrescentar ao preço original um valor de
lucro, comissão ou taxas
Acrescentar um Percentual
19 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Ex: Achar valor final após conceder descontos
• Para retirar um porcentagem basta multiplicar pela
porcentagem restante, por exemplo:
• Se temos 100 caixas, sendo que 40 delas estão
cheias de areia, dizemos que 40% estão cheias, e
que as restantes estão vazias (60 caixas, ou 60%
nesse caso).
• Fórmula = 100 * 0,6 = 60 caixas vazias
Subtrair um Percentual
20 Profa. Msc. Érica Siqueira
Calcule as porcentagens correspondentes:
• 2% de R$ 700
• 40% de 48 m
• 38% de 200 Kg
• 6% de R$ 50
• 37,6% de R$200
• 22,5% de R$60
Exercícios de Porcentagem
21 Profa. Msc. Érica Siqueira
a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?
b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x?
c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?
d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?
e) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?
Exercício de Porcentagem
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Matemática Financeira usando HP12C
(e fórmulas)
23 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Notação Parentizada (infixa)
• 3*5+6*8+2 (depende do PEMDAS)
• Notação Polonesa Reversa (pós-fixa)
• 3 5 * 6 8 * 2 + +
RPN
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• Estudar o valor do dinheiro no tempo
• Conceitos de juro, capital e tempo
• Habilidades matemáticas prévias:
• Porcentagem
• Frações, Potências, Raiz, Log
Observações
25 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Sistema Americano: Ponto para separador decimal
• Sistema Europeu (e brasileiro): Vírgula para
separador decimal
• HP12C vem configurada de fábrica no sistema
americano
• Para ajustar (se preferir, não necessário):
• Calculadora desligada
• Com a tecla “.” (ponto) pressionada ligue a calculadora
Ajustando Casas Decimais na HP12C
26 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Receber uma quantia hoje, equivale a receber uma
quantia maior amanhã (Valor Futuro);
• Receber uma quantia amanhã, equivale a receber
uma quantia menor hoje (Valor Presente).
• E assim surge o estudo do "dinheiro no tempo", cuja
"taxa de juros" representa o fator de correção no
tempo.
Dinheiro no Tempo
27 Profa. Msc. Érica Siqueira
• O Capital é o valor, na data ZERO, aplicado ou
emprestado através de alguma operação financeira.
• Também conhecido como: Principal, Valor Atual,
Valor Presente ou Valor Aplicado.
• Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla
PV nas calculadoras financeiras).
• Excel: Valor Presente
Capital
28 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Remuneração do Capital
• O juro existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver.
• O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
• Representação nas calculadoras financeiras: i
Juro
29 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Tempo decorrido entre a aplicação inicial e o resgate,
também chamado de prazo ou período de
capitalização
• Utiliza-se calendário comercial, na marioria das
vezes, sendo os meses de 30 dias, e anos de 360
dias (12 meses de 30 dias).
• Notação nas calculadoras financeiras: n
• a. a . = ao ano a. b. = ao bimestre a. q. = ao
quadrimestre a. p. = ao período a. m. = ao mês a. t. =
ao trimestre a. s. = ao semestre
• Conversão? Pode?
Tempo
30 Profa. Msc. Érica Siqueira
• É a soma do Capital inicial com juro produzido em
determinado tempo
• O montante é calculado apenas no fim da
capitalização.
• Outras representações: S (de Saldo); VF
(de Valor Futuro); FV (de Future Value)
• VF = VP + J
Montante
31 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Os juros podem ser capitalizados segundo dois
regimes: simples ou compostos.
• JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é
calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.
• JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é
calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou
seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital
inicial e passa a render juros também.
• A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros
compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo,
compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as
aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e
aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos
uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de
curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
Juro Simples e Composto
32 Profa. Msc. Érica Siqueira
• J = C * i * n
• Quanto rende um capital inicial (principal) de $100,00
aplicado à taxa de 5% ao semestre e por um prazo de
2 anos?
• Qual o montante ao final de 2 anos?
Calculando Juros Simples
33 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Determinar o montante, ao fim de 5 meses,
correspondente a uma aplicação no valor de R$
6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros
simples.
• Solução: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. n = 5 meses
• S = P(1 + in)
• S = 6.000 (1 + 0,04×5)
• S = R$ 7.200,00
Cálculo do Montante em Juros Simples
34 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Lançar “n” sempre em DIAS (360 dias por ano)
• Lançar “i” sempre em AO ANO
• Capital no PV (sinal negativo)
• Seguir lançamento para o problema anterior:
-6000 PV
48 i
150 n
F i (disparar a função INT) -> Isso vai exibir o juros
+ (isso vai exibir o montante)
Juros Simples HP12C
35 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o
montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de
juros simples basta inverter a relação anterior, isto é:
• P = S/(1+ in)
Cálculo do Valor Atual Juros Simples
36 Profa. Msc. Érica Siqueira
•
Cálculo da Taxa em Juros Simples
37 Profa. Msc. Érica Siqueira
•
Cálculo do Tempo em Juro Simples
38 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Duas taxas são proporcionais quando seus valores
formam uma proporção com os tempos a elas
referidos, reduzidos à mesma unidade
• No regime de juros simples, “Taxas Proporcionais” e
“Taxas Equivalentes” são consideradas a mesma coi
sa, sendo indiferente a classificação de duas taxas de
juros como proporcionais
ou equivalentes. Este conceito diz mais a respeito
ao regime de juros compostos.
Taxas Proporcionais e Equivalente em JS
39 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo 1
40 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo 2
41 Profa. Msc. Érica Siqueira
Desconto de Duplicata
• Operação conhecida no Brasil como Desconto
comercial ou bancário (por fora).
• Diferentemente do cálculo de juros, que incide sobre
um Capital ou Valor Presente, a taxa de desconto
incide sobre o valor futuro.
• O valor futuro, nesse caso, é conhecido como valor de
face ou valor nominal
• Abate-se o desconto para conhecer o valor presente,
ou, o quanto será pago pelo desconto da duplicata
(antecipação de recebíveis)
42 Profa. Msc. Érica Siqueira
Desconto de Duplicata Juros Simples
• Fórmulas para cálculo:
• Valor do Desconto (D): D = VF.d.n
• Valor presente, abatendo o desconto
• VP = VF * (1 – d *n) onde d é a taxa de desconto
• Exemplo:
• Qual o valor do desconto comercial simples de um
título de R$ 1.600,00, com vencimento para 120 dias,
á taxa de 3% ao mês?
43 Profa. Msc. Érica Siqueira
Resolução
• Dados retirados do problema
• VF = 1.600,00
• n = 120 dias = 4 meses (pois a taxa está em mês)
• d = 2,5% ao mês
• Valor do Desconto (D) =?
• Solução:
• Fórmula D = VF . d . n
• D = 1.600,00 . 0,03 . 4 = 192,00
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