Aplicación de software para la enseñanza de las Ciencias Básicas
Matemáticas parte teórica
En el presente documento se encuentran plasmados una serie de ejercicios de cada uno de los cursos de Matemáticas, los cuales están planteados para opción múltiple, respuesta corta o ensayo.
Cálculo diferencial en una variable
1. El valor de x
x
x 4
3sinlim
0→es:
a) 3
4
b) 4
3−
c) 3
4−
d) 4
3
2. El valor de h
h
h
8)2(lim
3
0
−+→
es:
a) 12 b) 6 c) -3 d) -12 3. Si se cuenta con 1200 cm2 de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta, el volumen máximo de la caja que puede construirse de tal modo es: a) 2000 cm3 b) 1500 cm3 c) 2500 cm3 d) 4000 cm3
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4. La ecuación de la recta tangente a la parábola 2xy = en el punto (-2,4) es: a) 044 =++ yx b) 044 =+− yx c) 044 =−− yx d) 044 =−+ yx
5. Determine cuál de los siguientes números es un número natural, un entero o un número racional.
i) 4
9
6
8 −
ii) ( ) ( )11 −÷−
iii)
−
+3
1
2
1
3
1
2
1
iv) 2
1−π
6. Escriba los siguientes números en orden ascendente (no use calculadora) 81
90, 8, , 90, 9, 9, 88
− − − −
7. El área de un triángulo equilátero se incrementa a razón de 4 min/2in . La razón a la cual se incrementa uno de sus lados cuando el lado mide 5 in es:
a) 38
5
b) 35
8
c) 85
3
d) 53
8
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8. Determine todos los valores de 0A > para los cuales el enunciado es cierto a) si 2 1x − < , entonces 2 4x A− <
b) Si 2x A− < , entonces 2 4 3x − <
9. El conjunto de números para los cuales 65)( 2 +−= xxxf es no negativo es: a) [2,3] b) ( ] [ )+∞∪∞− ,32, c) ( ] [ )+∞∪−∞− ,22, d) ( ] [ )+∞∪−∞− ,23, 10. La energía cinética K de una partícula de masa m que se mueve a una
rapidez v es 2
2
1mvK = . Una partícula con masa 10 gramos tiene, en cierto
momento una velocidad de 30 cm/s y aceleración 5 cm/s2 ¿A qué razón está cambiando la energía cinética en ese momento?
11. Si x
xf1
)( = , entonces =)()( xf n
a) n
n
x
n )!1()1(
+−
b) 1
!( 1)n
n
n
x +−
c) 1
)!1()1( +
+−n
n
x
n
d) 1
1 !)1( +
+−n
n
x
n
12. Un número positivo sumado con el cuadrado de otro da 48. Los números que deben elegirse de tal forma que su producto sea máximo son a) 23, 5 b) 32, 4 c) 12, 6 d) 39, 3
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13. Encuentre )(lim xfx ∞→
si 2
2 34)(
14
x
xxxf
x
x +<<− para toda x>5.
a) -4
b) 4
1
c) 4
1−
d) 4 14. Las desigualdades zyyx ≤≤ , y xz ≤ reunidas implican a) zyx == b) zyx ≤≤ c) zyx ≤< d) Ninguna
15. ¿Cuál es el valor de la asíntota horizontal de la función 2
2
1
1
x
xy
+−= ?
a) y=1 b) y=-1 c) y=0.5 d) y=2
16. El dominio de la función x
xxxf
31)(
2 −+= es:
a) [ )∞,0 b) ( )0,∞− c) ( )∞,0 d) ( )∞∞− ,
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17. Determine 2
2
0 2
tanlim
x
x
x→.
a) 2
1
b) 2 c) 0 d) No existe 18. Sea ))(()( xgfxh = , donde f y g son funciones derivables. Si
4)2(',3)1(',2)1( −==−=− fgg . ¿Cuál es el valor de )1(' −h ? 19. La impedancia Z (en ohms) de un circuito en serie se relaciona con la resistencia R (en ohms) y la reactancia X (en ohms) mediante la ecuación
22 XRZ += . Si R crece 3 ohms/s y X decrece a 2 ohms/s, ¿cuál es la razón de cambio de Z cuando 10=R ohms y 20=X ohms?
a) 35
1
b) 55
1
c) 35
1−
d) 55
1−
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20. El área A de un triángulo con lados de longitudes a y b adyacentes a un ángulo que mide θ es
θsin2
1abA = .
¿Cómo se relaciona dt
dA con
dt
dθ si a y b son constantes?
a) dt
dab
dt
dA θθsin2=
b) dt
dab
dt
dA θθsin2
1=
c) dt
dab
dt
dA θθcos2
1=
d) dt
dab
dt
dA θθcos2=
21. Si 12
5)(lim
4=
−−
→ x
xf
x, entonces =
→)(lim
4xf
x
a) 4 b) 6 c) 7 d) 10
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22. Si u y v son funciones de x y que son diferenciables en 0=x , y que
2)0(',1)0(,3)0(',5)0( =−=−== vvuu , entonces el valor de
u
v
dx
d en 0=x es
a) 25
7
b) 25
13
c) 25
7−
d) 25
13−
23. Si dos resistores de
1R y 2R ohms, se conectan en paralelo en un circuito
eléctrico para hacer un resistor de R ohms, el valor de R puede hallarse con la ecuación
21
111
RRR+= .
Si
1R decrece a razón de 1 ohm/s y 2R aumenta a razón de 0.5 ohms/s. ¿Cuál
es la razón de cambio de R cuando 751 =R ohms y 502 =R ohms? a) sohm / 02.0 b) sohm / 002.0 c) sohm / 0002.0 d) sohm / 00002.0
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24. Dos lados de un triángulo tienen a y b de largo y el ángulo entre ellos es θ. ¿Qué valor de θ maximizará el área del triángulo? a) 0
b) 4
π
c) 2
π
d) π
25. El valor de ππ 3
1coslim
3 −+
→ x
x
x
a) 0 b) 1 c) -1 d) no existe 26. Sólo uno de estos cálculos es correcto. a) ( ) 00lnlim
0=∞−⋅=
+→xx
x
b) ( ) −∞=∞−⋅=
+→0lnlim
0xx
x
c) 1/1
lnlimlnlim
00−=
∞∞−==
++ →→ x
xxx
xx
d) ( ) 0lim/1
/1lim
/1
lnlimlnlim
02
000=−=
−==
++++ →→→→x
x
x
x
xxx
xxxx
27. Si 3)0( =h y 2)0(' =h , calcule el valor de )0('f si xxhxxf 5)(3)( 2 −= .
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28. Sea 1122)( 234 +−+= ttttf . Los valores de t tal que 0)('' <tf son a) 12 <<− t b) 21 << t c) 12 −<<− t d) 1>t o 2−<t 29. Determine los puntos en los cuales la tangente a la curva 23)( uuuf −= es perpendicular a la recta 025 =++ uv . 30. Una partícula se mueve a lo largo de la parábola ( )242 += xy . Cuando pasa por el punto ( )6,7 su coordenada y se está incrementando a razón de 3 unidades por segundo. ¿Con qué velocidad está variando su coordenada x en ese instante? a) -3 unidades/segundo b) 0 unidades/segundo c) 6 unidades/segundo d) 9 unidades/segundo
31. La función L tiene la propiedad de que u
uL1
)(' = para toda 0≠u . La
derivada de ( )12 +uL es
a) 12 +u
u
b) 1
22 +u
u
c) 12 +
−u
u
d) 1
22 +
−u
u
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32. (i) Si k y l son números positivos, muestre que
llk
11
1
11
1
+>
++
(ii) Usando el resultado del ejercicio anterior, muestre que si k y l son números
positivos, entonces )()( lflkf >+ donde 1
)(+
=x
xxf .
33. Una caja de herramientas cae desde lo alto de un edificio, en la que su altura y es pies desde el piso después de t segundos está dado por
216100 ty −= .
(i) Encuentre el tiempo de impacto ∗t , esto es, el valor de 0>t para el cual 0=y .
(ii) Determine la velocidad de impacto, es decir, la velocidad en ∗t .
(iii) El momentum p se define por 32
Wvp = , donde W es el peso en libras y v es
la velocidad en pies por segundo. Encuentre el momentum de impacto para una caja de 20 libras. 34. Derive las siguientes funciones:
(i) 2
246789 25149)(
x
xxxxxxxf
+++++−=
(ii) ( )( )142
132
1
1)(
−
+=t
ttf
35. Pruebe las siguientes afirmaciones acerca de la función 1
1)(
2
3
−−=
x
xxf :
(i) f puede ser definida en 1=x así que f sea continua y diferenciable en ese punto pero no puede decirse lo mismo en 1−=x . (ii) f es creciente en ( ]2,−∞− y decreciente en [ )1,2 −− .
(iii) Si 1−<a , entonces 31
12
3
−≤−−
a
a .
(iv) f es creciente en [ )∞,0 y decreciente en ( ]0,1− . 36. Demuestre que si a, b, c y d son números positivos, entonces
( )( )( )( )2 2 2 21 1 1 116
a b c d
abcd
+ + + +≥ .
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37. En cada uno de los siguientes ejercicios sea A el área de las regiones sombreadas mostradas en las figuras (A) – (D)
(A) (B)
(C) (D) Rectángulo con 1/4 de disco Removido Encuentre la primera y la segunda derivada de A. 38. Sea P el perímetro de las regiones del ejercicio anterior. Encuentre la primera y segunda derivada de P. 39. En cada una de las siguientes gráficas, diga si 0x es un máximo local, un mínimo local, o ninguno de ellos.
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40. Encuentre los puntos de inflexión para nx , donde n es un entero positivo. ¿Cómo depende la respuesta de este valor? 41. ¿Es siempre un punto de inflexión un punto crítico? Argumente su respuesta. 42. Dados n números naaa ,,, 21 ⋯ , encontrar un número x el cual se aproxima mejor a ellos, en el sentido de que la suma de los cuadrados de las diferencias entre x y los n números sea lo más pequeña posible.
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43. De un ejemplo de una función en la que el mínimo local sea mayor o igual que el mínimo local. 44. Es cierto o falso que si )(' rf existe, entonces )()(lim rfxf
rx=
→.
45. Determine 3
3lim
23 −−
→ u
u
u
a) 3
1
b) 32
c) 32
1
d) 3
46. ¿Cuál es el dominio de la función 73
52)(
++=
x
xxf ?
a) no tiene dominio
b)
∞− ,3
7
c)
∞− ,2
5
d) ( )∞,0
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47. Un montón de basura de forma cúbica, está siendo prensado. Sabiendo que el volumen decrece a razón de 2 metros cúbicos por minuto. Hallar la tasa de variación de una arista del cubo cuando el volumen es exactamente 27 metros cúbicos.
a) m/min 27
2−
b) m/min 27
1−
c) m/min 27
1
d) m/min 27
2
48. Un cilindro circular recto varía de tal manera que su radio r crece a una tasa de 3 cm por minuto y su altura h decrece a una tasa de 5 cm por minuto. ¿A qué tasa varía el volumen cuando el radio es de 10 cm y la altura de 8 cm? a) π20− b) π2− c) π2 d) π20
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49. Para las funciones )(),(),( xhxgxf definidas como siguen:
11 para )(
0 para 0
0 11 para 1
sin)(
0 para 0
0 11 para 1
sin)(
3
2
≤≤−=
=
≠≤≤−
=
=
≠≤≤−
=
xxxh
x
xxx
xxg
x
xxx
xxf
¿Cuál de éstas funciones es diferenciable en x=0? a) f y g solamente b) g y h solamente c) f y h solamente d) f solamente
50. Para RRfx
xxxxf →
+++++++= :,
10
)100()2()1()(
1010
101010⋯ , ¿cuál de las
siguientes expresiones es la correcta? a) 0)(lim =
−∞→xf
x
b) 1)(lim =
∞→xf
x
c) ∞=
∞→)(lim xf
x
d) 100)(lim =
−∞→xf
x
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51. Abajo aparece la gráfica de la derivada '( )f x de una función continua ( )f x . ¿En qué intervalos f es decreciente?
a) ( ) ( )0,2 4,∪ +∞
b) ( )2,4
c) ( ) ( )1,3 5,∪ +∞
d) ( ) ( )0,1 3,5∪
52. ¿En qué puntos es continua la función 1
32
y xx
= −−
?
a) ( ),−∞ +∞
b) ( ),0−∞
c) ( )2,+∞
d) 2x ≠
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53. Si ( ) ( )25 3 4g x x+ < − para toda x, el 4
lim ( )x
g x→
es
a) No existe b) 5 c) 0 d) -5 54. Para la desigualdad 2 22xy x y≤ + , ¿cuándo se cumple la igualdad? a) cuando x y> b) cuando x y= c) cuando y x> d) cuando una de las dos es igual a cero
55. La derivada n-èsima de 1
( ) lnf xx
=
es
a) ( ) ( )1 1 !
n
n
n
x
− −
b) ( )
1
1 !n
n
n
x +
−
c) ( ) ( )1
1
1 1 !n
n
n
x
−
−
− −
d) ( ) 1
1
1 !n
n
n
x
+
+
−
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56. 4
1 1 1lim
4 4x x x→
− = −
a) −∞
b) 1
16−
c) 1
16
d) +∞ 57. Determine las funciones f y g tales que ( ) ( )f g x x≠ .
a) 2( ) , ( )f x x g x x= = b) 3 3( ) , ( )f x x g x x= = c) 2( ) , ( )f x x g x x= =
d) 1 1
( ) , ( )f x g xx x
= =
58. ¿Cuál es el valor de 0
1lim , 0
x
x
aa
x→
− > ?
a) ln a b) 0
c) 1
a
d) No existe
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59. El dominio de la función ( )2( ) ln 2 15f x x x= + − es:
a) ( )5,− +∞
b) ( )5,3−
c) ( ) ( ), 5 3,−∞ − ∪ +∞
d) ( )3,+∞
60. ¿Cuál de las siguientes funciones cumple ( ) 21 3 2f x x x+ = − + ?
a) ( )f x x= b) 2( ) 5f x x x= − c) 2( ) 5 6f x x x= − + d) 2( ) 5f x x= + 61. Sea x una cantidad positiva pequeña, ¿cuál de las siguientes
desigualdades es correcta?
a) sin 1xx x e< < − b) sin 1xx x e< < − c) 1 sinxe x x− < < d) sin 1xx e x< − <
62. El valor de ( ) ( ) ( )5 5 5
5 5
1 2limx
x x x n
x n→∞
+ + + + + ++⋯
donde n es un número natural,
es a) 0 b) 1 c) n d) +∞
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63. La solución de la desigualdad ( ) ( )( ) ( )2153234216 2 +<+−−+ xxxx es a) ( )∞− ,7 b) [ ]7,7− c) [ )∞− ,7 d) ( ]7,−∞− 64. Para la función 32)( +−−= xxf , ¿cuánto vale la derivada en el punto
A(2,3)? a) 0 b) 1 c) 3 d) No existe 65. La cantidad de carga Q, en Coulombs (C) que ha pasado por un punto de un alambre hasta el tiempo t (medido en segundos) se expresa por
1262 23 ++−= tttQ . La corriente cuando st 1= es a) 3 A b) 4 A c) 5 A d) 6 A 66. Si ( ) 1 1f x x x= − + − el dominio de f es a) 0x ≥ b) )0,+∞
c) 0x ≤ d) [ ]1,1
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67. Si ( ), ( )d f d es un punto de inflexión de la gráfica de la función
( ) ( )( )( )f x x a x b x c= − − − , entonces el valor de d es
a) 2
a b cd
+ +=
b) 6
a b cd
+ +=
c) 4
a b cd
+ +=
d) 3
a b cd
+ +=
68. ¿Para qué valores de las constantes h y k, la función definida por
( )1
x kf x
hx+=−
, es su propia inversa?
a) Para cualquier h b) Para cualquier k c) Para cualquier valor de h y k d) Para ningún valor de h y k 69. Un globo esférico de juguete se infla con helio. El radio del globo aumenta a razón de 1.5 cm/s, expresar el volumen V del globo como función del tiempo t (en segundos). 70. Una estrella variable es aquella cuyo brillo aumenta y disminuye alternadamente. Para la estrella variable más cercana Delta Céfida, el tiempo entre periodos de brillo máximo es de 5.4 días, el brillo promedio (o magnitud) es 4.0 y su brillo varía en una magnitud de 0.35± . Halle una función que modele el brillo de esta estrella en términos del tiempo.
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Cálculo integral de una variable 1. Una partícula se mueve a lo largo del eje x por la acción de una fuerza que mide 15 2 +x libras en un punto a x pies del origen. El trabajo realizado al moverla desde el origen hasta una distancia de 10 ft es:
a) ftlb ⋅3
5030
b) ftlb ⋅0
c) ftlb ⋅−3
5030
d) ftlb ⋅5030
3
2. El valor medio de xexf =)( en el intervalo [0,2] es:
a) 12
1 2 −e
b) ( )12
1 2 +e
c) ( )12
1 2 −e
d) 12
1 2 +e
3. El área limitada por las curvas 2xy = , xy −= 2 y 0x = es
a) 2
9
b) 6
59
c) 2
11
d) 6
7
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4. ∫ =+−− 822 xx
dx
a) Cx ++− )3(sin 1
b) Cx ++−
3
1sin 1
c) Cx +−− )3(sin 1
d) Cx +−−
3
1sin 1
5. El volumen del sólido generado al rotar la región acotada por la curva
3=+ yx , y los ejes coordenados al rededor del eje x es: a) π45 b) π36 c) π27 d) π9
6. El valor de ∫ ++ 12 xx
xdx es
a) Cx
xx +
+−++ −
3
12tan
3
11ln
2
1 12
b) Cx
xx +
−+++− −
3
12tan
3
11ln
2
1 12
c) Cx
xx +
−+++ −
3
12tan
3
11ln
2
1 12
d) Cx
xx +
−−++− −
3
12tan
3
11ln
2
1 12
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7. Si la curva )(xfy = pasa por el origen y por el punto (1,1), entonces el valor
de ∫1
0)(' dxxf es
a) 1 b) -1 c) 0 d) No existe
8. ∫ + 222 xba
dx donde a y b son reales diferentes de 0
a) Cb
ax
a+arctan
1
b) Ca
bx
b+arctan
1
c) Cb
ax
ab+arctan
1
d) Ca
bx
ab+arctan
1
9. Las gráficas de xxf =)( y 2)( kxxg = se cortan en los puntos (0,0) y
kk
1,
1.
El valor positivo de k de tal forma que el área de la región comprendida entre
las gráficas de esas funciones sea 3
2 es
a) 2
1
b) 2 c) 3
d) 3
1
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10. El aire escapa de un balón a scmtt / 23 32 + para 31 ≤≤ t ¿Cuánto aire escapa durante este periodo? a) 34 cm3 b) 36 cm3 c) 38 cm3 d) 40 cm3 11. Una fuerza xxF 3)( −= newton actúa sobre una partícula entre las posiciones x = 1 y x = 0. ¿Cuál es el cambio en la energía cinética de la partícula entre esas posiciones? a) 1 joule b) 1.5 joule c) 2 joule d) 2.5 joule
12. =−−− ∫∫ dxxdxx2
0
21
0
2 22
a)
−2
12
1 π
b)
+2
12
1 π
c) 2
1π−
d)
+2
13
1 π
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13. Sea nR la región acotada por el eje x, la línea 1=x y la curva nxy = . El
valor de 1R
Rn es
a) 1
1
+n
b) )1(2
1
+n
c) 1
2
+n
d) 2
2
+n
14. =+∫ dxxx 3
a) Cxx ++− 2/3)3)(2(5
2
b) Cxx +−+ 2/3)3)(3(5
2
c) Cxx +++ 2/3)3)(2(5
2
d) Cxx +−− 2/3)2)(3(5
2
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15. Resolver la siguiente integral: dxxxx
x∫ ++−
+3
523
2
a) cx
arctgx +
−+−2
121ln
b) cx
arctgx +
+++2
121ln
c) cx
arctgx +
++−2
121ln
d) cx
arctgx +
−−−2
121ln
16. Encuentre una función f y un número a tales que xdtt
tfx
a
2)(
62
=+ ∫ .
a) 6;)( 3/2 == axxf b) 9;2)( 2/3 == axxf c) 12;2)( 2/3 == axxf d) 9;)( 2/3 == axxf
17. Si ∫− −=t
dtg1
21
2
1)( σσ
, entonces =−− )1()1( gg a) 0
b) 3
22
.
c) 3
2
d) 3
22
.
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18. ( )
( )( ) =++
+++∫
−
dxxx
xxxx22
312
119
93tan1
a) ( )( )211 1tan 3 ln 1
6 1x x C
x
− + + − ++
b) ( )( )211 1tan 3 ln 1
6 1x x C
x
− − + − ++
c) ( )( )211 1tan 3 ln 1
6 1x x C
x
− + + + ++
d) ( )( )211 1tan 3 ln 1
6 1x x C
x
−− + + + ++
19. Si ∫=2
2cos)(x
dttxF , entonces =)(' xF
a) 2cos x b) 2sin x c) 2cos x− d) 2sin x−
20. El valor de )4(f si xxdttf
x
πcos)(
2
0
=∫ es
a) 2
1
b) 4
1
c) 6
1
d) 8
1
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21. Si sec
2
0
1
x
y u du= −∫ , la derivada dy
dxestá dada por
a) 0 b) sec x
c) ( ) 1/221
12u
−−
d) 2sec tanx x
22. El dominio de la función 1
( ) ln
x
f x udu−
= ∫ es
a) 1x > o 1x < − b) 1x < c) 1 0x− < < d) 0x < 23. El valor de b para que el área indicada sea igual a 9 es:
a) 9 b) 27 c) 3 d) 3
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24. El dominio de la función
= ∫
x
tdtxf0
ln)( es
a) ( )0,∞− b) ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞
c) ( )1,0 d) ( )0,1−
25. Si ∫ +=x
dttxF0
21)( , entonces h
hF
h
)(lim
0→ es igual a:
a) 1 b) -1 c) 0 d) 2
26. Si dtt
txxF
x
∫ ++=
2
0
21
2sin2)( entonces =)0(F
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∞
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27. =
−−
−∫ dxbxax
x2222
11
a) Cbx
ax +−−
ln2
1
b) Cax
bx +−−
2
2
ln2
1
c) Cbx
ax +−−
22
22
ln2
1
d) Cax
bx +−−
22
22
ln2
1
28. ∫ =duugug )(')(
a) Cug +)( b) ( ) Cxg +2
)(
c) ( )
Cxg +2
)(2
d) Ninguna
29. Una partícula se mueve a lo largo del eje x con velocidad tttv += 2
2
1)( .Si
está en x = 0 cuando t = 0, la posición al tiempo t está dada por:
a) 23
6
1
2
1)( ttts +=
b) 12
1
6
1)( 2 ++= ttts
c) 23
2
1
6
1)( ttts +=
d) 12
1
6
1)( 23 −+= ttts
30. El área limitada por las gráficas de 32)( −= xxf y 6)( 2 −= xxg se calcula
por medio de:
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a) ( )∫−
−3
3
fg
b) ( )∫−
−3
1
fg
c) ( )∫−
−3
3
gf
d) ( )∫−
−1
3
gf
31. Calcular( )
∫ +−−
dxxx
x
24
22
.
32. Determine duu
u∫
−
1
2
5
71
2.
33. Halle
2
πf de la siguiente información:
i) f es positiva y continua. ii) El área bajo la curva )(xfy = desde 0=x hasta ax = es
aaaa
cos2
sin22
2 π++ .
34. El resultado de x dxπ
∫ es
a) 0
b) ln
xC
x
π
+
c) 1
1
xC
π
π
+
++
d) ln xe Cπ +
35. Dada la gráfica de f en el intervalo indicado, calcular el valor de2
0
( )f x dx∫ .
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36. La región de la figura anterior gira con respecto al eje y. Escriba (no es necesario calcular) el volumen del sólido así generado. 37. ¿Cuál de los siguientes enunciado es verdadero?
a) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx=∫ ∫ ∫
b) 4 ( ) ( ) 4f x dx f x dx=∫ ∫
c) ( )( )
( ) ( )
f x dxf xdx
g x g x dx= ∫∫∫
d) [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫
38. Si 2
0
( ) 3f x dx =∫ y 2
0
( ) 4g x dx = −∫ , el valor de [ ]2
0
3 ( ) 4 ( )f x g x dx+∫ es
a) -1 b) 0 c) -7 d) 7 39. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son ciertas? i) Si f es integrable en [ ],a b , entonces f es continua en [ ],a b .
ii) Si f es continua en [ ],a b , entonces f es integrable en [ ],a b .
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40. ¿Por qué el valor de 1
2
0
sin( )x dx∫ no puede ser 2?
41. Utilizando el método de sustitución se tiene que 2
1
sinsin cos
2
xx xdx C= +∫ y
2
1
cossin cos
2
xx xdx C= − +∫ . ¿A qué se debe la diferencia de resultados?
42. Si 1
0
( ) 3f x dx =∫ y f es par, el valor de 0
1
( )f x dx∫ es
a) -3 b) 0 c) 3 d) 100
43. ¿Cuál es el valor de 2 3
2
2
sinx
x xdx
x e
−+∫ ?
a) 3 b) 0
c) 4
π
d) 2
3
44. Si 5
2
( ) 8f x dx =∫ entonces 2
5
( )f x dx− =∫
a) 8 b) -8 c) 0 d) 3
45. ¿Por qué ln xedx x C
x= +∫ ?
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46. Determine 33u
u du+∫ .
47. El valor de 5000
5001
5000
w dw−∫ es
a) 501.2 10× b) 601 10× c) 0
d) e
48. Verifique 2
cos sin
cos cos
x x x xdx C
x x
+ = +∫ .
49. Determine el área de la región sombreada en la figura.
X= y 2
X= y 3 (1,1)
X
Y
10
1
50. ¿Para qué valores de x es 1
4
240
x
dtt
− <∫ ?
a) ( )0,+∞
b) ( ),1−∞
c) ( )1,1−
d) ( )0,1
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51. ¿Cuál es el planteamiento correcto para integrar la función 3 2
2
3 3( )
4 3
x x xf x
x x
− − +=− +
en [ ]2,5− ?
a) ( )5
2
1x dx−
−∫
b) 5 2
2
2 3
3
x xdx
x−
− −−∫
c) 5 3 2
2
2
3 3
4 3
x x xdx
x x−
− − +− +∫
d) ( ) ( ) ( )1 3 5
2 1 3
1 1 1x dx x dx x dx−
+ + + + +∫ ∫ ∫
52. Calcule ∫ −
3
0 29 x
dx
a) π3
2
b) π2
3
c) π2
1
d) π4
3
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53. Obtenga la longitud de arco de la curva definida por 6
cosh6x
y = desde el
punto 0x = hasta 6x = a) 36 b) ( )6sinh 1
c) 6 d) ( )6cosh 1
54. Determine el valor de ( )
dxx
∫∞
−2
21
1.
a) ∞ b) 0 c) 1 d) -∞
55. Calcule la siguiente integral ∫ dxex x2 .
a) cxxe x ++− )22( 2 b) cxxex +++ )22( 2 c) cxxex +−− )22( 2 d) cxxex ++−− )22( 2
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56. Calcule la siguiente integral ∫ +dx
x24
1
a) cxx +−+22
4ln
2
b) cxx +++22
4ln
2
c) cxx ++
−+
22
4ln
2
d) cxx ++−22
4ln
2
57. Calcule el área de la figura limitada por las curvas , cosy sin x y x= = y
0=x
58. Calcule
3
0
40
sin
lim
x
x
t dt
x→
∫ .
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59. La velocidad de transferencia de datos ( )v x , de un disco dura a un CD en una PC, en KB por segundo se representa en la siguiente gráfica en el intervalo [ ]1,7 segundos. ¿Cuál de los siguientes modelos permite calcular los KB que
se transfirieron en el intervalo citado?
a) 3 5 7
1 3 5
( ) ( ) ( )d d dv x v x v x
dx dx dx+ +
b) 7
1
( )dv x
dx
c) ( )v x dx∫
d) 3 5 7
1 3 5
( ) ( ) ( )v x dx v x dx v x dx+ +∫ ∫ ∫
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60. Un tanque colocado en el ala de un avión jet se forma al hacer girar la
región limitada por la grafica xxy −= 28
1 2 y el eje x, alrededor del eje x. Si x
esta en metros calcule el volumen del tanque.
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Cálculo multivariable 1. Si θφρθφρ cossin),,( =h entonces
φθ∂∂∂ h
2
=
a) θφρ sincos− b) θφρ sincos c) θφρ sinsin d) θφρ coscos 2. Si f y g son funciones escalares diferencíables, ¿cuál de los siguientes enunciados sobre el gradiente es cierto?
a) g
f
g
f
∇∇=
∇
b) gffg ∇⋅∇=∇ )( c) gfgf +∇=+∇ )(
d) 2g
gffg
g
f ∇−∇=
∇
3. El valor promedio de xyxyxf cos),( = sobre el rectángulo R:
10 ,0 ≤≤≤≤ yx π es
a) π1
b) π2
c) π2−
d) π1−
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4. Si B ,
A yC
son vectores, ¿Cuál de los siguientes enunciados tiene sentido? a) CBA
⋅× )(
b) )( CBA
⋅×
c) )( CBA
××
d) )( CBA
×⋅
5. Un vector normal al plano 5=+ yx es a) kji ˆˆˆ −+ b) ji ˆˆ + c) kji ˆˆˆ ++ d) ji ˆˆ + 6. Si kzjyixr ˆˆˆ ++= y rr
= ¿cuál de los siguientes enunciados es verdadero?
a) 2
rr
=∇
b) rnrr
nn 2)(
−=∇ c) rr
=∇ d) rnrr n =∇
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7. El volumen de la región que se encuentra bajo el paraboloide 22yxz += y
arriba del triángulo encerrado por las rectas 0 , == xxy y 2=+ yx en el plano xy es
a) 4
3
b) 4
1
c) 3
4
d) 3
1
8. El ángulo entre los planos 105 =−+ zyx y 132 −=+− zyx es a) 0
b) 2
π
c) π
d) 4
π
9. Los cosenos directores del vector kji ˆ2ˆˆ −+ son respectivamente a) 1, 1, -2
b) 6
2 ,
6
1 ,
6
1
c) 6
2 ,1 ,
6
1 −
d) 6
2- ,
6
1 ,
6
1
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10. Si kjiA ˆˆˆ2 ++=
y kjiB ˆˆ3ˆ4 ++−=
entonces =× BA
a) kji ˆ10ˆ6ˆ2 +− b) kji ˆ10ˆ6ˆ2 −− c) kji ˆ10ˆ6ˆ2 −− d) kji ˆ10ˆ6ˆ2 +−− 11. La rapidez de una partícula que se mueve a lo largo de la trayectoria
ktjtittr ˆ2ˆ)1(ˆ)1()( 2 +−++= en 1=t es
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 12. Si kzjxyixzyxF ˆˆ3ˆ),,( ++=
entonces la divergencia en le punto (0,1,0) es
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 13. Suponer que 0=⋅∇ F
y que 0=⋅∇ G
¿Cuál de las siguientes tiene
necesariamente divergencia cero? a) GF
+
b) GF
×
c) )(FGF
⋅
d) Ninguna
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14. Al intercambiar le orden de integración de ∫ ∫ +4
1 1
22 )(x
dydxyx queda:
a) ∫ ∫ +x
dydxyx1
4
1
22 )(
b) ∫ ∫ +2
1
422
2)(
ydxdyyx
c) ∫ ∫ +4 2
1
22
2)(
ydxdyyx
d) ∫ ∫ +x
dydxyx1
4
1
22 )(
15. Una ecuación para el plano tangente a la gráfica de
22),(
yx
eyxf
x
+=
en x = 1, y = 2 es
a) )2(25
4)1(
25
3
5−−−+= y
ex
eez
b) )2(25
4)1(
25
3
5−−++= y
ex
eez
c) )2(25
4)1(
25
3
5−+−+= y
ex
eez
d) )2(25
4)1(
25
3
5++−+= y
ex
eez
16. El valor de ∫ ∫ ∫2/
0
2/
0
1
0
2 sinπ π
φθρφρ ddd es
a) 6
π
b) 5
π
c) 4
π
d) 3
π
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17. Al escribir ∫∫∫E yzdV donde 20,20,10:),,( +≤≤≤≤≤≤= zxzyzzyxE
como una integral triple iterada y calcular su valor da:
a) ∫ ∫ ∫+
=1
0
2
0
2
0 5
7z z
yzdxdydz
b) ∫ ∫ ∫+
=1
0
2
0
2
0 5
3z z
yzdydxdz
c) ∫ ∫ ∫+
=1
0
2
0
2
0 5
7z z
yzdzdxdy
d) ∫ ∫ ∫+
=1
0
2
0
2
0 3
5z z
yzdzdydx
18. Para una ( ) KFjFiFzyxF 321,, ++= , el valor del determinante de la matriz
∂∂
∂∂
∂∂
321 FFFzyx
kii
corresponde a:
a) El gradiente de F
b) La derivada direccional de F
c) El rotacional de F d) La divergencia de F
19. La derivada parcial, rvru ∂∂∂∂ /3 , de rtvu sin= es:
a) rttrvru tan/ 23 =∂∂∂∂
b) rttrvru cos/ 23 −=∂∂∂∂
c) rttrvru sin/ 23 =∂∂∂∂ d) Ninguna de las anteriores
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20. ¿Cuál es la derivada direccional de 224),,( xzyzxxyxf += en el punto
)1,2,1( −− y en la dirección kji
22 −− .
a) 3
73
b) 7
73
c) 3
37
d) 7
37
21. Para kzjxyixztF
642)( −+ y 322
23),( yyxxyxg ++= , ¿cuál de las siguientes operaciones no es válida? a) F
×∇
b) g∇
c) F
⋅∇
d) g×∇
22. Una lámina tiene una densidad de masa por unidad de área 2
),( xyx =ρ . Entonces, la masa de la lámina que ocupa la región R limitada por la parábola
22 xy −= y la recta xy = se calcula mediante la expresión:
a) ∫ ∫=
−=
−=
=
1
2
2
2
2x
x
xy
xy
dydxx
b) ∫ ∫=
=
−=
=
1
0
2
0
2
2x
x
xy
y
dydxx
c) ∫ ∫=
=
−=
=
1
0
2
2
2x
x
xy
xy
dydxx
d) ( )∫ ∫=
=
−=
=
−1
0
2
22
2
2
x
x
xy
xy
xdydxxx
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23. La ecuación del plano perpendicular al plano yz que contenga al punto
(2,1,1) y que forme un ángulo
3
2arccos con el plano 0322 =−+− zyx viene
dada por: a) 0134 =−− zy b) 2=x c) 1=y d) 0586 =+− yz 24. El valor más grande de a que cumple la relación
∫ ∫ ∫−− −−
=1
0
4
0
42 2
15
4xa yx
adzdydx
es a) 3
b) 3
13
c) 13
3
d) 1 25. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie 2132
222 =++ zyx en el punto (4,-1,1). a) 21324 −=−+ zyx b) 213422 =++ zyx c) 21324 =+− zyx d) 142 =+− zyx
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26. Los valores de m y n para los cuales el plano 823 =++ zmyx es tangente a
432 =+ zxy en el punto (1,n,1) son
a) m=3, n=2 b) m=-3, n=2 c) m=3, n=1 d) m=1, n=3 27. Siendo 2
2),,( zexzzyxy+=ϕ la razón de cambio de ϕ en la dirección
kji −+ 32 en (2,1,1) es:
a) 14
8e−
b) 14
58
e−
c) 14
5e
d) 14
e
28. Dado 22
23),(
yx
yxyxf
+= , hallar
( ) ( )),(lim
0,0,yxf
yx →.
a) 0
b) 2
1
c) 1 d) No existe
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29. Seleccione que gráfica corresponde a la función vectorial ktjtsenitcos)t(r ++= 4 para π40 ≤≤ t .
-1 -0.5 0 0.5 1
-1 -0.5 0 0.5 1 0
5
10
15
a)
-1-0.5
00.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1-15
-10
-5
0
b)
-1-0.5
00.5
1
-4
-2
0
2
40
5
10
15
c)
-1-0.5
00.5
1
-4
-2
0
2
40
5
10
15
d)
30. Un vector ortogonal unitario al plano 126 =+− zyx es a) (1,-6,1)
b) )1,6,1(
38
1 −
c) )1,6,1(
38
1 −
d) (-1,6,-1)
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31. Si 222
1),,(
zyxzyxf
++=
entonces =∇×∇ )( f
a) kji ++ b) j c) 0
d) kji +−
32. La longitud de la curva π≤≤= tttttr 0 );,sin2,cos2()( es
a) 2π
b) 3π c) π2
d) 5π 33. El valor de
y
zyxzyyx
y ∆++−∆+++
→∆
))(3()(3lim
22
0
es a) zyx )(2 + b) .2 yzx + c) zyx )2( + d) yzx 22 +
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34. Calcular la distancia del punto (1,2,3) al plano 2x – y + z = 4
a) 14
7
b) 14
1
c) 14
6
d) 14
3
35. Resuelva la siguiente integral triple:
dzθddrcosθr4
0
2
π
0
2
0∫ ∫ ∫
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 36. El vector velocidad y el vector aceleración de una partícula que se mueve a
lo largo de la curva C del plano descrita por jt
it
tr2
cos22
sin2)( +=
a) jt
it
tajt
it
tv2
cos2
1
2sin
2
1)(,
2sin
2cos)( +−=+=
b) jt
it
tajt
it
tv2
cos2
1
2sin
2
1)(,
2sin
2cos)( +−=−=
c) jt
it
tajt
it
tv2
cos2
1
2sin
2
1)(,
2sin
2cos)( −−=−=
d) jt
it
tajt
it
tv2
cos2
1
2sin
2
1)(,
2sin
2cos)( −=−=
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37. El valor de ∫ ∫−
+1
0
1
0
2
22x
yx dydxe es
a) ( )18
1 −eπ
b) ( )14
1 −eπ
c) ( )1−eπ d) ( )12 −eπ 38. El valor de
( ) ( )( )235
2,5,54lim xyyxx
yx−+
−→ es
a) 2025 b) 4225 c) -2025 d) -4225 39. Una carga eléctrica está distribuida sobre el disco unitario 1
22 ≤+ yx de
modo que la densidad de carga en ( )yx, es ( ) 221, yxyx ++=σ en 2/mC .
Determine la carga total sobre el disco. 40. Encuentre N de tal manera que ˆˆ ˆx xF yze i /j ye k= + +
sea un campo vectorial
irrotacional: a) y/ xe= b) x/ ze= c) z/ xe= d) x/ ye=
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41. Las funciones tangente y cotangente forman áreas iguales intersectadas con el eje de las abcisas a lo largo de los números reales. La expresión que determina el área de acotación en un período es:
a) cos /sin
0 tan
x x
x
dydx
π
∫ ∫
b) /4 tan /2 cot
0 0 /4 0
2
x x
dydx dydx
π π
π
+
∫ ∫ ∫ ∫
c) cot
0 tan
2
x
x
dydx
π ∫ ∫
d) /4 tan /2 cot
0 0 /4 0
x x
dydx dydx
π π
π
+∫ ∫ ∫ ∫
42. Sean la superficie ( , )z f x y= y P un punto de ella. Entonces la única proposición falsa es: a) ( )f P∇ indica la dirección de máximo crecimiento de f
b) La derivada direccional ( )df P
ds representa la pendiente de una tangente a la
superficie en P c) El vector ( )f P∇ es normal a la superficie en P d) El vector ( )f P∇ está en el plano ( )z f P= 43. El área de la región limitada por la curva 2 2 16x y+ = y 2 6y x= en el plano xy es
a) 16 6
43
π +
b) ( )23 4
3π+
c) 6.9 d) 9.5
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44. El área del paralelogramo que tiene por lados adyacentes a los vectores kji ++++++++ 33 y ki ++++3 es
a) 20
b) 20 c) 40
d) 90 45. Hallar el volumen del paralelepípedo que tiene como lados adyacentes los siguientes vectores kjiwkjvkjiu ++++++++====−−−−====++++−−−−==== 3,22,53 a) 36 b) 34 c) 38 d) 32
46. Si
++++====
y
xyxf
1sin),( , calcule
x
f
∂∂∂∂∂∂∂∂
y y
f
∂∂∂∂∂∂∂∂
a) (((( ))))211cos,
1
1
1cos
y
x
y
x
yy
x
++++⋅⋅⋅⋅
++++−−−−
++++⋅⋅⋅⋅
++++
b) (((( ))))211sin,
1
1
1sin
y
x
y
x
yy
x
++++⋅⋅⋅⋅
++++++++⋅⋅⋅⋅
++++
c) (((( ))))211cot,
1
1
1cot
y
x
y
x
yy
x
++++⋅⋅⋅⋅
++++++++⋅⋅⋅⋅
++++
d) (((( ))))211tan,
1
1
1tan
y
x
y
x
yy
x
++++⋅⋅⋅⋅
++++++++⋅⋅⋅⋅
++++
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47. Las derivadas parciales en x y en y de la función 22),( yxyxf ++++==== es
a) 0,2
22====
++++==== yx f
yx
xf
b) 2222
2,
2
yx
yf
yxf yx
++++====
++++====
c) 2222
,yx
yf
yx
xf yx
++++====
++++====
d) 22
2,0
yx
yff yx
++++========
48. El punto donde la recta tztytx ++++====−−−−====++++==== 1,2,23
8 intersecta al plano
6623 ====++++++++ zyx es:
a)
0,2,
3
2
b)
−−−− 2,2,3
14
c)
−−−− 0,2,3
2
d)
−−−− 0,2,3
2
49. La longitud de la curva dada por teytex
ttsin,cos ======== para ππππ≤≤≤≤≤≤≤≤ t0 es
a) ππππ−−−−2e
b) (((( ))))12 −−−−eππππ c) 1−−−−ππππe d) (((( ))))12 −−−−ππππe
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50. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones acerca de la función )2sin( 21 nnxxxu ⋯++= es cierta?
a) (((( ))))ni
nxxxx
u⋯++++++++====
∂∂∂∂∂∂∂∂
21 2cos
b) (((( ))))ni
nxxxix
u⋯++++++++====
∂∂∂∂∂∂∂∂
21 2cos
c) (((( ))))ni
nxxxx
u⋯++++++++−−−−====
∂∂∂∂∂∂∂∂
21 2sin
d) (((( ))))ni
nxxxix
u⋯++++++++−−−−====
∂∂∂∂∂∂∂∂
21 2sin
51. ¿Cuál es el dominio de 492222 −−−−++++++++−−−−−−−−==== yxyxz ?
a) 3
22 ≥≥≥≥++++ yx b) 43
22 ≤≤≤≤++++≤≤≤≤ yx c) 94
22 ≤≤≤≤++++≤≤≤≤ yx d) Ninguna
52. Una integral equivalente a dxdyey
x
∫∫∫∫ ∫∫∫∫1
0
3
3
2
es
a) dydxe
x
x
∫∫∫∫ ∫∫∫∫3
0
3/
0
2
b) dydye
x
x
∫∫∫∫ ∫∫∫∫1
0
3/
0
2
c) dxdye
y
x
∫∫∫∫ ∫∫∫∫3
0
3/
0
2
d) dydye
y
y
∫∫∫∫ ∫∫∫∫1
0
3/
0
2
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53. ¿Cuál es el dominio de la función 2
2
2
1
2
11n
n
a
x
a
xu ⋯−−−−−−−−==== ?
a) 12
2
2
2
2
2
2
1
2
1 ≤≤≤≤++++++++++++n
n
a
x
a
x
a
x⋯
b) 12
2
2
2
2
2
2
1
2
1 ≥≥≥≥++++++++++++n
n
a
x
a
x
a
x⋯
c) 12
2
2
2
2
2
2
1
2
1 ≤≤≤≤++++++++−−−−n
n
a
x
a
x
a
x⋯
d) 12
2
2
2
2
2
2
1
2
1 ≥≥≥≥++++++++−−−−n
n
a
x
a
x
a
x⋯
54. ¿Cuánto tiempo se mantiene en el aire un balón lanzado desde el suelo a 57 mph con un ángulo de 68º? (1 milla ≈ 5280 pies). a) 4.7801t s≈ b) 15.296t s≈ c) 76.481t s≈ d) 3.6241t s≈ 55. Si u, v y w son vectores y su triple producto escalar cumple que
( ) 0w u v⋅ × = , entonces los vectores son
a) ortogonales b) paralelos c) idénticos d) coplanares
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56. Calcule el volumen de la pirámide formada por el plano 2x-3y+6z-12=0 y los planos coordenados a) 16 b) 8 c) -16 d) -8 57. Determine si las dos rectas siguientes se cortan y, si lo hacen ¿cuál es su punto de intersección?
tztytx −=−=+= 5 ,41 ,21 vzvyvx 41 ,61 ,4 +=+=−=
a) No se cortan b) Se cortan en el punto (5, -7, 3) c) Se cortan en el punto (5, -7, -3) d) Se cortan en el punto (5, 7, 3) 58. Una lámina tiene la forma de una región R en el plano xy, acotada por las gráficas de x=y2 y x = 4. Encuentre el centro de masa suponiendo que la densidad en el punto P(x,y) es directamente proporcional a la distancia de P al eje y.
59. Si 2xyez = , cos , sin x t t y t t= = , calcule dt
dz
en 2
π=t.
60. Una pelota se mueve sobre una superficie ( , )z f x y= . Los puntos P y Q de la superficie en los cuales, respectivamente, la pelota no se mueve y resbala más rápidamente son aquellos donde se cumple que: a) ( ) ( ) , ( ) 0u uD f P P D f Q= − ∇ =
b) ( ) 0, ( ) 0uD f P f Q> ∇ =
c) ( ) 0, ( ) 0uf P D f Q∇ = <
d) ( ) 0, ( ) ( )u uD f P D f Q f Q= = ∇
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Álgebra lineal 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el sistema dado?
10333
6222
3
=++=++
=++
zyx
zyx
zyx
a) Tiene una solución única b) Es inconsistente c) Tiene un número infinito de soluciones d) Ninguna
2. La matriz inversa de
01
21 es
a)
02
11
2
1
b)
−
11
20
2
1
c)
−−
−11
20
2
1
d) No tiene inversa
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3. Una matriz cuadrada A se dice que es simétrica si jiij aa = los números α
y β para los cuales la matriz
−42
265
32
β
α
es simétrica son a) 5,3 == βα b) 3,5 == βα c) 3,5 −=−= βα d) 3,3 −== βα
4. =
− 60
14
21
32
a)
− 114
208
b)
−−
114
208
c)
−114
208
d)
−−114
208
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5. Diga cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el sistema
476
354
=−=−
yx
yx
a) No tiene solución porque
−−76
54 no es invertible
b) Tiene la solución )2/1,1( −−
c) Si tuviera una solución, se encontraría resolviendo
=
−−
4
3
76
54
y
x
d) Su solución es
−−
4
3
76
54
6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la matriz
−−=
32
43A es
cierta? a) A es simétrica b) A es diagonal c) A es invertible d) A es su propia inversa 7. ¿Cuál de los siguientes es 0 para toda a y b?
a) ab
ba
−
b) ba
ba
−−
c) bb
aa
−
d) los determinantes no se pueden establecer porque no se conocen los valores de a y b
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8. Si
−
−
=
1000
15200
4230
6512
A entonces =Adet
a) 12 b) -12 c) 6 d) -6
9. Si
−−
=23
12A entonces el resultado de nA cuando n es par es:
a)
00
11
b)
10
01
c)
−−23
12
d)
−− 23
12
10. Si IAA =+ 22 entonces =−1A a) A+2 b) A+2I c) A-2I d) No se puede determinar
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11. La inversa de la matriz
−−−−
153
132
543
es:
a)
−−−−
131
7185
11298
b)
−−−
−−
131
7185
11298
c)
−−−−−
131
7185
11298
d)
−−−
131
7185
11298
12. Si n
A
=
λλ0
1 entonces =nA
a)
−10 n
nn
λλλ
b)
−
n
nnn
λλλ
0
1
c)
−
n
nnn
λλλ
0
1
d)
−
λλλ
0
1nnn
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13. Si 2=dc
ba entonces
dcdc
baba
432
432
++++
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 14. La solución del sistema
432
963
21
21
=+−=+xx
xx
es
a)
7
10,
7
1
b)
10
7,
7
1
c)
7
10,7
d)
10
7,7
15. El sistema
642
963
21
21
=+−=−xx
xx
es a) Homogéneo b) Compatible c) Equivalente d) Incompatible
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16. La solución del sistema
04
032
321
321
=+−=−+
xxx
xxx
es
a)
1,
3
7,
3
13x , x3 arbitraria
b)
33 ,
3
7,
3
1xx , x3 arbitraria
c)
333 ,
3
7,
3
1xxx , x3 arbitraria
d)
33 ,
3
7,
3
1xx , x3 arbitraria
17. Determine la siguiente operación de matrices 5A +3B
−−
−=
−=4212
8510
1258
,
564
591
1264
BA
a)
−−=+
373616
496035
961544
35 BA
b)
−−=+
373616
496035
961544
35 BA
c)
−−=+
373616
496035
961556
35 BA
d)
=+373616
496035
961544
35 BA
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18. ¿Cuál de los siguientes sistemas es homogéneo?
a) 0552
0634
123
321
=++=−−+
xxx
xxx
b) 4834
0102
312
213
+=++=−+−
xxx
xxx
c) 1552
0634
123
321
=++=−−+
xxx
xxx
d) 4834
1102
312
1213
+=++−+=−+−
xxx
xxxx
19. Con base en las operaciones de matrices, ¿cuál de las siguientes opciones es equivalente a la expresión ( )2BA + ? a) 22
2 BBAA ++ b) 22 BBAABA +++ c) 22 BABA ++ d) 22 BA + 20. Un sistema de ecuaciones lineales con más incógnitas que ecuaciones tendrá siempre: a) Una infinidad de soluciones b) Ninguna solución c) Solución única d) Ninguna de las anteriores
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21. Si a y b son números reales, y, a y b son diferentes de cero en la matriz
−=
ab
baA
entonces el enunciado verdadero es :
a)
− ab
ba
es la transpuesta de A b) si a = b la matriz no tiene inversa
c)
−+ ab
ba
ba 22
1
es la inversa de A
d)
−+ ab
ba
ba 22
1
es la inversa de A 22. Si A, B, C y X son matrices cuadradas y θ=− AXBC (donde θ es la matriz cero), ¿cuál de las siguientes expresiones puede obtenerse a partir de ésta? a) BXAC = b) 11 −− = CBXA c) 11 −−= CBAX d) AXCB =
23. Sea
−=
10
21A . Si IBA =3 , ¿cuál es el valor del elemento 12b ?
a) -1 b) 2 c) 1 d) 0
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24. Considerando que A, B y C son matrices, determina cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: a) Si existe AB entonces BA existe b) Si AB=I entonces BA=I c) Si existe AB y AC entonces A(B+C)=AB+AC d) SI existe AB y AB=BA entonces 222
2)( BABABA ++=+
25. Si
−=
11
01A , cuál de las siguientes respuestas corresponde a la
operación nAAAAS ++++= ⋯32
a)
+−
nnnn
2
)1(0
b)
+
nnnn
2
)1(0
c)
−−
nnnn
2
)1(0
d)
−
nnnn
2
)1(0
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26. Sabiendo que 3
333231
232221
131211
=aaa
aaa
aaa
y aplicando las propiedades de los
determinantes. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
a) 3
323331
222321
121311
−=aaa
aaa
aaa
b) 6
222 333231
232221
131211
−=−−−aaa
aaa
aaa
c) 3
332313
322212
312111
=aaa
aaa
aaa
d) 12424242
131211
132312221121
133231
−=−−−aaa
aaaaaa
aaa
27. Encuentre el determinante de la matriz nA definida por:
1 2 3
1 0 3
1 2 0
-1 -2 -3 0
n
n
n
A n
− = − −
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮
⋯
.
a) ( )!1+n b) ( )!1−n c) !n d) )!1( +nn
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28. El valor de
k
n
λ
λλ
0
0
2
1
⋱ donde los ceros significan que todos los
elementos de la matriz que se encuentran fuera de la diagonal principal son nulos.
a)
k
n
k
k
λ
λλ
0
0
2
1
⋱
b)
n
k
λ
λλ
0
0
2
1
⋱
c)
nλ
λ
0
01
2
⋱
d)
n0
2
01
⋱
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29. El valor del determinante
0111
1011
1101
1110
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
es a) ( ) ( )11 +− n
n b) ( ) ( )11
1 −− −n
n c) ( ) ( )11
1 +− −n
n d) ( ) ( )11 −− n
n 30. ¿Cuál de las siguientes agrupaciones no forma un conjunto ortogonal?
a) (2,0,1,3),(-2,4,1,1),(-3,-2,0,2) b) (3,1),(2,-6) c) (4,-1,0),(2,3,-5),(-8,7,1) d) (a,0),(0,b) en donde a y b son números dados 31. Sean A y B matrices 3 3× . Si 4 400A = y 1 ( ) 36A Adj B− = , entonces el valor
de B es
a) 60 b) 30 c) 45 d) 15
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32. Si A y B son matrices de orden n, entonces la única propiedad que es verdadera es a) det( ) det( )kA k A= b) det( ) det( )mA m A= c) det( ) det( ) det( )A B A B+ = +
d) [ ] 1det( ( )) det( )
nadj A A
−=
33. Calcule el determinante de
−−−−1393
402
431
a) -6 b) 6 c) 5 d) -5 34. ¿Para cuál de las siguientes matrices:
1 2 3 4
0 2 10 5 5 3 4 1, , ,
3 1 4 2 1 2 8 2A A A A
− = = = = − −
El sistema 0====XAi tiene infinitas soluciones? a)
1A y 2A
b)
1A y 4A
c)
2A y 4A
d)
1A y 3A
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35. El valor de
2524232221
2019181716
1514131211
109876
54321
es
a) 251997 ⋅⋅⋅ b) 1 c) 0 d) 5
36. Si
−−−−−−−−
====
−−−−====
105
321,
40
31BA y
−−−−====
017
542C . Si CABD 2++++====
entonces 12d es
a) 0 b) -6 c) 6 d) 12
37. La solución del sistema 221
121
53
2
bxx
bxx
====++++====++++
para
====
7
3
2
1
b
b es
a) 2,1 21 −−−−======== xx b) 2,1 21 ======== xx c) 2,1 21 ====−−−−==== xx d) 2,1 21 −−−−====−−−−==== xx
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38. Supóngase que A y B son matrices de 4 x 5 y que C, D y E son matrices de 5 x 2, 4 x 2 y 5 x 4, respectivamente. ¿Cuál de las siguientes expresiones no está definida? a) AC+D b) E(A-B) c) C(A+B) d) E(AC) 39. Sean A y B matrices no nulas. De las propiedades siguientes, la única con la cual no se cumple ( ) 222
ABAB = , es: a) A y B son matrices diagonales b) BAAB = c) 0=AB d) 1−= BA
40. ¿Cuál es el valor de
nxxxx
xxxx
xxxx
xxxx
++++
++++++++
++++
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
3
2
1
?
a)
++++++++++++++++++++n
xxxxn ⋯
321!
b)
++++++++++++++++++++n
xxxxn ⋯
321
c) (((( ))))
++++++++++++++++++++−−−−n
xxxxn ⋯
321!1
d)
++++++++++++−−−−++++n
xxxxn ⋯
321!
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41. El valor del determinante
1 1 1
a b c
b c c a a b+ + + es
a) 1 a b c+ + +
b) 0
c) a b c+ +
d) 1
42. Dada la matriz
1 1 1
1 1 1
1 1
x
A
x
+ =
. Determine el valor o valores de x que
hacen que A no sea invertible.
a) 0, 2
b) 0, -1
c) 1, 2
d) 0, 1
43. Para cuales valores de k el siguiente sistema no tiene solución.
104
532
=+=+−
kyx
yx
a) 6−≠k b) 6k = c) 6≠k d) 6k = −
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44. Sea A=
000
00
0
c
ba
donde a, b y c son tres números reales arbitrarios.
Calcule A n para todo número natural 2n > .
a)
c
b
a
00
00
00
b)
000
000
000
c)
000
00
0
c
ba
d)
0
00
000
ba
c
45. ¿Para qué valor de k la matriz
=k
A
02
101
023
su rango es diferente de 3?
a) 4k = b) 1k = − c) 2k = d) 0k = 46. Si C es una matriz cuadrada de orden 1n > y CT es su transpuesta, tal que CCT = CTC=I (matiz identidad), la matriz C se denomina “matriz ortogonal”. Determine el valor absoluto del determinante de C. a) 0 b) 2 c) -1 d) 1
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47. Sea 1 1
1 1A
=
, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?
a) 1
1
xA
y =
, representa un sistema consistente determinado
b) x
Ay = Ι
, nunca tiene solución
c) 0x
Ay =
, representa un sistema homogéneo
d) 3
1
xA
y =
, representa un sistema inconsistente
48. Para la siguiente matriz 2 1 13 3 31 1 13 6 61 1 13 6 6
A
−−−− = −= −= −= − − −− −− −− −
¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) A es triangular superior
b) A es idempotente c) A es antisimétrica
d) A es ortogonal
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49. Si 0
110
det =+−
= xbxx
axba
A , ¿cuál es el valor de x ?
a) 0 b) a c) b d) a y b
50. El valor de 5det B , si
=121
211
101
B es:
a) -32 b) 32 c) -2 d) 2 51. En la siguiente matriz, ¿qué condición debe cumplir α para que la matriz tenga inversa?
=α
α00
01
021
A
a) 2,0 == αα b) 2,0 ≠≠ αα c) 2,0 −== αα d) Es una matriz inconsistente
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52. Sean
−=
13
52A y
−=
kB
3
54, ¿Qué valor (es) de k, hacen que AB=BA?
a) 0k = b) 5k = − c) 5k = d) No existe. 53. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a) AAt detdet −= b) ( ) AA detdet −=− c) Si A es invertible, entonces AA detdet 1 =− d) 0det ≥AAt 54. Calcule el valor de los siguientes determinantes.
a) 1
1
n n
n n
+−
b) cos sin
sin cos
α αα α
−
c) 1 log
log 1
b
a
a
b
55. Calcule
1 1 1 1
1 2 1 1
1 1 3 1
1 1 1 1
x
x
n x
−−
+ −
⋯
⋯
⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯
.
56. Determine
1
2
4
2n
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
++
+
+
⋯
⋯
⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯
.
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57. Investigue si el sistema es determinado (tiene una solución única) , indeterminado (tiene una cantidad infinita de soluciones o contradictorio (no tiene solución).
a) 4 6 2
6 9 3
x y
x y
+ =+ =
b) 9 6
10 10
ax y
x by
− =− =
58. Halle el valor de α de tal forma que el sistema dado tenga solución:
3 0
2 3 5
7 9
x y z
x y z
x y z α
+ + =+ − =
− + + =
59. Con los datos del siguiente diagrama (donde los porcentajes están dados en peso), encuentre los posibles valores de la corriente M1, M2, M3, si M4 = 100 Kg
60. Encuentre la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales
2 4 5 12
5 6 8 15
2 4 4 20
x y z
x y z
x y z
− + =− − − =
+ + =
a) -46.9, 23.92, 25.9 b) -46.9, -4.05, 24.4 c) -46.9, 4.05, 24.4 d) No tiene
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Ecuaciones diferenciales
1. ¿Cuál de los siguientes funciones es una solución de la ecuación 2' xyxy =−
a) xy 3= b) 23 xxy += c) 23 xxy −=
d) 2
2
13 xxy −=
2. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones de primer orden no lineal no es homogénea? a) 0)2( 22 =+− xydydxyx b) 0)2( 2 =+− xydydxyx c) 023' 22 =−− yxyyx
d) xx
yy
dx
dy
x
yx += sinsin
3. El valor de n para el cual la ecuación
0)()( 2322 =+++ dyyxxdxynxxy es exacta es a) n=0 b) n=1 c) n=2 d) n=3
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4. Una solución de la ecuación 0')('' 2121 =++− mmymmy
cuando 21 mm ≠
a) 21
21
mm
eey
xmxm
−+=
b) 21
21
mm
eey
xmxm
+−=
−
c) 1 2
1 2
m x m xe e
ym m
− +=+
d) 21
21
mm
eey
xmxm
−−=
−
5. ¿Cuál de las siguientes funciones da el factor integrante para la ecuación
0')1( 232 =++ yyxyx
a) 2
1
xy
b) yx 2
1
c) 3
1
xy
d) yx3
1
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6. Las raíces de la ecuación característica son imm +=−= 3,2
121 y im −= 33 .
La ecuación diferencial correspondiente es a) 010'14''11'''2 =++− yyyy b) 010'14''11'''2 =+−+ yyyy c) 010'14''11'''2 =−+− yyyy d) 010'14''11'''2 =−−− yyyy 7. Si se usa el método de los coeficientes indeterminados, la solución particular de xeyy +=− 1'' adopta la forma a) x
p BeAy +=
b) )( x
p BeAxy +=
c) x
p BxeAy +=
d) x
p xeAy +=
8. La solución general de la ecuación 03'2''2 =++ yyy es
a) xecxecy xx
2
5cos
2
5sin )2/1(
2
)2/1(
1
−− +=
b) xecxecy xx 5cos5sin )2/1(
2
)2/1(
1 += c) xecxecy xx cossin )2/1(
2
)2/1(
1
−− += d) xecxecy xx 2cos2sin )2/1(
2
)2/1(
1
−− +=
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9. La solución de la ecuación 2
1
−+=x
y
x
y
dx
dyes
a) 1
)1(2
2
+−=
cx
xcxy
b) 1
)1(2
2
+−=
cx
cxxy
c) cx
xxy
+−=
2
2 )1(
d) )1(
)1(2
2
+−=
xc
xcxy
10. Si k y b son constantes positivas, la solución general de bxyky sin'' 2 =+ cuando bk ≠ es
a) 2221
sincossin
bk
bxkxckxcy
+++=
b) 2221
sincossin
bk
kxbxcbxcy
−++=
c) 2221
sincossin
bk
bxkxckxcy
−++=
d) Ninguna de las anteriores 11. La solución general de xeyyy 2410'7'' =+− es a) xxx eececy 65
2
2
1 ++= b) xxx eececy 65
2
2
1 −+= − c) xxx eececy 65
2
2
1 −+= −− d) xxx eececy 65
2
2
1 ++= −
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12. Un factor integrante para la ecuación 0ln)( =++ xdyxdxyx así como su solución general se encuentra en el inciso
a) factor: x
1 solución: cxyx =− ln
b) factor: y
1 solución: cyxy =+ ln
c) factor: y
1 solución: cxyx =+ ln
d) factor: x
1 solución: cxyx =+ ln
13. El isótopo radiactivo plutonio 241 decae de forma que satisface la ecuación diferencial
Qdt
dQ0525.0−=
en donde Q se mide en miligramos y t en años. La vida media del plutonio 241 es a) 13 años b) 13.20 años c) 1.32 años d) 132 años 14. Una masa que pesa 2lb alarga 6 in un resorte. Si se tira hacia abajo la masa otras 3 in y luego se suelta, y si no hay resistencia del aire, la posición de la masa en cualquier instante t es:
a) ttx 8cos4
1)( =
b) ttx 8sin4
1)( =
c) tttx 8cos8sin4
1)( −=
d) ( )tttx 8cos8sin4
1)( +=
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15. La curva cuya pendiente de la tangente en cada punto es proporcional a la abscisa del punto de tangencia es: a) caxy += 3 b) caxy +=
c) cx
ay +=
d) caxy += 2 16. Las trayectorias ortogonales a la familia de curvas cxy =− 22 está representada por la familia a) cxy = b) cxy =2 c) cxy =−1 d) cyx =−1 17. Un cultivo de bacterias se inicia con 500 y crece con una rapidez proporcional a su tamaño. Después de 3 horas hay 8 000 bacterias. El instante para el cual habrá 30 000 ejemplares es a) 4 h b) 4.1 h c) 4.3 h d) 4.4 h
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18. ¿A qué tasa de interés, compuesto de manera continua, se duplicará un depósito bancario en 8 años? a) )%2ln12( b) )%2ln5(
c) %2ln2
25
d) %2ln25
2
19. Un termómetro se lleva de una habitación en la que la temperatura está a
F70 a un congelador en el que la temperatura es de F12 . Después de 30 segundos el termómetro registra F40 . ¿Qué temperatura registrará después de 2 minutos? a) F15 b) F1.15 c) F15.15 d) F2.15 20. La corriente para un circuito RLC dado que 0)( =tE para 0>t y los valores
AICFCHLR 2 ,0Q ,01.0,1.0 ,3 00 ====Ω= está dada por la expresión:
a) 15 62cos5 31 sin5 31
31
tI e t t− = +
b) 15 62sin5 31 cos5 31
31
tI e t t− = +
c) 15 62cos5 31 sin5 31
31
tI e t t− = −
d) 15 62sin5 31 cos5 31
31
tI e t t− = −
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21. Seleccione la ecuación diferencial que corresponde a la solución:
+=3
sin3
cos2 xB
xAey x
a) 037'36''9 =++ yyy b) 037'36''9 =+− yyy c) 03'4'' =+− yyy d) 037'4'' =++ yyy
22. Las raíces de una ecuación auxiliar son 41 =m , 532 −== mm . ¿Cuál es la ecuación diferencial correspondiente? a) 0100'15''6''' =+−− yyyy b) 0100'15''6''' =−−− yyyy c) 0100'15''6''' =+−+ yyyy d) 0100'15''6''' =−−+ yyyy 23. Los valores de λ para los cuales λAxy = (A es una constante distinta de
cero) es una solución de la ecuación diferencial 06'2''2 =−+ yxyyx son: a) -3, -2 b) -2, 3 c) -3, 2 d) 2, 3
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24. Determinar una función ),( yx/ tal que la siguiente ecuación diferencial sea exacta
0),(2
2/12/1 =+
++− dyyx/dx
yx
xxy
a) ( ) 122/12/1
2
1),(
−− ++= yxxyyx/
b) ( ) 122/12/1
2
1),(
−− ++= yxxyyx/
c) ( ) 122/12/1
2
1),(
−− −−= yxxyyx/
d) ( ) 122/12/1
2
1),(
−− −+= yxxyyx/
25. En un cultivo de levadura, la cantidad de fermento activo crece a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si se duplica la cantidad en una hora, ¿cuántas veces puede esperarse que se tenga la cantidad original al
cabo de 4
32 horas?
a) 5.5 b) 5.727 c) 6.727 d) 7.5
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26. De las siguientes gráficas: a) b)
c) d)
¿cuál corresponde a la solución de la ecuación diferencial )(xfkydx
dy =+
cuando k es una constante positiva y xAxf sin)( = ?
27. La solución de 02 2
2
2
=++ xdt
dx
dt
xd ωλ para λω > es
a) tectecy 22
2
22
1 cossin λωλω λλ −+−=
b) tectecy 22
2
22
1 cossin ωλωλ λλ −+−= −−
c) tectecy 22
2
22
1 cossin λωλω λλ −+−= −−
d) tectecy 22
2
22
1 cossin ωλωλ λλ −+−=
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28. La solución particular de 62'3'' =++ yyy es a) xxy p 6)( =
b) xxy p 3)( =
c) 6)( =xy p
d) 3)( =xy p
29. La solución de yxedx
dy 23 +=
es
a) Cee xy +=− − 32
3
1
2
1
b) Cee xy +−=− 32
3
1
2
1
c) Cee xy += −32
3
1
2
1
d) Cee xy +=− 32
3
1
2
1
30. La solución del problema de valor inicial
0)0(, iiERidt
diL ==+ ,
Donde L, R y E son constantes es:
a) ( )/
0( )R L tE E
i t i eR R
− = − +
b) ( )R
Ee
R
Eiti tLR +
−= /
0)(
c) ( )R
Ee
R
Eiti tLR −
+= /
0)(
d) ( )R
Ee
R
Eiti tLR −
+= − /
0)(
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31. La solución particular de
Axdt
dx
dt
xd =++ 2
2
2
2 ωλ
Donde A es una constante es
a) 2
( )p
Ay t
ω=
b) ( )2
p
Ay t
λ=
c) 2
( )py tA
λ=
d) 2
( )py tA
ω=
32. Si una ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes tiene las raíces solución: -2 de multiplicidad 3 y 2±3i de multiplicidad 2. ¿Cuántas constantes tiene su solución general?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 33. Hugo, Paco y Luis están tomando café, cuando uno de sus estudiantes les
pregunta como resolver la ecuación diferencial 1
1
dy y
dt t
+=+
. Después de mucha
discusión, Paco dice ( )y t t= , Hugo contesta ( ) 2 1y t t= + y Luis contradice 2( ) 2y t t= − . ¿Quién de todos tiene la razón?
a) Luis b) Hugo y Paco c) Hugo d) Luis y Hugo
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34. La gráfica muestra la solución particular de una ecuación diferencial, ¿A qué ecuación corresponde?
a) '' 0y y+ =
b) '' 2 ' 0y y+ =
c) '' 3 ' 4 0y y y− − =
d) '' 2 ' 2 0y y y+ + =
35. Una ecuación diferencial tiene por solución particular 4 xy e= . Si una raíz de la ecuación auxiliar es 1 2r i= − , la ecuación diferencial está dada por: a) ''' 3 '' 2 ' 0y y y− + = b) ''' 3 '' 7 ' 5 0y y y y− + − = c) ''' 2 '' 0y y y− + = d) Faltan datos para determinarlo
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36. Es la solución de la ecuación no homogénea: 284'' xyy ====++++
a) xBxAy 2sin2cos ++++==== b) 122sin2cos
2 −−−−++++++++==== xxBxAy c) 122sin2cos
2 ++++−−−−++++==== xxBxAy d) 122sin2cos
2 −−−−−−−−++++==== xxBxAy 37. Dos funciones f y g de manera que la ecuación diferencial
0)(sin)(2 ====++++ dyxfyxdxyg sea exacta son:
a) 3
)(,cos)( yygxxf ====−−−−====
b) 3
)(,sin)(
3y
ygxxf ====−−−−====
c) 3
)(,cos)(
3y
ygxxf ====−−−−====
d) 3
)(,sin)( yygxxf ====−−−−==== 38. De las siguientes ecuaciones diferenciales indique cuál de ellas tiene solución a xxx exxececy 2/7
21 4++++++++==== a) 2/3
35'2'' xeyyy x====++++−−−− b) 2/1
35'2''−−−−====++++−−−− xeyyy x
c) 2/3
35'2''−−−−====++++−−−− xeyyy x
d) 2/1
35'2'' xeyyy x====++++−−−−
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39. Resuelva la siguiente ecuación de segundo orden 0'3''2 ====++++−−−− yyy a) (((( ))))xx ececy 2/1
21 ++++==== b) xx ececy 2
2
1 ++++==== c)
2
2
3
1
xx ececy ++++====
d) (((( ))))xx ececy 3/1
21
2
++++====
40. Solución general de ( )954 += xdx
dy
a) ( )1054 += xy
b) 10
4
54
+= xy
c) ( )1014 5
40y x C= + +
d) ( )1014 5
4y x C= + +
41. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es separable?
a) yxdx
dysinsin====
b) y
x
dx
dy
sin
sin====
c) ydx
dysin====
d) yxdx
dysinsin ++++====
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42. La solución de la ecuación x
yx
dx
dy ++++====2
se encuentra en el inciso:
a) (((( ))))xCxy ++++==== ln b) (((( )))) 2
ln2 xCxy ++++==== c) (((( )))) 2
ln xCxy ++++==== d) (((( ))))xCxy ++++==== ln2
43. La solución general de xey
dx
dy 52 ====−−−− es
a) xxeCey52
3
1++++==== −−−−
b) xxeCey52
3
1++++====
c) xxeCey
52
3
1 −−−−++++====
d) Ninguna
44. Solución de yxxe
dx
dy ++++−−−−−−−−====
a) (((( )))) Cxe yx ++++++++====−−−− 1 b) (((( )))) Cxee yx ++++++++==== 1 c) Ninguna d) (((( )))) Cxe yx ++++++++−−−−====−−−− 1
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45. Un fabricante de dulce hace 500 libras de dulce por semana, mientras que
su familia come el dulce a una razón igual a (((( ))))10
tQ libras por semana, donde
(((( ))))tQ es la cantidad de dulce presente en el tiempo t. ¿Cuál es la ecuación diferencial que cumple (((( ))))tQ ?
a) (((( ))))
50010
====−−−−tQ
dt
dQ
b) (((( ))))
50010
−−−−====++++tQ
dt
dQ
c) (((( ))))
50010
====++++tQ
dt
dQ
d) (((( ))))
50010
−−−−====−−−−tQ
dt
dQ
46. El valor de k para el cual la ecuación diferencial ( )( ) ( )' ln ln lny x y kxy= + es
de variables separables es: a) e b) 1 c) 0 d) 2 47. Suponga que dos estudiantes (E1 y E2) memorizan una lista de palabras
de acuerdo con el modelo )1(2 Ldt
dL −= , en donde, si L(t) es la fracción de la
lista aprendida en el tiempo t, L=0 corresponde a no saber nada del listado y L = 1 corresponde a saberlo por completo Si E1 aprende la mitad de la lista en el tiempo t = 0 y E2 no memoriza nada de ella, ¿qué estudiante está aprendiendo más rápidamente en este instante? a) E1 b) E2 c) Están aprendiendo igual de rápido d) Ninguna de las anteriores
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48. Se cree que para muchas clases de bacterias la velocidad de crecimiento es proporcional a la población de bacterias en un tiempo t. ¿Cuál es el periodo que se requiere para que una población inicial 0P triplique su tamaño, sabiendo que la constante de crecimiento de un tipo de bacteria es de 0.4? a) 2.75 ht ≈ b) 1.28 ht ≈ c) 10.2 ht ≈ d) 3.22 ht ≈ 49. Cuando nació el primer hijo que tiene la familia Martínez, depositó en una cuenta de ahorros $10,000.00 bajo interés compuesto continuo al 6%. Determine a cuanto ascenderá la cuenta cuando el primogénito de la familia mencionada cumpla la mayoría de edad. a) $ 29,446.8 b) $ 30,345.9 c) $ 15,549.8 d) $ 25,456.7 50. Un cultivo de bacterias se inicia con 500 y crece con una rapidez proporcional a su tamaño. Después de tres horas hay 8000 bacterias. Determine el instante para el cual habrá 30000 ejemplares.
51. Es solución de la ecuación tutudt
du +++= 22
a) 122
2
−=+t
t
Aeu
b) 2tAeu =
c) 122 += −ttAeu
d) Ninguna
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52. Indicar cuál de las funciones dadas es solución es solución de la ecuación diferencial ' 1y y+ =
a) 2xcey =
b) 1xy ce−= + c) 4 1xy ce−= + d) 2y cx= 53. Resuelva 2 3'' 6 ' 9 , (0) 2, '(0) 6yy y y t e y y− + = = =
a) tt etety 343
12
12)( += −
b) tt etety 343
12
12)( +=
c) tt etety 343
12
12)( −− +=
d) tt etety 343
12
12)( −+=
54. La razón con que se disemina una medicina en el torrente sanguíneo se describe con la ecuación diferencial:
kxrdt
dx −=
r y k son constantes positivas. La función ( )x t describe la concentración del fármaco en la sangre en el momento t, determine el valor límite de ( )x t cuando t tiende a infinito. a) r
b) 1
k
c) r
k
d) k
r
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55. La solución de la ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes y homogénea 0'22 ''' =−−+ yyyy IV a) xxxx eCeCeCeCy 4321 +++= −−−
b) xxxx exCexCeCeCy 2
4
2
321 +++= −−
c) xxxx eCexCexCeCy 4
2
321 +++= −−−
d) ( ) xx eCexCxCCy −+++= 4
2
321
56. Si 5,3 21 −== mm y 13 =m son raíces de multiplicidad uno, dos y tres respectivamente de una ecuación característica, la solución general de la ecuación diferencial con coeficientes constantes correspondiente es: a) xxxxxx excxecececxececy 2
654
5
3
3
2
3
1 +++++= − b) xxxxxx xececexcxecececy 65
52
4
5
3
5
2
3
1 +++++= −−− c) xxxxxx ecxececexcxececy 6
5
5
5
4
32
3
3
2
3
1 +++++= −− d) xxxxxx ecexcxececxececy 3
6
2
543
5
2
5
1 +++++= −− 57. Si xx 2cos,2sin es un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, entonces, ¿cuál de las siguientes funciones no es solución para dicha ecuación? a) xy 2sin4= b) xxy 2cos52sin3 −= c) xxy cossin6= d) xxy cos2sin2 +=
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58. La solución de la ecuación diferencial ( )( )XXkdt
dX −−= βα que describe
las reacciones de segundo orden cuando βα < es
a) ( )
( )kt
kt
e
eX βα
βα
αβαβαβ
−
−
+−=
b) ( )
( )kt
kt
e
eX βα
βα
αβαβαβ
−
−
++=
c) ( )
( )kt
kt
e
eX βα
βα
αβαβαβ
−
−
−−=
d) ( )
( )kt
kt
e
eX βα
βα
αβαβαβ
+
+
−−=
59. En un cultivo el número de bacterias se duplica en 2 horas. ¿Cuánto demorará en triplicarse? a) 2.75 h b) 3.17 h c) 3.75 h d) 4.00 h 60. Señale la ecuación de la curva que pasa por (1,1), tal que la pendiente de su recta tangente en cualquier punto sea el doble de su ordenada. a) 12 −= xey b) 12 −= xy c) ( )12 −= xy d) )1(2 −= xey
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Soluciones cálculo diferencial una variable
1. Para determinar x
x
x 4
3sinlim
0→, se ocupa el hecho de que 1
sinlim
0=
→ u
u
u, mediante
las siguientes transformaciones:
( )4
31
4
3
3
3sinlim
4
3
3
3sinlim
3
4
1
3
43
3sinlim
4
3sinlim
0000====
=
→→→→ x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx.
La respuesta es a).
2. Para encontrar h
h
h
8)2(lim
3
0
−+→
, reconozcamos que tal límite es la derivada de
una función en un punto. Tal función es 3)( xxf = y el punto es 2. Por tanto, tal
límite es el valor de )2('f . Como 23)(' xxf = entonces 12)2(3)2(' 2 ==f . La respuesta es a). 3. Si x denota la longitud de los lados de la base cuadrada y y la longitud de la altura de las otras caras de la caja, el área A de la caja sin tapa está dada por:
xyxA 42 += . Por lo datos del problema, 120042 =+ xyx .
Despejando y, de esta relación se tiene que 4
300
4
1200 2 x
xx
xy −=−= .
Por otro lado, el volumen V de esta caja es 4
3004
3003
22 xx
x
xxyxV −=
−== .
El valor máximo de V se encuentra resolviendo 0'=V . Como
4
31200
4
3300)('
22 xxxV
−=−= , entonces 0)(' =xV cuando 031200 2 =− x , o bien
cuando 4002 =x y 20=x . Puesto que xxV2
3)('' −= , entonces 0)20('' <V y por
tanto en 20=x se alcanza el máximo.
En consecuencia 105154
20
20
300 =−=−=y . Por lo tanto el volumen máximo es
( ) ( ) 32
max cm 4000cm 10cm 20 ==V . La respuesta correcta es d), 4. La ecuación de la recta tangente está dada por ))((')( 000 xxxfxfy −=− .
Para este caso 20 −=x , 4)( 0 =xf y ( ) 422)(' 0 −=−=xf , por lo que la ecuación
es ( )244 +−=− xy de donde se obtiene la expresión 044 =++ yx . La respuesta es a). 5.
i) 12
11
4
9
3
4
4
9
6
8 −=−=− . Es un número racional.
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ii) ( ) ( ) 111 =−÷− . Es un número natural, entero y racional.
iii) 6
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
122
=−=
−
=
−
+ . Es un número racional.
iv) 2
1−π es un número irracional. Para demostrarlo, supongamos que 2
1−π es
racional, entonces 2
1
2
1 +
−= ππ sería racional, contrario al hecho de que π
es irracional. 6. Primero ordenamos los números positivos. Resulta claro que 98 < y que
909 < , pues ( ) 909098122 =<= . Por tanto tenemos que 90980 <<< . De
la desigualdad anterior se tiene que 8990 −<−<− . Ahora bien, como 8
81
8
80 <
entonces 108
81 −<− y además 1090 < implica que 9010 −<− entonces
901010
81 −<−<− . Por consiguiente el orden pedido es
9098899010
81 <<<−<−<−<− .
7. El área A de un triángulo equilátero de lado x, está dada por 2
4
3xA = .
Derivando esta relación con respecto al tiempo, se tiene que dt
dxx
dt
dA
2
3= . De
aquí se obtiene que
3
2
x
dt
dA
dt
dx = . Por los datos del problema 5=x y 4=dt
dA, por lo que entonces
( )( )in/min
35
8
35
42 ==dt
dx. La respuesta es b).
8. Por las propiedades del valor absoluto se tiene que 2 4 2 2x x− = − , por lo
que si 1 1x − < entonces 2 4 2x − < . Por tanto los valores de A son tales que
2A > ; por otro lado si 2 4 3x − < entonces 3
22
x − < , por lo que los valores de
A son los que cumplen 3
02
A< <
9. Lo que se quiere resolver es 0652 ≥+− xx . Como ( )( )23652 −−=+− xxxx , entonces esta última expresión es no negativa cuando ambos factores son no negativos o bien cuando son no positivos.
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En la primera opción la solución es el intervalo [ )+∞,3 . En el segundo caso la solución es el intervalo ( ]2,∞− . Por tanto la solución es la unión de ambos, esto es, la respuesta es b).
10. Derivando con respecto al tiempo se tiene que:dt
dvmv
dt
dK = . Recordando
que la derivada de la velocidad es la aceleración entonces
cm/s-dina 1500)5)(30)(10( ==dt
dK.
11. Se tiene que:
13
3
412
2
311
1
2
!3)1(
6)(''' ,
!2)1(
2)('' ,
1)1(
1)(' +++ −=−=−==−=−=
xxxf
xxxf
xxxf . Esto
sugiere que ( ) ( )1
)( !1 +−=
n
nn
x
nxf . La respuesta es b).
12. Sean u y v números tales que 482 =+ vu . En consecuencia 248 vu −= . Por otro lado, el producto P, de los números es ( ) 32 4848 vvvvuvP −=−== . El valor
máximo buscado se encuentra resolviendo 0'=P , es decir cuando 0348 2 =− v o 162 =v . Esta última relación da 4±=v . Pero como vv 6'' −= entonces en
4=v , se alcanza el máximo. El otro número buscado es entonces ( ) 32448
2 =−=u . La respuesta es b).
13. Puesto que xx
x 14
14 −=−, entonces 4
14lim
14lim =
−=−∞→∞→ xx
x
xx y como
43
4lim34
lim22
2
=
+=
+∞→∞→ xx
xx
xx se tiene que 4)(lim =
∞→xf
x.
14. Las desigualdades implican que zyx == . La respuesta es a). 15. La asíntota horizontal se obtiene calculando el límite cuando la x tiende a infinito. Es decir:
11
1
11
11
lim1
1
lim1
1lim
2
2
2
2
2
2
2
2
−=−=
+
−=
+
−
=
+−
∞→∞→∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx. La ecuación de la asíntota
horizontal es en consecuencia 1−=y . La respuesta es b).
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16. El dominio de x
xxxf
31)(
2 −+= se obtiene haciendo que la expresión x
sea diferente de cero, lo que se hace siempre que 0>x . Por tanto el dominio es ( )+∞,0 . La respuesta es c). 17.
( )2
1
1
11
2
1
cos
1sinlim
2
1
cos
1sinlim
2
1cos
sin
2
1lim
2
tanlim
2
2
2
022
2
02
2
2
02
2
0
=
=
=
==
→→→→ xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
xxxx
La respuesta es a). 18. Por la regla de la cadena
12)3)(4()1(')2(')1('))1((')1(' −=−=−=−−=− gfggfh . 19. La ecuación dada es equivalente a 222 XRZ += , de modo que
dt
dXX
dt
dRR
dt
dZZ 222 += , o bien
22 XR
dt
dXX
dt
dRR
Z
dt
dXX
dt
dRR
dt
dZ
+
+=
+= . Así
( )( ) ( )( )5
5
1
5
1
510
10
500
10
1020
220310
22−=−=−=−=
+−+=
dt
dZ. La respuesta es d).
20. Derivando con respecto al tiempo:
dt
dab
dt
dA θθcos2
1= .
La respuesta es c).
21. Como 12
5)(lim
4=
−−
→ x
xf
x, entonces ( ) ( )2lim5)(lim
44−=−
→→xxf
xx. De aquí se
obtiene ( ) 7245)(lim4
=−+=→
xfx
. La respuesta es c).
22. ( )( )( ) ( )( )
25
7
5
1325
)0(
)0()0(')0(')0(22
0
=−−−=−=
= u
vuvu
u
v
dx
d
x
. La respuesta es a).
23. Derivando la ecuación dada con respecto a t, obtenemos
dt
dR
Rdt
dR
Rdt
dR
R
2
2
2
1
2
1
2
111 −−=− , lo que es equivalente a
dt
dR
Rdt
dR
Rdt
dR
R
2
2
2
1
2
1
2
111 += . Despejando dt
dR de esta relación:
+
+=
+=
dt
dR
Rdt
dR
RRRdt
dR
Rdt
dR
RR
dt
dR 2
2
2
1
2
1
2
21
2
2
2
1
2
1
2 111111.
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Por consiguiente:
( ) ( ) 02.05.050
11
75
1
50
1
75
1
1222
=
+−
+=
dt
dR ohm/s. La respuesta es a).
24. El área A del triángulo está dada por θsin2
1abA = , donde πθ <<0 . En
esta región 1sin ≤θ , por lo tanto el máximo se da cuando 1sin =θ o bien
2
πθ = . La respuesta es c).
25. En este caso se tiene la forma 0
0, por lo por la regla de L’Hopital:
01
sinlim
3
1coslim
33=−=
−+
→→
x
x
x
xx ππ π. La respuesta es a).
26. La respuesta correcta es d), pues se muestra correctamente la aplicación de la regla de L’Hopital:
( ) 0lim/1
/1lim
/1
lnlimlnlim
02
000=−=
−==
++++ →→→→x
x
x
x
xxx
xxxx.
27. Se tiene que 5)(6)('3)(' 2 −+= xxhxhxxf . Por tanto 5)0(' −=f . 28. Como ( ) ( )( )1212212241212)('' 22 −+=−+=−+= tttttttf , entonces
0)('' <tf , cuando ( )( ) 012 <−+ tt . De aquí, si 2−>t y 1<t , harán que el producto sea negativo. Por lo tanto la solución es el intervalo ( )1,2− . La respuesta es a). 29. La pendiente de la recta tangente en el punto ( )( )00 , ufu se determina
mediante )(' 0uf .
Por consiguiente 0
2
00 23)(' uuuf −= . La pendiente de la recta dada es 5
1− y
para que ambas rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1. Por tanto:
523 0
2
0 =− uu , cuyas soluciones son 3
5 y 1− . En consecuencia los puntos
buscados son
27
50,
3
5 y ( )2,1 −− .
30. Derivando la ecuación de la parábola con respecto a t:
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dt
dx
dt
dyy 42 = ,
o bien
2
dt
dyy
dt
dx = .
Sustituyendo valores en la expresión anterior, se tiene: ( )( )
92
36 ==dt
dx.
La respuesta es d). 31. Por la regla de la cadena:
( ) ( )1
21
1
11'
2
2
2
2
+=+
+=+
u
uu
du
d
uuL .
La respuesta es b). 32. (i) Como k y l son números positivos, entonces lkl +<<0 . De esta
relación se obtiene llk
110 <
+< , por lo que
llk
11
110 +<
++< y así
lkl ++
<+
<1
1
1
11
10 .
(ii) Como 11
1
1
+=
+ l
l
l
y 11
1
1
+++=
++ lk
lk
lk
, la desigualdad en (i) implica que
)()( lflkf >+ .
33. (i) El tiempo de impacto satisface 016100 2 =− t , de donde 16
1002 =t y así
s 2
5* =t .
(ii) La velocidad al tiempo t, está dado por tdt
dy32−= , por lo que la velocidad
de impacto es entonces m/s 802
532* =
−=v .
(iii) El momentum de impacto está dado por ( )( )
5032
8020 ==p .
34. (i) Se escribe f como:
2
24567
2
246789 215149
25149)(
xxxxxx
x
xxxxxxxf +++++−=+++++−= , por
lo que 3
3456 410470663)('
xxxxxxxf −+++−= .
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(ii)
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
−
+−−
+
=−
−+−+−
=−
−−+−++−
=−
−+−+−=
152
2
142
122
282
132132122142
282
21321322122142
2142
142132132142
1
114
1
1312
1
11281126
1
1114111131
1
1111)('
t
t
ttt
t
tttttt
t
tDtttDtt
t
tDttDttf
tt
tt
35. Para el inciso (i) el 3
21
1 3lim
1 2x
x
x→
− =−
(se puede usar L’Hopital), mientras que el
3
21
1lim
1x
x
x→−
−−
no existe (aquí se puede usar el método algebraico), de tal modo que
la función sólo se define en 1. Para el inciso (iii) se realizan lo siguiente:
3 2 2
2
1 ( 1)( 1) 1 ( 1) 1 1 1( 1) 1
1 ( 1)( 1) 1 1 1 1
a a a a a a a aa a
a a a a a a a
− − + + + + + += = = = + = + + −− − + + + + +
.
Ahora bien, de la desigualdad 1
2xx
+ ≤ − , (ver figura de abajo) válida para los
números negativos, se tiene que 1
( 1) 21
aa
+ + ≤ −+
para 1 0a + < o bien 1a < − .
-2 -1 1 2
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
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De 1
( 1) 21
aa
+ + ≤ −+
se obtiene que 3
2
1 1( 1) 1 2 1
1 1
aa
a a
− = + + − ≤ − −− +
o bien
3
2
13
1
a
a
− ≤ −−
, si 1a < − . Por tanto la gráfica de la función dada, es una traslación a
la izquierda una unidad de la gráfica presentada arriba y posteriormente una traslación hacia abajo una unidad, quedando así:
-3 -2 -1 1 2 3
-10
-5
5
De lo cual se desprende fácilmente (ii) y (iv).
36. La demostración se basa en el hecho de que si 0x > entonces 1
2xx
+ ≥ .
Como esta desigualdad se repite cuatro veces (para diferentes números positivos) se tiene la desigualdad dada. 37. Para la figura A) la función del área total depende de la variable x , y se obtiene tiene restando el área del cuadrado, 225x , menos el área del triángulo
interno, ( )( ) 23 2
32
x xx= , por lo tanto la función del área total queda ( ) 222A x x= .
De aquí, la primera y segunda derivadas, respectivamente, son: ( )( )
44
44
A x x
A x
′ =′′ =
Para la figura B) la función del área total depende de la variable r , y se obtiene tiene restando el área del círculo mayor, 2rπ , menos el área del círculo menor,
2 2
2 4
r rπ π =
, por lo tanto la función del área total queda ( ) 23
4A r rπ= . De aquí,
la primera y segunda derivadas, respectivamente, son: ( )
( )
3
2
3
2
A r r
A r
π
π
′ =
′′ =
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Para la figura C) la función del área total depende de la variable x , y se obtiene tiene restando el área del cuadrado que se forma con los lados exteriores mayores, ( ) ( ) 24 5 20x x x= , menos el área del cuadrado no sombreado que se
forma en la esquina superior derecha, ( )( ) 22 2 4x x x= , y menos el área del
rectángulo que se forma en el centro de la figura sombreada, ( ) 23 3x x x= , por lo
tanto la función del área total queda ( ) 2 2 2 220 4 3 13A x x x x x= − − = . De aquí, la
primera y segunda derivadas, respectivamente, son: ( )( )
26
26
A x x
A x
′ =′′ =
Para la figura D) la función del área total depende de la variable y , y se obtiene
tiene restando el área del rectángulo, ( )( ) 210 6 60y y y= , menos el área del
cuarto de círculo, ( )2 25 25
4 4
yy
ππ= , por lo tanto la función del área total queda
( ) ( )2 2 225 560 48 5
4 4A y y y yπ π= − = − . De aquí, la primera y segunda derivadas,
respectivamente, son: ( ) ( )
( ) ( )
548 5
2
548 5
2
A y y
A y
π
π
′ = −
′′ = −
38. Para la figura A) la función del perímetro total depende de la variable x , y se obtiene tiene sumando el perímetro del cuadrado, ( )4 5 20x x= , mas el
perímetro del triángulo interno, ( )3 2 13 5 13x x x x+ + = + , por lo tanto la
función del perímetro total queda ( ) ( )25 13P x x= + . De aquí, la primera y
segunda derivadas, respectivamente, son: ( )( )
25 13
0
P x
P x
′ = +′′ =
Para la figura B) la función del perímetro total depende de la variable r , y se obtiene tiene sumando el perímetro del círculo mayor, 2 rπ , mas el perímetro
del círculo menor, 22
rrπ π =
, por lo tanto la función del perímetro total queda
( ) 3P r rπ= . De aquí, la primera y segunda derivadas, respectivamente, son:
( )( )
3
0
P r
P r
π′ =′′ =
Para la figura C) la función del perímetro total depende de la variable x , y se obtiene tiene sumando los lados de todo el contorno de la figura, por lo tanto la función del perímetro total queda
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( ) 2 3 4 5 2 3 2 24P x x x x x x x x x x x x= + + + + + + + + + = . De aquí, la primera y
segunda derivadas, respectivamente, son: ( )( )
24
0
P x
P x
′ =′′ =
Para la figura D) la función del perímetro total depende de la variable y , y se obtiene tiene sumando el perímetro del rectángulo,
( ) 5 5 6 10 6 32P y y y y y y y= + + + + = , mas el perímetro del cuarto de círculo,
( )2 5 5
4 2
yy
ππ= , por lo tanto la función del perímetro total queda
( ) 5 532 32
2 2P y y y yπ π = + = +
. De aquí, la primera y segunda derivadas,
respectivamente, son: ( )( )
532
2
0
P y
P y
π′ = +
′′ =
39. (a) máximo local; (b) mínimo local; (c) ninguno; (d) máximo local; (e) máximo local; (f) ninguno; (g) ninguno; (h) mínimo local. 40. Los puntos de inflexión se encuentran cuando 0)('' =xf y cuando hay cambio de signo en los valores de la segunda derivada antes y después de los puntos que cumplen la primera condición. Las funciones constantes (potencia cero) y las funciones identidad (potencia 1) no pueden tener puntos de inflexión. Por consiguiente analizamos cuando
2≥n . Como 2)1()('' −−= nxnnxf entonces 0)('' =xf solamente cuando 0=x Se nota que cuando n es par, ''f no sufre cambios de signo al pasar x de negativo a positivo, mientras que cuando n es impar, si hay cambios de signo. Por tanto para n impar, nxxf =)( tiene un único punto de inflexión en 0=x . 41. No necesariamente, como ejemplo consideremos la siguiente gráfica.
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42. Se quiere obtener el mínimo local de ( )2
1
)( ∑=
−=n
i
iaxxf . Para obtenerlo, se
obtienen primero los puntos críticos, los que se encuentran resolviendo 0)(' =xf . Esto lleva a la ecuación:
( )∑=
=−n
i
iax1
02 .
Esta ecuación es equivalente a ( )∑=
=−n
i
iax1
0 , lo que equivale a decir que
∑∑==
=n
i
i
n
i
ax11
, o bien ∑=
=n
i
ianx1
, de donde el único punto crítico es n
a
x
n
i
i∑== 1 . Por
otro lado 2)('' =xf , por lo que en el promedio de los números dados se alcanza el valor mínimo de f.
43. Un ejemplo podría ser la función x
xxf1
)( += . Observe la gráfica que
aparece abajo.
44. Es cierto, pues si )(' rf existe, entonces f es continua en r, pues
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( ) lim lim lim
0 '( ) 0
x r x r x r x r
f x f r f x f rf x f r x r x r
x r x r
f r
→ → → →
− − − = ⋅ − = − = − −
⋅ =
Lo que demuestra que lim ( ) ( )x r
f x f r→
= .
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45. Se tiene que
( )( ) 32
1
3
1lim
33
3lim
3
3lim
3323=
+=
−+−=
−−
→→→ uuu
u
u
u
uuu. La respuesta es c).
46. El dominio de f se encuentra resolviendo 073 >+x , lo cual ocurre cuando
3
7−>x . El dominio es el intervalo
∞− ,3
7, lo que dice que la respuesta es b).
47. El volumen del cubo, V , cambia con respecto al tiempo a una razón de
3
2min
dV m
dt= − (ya que decrece); mientras que el mismo volumen, ( ) 3V x x= ,
cambia respecto a una arista como 2 23 mdV
xdx
= , por lo tanto la variación de
una arista respecto del tiempo es 2
2
3 min
dx m
dt x= − , pero como 3x = se tiene un
valor de 2
27 min
dx m
dt= − , que es el inciso a)
48. El volumen V de un cilindro circular recto de radio r y altura h está dado por
hrV 2π= , por lo que al derivar esta última relación con respecto a t, se tiene
que
+=dt
drrh
dt
dhr
dt
dV22π y así ( ) ( )( )( )( ) ππ 20381025102 −=+−=
dt
dV. La
respuesta es a). 49. De acuerdo a la definición de derivada:
( ) ( )
=−
=−→→→ hh
hh
h
fhf
hhh
1sinlim
01
sin
lim0
lim000
.
Este último límite no existe, por lo que f no es diferenciable en 0=x . Sin embargo:
( ) ( )0
1sinlim
01
sin
lim0
lim0
2
00=
=−
=−→→→ hh
h
hh
h
ghg
hhh, pues para 0≠h ,
11
sin1 ≤
≤−h
, por lo que si 0>h , hh
hh ≤
≤− 1sin y como los límites de
ambos extremos son cero cuando h tiende a cero por la derecha,
01
sinlim0
=
+→ hh
h. Análogamente se demuestra 0
1sinlim
0=
−→ hh
h.
Lo anterior afirma que g es diferenciable en 0=x .
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Para la última ( ) ( )
0lim0
lim0
lim 2
0
3
00==−=−
+++ →→→h
h
h
h
ghg
hhh y
( ) ( ) ( ) 0lim0
lim0
lim 2
0
3
00=−=−−=−
++− →→→h
h
h
h
ghg
hhh, lo que asegura la existencia de
( ) ( )h
ghg
h
0lim
0
−→
, por lo que g también es derivable en 0=x . La respuesta es b).
50. Para resolver este ejercicio hay que tener en cuenta que cuando se tienen polinomios del mismo grado en un límite al infinito, su valor es el cociente de los coeficientes de las potencias más altas. En virtud de que ambos polinomios son de grado 10 y el término de este grado aparece 100 veces en el numerador y sólo una en el denominador, el límite al infinito vale 100. La respuesta es d). 51. De la gráfica sólo hay que observar el intervalo en los cuales la derivada es negativa, de lo que se deduce que está en el intervalo ( )3,1 junto con ( )+∞,5 . La respuesta es c). 52. La solución es d), pues la función deja de definirse en 2x = .
53. Si ( ) ( )25 3 4g x x+ < − para toda x, entonces ( ) ( )22435)(43 xxgx −<+<−− ,
por lo que ( ) ( ) 543)(54322 −−<<−−− xxgx . Puesto que los límites de los
extremos son cero, entonces el límite de g también es cero. La respuesta es c). 54. Notemos que ( )20 yx −≤ , lo que equivale a la desigualdad dada, por lo que
se obtiene que la igualdad se da cuando ( ) 02 =− yx o bien cuando yx = . La
respuesta es b).
55. Se reescribe f como xxf ln)( −= y así, x
xf1
)(' −= , 2
2
2
)1(1)(''
xxxf
−== ,
( )3
3
3
!212)('''
xxxf
−=−= , lo que sugiere que ( ) ( ) ( ) ( )n
n
n
x
nxf
!11 −−= . La respuesta
es a). 56. Para calcular este límite se procede como sigue:
16
1
4
1lim
4
1
4
4lim
4
1
4
4lim
4
1
4
11lim
4444−=
−=
−
−−=
−
−=
−
−→→→→ xxx
x
xx
x
xx xxxx.
La respuesta es b). 57. En este ejercicio, la respuesta es c), pues
( )( ) ( ) ( ) xxxfxgfxgf ==== 22)( .
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58. Recordando nuevamente este límite como una derivada en un punto, se trata que la función es xaxf =)( y el punto es 0=x . Por tanto el valor buscado
es ( ) aaa lnln 0 = . La respuesta es a). 59. La función logaritmo natural se define para los números positivos, por tanto, el dominio es el conjunto de números que satisface 01522 >−+ xx . Como ( )( )351522 −+=−+ xxxx , entonces ambos factores deben tener el mismo signo. Para el primer caso en que ambos son positivos se tiene la condición 5−>x y 3>x de donde se obtiene la solución el intervalo ( )+∞,3 . En el segundo caso se tiene 5−<x y 3<x de donde se obtiene la solución al intervalo ( )5,−∞− . La solución buscada es la unión de ambos intervalos, o sea que la respuesta es c).
60. Si hacemos 1+= xu , entonces ( ) ( )2 2( 1) 1 3 1 2 5 6f u u u u u− = − − − + = − + . La
respuesta es c). 61. La expansión en serie de Mcluarin nos dará la respuesta a este ejercicio. Sólo hay que recordar que
( )
1
(0)( ) (0)
!
nn
n
ff x f x
n
∞
=
= +∑ ,
por lo que
3
2 3
sin ...3
12 3
x
xx x
x xe x
= − +
− = + +,
de lo que se desprende inmediatamente que sin 1xx x e< < − . La respuesta es b).
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62. En el numerador se tienen n quintas potencias, por lo que al dividirse con el denominador el cociente será precisamente n, por lo tanto el límite requerido es ese valor. La respuesta es c). 63. Resolviendo las operaciones indicadas, la desigualdad es equivalente a la expresión x749 <− , de donde se obtiene que la solución es el intervalo ( )+∞− ,7 . La respuesta es a). 64. La función xxf =)( no es derivable en 0=x , por lo que la función dada, no
es derivable en el punto A(2,3). La respuesta es d). 65. La corriente es la derivada de la carga, por lo que la corriente en s 1=t .
Por consiguiente ( ) A 56436431
2
1
=+−=+−===
=t
t
ttdt
dQi . La respuesta es c).
66. El dominio de la función f, es tal que 1 0x − ≥ y 1 0x− ≥ . Ambas desigualdades implican 1 1x≤ ≤ . La respuesta es d). 67. Se tiene que ( ) ( )3 2( )f x x a b c x ab ac bc x abc= − + + + − − − . De esto se
desprende que ( )''( ) 6 2f x x a b c= − + + . El punto de inflexión se da cuando
''( ) 0f d = , de lo cual se desprende que 3
a b cd
+ += . La respuesta es d).
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68. Se calcula f f . Puesto que
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
1
1 111 1
11 1
1
1 1
x k k hxx kk
x k x k hkx khx hxf f x fh x k hxx khx hx hk hx
hhx hx
hx xx hkxx
hk hk
+ + −+ ++ + + − − −= = = = = + − −+− + − + − − −
++ = =+ +
Esto demuestra que f es su propia inversa para cualquier valor de h y k. La respuesta es c).
69. El volumen V del globo está dado por 34
3V rπ= , donde r es el radio del
mismo. Como el radio aumenta a una razón de 1.5cm/s entonces al tiempo t, el radio será 1.5r t= , por lo que el volumen será en consecuencia
( )3 341.5 4.5
3V t tπ π= = .
70. Se trata de una función senoidal con periodo 2
5.4
π. La amplitud es 0.35 y se
le agrega 4 que es el brillo promedio. Por lo tanto la función buscada es 2
4 0.35sin5.4
tπ +
. Su representación gráfica se encuentra a continuación
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Soluciones cálculo integral una variable
1. El trabajo está dado por
( ) ( ) ftlb 3
503010
3
50001010
3
5
3
515 3
10
0
3
10
0
2 ⋅=+=+=
+=+= ∫ xxdxxW . La respuesta
es a). 2. El valor medio de una función f en un intervalo [ ]ba, está dado por:
∫−
b
a
dxxfab
)(1
.
De modo que el valor buscado es
( ) ( )12
1
2
1
2
1 2
2
0
2
0
−==∫ eedxe xx .
3. Las gráficas de las funciones dadas se encuentra en la figura mostrada abajo:
De esta vemos entonces que el área está dada por
( )6
7
3
1
2
12
3222
1
0
321
0
2 =−−=
−−=−−∫xx
xdxxx .
La respuesta es d). 4. Se realiza el proceso de completar el cuadrado perfecto como sigue:
( ) ( )222 19121882 +−=++−+=+−− xxxxx . Puesto que
∫ +=−
− Ca
x
xa
dx 1
22sin , entonces C
x
xx
dx ++=+−−
−∫ 3
1sin
82
1
2. La respuesta
es d).
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5. El volumen del sólido está dado por
( ) ( ) ( ) πππππ 9927273
39693
3
0
32
3
0
2
3
0
2 =+−=
+−=+−=− ∫∫x
xxdxxxdxx . La
respuesta es d). 6. Se completa el cuadrado perfecto como sigue:
( )4
3
2
1
4
3
4
111
2
222 +
+=+
++=++=++ xxxxxxx , por lo que se hace la
sustitución 2
1+= xu y la integral dada se transforma en:
Cxx
xCu
uCu
udu
u
u
u
dudu
u
u
xx
xdx
++++
+−=+++−=++
+
−=+
++
−=+−=
++
−−
−∫ ∫ ∫∫
1ln2
1
3
12tan
3
1
4
3ln
2
1
3
2tan
3
1
4
3ln
2
1
2
3tan
2
3
1
2
1
4/34/32
1
4/3
2/1
1
2
1212
1
2222
La respuesta es a). 7. Por el Teorema Fundamental del cálculo
101)0()1()()('1
0
1
0=−=−==∫ ffxfdxxf . La respuesta es a).
8. Se escribe ( )22222 bxaxba +=+ , se hace la sustitución bxu = , por lo que la integral se reduce a:
( )C
a
bx
abC
a
u
abua
du
bbxa
dx
xba
dx +=+
=+
=+
=+
−−∫ ∫∫
11
2222222tan
1tan
111. La
respuesta es d). 9. El área se calcula a partir de la siguiente forma integral:
( ) ( )1 1 1 1
2
0 0 0 0
Area
k k k k
f x dx g x dx xdx kx dx= − = −∫ ∫ ∫ ∫
resolviendo para el valor del área, se tiene: 1 1
2 3
2 2 2
0 0
2 1 1 1
3 2 3 2 3 6
k k
x kx
k k k= − = − =
De donde se obtiene: 1
2k = , inciso a)
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10. El aire que escapa en el intervalo dado está dado por:
( ) ( ) ( ) ( ) 323233
1
23
3
1
2cm 34113323 =+−+=+=+∫ ttdttt . La respuesta es a).
11. El cambio en la energía cinética es equivalente al trabajo que realiza la partícula al desplazarse entre las posiciones dadas. Como el trabajo está dado
por 2
3
2
333
1
0
0
1
1
0
2
===−= ∫ ∫x
xdxxdxW , la respuesta es b).
12. De acuerdo a las propiedades de la integral definida:
42
1
42
1
2
2sin2
2222
2
1
12
2
1
22
0
21
0
2
πππ −=
+−−
=
+−−=−−=−−− −∫∫∫
xx
xdxxdxxdxx
La respuesta es a).
13. Para n un número natural, 1
1
1
1
0
11
0 +=
+==
+
∫ nn
xdxxR
nn
n , de lo cual 2
11 =R ,
por lo que 1
2
2
11
1
1 +=+=n
n
R
Rn , la respuesta es b).
14. Se realiza la sustitución 3+= xu , por lo que
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) CxxCxxCx
xCuuduuuduuudxxx
++−=+−++=++
−+=+−=−=−=+ ∫∫∫2/32/32/3
2/52/32/52/12/3
325
2533
5
232
35
22
5
2333
La respuesta es a). 15. En virtud de que ( )( )3213 223 +−+=++− xxxxxx y como
( ) ( )12325 22 +++−=+ xxxx , entonces
( ) ( )( )( ) dx
xxxdx
xxx
xxxdx
xxx
x∫∫∫
+−+
+=
+−++++−=
++−+
32
2
1
1
321
1232
3
522
2
23
2
Para la última integral se completa el cuadrado perfecto y así:
( ) ( )∫ ∫ ∫
−=+−
=++−
=+− 2
1
2
2
21
2
212
2
32
2222
xarctg
xdx
xxdx
xx.
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En consecuencia
cx
arctgxdxxxx
x +
−++=++−
+∫
2
121ln
3
523
2
. La respuesta es b).
16. Primero que nada la función f buscada es tal que 2
)(
t
tf sea proporcional a
2/1−t . Como la integral de esta última función es justamente t2 , la función buscada es entonces 2/3)( xxf = . La única respuesta posible es d). 17. Por las propiedades de la integral indefinida, 0)1( =−g y
( )3
22
3
112
321
2
21
2
1)1(
1
0
31
0
2
1
1
2 =
−=
−=−=−= ∫∫
−
σσσσσσ ddg . La
respuesta es b). 18. Se procede como sigue:
( )( )( ) ( )
dxx
x
x
xdx
xx
xxxx∫∫
++
+=
+++++ −−
22
1
22
312
119
3tan
119
93tan1.
Para la primera se realiza la sustitución 1tan 3u x−= , por lo que 2
3
9 1
dxdu
x=
+ y
así
( )( )1
22 1
2
tan 3 1 1 1 1tan 3
9 1 3 3 2 6
xdx udu u x
x
−− = = = +
∫ ∫ .
Para la segunda se realiza la sustitución 1+= xu , por lo que
( )C
xx
uudu
uudu
u
udx
x
x ++
++=+=
−=−=+ ∫∫∫ 1
11ln
1ln
111
1222
. La respuesta
es c). 19. Por el Teorema Fundamental del Cálculo:
( ) 22
2
2 coscoscos)(' xxdttdx
dxF
x
−=−=
−= ∫ . La respuesta es c).
20. Por el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene:
( ) ( )2
2
0
( ) cos 0
x
f t dt x x G x Gπ= = −∫ (Ec. 1)
por otro lado se sabe que:
( ) ( )f t dt G t=∫ y si 2
2
t x
dt xdx
==
, entonces ( ) ( )2 22xf x dx G x=∫ , por lo tanto
( ) ( )2 22xf x G x′= (Ec. 2)
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La derivada de la ecuación 1 es: ( )2sin cosx x x G xπ π π ′− + =
Que al igualar con la ecuación 2, se tiene: ( )22 sin cosxf x x x xπ π π= − +
O bien: ( )2 cossin
2 2
xf x x
x
π ππ= − +
Para un valor de 2x = , se obtiene: ( ) cos 2 14 sin 2
2 4 4f
π ππ= − + = , inciso b)
21. ( ) xxxxxxdx
dx
dx
dy 222 tansectansectansec1sec ==−= . La respuesta es d).
22. Para que x pertenezca al dominio de f, e l valor de ∫−
x
udu1
debe ser positivo.
El valor de esta integral representa el área de una región, de modo que para que esta integral sea positiva es necesario que 1>x . Véase la figura de la siguiente página.
Sin embargo para 1x < − , la integral en comento es positiva, pues
1
1
x
x
udu udu
−
−
= −∫ ∫ y
1
0x
udu
−
<∫ como se ve en la siguiente figura.
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La solución es pues 1x > o bien 1x < − . La respuesta es a).
23. El área buscada A está dada por 2/3
0
3
0
2
3
1
3
1bydyy
bb
==∫ , por lo que
93
1 2/3 =b , de donde 32/3 327 ==b y en consecuencia 9=b . La respuesta es a).
24. Primero el valor de la integral debe ser positivo. Además esta integral representa el área (positiva) de una región si 0>x . Como en el ejercicio 22 de esta sección para 0x < se tiene que esa integral es positiva. La respuesta es b).
25. El límite representa la derivada de F en 0=x . Como 21)(' xxF += , entonces 1)0(' =F . La respuesta es a).
26. Se tiene que ( ) 01
2sin02)0(
0
0
2=
++= ∫ dt
t
tF . La respuesta es b).
27. Cbx
axCbxaxdx
bxaxx +
−−=+−−−=
−−
−∫ 22
222222
2222ln
2
1ln
2
1ln
2
111. La
respuesta es c).
28. Por el método de sustitución ( ) Cugduugug +=∫2
)(2
1)(')( . La respuesta es
c). 29. La posición s al tiempo t está dada por
Cttdtttdttvts ++=
+== ∫∫232
2
1
6
1
2
1)()( . Como 0)0( =s entonces 0=C y la
función buscada se encuentra en el inciso c).
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30. Los puntos de intersección de estas gráficas tienen abscisas 3± . Ahora bien, gf ≥ en el intervalo comprendido entre los valores encontrados. Por tanto, el área buscada se calcula mediante la integral en la opción c).
31. Al denominador de la integral se le completa un trinomio cuadrado perfecto:
( )22 2
2 2 2
4 2 4 4 2 2 2
x x xdx dx dx
x x x x x
− − −= =− + − + − − −∫ ∫ ∫
haciendo el cambio de variable 2x v− = , la integral se convierte en: 2 2
vdv
v −∫
para resolver esta integral se hace un nuevo cambio de variable
2 sec
2 sec tan
v
dv d
θθ θ θ
=
=, que al sustituir y simplificar queda:
cot tan ln sin ln secd d cteθ θ θ θ θ θ+ = + +∫ ∫ ,
regresando al cambio de variable de v , simplificando, y luego al de x , se tiene: 2
2
2 1 4 2ln
4 2 2 2
x x xdx cte
x x
− − += +− +∫
Otra forma de resolver la integral 2 2
vdv
v −∫ es la siguiente.
( )( )( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 2
2 21 1 1 1
2 2 2 2 22 2 2 2
1 1 1ln 2 ln 2 ln 4 ln 4 2
2 2 2
v vvdv vdvdv dv
v v vv v v v
v v C v C x x C
+ + − = = = + = − − + + − + −
− + + + = − + = − + +
∫ ∫ ∫ ∫
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32. La integral queda: 11 7 8
5 4
2 2
1 1 3
2 16 4 4
u udu
u u
− = + = −
∫
33. El área bajo la curva es la función siguiente: ( )2
sin cos2 2 2
a ag a a a
π= + +
usando el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene que:
( ) ( ) ( )1cos 1 sin
2 2
af a g a a a aπ′= = + + −
por lo tanto: ( )1 1cos 1 sin
2 2 4 2 2 2 2f
π π π π ππ = + + − =
.
34. Por la fórmula de la potencia, la respuesta es c).
35. El área buscada es el área del triángulo que es igual a ( )1 1 12
2 3 3
=
.
36. Se tiene que el radio de uno de los discos es el valor de x, por lo que el
volumen del sólido es 22 2 2
2 2
0 0 0
3 9
2 4
yx dy dy y dy
ππ π = =
∫ ∫ ∫ .
37. La respuesta es d). 38. Se tiene que
[ ]2 2 2
0 0 0
3 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 3(3) 4( 4) 9 16 7f x g x dx f x dx g x dx+ = + = + − = − = −∫ ∫ ∫ . La respuesta
es c). 39. La afirmación i) es falsa. Notemos que la función cuya gráfica se encuentra
abajo es discontinua y sin embargo 2
0
( ) 3f t dt =∫
1
2
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ii) La afirmación ii) es verdadera. 40. Por el teorema del valor medio para integrales, existe un valor c en el
intervalo [ ]0,1 tal que 1
2 2
0
sin( ) (1 0)sinx dx c= −∫ . Puesto que la función seno a lo
más toma el valor 1, se concluye que dicha integral no puede ser 2.
41. Lo que dice la primera integral es que una primitiva de sin cosx x es 2sin
2
x.
Análogamente para la segunda integral. La diferencia de resultados se debe a que ambas primitiva difieren en una constante:
2 2sin cos 1
2 2 2
x x − − =
.
42. Como f es par, ambas integrales deben ser iguales. La respuesta es c). 43. De la definición de integral definida, el valor se encuentra en la opción b). 44. Por las propiedades de la integral 2 2 5 5
5 5 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 8f x dx f x dx f x dx f x dx
− = − = − − = =
∫ ∫ ∫ ∫ . La respuesta es a).
45. Por las propiedades de la exponencial ln xe x= . Por lo que ln
1xe
x= .
46. 3 33 3 3u u
u udu du+ =∫ ∫ . Se realiza la sustitución 3uz = (exponente), por lo que
13
ln 3
udz du= y así ( )
3 3
2
1 1 1 13 3 3 3
ln3 ln3 ln3 ln3
u uu z zdu dz C C+ = = + = +
∫ ∫ .
47. Por las propiedades de la integral para funciones impares, esta integral vale 0. La respuesta es c).
48. Calculemos la derivada de cos
x
x. Como
( )
2 2 2
cos sincos cos cos sin
cos cos cos cos
x xx x xxD x xD xd x x x x
dx x x x x
− −− + = = =
. Esto
demuestra el enunciado.
49. El valor del área está dado por ( )1
2 3
0
1 1 1
3 4 12y y dy− = − =∫ .
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Matemáticas parte teórica
50. Se tiene que 11
4 3 3
24 8 88
xx
dtt t x
− = = −∫ . Ahora bien si 0 1x< < , entonces 3 1x < ,
de donde 3
11
x< . En consecuencia
3
88
x< lo que implica que
3
88 0
x− < . La
respuesta es d).
51. Como ( ) ( ) ( )
( ) ( )3 2
2
1 3 13 31
4 3 3 1
x x xx x xx
x x x x
− − +− − + = = +− + − −
, el planteamiento correcto
se encuentra en d).
52. 31
1 1 1
200
1sin sin 1 sin 0
3 29
dx x
xπ− − −= = − =
−∫ . La respuesta es c).
53. La longitud de arco está dada por 26
0
1dy
dx
+
∫ . Puesto que sinh6
dy x
dx= ,
entonces 2
2 21 1 sinh cosh cosh6 6 6
dy x x x
dx
+ = + = =
, la longitud de arco es
pues 66
00
cosh 6sinh 6sinh16 6
x xdx = =∫ . La respuesta es b).
54. ( ) ( )2 2
22 2
1 1lim lim lim 1 1
1 11 1
aa
a a a
dx dx
x ax x
∞
→∞ →∞ →∞
= = − = − = − − − − ∫ ∫ . La respuesta es c).
55. Por la fórmula de integración 11n au n n aunu e du u u e du
a a
−= −∫ ∫ con 2n = y 1a = :
( ) ( )2 2 2 22 2 2 2x
x x x x x xx e dx x e xe dx x e xe e C x x e C= − = − − + = − + +∫ ∫ . La respuesta
es a).
56. Aplicando la fórmula de integración 2 2
2 2ln
duu a u C
a u= + + +
+∫ , se tiene
que la respuesta equivalente se encuentra en el inciso b). 57. El (primer) punto de intersección (positivo) de las curvas seno y coseno se
da cuando sin cosx x= , es decir, tan 1x = . En consecuencia 4
xπ= . De modo
que el área pedida está dada por:
( ) ( )/4
/4
00
2 2cos sin sin cos sin cos 1 1 2 1
4 4 2 2x x dx x x
ππ π π− = + = + − = + − = −∫ .
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58. Al aplicar el límite se tiene la forma indeterminada 0/0. Por la regla de L’Hopital y la primera forma del Teorema Fundamental del Càlculo:
3
3 3
0
4 3 30 0 0
sinsin 1 sin 1 1
lim lim lim 14 4 4 4
x
x x x
t dtx x
x x x→ → →= = = ⋅ =
∫.
59. El total de KB que se transfieren en el intervalo [3,7] está dada por la integral de la velocidad de transmisión en ese intervalo. La respuesta es d). 60. El volumen en metros cúbicos está dado por:
( ) ( )22 5 6
4 6
0 0
2 1 12 2
64 64 5 6 64 5 6 30
x xx x dx
π π π π − = − = − =
∫ .
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Soluciones cálculo multivariable
1. Se tiene que θφρφ
coscos=∂∂h
, por lo tanto θφρφθ
sincos2
−=∂∂
∂ h. La
respuesta es a). 2. Como el gradiente es el vector de derivadas parciales y a su vez cumplen con las reglas de derivación, resulta entonces que la respuesta correcta se encuentra en d). 3. El valor promedio de xyxyxf cos),( = sobre el rectángulo R:
10 ,0 ≤≤≤≤ yx π está dado por
( )( ) πππππ
ππππ2
cos1
sin1
sin1
cos010
1
00
1
000
1
0
=
−===−− ∫∫∫ ∫
=
=xdxxxydxxydydxx
y
y. La
respuesta es b). 4. La respuesta es b), pues el producto interno es un número real, por lo que la operación producto cruz no existe, 5. La respuesta es d), pues los coeficientes de las variables x, y, z determinan las componentes de un vector normal al plano.
6. La respuesta correcta es b), pues la derivada de ( ) 2/222 nn zyxr ++= llevará
un factor 2−nr .
7. El volumen buscado está dado por ( )∫ ∫−
+1
0
222
x
xdydxyx . La figura de abajo,
da los límites de integración. Como:
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( )1 22 2
0
4
3
x
xx y dydx
−+ =∫ ∫
La respuesta es c). 8. Un vector normal al primer plano es kjin
−+= ˆ51 mientras que para el segundo plano es kjin
322 +−= , por lo que el ángulo θ entre los planos está
dado por.
( )( ) ( )( ) ( )( )0
1427
312115cos =−+−+=θ .
Esto afirma que los planos son ortogonales y por consiguiente la respuesta es b). 9. Se tiene que la norma del vector dado es 6 . Por consiguiente los cosenos directores se encuentran en la opción d). 10. Se tiene que
kjikji
kji
BA
1062
34
12
14
12
13
11
134
112 +−−=−
+−
−=−
=× . La respuesta
es d). 11. La rapidez es la norma del vector velocidad. Como la velocidad está dada por kjti
22 ++ , el vector velocidad en 1=t es kji
22 ++ . La rapidez por
consiguiente es 3221 222 =++ , la respuesta es c). 12. Se tiene que xxFdiv 32131 +=++=
, por lo tanto, la divergencia en el
punto dado es 2. La respuesta es c). 13. La respuesta es a), pues la divergencia de suma de campos vectoriales es la suma de las divergencias de ambos campos. 14. Si xy = entonces 2yx = , por lo que si 1=x entonces 1=y ; si 4=x da
2=y , por lo tanto ∫ ∫∫ ∫ +=+2
1
4
224
1 1
22
2
)()(
y
x
dxdyyxdydxyx , la respuesta es b).
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15. Una ecuación al plano tangente a la gráfica de ),( yxfz = en el punto
( )( )0000 ,,, yxfyx es ( )( )
( )( )
( )0
,
0
,
00
0000
, yyy
fxx
x
fyxfz
yxyx
−∂∂+−
∂∂+= .
Como ( ) ( )
( )( )
( )222
22
222
2222
2
yx
eyxx
yx
yxx
eex
yx
x
f xxx
+
+−=+
+∂∂−
∂∂+
=∂∂
, entonces
( ) 25
3
2,1
e
x
f =∂∂
, ( ) ( )
( ) ( )222222
2222
2
yx
ye
yx
yxy
eey
yx
y
f x
xx
+−=
+
+∂∂−
∂∂+
=∂∂
y así
( ) 25
4
2,1
e
y
f −=∂∂
y 5
)2,1(e
f = , la ecuación del plano pedido se encuentra en la
opción a). 16. Aplicando las propiedades de la integral triple:
( )( )
61
6
cos3
1
2sinsin
2/
0
1
0
2
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
1
0
2
ππ
φπρρθφφφθρφρ ππππ π
=
=−
=
= ∫∫∫∫ ∫ ∫ dddddd
La respuesta es a).
17. Se tiene que dxdydzyzyzdVz z
E ∫ ∫ ∫∫∫∫+
=1
0
2
0
2
0, por lo que la respuesta es a).
18. La respuesta es c). Es la definición de rotacional.
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19.
rttrvr
u
rttrv
u
rtvtr
u
sin
cos
cos
23
2
−=∂∂∂
∂
=∂∂
∂
=∂∂
. La respuesta es d).
20. La derivada direccional fDu
en el punto dado, se encuentra mediante el producto punto del gradiente en el punto dado y el vector unitario de dirección. Como ( ) ( )kxzyxjzxizxyzf
842 222 ++++=∇ , entonces
( ) kjif
1081,2,1 −−=−−∇ . El vector unitario de dirección es kji
3
2
3
1
3
2 −− . Por
lo tanto ( ) ( ) ( )3
37
3
210
3
11
3
28 =
−−+
−−+
=fDu . La respuesta es c).
21. La respuesta es d). El rotacional de un campo escalar no existe.
22. De la figura se tiene que la masa está dada por dxdyx
x
x
∫ ∫−
−1
2
2
2
2
. La respuesta
es a).
23. La respuesta es b), pues un vector normal al plano dado en el enunciado es
1ˆˆ ˆ2 2n i j k= − + mientras que para el plano 2x = un vector normal es 2
ˆn i= . El ángulo entre ellos es:
( )( )( )1 2
22 21 2
(2)(1) (1)(0) (2)(0) 2cos
32 1 2 1
n n
n nθ ⋅ − += = =
+ − +
. El plano 2x = evidentemente contiene
al punto (2,1,1).
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24. Resolviendo la integral triple, se tiene:
( )( )
2 2 21 4 4 1 42
0 0 0 0
22
12
0
4
4 203 22
2 15 3
a x x y a x
adzdydx x y a dydx
a xdx a a
− − − − − −= − − −
− −= − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
esta ecuación se iguala al valor de 4/15, para obtener una nueva ecuación:
2 2213 0
3a a− + = , al resolverla se tienen dos valores:
13
3
3
a
=
, y como se quiere
el valor más grande, entonces la respuesta es el inciso b) 25. Sea 222 32),,( zyxzyxf ++= . La ecuación del plano tangente a la curva de nivel 21),,( =zyxf en el punto dado está dada por:
)1)(1,1,4()1)(1,1,4()4)(1,1,4()1,1,4(0 −−∂∂++−
∂∂+−−
∂∂+−= z
z
fy
y
fx
x
ff .
Como zz
fy
y
fx
x
f6 ,4 ,2 =
∂∂=
∂∂=
∂∂
, la ecuación del plano tangente es:
( ) ( ) ( )
21324
042648
1614480
=+−=−+−
−++−−=
zyx
zyx
zyx
La respuesta es c). 26. La ecuación del plano tangente a la curva de nivel 43),,( 2 =+= zxyzyxf en el punto (1,n,1) está dada por:
( )( ) ( )( ) ( )( )(1, ,1) 1, ,1 1 1, ,1 1, ,1 1 0f f f
f n n x n y n n zx y z
∂ ∂ ∂+ − + − + − =∂ ∂ ∂
.
Como yx
f3=
∂∂
entonces se debe cumplir que 1=n . La respuesta correcta es
c). 27. Tenemos que encontrar la derivada direccional de ϕ en la dirección del vector dado y en el punto dado.
( ) ( ) ( )kzexjzeix yy 222 2 +++=∇ϕ , de donde ( ) ( )kejei
2421,1,2 +++=∇ϕ y el
vector unitario en la dirección dada es kjiu
14
1
14
3
14
2 −+= , por lo que la
razón de cambio es: 1414
2
14
4
14
3
14
4 eee =−−+ . La respuesta es d).
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28. Se tiene la forma 0
0. Calculemos el límite a través del eje x, esto es
haciendo 0=y , de donde claramente se ve que este límite vale 0. Por otro lado a través del eje y se nota que tal límite es cero. Nuevamente por cualquier curva ( )y f x= el límite es cero y análogamente con cualquier curva ( )x g y= . El límite buscado vale 0. La respuesta es a) 29. La respuesta es b), pues cuando 0=t el punto correspondiente es ( )0,0,1 . 30. Un vector ortogonal al plano es ( )1,6,1 − por lo que al hacerlo unitario se encuentra que la respuesta es la opción c), 31. El rotacional de un gradiente es cero, la respuesta es el inciso c) 32. La longitud de la curva ( )tr en el intervalo [ ]ba, es
( ) ( ) ( ) dttztytx
b
a
∫ ++ 222)´()(')(' . Como 1)( ,cos2)(' ,sin2)(' ==−= tzttyttx , por lo
que la longitud de arco está dado por πππ
551cos4sin400
22 ==++ ∫∫ dtdttt . La
respuesta es d). 33. Este límite se trata de la derivada parcial con respecto a y, de la función
( ) zyxzyxf2
3),,( ++= que es ( )zyx +2 . La respuesta es a).
34. La distancia está dada por la cantidad( )
( ) 14
3
312
3212
222=
+−+
+−. La respuesta
es d). 35. Por las propiedades de la integral triple:
( )( )( ) 8214coscos
2
0
2/
0
4
0
4
0
2/
0
2
0
==
= ∫∫∫∫ ∫ ∫ rdrddzdzdrdr
ππ
θθθθ . La respuesta es d).
36. Se tiene que ( ) ( ) jt
it
jt
it
trtv
2sin
2cos
2sin
2
12
2cos
2
12' −=
−
== y así
jt
it
trtvta
2cos
2
1
2sin
2
1)('')(')( −−=== . La respuesta es c).
37. Para encontrar esta integral se realiza el cambio a coordenadas polares. La región de integración se muestra en la siguiente figura.
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Por lo tanto:
( )182
1
4
1
0
1
0
4/
0
1
0
4/
0
1
0
1
0
222
2
22
−=
=
== ∫∫∫ ∫∫ ∫
−+ eedrreddrdredydxe rrr
x
yx ππθθππ
. La
respuesta es a).
38. Se tiene que ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) 2025255254554lim235235
2,5,=−−−+=−+
−→xyyxx
yx. La
respuesta es a).
39. La carga total será la integral doble de la densidad de carga sobre el disco unitario. Para calcular dicha integral, se procede pasando a coordenadas polares quedando como sigue:
( ) ( ) ( )2
3
4
32
4
1
2
12
4221
1
0
421
0
3
2
0
1
0
2
0
2 ππππθθπ π
=
=
+=
+=
+
=+ ∫∫ ∫ ∫
rrdrrrddrdrr
40. Para que un campo vectorial sea irrotacional se cumple 0F∇× =
, entonces al resolver se tiene:
( )ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ 0x x x x
x x
i j k
/ /F e i ye ye j ze k
x y z x x
yze / ye
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = = − − − + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
al integrar la componente en i y la componente en k , se obtiene que x/ ze= , por lo tanto el resultado es el inciso b)
41. La respuesta es el inciso b), ya que hay dos regiones en cuestión de igual
área, comprendidas en los intervalos 0,2
π
y ,2
π π
, entonces se puede
calcular la integral del primer intervalo y multiplicarlo por dos. En este caso, la integral del primer intervalo se puede dividir en dos subintervalos de integración
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respecto de x , que son: 0,4
π
y ,4 2
π π
, acotado en el eje y por los intervalos
respectivos: [ ]0, tan x y [ ]0,cot x .
p€€€€4
42. La respuesta es d). 43. De la figura se tiene que el área buscada está dada por
22 6 4 16 2 4
2
0 0 2 0 0 2
4 166 16 3
3 3
x x
dydx dydx xdx x dx π−
+ = + − = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . La respuesta es b).
44. El área es la norma del producto cruz de ambos vectores. Se tiene que
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ki
kji
93
103
133 −= , por lo que el área es ( ) 909322 =−+ . La respuesta es d).
45. El volumen del paralelepípedo se encuentra con el producto escalar triple:
( )V A B C= ⋅ ×
, donde los vectores representan los lados del paralelepípedo.
Entonces la forma matricial del producto escalar triple, es:
3 5 1
0 2 2 36
3 1 1
V
−= − = , por lo tanto la respuesta es el inciso a)
46. La respuesta es a) pues yy
x
y
x
xy
x
x
f
+⋅
+=
+∂∂
+=
∂∂
1
1
1cos
11cos y
( )
+−⋅
+=
+∂∂
+=
∂∂
211
cos11
cosy
x
y
x
y
x
yy
x
x
f.
47. La respuesta es c), pues ( ) ( )22
2/122 22
1
yx
xxyxf x
+=+= −
. De manera
análoga con la derivada respecto a y.
48. Sustituyendo la forma paramétrica de la recta tztytx ++++====−−−−====++++==== 1,2,23
8,
en el plano 6623 ====++++++++ zyx , se tiene: ( ) ( )8
3 2 2 2 6 1 63
1
t t t
t
+ + − + + =
= −, por lo
tanto los valores son:
2
3
2
0
x
y
z
=
==
, la respuesta es el inciso a)
49. La longitud de una curva descrita por ecuaciones paramétricas
( ) ( ), ,x f t y g t tα β= = ≤ ≤ , está dada por: 2 2
dx dyL dt
dt dt
β
α
= +
∫ , para nuestro
caso se tiene:
( )
( )2
2
cos sin
1 2sin cos
t
t
dxe t t
dt
dxe t t
dt
= −
= −
y
( )
( )2
2
sin cos
1 2sin cos
t
t
dye t t
dt
dye t t
dt
= +
= +
, al sustituir en la integral:
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( )0
2 2 1tL e dt e
ππ= = −∫ , la respuesta es el inciso d)
50. La respuesta correcta es b), pues la derivada parcial de nnxxx ⋯++ 21 2
con respecto a ix es justamente i.
51. Se tiene que cumplir que 49 22 ≥+≥ yx . La respuesta es c).
52. La región de integración se encuentra en la figura de abajo. De aquí que al
cambiar el orden de integración queda como dydxe
x
x
∫∫∫∫ ∫∫∫∫3
0
3/
0
2
. La respuesta es a).
53. El dominio de u debe satisface 012
2
2
1
2
1 ≥−−−n
n
a
x
a
x⋯ , de donde se obtiene
que el dominio es 12
2
2
2
2
2
2
1
2
1 ≤≤≤≤++++++++++++n
n
a
x
a
x
a
x⋯ , la respuesta es a).
54. El tiempo en el que la pelota dura en el aire está dado por 02 sinvt
g
α= ,
donde 0v es la velocidad inicial de la pelota, α es el ángulo con el que se
lanza; de modo que( )
2
2 83.6 / sin 68º4.84
32 /
ft st s
ft s= ≈ . La respuesta es a).
55. El triple producto da el volumen del paralelepípedo que forman los vectores. Como éste es cero entonces se encuentran sobre el mismo plano, i. e. son coplanares. La respuesta es d).
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56. El volumen está dado por el valor absoluto de la integral triple 2 2 12 2 3
6 3 6
0 0 0
x x y
dzdydx
− − +
∫ ∫ ∫ . Como
2 12 12 2 3 2 2 2 12
6 6 6 23 6 3 3
0 0 0 0 0 0 0
66 62 2 2 3 2
0 0 0
12 2 32
6 3 4
4 24 2 12 4 48 144 4 24 4
3 9 36 9 3 27 3
216 7224 8 24 24 8
27 3
x x y x xy
y
x y xy ydzdydx dydx y dx
x x x x x x x x xdx dx x
− − + − −=
=
− + = = − + =
− − − +− + = − + − = − + − =
− + − = − + − = −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
El volumen es 8, que se encuentra en la opción b).
57. Igualando las coordenadas de ambas rectas se tiene el sistema
2 3
4 6 0
4 4
t v
t v
t v
+ =+ =
+ =.
La solución de las primeras dos es 9
4t = − y
3
2v = − . Estos valores no son
soluciones de la tercera ecuación. Por tanto las rectas no se cortan. La respuesta es a). 58. Se tiene que ( ),x y xρ = . Por lo tanto, las coordenadas del centro de masa
están dadas por
( )( )
4 4 4
2 2 5/27/2
00 0 0 0
4 445/23/2
0
0 00 0
4 2 44 4 3
2
0 00 0 0 0
45/2 5/2 5/2
0 0
24
5 207 42 7 74
5
642 3 1032 1 1 32 34 4 4
5 5 5 5
xy x
y
xy x
y
y xx
y
x
x dydx x y dx x dx
x
xy dx x dxxdydx
xy xxydydx x dx
y
xdydx
=
=
=
=
=
=
= = = = = =
= = = = = =
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
59. Por el primer caso de la regla de la cadena:
( )( ) ( )( )2 22 sin cos 2 cos sinxy xydz z dx z dyy e t t t xye t t t
dt x dt y dt
∂ ∂= + = − + + +∂ ∂
Cuando , 0, 2 2
t x yπ π= = = , por lo que
2 3
2 2 8
dz
dt
π π π = − = −
.
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60. La respuesta es d), pues en el punto donde la pelota no se mueve la derivada direccional es cero, mientras en la que resbala más rápidamente es el valor de la norma del gradiente.
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Soluciones de Álgebra Lineal
1. Tenemos la matriz aumentada
10333
6222
3111
y realizando la operación
13 3RR − se llega a la matriz
1000
6222
3111
, de lo que se deduce que el sistema
es inconsistente. La respuesta es b).
2. El determinante de la matriz dada es 2− , por lo que por el método de la
adjunta, la inversa es
−−
−11
20
2
1. La respuesta es c).
3. 521 == aα y 313 == aβ . La respuesta es b).
4. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
−=
+−+−++
=
− 114
208
62110241
63120342
60
14
21
32. La respuesta es
a).
5. La respuesta es c), pues a) no puede ser ya que
−−76
54 si es invertible (su
determinante es 2); b) tampoco es pues )2/1,1( −− no es solución y d) tampoco ya que no es su propia inversa. 6. La matriz es invertible, pues su determinante es -1. La respuesta es c).
7. La respuesta es b), pues ( )( ) 0=−=−−−=−
−ababbaab
ba
ba.
8. La matriz dada es triangular, por lo que su determinante es el producto de los elementos en su diagonal principal. Tal valor es ( )( )( )( ) 121232 −=− . La respuesta es b).
9. Se tiene que
=
−−
−−
=10
01
23
12
23
122A . La respuesta es b).
10. ( ) IIAAAA =+=+ 222 , de modo que la respuesta se encuentra en b).
11. Como I=
−−−−−
−−−−
131
7185
11298
153
132
543
, la respuesta es c).
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12. Se tiene que
=
=
2
2
2
0
2
0
1
0
1
λλλ
λλ
λλ
A , de modo que
=
−
n
nn
n nA
λλλ
0
1
. La respuesta es b).
13. Como
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 3 42 3 4 3 4 2
2 3 4
6 8 3 4 6 3 8 4
8 3 8(2) 3( 2) 10
a b a ba b c d a b c d
c d c d
ac ad bc bd ac ad bc bd
ad bc bc ad
+ += + + − + + =
+ +
+ + + − + + + =
− + − = + − =
,
, el resultado es el inciso c) 14. La solución se encuentra en el inciso a), lo cual se realiza mediante sustitución directa en el sistema dado.
15. La matriz aumentada es de la forma
−−
642
963. Si se divide la primera
fila por 3 se tiene la matriz
−−
642
321 y al sumar la segunda fila de esta
matriz con 2 veces la primera se tiene la matriz
−1200
321, de lo que resulta
que el sistema es incompatible. La respuesta es d). 16. La respuesta es c), ya que al sustituir la opción en el sistema se tiene una identidad en ambas ecuaciones. 17. La respuesta es a). 18. La opción a) no es. La opción b) es la respuesta correcta ya que la ecuación 2 del sistema es equivalente a una cuyo segundo miembro es cero. 19. Se tiene que ( ) ( )( ) 222
BBAABABABABA +++=++=+ . La respuesta es b). 20. La respuesta es a). 21. La respuesta es d). El método de la adjunta da la inversa de la matriz dada. 22. Se tiene que CAXB = , de donde CAXB 1−= y de aquí 11 −−= CBAX . La respuesta es c).
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23. Se tiene
2
3
1 2 1 2 1 0
0 1 0 1 0 1
1 2
0 1
A
A A
= = − −
= = −
, como IBA =3 , entonces
1 2
0 1B
= − . Luego entonces
12 2b = , la respuesta es el inciso b)
24. La respuesta es a)
25. La respuesta es a), ya que 1 0
1
nAn
= −
. Se utiliza el hecho de que
( )11 2
2
n nn
++ + + =⋯ .
26. La afirmación a) es correcta ya que si se cambia el orden de dos columnas (o filas) el valor del determinante cambia de signo. La afirmación b) es correcta ya que al multiplicar por un escalar el determinante queda multiplicado por dicho escalar. La afirmación c) es correcta ya que el determinante de una matriz y su transpuesta son iguales. La afirmación falsa es entonces la que se encuentra en d).
27. Para 2n = se tiene que 1 2
1 0A
− = − y su determinante es 2 2!= . Mientras
que para 3n = se tiene que
1 2 3
1 0 3
1 2 0
A
= − − −
y su determinante es
0 3 1 3 1 01 2 3 6 3!
2 0 1 0 1 2
− −− + = =
− − − −. La respuesta es c).
28. puesto que 2 2
1 1 1 1
22 2 2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
λ λ λ λλ λ λ λ
= =
y como
2 2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
2
3 3 3 3
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
λ λ λ λλ λ λ λ
λ λ λ λ
= =
, la respuesta es a).
29. Para 2n = tenemos
( ) ( )10 11 1 2 1
1 0= − = − − .
Para 3n =
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
0 1 11 1 1 0
1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 11 0 1 1
1 1 0
= − + = − − + = + = = − − . De esto se
deduce que la respuesta es b). 30. La respuesta correcta es c) ya que ( ) ( )4, 1,0 2,3, 5 8 3 0 5− ⋅ − = − + = .
31. Si 4 400A = , entonces 3
400 400
4 64A = = . Por otro lado
( )1
36 36225
64
400
Adj BA−
= = = . Puesto que ( ) 225 15B Adj B= = = . La
respuesta es d). 32. La respuesta es d). 33. Desarrollando el determinante por la segunda columna: 1 3 4
2 4 1 4 1 42 0 4 3 0 9 3(38) 9( 12) 6
3 13 3 13 2 43 9 13
−− = − + − = − − − = −
−. La respuesta es
a). 34. Un sistema homogéneo tiene infinitas soluciones cuando el determinante de la matriz de coeficientes es cero. Puesto que 0 2
63 1
10 50
4 2
5 37
1 2
4 10
8 2
= −−
=
=
−=
−
La respuesta es c). 35. Si realizamos la operación de la segunda fila menos la primera obtenemos la matriz
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1 2 3 4 5
5 5 5 5 5
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
.
Si se realiza la operación de la cuarta fila menos la tercera se obtiene la matriz: 1 2 3 4 5
5 5 5 5 5
11 12 13 14 15
5 5 5 5 5
21 22 23 24 25
.
Por lo tanto su determinante vale cero. La respuesta es c). 36. Se tiene que ( )
12(1)(2) ( 3)(0) 2AB = + − = y
122 2( 4) 8C = − = − , por lo tanto
12 2 8 6d = − = − . La respuesta es b). 37. La solución es c), lo que se comprueba sustituyendo cada valor en el sistema dado. 38. La matriz C es 5 2× y A B+ es 4 5× , por lo tanto ( )C A B+ no está definida.
La respuesta es c). 39. La respuesta es c), pues el hecho de que el producto de dos matrices sea cero no implica que alguna de ellas sea cero. 40. Cuando 2n = se tiene que
2 2 21 3
( 1)( 2) 3 2 3 2 2 12 2
x xx x x x x x x x
x x
+ = + + − = + + − = + = + + . Mientras que
cuando 3n =
( ) ( ) ( )
( ) ( )2 2 2
12 1
2 1 1 4 33 3
3
3
115 11 6 3 2 11 6 6 1 3! 1
6 2 3
x x xx x x x x x
x x x x x x x xx x x x x x
x x x
x x x x
x xx x x x x x x
++ +
+ = + − + = + ++ +
+
− + − =
+ + − − = + = + = + + +
La respuesta es a). 41. Por las propiedades de los determinantes
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( )
( )( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
0 0
a b c a b c a b c a b c
b c c a a b a b c a b c a b c
a b c
= = + + =+ + + + + + + + +
+ + =
La respuesta es b).
42. Si 0x = , la matriz A tiene dos filas iguales (la primera y la segunda) por lo que su determinante es cero y no puede ser invertible. Análogamente, si 1x = , las filas que se repiten son la segunda y la tercera, por lo que también esta matriz no es invertible. La respuesta es d).
43. El sistema dado no tendrá solución cuando 2 3
04 k
−= . Esto equivale a la
ecuación 2 12 0k− − = , cuya solución es 6k = − . La opción correcta es d).
44. Se tiene que 3 0A = , de lo cual se desprende fácilmente que 0nA = para 2n > . La opción correcta es b).
45. Si 2k = , el determinante de la matriz es cero, por lo que su rango es diferentes de 3. La respuesta es c).
46. Se tiene que TC C= , de modo que al ser una matriz ortogonal, 2
1C = y
por lo tanto el valor absoluto del determinante es uno. La opción correcta es d).
47. La opción correcta es d).
48. Claramente la matriz dada no es triangular superior. Tampoco es antisimétrica, puesto que es simétrica. No puede ser ortogonal puesto que es equivalente por filas a una matriz con una fila de ceros, por lo que su determinante es cero (recordar el ejercicio 46). La única opción es que sea idempotente, que se encuentra en b).
49. La respuesta es d), pues si x a= , entonces
0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
a b x a a b a b a b
x x b x a a b a a a a
−+ = + = = = .
Por otro lado si x b= , se tiene que
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2 2 2 0
0 1 1 0 1 1 0 1 1
a b x a a b b a a b b
x x b x b b b b b b
− −+ = = = .
50. Por las propiedades de los determinantes, ( ) ( )55det det( )B B= . Ahora bien,
1 0 1 1 0 11 1
det 1 1 2 1 1 2 ( 2) 21 2
1 2 1 0 2 0
B = = = − = − . En consecuencia
( )55det 2 32B = − = − . La respuesta es a).
51. Si 0α = , la matriz dada tiene la tercera fila de ceros, por lo que no puede tener inversa. Por otro lado si 2α = , la matriz dada tiene las primera dos filas repetidas, por lo que tampoco puede tener inversa. En consecuencia la matriz es invertible si α es diferente de estos dos valores. La opción correcta es b).
52. Realizando las multiplicaciones indicadas:
2 5 4 5 23 15 5
3 1 3 9 15
4 5 2 5 23 15
3 3 1 6 3 15
k
k k
k k k
− − + = − − +
− = − − +
.
Para que las matrices sean conmutativas es necesario que 10 5 15k− + = y 6 3 9k− = − , cuya solución en ambos casos es 5k = . La opción correcta es c).
53. La opción correcta es la d), pues como det dettA A= y
( ) ( )( ) ( )2det det det det 0t tA A A A A= = ≥ .
54. a) ( )2 21
1 11
n nn n
n n
+= − − = −
−.
b) 2 2cos sin
cos sin 1sin cos
α αα α
α α−
= + = .
c) ( )( )1 log1 log log 1 1 0
log 1
b
b a
a
aa b
b= − = − = .
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55. Se tiene que 1 1
11 2
xx
= −−
. Por otro lado,
( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 0 1 0 1 2
1 1 3 0 0 2 0 0 2
x x x x x
x x x
− = − = − = − −− − −
. En
consecuencia
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1
1 2 1 1
1 2 1 1 21 1 3 1
1 1 1 1
n
x
x x n x x x x nx
n x
−= − − − = − − − −−
+ −
⋯
⋯
⋯ ⋯⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯
.
56.
( )1(2)
21
2(3)
22
1 1 12 1 3 2 2 1 2
2 1 2 2
1 1 1 0
2 2 2 2 2 2( 4) 4 (8)
4 0 4 0 4 4
114 8 2 1 2
2
x x x xx x x x
x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x
+ + = = + + = + = + − + −
++ = − + = − = + + + =
+ + − +
+ = + −
Esto sugiere que:
( 1)
2
1
21
2 1 242
2
n n
n
n
x x x x
x x x x
xx x x x
x x x x
+
++
= + −+
+
⋯
⋯
⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯
.
57. a) Ambas ecuaciones son equivalentes 2 3 1x y+ = , por lo que el sistema es
indeterminado.
b) Para 90ab ≠ , el sistema está determinado, para 6, 15a b= = , está
indeterminado y para 90ab = pero 6a ≠ y 15b ≠ , es contradictorio.
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58. Se realizan las siguientes operaciones elementales de fila
1 1
2
3 2
3
2
2
1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 0
2 1 3 5 2 1 3 5 0 5 5 5
1 7 9 0 10 10 0 10 10
1 3 1 0
0 5 5 5
0 0 0 10
R R
R
R R
R
α α α
α
+ −
+
− → − → − − −
→ − − +
Por lo tanto, el sistema tendrá solución sólo cuando 10 0α + = , esto es cuando 10α = − .
59. Se trata de un problema de balance de materia, en la que se plantea el hecho de que la cantidad de materia que entra al tanque de mezclado es la misma que sale después de realizar el proceso. Esto se realizará para cada uno de los componentes de la mezcla: etanol, metanol y agua.
Para el etanol se tiene que lo que entra es 1 30.83 0.55M M+ mientras lo que se
obtiene es 58, por lo que la ecuación para este compuesto es
1 30.83 0.55 58M M+ = .
De manera análoga se obtienen expresiones para el metanol y agua, obteniéndose así el sistema:
1 3
2 3
1 2 3
0.83 0.55 58
0.61 0.24 21
0.17 0.39 0.27 21
M M
M M
M M M
+ =+ =
+ + =.
La solución de este sistema es 1 2 319, 4.23, 76.77M M M= = = .
60. La respuesta es c).
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Soluciones ecuaciones diferenciales
1. Si se escribe la ecuación dada como
1'y y xx
− = ,
la ecuación dada es lineal, por lo que la solución general es pues:
( )
1 1
ln ln
2
dx dxx xx xy C xe dx e C xe dx e C dx x
C x x Cx x
− − ∫ ∫ = + = + = + =
+ = +
∫ ∫ ∫
Por lo que una solución se encuentra en b).
2. La respuesta es b), pues xy
x
xy
yx
dx
dy 222
−−=−−= .
3. Puesto que ( ) 222 2 nxxyynxxyy
+=+∂∂
y ( ) xyxyxxx
23 223 +=+∂∂
, se concluye
que para que estas derivadas sean iguales y por consiguiente la ecuación sea exacta, 3=n . La respuesta es d). 4. Las soluciones de la ecuación característica son 1m y 2m . Por tanto, la respuesta es a).
5. La respuesta es c), ya que al multiplicar la ecuación dada por ( ) 3
1,x y
xyµ =
se obtiene la ecuación 3
1 10xdx dy
y y
+ + =
, que es exacta pues
( ) 3
1 10x
y x y y
∂ ∂= = + ∂ ∂ .
6. La ecuación característica es ( )( ) ( )( ) 0332
1 =−−+−
+ imimm , o bien
( )( ) ( )( ) 0332
1 =−−+−
+ imimm . Como
( )( ) ( )( ) ( ) 106196333 2222 +−=++−=−−=−−+− mmmmimimim , entonces
( ) 01062
1 2 =+−
+ mmm , es decir, ( )( ) 010612 2 =+−+ mmm , de donde se
obtiene que la ecuación característica es 01014112 23 =++− mmm . La ecuación pedida se encuentra en la opción a). 7. Como puede apreciarse, las soluciones de la ecuación homogénea correspondiente son xe y xe− , por lo que la solución particular para el caso de una exponencial, será de la forma xBxe y de una constante es de la forma A ,
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por lo que entonces la suma da la solución particular para el problema. La respuesta es c). 8. La ecuación característica es 22 2 3 0m m+ + = , cuya solución por la fórmula general es
( ) ( )( )
22 2 4 2 3 2 20 2 2 5 1 15
2 2 4 4 2 2
im i
− ± − − ± − − ±= = = = − ± . Por lo tanto la
solución general de la ecuación dada se encuentra en la opción a).
9. La ecuación dada es homogénea, por lo que al realizar la sustitución y
ux
= ,
la ecuación dada se convierte en 21du
u x u udx
+ = + − , que se reduce a
21du
x udx
= − , que es de variables separables. Al aplicar este procedimiento
queda:
21
du dx
u x=
−∫ ∫ , y como 2
1 1ln
1 2 1
du u
u u
+=− −∫ y ln ln
dxx c
x= +∫ , entonces
1 1ln ln
2 1
ucx
u
+ =−
y por las propiedades de los logaritmos ( )21ln ln
1
ucx
u
+ =−
, de
donde 2 21
1
uc x
u
+ =−
. Realizando la sustitución indicada arriba se tiene que la
solución es
2 2
2 2
1
1
y
x c xy
x
x yc x
x y
+=
−
+ =−
.
Despejando y se tiene que
( )( )
( )
2 2
2 2
2 2 2 3
2 2
2 2
1
1
1
x yc x
x y
x y c x x y
c x y c x x
x c xy
c x
+ =−+ = −
+ = −
−=
+
La respuesta es b).
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10. La solución de 2'' 0y k y+ = es 1 2sin coscy c kx c kx= + . Por lo tanto la solución
particular de la ecuación dada tendrá la forma: sin cospy A bx B bx= + . Puesto
que '' 2 2sin cospy Ab bx Bb bx= − − , entonces
( ) ( )( )
2 2 2 2 2
2 2
sin cos sin cos sin
cos sin
Ab bx Bb bx k A bx B bx A k b bx
B k b bx bx
− − + + = − +
− =, de donde
0B = y 2 2
1A
k b=
−, por lo tanto la respuesta es c).
11. La solución de la ecuación homogénea correspondiente es
2 5
1 2
x x
cy c e c e= + . La solución particular tendrá la forma x
py Ae= y puesto que
sus derivadas son iguales, al sustituir esta expresión en la ecuación dada obtenemos 4 24x xAe e= de donde 4 24A = y 6A = . Por tanto 6 x
py e= y en
consecuencia la solución general es xxx eececy 65
2
2
1 ++= . La respuesta es a). 12. En este caso ( ),M x y x y= + y ( ), ln/ x y x x= . Puesto que
( )1 1 ln 1
ln
y xM / x
/ x x x
− − += = − , la ecuación tiene un factor integrante que depende
de x, el cual está dado por 1
ln 1dxxxe e
x
− −∫ = = .
Al multiplicar la ecuación por este factor resulta 1 ln 0ydx xdy
x
+ + =
, por lo que
existe una función ϕ tal que 1y
x x
ϕ∂ = +∂
y ln xy
ϕ∂ =∂
. Integrando esta última
relación con respecto a y, se tiene que ( ) ( ), lnx y y x f xϕ = + , y al derivarla con
respecto a x, se llega a que '( ) 1f x = , de donde ( )f x x= . Por lo tanto
( ), lnx y y x xϕ = + y la solución es entonces lny x x c+ = . La respuesta es d).
13. Si
0Q representa la cantidad inicial de plutonio 241, la cantidad Q estará
dada por 0.0525
0( ) tQ t Q e−= . Se quiere el tiempo T, tal que 0
1( )
2Q T Q= , de donde
se obtiene la ecuación 0.0525 1
2
Te− = y así
1ln
213.2
0.0525T
= =
−. La respuesta es b).
14. La ecuación del sistema masa - resorte es 2'' 0y yω+ = , donde 2 k
mω = y k
es la constante del resorte y m la masa del objeto. De la ley de Hooke 2 0.5k= ,
(se hace la conversión a pies) de donde 4k = . Por otro lado 2 1
32 16m = = y así
2 64ω = . Por lo tanto la ecuación del resorte es '' 64 0y y+ = sujeta a las
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condiciones ( ) 10
4y = y '(0) 0y = (suponiendo que hacia abajo las cantidades
son positivas). La solución de la ecuación es sin8 cos8y A t B t= + , por lo que de la primera
condición se ve que 1
4B = . Derivando la solución se obtiene
' cos8 sin8y A t B t= − de donde 0A = . Por lo tanto la solución se encuentra en a). 15. Como la pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada de la función en ese punto, las condiciones del problema conducen a la ecuación dy
axdx
= , por lo que la respuesta es d).
16. Se obtiene la ecuación de la familia de curvas derivando implícitamente la ecuación dada con respecto a x:
2 2 0dy
y xdx
− = , de donde se obtiene dy x
dx y= . Las trayectorias ortogonales
satisfacen la ecuación dy y
dx x= − , que al aplicar separación de variables se
obtiene 0dy dx
y x+ = , que al integrarla da ln ln lny x c+ = o bien ( )ln lnxy c= , que
por las propiedades de la exponencial da la solución a).
17. La ecuación que rige el crecimiento del cultivo es dQ
kQdt
= , sujeta a la
condición inicial (0) 500Q = .La solución del problema de valor inicial es
( ) 500 ktQ t e= . Como (3) 8000Q = entonces 3500 8000ke = , de donde
8000ln
5000.924
3k
= = . Por lo tanto 0.924( ) 500 tQ t e= .
Para determinar el tiempo T para el cual ( ) 30000Q T = , hay que resolver la
ecuación 0.924500 30000Te = , o bien
30000ln
5004.43
0.924T
= = . La respuesta es d).
18. La cantidad de dinero a cualquier instante t que se genera por un interés
de 100
r de manera continua se obtiene mediante 100( )
rt
oQ t Q e= donde 0Q es la
cantidad inicial (o depósito). Se busca r de tal manera que
0(8) 2Q Q= , de lo cual se obtiene la ecuación 8
1000 02
r
Q e Q= , de donde 100ln 2 25
ln 28 2
r = = . La respuesta es c).
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19. La descripción de este problema está dada por la ecuación ( )m
dTk T T
dt= − ,
donde 0k < (constante) y 12mT = . La solución de esta ecuación es
( ) 12 ktT t ce= + . Como (0) 70T = , se tiene que 58c = y con 1
402
T =
obtenemos 14
2 ln29
k =
. Así 14
( ) 12 58exp 2ln29
T t t = +
.
Por tanto, (2) 15.15T = . La respuesta es c). 20. Con los datos proporcionados, la ecuación a resolver es 1
'' 3 ' 100 010q q q+ + = . Por lo que la ecuación característica es
2 30 1000 0m m+ + = . Resolviendo esta ecuación, 15
1 2( ) cos5 31 sin5 31tq t e c t c t− = + , pero la condición (0) 0q = , da la solución
15
2( ) sin 5 31tq t c e t−= . Derivando esta relación se obtiene la corriente y con la condición de que 2I = , se llega a la solución que es d).
21. Las raíces de la ecuación característica son 1
12
3z i= + así como su
conjugado, de esta manera ( )( ) 2
1 1
374
9m z m z m m− − = − + . Por lo tanto la
ecuación diferencial buscada es 9 '' 36 ' 37 0y y y− + = . La respuesta es b). 22. La ecuación característica es ( )( )2 3 24 5 6 15 100m m m m m− + = + − − . La
ecuación pedida es d). 23. Derivando 2 veces la función dada y sustituyendo sus derivadas en la ecuación dada se obtiene ( ) ( ) ( )2 6 3 2Ax Axλ λλ λ λ λ+ − = + − , por lo que se
debe tener que 3λ = − y 2λ = . La respuesta es c). 24. La ecuación dada es exacta pues
( )( ) 1
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 2
22 2
1 1
2 2
x xy x y x y x x y
y x y xx y
−− − − − ∂ ∂ + = − = + + ∂ + ∂ +. La
respuesta es b). 25. Si P es la cantidad de fermento, la ecuación que describe su crecimiento es dP
kPdt
= , sujeta a la condición inicial 0(0)P P= ,donde
0P es el fermento inicial y
k es una constante. La solución de este problema de valor inicial es
0( ) ktP t P e= .
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Como 0(1) 2P P= , ln 2k = . Así ( )ln 2
0( )t
P t P e= . Para la cantidad pedida se tiene
que ( ) 11ln2
4
0 0
116.72
4P Pe P
= =
. La respuesta es c).
26. La fórmula para resolver ecuaciones lineales en este caso lleva la integral de una trigonométrica multiplicada por una exponencial, lo que lleve a que esta función también es trigonométrica por una exponencial, lo que afirma que las opciones b), c) y d) no pueden ser. Por lo tanto la respuesta es a). 27. La respuesta es c). 28. La respuesta es d).
29. Se escribe la ecuación dada como 3 2x ydye e
dx= , de donde 2 3y xe dy e dx− = , que
al integrar da la respuesta que es a).
30. Se escribe la ecuación como di R E
idt L L
+ = que es lineal, por lo que:
( )R R R R R R Rdt dt t dt t t t
L L L L L L LE E E L E
i t C e dt e C e dt e C e e CeL L L R R
− − − − ∫ ∫ ∫= + = + = + = +
∫ ∫ .
La condición 0(0)i i= , da que 0
EC i
R= − . Por tanto la solución es a).
31. La solución particular debe ser de la forma x c= y puesto que sus derivadas son cero, se tiene que 2c Aω = , de donde la solución particular es la que se encuentra en a). 32. La raíz -2 genera una ecuación de tercer grado y la compleja de multiplicidad 2 genera una de cuarto grado, entonces la respuesta es d).
33. Paco tiene razón pues si ( )y t t= entonces 1 1
11 1
dy y t
dt t t
+ += = =+ +
. Hugo
también tiene razón porque ( )2 11 2 1 1
21 1 1
tdy y t
dt t t t
++ + += = = =+ + +
. La respuesta es
b). 34. Como la gráfica tiene intersecciones con el eje x, la solución lleva funciones seno y coseno, por lo que las raíces de la ecuación característica son complejas, pero además dichas intersecciones no están igualmente espaciadas, la solución también lleva una exponencial. La única ecuación cuyas raíces cumplen las condiciones dadas es la que se encuentra en d),
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35. Un factor de la ecuación característica es 1m − . Los otros dos son ( )( )1 2m i− − y ( )( )1 2m i− + . La ecuación característica es entonces
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2
3 2
1 1 2 1 2 1 1 4 1 2 5
3 7 5 0
m m i m i m m m m m
m m m
− − + − − = − − + = − − +
= − + − =
La ecuación pedida se encuentra en b). 36. La ecuación homogénea correspondiente tiene por solución
cos 2 sin 2y A x B x= + . La solución particular de la no homogénea tendrá la
forma 2
py a bx cx= + + , como '' 2py c= , entonces se tiene que
( )2 22 4 8c a bx cx x+ + + = , de donde se obtiene el sistema
4 8
4 0
4 2 0
c
b
a c
==
+ =,
y así 1a = − , 0b = y 2c = . La solución particular es pues 22 1py x= − . En
consecuencia la solución es la que se encuentra en b).
37. Se tiene que ( )2 2( ) '( )y f x y f xx
∂ =∂
y ( )( ) sin '( ) sing y x g y xy
∂ =∂
. De modo
que estas parciales son iguales si '( ) sinf x x= y 2'( )g y y= . Por consiguiente
( ) cosf x x= − y 3
( )3
yg y = . La respuesta es c).
38. La respuesta es a), pues al derivar la potencia 7
2, queda como resultado
una potencia 5
2, que al volverse a derivar queda un potencia
3
2.
39. La solución se obtiene mediante la solución de la ecuación característica
22 3 1 0m m− + = , cuyas soluciones son ( ) ( )( )
( )
23 3 4 2 1 3 1
2 2 4m
± − − ±= = o bien,
1 1m = y 2
1
2m = . La solución es a).
40. La solución general se obtiene mediante ( ) ( )9 1014 5 4 5
40y x dx x C= + = + +∫ .
La respuesta es c). 41. La respuesta es d).
42. Se escribe 2dy y
dx x= + , por lo que es homogénea. Mediante la sustitución
yu
x= , la ecuación dada se transforma en 2
duu x u
dx+ = + , o bien 2
duxdx
= y así
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2du dx
x= , por lo que 22ln lnu x x C= = + y de aquí ( )2lny C x x= + . La solución
es d).
43. 2 25 3 2 3 2 2 51 1
3 3
dx dxx x x x x x xy C e e dx e C e dx e C e e Ce e− ∫ ∫ = + = + = + = +
∫ ∫ . La
respuesta es b). 44. Recordando las propiedades de los exponentes la ecuación se escribe
como x ydyxe e
dx
−= − , que al utilizar el proceso de separación de variables da
y xe dy xe dx− −= − , que da como resultado ( )1y xe x e c− −− = + + , de donde se
obtiene que ( )1x ye x C− = − + + . La respuesta es d).
45. La razón a la que produce el dulce está dado por dQ
dt , por lo cantidad de
dulce que le queda al tiempo t es 10
dQ Q
dt− y esta cantidad es igual a 500. Por lo
tanto la respuesta es a). 46. La opción correcta es a), pues ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )ln ln ln ln ln ln( ) ln( ) ln( ) ln ln ln( ) ln( ) 1
ln 1 ln 1
x y exy x y e x y x y x y
x y
+ = + + + = + + +
= + + 47. El estudiante 2 es el que está aprendiendo más rápido en el instante 0t = . La respuesta es b). 48. La población a cualquier instante de tiempo está dada por 0.4
0
tP e . El tiempo
T para el que la población se triplica es 0.4
0 03TP e P= . De donde ln 3
2.750.4
T = ≈ .
La respuesta correcta es a). 49. El capital al tiempo t (en años) estará dado por 0.0610000 te . De modo que el capital a los 18 años es ( )0.06 (18)
10000 29446.8e ≈ , que se encuentra en el inciso a). 50. Si ( )/ t representa el número de bacterias al tiempo t, entonces
( ) 500 kt/ t e= , donde k es una constante que se ha de determinar. Puesto que,
cuando 3, 8000t /= = , entonces 1 8000ln 0.924
3 500k
= =
. En consecuencia
0.924( ) 500 t/ t e= . El tiempo para el cual 30000/ = se obtiene mediante
1 30000ln 4.43
0.924 500t
= =
(en horas).
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51. La EDO dada es separable pues ( )( )2 2 2 1du
u t tu t udt
= + + + = + + . Se tiene
entonces que ( )21
dut dt
u= +
+, que al integrar da ( )
2
ln 1 22
tu t C+ = + + . Aplicando
exponencial a ambos lados, se tiene que la respuesta se encuentra en a). 52. La respuesta es b), pues ' xy ce−= − y ' 1 1x xy y ce ce− −+ = − + + = . 53. La opción correcta es b). La condición inicial (0) 2y = es trivialmente cumplida por la función. La derivada de un polinomio por una exponencial nuevamente es de esa forma, por lo que la evaluación en cero, es cero. 54. La solución de la EDO dada es
( )( ) kt kt kt kt ktr rx t C re dt e C e e Ce
k k
− − − = + = + = +
∫ . De esto se deduce que el
límite pedido es r
k que se encuentra en c).
55. Ocupando la regla de Horner se ve que la ecuación característica
4 32 2 1 0m m m+ − − = es equivalente a ( ) ( )31 1 0m m+ − = , lo que la solución de la
EDO dada se encuentra en c). 56. La respuesta es d). 57. La respuesta es d), pues esta cantidad no puede expresarse como combinación lineal de las funciones dadas. 58. La respuesta es c), ya que al aplicar separación de variables, integrar entre 0 y x, se obtiene
( )ktXe
X
α βαβ βαβ α
−− =−
,
de donde se obtiene ( )
( )
kt
kt
eX
e
α β
α βαβ αβ
α β
−
−
−=−
, que es equivalente a lo dicho.
59. La población crece de acuerdo a la expresión 0
ktP e , donde k, es la constante de crecimiento. Como a las dos horas la población se duplica,
entonces 2
0 02kP e P= , de donde se obtiene que ln 2
0.34662
k = ≈ . El tiempo para
el cual, la población se triplica es 0.3466
0 03tP e P= , o bien ln 3
3.170.3466
t = ≈ , que se
encuentra en b).
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60. El PVI correspondiente es 2
(1) 1
dyy
dx
y
=
=. La solución de la EDO es 2x cy e += . Al
sustituir la condición inicial y aplicar logaritmo se llega a que 2c = − . La respuesta correcta es d).