8/19/2019 Mate III ING Semana 07
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Matemática III
(ING)
Semana 7
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Método de Integración por fracciones
parciales
Método de Integración por Partes
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Cuando se presente una integral de la forma:
dx)x(Q)x(P
1. GA[P(x)] < GA[Q(x)] Fracción propia
2. Q(x) sea factor izable
con las siguientes características:
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Entonces podemos utilizar el método algebraico de:
Descomposic ión de una fracc iónen una suma de fracc iones parciales
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Por ejemplo:
5x
4
3x
7
Es una suma de fracciones heterogéneas, cuya solución
empieza calculando el mcm de los denominadores:
)5x)(3x(
47x3
15x2x
47x3
2
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Ahora haremos el proceso inverso, es decir, partiremos
de la suma para llegar a las fracciones que dieron origena dicho resultado
15x2x
47x3
2
5x
4
3x
7
Proceso que se denomina descomposición de una
fracción en una suma de fracciones parciales. Atendiendo al grado que presentan los factores del
denominador se presentan cuatro casos:
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Caso 1: Factores lineales no repetidos
Ejemplo 1:
22 axdx
k a x
a x
lna2
1
a x
dx
:Rpta 2 2
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Ejemplo 2:
dx6x5x2x
26x20x4
23
2
k 3 x
)2 x ( 1 x ln:Rpta
5
2 7
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Caso 2: Factores lineales repetidos
Ejemplo 1:
2)1x(dxx
k 1 x
11 x ln:Rpta
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Ejemplo 2:
dx)1x(x
1x3
3
k x x
x x
2)1(
1
1
11ln2ln:Rpta
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Caso 3: Factores cuadráticos no repetidos
Ejemplo 1:
)4x(xdx4
2
k 4 x ln2
1 x ln:Rpta
2
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En resumen:
1. Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de
Q(x); antes de aplicar los siguientes pasos deben
dividirse los polinomios.
2. Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x);
factorizar Q(x) de manera que contenga factores
lineales (ax + b) o factores cuadráticos (px 2 + qx + r)con discriminante negativo y agrupar los factores de
manera que: Q(x) = (ax + b)m(px 2 + qx + r)n…
Este método es aplicable a integrales de la forma:
dx xQ
x P I
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En resumen:
3. Aplicar las siguientes reglas:
Regla a)Por cada factor de la forma (ax + b)m, la descomposición en
fracciones parciales contiene una suma de m fracciones de
la forma:
mm
bax A
bax A
bax A
...2
21
Regla b)
Por cada factor de la forma (px2 + qx + r)n, la
descomposición en fracciones parciales contiene una suma
de n fracciones de la forma:
n
nn
r qx px
B x A
r qx px
B x A
r qx px
B x A
22
2
22
2
11...
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Ejercicios:
1.
dx x x x
4 x 2
2 32.
dx
1 x 3 x 2 x
x 2
2
dx
x x 4
1 x
3
3
3.
dx
1x5x4
4xx5x2
24
23
4.
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Ejercicios:
5.
6.
7.
dx xx
12x
24
dx 18 x 9 x 2 x
153 x 20 x 46 x x 4
2 3
2 34
dx
1 x 2 x
x
2 4
4
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Método de Integración por fracciones parcialesMétodo de Integración por Partes
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Integración por partes
Si u y v son funciones de x , entonces
( )´ ´ ´u v u v v u
Al despejar se tiene´u v
´ ( )´ ´u v u v v u
Integrando ´ ´u v dx u vdx v u dx
Nota:
dv debe de contener a dx
u dv u v v du
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Este método consiste en identificar a u como
una parte de la integral y dv con el resto, con
la pretensión de aplicar la formula obtenida, la
integral del segundo miembro sea más fácil
de obtener que la primera.
u dv u v v du
Integración por partes
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Ejemplo:
dxe x x2
Halle
21entonces.... ;
2
xd u d x v e
xd ee x xd e x x x x 2
212
212.... por tanto
C ee x x x
2
4
12
2
1
udv
dxedv xu x2 ; Hacemos
Solución:
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Halle ln x dx
1entonces.... ;du dx v x
x
1 por tanto .... ln ln x dx x x x dx
x
ln x x x C
u
dv
Hacemos ln ;u x dv dx
Ejemplo:
Solución:
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Ejercicio: resuelva las siguientes integrales
dx x ln x .2 2
dx e5 x 2 .1 x
dx 1 x 2 ln .3
dx e x .4
ax 2
dx e x a2 .5 2
ax 32
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dx )1 x (
e x .6 2
x
dx e .7 x
dx x cos x .8 2
dx senx e .9 x
dx x arctan .10
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