Matemticas
para administracin y economa
Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul
1
Curso Propedutico de MatemticasCurso Propedutico de MatemticasUnidad IV
(Secciones 6 y 8)
2
0.6 Operaciones con expresiones algebraicas. 0.8 fracciones
0.6 Operaciones con expresiones algebraicas
Objetivo: sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas.
Definir lo que es un polinomio, utilizar productos especiales y
emplear la divisin larga para dividir polinomios.emplear la divisin larga para dividir polinomios.
Cuando se combinan nmeros representados por smbolos mediante
operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin o extraccin de
races, entonces la expresin resultante se llama expresin
algebraica.
1
Expresiones algebraicas:
5ax3(5a) coeficiente de x3(5) coeficiente numrico de ax3
Expresin algebraica
Si (a) es un valor fijo se denomina constante
1
Es una expresin algebraica en la variable x
2
Es una expresin algebraica en la variable y
3
Es una expresin algebraica en las variables x y
33 5 2310x x
x
2
510 3
7y
y +
+
( )32
x y xy
y
+ +
Dimensin de expresiones algebraicas
Expresiones algebraicas Dimensin
1 5ax2 Monomio
2 2bx + 3 Binomio
3 5ax2 - 2bx + 3 Trinomio
5
5ax - 2bx + 3 Trinomio
4 x2 + 5ax2 - 2bx + 7xy + 3 Multinomio
5 Cnxn + cn-1x
n-1 ++ c1x + c0 Polinomio
Donde n es un entero no negativo y los
coeficientes c son constantes s Cn 0Se le llama a n el grado del polinomio.
Simplificar (3x2y 2x + 1) + (4x2y + 6x 3)
Solucin: se eliminan los parntesis, despus por propiedad conmutativa se
renen los trminos semejantes.
Trminos semejantes son los que slo difieren por sus coeficientes numricos.
Entonces:
Suma de expresiones algebraicas:
6
3x2y + 4x2y 2x + 6x + 1 3
Por propiedad distributiva:
3x2y + 4x2y= 3+4(x2y)= 7x2y6x 2x 3 + 1= x (6 +2) 3 + 1= 4x - 2
Se tiene que:
(3x2y 2x + 1) + (4x2y + 6x 3) = 7x2y + 4x - 2
Sustraccin de expresiones algebraicas:
Simplificar (3x2y 2x + 1) - (4x2y + 6x 3)
Solucin: se eliminan los parntesis, despus por propiedad distributiva se
renen los trminos semejantes.
Trminos semejantes son los que slo difieren por sus coeficientes
numricos.
Entonces:
7
Entonces:
3x2y 2x + 1 - 4x2y - 6x + 3
Por propiedad distributiva:
3x2y - 4x2y = 3 - 4(x2y)= -1x2y- 6x - 2x + 3 +1= x ( - 6 - 2) +3 + 1= - 8x + 4
Se tiene que:
(3x2y 2x + 1) - (4x2y + 6x + 3) = - x2y - 8x + 4
Simplificar 3{2x[2x +3] + 5[4x2 (3 4x)]}
Solucin: se eliminan los signos de agrupacin ms internos (parntesis),
despus se renen los trminos semejantes que sean posibles.
Trminos semejantes son los que slo difieren por sus coeficientes numricos.
Eliminacin de los smbolos de agrupacin:
8
Trminos semejantes son los que slo difieren por sus coeficientes numricos.
Entonces:
3{2x[2x +3] + 5[4x2 3 + 4x]}3{4x2 + 6x + 20x2 15 + 20x}
3{24x2 + 26x - 15}72x2 + 78x 45
La propiedad distributiva es la herramienta clave al multiplicar
expresiones. Por ejemplo, para multiplicar ax + c por bx + d, se puede considerar ax + c como un solo nmero y entonces
Propiedad distributiva:
9
se puede considerar ax + c como un solo nmero y entonces al utilizar la propiedad distributiva se tiene que:
(ax + c)(bx + d) = (ax + c)bx + (ax + c)d
Multiplicacin de multinomios:
Encuentre el producto (2t 3)(5t2 + 3t 1)
Solucin: se toma a (2t 3) como un solo nmero y se aplica la propiedad
distributiva dos veces, se tiene que:
10
(2t 3)(5t2 + 3t 1) = (2t 3)5t2 + (2t 3)3t (2t 3)1= 10t3 15t2 + 6t2 9t 2t + 3
= 10t3 9t2 11t + 3
a. (x3 + 3x) / x = x3/x + 3x/x = x2 + 3
b. (4z3 8z2 + 3z 6)/2z = 4z3/2z 8z2/2z + 3z/2z 6/2z)
= 2z2 4z + 3/2 3/z
Divisin de un multinomio entre un monomio:
11
= 2z2 4z + 3/2 3/z
0.8 Fracciones
Objetivo: simplificar fracciones y sumar, restar, multiplicar y dividir facciones.
Racionalizar el denominador de una fraccin.
Simplificacin de fracciones:
12
Simplificacin de fracciones:
Por el principio fundamental de fracciones se puede multiplicar o
dividir el denominador y el denominador de una fraccin entre la
misma cantidad diferente de cero. La fraccin resultante ser
equivalente a la original.
Simplificacin de fracciones
Simplificar:
Solucin: factorizar completamente el numerador y el denominador
2
2
6
7 1 2
x x
x x
+
2
2
6 ( 3 ) ( 2 )
7 1 2 ( 3 ) ( 4 )
x x x x
x x x x
+= +
13
Dividir el numerado y el denominador entre el factor comn (x 3), se tiene
En general solo se escribe
( 3 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 )
( 3 ) ( 4 ) 1 ( 4 ) ( 4 )
x x x x
x x x x
+ + += =
2
2
6 ( 3)( 2) ( 2)
7 12 ( 3)( 4) ( 4)
x x x x x
x x x x x
+ += = +
Multiplicacin de fracciones
La regla para multiplicar es:
Ejemplos:
a.
bd
ac
db
ca
d
c
b
a =.
. es por
33)3(3 22 +=+=+=+ xxxxxxxx
14
a.
b.
103
3
1025
3
)5)(2(
)3(
5
3.2
2
2
2
2
+=
++=
++=
+
+ xxxx
xxx
xx
xx
xx
x
x
x
x
( )( )( )( )[ ] ( )( )[ ]
( )( )( )( )43
126
2413
116 .)2(
82
66.32
44 2
2
2
2
2
+++=
+++=
+
++
xx
xx
xxxx
xxx
xx
x
xx
xx
Divisin de fracciones
La regla para dividir es:
Ejemplos:
a.
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a. ==entre
( )553 ==+ xxxxxx
15
a.
b.
( )( )( )32
5
3
5.25
3
2 ++=
+
+=
+
+ xxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
( )( )412
82
1.1
4
1
82
1
4
222
2
++=
+
=
+
xxxx
x
x
x
x
xx
x
x
Suma y resta de fracciones
La regla para sumar es:
La suma de fracciones del tipo que tienen un
denominador comn, el resultado es una fraccin cuyo
denominador es el denominador comn y el numerador es la
suma de los numeradores originales
c
ba
c
b
c
a +=+
16
suma de los numeradores originales
La regla para restar es
semejante a la anterior solo que su numerador es la resta de los
numeradores originales
c
ba
c
b
c
a =
Ejemplos de suma y resta de fracciones
a. 2
33
2
)23()5(
2
23
2
5 222
+=
++=
++
p
pp
p
pp
p
p
p
p
17
b.
3
4
3
)4(
33
4
)3)(2(
)2(
)3)(1(
)4)(1(
65
2
32
452
2
2
2
+=
+=
+
+=
=++
++=
+++
++
xx
xx
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Suma y resta de fracciones con denominadores diferentes
Para sumar o restar dos fracciones con denominadores diferentes se utiliza el principio
fundamental de las fracciones para reescribirlas como fracciones equivalentes que
tengan el mismo denominador. Despus se suma o resta con el mtodo anterior
descrito.
Ejemplo, resolver para:23 )3(
3
)3(
2
+
xxxx
18
Se convierte la primera fraccin en una equivalente, multiplicando el numerador y el
denominador por (x-3)
Y convertir la segunda fraccin multiplicando el numerador y el denominador por X 2
23 )3(
)3(2
xx
x
23
3
)3(
3
xxx
Estas fracciones tienen el mismo denominador por lo que se
obtiene:
22
2
23
2
2323 )3(
623
)3(
3
)3(
)3(2
)3(
3
)3(
2
+=
+
=
+
xxxx
xx
x
xx
x
xxxx
19
En general para encontrar el MCD de dos o ms fracciones, primero se factoriza cada
denominador.
El MCD es el producto de cada uno de los distintos factores que aparecen en los
denominadores, cada uno elevado a la potencia ms grande a la que se presenta en
alguno de los denominadores
)3()3()3()3()3( xxxxxxxxxx
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