Lois de comportement simples
Algorithmes
5 6 dcembre 2006
Philippe Mestat (LCPC)
Session de formation continue ENPC
Plan
Lois de comportement
Elasticit
Elastoplasticit
Algorithmes (Mthode des lments finis)
Incrments et itrations
Quelques remarques
Exemples dapplication
Le problme mcanique
Lquilibre final dun ouvrage dpend :
de lquilibre naturel initial ;
des discontinuits ventuelles ;
des lois de comportement des matriaux ;
des phases dexcution des travaux ;
des conditions dutilisation de louvrage.
Lois de comportement des sols
Comportement des massifs : lois de comportement simples
(lastoplasticit parfaite) ;
lois de comportement avances
(lastoplasticit avec crouissage).
Comportement des interfaces :
lois dinterface simples.
Comportement non linaire
Les sols prsentent une relation contraintes dformations qui est non linaire et irrversible
partir dun certain seuil.
Le comportement non linaire apparat sous deux aspects :
- volution des proprits du matriau ; - changements de la gomtrie.
Excavation Fondation Pieu
Linaire
Non linaire
Comportement rel et modlisation non linaire
Dveloppement dune loi de comportement
Le dveloppement thorique sappuie sur :
des tudes exprimentales essais en place et en laboratoire ;
des schmas de calcul a priori lasticit (linaire et non linaire)
plasticit (irrversibilit et rupture)
viscosit (effet du temps)
et leurs combinaisons.
Dveloppement dune loi de comportement
Quelques problmes : prlvement dchantillons intacts
taille des prouvettes
ralisation des essais (dure)
types dappareillage et types dessai
interprtation des rsultats (choix des variables)
anisotropie et effet du temps
mise en quations
extrapolation au comportement 3D ?
Essais de laboratoire et mesures
Appareils triaxiaux : prouvette cylindrique pleine ;
prouvette cubique (presses 3D).
Appareils pour cylindre creux
Appareils en dformation plane
Appareil de cisaillement direct
Appareil de cisaillement annulaire
Loi de comportement (1)
0t,dt
d,
dt
d, rsmnkl,ij
t;)( klij
laboration dune loi de comportement
Loi de comportement (2)
klrsmnijklij dd,Dd
klrsmnijklij dd,Ed
Les formes usuelles sont :
et inversement :
Il faut ensuite quantifier les fonctions.
Essais suivant
diffrents
chemins de
contraintes
Rupture
Dchargement
Domaine lastique Module initial
Domaine lastique ?
tat caractristique
Dilatance la rupture
Coefficient de Poisson initial
Lois de comportement simples :
lasticit linaire ;
lasticit non linaire ;
lastoplasticit parfaite.
Plan
Lois de comportement
Elasticit
Elastoplasticit
Algorithmes (Mthode des lments finis)
Incrments et itrations
Quelques remarques
Exemples dapplication
Le comportement d'un matriau est lastique lorsque
l'histoire des sollicitations n'intervient pas et qu' un tat de
contraintes correspond un tat de dformations et un seul.
La plupart des solides prsentent un comportement
rversible, au moins sous des sollicitations suffisamment
faibles. Cela correspond des dformations de l'ordre de :
0,1 % pour les mtaux ;
0,01 % pour les sols (voire moins) ;
600 % pour le caoutchouc.
Au-del, des irrversibilits apparaissent.
Comportement lastique (rversible)
Les modles lastiques
lasticit linaire isotrope :
E et n constant ;
E(z), n constant.
lasticit linaire anisotrope (orthotrope) :
Ei et ni constants ;
Ei(z), ni constant (par exemple : Ev(z), Eh(z), G(z) )
lasticit non linaire : E(skl)
Hyperlasticit : skl = W(emn) / ekl
Hypolasticit : dskl = Eklmn demn
lasticit isotrope linaire
yz
xz
xy
zz
yy
xx
2
2100000
02
210000
002
21000
0001
0001
0001
)21)(1(
1
yz
xz
xy
zz
yy
xx
dterminer : E et n et ltat initial des contraintes (K0 ?)
Module dYoung et coefficient de Poisson
Problme de la dfinition du domaine dlasticit
Facteurs influant sur le module E
Niveau de dformations Trs petites dformations ( < 0,001%)
Petites dformations (< 0,001% 1%)
Grandes dformations (> 1%)
Niveau de contraintes
Chemins de sollicitations
Il est souhaitable de dterminer le module dYoung pour des dformations infrieures 0,1%.
volution du module avec lamplitude
des dformations (Hicher, 1985)
Atkinson et Sallfors (1991)
Exemples
dlasticit
non linaire
Caractrisation de lanisotropie
Essais triaxiaux sur des sols anisotropes
Plan
Lois de comportement
Elasticit
Elastoplasticit
Algorithmes (Mthode des lments finis)
Incrments et itrations
Quelques remarques
Exemples dapplication
Principes de llastoplasticit
lastoplasticit avec crouissage
crouissage positif
Sans crouissage
crouissage ngatif
Principes de llastoplasticit parfaite
Le comportement lastoplastique s'appuie sur trois
concepts :
- la partition des dformations (lastiques et plastiques) ;
- le critre de plasticit, qui gnralise la notion de seuil
de plasticit mise en vidence dans les expriences de
laboratoire ;
- la rgle d'coulement plastique, qui dfinit la manire
dont voluent les dformations plastiques.
Ce schma de comportement exclut tout effet de
vieillissement et de viscosit du matriau.
Aux seuils de plasticit (initial et actuels), correspondent alors des domaines dans l'espace des contraintes, appels domaines d'lasticit.
Ces domaines sont dfinis par une fonction scalaire F des tenseurs des contraintes et des dformations plastiques :
0),(F pklij : domaine d'lasticit
: frontire du domaine d'lasticit ou critre de plasticit.
0),(F pklij
La fonction F est appele surface de charge.
Relations contraintes-dformations en lastoplasticit
Soit (sij, ep
ij) un tat de contraintes et de dformations plastiques
correspondant une tape de chargement donne :
si F(sij, ep
ij) < 0 alors deij = deeij ;
si F(sij, ep
ij) = 0 , il faut distinguer selon l'tat de charge ou de
dcharge
F dFij ijp
ij ij
p( , ) ( , )s e s e 0
ss
Fd
ij
ij 0
d d dij ije
ij
pe e e
F ij ijp( , )s e 0
Il y a chargement Il y a dchargement
si et seulement si si et seulement si
ss
Fd
ij
ij 0
d dij ijee e
Rgle d'coulement plastique
Pour quantifier le tenseur des dformations plastiques, il
est ncessaire d'introduire des quations complmentaires.
On postule l'existence d'un potentiel plastique G tel que
dl est appel multiplicateur de plasticit et est strictement
positif.
Si G=F, la rgle d'coulement est dite associe et non
associe dans le cas contraire.
d dG
ij
p
ij
e l
s
Un module d'crouissage est galement dfini :
L'ensemble des relations prcdentes permettent de calculer la
relation de comportement entre un accroissement du tenseur de
dformations et un accroissement du tenseur des contraintes.
Le calcul utilise les relations suivantes dans le domaine
plastique :
H dF
dij
ijl
ss
d E dij ijkl kles e d D dij
e
ijkl kle s
dFF
dF
dij
ij
ij
p ij
p
ss
ee 0 H d
Fd
ij
ijl
ss
kl
klij
ijklij dFG
H
1Dd s
s
s
e
d E
EG F
E
HF
EG
dij ijkl
ijkl
kl ij
ijkl
ij
ijkl
kl
kls
s
s
s
s
e
d
FE d
HF
EG
ij
ijkl kl
ij
ijkl
kl
l
se
s
s
Relations de
comportement
lastoplastique
Les modles lastoplastiques parfaits
lasticit linaire ou non
+ critre de rupture
+ loi dcoulement
Lois de comportement simples :
Mohr-Coulomb (Tresca) ;
Drucker-Prager (Von Miss) ;
Loi parabolique.
Les critres de rupture
Les critres usuels :
Mohr-Coulomb (Tresca) ;
Drucker-Prager (Von Miss) ;
Loi parabolique.
Les critres avancs :
Matsuoka-Nakai (1974) ;
Lade (1975, 1977) ;
Exemples de
critres de
rupture
Facteurs influant sur la valeur de j
Indice des vides
Forme des particules et rugosit de surface
Distribution granulomtrique
Prsence deau
Surconsolidation
Contrainte principale intermdiaire
(chemin de contraintes suivi au cours de lessai)
Modle de Mohr-Coulomb
Paramtres pour les calculs
tat initial des contraintes : g, K0
Hydraulique des sols : kh, kv, u0(x, y, z)
Dformabilit des sols : Eu , E, n, y
Rsistance au cisaillement : cu, c, j
Comportement dinterface : ca, da et Rt
Mohr-Coulomb : un modle simple ?
F(sij) = |s1-s3| - (s1 + s3) sin j -2 c cos j
Rgime dartes. Calculs des drives partielles ?
Troncature en traction
Modlisation numrique :
jdef. plane = jtriaxial - x degrs ;
gestion des tractions pour une cohsion faible ;
convergence lente et difficile pour (j - y) grand ;
si c 0, z tel que : [|1-K0|-(1+K0)sin j ] g z = 2 c cos j ;
cohsion nulle et problmes numriques ;
zone lastique tendue dans le maillage.
Drucker-Prager : un modle simple
F(sij) = q - a p - k
Surface lisse sans artes
Domaine lastique limit en extension
Modlisation numrique :
dfinition des paramtres et liens avec c et j ;
section circulaire inscrite ou exinscrite dans la section hexagonale
du critre de Mohr-Coulomb ;
zone lastique tendue dans le maillage ;
convergence difficile pour k faible ;
modle plus souple que le modle de Mohr-Coulomb.
Nature du sol
Comportement
Modle de calcul
Sols indurs et
roches tendres (argiles raides, marnes,
calcaires, craies, etc)
Dformations faibles,
linaires, fonction du
temps (permabilit et
viscosit). Rupture
souvent fragile.
Milieu continu lastique
linaire ou non linaire.
Consolidation et fluage.
Sols mous et sols
organiques (argiles molles, vases,
tourbes, etc.)
Dformations importantes,
fortement non linaires,
fonction du temps
(permabilit et viscosit)
Milieu continu lasto-
plastique.
Consolidation et fluage.
Sols grenus (sables, graviers, etc.)
Dformations
instantanes, dpendant de
la densit initiale
(dilatance ou
contractance)
Milieu continu lasto-
plastique (non associ) et
lasticit non linaire.
Essais in situ et valeurs des paramtres
Essais de pntration
pntromtre, etc.
estimation de la rsistance du sol
Essais de dformabilit
pressiomtre, dilatomtre
Linterprtation des rsultats en terme de loi de comportement est difficile, car les essais ne sont pas homognes et ltat des contraintes nest pas
connu.
Cas de la dformation plane
Lessai triaxial classique est un essai en dformation axisymtrique.
Il peut convenir dans le cas dun grand remblai ou dune excavation cylindrique (rservoir, puits, silo, etc.)
Pour des calculs plans, il faudrait pouvoir raliser des essais en dformation plane; mais cet essai est compliqu.
Problme. Comment raliser un calcul plan avec des valeurs de paramtres dtermines sur des essais axisymtriques ?
Lois de comportement avances :
lastoplasticit avec crouissage ;
lastoplasticit avec plusieurs mcanismes ;
lastoplasticit gnralise ;
hypoplasticit ;
lois incrmentalement non linaire.
Quelques lois de comportement avances :
modles Cam-Clay (1968, etc.) ;
modle de Lade (1975, etc.) ;
modle de Darve (1978, etc.) ;
modle de Hujeux (1979, etc.) ;
modle de Nova (1982, etc.) ;
modle de Vermeer (1982) ;
modle de Cambou-Jafari-Sidoroff (1988, etc.) ;
modle Soft Soil (PLAXIS).
Choix de la loi de comportement
Quand une loi de comportement simple est-
elle suffisante ?
Quand une loi de comportement avance
peut-elle tre utilise ? Quand est-elle
ncessaire ?
Usage dune loi de comportement simple
lorsque les dformations du massif restent lastiques ;
lorsque le facteur de scurit global est suffisamment lev
ou lorque le chargement nest pas trs important ;
lorsque les ruptures locales ne contrlent pas le
comportement dans la rgion tudie ;
lorsque lon dispose de peu dinformations ;
lorsque le comportement aux interfaces des matriaux est
prdominant.
Usage dune loi de comportement avance
lorsquune loi simple ne permet pas de dcrire un aspect essentiel du comportement de louvrage et de son environnement (interactions, dilatance, rupture, etc.) ;
lorque le calcul doit fournir une estimation raliste des contraintes et des dplacements au voisinage de la rupture (critres en dplacements pour les sites urbains, expertises, problmes inverses, etc.) ;
lorsque le calcul doit fournir une estimation raliste de lvolution des pressions interstitielles ;
lorsque lon dispose de suffisamment dinformations pour dterminer les valeurs des paramtres des modles, et des informations sur ltat initial, sur le degr dhtrognit des terrains et sur leffet dchelle.
010
20
30
40
1960 1970 1980 1990 2000
Anne
No
mb
re
de
pa
ra
m
tre
s
volution des lois de comportement pour les sols
Lois de comportement avances
Quelques difficults
Manque de validations et dtudes paramtriques.
Dure de calcul importante.
Elles sont peu disponibles dans les logiciels du commerce.
Manque de donnes pour estimer les valeurs des paramtres.
Peu de correspondance entre ces paramtres et les paramtres traditionnels de la mcanique des sols.
Les lois de comportement avances sont rarement considres, ou seulement pour des tudes a posteriori.
Pratique de la modlisation numrique
Plutt des modles complexes par leur gomtrie que par les lois de comportement utilises pour dcrire les massifs de sol.
Les ingnieurs privilgient les analyses en lasticit linaire ou lasto-plasticit parfaite.
Si les lois de comportement sont trop simples, il faut en tenir compte dans linterprtation et lutilisation des rsultats.
Nimporte quelle loi de comportement ne peut tre considre comme une approximation acceptable de nimporte quel comportement rel, mme aprs avoir cal des valeurs de paramtres.
Attention la validit des tudes paramtriques pour des lois de comportement simples.
Plan
Lois de comportement
Elasticit
Elastoplasticit
Algorithmes (Mthode des lments finis)
Incrments et itrations
Quelques remarques
Exemples dapplication
Systme algbrique
Le principe de recherche du minimum de l'nergie
potentielle conduit au systme d'quations algbriques :
FUK
o F est le vecteur des forces nodales ;
U, le vecteur des inconnues aux nuds ;
K, la matrice de rigidit de l'assemblage.
Linversion est alors directe.
Cas du comportement non linaire
L'criture du principe variationnel fournit l'quation d'quilibre :
quel que soit le champ cinmatiquement admissible.
Si B est la matrice des drives des fonctions
d'interpolation telle que : eij = B U.
s eij ij i i i iS
d f u d t u dS~ ~ ~
0
B d Ft ij exts
L'quilibre s'crit encore :
Dans le cas de l'lastoplasticit, il faut intgrer les relations
diffrentielles en utilisant des schmas d'intgration. On
obtient alors des relations du type
o (Eijkl) est le tenseur lastoplastique (non linaire et
irrversible) et Dekl, l'accroissement des dformations
totales (connu). Si l'accroissement correspond au passage
entre deux tats d'quilibre, on aura
UBEEEE pijklijklklpijklijklij
K U U Fext( ) D D
B E E B d U Ft p ext( )
D D
soit
Pour obtenir le champ de dplacements, solution du
problme, il faut rsoudre le systme d'quations non
linaires :
Le vecteur F(U) est appel vecteur-rsidu.
La rsolution directe est le plus souvent impossible. Un processus itratif est alors ncessaire.
Le principe consiste linariser les quations non linaires autour d'un tat d'quilibre.
F( ) ( )U F R uext 0
Si U1 et U2 sont deux champs de dplacements des
instants de sollicitations diffrents, on cherche une matrice
K telle que :
Il est quasiment impossible de trouver l'expression de la matrice K, mais on peut l'approcher, par exemple l'aide d'un dveloppement limit :
Le tout est de calculer ou d'approcher ces quantits.
F F( ) ( ) .( )U U K U U2 1 2 1
F D FF
D( ) ( ) .U U UU
U
F D F D
( ) ( ) .U U U BU
d Utij
s
soit encore :
Supposons la matrice K connue, et soit U0 une solution approche de F(U0). On recherche alors la solution sous la forme d'une variation autour de U0 :
F(U0 + DU) = 0.
La linarisation conduit la relation : DU = - K-1. F(U0)
On construit ainsi un processus itratif. Pour une itration i donne, Ki et F(Ui) sont calculs, puis Ui+1 est dtermin, si la matrice Ki est inversible, par la relation :
DUi = Ui+1 - Ui = - Ki-1. F(Ui)
Si la suite des dplacements converge, on a : F(U) = 0.
Calcul de Ki
Ui+1 = Ui - Ki-1. F(Ui)
Calcul des contraintes si+1
Calcul de F(Ui+1)
Initialisations
Tests de convergence ?
i = i+1
Critre de
convergence
Expression Tolrance fournir
sur les
vecteurs-
rsidus
Tolrance conseille 0,1%, la
rigueur 1%, pour le premier test
qui devient svre lorsque DF
est faible. Pour le second test,
tolrance conseille 0,1%.
sur les
dplacements
Tolrance conseille 0,1%.
sur le travail au
cours dune
itration
Tolrance conseille 10-9.
FF
)U(ou
F
)U(
0
ii
i
i1i
U
UU
1
i1ii
U.F
)UU).(U(
Remarque
S'ils sont satisfaits, les tests de convergence ne prouvent pas
que la suite (Ui) ou la srie (DUi) de dplacements converge.
Ces tests peuvent simplement prouver que la suite des
accroissements (DUi) tend vers zro. C'est une condition
ncessaire mais non suffisante.
C'est comme l'exemple bien connu de la suite (1/i) qui tend
vers zro, mais dont la srie associe diverge.
Notion de taux de convergence
Les tests traditionnels ne fournissent qu'une prsomption
de convergence. Il convient d'tre prudent avant de
conclure et il est fortement conseill d'analyser la suite des
taux de convergence (qi) :
S'il est possible de dmontrer numriquement que la suite
des taux de convergence est strictement monotone
dcroissante et possde une limite strictement infrieure
1, alors la srie (DUi) est absolument convergente.
qU
Ui
i
i
D
D 1
D DU q Ui i i 1 D D DU q U q Ui k i j ij
k
i
k
i
1
U U
q q
qUi k i
i i
k
i
i
1
1
1
D
U Uq
qUi k i
i
i
i 1
D
donc U U U q Ui k i i j ij
j
k
j
k
i
D D11
alors
et finalement
Ce qui prouve labsolue convergence de la suite. CQFD.
De plus, si on fait tendre k vers l'infini, on obtient une estimation de l'erreur commise en arrtant le processus
l'itration i :
L'tude de la dcroissance de la suite des taux (qi) permet
de s'assurer de la convergence de la suite.
L'exprience montre que les taux de convergence se
stabilisent souvent pour des valeurs suprieures 0,8 et
parfois proches de 0,99. En revanche, ds que qi > 1 pour
plusieurs itrations successives, on peut conclure la
divergence.
U Uq
qUi
i
i
i 1
D
Diagnostic Rsultats des tests de convergence
Convergence Les tests de convergence sont satisfaits ; la suite (qi) est monotone dcroissante et tend vers
une limite infrieure 1. Trs souvent, la suite
se stabilise autour de valeurs comprises entre
0,8 et 0,99 ; ce qui suffit assurer l'absolue
convergence de la srie.
Non-convergence La norme des forces rsiduelles dcrot trs lentement, le nombre d'itrations devient trs
important ou la suite des taux oscille autour de
la valeur unit. Il est alors difficile de conclure
et il vaut mieux recommencer le calcul avec un
incrment de chargement plus faible.
Divergence La norme des vecteurs-rsidus ne tend pas vers zro.
Un dveloppement du vecteur-rsidu conduit la relation :
Ki est appele matrice de rigidit tangente et la mthode
de rsolution, nomme Mthode de Newton-Raphson.
Le calcul exact est le plus souvent impossible. On fait alors
lapproximation suivante :
K B B dit i
i
s
e
s
e
i
i
epEi
ep
i dEd avec
Les difficults thoriques et le cot de calcul d'une matrice (assemblage, triangularisation) chaque itration sont
l'origine des Mthodes de Newton Raphson modifies et de
recherches sur des acclrateurs de convergence, qui visent
rduire la dure des calculs sans nuire la qualit des rsultats.
Une ide simple consiste fixer la matrice tangente partir
d'un certain nombre d'itrations p :
l'extrme, on peut conserver la mme matrice pendant tout le
processus de rsolution : c'est la Mthode des contraintes
initiales.
i p KU
i
U Up
,F
La mthode des contraintes initiales prsente linconvnient
dentraner un grand nombre ditrations ds que la non-linarit
devient importante.
Calcul du vecteur-rsidu
Le vecteur rsidu dpend du champ de contraintes, donc de la
loi de comportement et du schma d'intgration des quations
diffrentielles qui la dfinissent :
Malgr la performance des schmas, le champ de contraintes
calcul ne vrifie gnralement que d'une manire approche les
quations de comportement. On peut donc cumuler des erreurs
chaque itration et converger vers une mauvaise solution.
Ce risque peut tre diminu en procdant au chargement de
faon incrmentale.
i
t
exti dBF)U(
Plan
Lois de comportement
Elasticit
Elastoplasticit
Algorithmes (Mthode des lments finis)
Incrments et itrations
Quelques remarques
Exemples dapplication
Incrmentation du chargement
Le chargement F est divis en un nombre fini d'accroissements dont
la dfinition est lie, si possible, des tapes relles de la
construction d'un ouvrage ou du chargement d'une structure.
Remarque
Les rsultats d'une itration n'ont pas de sens physique,
car ils ne vrifient pas simultanment les quations de
comportement et celles de l'quilibre.
L'incrment de chargement seul a un sens physique.
Les rsultats convergs pour une tolrance suffisamment
faible vrifient de manire approche l'quilibre (en
moyenne) et la loi de comportement (localement).
Schma dintgration des lois
Selon la mthode de rsolution adopte, l'effet du comportement non linaire apparat dans le calcul du
vecteur-rsidu, mais aussi dans celui de la matrice de
rigidit.
Il convient donc de bien calculer le champ de contraintes et
les autres quantits non linaires (dformations plastiques).
Pour cela, il faut intgrer des quations diffrentielles.
Dans le cas de llastoplasticit, il sagit dintgrer la rgle
dcoulement ou la relation contraintes-dformations.
Passage dune itration une autre
Supposons que l'on se trouve l'itration i de l'incrment n+1.
Les quantits connues sont les tats de contraintes, de dformations totales, de dformations plastiques et d'autres quantits non linaires l'incrment converg n, ainsi que l'tat de dformations totales l'itration i de l'incrment n+1 :
sn , en , ep
n et en+1
Les inconnues sont les nouveaux tats de contraintes, de dformations plastiques et de certaines quantits non linaires :
sn+1 , ep
n+1
L'intgration est fonde sur le thorme de la moyenne :
Par consquent, il existe des valeurs de l et de l'tat de
contraintes telles que
Le problme est alors d'estimer la quantit intgre ou
directement l'tat de contraintes sp.
Deux options simples peuvent tre considres.
f x dx b a f ca
b
( ) ( ) ( ) c [a, b] telle que
sl l l
ss
l
l Gd
G
n
n
n n
p
1
1( ) ( )
Intgration trapzodale :
Intgration au point milieu :
pour a [0, 1] :
ss a
ss a
ss
G G Gpn n
i( ) ( ) ( ) ( ) 1 1
pour a [0, 1] :
ss
sa s as
G Gpn n
i( ) ( ) 1 1
On a alors : s a s asp n ni ( )1 1
Si a = 0, le schma est explicite. Si a ]0, 1] , le schma
est implicite. Il est souvent conseill de prendre a = 0,5.
Schma dintgration trapzodale
Schma dintgration au point milieu
Par exemple, la seconde technique conduit au systme suivant :
Le scalaire Dl est alors dtermin par la condition de surface de charge : F = 0.
Cette seconde technique peut tre prfrable la premire.
)(E)(E pni,p
1nn
i
1nn
i
1n
i 1nnpni,p 1n )1(
G
0),(F i,p 1ni
1n
Plan
Lois de comportement
Elasticit
Elastoplasticit
Algorithmes (Mthode des lments finis)
Incrments et itrations
Quelques remarques
Exemples dapplication
Spcifications pour le comportement non linaire
Discrtisations et convergences
Calculs aux points dintgration
Maillage et comportement (densit des lments)
Chargements et comportement : choix des incrments de chargement.
Donnes numriques : tolrance sur les tests de convergence ;
nombre ditrations maximum ;
schmas dintgration.
Les choix de lutilisateur ont un impact direct sur le temps des calculs et donc sur la dure de ltude.
Maillages et lois de comportement
Un maillage qui a fourni de bons rsultats pour
une loi de comportement nest pas forcment bien
adapt pour une autre loi de comportement.
Exemple : lasticit isotrope et anisotrope.
Il en est de mme pour le dcoupage en
incrments de chargement.
Maillages et lois de comportement
Maillages et lois de comportement
Maillages et lois de comportement
Calculs aux points dintgration
En comportement non linaire, le calcul des dformations et des contraintes est effectu aux points d'intgration, internes aux lments finis :
- points de Gauss ;
- points de Hammer ;
- points de Newton-Cotes.
Ce sont parfois les mmes que ceux qui servent pour l'intgration de la matrice de rigidit.
Convergence et mthodes numriques
Quatre processus de discrtisation simultans :
- discrtisation spatiale du domaine gomtrique reprsentatif
de l'ouvrage et de son environnement (maillage) ;
- discrtisation du chargement. Celui-ci est appliqu en
accroissements successifs, appels incrments ;
- processus de rsolution incrmental et itratif si les lois de
comportement des matriaux sont non linaires ;
- schma d'intgration locale si les lois de comportement sont
dfinies sous une forme diffrentielle ou implicite.
Convergence au sens du maillage Elle est assure par le choix et la formulation mathmatique des lments
finis. Lorsque le maillage devient de plus en plus fin, la solution numrique
tend vers une limite trs proche de la solution exacte du problme.
Convergence au sens du processus de rsolution
incrmental et itratif
Elle permet d'obtenir la solution en dplacements et en contraintes pour un
maillage et un schma d'intgration des lois de comportement donns.
Convergence au sens du schma d'intgration locale
Elle permet le calcul des contraintes et des quantits non linaires
(dformation plastique, crouissage) vrifiant la loi de comportement.
Trois notions de convergence
Plan
Lois de comportement
Elasticit
Elastoplasticit
Algorithmes (Mthode des lments finis)
Incrments et itrations
Quelques remarques
Exemples dapplication
Maillage grossier Maillage fin
Un calcul incrmental par lments finis de type
dplacements permet d'tudier la stabilit des ouvrages et
de dceler l'amorce d'un mcanisme de rupture.
En pratique, la stabilit d'un ouvrage est analyse l'aide
d'une des quatre approches suivantes :
- forces ou pressions imposes ;
- dplacements ou rotations imposs ;
- rduction des paramtres de rsistance ;
- activation de couches de sol (remblaiement) ou
dsactivation (excavation).
Calculs numriques et stabilit des ouvrages
L'exploitation des rsultats suivants constituent des indicateurs annonciateurs de la formation d'une zone de rupture dans le maillage :
- l'analyse de courbes de type chargement-tassement, qui constitue la mthode la plus convaincante pour mettre en vidence l'amorce de la rupture du massif de sol et estimer une charge limite ;
- les difficults de convergence du processus itratif (augmentation soudaine du nombre d'itrations, dcroissance lente de la norme des forces rsiduelles). Il en est de mme a fortiori pour la divergence du processus ;
- les mouvements excessifs dans certaines zones du massif de sol sans augmentation significative des contraintes ;
- le dveloppement soudain des zones plastiques dans le maillage ;
- la visualisation des isovaleurs de dformations plastiques ou de dformations de cisaillement. Une comparaison avec les dformations la rupture dduites des essais triaxiaux permet d'estimer les zones rellement en rupture. Les dformations triaxiales au dbut du palier d'coulement varient entre 0,5 et 10% pour les sables, et entre 1 et 20% pour les argiles ;
- les efforts de traction mobiliss dans les renforcements qui, compars avec les seuils de rsistance, indiquent ou non une cassure.
L'exploitation des rsultats suivants constituent des indicateurs annonciateurs d'une zone de rupture dans le maillage :
- l'analyse de courbes de type chargement-tassement ;
- les difficults de convergence du processus itratif ;
- les mouvements excessifs dans certaines zones du massif de sol sans augmentation significative des contraintes ;
- le dveloppement soudain des zones plastiques dans le maillage ;
- la visualisation des isovaleurs de dformations plastiques ou de dformations de cisaillement ;
- les efforts de traction mobiliss dans les renforcements qui, compars avec les seuils de rsistance, indiquent ou non une cassure.
L'ensemble des points dpassant les seuils en dformations
constitue une zone de rupture, qui s'tend au cours du
calcul jusqu' ce que le processus itratif ne converge plus
pour un certain chargement. Cette zone fournit une
indication sur la forme du mcanisme de rupture.
Lorsque la non-convergence ou la divergence apparat
nettement, le chargement appliqu n'est plus supportable
par le milieu tudi.
Cette approche a conduit de bons rsultats pour des
problmes dont des solutions thoriques sont connues
(expansion d'une cavit, capacit portante des fondations
ou stabilit des fouilles verticales) et les formes de
mcanismes obtenues sont proches des surfaces de
glissement thoriques.
En revanche, pour certains types d'ouvrages, des difficults peuvent apparatre et compliquer l'analyse de la stabilit et
la mise en vidence d'une surface de glissement.
Ainsi, il n'est pas toujours ais de slectionner des points
reprsentatifs lorsque plusieurs mcanismes se
manifestent.
C'est le cas de certains ouvrages en sol renforc ou de
massifs de sols trs htrognes.
Paramtre Hypothses non justifies pour
rduire la dure des calculs
Angle de dilatance y y = j ou 20 < y < j. L'angle de dilatance est alors trop important par
rapport la ralit exprimentale et les
variations de volume ne seront pas bien
reprsentes dans le calcul.
Cohsion effective des
sols granulaires
1 kPa < c < 10 kPa. Une cohsion non
nulle est souvent adopte pour les sols
granulaires afin d'viter des problmes de
traction prs de la surface et rduire le
nombre des itrations. Une cohsion trop
forte peut perturber grandement les
rsultats.
Loi de chargement Simulation d'un remblaiement par un accroissement du poids volumique et non
par un calcul en plusieurs tapes.
Vrification des rsultats dun calcul
Indicateurs sur le droulement des calculs : contrle du processus itratif (tests de convergence) ;
estimateurs d erreurs a posteriori
Analyse visuelle de la dforme globale : respect des conditions aux limites ;
signe des forces appliques ;
cohrence globale de la cinmatique visualise.
tude du champ de contraintes : loin des ouvrages et des sollicitations, on doit retrouver le
champ de contraintes initiales ;
aux points d application des forces, on peut vrifier l quilibre avec le vecteur contraintes.
Quelques conclusions
Limitations de loutil de calcul :
les lois de comportement ;
les couplages dvelopper interaction sol-structures en prsence deau
Limitations pour lutilisateur :
donnes peu nombreuses ?
donnes trop nombreuses ?
mthodologies insuffisantes ?
Ce que lon sait faire :
problmes de massifs sans interaction.
Ce que lon sait peu prs faire :
remblais, tunnels, fondations superficielles.
Ce que lon ne sait pas bien faire :
interactions / interfaces (inclusions) ;
sols renforcs ;
localisation des dformations ;
formation dune surface de glissement.
Ce que lon ne saura jamais faire :
conditions dexcution des travaux ;
histoire des matriaux en place.
FIN
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