Lgica clsica de primer orden: estrategias de deduccin, formalizacin y evaluacin semntica

Lgica clsica de primer orden: estrategias de deduccin, formalizacin y evaluacin semntica. Falguera Lpez.

Captulo IV.

Semntica y estrategias de formalizacin para la lgica clsica de enunciados.1- Introduccin.

Lgica deductiva como la ciencia que se ocupa de la validez de los argumentos. Sabemos que la validez de los argumentos depende de su estructura lgica relevante y sta a su vez de la forma lgica relevante de las proposiciones que conforman cada argumento, tenemos que la explicitacin de una determinada forma lgica de las proposiciones depende de la distincin, entre expresiones lgicas y expresiones no-lgicas.

Por otra parte la lgica deductiva surge ante la necesidad de distinguir entre las argumentaciones vlidas y las no-vlidas.

Se plantea la necesidad de TRADUCIR las argumentaciones del lenguaje natural a argumentaciones de un lenguaje formal dado y, por lo tanto, los enunciados del lenguaje natural considerado a fbfs del lenguaje formal elegido. A este proceso de traduccin se lo denomina FORMALIZACIN.

La formalizacin exige una definicin previa del lenguaje formal a utilizar, as como ciertos criterios semnticos para cualquier interpretacin del mismo. Los criterios semnticos son la fijacin del contenido semntico para las constantes lgicas y del tipo de valores semnticos que se asigna a las distintas categoras de expresiones no-lgicas. La distincin entre constantes lgicas y el resto de las expresiones cobra renovada importancia al considerar la semntica de un lenguaje formal, mientras a cada una de las primeras se le asocia un contenido semntico fijo, a las segundas slo se les asocia un tipo de valor semntico variable.

LENGUAJE FORMAL

ExpresionesContenido semntico

Expresiones lgicasFijo

Otras expresionesVariable

Las caractersticas del lenguaje formal elegido en el que se reexpresan enunciados de un lenguaje natural, determinarn el tipo de anlisis lgico que de los mismos se realice.

Para la argumentacin es insuficiente el anlisis y formalizacin que se realice conforme a un lenguaje de la Lgica de Enunciados y se requiere al menos un lenguaje de una Lgica de Primer Orden.

Lenguaje del SDNE

Categora semnticaExpresiones bsicasExpresiones complejasContenido semntico

Constantes lgicas mondicasNegador-------Funciones veritativas

monarias

Constantes lgicas didicasConjuntor

Condicional

Disyuntor

(bicondicional)-------Funciones veritativas binarias

Frmulas bien formadasVariables proposicionalesFbfs

complejasValor de verdad

Conforme a lo sealado, se asocia un contenido semntico fijo a las conectivas, mientras que de manera genrica a las variables proposicionales se les asocia un tipo de valor semntico. Las variables proposicionales pueden tomar como valor semntico o bien la verdad (1) o bien la falsedad (0).

Cuando un argumento es vlido en Lgica Clsica, entonces est asegurado que si sus premisas son verdaderas, tambin lo ser la conclusin, pero de tal afirmacin no se desprende que la validez de un argumento dependa de los valores veritativos asociados a sus proposiciones componentes. Dado un argumento, al dar cuenta de su estructura lgica relevante en un lenguaje formal apropiado, tendremos que: a) si el argumento original es vlido, entonces no habr interpretacin alguna de la correspondiente argumentacin formal relevante que haga verdaderas las premisas y falsa la conclusin; b) si el argumento original es no-vlido, entonces habr al menos una interpretacin de la correspondiente argumentacin formal relevante que haga verdaderas las premisas y falsa la conclusin.

2- Estrategias de formalizacin.

Formalizar es traducir o reexpresar pasajes lingsticos del lenguaje natural en un lenguaje formal. En primer lugar se impone explicitar un listado en el que se recojan las principales expresiones del lenguaje natural que se toman como expresiones lgicas correspondiendo a las conectivas del SDNE.Siendo A y B variables metalingsticas para fbfs cualesquiera del lenguaje del SDNE que expresan proposiciones y para enunciados cualesquiera del castellano, podemos establecer las siguientes equiparaciones entre expresiones lgicas del lenguaje formal y expresiones del castellano: Ano es el caso que A;

no A;

no es cierto que A

A BA y B;

A pero B;

A aunque B (con verbo en indicativo en B)

A BA o B;

ya A ya B ya ambas

A BSi A, entonces B;

A slo si B:

slo A si B;

es suficiente A para que B;

siempre que A, entonces que B;

es necesario B para que A;

no A a menos que B;

a no ser que B no A

A BA si y slo si B;A cuando y slo cuando B;

A es condicin suficiente y necesaria para que B

A) Lo adecuado ser considerar como enunciados base del anlisis a los ENUNCIADOS ATMI, a aquellos en los que no aparece contrapartida lingstica alguna de las conectivas lgicas. Ser conveniente comenzar por diferenciar en el texto a formalizar las contrapartidas lingsticas de las conectivas. Cuando un enunciado carezca de contrapartidas de las conectivas, ser formalizado mediante una variable proposicional.Un problema especial surge con ciertos signos de puntuacin. Usualmente haremos corresponder al punto y come (;) el conjuntor, y al punto (.) equiparable a la diferencia de fbfs.

Podemos encontrar expresiones que anuncian la conclusin de una argumentacin, como por ejemplo luego, por lo tanto, etc. Corresponden al indicador de conclusin .

B) Enunciados atmicos lingsticamente diferentes pero que expresen lo mismo han de ser formalizados mediante la misma variable proposicional.

C) Es importante identificar todas las negaciones que puedan aparecer en el texto a formalizar y hacerles corresponder ocurrencias del operador negador. Las negaciones no siempre aparecen al comienzo de un enunciado sino intercaladas en el mismo. Determinadas ocurrencias de la doble negacin en castellano expresan en realidad una negacin simple. Es importante identificar cundo un enunciado en forma afirmativa expresa en realidad la negacin de otro enunciado que aparece en el mismo texto a formalizar.1) Identificar las expresiones lingsticas que son contrapartidas de las conectivas del lenguaje formal.

2) Identificar los distintos enunciados atmicos del texto a formalizar.

3) Identificar los enunciados atmicos que expresan una misma proposicin.

4) Sustituir los enunciados atmicos por las variables proposicionales las asignadas.

5) Sustituir las expresiones que tienen asociadas conectivas lgicas del SDNE por los smbolos lgicos correspondientes.

6) Explicitar los parntesis imprescindibles para evitar ambigedades, omitiendo los innecesarios.7) Construir tantas fbfs como enunciados separados por un punto figuren en el texto.

Algunas precisiones relativas a la formalizacin del condicional.

El significado atribuido al condicional por parte de la Lgica Clsica es una de las cuestiones ms polmicas de los estudios de lgica. Se considera que un enunciado condicional de este tipo es verdadero cuando su antecedente es falso o cuando su consecuente es verdadero. Denominado CONCIONAL MATERIAL.

En lo sucesivo los enunciados condicionales que nos encontremos sern considerados nica y exclusivamente como condicionales materiales.

Los condicionales materiales en los que antecedente y consecuente son ambos verdaderos o ambos falsos y aquellos en los que el antecedente es falso y el consecuente verdadero son siempre verdaderos, aunque antecedente y consecuente expresen proposiciones independientes entre s.

En cierto uso intuitivo del condicional, ste se asocia frecuentemente a relaciones causa-efecto, aspecto que no es recogido por el condicional material. En el condicional material tenemos un componente que expresa condicin suficiente y oreo que expresa condicin necesaria, pero esto no debe confundirse con la relacin causa-efecto. El antecedente expresa CONDICIN SUFICIENTE pare el consecuente, mientras que el consecuente expresa CONDICIN NECESARIA para el antecedente. Todo condicional material con antecedente verdadero y consecuente falso es tambin falso, ya que siendo verdadera la condicin suficiente no puede ser falsa la condicin necesaria.

Algunas precisiones relativas a la formalizacin del disyuntor.

o puede emplearse indicando disyuncin exclusiva o inclusiva. En el primer caso se considera que la disyuncin es verdadera slo cuando una de las dos partes de la disyuncin es verdadera, pero no cuando ambas lo son. Como inclusiva, se considerar verdadera no slo cuando una de sus partes es verdadera sino tambin cuando ambas lo son. En Lgica Clsica el disyuntor, v, se interpreta inclusivamente.

En castellano es el contenido informativo el que nos permite dilucidar la cuestin. En otros muchos casos es el contexto el que permite decidir.

Algunas precisiones relativas a la formalizacin del bicondicional.

El bicondicional (material) expresa que los dos enunciados unidos mediante esta conectiva lgica son simultneamente condicin necesaria y suficiente el uno del otro. Un bicondicional de la forma A si slo si B es a fin de cuentas equivalente a la conjuncin de dos condicionales de la formas si A, entonces B y si B, entonces A.

Ser verdadero tanto si ambos enunciados son verdaderos como si ambos son falsos. Por ello la negacin de un bicondicional equivale a una disyuncin exclusiva, a la exigencia de que ambas partes del bicondicional negado tengan diferente valor veritativo.Algunas otras precisiones.

Es importante tener en cuenta:

- Negador y conjuntor: no debemos confundir dos negaciones conjuntadas con una negacin de una conjuncin.- Negador y disyuntor: hay que diferenciar una disyuncin cuyos miembros son negaciones, de una negacin de una disyuncin.3- Semntica para un lenguaje de la lgica clsica de enunciados.

Para que un sistema formal, y por lo tanto, su lenguaje formal, sea algo ms que un mero juego arbitrario es preciso contemplar qu usos semnticos se asocian a las expresiones de su lenguaje. Parece conveniente incorporar de manera explcita y con el mayor rigor posible las condiciones semnticas que se asocian al lenguaje de un sistema lgico-formal.

Parece evidente que hay ciertas pautas semnticas asociadas de manera habitual y un tanto intuitivamente a esos sistemas lgico-formales.

Indicaciones preliminares sobre semntica.

Una TEORA SEMNTICA, se ocupa de las relaciones entre los SIGNOS LINGSTICOS y determinados contenidos y ENTIDADES EXTRALINGSTICOS. La semntica de un lenguaje formal estudia las relaciones entre las expresiones de ese lenguaje y ciertos contenidos y entidades extralingsticas que se asocian a tales expresiones. La semntica de un sistema lgico-formal se ocupa, adems, de las relaciones semnticas entre sus fbfs, relaciones stas derivadas de reglas semnticas asociadas al lenguaje formal subyacente.

En semntica es usual distinguir entre una teora de la extensin y una teora de la intensin. La EXTENSIN de una expresin lingstica es lo que denota esa expresin. Una teora semntica extensional se ocupa de la relacin entre expresiones y las entidades que denota o designa. La INTENSIN de una expresin es lo que connota dicha expresin. Una teora semntica intensional se ocupa de la relacin entre las expresiones lingsticas y su intensin.

El tipo de semntica que ahora nos va a interesar es de orden extensional. El tipo de teora semntica que se apoya en dichas tcnicas se conoce como SEMNTICA FORMAL.

Presupuestos de la semntica estndar para la Lgica Clsica de Enunciados.Algunos de los presupuestos fundamentales de la semntica:1- La semntica que consideramos se interesa en primera instancia por el valor veritativo de las fbfs.

2- Se asume la TEORA TARSKIANA DE LA VERDAD. Segn esta teora el significado de una fbf se establece en trminos de sus condiciones de verdad y las condiciones de verdad de una fbf dependen del contenido semntico fijado para cada una de las constantes lgicas y de la correspondencia que se d entre el resto de expresiones bsicas y el mundo.

La nocin de verdad viene siendo analizada a travs de la literatura lgico-filosfica fundamentalmente bajo dos perspectivas diferentes: a) verdad como coherencia, consistente e considerar que una proposicin es verdadera si y slo si es consistente con el resto de proposiciones que forman un determinado sistema terico; b) verdad como correspondencia, consistente en considerar que una proposicin es verdadera si y slo si o corresponde a un hecho del mundo o es una verdad analtica.

En los estudios de lgica contemporneos la nocin de verdad, mereci un tratamiento especial por parte de Tarski. Para l se trataba de proporcionar una teora de la nocin de verdad que evitase paradojas. Define su teora de verdad como una TEORA SEMNTICA DE LA VERDAD.Para Tarski la nocin de verdad y el predicado es verdadero adoptan ciertas peculiaridades que conviene tener presentes:

- El tratamiento riguroso y preciso de la nocin de verdad slo es posible para lenguajes formales. En el caso de los lenguajes naturales slo es posible de manera aproximada y a travs de su reconstruccin en un lenguaje formal.

- La nocin de verdad es una nocin relativa a un lenguaje formal dado.

- El predicado es verdadero pertenece al metalenguaje.

- No es posible definir la verdad semntica para el lenguaje ordinario en su totalidad, para un lenguaje natural.

- Para que la definicin de verdad sea materialmente adecuada ha de satisfacer el esquema de oracin siguiente: (T)

X es verdadera syss p, X es el nombre de una oracin del lenguaje objeto, p es la oracin del lenguaje objeto nombrada por X.

- La convencin T no es una definicin de verdad sino que proporciona un criterio de verdad.

- Una definicin de verdad para un lenguaje ser materialmente adecuada, dar cuenta de la manera correcta de utilizar el predicado verdad dado nuestros usos cotidianos del mismo, si de ella se siguen todas las equivalencias pertinentes de la forma T. Por ello el lenguaje objeto ha de estar totalmente especificado.

- Todas esas instancias de la convencin T son formuladas en el metalenguaje.

- Por tanto, las condiciones que ah de cumplir el metalenguaje son:

a. toda oracin del lenguaje objeto debe figurar tambin en el metalenguaje.

b. debe incluir nombres para todas las oraciones del lenguaje objeto.

c. debe contener trminos de carcter lgico general.

d. debe contener trminos semnticos que deben introducirse en l slo por definicin.

e. el metalenguaje ha de ser esencialmente ms rico que el lenguaje objeto.

3- Dado que el nmero de fbfs construibles en el lenguaje que hemos definido es infinito, ser preciso especificar una semntica. Se habr de proceder recursivamente, anlogamente al modo en que, mediante un conjunto finito 4- La definicin recursiva de la semntica para las fbfs del lenguaje supone asumir el PRINCIPIO DE CONPOSICIONALIDAD SEMNTICA de Frege, considerar que el contenido semntico de las expresiones complejas es funcin de los contenidos semnticos de las expresiones que las constituyen. Ello supone establecer valores semnticos para cada una de las expresiones sintcticas bsicas categoremticas y la concrecin de reglas semnticas que determinan el valor semntico de las fbfs a partir del valor semntico de las expresiones que las conforman.

5- Es preciso garantizar que sintaxis y semntica de un lenguaje formal proceden al unsono, para garantizar que cada fbf le corresponda un valor semntico. Este paralelismo se justifica en virtud de la existencia de un HOMOMORFISMO entre la sintaxis y la semntica del lenguaje.Un homomorfismo, cuando se da entre la sintaxis y la semntica de un lenguaje garantiza que a cada expresin bien formada del lenguaje le corresponde un nico valor semntico.

6- Determinados sistemas lgicos se caracterizan porque se puede salvaguardar la verdad de cualquiera de sus fbfs cuando se sustituye parte de la misma por otra expresin con la misma extensin. En tales casos el sistema lgico es extensional. El SDNE es un SISTEMA DE LGICA EXTENSIONAL.

Tabla de verdad.La valuacin de una fbf queda completamente determinada, por los valores de verdad que dicha valuacin asigna a las variables proposicionales que aparecen en esa frmula. Una vez que la valuacin fija un valor para cada variable proposicional es fcil determinar el valor veritativo que le corresponde a la frmula completa.

El procedimiento constituye la muestra de aplicabilidad del Principio de Composicionalidad Semntica al lenguaje del SDNE. Cuando este procedimiento se aplica para la totalidad de posibles valuaciones de una fbf del SDNE, entonces obtenemos una TABLA DE VERDAD para la frmula en cuestin. Una tabla de verdad establece las diferentes posibles combinaciones de valores caritativos de las variables proposicionales de una fbf y determina los valores que le corresponden a esa frmula para cada una de esas combinaciones, las diferentes valuaciones posibles para la formula a partir de las diferentes combinaciones de valores veritativos para sus variables proposicionales componentes.

Las tablas de verdad correspondientes a las conectivas primitivas del SDNE en cuanto constantes lgicas principales de fbfs A y B son:

A. BA BA BA B

1 1

1 0

0 1

0 01

0

0

01

1

1

01

0

1

1

AA

1

00

1

El criterio acerca del nmero de valuaciones posibles para una tabla de verdad lo da el nmero de valuaciones proposicionales de la fbf a considerar. Para una fbf que tenga n variables proposicionales ese nmero es 2n.Tautologa, validez y equivalencia lgica.Se dice que una fbf del SDNE es una TAUTOLOGA syss su valor de verdad es 1 para toda valuacin posible. Se dice que una fbf del SDNE es una CONTRADICCIN syss su valor de verdad es 0 para toda valuacin posible. Una fbf del SDNE es CONTINGENTE syss su valor de verdad es 1 para al menos una valuacin y 0 para al menos otra.

Cada valuacin representa un modo posible de ser el mundo, donde el total de los modos posibles de ser el mundo viene dado por lo que es describible mediante las variables proposicionales que ocurren en la fbf que se considere en cada caso.

Las tablas de verdad pueden emplearse como un procedimiento de decisin semntica la evaluacin de las argumentaciones formales del lenguaje del SDNE, para establecer si determinada conclusin se sigue de determinadas premisas.

Cuando no acertamos a realizar una deduccin, no podemos decidir de manera definitiva mediante tales procedimientos deductivos si el argumento en cuestin es vlido o no-vlido. En el caso de argumentaciones dadas en el lenguaje del SDNE disponemos de procedimientos que s nos permiten decidir acerca de su validez o no-validez. Es el de tablas de verdad.

Detrs de la utilizacin de las tablas de verdad como procedimiento de decisin acerca de la validez o no-validez de argumentaciones del lenguaje del SDNE estn lo que se conoce como PRINCIPIO DE CONDICIONALIZAIN y su CONVERSA. La formulacin del Principio de Condicionalizacin. Una conclusin se sigue de sus premisas 1, 2 n slo si (1 2 . n) es una tautologa. La conversa de tal principio se formulara, pues si (1 2 . n) es una tautologa, entonces la conclusin se sigue de las premisas 1, 2 n.

Una argumentacin formal del SDNE es VLIDA syss no existe valuacin alguna que haga verdaderas las premisas y falsa la conclusin.

Para fbfs del SDNE se dice que una fbf A es CONSECUENCIA LGICA de un conjunto de fbfs B (eventualmente vaco), B SDNE A, syss no existe valuacin alguna que haga verdaderas a todas las fbfs de B y falsa a A.

= consecuencia lgica.

Se dice que dos fbfs del SDNE son LGICAMENTE EQUIVALENTES si y slo si su valor semntico es el mismo para toda valuacin posible.

Si dos fbfs del SDNE son lgicamente equivalentes, entonces la fbf que resulta de intercalar un bicondiconal entre ambas es una tautologa.A cualquier fbf se le asocia uno de los valores veritativos. El PRINCIPIO DE BIVALENCIA. El valor semntico que se asigne a una fbf dada concreta ser la verdad o la falsedad, pero no ambas. A la asignacin de un valor de verdad a una fbf se le llama VALUACIN.

CONDICIONAL MATERIAL

(Condiciones que lo hacen verdadero)

Antecedente Consecuente

SI, ENTONCES...

11

01

00

(valores veritativos) (valores veritativos)

1=verdadero; 0=falso.

CONDICIONAL MATERIAL

AntecedenteConsecuente

Si, entonces.

pq

Condicin suficienteCondicin necesaria

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