Quando l’impresa decide il livello di output da produrre per massimizzare il
profitto deve anche preoccuparsi che questo livello di output sia prodotto al
minor costo possibile.
2211, 21
min xwxwxx
+
!Una combinazione ottima di input è anche definita come quella
combinazione che garantisce un certo livello di output al minimo costo
Il problema di minimizzazione dei costi da sostenere per la
produzione di un dato livello di output è:
Tale che
( ) yxxf =21
,
Usiamo la funzione Lagrangiana:
( )( )yxxfxwxwL −−+=212211
,λ
Le condizioni del primo ordine sono:
( )
( )
( ) 0,
0,
0,
21
2
21
2
1
21
1
=−
=∂
∂−
=∂
∂−
yxxf
x
xxfw
x
xxfw
λ
λ
Dividendo la prima per la seconda:
( )( )
2
*
2
*
1
1
*
2
*
1
2
1
/,
/,
xxxf
xxxf
w
w
∂∂
∂∂=
2w1
w
Saggio marginale di sostituzione tecnica deve essere uguale al Saggio marginale di sostituzione tecnica deve essere uguale al
rapporto tra i prezzi degli inputrapporto tra i prezzi degli input
Metodo grafico
I costi minimi necessari per produrre l’output desiderato quando i prezzi
dei fattori sono e sono rappresentabile tramite la funzione di costo:
( )ywwc ,,21
Cerchiamo tutte le combinazioni di input che danno luogo ad un certo livello di
costo C, cioè:
Cxwxw =+2211
2xRisolvendo per otteniamo le rette di isocosto:
1
2
1
2
2x
w
w
w
Cx −=
*
1x
*
2x
( ) yxxf =12
,
1
2
1
2
2x
w
w
w
Cx −=
inclinazione
•isoquanto
La combinazione di fattori che minimizza i costi per produrre il livello di
output y si determina individuando sull’isoquanto il punto al quale è
associata la curva di isocosto più bassa
La combinazione ottima si ha nel punto di tangenza tra isoquanto
e isocosto, quindi otteniamo la tessa condizione di ottimo ottenuta con il
metodo della funzione Lagrangiana
( )*
2
*
1, xx
isocosto
( )( )
2
*
2
*
1
1
*
2
*
1
2
1
/,
/,
xxxf
xxxfTRS
w
w
∂∂
∂∂−==−
( )( )
2
*
2
*
1
1
*
2
*
1
2
1
/,
/,
xxxf
xxxf
w
w
∂∂
∂∂<
*
1x
Si ha tangenza quando il saggio marginale di sostituzione
tecnica è uguale al rapporto tra i prezzi dei fattori
*
2x • ( )
( )2
*
2
*
1
1
*
2
*
1
2
1
/,
/,
xxxf
xxxf
w
w
∂∂
∂∂>
•
•
Aumentando il fattore uno e
diminuendo il fattore due produco
lo stesso livello di output ad un
costo più basso
Aumentando il fattore due e
diminuendo il fattore uno
produco lo stesso livello di
output ad un costo più basso
Sostituendo i valori ottimi dei due fattori in c(.), otteniamo la funzione di costo:
( ) ( ) ( )ywwxwywwxwywwc ,,,,,,21
*
2221
*
1121+=
( )ywwx ,,21
*
2
Dalla condizione di ottimo otteniamo le funzioni di domanda condizionata dei fattori (o domanda derivata dei fattori)
( )ywwx ,,21
*
1
La curva di costo indica il costo minimo che deve essere sostenuto per produrre una quantità di output y
Bisogna distinguere tra funzioni di costo di breve e di lungo periodo
2x
La curva di costo di breve periodo rappresenta i costi minimi che l’impresa
sostiene per produrre una data quantità di output, variando l’impiego dei
soli fattori produttivi variabili.
Supponiamo che il fattore 2 sia fisso ad un predeterminato livello , e
che nel lungo sia variabile. La funzione di costo di breve periodo è
( )
( ) yxxf
ct
xwxwxycx
s
=
+=
21
22112
,
..
min,1
La domanda di breve periodo dei fattori sarà:
( )22
22111,,,
xx
yxwwxxs
=
=
1x2
x
Funzione di domanda di
breve periodo del fattore 1
che minimizza i costi
es. = dimensioni ufficio (fisso nel breve periodo), numero di
lavoratori impiegati dati determinati prezzi e livelli di output (dipendente
dalla dimensione dell’edificio)
La funzione di costo di breve periodo è quindi:
( ) ( ) 22221112 ,,,, xwyxwwxwxycs +=
La funzione di costo di lungo periodo è:
( )2211
, 21
min xwxwycxx
+=
( ) yxxf =21
,
Tale che
Tutti I fattori variano e la i costi di lungo periodo dipendono dalla
quantità di output che l’impresa vuole produrre e dai prezzi dei fattori
Le domande dei fattori di lungo periodo sono:
( )ywwx ,,212
( )ywwx ,,211
RENDIMENTI DI SCALA E FUNZIONI DI COSTO
( )1,,21
wwc
Il tipo di tecnologia dell’impresa influenza la sua funzione di costo
•Con Rendimenti costanti di scala i costi crescono proporzionalmente al
livello di output prodotto
Dato che il costo di produrre una unità di output è
Intuizione: per raddoppiare l’output devo impiegare il doppio di ciascun
input, ma impiegare ciascun input in quantità doppia significa raddoppiare
i costi
Quindi il (minor) costo di produrre y unità è dato da:
( )ywwc 1,,21
Con Rendimenti costanti di scala la funzione di costo cresce
linearmente con il livello di output prodotto
• Con rendimenti crescenti di scala allora i costi aumentano meno che
proporzionalmente rispetto all’output.
Intuizione: se l’impresa vuole produrre un livello doppio di output,
allora può utilizzare ciascun input in quantità meno che doppia,
quindi costi risulteranno meno che doppi
• Con rendimenti decrescenti di scala allora i costi aumentano più che
proporzionalmente rispetto all’output.
Con Rendimenti crescenti di scala la funzione di costo cresce meno
che linearmente con il livello di output prodotto
Con Rendimenti decrescenti di scala la funzione di costo cresce più
che linearmente con il livello di output prodotto
La funzione di costo medio (o unitario) riassume il legame tra
rendimenti e costi, essa esprime il costo unitario di produzione di y
unità di output:
( )( )
y
ywwcyAC
,,21=
( )ywwc 1,,21
Con rendimenti costanti di scala la funzione di costo è
Quindi la funzione di costo medio è:
( )( )
( )1,,1,,
21
21 wwcy
ywwcyAC ==
Fissati i valori dei prezzi dei fattori la funzione di costo medio è
costante e non dipende dalla quantità di output prodotto
y c(y)
yx
AC
y1 2
2
2,5
Curve di costo con rendimenti decrescenti di scala
y c(y)
yx
AC
y1 2
1
2
Curve di costo con rendimenti costanti di scala
y c(y)
yx
AC
y1 2
1
2,7
1 2,7
Curve di costo con rendimenti crescenti di scala
2211, 21
min xwxwxx
+
yxxba =21
Esempio di minimizzazione dei costi con funzione di produzione Cobb-Douglas
Possiamo applicare il Lagrangiano o la sostituzione.
2x
( ) bayxx
/1
12
−=
( ) ba
xyxwxw
/1
12111
min−+
Sostituzione
Risolviamo il vincolo per come:
Sostituendo nella funzione obiettivo si ha il seguente problema di
minimizzazione non vincolata:
Deriviamo per e poniamo la derivata uguale a zero otteniamo la
domanda condizionata dei due fattori1
x
Metodo della funzione Lagrangiana
021
1
212
2
1
11
=−
=
=
−
−
yxx
xbxw
xaxw
ba
ba
ba
λ
λ
Le condizioni del primo ordine sono
( )yxxxwxwLba −−+=212211
λ
La funzione Lagrangiana è:
Moltiplicando la prima equazione per e la seconda per otteniamo: 1x
2x
byxbxxw
ayxaxxw
ba
ba
λλ
λλ
==
==
2122
2111
Quindi
2
2
1
1
w
byx
w
ayx
λ
λ
=
=
Sostituendo le espressioni dei due fattori nella terza equazione troviamo λ:
yw
by
w
ayba
=
21
λλ
( ) babababaywwba +−−−−=
11
21λ
Risolvendo otteniamo:
Inserendo λ nelle espressioni per i due fattori otteniamo le
funzioni di domanda dei fattori:
( )
( ) baba
a
ba
aba
a
baba
b
ba
bba
a
ywwb
aywwx
ywwb
aywwx
++
−
+
+−
+++
−+
=
=
1
21212
1
21211
,,
,,
Dato che la funzione di costo è
( ) ( ) ( )ywwxwywwxwywwc ,,,,,,2122211121
+=
sostituendo le funzioni di domanda dei fattori otteniamo
( ) baba
b
ba
aba
a
ba
b
ywwb
a
b
aywwc +++
+
−
+
+
=
1
2121,,
a+b>1 rendimenti crescenti di scalaI costi aumentano
meno che
proporzionalmente
rispetto all’output
a+b=1 rendimenti costanti di scala I costi aumentano
proporzionalmente
rispetto all’output
a+b<1 rendimenti decrescenti di scala I costi aumentano più
che proporzionalmente
rispetto all’output
Dato l’utilizzo della Cobb-Douglass, possiamo vedere come:
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